ISOMORPHISMA

Assalamualakum Wr Wb

ي�م ح� ر�� ال ح� م� ي� ر�� اهللاحال حم ي� ح�

Kelompok 101. Kama Nur Annisa

113100222. Devriana Dwi Lestari 1131003. Devy Indayani 1131004. Rini Fitriani 1131005. Siska Hidayati 113100

Isomorpisma

Homomorpisma Ø : G→ G’ disebut epimorpisma apabila setiap g’ Є G’ ada g Є G sehingga Ø (g) = g’. Dengan kata lain setiap elemen G’ mempunyai kawan elemen G. Dapat pula dikatakan bahwa homomorpisma Ø dari G onto G atau disingkat homomorpisma Ø onto.

Homomorpisma Ø : G→ G’ disebut monomorpisma jika Ø suatu pemetaan satu-satu dari G ke G’. Dengan kata lain, jika Ø (x) = Ø (y) maka x = y untuk x, y Є G.

Definisi 3.6 • Homomorpisma Ø : G→ G’ disebut isomorpisma jika

Ø sekaligus epimorpisma dan monomorpisma, yaitu Ø suatu homomorpisma satu-satu dari G onto G’

• Grup G dan grup G’ dikatakan isomorpik jika ada isomorpisma dari G ke G’. Selanjutnya notasi G ≈ G’ dibaca G isomorpik dengan G’.

• Pada contoh 3.8, G = { 0, 1, 2, 3 } suatu grup dengan operasi penjumlahan modulo 4 dan G’ = { 1, 2, 3, 4 } suatu grup dengan operasi perkalian modulo 5, maka G ≈ G’.

 

Contoh 3.12

B = {0, 1, 2} yaitu himpunan bilangan bulat modulo 3. B = terhadap operasi penjumlahan modulo 3 merupakan suatu grup. G = {I = S³, S, S² } yaitu suatu grup operasi simetri dari segitiga samasisi dengan S adalah rotasi terhadap pusat segitiga dengan suatu sudut putar 120°. Tabel operasi pada B dengan G adalah sebagai berikut :

Tabel 3.3 (B: +) Tabel 3.4 (G: -)

+ 0 1 2

012

0 1 2 1 2 0 2 2 1

+ I S S²

ISS²

I S S² S S² 0 S² I S

Pemetaan Ø : B G didefinisikan oleh Ø (0) = I,

Ø (1) =S dan Ø (2) = S².

Ø(1+2) = Ø (0) = i = S.S² = Ø(1). Ø(2)

Selidikilah bahwa Ø(0+1) = Ø (0). Ø(1)

Ø(0+2) = Ø(0). Ø(2)

Jadi Ø suatu homomorpisma. Nampak bahwa Ø suatu pemetaan satu-satu dan onto maka Ø suatu isomorpisma. Jadi B ~ G.

Contoh 3.13

C = { 0,1,2,3} terhadap operasi penjumlahan modulo 4 adalah suatu grup. Pemetaan ⱷ memetakan setiap elemen B ke elemen C yang mempunyai periode sama. Tunjukkan bahwa ⱷ suatu isomorpisma. Disusun tabel operasi bagi tiap-tiap grup.

Tabel 3.5 (B; - ) mod 5 Tabel 3.6 ( C; + ) mod 4

4,3,2,1B terhadap operasi perkalian modulo 5 merupakan suatu grup.

∙ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

• Periode elemen-elemen dalam 8 adalah p (1) = 1, p (2) = 4, p (3) = 4 dan p (4) = 2. Periode elemen-elemen dalam 0 adalah p (0) = 1, p (1) = 1, p (2) = 2, dan p (3) = 4,.

• Mengingat definisi pemetaan di atas, yaitu pengawasan elemen-elemen yang berperiode sama, maka peta (bayangan) setiap elemen B ke C dapat diambil sebagai berikut: didefinisikan oleh

Ambil elemen-elemen dalam B untuk menunjukan bahwa suatu Homomorpisma.

• Dan sebagainya.Jadi suatu homomorpisma.

Kiranya jelas bahwa suatu pemetaan satu-satu dan onto, maka suatu isomorpisma.

The And……….

Wassalamualaikum Wr Wb