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A v a i l a b i l i t y M o d e l s i n P r a c t i c e

A r c h a n a S a t h a y e

1

, S r i n i v a s a n R a m a n i

2

, K i s h o r S . T r i v e d i

2

1

D e p t . o f M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e

S a n J o s e S t a t e U n i v e r s i t y

S a n J o s e , C A 9 5 1 9 2 - 0 1 0 3

s a t h a y e @ m a t h c s . s j s u . e d u

P h o n e : 4 0 8 9 2 4 - 5 1 2 4

F a x : 4 0 8 9 2 4 - 5 0 8 0

2

C e n t e r f o r A d v a n c e d C o m p u t i n g a n d C o m m u n i c a t i o n

D e p t . o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g

D u k e U n i v e r s i t y , D u r h a m , N C 2 7 7 0 8 - 0 2 9 1

f k s t , s r a m a n i g @ e e . d u k e . e d u

P h o n e : 9 1 9 6 6 0 - 5 2 6 9

F a x : 9 1 9 6 6 0 - 5 2 9 3

A b s t r a c t

A s c o m p u t e r s y s t e m s c o n t i n u e t o b e a p p l i e d t o m i s s i o n - c r i t i c a l e n v i r o n m e n t s , t e c h n i q u e s t o e v a l u a t e

t h e i r d e p e n d a b i l i t y b e c o m e m o r e a n d m o r e i m p o r t a n t . O f t h e d e p e n d a b i l i t y m e a s u r e s u s e d t o

c h a r a c t e r i z e a s y s t e m , a v a i l a b i l i t y i s o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t . T e c h n i q u e s t o e v a l u a t e a s y s t e m ' s

a v a i l a b i l i t y c a n b e b r o a d l y c a t e g o r i z e d a s m e a s u r e m e n t - b a s e d a n d m o d e l - b a s e d . M e a s u r e m e n t -

b a s e d e v a l u a t i o n i s e x p e n s i v e a s i t r e q u i r e s b u i l d i n g a r e a l s y s t e m a n d t a k i n g m e a s u r e m e n t s a n d

t h e n a n a l y z i n g t h e d a t a s t a t i s t i c a l l y . M o d e l - b a s e d e v a l u a t i o n o n t h e o t h e r h a n d i s i n e x p e n s i v e a n d

r e l a t i v e l y e a s i e r t o p e r f o r m . I n t h i s p a p e r , w e r s t l o o k a t s o m e a v a i l a b i l i t y m o d e l i n g t e c h n i q u e s

a n d t a k e u p a c a s e s t u d y f r o m a n i n d u s t r i a l s e t t i n g t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a t i o n o f t h e t e c h n i q u e s

t o a r e a l p r o b l e m . A l t h o u g h e a s i e r t o p e r f o r m , m o d e l - b a s e d a v a i l a b i l i t y a n a l y s i s p o s e s p r o b l e m s

l i k e l a r g e n e s s a n d c o m p l e x i t y o f t h e m o d e l s d e v e l o p e d w h i c h m a k e s t h e m o d e l s d i c u l t t o s o l v e .

T h i s p a p e r a l s o i l l u s t r a t e s s e v e r a l t e c h n i q u e s t o d e a l w i t h l a r g e n e s s a n d c o m p l e x i t y i s s u e s .

1 I n t r o d u c t i o n

C o m p l e x c o m p u t e r s y s t e m s a r e w i d e l y u s e d i n d i e r e n t a p p l i c a t i o n s r a n g i n g f r o m i g h t c o n t r o l ,

c o m m a n d a n d c o n t r o l s y s t e m s t o c o m m e r c i a l s y s t e m s l i k e i n f o r m a t i o n a n d n a n c i a l s e r v i c e s . T h e s e

a p p l i c a t i o n s d e m a n d h i g h p e r f o r m a n c e a n d h i g h a v a i l a b i l i t y . A v a i l a b i l i t y e v a l u a t i o n a d d r e s s e s f a i l -

u r e a n d r e c o v e r y a s p e c t s o f a s y s t e m , w h i l e p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n a d d r e s s e s p r o c e s s i n g a s p e c t s

a n d a s s u m e s t h a t , t h e s y s t e m c o m p o n e n t s d o n o t f a i l . F o r g r a c e f u l l y d e g r a d i n g s y s t e m s , a m e a -

s u r e t h a t c o m b i n e s s y s t e m p e r f o r m a n c e a n d a v a i l a b i l i t y a s p e c t s i s m o r e m e a n i n g f u l t h a n s e p a r a t e

m e a s u r e s o f p e r f o r m a n c e a n d a v a i l a b i l i t y . T h e s e c o m p o s i t e m e a s u r e s a r e c a l l e d p e r f o r m a b i l i t y m e a -

s u r e s . T h e t w o b a s i c a p p r o a c h e s t o e v a l u a t e t h e a v a i l a b i l i t y p e r f o r m a n c e m e a s u r e s o f a s y s t e m a r e :

m e a s u r e m e n t - b a s e d a n d m o d e l - b a s e d . I n m e a s u r e m e n t - b a s e d e v a l u a t i o n , t h e r e q u i r e d m e a s u r e s

a r e e s t i m a t e d f r o m m e a s u r e d d a t a u s i n g s t a t i s t i c a l i n f e r e n c e t e c h n i q u e s . T h e d a t a i s m e a s u r e d

1

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f r o m a r e a l s y s t e m o r i t s p r o t o t y p e . I n c a s e o f a v a i l a b i l i t y e v a l u a t i o n , m e a s u r e m e n t s a r e n o t a l -

w a y s f e a s i b l e . T h e r e a s o n b e i n g e i t h e r t h e s y s t e m h a s n o t b e e n b u i l t y e t , o r i t i s t o o e x p e n s i v e

t o c o n d u c t e x p e r i m e n t s . T h a t i s , i n a h i g h a v a i l a b i l i t y s y s t e m o n e w o u l d n e e d t o m e a s u r e d a t a

f r o m s e v e r a l s y s t e m s t o g a t h e r g o o d s a m p l e d a t a . O n t h e o t h e r h a n d , i n j e c t i n g f a u l t s i n a s y s t e m

c a n b e a n e x p e n s i v e p r o c e d u r e . M o d e l b a s e d e v a l u a t i o n i s t h e c o s t - e e c t i v e s o l u t i o n a s i t a l l o w s

s y s t e m e v a l u a t i o n w i t h o u t h a v i n g t o b u i l d a n d m e a s u r e a s y s t e m . I n t h i s p a p e r w e d i s c u s s a v a i l -

a b i l i t y m o d e l i n g t e c h n i q u e s a n d t h e i r u s a g e i n p r a c t i c e . T o e m p h a s i z e t h e p r a c t i c a l i t y o f t h e s e

t e c h n i q u e s , w e d i s c u s s t h e i r p r o s a n d c o n s w i t h r e s p e c t t o a c a s e s t u d y , V A X c l u s t e r s y s t e m s

1

o f

D i g i t a l E q u i p m e n t C o r p o r a t i o n D E C

2

.

