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1 MISE EN ŒUVRE, GESTION ET EVALUATION DES TACHES COMPLEXES DANS LE CADRE DU SOCLE COMMUN Mars 2011 ANNEXES INSPECTION PEDAGOGIQUE REGIONALE DE MATHEMATIQUES http://maths.ac-reunion.fr/
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MISE EN ŒUVRE, GESTION ET EVALUATION
DES TACHES COMPLEXES
DANS LE CADRE DU SOCLE COMMUN
Mars 2011
ANNEXES
INSPECTION PEDAGOGIQUE REGIONALE DE MATHEMATIQUES
http://maths.ac-reunion.fr/
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Sommaire
I. ANNEXES : Productions d’élèves Ŕ Exemples de mise en œuvre Ŕ
Commentaires ...................................................................................................... 3
1) Sur l’activité : Nombre de saphirs d’un collier – 5ème .................................................. 3 a) Sujet ......................................................................................................................... 3 b) Commentaires concernant le déroulement de cette activité ..................................... 3 c) Productions d’élèves ................................................................................................ 4
2) « Séquences déductives » en 5ème
– Règles du débat mathématique ............................. 6
a) Sujet ......................................................................................................................... 6 b) Productions d’élèves ................................................................................................ 7 c) Phase de correction .................................................................................................. 8 a) Prolongement – Evaluation sommative ................................................................... 8
3) Sur une narration de recherche : Points sur un cercle et nombre de cordes – 4ème
...... 11
a) Sujet ....................................................................................................................... 11
b) Productions d’élèves .............................................................................................. 11
4) Mise en œuvre d’une tâche complexe sur le théorème de Pythagore suivi d’une
évaluation sommative – 4ème
................................................................................................ 14 a) Sujet ....................................................................................................................... 14 b) Mise en œuvre ........................................................................................................ 14
c) Objectifs ................................................................................................................. 16 d) Analyse à postériori ............................................................................................... 16
e) Exemples de copies d’élèves ................................................................................. 17 f) Prolongement – Evaluation sommative ..................................................................... 19
5) Narration de recherche et raisonnement sur le théorème de Pythagore en 4ème
........... 22
a) Sujet ....................................................................................................................... 22 b) Productions d’élèves .............................................................................................. 22
i) La pratique des narrations de recherche favorise le raisonnement dans les phases
de recherche .................................................................................................................. 22
ii) La pratique des narrations de recherche permet de voir le réinvestissement de
certaines méthodes de recherche ou de rédaction ........................................................ 26
i) La pratique des narrations de recherche permet de cibler les erreurs dans un but de
remédiation ................................................................................................................... 27 6) Mise en œuvre d’une tâche complexe en 3
ème .............................................................. 28
a) Sujet initial ............................................................................................................. 28 b) Sujet modifié .......................................................................................................... 28 c) Mise en œuvre – Evaluation formative .................................................................. 28
d) Aides « à priori » possibles .................................................................................... 29 e) Objectifs ................................................................................................................. 30 f) Prolongement – Evaluation sommative ..................................................................... 30 g) Bilan ....................................................................................................................... 31
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I. ANNEXES : Productions d’élèves Ŕ Exemples de mise en
œuvre Ŕ Commentaires
1) Sur l’activité : Nombre de saphirs d’un collier Ŕ 5ème
a) Sujet1
1) C
ombiens
de
saphirs
faudra
t-il au bijoutier pour un collier qui comprend :
1 triangle ?
2 triangles ?
4 triangles ?
7 triangles ?
20 triangles ?
75 triangles ?
2) Le bijoutier voudrait connaître à l’avance le nombre total de saphirs dont il a besoin
pour n’importe quel collier ayant un nombre de triangles fixé.
Peux-tu l’aider ?
3) Le bijoutier a utilisé pour un collier 49 saphirs.
De combien de triangles le collier était-il composé ?
4) Le bijoutier a utilisé pour un collier 358 saphirs.
De combien de triangles le collier était-il composé ?
b) Commentaires concernant le déroulement de cette activité
Lors du débat, le professeur a discuté avec les élèves de ce qui n’allait pas dans leur
production et ils ont débattu ensemble des compétences acquises ou en cours d’acquisition
(C1, C2, C3, C4).
Le professeur a pris soin de valoriser, cibler ce qui était bien puis de voir avec eux ce qui
n’allait pas.
Après la phase de débat, le professeur a vu avec les élèves l’utilité du tableur pour
résoudre les questions 3) et 4).
Cela est une première approche des résolutions d’équations sans passer par la méthode
« experte » (et donc dans « l’esprit du socle »)
1 Extrait modifié du livre Transmath - 5ème
4
c) Productions d’élèves
Ici, les élèves passent d’un schéma à un
raisonnement pour aller « plus vite » à partir de
quatre triangles. (C3).
