ANOMALIAS R(D), R(D*) Y R(J/ψ)
Jonathan Cardozo NunezCodigo 095300012016
Trabajo de grado para optar al tıtulo de Magıster en Ciencias - Fısica
DirectorJose Herman Munoz Nungo
CodirectorNestor Quintero Poveda
Universidad del TolimaFacultad de Ciencias BasicasMaestrıa en Ciencias - Fısica
Ibague2019
Tabla de Contenido
Lista de tablas 4
Lista de figuras 5
Introduccion 6
1. Modelo Estandar 71.1. Invarianza Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Espectro de partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Lagrangiano del ME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Decaimientos de mesones pesados 142.1. Decaimiento leptonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. Decaimiento Semileptonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Anomalıas R(D), R(D∗) y R(J/ψ) 253.1. Anomalıas en el modelo de dos dobletes de Higgs . . . . . . . . . 29
4. Conclusiones 31
5. Agradecimientos 32
A. Aspectos Basicos 39
B. Cinematica 44B.1. Cinematica de 1 a 2 cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44B.2. Cinematica de 1 a 3 cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45B.3. Coeficientes de amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46B.4. Factores de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47B.5. Valores numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
C. Modelo de dos dobletes de Higgs 51
3
Indice de tablas
1.1. Fermiones constituyentes de la materia [8]. . . . . . . . . . . . . . 91.2. Bosones intermediarios y el Higgs [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Valores de la hipercarga de las partıculas [2]. . . . . . . . . . . . 10
2.1. Fracciones de decaimiento para H → `ν`. . . . . . . . . . . . . . 162.2. Tipos de mesones considerando la notacion n2S+1LJ y JPC , don-
de n es el momento orbital, L el momento angular, S el spin, Jel momento angular total, P es la paridad y C la conjugacion decarga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. Predicciones y medidas experimentales para la fraccion de decai-miento del proceso B → D`ν`. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. Predicciones y medidas experimentales para la fraccion de decai-miento de canales H → V `ν`. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1. Resultados de la minimizacion del χ2 independiente de modelode las observables fısicas para los acoples CS1
y CS2. . . . . . . . 28
3.2. Resultados de la minimizacion del χ2 para las observables fısicasen el 2HDM de los acoples mH y tanβ. . . . . . . . . . . . . . . 30
B.1. Valores de los parametros requeridos en los calculos de este trabajo 50
4
Indice de figuras
1.1. Grafica de la funcion V (ϕ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Triangulo para la relacion de las constantes g y g′. . . . . . . . . 13
2.1. Decaimiento H → `ν` a nivel arbol. . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. Decaimiento H → P (V )`ν` a nivel arbol. . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Factores de forma para el decaimiento B → D`ν`. . . . . . . . . . 202.4. Diferenciales de decaimiento para B → Dτντ y B → Dµνµ. . . . 202.5. Factores de forma para el decaimiento B → D∗`ν`. . . . . . . . . 232.6. Factores de forma para el decaimiento Bc → (J/ψ)`ν`. . . . . . . 232.7. Diferencial de decaimiento para B → D∗µνµ y B → D∗τντ . . . . 242.8. Diferencial de decaimiento para Bc → (J/ψ)µνµ y Bc → (J/ψ)τντ . 24
3.1. Restricciones a los rangos de acoplamientos CS1y CS2
para lasobservables R(D), R(D∗), R(J/ψ), FD
∗
L y PD∗
τ . . . . . . . . . . . 283.2. Restricciones a los rangos de los parametros tanβ y mH± para
las observables R(D), R(D∗), R(J/ψ), FD∗
L y PD∗
τ . . . . . . . . . 30
A.1. Diagrama del triangulo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.2. Restricciones en el plano ρ, η, para el triangulo unitario, de ajus-
tes globales. Las regiones sombreadas se superponen consisten-temente alrededor de la region de ajuste global con un nivel deconfirza del 95 %. del triangulo unitario. . . . . . . . . . . . . . . 43
B.1. Decaimiento P → p1p2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44B.2. Decaimiento P → p1p2p3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45B.3. Diagrama de Dalitz para decaimiento a tres cuerpos en el estado
final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5
Introduccion
Recientemente se han reportado discrepancias entre las predicciones del Mo-delo Estandar y los resultados experimentales de las colaboraciones BELLE,LHCb y BaBar para los cocientes de las fracciones de decaimiento B(B →D(∗)τντ )/B(B → D(∗)`ν`) y B(Bc → (J/ψ)τντ )/B(Bc → (J/ψ)`ν`) llamadasanomalıas R(D), R(D∗) y R(J/ψ), respectivamente. Todos estos decaimientosse dan por la transicion b → cτντ a nivel de quarks. El estudio de estas ano-malıas es importante porque da la posibilidad de explorar escenarios de NuevaFısica mas alla del Modelo Estandar.
En la literatura se han propuesto diversos modelos que permiten resolver estasanomalıas como lo son leptoquarks, supersimetrıas, modelos W ′ o modelo de dosdobletes de Higgs, todos estos recurriendo a contribuciones mas alla del ModeloEstandar. En este trabajo asumiremos que estas tres anomalıas pueden ser ex-plicadas simultaneamente junto con las observables polarizacion de D∗ (FD
∗
L ) ypolarizacion del τ (PD
∗
τ ) a partir de Nueva Fısica que proviene de acoples esca-lares en el Lagrangiano debil considerando a la vez restricciones planteadas enla literatutra. Posteriormente se realizara un analisis independiente de modeloy en el modelo de dos dobletes de Higgs tipo II, ya que este tipo de modelopermite acoplar un doblete de Higgs unicamente a los fermiones de tipo up y elotro doblete a los de tipo down.
Este trabajo esta estructurado de la siguiente forma: el en Capıtulo 1 se haceun resumen de los aspectos fundamentales del Modelo Estandar necesarios parael desarrollo de la investigacion. En el Capıtulo 2 abordamos la dinamica delos decaimientos leptonoicos y semileptonicos considerando tambien los canalesexclusivos B(c) → `ν`, B → D(∗)`ν`, Bc → (J/ψ)`ν`. En el Capıtulo 3 se pre-senta el estado actual de las anomalıas y se desarrolla, en primera instancia, unmetodo independiente de modelo para encontrar regiones que brinden solucionesconjuntas a estas anomalıas y posteriormente en el modelo de dos dobletes deHiggs tipo II. En el Capıtulo 4 se presentan las conclusiones a las que llegamosal desarollar el trabajo y se dan posibles temas para investigaciones futuras rela-cionados con los resutlados obtenidos. Finalizamos con los anexos en los cualesse explican prodecimientos matematicos y se amplian detalles relacionados conel desarrollo del trabajo.
6
Capıtulo 1
Modelo Estandar
El Modelo Estandar (ME) [1–8] es la teorıa gauge que describe la dinamica delas partıculas fundamentales debido a las interacciones nuclear fuerte, nucleardebil y electromagnetica. El ME, propuesto por Glashow, Weinberg y Salam(GWS) [1], ha sido objeto de estudio por mas de 40 anos tanto a nivel teoricocomo experimental convirtiendose en uno de los modelos que mas ha sido some-tido, en la historia de la ciencia, a la prueba experimental.
SU(3)C⊗SU(2)L⊗U(1)Y [1–3] es la simetrıa asociada al ME que a su vez es elproducto tensorial de tres grupos unitarios que actuan sobre espacios de dimen-sion 3, 2 y 1, respectivamente. SU(3)C describe la interaccion fuerte o de color,responsable de producir estados ligados de quarks comunmente manifestadosen la naturaleza, hadrones, los cuales pueden ser bariones (quark-quark-quark)o mesones (quark-antiquark); tambien se han reportado estados que puedenser tetraquarks [4] (quark-antiquark-quark-antiquark) y pentaquarks [5] (quark-quark-quark-quark-antiquark), Los mediadores de esta interaccion son los gluo-nes los cuales no tienen carga electromagnetica y no interaccionan debilmente.SU(2)L corresponde a la interaccion debil o de sabor la cual solo actua sobre losquarks y los leptones, es la responsable de que estas partıculas dacaigan en otrasmas ligeras, los mediadores de esta interaccion son los bosones W± y Z0. U(1)Yesta asociado a la interaccion electromagnetica o QED por sus siglas en inglesy los mediadores de esta interaccion son los fotones, la interaccion electro-debilse describe por SU(2)L ⊗ U(1)Y .
1.1. Invarianza Gauge
La teorıa gauge a la que se hace referencia, son simetrıas que dejan invarianteslas ecuaciones de movimiento o el Lagrangiano que las genera.
En electrodinamica clasica, los campos electrico ( ~E) y magnetico ( ~B) estan
relacionados con el vector potencial ~A de la siguiente forma:
~B = O× ~A ; ~E = −OV − ∂ ~A
∂t,
7
donde V es el potencial electrico. Teniendo ahora una transformacion definidacomo:
~A′ = ~A+ ~Oχ ; V ′ = V − ∂χ
∂t,
se obtiene:
~B′ = O× ~A′
~B′ = O× ( ~A+ Oχ)
~B′ = (O× ~A) + (O× Oχ)
~B′ = O× ~A
~E′ = −OV ′ − ∂ ~A′
∂t
~E′ = −O(V − ∂χ
∂t)− ∂( ~A+ Oχ)
∂t
~E′ = −OV + O∂χ
∂t− ∂ ~A
∂t− ∂Oχ
∂t
~E′ = −OV − ∂ ~A
∂t
Observamos que los campos ~B y ~E permanecen igual y como el Lagrangianodepende de estos campos, quiere decir que es invariante bajo esa transforma-cion.
