28
*
Aquí se presenta otro tipo de modelaciones o estrategias
usadas para resolver problemas
Se usa preferentemente cuando los problemas involucran
multiplicaciones iteradas.
Como todo modelo matemático es también una herramienta
y no debe ser confundida como un contenido
Generalmente los problemas involucrados tienen que ver con
arreglos, permutaciones y combinatorias
De aquí deriva un concepto fundamental en la teoría
cordintoria “el principio multiplicativo “
* Estableceremos algunos conceptos a través de un problema –
lúdico
Problema: en una sala rectangular hay un ratón en cada
esquina. ¿Cuántos ojos ve cada ratón?
El razonamiento puede pensarse del siguiente
modo:
1.- Un ratón no puede ver sus propios ojos .
2.- Un ratón puede ver, eso sí, el par ( 2 ) de ojos de cada uno de
los tres ( 3 ) ratones restantes .
En consecuencia como Ud. ya bien ha supuesto, verá:
3 * 2 = 6 ojos
Habrá notado que éste no es un problema sencillo para un
alumno de primaria, porque además de multiplicar
(correctamente) requiere aquí de un razonamiento más elevado
Debemos habituarnos a gestionar problemas que requieran
precisamente de éste tipo de análisis y no quedarnos en el simple
cálculo atendiendo a modelos mecanizantes y a algoritmos
preestablecidos, que de esos, abundan los textos oficiales
Ahora le invito a estudiar otro problema tanto o más
interesante, que el anteriormente expuesto:
Problema 2.- se quiere confeccionar una bandera de tres
franjas iguales horizontales. para ello se dispone con tela de
colores diferentes: rojo, amarillo, verde y azul.
¿Cuántas de estas banderas distintas se pueden hacer?
Un procedimiento, es darse a la tarea de hacer todas las banderas, esta
estrategia, a pesar de lo entretenida, que pueda significar no es muy recomendable,
además de inconducente.
Algunas pueden ser :
Pero, si ahora razonamos del modo que sigue:
El modelo gráfico se puede representar como se indica:
1.- Para la franja 1 tengo 5 colores de telas distintas a elegir (rojo,
amarillo, verde azul y negro)
2.- Para la segunda franja me quedan 4 colores a elegir (recuerde
que ya eligió uno para la primera franja)
3.-Para la tercera franja nos quedan nada más que tres colores .
Entonces tendremos en total 5 * 4 * 3 opciones, o sea 60
banderas distintas.
¡No cree Ud. que son demasiadas para dibujarlas todas!
Volvamos a nuestra banderita tricolor (por el momento) .
¿Cuántas banderas distintas podemos diseñar con cada una
de las telas de modo que las tres franjas tengan el mismo color .
Efectivamente ¡una ¡ muy bien
pensado
Aquí va una :
¡ bonita eh!
Institucionalización conceptual: llamaremos arreglo monario de m
elementos al tomarlos de uno a la vez
El modelo matemático se escribe: a1
m = m
En este caso a 1
5 = 5
si ahora diseñamos una bandera con los mismos colores , pero con dos
bandas o franjas horizontales iguales
Podemos hacer, de acuerdo
al principio multiplicativo,
razonado anteriormente 5 * 4 =
20 banderas
Cuyo modelo matemático
corresponde a :
a 2
m = m ( m – 1 ) , y para este caso particular :
a 2
5 = 5 * ( 5 – 1 )
Si volvemos al diseño original, es decir :
a 3
m = m ( m -1 )( m – 2 ) , y para este caso particular ;
a 3
5 = 5 ( 5 – 1 )( 5 – 2 ) ,y así continuamos
a 4
5 = m(m – 1)(m – 2 )(m – 3 ) , y luego:
Hasta generalizar para m elementos (en este caso colores)
tomados de n formas (franjas) , obtenemos :
Demostración de la igualad anterior:
Ahora bien, aplicando un poco de algebra, podemos establecer
que:
a 1
m = m
a 2
m = m( m – 1 ) = a 1
m * ( m – 1 )
a 3
M =m( m – 1 )(m- 2) = a 2
m * ( m – 2)
a 4
m = = a 3
m * ( m – 3 )
a n
m = a 1n
m * ( m-n + 1 )
Ahora, si multiplicamos miembro a miembro estas
igualdades se obtiene:
a 1
M * a 2
M * a 3
M …………= m * a 1
M *(m – 1 ) * a 2
m * ( m – 2 )
……………….