Ici, le professeur a débattu avec les élèves de ce qui
n’allait pas (C4) même si le raisonnement était bon
(C3).
Le professeur ici a discuté avec les élèves du « caractère
générique » des calculs pour introduire le calcul littéral.
Les élèves ont réussi à « inverser » les opérations mais le calcul
est mal présenté (C4).
Copie d’un élève lors de la phase individuelle qui parle
« d’opérations inverses ».
L’élève a bien cerné le sens des opérations. Il a bien
raisonné (C3). Les compétences du socle sont acquises.
Il convient ensuite pour cette élève de donner des
« équations » (en 4ème
) qui ne sont plus « inversibles » afin
qu’ils perçoivent l’intérêt des résolutions algébriques et
l’insuffisance des méthodes arithmétiques à partir d’un
certain degré de complexité.
5
Copie intéressante d’un
élève « moyen » :
Dans cette classe, deux travaux
de groupe avaient déjà été
effectués cette année et une
narration de recherche.
Cela a permis à cet élève moyen
d’avoir des « repères »
méthodologiques.
La capacité C1 est bien acquise :
« j’ai commencé par extraire les
infos importante » (les élèves ont
fait la recherche individuelle en
cours.
Sur le mur sont affichés les 7
piliers et les 4 compétences C1,
C2, C3, C4. Quotidiennement,
dans les cours, le professeur s’y
réfère.)
Cet élève a intégré la capacité C1
et les solutions proposées lors des
narrations de recherche lui
servent de repères, de
méthodologie (« je me suis
rappelé que pour la narration de
recherche, on avait fait des
dessins »).
Ci-dessous, sa grille d’auto-
évaluation. Cet élève s’est assez
bien auto-évalué : Il perd en effet
des points pour C4.
Lorsque le professeur lui a parlé
de sa copie, il pensait tout de
suite que c’était pour en dire « du
mal ».
Le professeur a vraiment senti
dans les yeux de cet élève une
certaine satisfaction, de la fierté
et une motivation à ce moment là.
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2) « Séquences déductives » en 5ème
Ŕ Règles du débat mathématique
a) Sujet
La figure suivante est faite à main levée.
Pierre dit à Jade : « Je suis certain que les points A, B et E sont alignés ! »
Jade lui répond : « Tu te trompes mon cher Pierre ! Ils ne le sont pas !»
Qui a raison ? Justifie ta réponse.
Pour ta justification, tu pourras rédiger sous forme d’une narration de recherche :
Tu pourras écrire tout ce que tu observes, tout ce que tu remarques, tout ce que tu es capable de dire
en rapport avec cet exercice.
Toute trace écrite comptera dans la notation.
Cet exercice a été donné en devoir à la maison.
Il a pour but d’initier au raisonnement déductif et notamment de travailler sur la règle du
débat mathématique :
« Il ne faut pas se fier à ce que l’on voit sur une figure ».
Cet exercice n’a pas été réussi par beaucoup d’élèves.
Les élèves n’ont pas suivi la consigne et beaucoup se sont fiés au schéma où à la figure
qu’ils avaient reproduite.
Le point positif est venu lors de la correction et des résultats meilleurs ont été observés
lors d’une évaluation sommative. (Voir c) et d)).
SOCLE COMMUN : Pilier 3
C1 C2 C3 C4
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b) Productions d’élèves
Elève 1
Elève 2
Cet élève, d’un bon niveau n’a pas trouvé la réponse et s’interroge même sur l’utilité de cet exercice.
Ce qui est intéressant est que lors de la correction, le professeur a montré ce qu’il fallait faire en
suivant les quatre capacités (voir c)), l’élève a fait alors comme remarque : « mais en fait Monsieur,
c’était trop facile cet exercice ! ».
Là encore, le professeur a senti un intérêt pour la correction et une motivation à mieux faire lors du
prochain exercice. Lors de l’évaluation sommative (voir d)), l’élève a d’ailleurs mieux fait même s’il
n’est pas allé au bout du raisonnement.
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c) Phase de correction
Lors de cette phase, les élèves se sont rendu compte qu’il y a toujours quelque chose à
faire dans un exercice. Ce qui semble avoir motivé au moins certains (cf. b)) dans la
résolution d’un exercice.
Fiche de correction projetée aux élèves :
a) Prolongement Ŕ Evaluation sommative
Le devoir à la maison a servi « d’évaluation formative ».
Les élèves ont ensuite eu un exercice lors d’une évaluation « sommative » en devoir
surveillé :
La figure suivante est faite à main levée.
Les points A, B et E sont alignés.
Alexandre pense que l’angle C D est un angle
droit. Es-tu d’accord avec Alexandre ?
Justifie ta réponse.
Tu pourras écrire tout ce que tu observes, tout ce
que tu remarques, tout ce que tu es capable de
dire en rapport avec cet exercice.