1.2. Espectro de partıculas
Para empezar describiremos las partıculas que conforman el ME o modeloGWS y sus principales caracterısticas.
Tenemos la primera generacion o primera familia de fermiones, partıculas queposeen un spin semientero (1/2) y que son las constituyentes de la materiaordinaria de nuestro mundo, estas partıculas transforman para la componenteizquierda como dobletes bajo el grupo SU(2)L de la siguiente manera [1–3]:
`L =
(ν
e
)L
; QL =
(u
d
)L
donde ` corresponde a leptones y Q a quarks, respectivamente, mientras quepara la componente derecha transforman como singletes,
uR, dR, eR.
En el ME no se considera componente derecha de los neutrinos νR, lo que im-plica que estos tengan una masa igual a cero.
Los quarks, que poseen carga de color y de sabor por lo cual interactuan fuertey debilmente y los leptones que al no poseer carga de color interactuan debil-mente. Existen tres familias o generaciones de quarks y leptones, en donde lasegunda y tercera familia transforman identicamente como la primera (ver Ta-bla 1.1). A estos fermiones tambien se les conoce como partıculas elementales.
Por otra parte se tienen los bosones (ver Tabla 1.2) que son los mediadores delas interaciones y se caracterizan por tener spin entero.
8
Quarksspin = 1/2
Leptonesspin = 1/2
SaborMasa(GeV)
CargaElectrica
SaborMasa(GeV)
CargaElectrica
u up 0.002 2/3 νL neutrino liviano (0− 2)×10−9 0d down 0.004 -1/3 e electron 0.000511 -1c charm 1.3 2/3 νM neutrino medio (0− 2)×10−9 0s strange 0.1 -1/3 µ muon 0.106 -1t top 173 2/3 νH neutrino pesado (0− 2)×10−9 0b bottom 4.2 -1/3 τ tau 1.777 -1
Tabla 1.1: Fermiones constituyentes de la materia [8].
Electrodebilspin = 1
Fuerte (Color)spin = 1
NombreMasa(GeV)
CargaElectrica
NombreMasa(GeV)
CargaElectrica
γ foton 0 0 g gluon 0 0
W− 80.39 -1Boson de Higgs
spin = 0
W+ 80.39 1 NombreMasa(Gev)
CargaElectrica
Z0 91.188 0 H Higgs 126 0
Tabla 1.2: Bosones intermediarios y el Higgs [8].
1.3. Lagrangiano del ME
Teniendo en cuenta que aunque el ME es bastante preciso en las predicciones,aun presenta algunas dificultades, entre las mas importantes estan explicar elorigen de las masas tanto en el sector de quarks como en el de leptones y lasmatrices de mezcla entre los fermiones. Para ayudar a resolver estas inconsis-tencias se propone un Lagrangiano que sea invariante bajo transformaciones delgrupo electro-debil SU(2)L⊗U(1)Y en donde el subındice L hace relacion a lastransformaciones que actuan solamente sobre las componentes izquierdas de losfermiones y Y es la hipercarga.
La expresion para el Lagrangiano del ME [2], considerando unicamente la pri-mera familia, es:
L =− 1
4GµνG
µν − 1
4FµνF
µν + iLDL+ ieRDeR
+ iνRDνR + |Dµϕ|2 −1
2λ2
(|ϕ|2 − 1
2η2
)2
− fe(LeRϕ+ eRLϕ
†)− fνe (LνRϕc + νRLϕ†c
).
(1.1)
9
Definiremos ahora cada uno de los terminos del Lagrangiano, para ello debemosiniciar con Dµ que es la derivada covariante [1–3] definida como:
Dµ = ∂µ + ig ~Aµ · ~T + i1
2g′YBµ (1.2)
donde ~Aa
µ, a = 1, 2, 3, es el campo gauge asociado a los generadores ~Ti
= τ i/2
de SU(2)L siendo τ i las matrices de Pauli (ver Apendice A) ademas T = 0 paraeR y νR y T = 1/2 para ϕ y L. Bµ es el campo gauge asociado al generador Yde las partıculas de U(1) (ver Tabla 1.3), g y g′ son constantes de acoplamiento.
Para que el Lagrangiano sea invariante la derivada covariante debe transfor-mar como:
D′µ = UDµU†, (1.3)
donde U es una transformacion del grupo.
Partıculas Hipercarga (Y)
νL y eL -1eR -2νR 0
ϕ+ y ϕ0 1
Tabla 1.3: Valores de la hipercarga de las partıculas [2].
Los campos gauge [2, 3] Gµν se definen como:
Gµν = ∂µAν − ∂νAµ − ig[AµAν −AνAµ] = GµνT, (1.4)
donde Aµ = Aµ ·T,
y el tensor Fµν tiene la forma,
Fµν = ∂µBν − ∂νBµ. (1.5)
El tercer termino de la Ec. (1.1) describe el movimiento libre de los fermionesizquierdos y su interaccion con los campos gauge, ası:
LDL =(νL eL
)D
(νLeL
), (1.6)
donde D = Dµγµ = ∂ − 1
2igT · A+
1
2ig′B [2].
El cuarto y quinto termino del Lagrangiano de la Ec. (1.1) corresponde a:
eRDeR = eR
(∂ − 1
2igT · A+
1
2ig′B
)eR
eRDeR = eR
(∂ + ig′B
)eR
(1.7)
10
νRDνR = νR
(∂ − 1
2igT · A+
1
2ig′B
)νR
νRDνR = νR
(∂)νR,
(1.8)
y son las expresiones que da la interaccion para el electron derecho y para elneutrino derecho respectivamente, el neutrino izquierdo aunque tiene hipercar-ga e isospin igual a cero no interactua con los campos gauge.
El sexto termino |Dµϕ|2 = (Dµϕ)∗i (Dµϕ)
irepresenta un escalar isotropico,
el cual describe tanto el movimiento libre de los campos escalares como su in-teraccion con los campos gauge Aµ y Bµ. Ademas es el termino que conlleva adarle masa a los bosones W± y Z0, calculos que mostraremos mas adelante.
Cuando el campo ϕ toma un valor de expectacion en el vacıo de η/√
2 el septimotermino desaparece
1
2λ2
(|ϕ|2 − 1
2η2
)2
. (1.9)
El octavo y noveno termino describe la interaccion de los fermiones con los cam-pos escalares, despues que el campo ϕ toma un valor de expectacion en el vacıodiferente de cero. Estos terminos dan masa, tambien diferente de cero, a losfermiones.
Para generar los terminos de masa de los fermiones y los campos gauge seusa el mecanismo de rompimiento espontaneo de la simetrıa donde uno de loscampos tiene un valor de expectacion en el vacıo diferente de cero.
Para explicar como ocurre el rompimiento espontaneo de la simetrıa partimosde un ejemplo basico como lo es un campo escalar real donde su Lagrangiano yHamiltoniano estan dados por [2],
L =1
2
(∂ϕ
∂xµ
)2
− 1
2m2ϕ2 − 1
4λ2ϕ4 (1.10)
H =1
2
(∂ϕ
∂t
)+
1
2
(∂ϕ
∂x
)+
1
2m2ϕ2 +
1
4λ2ϕ4. (1.11)
donde m es la masa de las partıculas descritas por el campo ϕ y λ una constan-te adimensional que caracteriza la interaccion entre partıculas. Consideramosahora un campo constante en el tiempo y espacio (su energıa cinetica es cero)
H = V (ϕ) ≡ 1
2m2ϕ2 +
1
4λ2ϕ4. (1.12)
La funcion V (ϕ) (ver Figura 1.1) [2], tiene mınimos en ϕ = m/λ y ϕ = −m/λlo que quiere decir que el vacıo tiene dos degeneraciones o sea dos energıas para
11
un mismo ϕ; la simetrıa se rompe cuando se elige uno de estos dos valores paraϕ. La Figura 1.1 y la expresion para el lagrangiano muestran que este ultimo essimetrico respecto a una transformacion discreta ϕ→ −ϕ [2].
Figura 1.1: Grafica de la funcion V (ϕ).
Al campo ϕ le aplicamos una transformacion de fase exp12 iτθ(x) y teniendo en
cuenta que se toma el valor de expectacion en el vacıo de η/√
2 lo podemosreescribir de la forma,
ϕ =1√2
(0
η + χ(x)
), (1.13)
donde η es una constante real y el campo χ(x) representa un meson escalarmasivo [2].