I n t h i s p a p e r , w e r s t d i s c u s s d i e r e n t a v a i l a b i l i t y m o d e l i n g a p p r o a c h e s i n S e c t i o n 2 . I n S e c t i o n

3 , w e d i s c u s s t h e b e n e t s o f u t i l i z i n g a c o m p o s i t e a v a i l a b i l i t y a n d p e r f o r m a n c e m o d e l i n p r a c t i c e

i n s t e a d o f a p u r e a v a i l a b i l i t y m o d e l . O u r d i s c u s s i o n e m p h a s i z e s t h i s p o i n t u s i n g a m o d e l d e v e l o p e d

f o r m u l t i p r o c e s s o r s t o d e t e r m i n e t h e o p t i m a l n u m b e r o f p r o c e s s o r s i n t h e s y s t e m . I n S e c t i o n 4 , w e

p r e s e n t a c a s e s t u d y t o d e m o n s t r a t e t h e u t i l i t y o f a v a i l a b i l i t y m o d e l i n g i n a c o r p o r a t e e n v i r o n m e n t .

2 M o d e l i n g A p p r o a c h e s

M o d e l - b a s e d e v a l u a t i o n c a n b e t h r o u g h d i s c r e t e - e v e n t s i m u l a t i o n , o r a n a l y t i c m o d e l s , o r h y b r i d

m o d e l s c o m b i n i n g s i m u l a t i o n a n d a n a l y t i c p a r t s . A d i s c r e t e - e v e n t s i m u l a t i o n m o d e l c a n d e p i c t

d e t a i l e d s y s t e m b e h a v i o r , a s i t i s e s s e n t i a l l y a p r o g r a m w h o s e e x e c u t i o n s i m u l a t e s t h e d y n a m i c

b e h a v i o r o f t h e s y s t e m a n d e v a l u a t e s t h e r e q u i r e d m e a s u r e s . A n a n a l y t i c m o d e l c o n s i s t s o f a s e t

o f e q u a t i o n s d e s c r i b i n g t h e s y s t e m b e h a v i o r . T h e e v a l u a t i o n m e a s u r e s a r e o b t a i n e d b y s o l v i n g

t h e s e e q u a t i o n s . I n s i m p l e c a s e s c l o s e d - f o r m s o l u t i o n s a r e o b t a i n e d , b u t m o r e f r e q u e n t l y n u m e r i c a l

s o l u t i o n s o f t h e e q u a t i o n s a r e n e c e s s a r y .

T h e m a i n b e n e t o f d i s c r e t e - e v e n t s i m u l a t i o n i s t h e a b i l i t y t o d e p i c t d e t a i l e d s y s t e m b e h a v i o r

i n t h e m o d e l s . A l s o , t h e e x i b i l i t y o f d i s c r e t e - e v e n t s i m u l a t i o n a l l o w s i t s u s e i n p e r f o r m a n c e , a v a i l -

a b i l i t y a n d p e r f o r m a b i l i t y m o d e l i n g . T h e m a i n d r a w b a c k o f d i s c r e t e - e v e n t s i m u l a t i o n i s t h e l o n g

e x e c u t i o n t i m e , p a r t i c u l a r l y w h e n t i g h t c o n d e n c e b o u n d s a r e r e q u i r e d i n t h e s o l u t i o n s o b t a i n e d .

A l s o , c a r r y i n g o u t a w h a t i f " a n a l y s i s r e q u i r e s r e r u n n i n g t h e m o d e l f o r d i e r e n t i n p u t p a r a m e t e r s .

A d v a n c e s i n s i m u l a t i o n s p e e d - u p s u c h a s r e g e n e r a t i v e s i m u l a t i o n , i m p o r t a n c e s a m p l i n g , i m p o r t a n c e

s p l i t t i n g , p a r a l l e l a n d d i s t r i b u t e d s i m u l a t i o n a l s o n e e d t o b e c o n s i d e r e d .

A n a l y t i c m o d e l s a r e m o r e o f a n a b s t r a c t i o n o f t h e r e a l s y s t e m t h a n a d i s c r e t e - e v e n t s i m u l a t i o n

m o d e l . I n g e n e r a l , a n a l y t i c m o d e l s t e n d t o b e e a s i e r t o d e v e l o p a n d f a s t e r t o s o l v e t h a n a s i m u l a t i o n

m o d e l . T h e m a i n d r a w b a c k i s t h e s e t o f a s s u m p t i o n s t h a t a r e o f t e n n e c e s s a r y t o m a k e a n a l y t i c

m o d e l s t r a c t a b l e . R e c e n t a d v a n c e s i n m o d e l g e n e r a t i o n a n d s o l u t i o n t e c h n i q u e s a s w e l l a s c o m p u t i n g

p o w e r m a k e a n a l y t i c m o d e l s m o r e a t t r a c t i v e . I n t h i s p a p e r , w e d i s c u s s m o d e l - b a s e d e v a l u a t i o n u s i n g

a n a l y t i c t e c h n i q u e s a n d h o w o n e c a n a c h i e v e r e s u l t s t h a t a r e u s e f u l i n p r a c t i c e .

2 . 1 A n a l y t i c A v a i l a b i l i t y M o d e l i n g A p p r o a c h e s

A s y s t e m m o d e l e r c a n e i t h e r c h o o s e s t a t e s p a c e o r n o n - s t a t e s p a c e a n a l y t i c a l m o d e l i n g t e c h n i q u e s .