Toute trace écrite comptera dans la notation
SOCLE COMMUN : Pilier 3
C1 C2 C3 C4
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Globalement, cela a été mieux que lors du devoir à la maison : pour la plupart, la capacité
C1 a été acquise.
Le progrès s’est fait en C2 : les élèves ont mis en œuvre des connaissances concernant les
angles droits, les calculs d’angles.
Tous ne sont pas arrivés cependant à la conclusion. La capacité C3 est « en cours
d’acquisition » pour la classe pour cet exercice.
Elève 1
Exemple d’un élève où la règle du débat : « une constatation sur un dessin ne suffit pas à
prouver une propriété en géométrie » constitue un véritable obstacle qu’il faut travailler sur la
durée.
L’élève connaît son cours mais elle ne peut s’empêcher de faire confiance à son ancien mode
de validation.
La narration de recherche est ici un outil performant pour le professeur pour diagnostiquer
les obstacles auxquels sont confrontés les élèves.
Elève 2
Contrairement à l’élève 1, l’élève fait attention à ne pas se fier aux instruments de géométrie.
Elle met en œuvre des connaissances (C2) mais fait encore des erreurs de raisonnement (C3).
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Elève 3 et 4
Deux élèves qui mettent en place un raisonnement par l’absurde (C3).
A noter que le premier élève est une élève ayant de faibles résultats.
Son raisonnement est bon même si la présentation de la démarche (C4) peut être
améliorée.
Elève 5
Cet élève (d’un très bon niveau) a eu l’initiative de rédiger l’exercice suivant les quatre
capacités en repensant sûrement à la correction du devoir à la maison.
Il est clair que pour une élève comme elle, il faut être ambitieux et ne pas s’arrêter au
socle.
L’intérêt ici est que cette approche de l’exercice par compétence a servi de plan
« méthodique » dans la recherche et dans la mise en forme qui servira certainement à
l’élève dans d’autres problèmes y compris dans d’autres matières.
C’est d’ailleurs un des grands buts du socle commun : Transférer les compétences dans
d’autres domaines.
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3) Sur une narration de recherche : Points sur un cercle et nombre de cordes Ŕ 4ème
Cette narration de recherche a été donnée en début d’année (4ème
).
C’est un sujet classique sur les narrations de recherche concernant le nombre de cordes
que l’on peut tracer lorsque l’on a placé un certain nombre de points sur un cercle.
Le professeur a pu cibler avec les élèves les compétences acquises ou en cours
d’acquisition.
Les réponses de certains élèves ont permis au professeur de prolonger l’exercice sur
l’utilisation du tableur.
Ce qui est intéressant, c’est d’aborder un problème de plusieurs manières différentes, de
diversifier les « entrées » sur un même problème.
Cela permet le décloisonnement entre les différents « champs » du programme.
a) Sujet
Je place des points sur un cercle et je désire connaître le nombre de cordes (segments reliant
ces deux points) que je peux tracer en joignant deux quelconques de ces points.
Si j’ai 1 point, je peux tracer aucune corde.
Si j’ai 2 points, je peux tracer 1 corde.
Si j’ai 3 points, je peux tracer 3 cordes.
Si j’ai 4 points, je peux tracer 6 cordes.
1) Complète le tableau suivant :
Si j’ai… Je peux tracer :
5 points
6 points
7 points
12 points
20 points
108 points
2) Peux-tu connaître à l’avance le nombre maximum de cordes que tu peux tracer pour n’importe
quel nombre de points placés sur le cercle ?
b) Productions d’élèves
Exemple d’un élève qui se rend compte du « décloisonnement » entre les
différents champs du programme.
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Ici, la capacité C1 est clairement acquise
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Ces deux exemples ont permis ensuite d’exploiter le tableur et en montrer son intérêt.
Les élèves ont ainsi vu qu’un problème de géométrie peut se résoudre avec l’aide des
TICE.
La 1ère
copie était très intéressante : cet élève d’un niveau moyen a effectué une copie
double de calculs pour trouver la réponse (qui est une amorce de la récurrence !).
L’affichage de sa production permettra à cet élève de mesurer l’efficacité du tableur en
espérant qu’il l’utilise la prochaine fois !
De plus, cela a permis au professeur de le valoriser concernant la capacité C3 et de lui
indiquer qu’il fallait retravailler la capacité C4 car il n’y avait aucune explication.
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4) Mise en œuvre d’une tâche complexe sur le théorème de Pythagore suivi d’une
évaluation sommative Ŕ 4ème
a) Sujet
Sujet
Dans la figure ci-contre qui n’est pas vrai grandeur, on sait que :
ABC est un triangle rectangle en A
AB = 3 cm et AC = 4 cm.
BCDE est un carré.