Definido esto, volvemos al sexto termino de la Ec. (1.1):
|Dµϕ|2 = (Dµϕ)∗i (Dµϕ)
i. (1.14)
Teniendo en cuenta el producto (ver procedimiento completo en el Apendice A)
Dµϕ =
(∂µ + ig ~Aµ · ~T + i
1
2g′YBµ
) 0η + χ(x)√
2
,
Dµϕ = −ig 1
2A−
(η0
)+i√
2
4(gA3 − g′Bµ)
(0η
),
(1.15)
donde
A± =
(A1 ± iA2√
2
), (1.16)
que al reemplazarlo en la Ec. (1.14) y hacer los respectivos calculos obtenemos:
|Dµϕ|2 =1
8(gA3 − g′Bµ)
2η2 +
1
4g2A−A+η2 (1.17)
12
Figura 1.2: Triangulo para la relacion de las constantes g y g′.
y al tener la equivalencia en la Ec. (1.16) para la notacion de carga de los boso-nes W± de la forma,
W± = A± (1.18)
los terminos de masa para los bosones intermediarios se pueden escribir como:
1
8g2η2Z2 +
1
4g2η2|Wµ|2, (1.19)
donde g viene de la relacion de la Figura 1.2 en la cual son evidentes:
g =√g2 + g′2,
g
g= cos θW y
g′
g= sin θW ,
donde el parametro θW es llamado el angulo de Weinberg [2].Una comparacion con las expresiones para los terminos de masa en el Lagran-giano nos da:
1
2m2ZZ
µZµ =1
8g2η2 → mZ =
1
2gη (1.20)
m2WW
µW ∗µ =1
4g2η2|Wµ|2 → mW =
1
2gη. (1.21)
Podemos concluir que el sexto termino (Ec. (1.14)) en el Lagrangiano (Ec. (1.1))es el que conlleva a generar las masas de los bosones W± y Z0.
Despues de la descripcion de los terminos del Lagrangiano del ME, finaliza-mos este capıtulo expresando el Lagrangiano efectivo mas general a la escalade energıa µ = mb, para los decaimientos, a nivel de quarks, de la transicionb→ c`ν en la cual se desarrolla este trabajo:
Leff =− 4GF√2Vcb{(1 + VL)lLγµνLcLγ
µbL + VR lLγµνLcRγµbR
+ SL lRνLcRbL + SR lRνLcLbR}+H.C.,
(1.22)
donde GF corresponde a la constante de acoplamiento de Fermi, Vcb es el ele-mento de la matriz de Cabibbo-Kobayashi-Mskawa [6–8] (ver Apendice A), VL,VR, SL y SR son los coeficientes de Wilson.
13
Capıtulo 2
Decaimientos de mesonespesados
En este capıtulo estudiaremos los decaimientos leptonicos y semileptonicos demesones pesados (H ), los cuales estan conformados al menos por un quarkpesado (c o b). Se obtendran las fracciones de decaimiento para los procesosH → `ν` y H → M`ν`, donde H = B,Bc, M es un meson pseudoescalar ovectorial y ` = µ, τ .
2.1. Decaimiento leptonico
Consideremos el decaimiento leptonico de un meson pesado H (qiqj) en dosleptones ` y ν`, donde el meson que decae es cargado y que el decaimiento seda por la interaccion debil a traves del mecanismo de aniquilacion (ver Figura2.1).
Figura 2.1: Decaimiento H → `ν` a nivel arbol.
La cinematica de este proceso de 1 a 2 cuerpos se presenta en el Apendice B.Su amplitud esta dada por:
A(H → `ν`) =GF√
2Vij〈0|JµA|H〉Lµ (2.1)
donde el braket equivale a la corriente hadronica la cual es axial JµA:
〈0|JµA|H〉 = ifH(p)µ, (2.2)
14
con fH siendo la constante de decaimiento del meson que decae, pµ es el momen-to del meson, Vij es el elemento de la matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa(CKM) [6, 7] (ver Apendice A) y Lµ la corriente leptonica,
Lµ = ¯γµ(1− γ5)ν. (2.3)
Tenemos ahora que calcular el ancho de decaimiento el cual esta dado por:
Γ(H → `ν`) =|A|2
16πm3H
λ1/2, (2.4)
dondeλ = m4
H +m41 +m4
2 − 2m2Hm
21 − 2m2
Hm22 − 2m2
1m22, (2.5)
con mH siendo la masa de quien decae y m1, m2 las masas de los leptones;asumiendo que los neutrinos (m2) tienen masa igual a cero, la Ec. (2.5) quedade la forma,
λ = m4H +m4
1 − 2m21m
2H = (m2
1 −m2H)2. (2.6)
Calculando ahora AA∗ = |A|2 de la siguiente manera,
|A|2 =1
2
(−ifHGf√
2Vijp
µLµ
)(ifHGf√
2V ∗ijp
θL∗θ
)
|A|2 =G2F f
2H |Vij |2
4
∑S1,S2
LµL∗θ
pµpθ,
(2.7)
al resolver la sumatoria en la parte leptonica se tiene:
|A|2 =G2F f
2H |Vij |2
2(Tr(�p2�p�p1�p+ �p2�p�p1�pγ5)) , (2.8)
donde por propiedades de la traza y acudiendo a la cinematica de uno a doscuerpos (ver Apendice B) se llega a
|A|2 =G2F f
2H |Vij |2
2
(4(2(p2 · P )(p1 · P )− (p2 · p1)(mH)2)
), (2.9)
para obtener finalmente:
|A|2 = 2G2F f
2H |Vij |2m2
Hm21
[1− m2
1
m2H
]. (2.10)
Al reemplazar la ecuacion anterior para |A|2 en la Ec. (2.4) se obtiene la formageneral para el ancho de decaimiento leptonico de un meson cargado H a dosleptones `, ν` (con mν` = 0):
Γ(H → `ν`) =G2F f
2H |Vij |2mHm
2`
8π
[1− m2
`
m2H
]2
. (2.11)
15
Y la fraccion de decaimiento estara dada por:
B(H → `ν`) =G2F f
2H |Vij |2mHm
2`
8π
[1− m2
`
m2H
]2
τH , (2.12)
donde τH corresponde al tiempo de vida del meson que decae.
En la Tabla 2.1 presentamos las predicciones del ME calculadas por noso-tros y las medidas experimentales de la fraccion de decaimiento de los canalesB+ → ¯ν` y B−c → `ν`, respectivamente, hay que tener en cuenta para cadacanal la masa del meson que decae, su tiempo de vida (τB o τBc) [8], el elementode la matriz CKM (Vub o Vcb) [8], la masa del lepton en el que decae (e, µ, oτ) [8] y la constante de decaimiento (fB o fBc) [9] pues estos varıan segun losparametros de la Ec. (2.12).
H → `ν` B(H → `ν`)ME B(H → `ν`)ExpB+ → e+νe (9.06± 0.76)× 10−12 < 9.8× 10−7 [8]B+ → µ+νµ (3.62± 0.30)× 10−7 < 1.0× 10−6 [8]B+ → τ+ντ (8.99± 0.76)× 10−5 (1.06± 0.24)× 10−4 [8]B−c → e−νe (2.02± 0.17)× 10−9
B−c → µ−νµ (8.07± 0.76)× 10−5
B−c → τ−ντ (6.48± 0.61)× 10−2
Tabla 2.1: Fracciones de decaimiento para H → `ν`.
2.2. Decaimiento Semileptonico
Consideremos ahora el decaimiento semileptonico de un meson pesado H (qj qi)en un meson pseudoescalar (P ) o un meson vectorial V , y, dos leptones ` y ν`,a nivel arbol y mediado por la interaccion debil.
Figura 2.2: Decaimiento H → P (V )`ν` a nivel arbol.
16
n L S J n2S+1LJ JPC Tipo de meson
1
00 0 11S0 0−+ Pseudoescalar (P)1 1 13S1 1−− Vectorial (V)
1
0 1 11P1 1+− Axial (A)
12 13P2 2++ Tensorial (T)1 13P1 1++ Axial (A′)0 13P0 0++ Escalar (S)
Tabla 2.2: Tipos de mesones considerando la notacion n2S+1LJ y JPC , donde n es el momentoorbital, L el momento angular, S el spin, J el momento angular total, P es la paridad y C laconjugacion de carga.
La cinematica para este proceso de 1 a 3 cuerpos se muestra tambien en elApendice B. Hay que tener en cuenta el tipo de meson en el cual decae el mesonpesado pues este puede ser escalar, pseudoescalar, vectorial, axial, tensorial, etc,(ver Tabla 2.2) y para cada uno de estos existe una dinamica puntual. En estetrabajo nos enfocamos en los decaimientos H → P`ν` y H → V `ν` donde H esel meson pesado, P y V son los mesones pseudoescalar y vectorial en el estadofinal.
Decaimiento H → P`ν`
Consideremos el decaimiento H → P`ν` donde H es el meson pesado y P esun meson pseudoescalar, medidado por la interaccion debil, considerando solola contribucion a nivel arbol con emision externa del boson W como se muestraen la Figura 2.2. Siguiendo el mismo proceso que en el decaimiento leptonicoiniciamos con su amplitud dada por la expresion:
A =GF√
2Vij〈P |JµV |H〉Lµ, (2.13)
En este decaimiento quien contribuye, de la corriente Jµ(V−A), es la parte vec-
torial JµV (a diferencia del decaimiento leptonico en el que contribuye la parteaxial) y teniendo en cuenta que la parametrizacion utilizada para el elementode matriz hadronica en este caso puden ser [13]:
〈P |JµV |H〉 = F+(t)(pH + pP )µ + F−(t)(pH − pP )µ, (2.14)
o
〈P |JµV |H〉 = F1(t)
[(pH + pP )µ − (m2
H −m2P )
tqµ]
+(m2
H −m2P )
tF0(t)qµ,
(2.15)donde q = pH − pP , q2 = t es el momento transferido y F1, F0 son los factoresde forma asociados con la transicion H → P y se relacionan con F+ y F− de lasiguiente manera:
F1 = F+ ; F0 = F+ +t
m2H −m2
p
F−, (2.16)
mH es la masa del meson que decae y mP la masa del meson en el estado final.Recordando que la corriente leptonica Lµ es la misma mostrada en la seccion
17
anterior (Ec. (2.3)) hacemos el mismo procedimiento calculando el cuadrado dela amplitud de decaimiento |A|2,
|A|2 =
(GF√
2VijH
µLµ
)(GF√
2VijH
αLα
)∗
|A|2 =G2F
2|Vij |2(HµHα∗)(LµL
∗α)
(2.17)
donde los productos HµHα∗ y LµL∗α son,
HµHα∗ = |f+(t)|2(pB + pP )µ(pB + pP )α + |f−(t)|2(pB − pP )µ(pB − pP )α
+ f+(t)f−(t) [(pB + pP )µ(pB − pP )α + (pB − pP )µ(pB + pP )α] ,
(2.18)
LµL∗α = [2(pl)µ(pν)α − (pl.pν)gµα], (2.19)
respectivamente.