De donde:
Que corresponde al modelo matemático de los arreglos o
coordinaciones que se pueden hacer con “ m “ elementos
tomados de “ n” en “n” .
Ejemplo: ¿cuántos números distintos de tres cifras se pueden
hacer con los dígitos : 9,8,7,6,5,4,3,2,1
En este caso tenemos : a 3
9 = 9*8*7 = 504 , que expresa el
número total de arreglos que se pueden hacer , esto es el número
total de números de 3 cifras que se pueden hacer con los dígitos 1
, 2 , 3 ………..9
Ahora bien, es más apropiado aplicar el principio
multiplicativo a este tipo de arreglos o coordinaciones.
Representemos el número en cuestión de tres cifras por
casilleros
Entonces, el total de arreglos será, de acuerdo al principio
multiplicativo: 9*8*7 = 504
Ahora si en el mismo problema consideramos que los dígitos se
pueden repetir, el razonamiento será:
que corresponde a 9 3 = 729
Las variaciones que podemos hacer respecto a las
interrogantes de éste problema pueden ser:
1.-¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con los
dígitos sin repetir 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Respuesta: 504
2.-¿Cuántos más se pueden formar , si los dígitos se pueden
repetir?
Respuesta: 729 – 504 = 225
Ahora le invito a un juego un tanto curioso
¡Sea usted natural!
Tome cualquiera de los números de tres dígitos antes
mencionado. Ejemplo 537.
Pongamos algunas condiciones
1.-Determine cuántos naturales se pueden obtener con tres dígitos
distintos.(llamaremos a ellos los semejantes “)
2.-Demuestre que al dividir la suma de todos los semejantes por la
suma de los valores de las tres cifra, el cociente invariablemente es
222. ¡Curiosa propiedad aditiva!
3.-Determine un cálculo rápido de su suma, sin buscar los
semejantes.
4.-Constate que la curiosa propiedad se conserva cuando las tres
cifras, o dos cualquiera entre ellas, son idénticas; algunos
semejantes son también idénticos descartando sólo el 000.
5.-Demuestre en virtud de la extraña propiedad, que son iguales
las sumas que corresponden a todos los conjuntos cuyos
semejantes poseen la misma suma de valores de sus tres cifras.
6.-Descubra de la misma manera, y luego en forma directa, que al
dividir un natural de tres cifras iguales (salvo el 0) por el triple el
valor de esa cifra, el cociente es siempre igual a 37.
Si a causa de los tiempos difíciles que corren (¡en lugar de
marchar!) usted desea un apoyo eficaz, he aquí algunas
indicaciones importantes, de verificación y después de
investigación, sobre cada uno de los seis puntos sucesivos de esta
medulosa guía.
a.- Un árbol es lo indicado para formar el conjunto de los
semejantes, cuyo cardinal sea 6 ( 3! ¡atención! )
b.-Se puede efectuar el cálculo del cociente primero en forma
numérica , por ejemplo con 2,5,7 o incluso 0,3,4 y después en
forma literal , pero conviene realizar la descomposición ordinal da
cada semejante antes de elaborar una tabla algorítmica de adición
c.- Éste cálculo rápido es consecuencia directa de la famosa
propiedad; constátelo con los naturales señalado anteriormente.
d.-Los ensayos con 2,8,8 , luego 5,5,5 e incluso 0,0,3 serán
concluyentes , pero no con el 0,0,0. por otra parte…
e.-Las sumas que corresponden a estos conjuntos “ equivalentes
constituyen el mismo múltiplo 222 ; un control con 2 , 4 ,7 y
4,4,5 es aleccionador.
f.- Ésta última consecuencia se verifica con 5,5,5 o 1,1,1 pero no
con 0,0,0 ; el 222 es además un múltiplo de 3! y por otra parte, aaa
= 111ª
Ahora compare sus respuestas.