Calculer l’aire de ACEDB
Cet exercice correspond à l’exercice 14 de « la banque de données » avec quelques
modifications.
b) Mise en œuvre
Une nouvelle approche de mise en œuvre a été mise en place favorisant le raisonnement
par le biais des narrations de recherche :
Phase individuelle : 5 minutes
Réflexion pendant 5 minutes environs où les élèves écrivent sur leur copie tous
leurs essais, démarches… Les élèves ont droit à tous les documents qu’ils
veulent.
Travail par groupe de deux : 15 minutes
Par groupe de deux, les élèves :
- Se concertent, échangent leurs idées et proposent des solutions.
- Ils prennent des notes sur leur feuille en distinguant la phase individuelle de la
phase de recherche (deux paragraphes différents)
Le professeur peut éventuellement donner de l’aide après que les élèves se soient
concertés (environs 5 minutes)
Phase de rédaction : 10 minutes
Les élèves repassent en phase individuelle et apportent les éléments nouveaux
dans la mise en forme de leur solution.
Les élèves ensuite doivent s’auto-évaluer sur les 4 compétences (Un barème a été
mis en place).
C1
C2
C3
C4
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Voici également (à titre indicatif) la fiche d’évaluation que le professeur a utilisée et les
aides qu’il avait préparées si besoin est :
GRILLE D’AIDE A L’EVALUATION DU PROFESSEUR Compétences du socle commun
et indicateurs d’évaluation
Critères de réussite
Barème+détails :
7,5 points
C1 : Rechercher, extraire et organiser l’information
utile
L’élève reformule le sujet. Il se pose des questions
sur la signification de l’énoncé. Il repère les mots
clés …
Bonne prise en compte des données L’élève comprend que la figure
est formée de deux « sous-
figures » : 1 point
Un triangle rectangle et un carré
On le voit implicitement :
- lors d’un essai de calcul d’aire si
la somme est apparente
- Si l’élève applique l’aire d’un
carré
- Si l’élève applique l’aire d’un
triangle rectangle ou Pythagore
1 pt
C2 : Calculer, réaliser, manipuler, mesurer,
appliquer des consignes, mettre en œuvre une
connaissance
L’élève fait des calculs. Il réalise des schémas,
utilise les TICE, applique correctement des
propriétés, met en œuvre des connaissances…
Mise en œuvre d’une connaissance :
- Sur Pythagore
- Sur l’aire
Application de Pythagore
correcte+BC correct : 0,5 pt + 1
pt (théorème bien appliqué et
calculs bien menés) : BC = 5cm Application aire d’un triangle :
0,5 pt Application aire d’un carré : 0,5 pt
2,5 pts
C3 : Raisonner, déduire, argumenter, engager une
démarche
L’élève s’engage dans une démarche
d’investigation, il raisonne, il cherche. A partir de
ses essais, il établit des conjectures, il les vérifie, il
essaye de les prouver…. Il arrive à formuler le
problème. L’élève trouve une ou plusieurs
méthodes, stratégies pertinentes, il change de piste
quand l’une n’aboutit pas. Il garde un esprit
cohérent.
Réponse à la solution par additivité des aires Aire carré correct : 5² = 25 cm²
0,5 pt
Aire triangle correct :
2
43 = 6 cm² : 0,5 pt
Additivité des aires + bonne
réponse: A = 25 + 6 = 31 cm² :
1 pt
2 pts
C4 : Présenter la démarche suivie, les résultats
obtenus, communiquer à l’aide d’un langage
adapté.
L’élève présente toutes les étapes de sa démarche.
Il rédige en utilisant un vocabulaire précis, adapté.
Il utilise les bonnes unités…. S’il y a un
changement de stratégie, cela est clairement
indiqué
Présentation démarche correcte. Bonne présentation de Pythagore :
1 point (dont Pythagore cité) Calculs bien menés et bien
présentés pour aire de : 1 point
Carré
Triangle
ACEDB
2 pts
Aides liées à cette tâche complexe
C1 As-tu bien repéré les données numériques et les autres données utiles ? Quelles sont
leurs significations ?
C1 De quelles figures classiques est formée cette figure ?
C2 Quelles connaissances peux-tu mettre en œuvre ?
C2 Connais-tu tes formules d’aires concernant ces figures ?
C3 Comment calculer l’aire totale grâce à tes remarques en C1 ?
C4 Tes calculs sont-ils bien présentés ?
C4 As-tu bien rédigé ta démonstration quand tu appliques un théorème ?
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c) Objectifs
On peut retrouver le même genre d’exercice dans les livres. Mais le plus souvent, il est
guidé, ce qui ne laisse aucune initiative à l’élève.
Ici, l’objectif est de traiter un exercice « classique » sur le théorème de Pythagore sous
forme d’une tâche complexe afin de former les élèves à d’autres compétences :
Les quatre capacités de la compétence 3 : C1, C2, C3, C4 (Notamment les élèves ont
droit à tous les documents, ils peuvent rechercher et extraire des informations utiles à
l’aide de documents divers).