Utilizando la cinematica de uno a tres cuerpos (Ver Apendice B) tenemos fi-nalmente la expresion para |A|2 de la forma,
|A|2 =2G2F |Vij |2
(|F+(t)|2cP1 + |F−(t)|2cP2 + F+(t)F−(t)cP3
), (2.20)
donde los cPi son los coeficientes que acompanan a los factores de forma y sepresentan expicitamente en el Apendice B.
Este resultado se verifico en el software Wolfram Mathematica [16] usando elpaquete FeynCalc [17, 18] siendo concordante con los obtenidos paralelamentepor nosotros.
A continuacion se considerara el canal pseudoescalar exclusivo B → D`ν`usando para los factores de forma F1 y F0 la parametrizacion de Caprini-Lellouch-Neubert (CLN) [14] utilizada en la Heavy Quark Effective Theory(HQET) [10–15, 60] (ver Apendice B). En la Figura 2.3 presentamos estos fac-tores en funcion del momento transferido q2, observando que el factor de formaF1 presenta la mayor contribucion a partir de 6 GeV, aproximadamente.
Por otra parte, la expresion para el diferencial de decaimiento para B → D`ν`esta dado por [8]:
dB =1
(2π)3
1
32m3B
|A|2dtdu. (2.21)
18
Integrando esta ecuacion respecto a la variable u y usando los lımites paraumax y umin como se muestran en el Apendice B, se obtiene el diferencial dedecaimiento, expresado convenientemente en amplitudes de helicidad [10–12],de la forma:
dBdt
= K`(t)
[H2
0 (t)
(1 +
m2`
2t
)+
3m2`
2tH2t (t)
], (2.22)
donde
K`(t) =G2F τB
192π3m3B
t√λ (m2
B ,m2D, t)
(1− m2
`
t
)2
(2.23)
H0(t) =
√λ(m2B ,m
2D, t)
tF1(t) (2.24)
Ht(t) =m2B −m2
D√t
F0(t), (2.25)
En la Figura 2.4 presentamos el diferencial de decaimiento para los canalesB → Dµνµ y B → Dτντ utilizando las amplitudes de helicidad [10–12] quedependen de los factores de forma F1 (Ec. (2.24)) y F0 (Ec. (2.25)). Parafinalizar esta seccion presentamos en la Tabla 2.3 las predicciones que obtu-vimos en el ME y las medidas experimentales para las fracciones de decai-mientos de los respectivos canales semileptonicos donde se puede observar queB(B → Dµνµ) ' 3B(B → Dτντ ).
H → P`ν` B(H → P`ν`)ME B(H → P`ν`)ExpB → Dµνµ (2.02± 0.3)× 10−2 (2.20± 0.10)× 10−2 [8]B → Dτντ (6.5± 0.71)× 10−3 (7.7± 2.5)× 10−3 [8]
Tabla 2.3: Predicciones y medidas experimentales para la fraccion de decaimiento del procesoB → D`ν`.
19
Figura 2.3: Factores de forma para el decaimiento B → D`ν`.
Figura 2.4: Diferenciales de decaimiento para B → Dτντ y B → Dµνµ.
20
Decaimiento H → V `ν`
Continuamos con el decaimiento semileptonico de uno a tres cuerpos H → V `ν`,donde V es un meson vectorial. La amplitud esta dada de la forma
A =GF√
2Vij〈V |Jµ(V−A)|H〉Lµ; (2.26)
observamos que en este decaimiento ambas corrientes, la vectorial y la axialcontribuyen y para cada una hay una parametrizacion [13]:
Para la corriente vectorial se tiene que
JVµ (H → V ) = 〈V |JVµ |H〉 =2V (t)
mH +mVεµνρσε
∗ν(pH)ρ(pV )σ, (2.27)
y para la corriente axial la parametrizacion es
JAµ (H → V ) = 〈V |JAµ |H〉 = (mH +mV )
(ε∗µ −
(ε∗ · q)q2
qµ
)A1(t)
−(
(pV + pH)µ −m2H −m2
V
q2qµ
)(ε∗ · q)
mH +mVA2(t)
+2mV (ε∗ · q)
q2qµA0(t).
(2.28)
Donde V (t), A1(t), A2(t) y A0(t) son los factores de forma y εµ es la polariza-cion del meson vectorial. En las Figuras 2.5 y 2.6 presentamos los factores deforma en funcion del momento transferido para los decaimientos B → D∗`ν` yBc → (J/ψ)`ν`.
De manera similar al proceso H → P`ν`, la amplitud al cuadrado del decai-miento H → V `ν` esta dada por la Ec. (2.17) y el tensor leptonico LµL
∗α por
la Ec.(2.19), mientras que el tensor hadronico HµHα∗ sı cambia y esta dadopor el producto de las ecuaciones (2.27) y (2.28) al cuadrado, obteniendose lasiguiente expresion para la amplitud al cuadrado:
|A|2 = 2G2F |Vij |2[V 2(t)cV1
+A21(t)cV2
+A22(t)cV3
+A23(t)cV4
+A21(t)A2
2(t)cV5
+A21(t)A2
3(t)cV6 +A22(t)A2
3(t)cV7 ],
(2.29)
donde los cVi son los coeficientes que acompananan a los factores de forma yque se presentan explıcitamente en el Apendice B. Como se puede evidenciar enla Figura 2.5 correspondiente a los factores de forma para el canal B → D∗`ν`los factores V y A0 son los que presentan mayor contribucion a la amplitud dedecaimiento siendo tambien A0 el factor con mas margen de error de los cuatro,mientras que para el canal Bc → (J/ψ)`ν` en la Figura 2.6 el que presentamayor contribucion es el factor A2.
21
Posteriormente integramos sobre la variable u siguiendo el mismo procedimientode la seccion anterior para el diferencial de decaimiento (Ec. (2.21)) y lo expre-samos nuevamente por conveniencia en factores de helicidad [10–12],
dBdt
= K`(t)
[A2A(t)
(1 +
m2`
2t
)+
3m2`
2tA2t (t)
], (2.30)
con
K`(t) =G2F τH
192π3m3H
t√λ (m2
H ,m2V , t)
(1− m2
`
t
)2
, (2.31)
A2A = A2
0(t) +A2‖(t) +A2
⊥(t), (2.32)
At(t) =
√λ(m2
H ,m2V , t)
tA0(t), (2.33)
y donde
A0(t) =1
2mV
√t
[(m2
H −m2V − q2)(mH +mV )A1(t)− λ(m2
H ,m2V , t)
mH +mVA2(t)
]
A‖(t) =2(mH +mV )√
2A1(t), A⊥(t) = −
2√λ(m2
H ,m2V , t)√
2(mH +mV )V (t).
(2.34)
Para finalizar graficamos B → D∗`ν` (ver Figura 2.7) y Bc → (J/ψ)`ν` (verFigura 2.8) y presentamos en la Tabla 2.4 los resultados obtenidos en el ME ylas medidas experimentales para las fracciones de decaimiento de algunos cana-les H → V `ν`, en donde podemos ver que B → D∗µνµ ' 4 (B → D∗τντ ) y queBc → (J/ψ)µνµ ' 3 (Bc → (J/ψ)τντ ).
H → V `ν` B(H → V `ν`)ME B(H → V `ν`)ExpB− → D∗µ−νµ (4.58± 0.10)× 10−2 (4.88± 0.10)× 10−2 [8]B− → D∗τ−ντ (1.22± 0.03)× 10−2 (1.88± 0.20)× 10−2 [8]B+c → J/ψµ+νµ (1.11± 0.09)× 10−2
B+c → J/ψτ+ντ (3.15± 0.22)× 10−3
Tabla 2.4: Predicciones y medidas experimentales para la fraccion de decaimiento de canalesH → V `ν`.
22
Figura 2.5: Factores de forma para el decaimiento B → D∗`ν`.
Figura 2.6: Factores de forma para el decaimiento Bc → (J/ψ)`ν`.
23
Figura 2.7: Diferencial de decaimiento para B → D∗µνµ y B → D∗τντ .
Figura 2.8: Diferencial de decaimiento para Bc → (J/ψ)µνµ y Bc → (J/ψ)τντ .