Soluciones de ¡sea usted natural!
1.- Se puede expresar los naturales del conjunto por medio de èste
árbol, correspondiente al conjunto de 3 elementos cba ,,
El conjunto de los semejantes es pues cbacabbcabacacbabc ,,,,, y
su cardinalidad o número de elementos 3! = 6
2.- Ejemplo : cálculo con 2,5,y 7 ,sea 752,725,572,527,275,257
257 +275 + 527 + 572 + 725 + 752 = 3108
2 + 5 +5 = 14
Por consiguiente 3108: 14 = 222
Cálculo con: 0,3 y 4 sea: 034, 043, 304, 340, 403, 430
Cuya suma es: 34 + 43 +304 + 340 + 403 + 430 = 1554
y cuya suma de los dígitos corresponde a 0 + 3 + 4 = 7
Por consiguiente: 1554: 7 = 222
Ahora, generalicemos el problema, o más bien la deducción:
la descomposición ordinal de los naturales literales del conjunto y
su adición en una tabla algorítmica
Ahora definamos la
suma de los dígitos como
s = a + b + c
Entonces podemos
escribir: s = 222 s
O bien: s
S = 222
3.- La igualdad anterior , s = 222s , permite calcular
rápidamente s con s , por medio de una simple multiplicación
sin siquiera recurrir a los naturales del conjunto , así con los
naturales 2 , 5 y 7
s = 222 * ( 2 + 5 + 7 ) = 222 * 14 = 3108
y con : 0 , 3 y 4 : s = 222 * ( 0 + 3 + 4 ) = 222 * 7 = 1554
4.- Prueba con: 2 , 8 y 8 y también funciona
5.- Para dos conjuntos de sumas s y s ; s’ y s’ , tenemos que
:
s = 222 s y además s’ = 222 s’ , luego si : s = s’ , entonces s =
s’
Verificación :
con 2, 4 y 5 : s = 222 * ( 2 + 4 + 5 ) = 222 * 11 = 2442
con 3 , 7 y 1 : s’ = 222 * ( 3+ 7 + 1 ) = 222 * 11 = 2442.
6.- En efecto: con 5, 5 y 5 , los números serán
555 , 555 , 555 , 555 , 555 , 555 ( aquí no todos los cincos son
iguales , aunque naturalmente se escriben iguales , para ello es
más apropiado pensar en cincos de diferentes colores )
Entonces la suma corresponderá a : 555 * 6 = 3330 , o bien :
222 * ( 5 + 5 +5 ) = 222 * 15 =
3330
Ahora bien según la curiosa propiedad : s = 222 * ( a + a +
a ) = 222 * 3 a = 666 a
Ahora dando respuesta al problema: con 5 , 5 y 5 ; 555 :
15 = 37
Generalizando: si el número es aaa = 100 a + 10 a + a = 111
a : 3 a = 37
Este resultado no rige para el natural 000 , francamente
ordinal .
Este fascinante juego problema de los curiosos semejantes
aporta esencialmente una demostración literal de una propiedad
por descomposición ordinal de naturales y mediante una tabla
algorítmica.
Requiere como accesorios el conocimiento de factoriales y el
uso de un árbol de permutaciones.
Finalmente la calculadora puede resultar útil para las
demostraciones numéricas de verificación, pero para la
generalización sería necesaria una microcomputadora
programable.
Por último este es un problema en que el alumno puede usar la
calculadora con un propósito claro, cual es, hacer una deducción y
generalizar los muchos conceptos que aparecen involucrados.
¿quedó con ganas?
Ahora me atrevo a presentarle un nuevo juego -
desafío
¡Una vez más el 1089!
1089, es el número clave de un bonito truco de magia
numérica, perfecto para asombrar a los amigos. Ud. lo
conocerá a continuación y espero que también lo comprenda.