Des items de la compétence 6 : Connaître et respecter les règles de la vie collective,
comprendre l’importance du respect mutuel.
Des items de la compétence 7 : Savoir s’auto-évaluer, être autonome dans son travail,
savoir travailler en équipe, manifester curiosité et créativité, savoir prendre des
initiatives.
d) Analyse à postériori
La première constatation est que cette nouvelle approche pour résoudre un exercice (qui
était noté) a motivé les élèves.
Beaucoup ont dit au professeur : « On a droit aux documents, c’est facile ! ».
Certains ont même eu l’idée d’aller chercher leurs formules dans leur agenda !
La phase de groupe a permis au professeur de moins intervenir concernant les aides liées
aux capacités C1, C2, C3, C4.
Ce sont les élèves qui s’entraidaient mutuellement dans la plupart des cas.
Beaucoup d’élèves ont ainsi compris le raisonnement.
Il y a eu cependant des erreurs de confusion entre aire et périmètre, ce qui faussait la fin
du raisonnement. La correction a été ainsi plus rapide.
L’auto-évaluation a permis aux élèves de s’interroger sur les critères de réussite
concernant ses compétences. Certains élèves ont ainsi repris une feuille distribuée en fin
d’année qui définit et décrit ces compétences.
Cela a été assez intéressant de gérer un exercice « traditionnel » par une nouvelle
approche qui a su susciter motivation et prises d’initiatives pour beaucoup d’élèves.
Finalement, le professeur n’est intervenu que lors de la correction pour cibler les erreurs et
pour débattre avec les élèves concernant la mise en forme de la solution.
Mais la phase de recherche (privilégiée dans le socle commun) a été pour la plupart gérer
par les élèves seuls et en équipe.
Cette gestion permet au professeur d’avoir un rôle d’animateur, de personne ressource.
Difficultés rencontrées :
Il n’est pas évident de gérer le temps car les élèves n’étaient pas habitués à ce genre de
mise en œuvre.
L’auto-évaluation n’a ainsi pas été efficace pour certains élèves.
Lors de l’évaluation sommative (voir f), certains élèves ont commis les mêmes erreurs
(rédaction, connaissance…). La fiche de suivi personnalisée développée dans le
paragraphe « grille d’évaluation » permet de noter dans ce cas l’évolution de chaque
élève.
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e) Exemples de copies d’élèves
Elève 1
Pour cet élève, le travail de groupe lui a permis de retrouver les formules concernant les aires.
Un effort concernant la présentation a été fait dans la 2ème
partie.
Il faut préciser que cet élève a débuté avec des difficultés de raisonnement en début d’année.
Il est clair que l’on peut voir un net progrès concernant cette compétence au regard de sa
production.
18
Elève 2
On voit ici l’intérêt d’un travail en équipe qui a permis au professeur de ne pas utiliser ses
aides et à l’élève de poursuivre l’exercice avec succès.
Il faut replacer également cette remarque dans le contexte du socle commun : l’acquisition du
socle commun est une nécessité pour tous, il s’adresse en particulier aux élèves en difficulté,
en échec scolaire.
Ici le travail en équipe a permis de mettre en commun des connaissances. Cela peut paraître
peu mais échanger ses idées, apprendre à travailler en équipe sont des compétences
nécessaires pour tout élève et éventuellement transférable dans la vie courante si on les forme
au quotidien.
Bien sûr, pour les autres élèves, le professeur se doit d’être ambitieux et ne surtout pas
s’arrêter à ce genre de remarques en étant plus exigeant.
Elève 3
19
Cette copie décrit bien l’apport du travail de groupe entre la phase de recherche et la phase de
mise en forme de la solution :
l’élève utilise au début les mesures sur la figure pour calculer l’aire du carré.
Cet élève utilise le théorème de Pythagore sans faire le lien avec l’exercice.
Le travail de groupe va lui permettre de corriger ses erreurs de raisonnement et de
structurer sa solution.
Là encore, le professeur n’a rien à faire pour cet élève lors de la correction !
f) Prolongement Ŕ Evaluation sommative
Le but de ce genre d’exercice et de sa mise en œuvre et de former les élèves aux
compétences du socle commun qui s’avèrent nécessaires pour tous les élèves.
Cependant, il ne faut bien sûr pas s’arrêter là et l’ambition pour tous est qu’ils sachent
ensuite résoudre ce genre d’exercice en totale autonomie lors d’évaluation sommative par
exemple.
Les élèves ont eu l’occasion de s’exprimer à ce sujet lors d’un devoir commun.
Beaucoup d’élèves ont réussi avec succès l’exercice.
La capacité C1 a été assimilée par tout le monde.