T h e c h o i c e o f a n a p p r o p r i a t e m o d e l i n g t e c h n i q u e t o r e p r e s e n t t h e s y s t e m b e h a v i o r i s d i c t a t e d b y

f a c t o r s s u c h a s t h e m e a s u r e s o f i n t e r e s t , l e v e l o f d e t a i l e d s y s t e m b e h a v i o r t o b e r e p r e s e n t e d a n d

t h e c a p a b i l i t y o f t h e m o d e l t o r e p r e s e n t i t , e a s e o f c o n s t r u c t i o n , a n d a v a i l a b i l i t y o f s o f t w a r e t o o l s

1

N o w k n o w n a s V M S c l u s t e r s

2

N o w k n o w n a s C O M P A Q

2

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t o s p e c i f y a n d s o l v e t h e m o d e l . I n t h i s s e c t i o n , w e d i s c u s s s e v e r a l n o n - s t a t e s p a c e a n d s t a t e s p a c e

m o d e l i n g t e c h n i q u e s .

2 . 1 . 1 N o n - S t a t e S p a c e M o d e l s

N o n - s t a t e s p a c e m o d e l s c a n b e s o l v e d w i t h o u t g e n e r a t i n g t h e u n d e r l y i n g s t a t e s p a c e . P r a c t i c a l l y

s p e a k i n g , t h e s e m o d e l s c a n b e e a s i l y u s e d f o r s o l v i n g s y s t e m s w i t h h u n d r e d s o f c o m p o n e n t s b e c a u s e

t h e r e a r e m a n y r e l a t i v e l y g o o d a l g o r i t h m s a v a i l a b l e f o r s o l v i n g s u c h m o d e l s 1 5 . T h e n o n - s t a t e

s p a c e m o d e l s c a n b e e v a l u a t e d t o c o m p u t e m e a s u r e s l i k e s y s t e m a v a i l a b i l i t y , r e l i a b i l i t y a n d s y s t e m

m e a n t i m e t o f a i l u r e M T T F . T h e t w o m a i n a s s u m p t i o n s u s e d b y t h e m o d e l s a r e s t a t i s t i c a l l y

i n d e p e n d e n t f a i l u r e s a n d i n d e p e n d e n t r e p a i r u n i t s f o r c o m p o n e n t s . T h e n o n - s t a t e s p a c e m o d e l i n g

t e c h n i q u e s u s e d t o e v a l u a t e s y s t e m a v a i l a b i l i t y a r e r e l i a b i l i t y b l o c k d i a g r a m s a n d f a u l t t r e e s . I n

g r a c e f u l l y d e g r a d a b l e s y s t e m s , a k n o w l e d g e o f t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s y s t e m i s a l s o e s s e n t i a l . N o n -

s t a t e s p a c e m o d e l i n g t e c h n i q u e s u s e d t o e v a l u a t e s y s t e m p e r f o r m a n c e a r e p r o d u c t - f o r m q u e u i n g

m o d e l s a n d t a s k - p r e c e d e n c e g r a p h s 9 .

i . R e l i a b i l i t y B l o c k D i a g r a m

I n a r e l i a b i l i t y b l o c k d i a g r a m R B D e a c h c o m p o n e n t o f t h e s y s t e m i s r e p r e s e n t e d a s a b l o c k

9 , 1 2 . T h e b l o c k s a r e t h e n c o n n e c t e d i n s e r i e s a n d o r p a r a l l e l b a s e d o n t h e o p e r a t i o n a l d e p e n d e n c y

b e t w e e n t h e c o m p o n e n t s . I f f o r t h e s y s t e m t o b e u p a l l t h e c o m p o n e n t s n e e d t o b e o p e r a t i o n a l ,

b l o c k s i n a R B D a r e c o n n e c t e d i n s e r i e s . O n t h e o t h e r h a n d , i f t h e s y s t e m c a n s u r v i v e w i t h a t l e a s t

o n e c o m p o n e n t t h e n b l o c k s a r e c o n n e c t e d i n p a r a l l e l . A n R B D c a n b e u s e d t o m o d e l a v a i l a b i l i t y

i f t h e r e p a i r t i m e s a n d f a i l u r e t i m e s a r e a l l i n d e p e n d e n t . F i g u r e 1 a s h o w s a m u l t i p r o c e s s o r

a v a i l a b i l i t y m o d e l w i t h n p r o c e s s o r s w h e r e a t l e a s t o n e p r o c e s s o r i s r e q u i r e d f o r t h e s y s t e m t o b e

u p . F r o m t h i s w e c o n c l u d e t h a t t h e R B D r e p r e s e n t s a s i m p l e p a r a l l e l s y s t e m . G i v e n a f a i l u r e r a t e

a n d r e p a i r r a t e , t h e a v a i l a b i l i t y o f p r o c e s s o r P r o c

i

i s g i v e n b y ,

A

i

=

+

: 1

T h e a v a i l a b i l i t y o f t h e p a r a l l e l s y s t e m i s t h e n g i v e n b y ,

A = 1 ,

n

Y

i = 1

1 , A

i

= 1 ,

+

n

: 2

i i . F a u l t T r e e s

A f a u l t t r e e 9 , l i k e a r e l i a b i l i t y b l o c k d i a g r a m i s u s e f u l f o r a v a i l a b i l i t y a n a l y s i s . I t i s a p i c t o r i a l

r e p r e s e n t a t i o n o f t h e s e q u e n c e o f e v e n t s c o n d i t i o n s t o b e s a t i s e d f o r a f a i l u r e t o o c c u r . A f a u l t

t r e e u s e s a n d , o r a n d k o f n g a t e s t o r e p r e s e n t t h i s c o m b i n a t i o n o f e v e n t s i n a t r e e - l i k e s t r u c t u r e . T o

r e p r e s e n t s i t u a t i o n s w h e r e o n e f a i l u r e e v e n t p r o p a g a t e s f a i l u r e a l o n g m u l t i p l e p a t h s i n t h e f a u l t t r e e ,

f a u l t t r e e s c a n h a v e r e p e a t e d n o d e s . S e v e r a l e c i e n t a l g o r i t h m s f o r s o l v i n g f a u l t t r e e s e x i s t . T h e s e

i n c l u d e a l g o r i t h m s f o r s e r i e s - p a r a l l e l s y s t e m s f o r f a u l t t r e e s w i t h o u t r e p e a t e d c o m p o n e n t s 1 7 ,

a m u l t i p l e i n v e r s i o n M V I a l g o r i t h m c a l l e d t h e L T a l g o r i t h m t o o b t a i n s u m o f d i s j o i n t p r o d u c t s