Elija un natural cualquiera de tres cifras, tal que la
primera sea mayor que la última.
Réstele el natural formado por las mismas cifras en orden
inverso (pero que no es su inverso)
Sume a esta diferencia su propio inverso y….¡
sorpréndase con el resultado!
El resultado del cálculo mencionado es independiente del
cardinal elegido en primer término, de manera que usted
puede adivinarlo y así montar este pequeño truco, incluso con
ayuda de una pequeña calculadora.
Me parece que usted se muere de ganas de demostrar la
propiedad operatoria que constituye la base de este truco de
magia y que es propia de ciertos cardinales de tres cifras. si
esto es verdad, a continuación le doy un bosquejo de
demostración posible, accesible y eficaz.
Designe el cardinal elegido con “abc” , con ab , y con
“d” la diferencia a-b , de una cifra .
Demuestre por medio de las descomposiciones ordinales
que la diferencia entre abc y cba es un múltiplo invariable de
d.
Calcule todos los valores posibles de la diferencia
anterior.
Finalmente a cada diferencia súmele su inverso, para caer
siempre en el previsible 1089.
No espere que me extienda más sobre este tema, otros
interesantes aguardan su turno y me están esperando.
Recuerde que hemos establecido un modelo matemático para
determinar el número de coordinaciones de m elementos tomados de n
en n:
Esto es : a n
m = m ( m – 1)( m – 2 ) ……….( m – n + 1 ).
Aquí va un par de ejemplos:
1.-¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden formar con
los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9?
Aquí m = 9 , n= 4 , luego aplicamos la fórmula;
a 4
9 = 9 *8 *7 * 6 = 3024
2.- ¿Cuántas patentes distintas se pueden hacer ( solo las letras )
con las letras de alfabeto ,tomando de a dos cada vez .
Aquí: m = 29 n = 2
Luego: a 2
29 = 29 * 28 *…………………..*28
Ahora bien, si se establece la condición de que cierto número de
elementos tienen que ocupar lugares fijos en los grupos que se formen, al
aplicar la fórmula, m y n se disminuyen en el número de elementos fijos
Ejemplos:
Con 10 jugadores de básquetbol. ¿De cuántos modos se puede
disponer el team de 5 jugadores si los pívots deben ser siempre los mismos?
Aquí hay dos jugadores que ocupan lugares fijos: m = 10 y
n = 5, pero tenemos que disminuir m y n en 2 , porque habiendo 2
jugadores fijos en dos posiciones, quedan 8 posiciones para ocupar las 3
posiciones que quedan, luego los arreglos de 3 que podemos formar con los
8 jugadores son:
a 3
8 = 8 * 7 *6 = 336 modos.
Agreguemos a esto una nueva interrogante
¿Cuál es la probabilidad mínima que tiene uno de los jugadores
que no son fijos de integrar el team elegido por el director
técnico?
Razonemos del siguiente modo:
1.- Un mismo jugador puede integrar más de un team elegido.
(En más de uno de las 336 coordinaciones diferentes)
2.-Al menos estará integrado a uno de ellos (al menos en uno de
los 336). Por tanto, tenemos
casos (mínimo) favorable = 1
casos posibles = 336
p = 336
1 * 100 = 0,29 %
con los dígitos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 . ¿Cuántos números de 5 cifras se
pueden formar si el 9 debe ser siempre la cifra central?
m= 9 m’ = 8
n = 5 n’ = 4 , luego entonces a 4
8 = 8 * 7 *6 *5 = 1680
Este problema también se puede plantear de acuerdo al principio
multiplicativo.
Si el número, lo representamos por el modelo:
Recuerde que el 9 es fijo y es la cifra central. por lo tanto:
Para ocupar la:
1° casilla hay 8 opciones (descontamos una, el 9 )
2° casilla hay 7
4° casilla hay 6
5° casilla hay 5 veámoslo así:
O bien = 8-*7*6*5 = 1680.