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Exercice du devoir commun
Sur la figure ci-contre qui n’est pas en vraie grandeur, on sait que :
• ABCD est un rectangle.
• AB = 8 cm / AD = 12 cm / CE = 10 cm.
Calculer l’aire du quadrilatère AECB.
Indication : AECB est composé de combien de figures ? Lesquelles ?
Rappel : • carré = c × c • triangle rectangle = (L × l) ÷ 2
• rectangle = L × l • cercle = π × r2
Pour cet exercice, toute trace de recherche même incomplète
comptera des points. Ne pas hésiter à écrire toutes vos idées.
Retour sur « l’élève 3 » précédent
B CH
A
A CO
B
D
U R
T
V
S
A B1 dm
C
D
60°30°
35°
55°
K MI
J
L
B D
AC
O
A B3 cm
C
x
y
x
u
v
t
z
E
F
B C
A
D
36°
36°
B
D
C
A
E
37°
35°
M
N
O
C D
5,5 cm
A
B C
U
V
4 cm
2,5 cm
2 cm
5 cm
O
A
K
B
L
R
S
T
I
3,6 cm4,8 cm
R
S I
T
7 cm
?
?11,2 cm
P
QU
T
V
105°
3 cm
5 cm
S T
L
5 cm
3 cm4 cm
R
E
F
N
10,5 cm
6 cm
13,5 cm
A
B
C
P
(d1)
(d2)
(d3)
A
C
B
D
O
H
E
G
F
A
C
B
D
$1$
$1$
$1$
B
A
C
F
D E
G
I
H
J
K
L
N
M
O
Q
PR
( d3)
( d1)
(d2)
A C
B
D
S MK
L
A B
D C
E
8 cm
12 cm
10 cm
Cet élève ne refait plus l’erreur de
mesurer sur la figure.
Il connait à présent ses formules :
il n’écrit pas la formule dans les
rappels mais bien celle qu’il avait
évoquée lors de la tâche complexe
précédente – voir au-dessus.
La présentation des calculs s’est
améliorée.
Il faut préciser que cet élève a eu des
difficultés en début d’année.
On peut voir ici une nette progression
concernant la présentation et le
raisonnement.
21
Autre exemple
Copie d’un élève ayant des difficultés en début d’année en Mathématiques.
Certes, il y a encore des choses à améliorer (orthographe, formule d’aire…) mais cette élève
connaît des choses et il a un bon début de démarche.
En lui permettant un écrit « libre » sous forme de narration de recherche, cela permet au
professeur de bien voir la chronologie de son raisonnement :
« puis j’ai eu un réflexe, ce n’était pas ( !) obligé de calculer l’hypoténuse»
et de valoriser ainsi les réussites partielles et cibler les points à retravailler.
22
5) Narration de recherche et raisonnement sur le théorème de Pythagore en 4ème
a) Sujet
Exercice 1 :
1) Reproduire la figure suivante en grandeur nature.
2) Démontrer que le triangle ADC est isocèle.
Tu pourras écrire toutes les idées, recherches, observations
que tu as eues (comme une narration de recherche). Toute idée
pertinente te rapportera des points.
Exercice 2 : (Extrait sésamath)
Tu pourras écrire toutes les idées, recherches, observations que tu as eues (comme une narration
de recherche). Toute idée pertinente te rapportera des points.
C1 C2 C3 C4
EA A EA A EA A EA A
Cet exercice a été donné en devoir à la maison.
Il a pour but de favoriser le raisonnement, la phase de recherche qui est privilégiée
notamment dans le socle commun.
La narration de recherche comme « méthode », « outil » pour exprimer son raisonnement
a été un levier efficace pour certains élèves. Cela leur a permis de s’imprégner du
problème, parfois en y passant du temps et finalement pour aboutir à la solution !
Il n’est pas sûr que si les élèves n’avaient pas pratiqué les narrations de recherche, ils
auraient passé autant de temps sur la recherche et n’auraient pas ainsi trouvé la solution.
b) Productions d’élèves
i) La pratique des narrations de recherche favorise le raisonnement dans les phases
de recherche
Elève 1
La copie de cette élève (concernant la résolution de l’exercice 2) est très intéressante.
Elle a rendu au moins une copie double de recherche (sous forme d’une narration) et cela
a porté « ses fruits ».
Ci-dessous, on peut voir des extraits qui montrent clairement sa progression, la
chronologie de ses recherches.
23
L’élève extrait les données utiles (longueur des diagonales perpendiculaires) mais ne sait
pas comment s’en servir au début.
24
Elle comprend ensuite avec les triangles rectangles qu’elle doit utiliser le théorème de
Pythagore.
C’est ensuite qu’elle réalise finalement l’utilité de la longueur de la diagonale.
Les points d’exclamations montrent bien sa satisfaction !