S D P f r o m m i n c u t s e t 1 8 a n d t h e f a c t o r i n g c o n d i t i o n i n g a l g o r i t h m t h a t w o r k s b y f a c t o r i n g a

f a u l t t r e e w i t h r e p e a t e d n o d e s i n t o a s e t o f f a u l t t r e e s w i t h o u t r e p e a t e d n o d e s 2 0 . B i n a r y d e c i s i o n

d i a g r a m B D D - b a s e d a l g o r i t h m s c a n b e u s e d t o s o l v e v e r y l a r g e f a u l t t r e e s 2 1 , 2 2 . F i g u r e 1 b

s h o w s t h e f a u l t t r e e m o d e l f o r o u r m u l t i p r o c e s s o r s y s t e m . U A

i

r e p r e s e n t s t h e u n a v a i l a b i l i t y o f

3

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..

.

Proc 1

Proc 2

Proc n

A1

A2

An

. . .

UA UA UA1 2 n

FAILURE

a b

F i g u r e 1 : A m u l t i p r o c e s s o r s y s t e m

a R e l i a b i l i t y b l o c k d i a g r a m , b F a u l t t r e e

p r o c e s s o r i . T h e a n d g a t e i n d i c a t e s t h a t t h e m u t i p r o c e s s o r s y s t e m f a i l s w h e n a l l t h e n p r o c e s s o r s

b e c o m e s u n a v a i l a b l e . T h e o u t p u t o f t h e t o p g a t e o f t h e f a u l t t r e e r e p r e s e n t s f a i l u r e o f t h e p a r a l l e l

m u l t i p r o c e s s o r s y s t e m .

2 . 1 . 2 S t a t e S p a c e M o d e l s

R e l i a b i l i t y b l o c k d i a g r a m s a n d f a u l t t r e e s c a n n o t e a s i l y h a n d l e m o r e c o m p l e x s i t u a t i o n s s u c h a s

f a i l u r e r e p a i r d e p e n d e n c i e s a n d s h a r e d r e p a i r f a c i l i t i e s . I n s u c h c a s e s , m o r e d e t a i l e d m o d e l s s u c h

a s t h e s t a t e s p a c e m o d e l s a r e r e q u i r e d . H e r e w e d i s c u s s s o m e M a r k o v i a n s t a t e s p a c e m o d e l s .

i . M a r k o v i a n M o d e l s

M a r k o v C h a i n s

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l c o n s i d e r h o m o g e n e o u s M a r k o v c h a i n s . A h o m o g e n e o u s c o n t i n u o u s

t i m e M a r k o v c h a i n C T M C 1 2 i s a s t a t e s p a c e m o d e l , i n w h i c h e a c h s t a t e r e p r e s e n t s v a r i o u s

c o n d i t i o n s o f t h e s y s t e m . I n h o m o g e n e o u s C T M C s , t r a n s i t i o n s f r o m o n e s t a t e t o a n o t h e r

o c c u r a f t e r a t i m e t h a t i s e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d . T h e a r c s r e p r e s e n t i n g a t r a n s i t i o n f r o m

o n e s t a t e t o a n o t h e r a r e l a b e l e d b y t h e c o n s t a n t r a t e c o r r e s p o n d i n g t o t h e e x p o n e n t i a l l y

d i s t r i b u t e d t i m e o f t h e t r a n s i t i o n . I f a s t a t e i n t h e C T M C h a s n o t r a n s i t i o n s l e a v i n g i t , t h e n

t h a t s t a t e i s c a l l e d a n a b s o r b i n g s t a t e , a n d a C T M C w i t h o n e o r m o r e s u c h s t a t e s i s s a i d t o b e

a n a b s o r b i n g C T M C . F o r t h e m u l t i p r o c e s s o r e x a m p l e , w e n o w i l l u s t r a t e h o w a M a r k o v c h a i n

c a n b e d e v e l o p e d t o c a p t u r e s h a r e d r e p a i r a n d m u l t i p l e f a i l u r e m o d e s .

T h e p a r a m e t e r s a s s o c i a t e d w i t h a s y s t e m a v a i l a b i l i t y m o d e l t h a t w e w i l l n o w d e v e l o p f o r o u r

m u l t i p r o c e s s o r s y s t e m a r e , t h e f a i l u r e r a t e o f e a c h p r o c e s s o r a n d t h e p r o c e s s o r r e p a i r r a t e

. T h e p r o c e s s o r f a u l t i s c o v e r e d w i t h p r o b a b i l i t y c a n d n o t c o v e r e d w i t h p r o b a b i l i t y 1 , c .

A f t e r a c o v e r e d f a u l t , t h e s y s t e m i s u p i n a d e g r a d e d m o d e a f t e r a r e c o n g u r a t i o n d e l a y .

O n t h e o t h e r h a n d , a n u n c o v e r e d f a u l t i s f o l l o w e d b y a l o n g e r d e l a y i m p o s e d b y a r e b o o t

a c t i o n . T h e r e c o n g u r a t i o n a n d r e b o o t d e l a y s a r e a s s u m e d t o b e e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d

w i t h m e a n s 1 = a n d 1 = r e s p e c t i v e l y . I n p r a c t i c e t h e r e c o n g u r a t i o n a n d r e b o o t t i m e s a r e

e x t r e m e l y s m a l l c o m p a r e d t o t h e t i m e s b e t w e e n f a i l u r e s a n d r e p a i r s , h e n c e w e a s s u m e t h a t

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1 0n-2n-1n

n c

(1-c)

(n-1)

n

c

(n-1) (1-c)

Xn

Yn

Xn-1

Yn-1

. . .