24
Capıtulo 3
Anomalıas R(D), R(D∗) yR(J/ψ)
Aunque hasta el momento no se ha reportado evidencia directa de Nueva Fısica(NF), todavıa existen algunas discrepancias con las predicciones del ME. Estasen particular, se han observado en los decaimientos del meson B, lo que consti-tuye un buen escenario para explorar efectos de NF ya que estos son sensiblesa los efectos de bosones escalares cargados, como los efectos de Higgs cargados.En especial, los decaimientos leptonicos B → `ν` y semileptonicos B → M`ν`,donde tambien se podrıa probar la universalidad leptonica, proporcionan unbuen campo para estudiar efectos de NF. Los cocientes de las fracciones dedecaimientos estudiadas por las colaboraciones BELLE (KEK B-factory) [22],LHCb (CERN) [23] y BaBar (PEP-II) [24] definidas como:
R(D) =B(B → Dτντ )
B(B → D`ν`), (3.1)
R(D∗) =B(B → D∗τντ )
B(B → D∗`ν`), (3.2)
R(J/ψ) =B(Bc → (J/ψ)τντ )
B(Bc → (J/ψ)`ν`), (3.3)
donde ` = µ, e, se muestran en la Tabla ?? junto con las medidas predichaspor el ME, donde a la discrepancia entre los valores de estos cocientes se lesconoce como anomalıas. Ademas en el transcurso de la realizacion del trabajoaparecieron reportes experimentales de otras dos observables fısicas, la fraccionde polarizacion de D∗, FD
∗
L [25, 26] y la polarizacion del lepton τ , PD∗
τ [27, 28]las cuales se incluyeron en los analisis pues dependen de la anomalıa R(D∗).
25
Observable Experimento ME
R(D)0.307± 0.037± 0.016 Belle [29]
0.440± 0.058± 0.042 BaBar [30]0.340± 0.027± 0.013 HFLAV [33]
0.299± 0.003
R(D∗)
0.283± 0.018± 0.014 Belle [29]0.332± 0.024± 0.018 BaBar [30]0.291± 0.019± 0.029 LHCb [31]
0.295± 0.011± 0.008 HFLAV [33]
0.258± 0.001
R(J/ψ) 0.71± 0.17± 0.18 LHCb [32] 0.282± 0.002
FD∗
L 0.60± 0.08± 0.035 [25,26] 0.46± 0.04
PD∗
τ −0.38± 0.51+0.21−0.16 [27, 28] −4.97± 0.013
Existen diversos modelos que permiten resolver estas anomalıas como lo es lepto-quarks [34–40] que son partıculas hipoteticas que permiten transformar, dentrode una misma familia, los quarks en leptones y los leptones en quarks o tambiensupersimetrıa (SUSY por sus siglas en ingles) [41–44] la cual es una simetrıahipotetica que podrıa relacionar las propiedades de los bosones y los fermioneso el modelo de dos dobletes de Higgs (2HDM por sus siglas en ingles) [45–51] elcual, como su nombre lo indica, contiene un par de bosones Higgs cargados y esel modelo que utilizaremos posteriormente en este trabajo, entre otros [52–57],todos estos recurriendo a contribuciones mas alla del ME o acoples de NF.
Siguiendo entonces estas contribuciones pero de una forma independiente demodelo, partimos con la expresion del Lagrangiano efectivo que incluye terminosde NF, pero resaltando que las interacciones que involucran neutrinos derechosy las tensoriales no se tendran en cuenta, es [12]:
Lefc = −4GFVcb√2
[(1 + CV1)(cLγµbL)(τLγµνL) + CV2(cRγ
µbR)(τLγµνL)
+ CS1(cLbR)(τRνL) + CS2
(cRbL)(τRνL)].
(3.4)
Donde GF es la constante de acoplamiento de Fermi, Vcb es elemento de la ma-trix CKM y los CX (X = V1, V2, S1, S2) son los coeficientes de Wilson los cualesconsideramos reales y se definen como [10–12]:
CV1= 1 + VL + VR, CV2
= 1 + VL − VR,CS1
= SL + SR, CS2= SL − SR.
(3.5)
En el ME CV1 = CV1 = 1 y los otros acoples de NF son cero (ver Ec. (1.22)).
Consideramos que el aporte de NF que permite dar posibles soluciones a lasanomalıas proviene de los acoples escalares CS1
y CS2por tal razon en este tra-
bajo, en cuanto a los factores de forma tanto en las amplitudes del ME y NF,adoptamos un desarrollo reciente tomado de la Ref. [58] donde la expansion dela HQET se evalua en la escala correspondiente a µ =
√mbmc con QCD.
Al final, encontramos las siguientes formulas numericas [59,60]:
RDRMED
= 1 + 1.49(CS1+ CS2
) + 1.02|CS1+ CS2
|2, (3.6)
26
RD∗
RMED∗
= 1 + 0.11(CS1− CS2
) + 0.04|CS1− CS2
|2, (3.7)
RJ/ψ
RMEJ/ψ
= 1 + 0.12(CS1− CS2
) + 0.04|CS1− CS2
|2, (3.8)
FD∗
L =
(RExpD∗
RMED∗
)−1
× (1 + 0.24(CS1− CS2
) + 0.08|CS1− CS2
|2 (3.9)
PD∗
τ =
(RExpD∗
RMED∗
)−1
× (1− 0.22(CS1 − CS2)− 0.07|CS1 − CS2 |2 (3.10)
La expresion, Ec. (3.8) fue obtenida por nosotros. Este metodo nos permitecalcular mas facilmente una region de parametros de forma independiente decualquier modelo en la cual las tres anomalıas y las dos observables puedan serresueltas de manera conjunta. Para ello desarrollamos una rutina (pulls) en elMathematica en la que utilizamos la minimizacion del χ2. La funcion χ2 vienedada por la suma de los “pulls” al cuadrado [61], es decir,
χ2 =∑i
pull2i , (3.11)
con los pull definidos como:
pulli =Oiexp −Oite√σi2exp + σi2te
(3.12)
donde Oexp y Ote, corresponden a los valores centrales de las expresiones ex-perimentales y teoricas presentadas en la Tabla ?? para las ecuaciones (3.6) -(3.10) y los σiexp,te hacen referencia a los errores experimentales y teoricos.
Producto de la minimizacion del χ2, se encontraron los valores mınimos para losparametros CS1
y CS2(ver Tabla 3.1). Ademas, consideramos las restricciones
planteadas en las referencias [12] y [19], correspondientes a B(Bc → τντ ) . 10 %y . 30 % respectivamente, dada por la fraccion de decaimiento,
B(Bc → τντ ) =G2F f
2Bc |Vcb|
2mBcm2τ
8π
[1− m2
τ
m2Bc
]2
τBc ×(1 +
m2Bc
mτ (mb +mc)εP
)(3.13)
donde εP = CS1− CS2
.
En este sentido la Figura 3.1 presenta el escaneo de los puntos producto dela minimizacion del χ2 considerando las restricciones planteadas anteriormentedonde podemos observar que para la region correspondiente a la restriccion me-nor al 10 % los puntos encotrados no brindan solucion a las observables fısicasmientras que para la region menor al 30 % sı es posbile encontrar una region
27
Pulli Valor mınimo
R(D) R(D∗) R(J/ψ) FD∗
L PD∗
τ χ2min CS1 CS2
2.53× 10−8 −0.37 1.51 −0.15 0.59 2.79 0.58 −0.49
Tabla 3.1: Resultados de la minimizacion del χ2 independiente de modelo de las observablesfısicas para los acoples CS1 y CS2 .
de parametros que da solucion conjunta a las anomalıas R(D), R(D∗), R(Jψ)y las observables FD
∗
L y PD∗
τ teniendo en cuenta que estas soluciones provienende los acoples escalares CS1
y CS2. Esta relacion entre el decaimiento leptonico
con el semileptonico es posible debido a que ambos procesos estan dados por lamisma transicion a nivel de quarks.
Figura 3.1: Restricciones a los rangos de acoplamientos CS1 y CS2 para las observables R(D),
R(D∗), R(J/ψ), FD∗
L y PD∗
τ .
28
3.1. Anomalıas en el modelo de dos dobletes deHiggs
Como mencionamos en la seccion anterior, existen diversos modelos que puedenbrindar posibles soluciones a las anomalıas R(D), R(D∗) y R(J/ψ), entre ellosel 2HDM (ver Apendice C) al cual recurrimos en este trabajo para corroboraro no la existencia de una posible region de soluciones a las anomalıas R(D),R(D∗) y R(J/ψ) conjuntamente.