25
Elève 2
Exemple d’un élève qui pratique dans la phase de recherche un raisonnement par
chaînage arrière (pour l’exercice 1). Cela a permis de mettre en valeur ce type de
raisonnement dans la phase heuristique lors de la correction.
Elève 3
La copie de cet élève (exercice 1) est également intéressante :
L’élève comprend qu’il faut
utiliser le théorème de
Pythagore.
Cependant, on peut voir qu’il
fait une erreur lorsqu’il
l’applique.
La pratique de la narration de
recherche va lui permettre de
trouver son erreur comme on
peut le voir sur l’autre image.
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ii) La pratique des narrations de recherche permet de voir le réinvestissement de
certaines méthodes de recherche ou de rédaction
Elève 1
Dans le cadre de
l’initiation à la
démonstration, pour
aider dans la phase de
recherche, le professeur
avait travaillé sur
« extraire les données
sûres et non sûres d’une
figure » (C1). Cet élève
(et d’autres également)
a eu l’initiative dans sa
recherche de réinvestir
cette « méthode ».
L’élève ressent le besoin
d’expliquer alors sa
construction alors que
cela n’est pas demandé.
C’est ainsi qu’il va se
rendre compte de son
erreur !
Il va ensuite trouver la
longueur AD.
Ce qui est malgré tout
étonnant, c’est que
l’élève a ressenti le
besoin de calculer AD
pour construire la figure
(ce qui n’est pas utile).
Et il ne va pas réussir
ensuite la question 2° car
il ne fait pas le lien avec
ses résultats précédents !
Dans le cadre de
l’initiation à la
démonstration, pour
aider dans la phase de
recherche, le professeur
avait travaillé sur :
« extraire les données
sûres et non sûres d’une
figure » (C1).
Cet élève (et d’autres
également) a eu
l’initiative dans sa
recherche de réinvestir
cette « méthode ».
27
Elève 2
i) La pratique des narrations de recherche permet de cibler les erreurs dans un but
de remédiation
Cette élève reprend la
« méthode » concernant les
données sûres et non sûres.
Cependant, cela permet de voir
ici qu’une des règles du débat
mathématique (« Il ne faut pas se
fier aux instruments de
géométrie ») n’est pas encore
intégrée.
On peut voir également une
confusion entre un énoncé et sa
réciproque.
Là encore, cela permet au
professeur d’avoir une vision
plus fine des erreurs et des divers
raisonnements des élèves.
Dans le cadre de
l’initiation à la
démonstration, pour
aider dans la phase de
rédaction (C4), le
professeur avait travaillé
sur des organigrammes.
Cet élève a eu l’initiative
dans sa recherche de
réinvestir cette
« méthode ».
28
6) Mise en œuvre d’une tâche complexe en 3ème
a) Sujet initial
b) Sujet modifié
On s'intéresse dans cet exercice au réservoir de la fusée
XYZ2005, nouveau prototype de fusée interplanétaire.
Le volume de ce réservoir est-il suffisant pour que les
moteurs de la fusée fonctionnent pendant 10 minutes,
sachant que ces moteurs consomment 1500 litres de
carburant par seconde ?
c) Mise en œuvre Ŕ Evaluation formative
Phase individuelle : 5 minutes
Réflexion pendant 5 minutes environs où les élèves écrivent sur leur copie tous
leurs essais, démarches… Les élèves ont droit à tous les documents qu’ils
veulent. (Le cours et un formulaire sur les volumes de solides classiques
notamment)
Travail par groupe de quatre : 15 minutes
Par groupe de quatre, les élèves :
- Se concertent, échangent leurs idées et proposent des solutions.
- Ils prennent des notes sur leur feuille en distinguant la phase individuelle de la
phase de recherche. Ils doivent bien indiquer la chronologie dans leurs
raisonnements.
Le professeur peut éventuellement donner de l’aide après que les élèves se soient
concertés (environs 5 minutes).
On s'intéresse dans cet exercice au réservoir de la fusée XYZ2005,
nouveau prototype de fusée interplanétaire.
Ce réservoir est constitué d'un cône surmonté d'un cylindre, comme le
montre le dessin ci-contre.
Le diamètre du réservoir est de 6 m, le cylindre mesure 35 m de hauteur
et le cône 4 m de hauteur.
1. Calculer le volume total du réservoir ; on donnera d'abord la valeur
exacte en m3, puis la valeur en dm
3, arrondie au dm
3.
2. Le volume de ce réservoir est-il suffisant pour que les moteurs de la
fusée fonctionnent pendant 10 minutes, sachant que ces moteurs
consomment 1500 litres de carburant par seconde ?
29
Phase de rédaction : 10 minutes
Les élèves repassent en phase individuelle et apportent les éléments nouveaux
dans la mise en forme de leur solution.