Suponga que ahora se hacen fichas con todos (los 1680) los números
de cinco cifras establecidos en el problema, y se ponen las fichas en una
bolsa
¿Cuál es la probabilidad de “sacar” de la bolsa el número 15934?
p = 1680
1*100 = 0,059 %
¿Cuál es la probabilidad de sacar el número 35927 o el número
34987
p 21O = p 1 + p 2 = 1680
1 +
1680
1 =
1680
2* 100 = 0,12 %
El producto: 1*2*3*4*5, se puede abreviar como: 5! Así, también, el producto: 1*2*3*4*5*6*7*8 = 8!
Cuando con los “n” los elementos de
un conjunto se pueden hacer “n” arreglos
tomados de “n” formas distintas, el
número total de estas coordinaciones o
arreglos queda expresado por:
Permutaciones: de “n” elementos son las distintas
formas en que se pueden ordenar dichos elementos.
Ejemplos:
1.- 5! = 120
2.- ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 personas en una
sola fila?
p )5,5( = 5! = 120
En las permutaciones de “n” elementos el orden en que se
tomen dichas coordinaciones importa,
Ejemplo.
Consideremos todas las
permutaciones que se pueden hacer con
las figuras:
Estas son:
El total de permutaciones corresponde a p )3,3( = 3! = 6
Ahora bien, el problema se puede resolver atendiendo a
criterios de arreglos, en efecto:
Supongamos que las figuras las disponemos en el interior de
cada uno de los rectángulos que se indican :
Para el primer rectángulo se tienen 3 opciones ( se puede
elegir cualquiera de las tres figuras ,
Para llenar el segundo rectángulo quedan dos opciones , y,
para llenar el tercer rectángulo queda solamente una figura.
Esto es:
Ejemplo: ¿cuántos números distintos de 4 cifras se pueden
construir con los dígitos 2 , 3 , 4 , 6 tomándolos todos a la vez?
La pregunta que hay que hacerse antes de proceder es:
¿importa el orden en que se tomen los números?
Si la respuesta es si importa, entonces se trata de una
permutación de los elementos, como es este caso.
Luego: ¿cuáles son?
p )4,4( = 4! = 4*3*2*1= 24
permutaciones diferentes.
Consideremos los elementos
Y determinemos las permutaciones que se pueden
hacer con ellos
Al ordenarlos , se obtiene:.
Como se observa, hay efectivamente 24 permutaciones, si se
considera que los cuadrados son distintos entre sí.
Para efecto de identificar un cuadrado de otro, uno de eloos
se ha “marcado” con un círculo.
Ahora considerando lo anterior:
Por lo tanto se repiten 2! permutaciones.
Entonces el toral de permutaciones distintas en este caso
queda expresado por :
p = !2
!4 = 12 .
En general: si se tienen “n” elementos con “r” , “
k” ….”z” elementos repetidos, el número total de
permutaciones que se pueden obtener de los “n”
elementos, está dado por el modelo matemático :
Ejemplo: ¿cuántas permutaciones se pueden hacer con las
letras de la palabra” paralelepípedo”?
Solución:
Hay 14 letras en total
La letra “p” se repite 3 veces en la palabra.
La letra “a” se repite 2 veces.
La letra “l” se repite 2 veces
La letra “e” se repite 3 veces.
Entonces, el total de permutaciones será:
p = !3!.2!.2!.3
!14 =
Consideremos ahora la siguiente situación:
Supongamos que queremos determinar el total de
permutaciones que se pueden hacer con los símbolos:
Si ponemos la condición que el cuadrado ocupe
siempre una posición fija, digamos el segundo lugar de
izquierda a derecha, el total de permutaciones que se
pueden hacer serán:
Se observa entonces que: hay 6 permutaciones
diferentes; lo que se expresa con el modelo matemático:
p = (4-1)! = 3! = 6
Si se establece la condición de que determinados elementos han de
ocupar lugares fijos, el número total de permutaciones es el que se puede
formar con los demás elementos.
Ejemplo:
¿De cuántas maneras se pueden formar 5 soldados , un
teniente y un sargento . si el teniente debe encabezar la columna
y el soldado debe ocupar el último lugar?