El utilizar este modelo nos permite establecer de manera mas especıfica la de-pendencia de los acoples escalares de la NF de los coeficientes de Wilson CS1
y CS2en cada una de las anomalıas, pues en el 2HDM estos coeficientes estan
dados de la siguiente manera [62]:
CS1=mbmτ
m2H±
ξd ; CS2=mcmτ
m2H±
ξu, (3.14)
donde mH± es la masa del boson de Higgs cargado y ξd = tan2 β, ξu = 1parametros correspondientes al 2HDM tipo II, el angulo β es el angulo derotacion que diagonaliza las matrices de cuadrados de masa de los escalarescargados y de los pseudoescalares [45]. Redefiniendolos se tiene:
CS1 − CS2 = mτmb
(rcb − tan2 β
)m2H±
= GP (3.15)
CS1+ CS2
= −mτmb
(rcb + tan2 β
)m2H±
= GS , (3.16)
con rcb = mc/mb el cual en muchos analisis no se tiene en cuenta (≈ 0) [11,12,19] pero en nuestros calculos sı lo consideraremos. Ası la dependencia de estasobservables fısicas con los parametros tanβ/mH± es:
RDRMED
= 1 + 1.49GS + 1.02|GS |2, (3.17)
RD∗
RMED∗
= 1 + 0.11GP + 0.04|GP |2, (3.18)
RJ/ψ
RMEJ/ψ
= 1 + 0.12GP + 0.04|GP |2, (3.19)
FD∗
L =
(RExpD∗
RMED∗
)−1
× (1 + 0.24GP + 0.08(GP )2, (3.20)
PD∗
τ =
(RExpD∗
RMED∗
)−1
× (1− 0.22GP − 0.07(GP )2. (3.21)
Realizamos el mismo procedimiento que en la seccion anterior con el escanerde puntos pero esta vez para los parametros tanβ y mH± . De igual forma setienen en cuenta las restricciones B(Bc → τντ ) . 30 % y . 10 % ademas de lapropuesta por la referencia [63] para el decaimiento radiativo B(B → Xsγ) en
29
Pulli Valor mınimo
R(D) R(D∗) R(J/ψ) FD∗
L PD∗
τ χ2min mH tan β
≈ 0 −0.38 1.48 −0.15 0.58 2.73 1.31 0.23
Tabla 3.2: Resultados de la minimizacion del χ2 para las observables fısicas en el 2HDM delos acoples mH y tanβ.
la cual mH± > 295 GeV y la referencia [64] donde mH± > 79.3 GeV, tambiense tuvo en cuenta la restriccion dada por la fraccion de decaimiento B(B → τντ ).
Como resultado del escaneo de puntos (ver Tabla 3.2), en la Figura 3.2 evi-denciamos el espacio parametrico posible compatible con las cinco observablesfısicas: R(D), R(D∗), R(J/ψ), FD
∗
L y PD∗
τ , donde la region oscura correspondea los resultados obtenidos teniendo en cuenta unicamente las tres anomalıas ini-ciales mientras que la region gris contiene los resultados incluyendo las nuevasobservables donde es evidente que estas restringen en gran medida el espacioparametrico posible para darles solucion desde un escenario de NF. Se resaltaque en el 2HDM se sigue encontrando una region de parametros que explicarıade manera simultanea, las anomalıas, dependiente de los parametros tanβ ymH± considerando a su vez las restricciones planteadas anteriormente.
Figura 3.2: Restricciones a los rangos de los parametros tanβ y mH± para las observables
R(D), R(D∗), R(J/ψ), FD∗
L y PD∗
τ .
30
Capıtulo 4
Conclusiones
En este trabajo se realizo un estudio detallado sobre las discrepancias entrelas predicciones del ME y las medidas experimentales realizadas por las co-laboraciones BELLE, LHCb y BaBar para los cocientes de las fracciones dedecaimiento de canales semileptonicos de mesones pesados cargados (B y Bc)considerando en el estado final leptones pesados y livianos, llamadas anomalıasy representadas por R(D), R(D∗) y R(J/ψ). Estos procesos estan mediados anivel de quarks por la transicion b→ cτντ .
Consideramos que los aportes de NF que darıan solucion a estas anomalıasprovienen de los acoples escalares en el Lagrangiano (Ec. (3.4)) dados porCS1
(cLbR)(τRνL) y CS2(cRbL)(τRνL).
Estos acoples escalares de NF, CS1 y CS2 , se analizaron de forma independientede modelo considerando, inicialmente las restricciones dadas para B(Bc → τντ ). 10 % [12] y . 30 % [19], encontrando cuatro regiones de puntos donde es posi-ble resolver estas tres anomalıas conjuntamente. Por otra parte se incorporaronal analisis las observables polarizacion de D∗ y polarizacion del lepton τ en eldecaimiento B → D∗`ν`, que tambien dependen de estos acoples de NF. Eneste caso no encontramos regiones que puedan explicar conjuntamente las cincoobservables bajo las restricciones planteadas.
Se analizaron tambien estos acoples en 2HDM tipo II donde pasan a ser de-pendientes de tanβ y mH± . Se tuvieron en cuenta las mismas restricciones ante-riores mas las propuestas por [63] y [64], encontrandose un espacio parametricopermitido para mH± > 295 y 10 . tanβ . 35 en el cual se da solucion conjuntaa estas cinco observables fısicas.
Estos resultados nos dejan una guıa para seguir con el estudio de estas ano-malıas, bien sea considerando contribuciones diferentes a las escalares como lastensoriales, o estudiando las implicaciones de nuestros resultados en otros de-caimientos semileptonicos que se originan por la transicion b→ cτντ como porejemplo B → D∗2`ν`, Bs → Ds`ν`, Bs → D∗s`ν`, Bc → ηc`ν`.
31
Capıtulo 5
Agradecimientos
A Dios, mis padres poor soportarme y aguantarme, a los profores de la maestrıaen Ciencias-Fısica por sus ensenanzas, al grupo de investigacion Fısica de partıcu-las - teorico (QUARK) en especial a los profesores Jose Herman Munoz y CarlosVera que junto con el profesor Nestor Quintero hicieron posible este logro. Amis amigos por ayudarme y acompanerme en el proceso.
Agradezco especialmente a la Oficina de Investigaciones de la Universidad delTolima.
32
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38
Apendice A
Aspectos Basicos
Matrices de Pauli
Llamadas ası en honor al fısico austrıaco Wolfgang Ernst Pauli, estan relacio-nadas con el isospin y existen tres matrices de Pauli (τi) igual a la dimensiondel algebra de Lie del grupo SU(2), n2 − 1 [1–3]:
τ1 =
(0 11 0
)τ2 =
(0 − ii 0
)τ3 =
(1 00 − 1
)(A.1)
Las matrices de Gell-Mann son una generalizacion de las matrices de Pauli yson una representacion infinitesimal del grupo SU(3), son ocho matrices iguala la dimension del algebra de Lie:
λ1 =
0 1 01 0 00 0 0
λ2 =
0 − i 0i 0 00 0 0
λ3 =
1 0 00 − 1 00 0 0
λ4 =
0 0 10 0 01 0 0
λ5 =
0 0 − i0 0 0i 0 0
λ6 =
0 0 00 0 10 1 0
λ7 =
0 0 00 0 − i0 i 0
λ8 =1√3
1 0 00 1 00 0 − 2
(A.2)
Procedimiento relacionado con la Ecuacion (1.14)
A continuacion se muestra el procedimiento para el calculo del producto conte-nido en la (Ec. (1.14))
|Dµϕ|2
39
Iniciamos con la Ec. (1.15)
Dµϕ =
(∂µ − ig ~Aµ · ~T− i
1
2g′YBµ
) 0η + χ(x)√
2
.
Se resuelve primero el producto ~Aµ · ~T
~Aµ · ~T =
(0 11 0
)A1
2+
(0 −ii 0
)A2
2+
(1 00 −1
)A2
2,
~Aµ · ~T =1
2
(A3 A1 − iA2
A1 + iA2 −A3,
) (A.3)
donde ~T =1
2τi.
Volviendo a la ecuacion inicial, recordando que Y= 0 (ver Tabla (1.3))
Dµϕ =∂µ
0η + χ(x)√
2
− ig
2
(A3 A1 − iA2
A1 + iA2 −A3
) 0η + χ(x)√
2
− ig′
2YBµ
0η + χ(x)√
2
Dµϕ =− ig
2
((A1 − iA2)(η + χ(x))/
√2
−A3(η + χ(x))/√
2
)− ig
′
2
(0
Bµ(η + χ(x))/√
2
)
Dµϕ =
(−ig(A1 − iA2)(η + χ(x))/2
√2
igA3(η + χ(x))/2√
2
)+
(0
−ig′Bµ(η + χ(x))/2√
2
)
Dµϕ =
(−ig(A1 − iA2)(η + χ(x))/2
√2
igA3(η + χ(x))/2√
2− ig′Bµ(η + χ(x))/2√
2
)
Dµϕ =− ig
2
(A1 − iA2)√2
(η0
)+i
2
(gA3 − g′B)√2
(η0
)
Dµϕ =− ig
2A−
(η0
)+i√
2
4(gA3 − g′B)
(η0
)(A.4)
Teniendo en cuenta que se hizo la aproximacion (η + χ(x)) ≈ η.
40
Matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa
La matriz de Cabbibo-Kobayashi-Maskawa (CKM) [6,7] es una matriz unitaria3× 3 cuyos elementos son parametros fundamentales del ME. El desarrollo deesta matriz se inicia con el Lagrangiano de Yukawa expresado de la siguientemanera [3]:
− LY = Q′aLhabd φD′bR + Q′aLh
abu φU ′bR + h.c. (A.5)
donde QL =(UL DL
)acon U = (u, c, t)T y D = (d, s, b)T , los ındices a, b
= 1, 2, 3 indican las familias de quarks, hu y hd son matrices 3× 3 diagonaliza-bles (Mdiag
u y Mdiagd ) y los campos estan definidos por,
φ =
ϕ+
h+ v + iη√2
φ =
h+ v + iη√2
−ϕ−
.
(A.6)
Despues de realizar los procedimientos respectivos la Ec. (A.5) se expresa de laforma:
−LY =g√
2MW
(Mdiagd PR −Mdiag
u PL
)KDϕ+h.c.
+g
2MW
(DMdiag
d D + UMdiagu U
)h
+ig
2MW
(DMdiag
d γ5D − UMdiagu γ5U
)η,
(A.7)
donde el termino
K = U†LVL (A.8)
es la matriz de CKM, la cual brinda informacion sobre el acople de cualquierquark de los tipo up (u, c, t) con todos los de tipo down (d, s, b) es decir,permite cambio de sabor en las corrientes cargadas.