Les élèves ensuite doivent s’auto-évaluer sur les 4 compétences (Un barème a été
mis en place).
d) Aides « à priori » possibles
Capacités Aides possibles Critères de réussites
C1 As-tu compris la question ? Peux-tu le reformuler,
l’expliquer à quelqu’un ?
Quelles sont les données importantes ? utiles ?
Numériques ?
Quelle est la consommation du moteur de la fusée ?
Qu’est-ce que cela signifie ?
De quoi est formé le réservoir de la fusée ?
Caractéristiques, données utiles pour calculer les volumes ?
L’élève repère les solides
classiques avec les éléments
caractéristiques permettant les
calculs de volumes.
L’élève comprend la question, il
extrait les données utiles et sait les
reformuler
C2 Que va t-il falloir calculer d’après vous ?
Que va-t-il falloir comparer ?
Quelles sont les connaissances que tu peux mettre en
œuvre ?
Quelles sont les formules que tu peux utiliser ?
Volume d’un cylindre ? d’un cône ?
1L = combien de dm3 ?
1 min = combien de secondes ?
10 minutes = combien de secondes ?
L’élève connaît ses formules
concernant le volume d’un cylindre,
d’un cône de révolution.
L’élève sait appliquer ses
formules
L’élève met en œuvre ses
connaissances concernant la
proportionnalité
L’élève sait effectuer des
conversions
C3 Volume total du réservoir ? Unités ?
Comment le convertir en dm3 ?
Consommation de la fusée ?
Réponse au problème ?
L’élève propose une suite
d’opérations cohérente permettant
d’obtenir le résultat.
L’élève arrive à calculer le
volume total de la fusée. A partir de
ce résultat, il arrive à conclure en le
comparant à la consommation de la
fusée.
C4 Unités respectées ? Arrondis respectées ?
Opérations, démarche bien explicitées ?
L’élève respecte les consignes
de présentation des calculs et du
résultat.
L’élève ordonne et structure
une solution, une conclusion, un
ensemble de résultats.
L’élève sait rendre compte de
la démarche de résolution selon une
forme qu’il choisit
L’élève propose un ou des
modes d’expressions ou de
représentations appropriées pour
exprimer le résultat d’une mesure,
d’un calcul (unité, précision…)
30
e) Objectifs
On peut retrouver le même genre d’exercices dans les livres. Mais le plus souvent, il est
guidé, ce qui ne laisse aucune initiative à l’élève.
Ici, l’objectif est de traiter un exercice « classique » sur les volumes sous forme d’une
tâche complexe afin de former les élèves à d’autres compétences :
Les quatre capacités de la compétence 3 : C1, C2, C3, C4 (notamment les élèves ont
droit à tous les documents, ils peuvent rechercher et extraire des informations utiles à
l’aide de documents divers)
Des items de la compétence 6 : Connaître et respecter les règles de la vie collective,
comprendre l’importance du respect mutuel
Des items de la compétence 7 : Savoir s’auto-évaluer, être autonome dans son travail,
savoir travailler en équipe, manifester curiosité et créativité, savoir prendre des
initiatives.
f) Prolongement Ŕ Evaluation sommative
Sujet donné en devoir surveillé afin d’évaluer les résultats du travail de groupe
Exercice 1 : 5 points
L’unité est le cm. AE = 3 cm.
Calculer le volume total de ce solide.
Tu présenteras ta démarche en figurant
toute piste de recherche même si elles n’ont
pas abouti
Exercice 2 : 5 points
On considère la balise ci-contre :
Calculer le volume total de cette balise (arrondir au dm3 près)
Tu présenteras ta démarche en figurant toute piste de recherche même si elle n’a pas abouti.
A
B C O
AO = 6 dm
BC = 4 dm
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g) Bilan
L’évaluation formative s’est bien passée.
Elle a permis de motiver tous les élèves, y compris les élèves en difficultés, ou en général
moins motivés.
Le travail de groupe a permis une « émulation » car certains élèves avaient trouvé peu de
choses en réflexion individuelle.
Le travail d’équipe a permis pour la plupart de trouver le volume total.
Mais peu d’élèves ont abordé la question liée à la proportionnalité.
Les quatre capacités C1, C2, C3, C4 ont servi de « plan » dans la recherche pour les
élèves.
La correction de l’exercice a été l’occasion de mettre en évidence les 4 capacités C1 à C4.
Elle a permis aussi de se mettre d’accord sur une bonne présentation de la démarche.
Le bilan de l’évaluation sommative est « mitigé » : l’exercice 1 n’a pas vraiment été
réussi.
Au contraire, beaucoup ont eu un bon raisonnement pour l’exercice 2.
La plupart ont réussi la capacité C1 pour les deux exercices.
Cela est peut-être dû à un manque de travail personnel car certains élèves moyens mais
qui font des efforts ont amélioré leurs résultats sur ce devoir.