F i g u r e 2 : M u l i p r o c e s s o r M a r k o v c h a i n m o d e l

f a i l u r e s a n d r e p a i r s d o n o t o c c u r d u r i n g t h e s e a c t i o n s . S y s t e m a v a i l a b i l i t y c a n b e m o d e l e d

u s i n g t h e M a r k o v c h a i n s h o w n i n F i g u r e 2 . F o r t h e s y s t e m t o b e u p , a t l e a s t o n e p r o c e s s o r

o u t o f t h e n p r o c e s s o r s n e e d s t o b e o p e r a t i o n a l . T h e s t a t e i , 1 i n i n t h e M a r k o v

m o d e l r e p r e s e n t s t h a t i p r o c e s s o r s a r e o p e r a t i o n a l a n d n , i p r o c e s s o r s a r e w a i t i n g f o r o n - l i n e

r e p a i r . T h e s t a t e s X

n , i

a n d Y

n , i

, f o r i = 0 ; : : : ; n , 2 r e p r e s e n t t h a t a s y s t e m i s u n d e r g o i n g a

r e c o n g u r a t i o n a n d i s b e i n g r e b o o t e d r e s p e c t i v e l y . W e c o m p u t e t h e s t e a d y s t a t e p r o b a b i l i t y

i

f o r e a c h s t a t e i 2 . T h e n t h e s y s t e m u n a v a i l a b i l i t y d e n e d a s a f u n c t i o n o f n i s g i v e n b y ,

U A n = 1 ,

P

n

i = 1

i

.

B y a p p r o p r i a t e l y c h o o s i n g r e w a r d r a t e s o r w e i g h t s f o r e a c h s t a t e t h e a p p r o p r i a t e m e a s u r e

c a n b e o b t a i n e d f o r t h e m o d e l o n h a n d . F o r e x a m p l e , f o r t h e m u l t i p r o c e s s o r e x a m p l e , i f t h e

r e w a r d r a t e s a r e d e n e d a s r

i

= 1 f o r s t a t e s i = 1 : : : n a n d r

i

= 0 o t h e r w i s e , t h e n t h e e x p e c t e d

s t e a d y s t a t e r e w a r d r a t e g i v e s t h e s t e a d y s t a t e a v a i l a b i l i t y .

S t o c h a s t i c P e t r i N e t s a n d R e w a r d N e t s 9

A P e t r i n e t 9 i s a m o r e c o n c i s e a n d i n t u i t i v e w a y o f r e p r e s e n t i n g a s i t u a t i o n t o b e m o d e l e d .

I t i s a l s o u s e f u l t o a u t o m a t e t h e g e n e r a t i o n o f l a r g e s t a t e s p a c e s . A P e t r i n e t c o n s i s t s o f

p l a c e s , t r a n s i t i o n s , a r c s a n d t o k e n s . T o k e n s m o v e f r o m o n e p l a c e t o a n o t h e r a l o n g a r c s

t h r o u g h t r a n s i t i o n s . T h e n u m b e r o f t o k e n s i n t h e p l a c e s r e p r e s e n t s t h e m a r k i n g o f a P e t r i

n e t . I f t h e t r a n s i t i o n r i n g t i m e s a r e s t o c h a s t i c a l l y t i m e d , t h e P e t r i n e t i s c a l l e d a s t o c h a s t i c

P e t r i n e t S P N . I f t h e t r a n s i t i o n r i n g t i m e s a r e e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d , t h e u n d e r l y i n g

r e a c h a b i l i t y g r a p h , r e p r e s e n t i n g t r a n s i t i o n s f r o m o n e m a r k i n g t o a n o t h e r g i v e s t h e u n d e r l y i n g

h o m o g e n e o u s C T M C f o r t h e s i t u a t i o n b e i n g m o d e l e d .

F o r t h e m u l t i p r o c e s s o r s y s t e m , l e t u s s a y w e a r e i n t e r e s t e d i n n d i n g t h e p r o b a b i l i t y t h a t

a n i n c o m i n g t a s k i s t u r n e d a w a y b e c a u s e a l l n p r o c e s s o r s a r e t i e d u p b y o t h e r t a s k s b e i n g

p r o c e s s e d . T h e p a r a m e t e r s a s s o c i a t e d w i t h t h i s p u r e p e r f o r m a n c e m o d e l a r e , a r r i v a l r a t e o f

t a s k s , s e r v i c e r a t e o f t a s k s , t h e n u m b e r o f b u e r s a n d a d e a d l i n e o n t a s k r e s p o n s e t i m e s . T h e

p e r f o r m a n c e m o d e l a s s u m e s t h a t t h e a r r i v i n g t a s k f o r m s a P o i s s o n p r o c e s s o f r a t e a n d t h e

s e r v i c e r e q u i r e m e n t s o f t a s k s a r e i n d e p e n d e n t , i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d w i t h t h e e x p o n e n t i a l

d i s t r i b u t i o n o f m e a n 1 = . A d e a d l i n e d i s a s s o c i a t e d w i t h e a c h t a s k . L e t u s a l s o t a k e t h e

n u m b e r o f b u e r s a v a i l a b l e f o r s t o r i n g i n c o m i n g t a s k s a s b . W e c o u l d u s e a n M = M = n = b q u e u e

r e p r e s e n t e d b y t h e g e n e r a l i s e d s t o c h a s t i c P e t r i n e t G S P N , t h a t a l l o w s i m m e d i a t e t r a n s i t i o n s

a l s o s h o w n i n F i g u r e 3 f o r o u r p e r f o r m a n c e m o d e l . T i m e d t r a n s i t i o n s a r e r e p r e s e n t e d b y

t h i c k r e c t a n g l e s a n d i m m e d i a t e t r a n s i t i o n s b y a t h i n l i n e . P l a c e p r o c c o n t a i n s t h e n u m b e r

o f p r o c e s s o r s a v a i l a b l e . I n i t i a l l y t h e r e a r e n t o k e n s h e r e r e p r e s e n t i n g n p r o c e s s o r s . W h e n

t r a n s i t i o n a r r r e s t h i s h a p p e n s o n l y i f a b u e r i s a v a i l a b l e , a t o k e n i s r e m o v e d f r o m p r o c

a n d p u t i n p l a c e s e r v i n g r e p r e s e n t i n g o n e l e s s f r e e p r o c e s s o r . T r a n s i t i o n s e r v i c e h a s a r i n g

r a t e t h a t d e p e n d s o n t h e n u m b e r o f t o k e n s i n p l a c e s e r v i n g i n d i c a t e d b y t h e n o t a t i o n .