41
Existen distintas formas de parametrizar esta matriz pero una de las mas usadases la siguiente:
Vij =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
. (A.9)
Esta matriz tiene una particularidad y es que si definimos su cuadrado como:
V 2ij = VijV
†ij =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
Vud Vcd VtdVus Vcs VtsVub Vcb Vtb
, (A.10)
es posible representar las combinaciones de este producto como triangulos unita-rios en un plano complejo y donde el area de todos estos triangulos es la misma,la mitad de la invariante de Jarlskog (J = (3.18± 0.15)× 10−5) [66].
En la Figura A.1 se muestra el triangulo formado por la ecuacion,
VudV∗ub + VcdV
∗cb + VtdV
∗tb = 0, (A.11)
pero dividiendo en ambos lados de ella por VcdV∗cb [8], donde los angulos β, α y
γ estan definidos por:
β =φ1 = arg
(−VcdV
∗cb
VtdV ∗tb
),
α =φ2 = arg
(− VtdV
∗tb
VudV ∗ub
),
γ =φ3 = arg
(−VudV
∗ub
VcdV ∗cb
),
(A.12)
siendo (ρ, η) el vertice que aun sigue generando interes en investigadores (verFigura A.2). Finalmente y teniendo en cuenta las medidas y ajustes globales rea-lizadas a la matriz CKM, las magnitudes de sus nueve elementos, que ademasson los valores usados para los calculos en este trabajo, estan dados por [8]:
Vij =
0.97446± 0.00010 0.22452± 0.00044 0.00365± 0.000120.22438± 0.00044 0.97359+0.00010
−0.00011 0.04214± 0.000760.00896+0.00024
−0.00023 0.04133± 0.00074 0.999105± 0.000032
.
(A.13)
42
Figura A.1: Diagrama del triangulo unitario.
Figura A.2: Restricciones en el plano ρ, η, para el triangulo unitario, de ajustes globales. Lasregiones sombreadas se superponen consistentemente alrededor de la region de ajuste globalcon un nivel de confirza del 95 %. del triangulo unitario.
43
Apendice B
Cinematica
B.1. Cinematica de 1 a 2 cuerpos
A continuacion se presentara la cinematica del decaimiento de uno a dos cuerposP → p1p2 (ver Figura B.1).
Figura B.1: Decaimiento P → p1p2.
Definimos el momento transferido como P = p1 + p2, obteniendo las siguientesrelaciones:
(P − p1)2 = m22
(P − p2)2 = m21
(p1 + p2)2 = m2H
Las energıas y tri-momentos en terminos de masas en el sistema de reposo deP estan dadas por los siguientes productos escalares:
P · p1 =m2H +m2
1 −m22
2
P · p2 =m2H +m2
2 −m21
2
p1 · p2 =m2H −m2
1 −m22
2
44
B.2. Cinematica de 1 a 3 cuerpos
A continuancion se presentara la cinematica del decaimiento de uno a tres cuer-pos P → p1p2p3 (Ver Figura B.2).
Figura B.2: Decaimiento P → p1p2p3.
Definimos pij = pi+pj ym2ij = p2
ij , dondem212+m2
23+m213 = M2+m2
1+m22+m3
3.Se cumple:
m223 = (P − p1)2 = M2 +m2
1 − 2ME1 = t
m213 = (P − p2)2 = M2 +m2
2 − 2ME2 = u
m212 = (P − p3)2 = M2 +m2
3 − 2ME3 = s,
donde Ei es la energıa de la partıcula i en el sistema de reposo de M . Enese sistema, los momentos de las tres partıculas que decaen se encuentran enun plano [8] y se pueden establecer diagramas de Dalitz. En la Figura B.3presentamos el diagrama de Dalitz para el estado final de tres cuerpos π+K0pa 3 GeV. [8].
Figura B.3: Diagrama de Dalitz para decaimiento a tres cuerpos en el estado final.
45
Tenemos tambien que,
t+ s+ u = M2 +m21 +m2
2 +m23,
con lo cual se pueden establecer los siguientes productos escalares:
P · p1 =M2 +m2
1 − t2
P · p2 =M2 +m2
2 − u2
P · p3 =M2 +m2
3 − s2
p1 · p3 =u−m2
1 −m23
2
p1 · p2 =s−m2
1 −m22
2
p2 · p3 =t−m2
2 −m23
2
Teneindo en cuenta que las expresiones para las amplitudes de decaimiento segunla Ec. (2.21) se integran respecto a los parametros u o t, los lımites para estosson:
umax(t) = m2H +m2
2 −1
2t
((t+m2
H −m2P )(t+m2
2 −m21)−
√λ1[m2
H ,m2P , t]λ1[m2
1,m22, t]
)umin(t) = m2
H +m22 −
1
2t
((t+m2
H −m2P )(t+m2
2 −m21) +
√λ1[m2
H ,m2P , t]λ1[m2
1,m22, t]
)(B.1)
y
tmax(u) = m2H +m2
P −1
2u
((u+m2
H −m22)(u+m2
P −m21)−
√λ1[m2
H ,m22, u]λ1[m2
P ,m21, u]
)tmin(u) = m2
H +m2P −
1
2u
((u+m2
H −m22)(u+m2
P −m21) +
√λ1[m2
H ,m22, u]λ1[m2
P ,2 , u]
)(B.2)
Luego de realizar esta integral se tiene el diferencial de decaimiento el cual, otravez se tiene que integrar respecto a las variables t o u pero ya con los siguienteslımites,
umin = (mP +m1)2 ; tmax = (mH −mP )2
umax = (mH −m2)2 ; tmin = (m1 +m2)2,(B.3)
y con este prodecimiento se obtienen los valores para las fracciones de decai-miento.
B.3. Coeficientes de amplitud
A continuacion expresamos los coeficientes para los cuadrados de las amplitudesde los canales de decaimiento H → P`ν` y H → V `ν` respectivamente.
Para la Ec. (2.20) los coeficientes son:
cP1=4m2
P (u−m2H) + 4um2
H +m21(−m2
1 + t+ 4u)− 4u(t+ u)
cP2=(t−m2
1)m21
cP3 =2(2u− 2m2P −m2
1 + t))m21
46
y para la Ec. (2.29) son:
cV1=
8
(mV +mH)2[m4
V (m21 + t) + 2m2
V (m21 + t)(m2
1 − t− u) + 2u(m21 − t)(m2
H − t)
− (m21 − t)(m2
H − t)2 + 2tu2],
cV2 =−(mV +mH)2
(m2V t
2)[m4
V (m41 + 3m2
1t) + 2m2V ((m2
1 − t)(m21(−(m2
H − 3t))− 2t(m2H − 2t))
− 2tu(m21 + t)) + 4tu(m2
1 − t)(m2H − t) +m2
1(m21 − t)(m2
H − t)2 + 4t2u2],
cV3=−
m4V − 2m2
V (m2H + t) + (m2
H − t)2
m2V t
2(mV +mH)2[m4
V (m41 + 3m2
1t)
+ 2m2V ((m2
1 − t)(m21(t−m2
H)− 2m2H t)− 2tu(m2
1 + t)) + 4tu(m21 − t)(m2
H − t)
+m21(m2
1 − t)(m2H − t)
2 + 4t2u2)],
cV4 =−4(m4
1 −m21t)
t2[m4
V − 2m2V (m2
H + t) + (m2H − t)
2],
cV5=−
2(m2V −m
2H + t)
m2V t
2[m4
V (m41 + 3m2
1t) + 2m2V ((m2
1 − t)(m21(t−m2
H)− 2m2H t)
− 2tu(m21 + t)) + 4tu(m2
1 − t)(m2H − t) +m2
1(m21 − t)(m2
H − t)2 + 4t2u2],
cV6=
4m21(mV +mH)(m2
V −m2H + t)
(mV t2)[m2
V (m21 + t) + (m2
1 − t)(t−m2H)− 2tu],
cV7=
4m21(m4
V − 2m2V (m2
H + t) + (m2H − t)
2)(m2V (m2
1 + t) + (m21 − t)(t−m2
H)− 2tu)
mV t2(mV +mH).
Donde para ambos procedimientos mH es la masa del meson que decae, mP ymV son las masas de los mesones en el estado final y m1 es la masa del lepton.
B.4. Factores de forma
Los factores de forma para los decaimientos B → D`ν` y B → D∗`ν`, losexpresamos bajo la parametrizacion CLN [14] en un modelo independiente elcual describe la forma y la normalizacion de las medidas de los decaimientos enterminos de dos parametros ζH y ρM [15] y usados en la Heavy Quark EffectiveTheory (HQET) [10, 13–15, 60] y cuyos valores fueron tomados de The HeavyFlavor Averaging Group (HFLAV) [15].
47
Para F0 y F1 (Ec. (2.16)) se tiene:
ζ(t) = ζ(D)[1− 8ρ2Dz(t) + (51ρ2
D − 10)z2(t)− (252ρ2D − 84)z3(t)], (B.4)
donde
ζD =(41.57± 0.45stat ± 0.89syst)× 10−3, (B.5)
ρD =1.128± 0.027stat ± 0.023syst (B.6)
son los promedios generados teniendo en cuenta los exprimentos en los que semidieron y
z(t) =
√w(t) + 1−
√2√
w(t) + 1 +√
2(B.7)
con
w(t) =m2B +m2
D − t2mBmD
(B.8)
que es el resultado del producto de las cuadri-velocidades de los mesones delestado inicial y final.