Solución:
El teniente y el sargento se descartan de la permutación,
porque de acuerdo a la condición del problema ocupan lugares
fijos, de modo que los soldados solamente permutan (se mueven)
Luego:
p = (7-2)! = 5! = 120 formas distintas.
Hagamos una variación al mismo problema:
¿De cuantas maneras pueden formarse 5 soldados, un teniente y
un sargento, si estos últimos deben ubicarse en los extremos de la
fila?
en un esquema :
Donde observamos que: la fila completa se mueve o permuta,
luego el total de estas permutaciones está dado por:
p = 5!.2! = 240
Supongamos la siguiente situación:
Alrededor de un mesa circular sin ningún tipo de referencias
se quieren sentar cuatro personas ., que las identificaremos con
algún símbolo , digamos:
Y la mesa con:
Las permutaciones posibles que se pueden hacer, ¡te las presento a
continuación! :
Donde observamos que hay 6 permutaciones en total de los 4
elementos
Este resultado se puede expresar en el siguiente modelo matemático:
p(4) = (4-1)!= 3! = 6
En general: cuando n elementos se disponen alrededor de un
círculo, el número de permutaciones es (n -1)! , si se cuenta siempre en el
mismo sentido a partir de un mismo elemento
Es decir;
Ejemplo: ¿de cuántas maneras se pueden sentar 6 personas
en una mesa circular sin ninguna referencia?
p(6) = 5! = 120 maneras
¿De cuántas maneras se pueden disponer 3 llaves todas
distintas en una argolla sin fin?( argolla sin fin es aquella que no
tiene marcas o referencias).
p(3) = 2! = 2
Consideremos la siguiente situación
Con las figuras :
Construiremos todos los grupos que contengan tres
figuras distintas, de modo que el orden en que aparezcan
no importe.
Así tendremos:
Ejemplo:
Aquí vemos que el orden en que aparecen los
elementos carece de importancia, lo que importa es que el
trío esté formado por los mismos elementos.
Establecido este criterio, los tríos que se pueden
formar se muestran a continuación:
Estos seis tríos distintos
reciben el nombre de
“combinaciones” del grupo
de estos cuatro elementos
tomados de a tres .
En el ejemplo anterior, es claro que el número de
combinaciones es 6
Análisis: el total de arreglos que se pueden hacer con
los 4 elementos tomados de a 3, viene dado por la fórmula
c m
n = m(m-1)(m-2)…….(m-n+1)
En este caso: c 4
3 = 4 * 3*2 = 24
Además cada trío permuta entre sí de p 3 = 3! = 3*2 =
6 maneras diferentes.
Por lo tanto el número total de las combinaciones
ternarias que se pueden hacer con los cuatro elementos
será:
c = 6
24 = 4.
Institucionalización : si designamos por c m
n las
combinaciones de m cosas tomadas n a n , por p n
las permutaciones que se pueden formar con los n
elementos de cada grupo , y por a m
n , las coordinaciones
o arreglos que se obtienen al permutar los n elementos
de cada grupo , tendremos ;
Lo que dice que el número de combinaciones de “m”
elementos tomados de “n” a “n” es igual al número de
coordinaciones de los “m” elementos tomados “n” a
“n” dividido entre el número de permutaciones de los
“n” elementos de cada grupo.
En la práctica se suele hacer uso de la fórmula
simplificada de las combinaciones de los “m” elementos
tomados de “n” maneras, que expresa:
Ejemplo: de un grupo de 7 personas. ¿de cuántas
maneras se puede elegir un comité formado por 4 de ellas?
Naturalmente que aquí no importa el orden en que
se escojan los cuatro integrantes, tenemos entonces:
c 7
4 = !3!*4
!7 = 35 modos
2.- En una prueba de matemática el profesor Montoya
pone 8 ejercicios para que el alumno escoja 6 a responder.
¿Cuántas elecciones puede hacer el alumno?
c 8
6 = !2!*6
!8 = 2!*6
!6*7*8 = 56 elecciones.