T r a n s i t i o n a r r i s d i s a b l e d i n d i c a t e d b y t h e i n h i b i t o r a r c f r o m p l a c e b u e r w h e n t h e r e a r e

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arr

b-n

buffer request serving service proc

n

#

F i g u r e 3 : G S P N m o d e l o f M M n b q u e u e

b , n t o k e n s i n p l a c e b u e r , s i n c e t h e r e c a n o n l y b e b t a s k s i n t h e s y s t e m : n i n p l a c e s e r v i n g

a n d b , n i n p l a c e b u e r . T h e r e f o r e t h e p r o b a b i l i t y t h a t a n i n c o m i n g t a s k i s r e j e c t e d i s t h e

p r o b a b i l i t y t h a t t r a n s i t i o n a r r i s d i s a b l e d .

I n p r a c t i c a l s y s t e m d e s i g n , a p u r e a v a i l a b i l i t y m o d e l m a y n o t b e e n o u g h f o r s y s t e m s s u c h a s

g r a c e f u l l y d e g r a d a b l e o n e s . I n c o n j u n c t i o n w i t h a v a i l a b i l i t y , t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s y s t e m a s

i t d e g r a d e s n e e d s t o b e c o n s i d e r e d . T h i s r e q u i r e s a p e r f o r m a b i l i t y " m o d e l t h a t i n c l u d e s b o t h

p e r f o r m a n c e a n d a v a i l a b i l i t y m e a s u r e s . I n t h e n e x t s e c t i o n , w e p r e s e n t a n e x a m p l e o f a s y s t e m f o r

w h i c h a p e r f o r m a b i l i t y m e a s u r e i s n e e d e d .

3 C o m p o s i t e A v a i l a b i l i t y a n d P e r f o r m a n c e M o d e l

C o n s i d e r t h e m u l t i p r o c e s s o r s y s t e m a g a i n b u t w i t h v a r y i n g n u m b e r o f p r o c e s s o r s , n , e a c h w i t h t h e

s a m e c a p a c i t y . A k e y q u e s t i o n a s k e d i n p r a c t i c e i s r e g a r d i n g t h e n u m b e r o f p r o c e s s o r s n e e d e d .

A s w e d i s c u s s b e l o w , t h e o p t i m a l c o n g u r a t i o n i n t e r m s o f t h e n u m b e r o f p r o c e s s o r s i s a f u n c t i o n

o f t h e c h o s e n m e a s u r e o f s y s t e m e e c t i v e n e s s 2 . W e b e g i n o u r s i z i n g b a s e d o n m e a s u r e s f r o m a

p u r e " a v a i l a b i l i t y m o d e l . N e x t w e c o n s i d e r s i z i n g b a s e d o n s y s t e m p e r f o r m a n c e m e a s u r e s . L a s t

w e c o n s i d e r a c o m p o s i t e o f p e r f o r m a n c e a n d a v a i l a b i l i t y m e a s u r e t o c a p t u r e t h e e e c t o f s y s t e m

d e g r a d a t i o n .

3 . 1 M u l t i p r o c e s s o r S i z i n g B a s e d o n A v a i l a b i l i t y

A C T M C m o d e l f o r t h e f a i l u r e r e p a i r c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e m u l t i p r o c e s s o r s y s t e m i s s h o w n i n F i g u r e

2 . T h e d e t a i l s o f t h e m o d e l w e r e a l r e a d y d i s c u s s e d w h e n i n t r o d u c i n g M a r k o v c h a i n s i n t h e p r e v i o u s

s e c t i o n . T h e d o w n t i m e d u r i n g a n o b s e r v a t i o n i n t e r v a l o f d u r a t i o n T i s g i v e n b y U A n T . T h e

r e s u l t s s h o w n i n F i g u r e 4 a s s u m e T i s 1 y e a r , i . e . , 8 7 6 0 h o u r s . I n F i g u r e 4 a w e p l o t t h e d o w n t i m e

D n a g a i n s t n f o r v a r y i n g v a l u e s o f t h e m e a n r e c o n g u r a t i o n d e l a y u s i n g c = 0 : 9 , = 1 = 6 0 0 0 p e r

h o u r , a n d = 1 2 p e r h o u r . I n F i g u r e 4 b , w e p l o t D n a g a i n s t n f o r d i e r e n t c o v e r a g e v a l u e s w i t h

a m e a n r e c o n g u r a t i o n d e l a y o f 1 0 s e c o n d s . W e c o n c l u d e f r o m t h e s e r e s u l t s t h a t t h e a v a i l a b i l i t y

b e n e t s o f m u l t i p r o c e s s i n g i . e . , i n c r e a s e i n a v a i l a b i l i t y w i t h i n c r e a s e i n t h e n u m b e r o f o p e r a t i o n a l

p r o c e s s o r s i s p o s s i b l e o n l y i f t h e c o v e r a g e i s n e a r - p e r f e c t a n d t h e r e c o n g u r a t i o n d e l a y i s v e r y s m a l l

o r m o s t o f t h e o t h e r p r o c e s s o r s a r e a b l e t o c a r r y o u t u s e f u l w o r k w h i l e a f a u l t i s b e i n g h a n d l e d .

W e f u r t h e r o b s e r v e t h a t f o r m o s t p r a c t i c a l p a r a m e t e r v a l u e s , t h e o p t i m a l n u m b e r o f p r o c e s s o r s i s 2

o r 3 . I n t h e n e x t s u b s e c t i o n w e c o n s i d e r a p e r f o r m a n c e - b a s e d m o d e l f o r t h e m u l t i p r o c e s s o r s i z i n g

p r o b l e m .