Definimos tambien el factor S1 como un parametro dependiente de ζD
S1(t) = 1.0036(1−0.0068(w(t)−1)+0.0017(w(t)−1)2−0.0013(w(t)−1)3)ζD(t).(B.9)
Ası reescribimos los factores de forma F0 y F1 en funcion de estos nuevos parame-tros:
F1HQET (t) =mB +mD
2√mBmD
ζD(t)
F0HQET (t) =(mB +mD)2 − t
2√mBmD(mB +mD)
S1(t).
(B.10)
Con estas nuevas expresiones se grafican los factores de forma en funcion delmomento transferido q2 como se muestra en la Figura 2.3.
Ahora para V (t) , A1(t), A2(t) y A0(t) se tiene:
ζ(t) = ζ(D∗)[1− 8ρ2D∗z(t) + (53ρ2
D∗ − 15)z2(t)− (231ρ2D∗ − 91)z3(t)], (B.11)
donde
ζD∗ =(35.61± 0.11stat ± 0.41syst)× 10−3 (B.12)
ρD∗ =1.205± 0.015stat ± 0.021syst (B.13)
z(t) =
√w(t) + 1−
√2√
w(t) + 1 +√
2(B.14)
con
w(t) =m2B +m2
∗D − t2mBmD∗
(B.15)
48
Definimos tambien los factores idependientes R1, R2 y R0 de la forma:
R1(t) =R1D∗ − 0.12(w(t)− 1) + 0.05(w(t)− 1)2,
R2(t) =R2D∗ + 0.11(w(t)− 1)− 0.06(w(t)− 1)2,
R0(t) =R0D∗ − 0.11(w(t)− 1) + 0.01(w(t)− 1)2,
(B.16)
donde
R1D∗ =1.404± 0.032
R2D∗ =0.854± 0.020
R0D∗ =1.140± 0.114
(B.17)
Ası reescribimos los factores de forma V (t) , A1(t), A2(t) y A0(t) en funcion deestos nuevos parametros:
VHQET (t) =mB +mD∗
2√mBmD∗
R1D∗ ζ(t)
A1HQET (t) =(w(t) + 1)
√mBmD∗
mB +mD∗ζ(t)
A2HQET (t) =mB +mD∗
2√mBmD∗
R2(t)ζ(t)
A0HQET (t) =mB +mD∗
2√mBmD∗
R0(t)ζ(t)
(B.18)
Con estas nuevas expresiones se grafican los factores de forma en funcion delmomento transferido q2 como se muestra en la Figura 2.5.
Caso diferente ocurre con el decaimiento Bc → (J/ψ)`ν` pues la parametrizacionde sus factores de forma estan dados por la Perturbative QCD (pQCD) [20], conlos siguientes parametros:
V Bc→J/ψ =0.42± 0.01± 0.01, aV = 0.065, bV = 0.0015. (B.19)
ABc→J/ψ1 =0.46± 0.02± 0.01, aA1
= 0.038, bA1= 0.0015 (B.20)
ABc→J/ψ2 =0.64± 0.02± 0.01, aA2
= 0.064, bA2= 0.0041 (B.21)
ABc→J/ψ0 =0.52± 0.02± 0.01, aA0
= 0.047, bA0= 0.0017, (B.22)
y con estos parametros los factores de forma quedan expresados de la forma [10],
F (t) = F (0)exp[aF t2 + bF t
2], (B.23)
donde F es el factor de forma a utilizar y a y b son paramettros ajustados, deesta manera los factores de forma quedas expresados como:
VpQCD(t) =V Bc→J/ψexp[aV t2 + bV t
2]
A1pQCD (t) =ABc→J/ψ1 exp[aA1
t2 + bA1t2]
A2pQCD (t) =ABc→J/ψ2 exp[aA2
t2 + bA2t2]
A0pQCD (t) =ABc→J/ψ0 exp[aA0
t2 + bA0t2].
(B.24)
Con estas nuevas expresiones se grafican los factores de forma en funcion delmomento transferido q2 como se muestra en la Figura 2.6.
49
B.5. Valores numericos
A continuacion en la Tabla B.1 presentamos los valores numericos, tomadostodos de [8], para calcular cada uno de los decaimientos en el ME:
Parametro ValorGF 1.16637× 10−05 GeV 2
fB 0.2fBc 0.434mB 5.279 GeVmBc 6.2751 GeVmD 1.869 GeVmD∗ 2.01 GeVmJ/ψ 3.0969 GeVmb 4.18 GeVmc 1.28 GeVme 0.510 ∗ 10−3 GeVmµ 105.658 ∗ 10−3 GeVmτ 1.77682 GeVτB 1.638× 10−12 secτBc 0.507× 10−12 sec
Tabla B.1: Valores de los parametros requeridos en los calculos de este trabajo
50
Apendice C
Modelo de dos dobletes deHiggs
El 2HDM proporciona una extension mınima del sector escalar del ME quenaturalmente acomoda las pruebas de precision electro-debiles, dando lugar almismo tiempo a muchos efectos fenomenologicos interesantes [45]. La presenciade un doblete de Higgs adicional implica la existencia de tres bosones de Higgsneutros (h, H, A), dos cargados (H±) donde ambos dobletes (φ1) y (φ2) , seacoplan a todos los fermiones ademas, y dos bosones Goldstone (G± , G0), yto-dos definidos por las siguientes tranformaciones:
(cosβ sinβ− sinβ cosβ
)(ϕ+
1
ϕ+2
)=
(G+
H+
)(
cosα sinα− sinα cosα
)(h1
h2
)=
(H0
h0
)(
cosβ sinβ− sinβ cosβ
)(g1
g2
)=
(G0
A0
),
(C.1)
donde α es el angulo de mezcla para los bosones de Higgs, β es el angulo derotacion que diagonaliza las matrices de masa de los escalares cargados y de lospseudoscalares y es, tal vez, el parametro mas importante en los estudios del2HDM [45–51].
Es bien sabido que los bosones de Higgs tienen interacciones que violan el saborincluso a nivel de arbol, y tiende a inducir el fenomeno de violacion de sabor.Por lo tanto, como mencionamos anteriormente, consideramos seriamente untipo de 2HDM como una posibilidad para explicar las anomalıas mencionadasanteriormente, el tipo II ya que este tipo de modelo esta disenado para evitarlos acoplamientos que cambian el sabor del boson de Higgs neutro al acoplar undoblete de Higgs unicamente a los fermiones de tipo up y el otro a los de tipodown y del que hablaremos mas adelande.
51
Continuamos describiendo el 2HDM utilizando el potencial de Higgs que estadado de la forma [45–51]:
V =m211φ†1φ1 +m2
22φ†2φ2 −m2
12(φ†1φ2 + φ†2φ1) +1
2λ1(φ†1φ1)2 +
1
2λ2(φ†2φ2)2
+ λ3(φ†1φ1)(φ†2φ2) + λ4(φ†1φ2)(φ†2φ1) +1
2λ5[(φ†1φ2)2(φ†2φ1)2],
(C.2)
donde φ1 =
(0v1√
2
)y φ2 =
(0v2√
2
)son dos dobletes escalares de SU(2) con
v1 = v cosβ y v2 = v sinβ, ademas consideramos todos los parametros reales yestablecemos la observable:
tanβ = v1/v2 (C.3)
como un nuevo parametro que surge claramente del hecho de que ambos doble-tes de Higgs podrıan adquirir valores de expectacion en el vacıo y el cual debeser mayor que cero (tanβ > 0).
Tambien establecemos el Lagrangiano de Yukawa para este modelo que estadado por [45–51] :
LY = −Y dijQLiφ1dRj − Y uij QLiφ2uRj − Y lijLLiφ1eRj + h.c. , (C.4)
donde QL y LL son los dobletes de quarks y leptones derechos, dR, uR y eR sonlos singletes derechos de quark tipo down, up y leptones, respectivamente, Y d,Y u y Y l corresponden a las matrices de acoplamiento de Yukawa, i, j = 1, 2, 3son ındices de generacion y φ2 ≡ iτ2φ∗2 (donde τ2 es la segunda matriz de Pauli(Ec. A)).
Existen varios tipos de 2HDM [45] siendo el tipo II es el mas estudiado, yaque es la estructura presente en los modelos supersimetricos (MSSM) pero conuna diferencia crucial y es que en el 2HDM tipo II, en general, no tiene unlımite superior estricto en la masa del boson de Higgs mas liviano, que es unacaracterıstica importante del MSSM.
Como ya habıamos mecionado en este tipo, un doblete de Higgs se acopla alsector down de fermiones mientras que el otro se acopla al sector up, paraavidenciar estos acoples se define el Lagrangiano de Yukawa para este tipo de2HDM ;
− LY (tipo II) = ηD,0ij Q0iLφ1D
0jR + ξU,0ij Q0
iLφ2U0jR + sector leptonico + H.C.,
(C.5)
donde ηD,0ij y ξU,0ij son matrices 3 × 3 no diagonales, i, j denotan el indice de
familias, D0R hace referencia a los tres sigletes de quarks tipo down (D0
R ≡(d0R, s
0R, b
0R)T ) y U0
R a los tres sigletes de quarks tipo up (U0R ≡ (u0
R, c0R, t
0R)T ).
52