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a b

F i g u r e 4 : D o w n t i m e V s . N u m b e r o f p r o c e s s o r s f o r

a d i e r e n t m e a n r e c o n g u r a t i o n d e l a y s , b d i e r e n t c o v e r a g e v a l u e s

3 . 2 M u l t i p r o c e s s o r S i z i n g B a s e d o n P e r f o r m a n c e

O n t h e l i n e s o f t h e G S P N e x a m p l e d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e u s e d a n M = M = n = b q u e u i n g

m o d e l w i t h n i t e b u e r c a p a c i t y s e e F i g u r e 3 t o c o m p u t e t h e p r o b a b i l i t y t h a t a t a s k i s r e j e c t e d

b e c a u s e t h e b u e r i s f u l l . I n F i g u r e 5 w e p l o t t h e l o s s p r o b a b i l i t y a s a f u n c t i o n o f n f o r d i e r e n t

v a l u e s o f a r r i v a l r a t e s . W e o b s e r v e t h a t t h e l o s s p r o b a b i l i t y r e d u c e s a s t h e n u m b e r o f p r o c e s s o r s

i n c r e a s e s . T h e c o n c l u s i o n f r o m t h e p e r f o r m a n c e m o d e l o f t h e f a u l t - f r e e s y s t e m i s t h a t t h e s y s t e m

i m p r o v e s a s t h e n u m b e r o f p r o c e s s o r s i s i n c r e a s e d . T h e d e t a i l s o f t h i s m o d e l a n d r e s u l t s a r e

p r e s e n t e d i n 2 .

T h e a b o v e m o d e l s p o i n t o u t t h e d e c i e n c y o f s i m p l y c o n s i d e r i n g a p u r e a v a i l a b i l i t y o r p e r f o r -

m a n c e m e a s u r e . T h e p u r e a v a i l a b i l i t y m e a s u r e i g n o r e s d i e r e n t l e v e l s o f p e r f o r m a n c e a t v a r i o u s

s y s t e m s t a t e s , w h i l e t h e p u r e p e r f o r m a n c e m e a s u r e i g n o r e s t h e f a i l u r e r e p a i r b e h a v i o r o f t h e s y s t e m .

T h e n e x t s e c t i o n c o n s i d e r s c o m b i n e d m e a s u r e s o f p e r f o r m a n c e a n d a v a i l a b i l i t y .

3 . 3 M u l t i p r o c e s s o r S i z i n g B a s e d o n P e r f o r m a n c e a n d A v a i l a b i l i t y

D i e r e n t l e v e l s o f p e r f o r m a n c e c a n b e t a k e n i n t o a c c o u n t b y a t t a c h i n g a r e w a r d r a t e r

i

c o r r e s p o n d i n g

t o s o m e m e a s u r e o f p e r f o r m a n c e t o e a c h s t a t e i o f t h e f a i l u r e r e p a i r M a r k o v m o d e l i n F i g u r e 2 . T h e

r e s u l t i n g M a r k o v r e w a r d m o d e l c a n t h e n b e a n a l y z e d f o r v a r i o u s c o m b i n e d m e a s u r e s o f p e r f o r m a n c e

a n d a v a i l a b i l i t y . T h e s i m p l e s t r e w a r d r a t e a s s i g n m e n t i s t o l e t r

i

= i f o r s t a t e s w i t h i o p e r a t i o n a l

p r o c e s s o r s a n d r

i

= 0 f o r d o w n s t a t e s . W i t h t h e r e w a r d a s s i g n m e n t s h o w n i n T a b l e 1 , w e c a n

c o m p u t e t h e c a p a c i t y - o r i e n t e d a v a i l a b i l i t y , C O A n a s t h e e x p e c t e d r e w a r d r a t e i n t h e s t e a d y -

s t a t e . C O A n i s a n u p p e r b o u n d o n s y s t e m p e r f o r m a n c e t h a t e q u a t e s p e r f o r m a n c e w i t h s y s t e m

c a p a c i t y . W h e n i p r o c e s s o r s a r e o p e r a t i o n a l w e u s e d a n M = M = i = b q u e u i n g m o d e l s u c h a s t h e

7

7/24/2019 Availability Models

8/28

F i g u r e 5 : L o s s p r o b a b i l i t y V s . N u m b e r o f p r o c e s s o r s

S t a t e R e w a r d r a t e , r

i

0 0

1 i n i

X

n , i

a n d Y

n , i

0

i = 0 ; : : : ; n , 2

T a b l e 1 : R e w a r d r a t e s f o r C O A

8

7/24/2019 Availability Models

9/28

S t a t e R e w a r d r a t e , r

i

0 0

1 i n T

b

i , t h r o u g h p u t o f s y s t e m

w i t h i p r o c e s s o r s a n d b b u e r s

X

n , i

a n d Y

n , i

0

i = 0 ; : : : ; n , 2

T a b l e 2 : R e w a r d r a t e s f o r T O A

F i g u r e 6 : C O A n a n d T O A n f o r d i e r e n t a r r i v a l r a t e s

G S P N i n F i g u r e 3 t o d e s c r i b e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e m u l t i p r o c e s s o r s y s t e m . W e t h e n a s s i g n e d a

r e w a r d r a t e o f r

i

= 0 f o r e a c h d o w n s t a t e i a n d a r e w a r d r a t e o f r

i

= T

b

i , w h i c h i s t h e t h r o u g h p u t

f o r a s y s t e m w i t h i p r o c e s s o r s a n d b b u e r s , f o r a l l o t h e r s t a t e s s e e T a b l e 2 . W i t h t h i s a s s i g n m e n t ,

t h e e x p e c t e d r e w a r d r a t e a t s t e a d y s t a t e c o m p u t e s t h e t h r o u g h p u t - o r i e n t e d a v a i l a b i l i t y , T O A n .

I n F i g u r e 6 , w e p l o t C O A n a n d T O A n f o r d i e r e n t v a l u e s o f t h e a r r i v a l r a t e .

T h e s e t w o m e a s u r e s s h o w t h a t i n o r d e r t o p r o c e s s a h e a v i e r w o r k l o a d m o r e t h a n t w o p r o c e s s o r s

a r e n e e d e d . T h e m e a s u r e s C O A a n d T O A a r e n o t a d e q u a t e m e a s u r e s o f s y s t e m e e c t i v e n e s s a s

t h e y o b l i t e r a t e t h e e e c t s o f f a i l u r e r e p a i r a n d m e r e l y s h o w t h e e e c t s o f s y s t e m c a p a c i t y a n d t h e

l o a d . I n 2 , a m e a s u r e o f s y s t e m e e c t i v e n e s s , t o t a l l o s s p r o b a b i l i t y , i s p r o p o s e d t h a t e q u a l l y "

r e e c t s f a u l t - f r e e b e h a v i o r a n d b e h a v i o r i n p r e s e n c e o f f a u l t s . T h e t o t a l l o s s p r o b a b i l i t y i s d e n e d a s

t h e s u m o f r e j e c t i o n p r o b a b i l i t y d u e t o s y s t e m b e i n g d o w n o r f u l l a n d t h e p r o b a b i l i t y o f a r e s p o n s e

t i m e d e a d l i n e b e i n g v i o l a t e d . T h e t o t a l l o s s p r o b a b i l i t y i s c o m p u t e d b y u s i n g t h e f o l l o w i n g r e w a r d

r a t e a s s i g n m e n t s T a b l e 3 : r

i

= 1 i f i i s a d o w n s t a t e a n d r

i

= q

b

i + 1 , q

b

i P R

i

b d i f

i i s a n o p e r a t i o n a l s t a t e , w h e r e q

b

i i s t h e p r o b a b i l i t y o f t a s k r e j e c t i o n w h e n t h e b u e r i s f u l l f o r

9

7/24/2019 Availability Models

10/28

S t a t e R e w a r d r a t e , r

i

0 1

1 i n q

b

i + 1 , q

b

i P R

i

b d

X

n , i

a n d Y

n , i

1

i = 0 ; : : : ; n , 2

T a b l e 3 : R e w a r d r a t e s f o r t o t a l l o s s p r o b a b i l i t y

F i g u r e 7 : T o t a l l o s s p r o b a b i l i t y V s . n u m b e r o f p r o c e s s o r s f o r d i e r e n t t a s k a r r i v a l r a t e s

a s y s t e m w i t h i o p e r a t i o n a l p r o c e s s o r s , R

i

b i s t h e r e s p o n s e t i m e f o r a s y s t e m w i t h i o p e r a t i o n a l

p r o c e s s o r s a n d b b u e r s , a n d d i s t h e d e a d l i n e o n t a s k r e s p o n s e t i m e . I n F i g u r e 7 , w e p l o t t h e t o t a l

l o s s p r o b a b i l i t y a s a f u n c t i o n o f n f o r d i e r e n t v a l u e s o f t h e t a s k a r r i v a l r a t e . W e o b s e r v e t h a t

t h e o p t i m a l n u m b e r o f p r o c e s s o r s i n c r e a s e s w i t h t h e t a s k a r r i v a l r a t e , t i g h t e r d e a d l i n e s a n d s m a l l e r

b u e r s p a c e s .

4 D i g i t a l E q u i p m e n t C o r p o r a t i o n C a s e S t u d y

I n t h i s s e c t i o n w e d i s c u s s a c a s e s t u d y t o d e m o n s t r a t e t h a t i n p r a c t i c e , t h e c h o i c e o f a n a p p r o p r i a t e

m o d e l t y p e i s d i c t a t e d b y t h e a v a i l a b i l i t y m e a s u r e s o f i n t e r e s t , t h e l e v e l o f d e t a i l e d s y s t e m b e h a v i o r

t o b e r e p r e s e n t e d , e a s e o f m o d e l s p e c i c a t i o n a n d s o l u t i o n , r e p r e s e n t a t i o n p o w e r o f t h e m o d e l t y p e

s e l e c t e d , a n d a c c e s s t o s u i t a b l e t o o l s o r t o o l k i t s t h a t c a n a u t o m a t e m o d e l s p e c i c a t i o n a n d s o l u t i o n .

I n p a r t i c u l a r w e d e s c r i b e t h e a v a i l a b i l i t y m o d e l s f o r D i g i t a l E q u i p m e n t C o r p o r a t i o n ' s D E C

V A X c l u s t e r s y s t e m . V A X c l u s t e r s a r e u s e d i n d i e r e n t a p p l i c a t i o n e n v i r o n m e n t s , a n d h e n c e s e v e r a l

a v a i l a b i l i t y , r e l i a b i l i t y a n d p e r f o r m a b i l i t y m e a s u r e s n e e d t o b e c o m p u t e d . V A X c l u s t e r s u s e d a s c o m -

1 0

7/24/2019 Availability Models

11/28

..

.

CouplerStar

VAX

VAX

VAX

HSC

HSC

Disk

Disk

F i g u r e 8 : A r c h i t e c t u r e o f t h e V A X c l u s t e r S y s t e m .

m e r c i a l c o m p u t e r s y s t e m s i n a g e n e r a l d a t a p r o c e s s i n g e n v i r o n m e n t r e q u i r e u s t o e v a l u a t e s y s t e m

a v a i l a b i l i t y a n d p e r f o r m a b i l i t y m e a s u r e s . T o c o n s i d e r V A X c l u s t e r s i n h i g h l y c r i t i c a l a p p l i c a t i o n s

l i k e l i f e s u p p o r t s y s t e m s a n d n a n c i a l d a t a p r o c e s s i n g s y s t e m s , w e e v a l u a t e m a n y s y s t e m r e l i a b i l i t y

m e a s u r e s . T h e s e t w o m e a s u r e s w e r e n o t a d e q u a t e f o r s o m e n a n c i a l i n s t i t u t i o n c u s t o m e r s o f V A X -

c l u s t e r s . W e t h e r e f o r e e v a l u a t e d t a s k c o m p l e t i o n m e a s u r e s t o c o m p u t e p r o b a b i l i t y o f a p p l i c a t i o n

i n t e r r u p t i o n d u r i n g i t s e x e c u t i o n p e r i o d .

V A X c l u s t e r s a r e c l o s e l y c o u p l e d s y s t e m s t h a t c o n s i s t o f t w o o r m o r e V A X c o m p u t e r s , o n e o r

m o r e h i e r a r c h i c a l s t o r a g e c o n t r o l l e r s H S C s , a s e t o f d i s k v o l u m e s a n d a s t a r c o u p l e r 5 . T h e

p r o c e s s o r V A X s u b s y s t e m a n d t h e s t o r a g e H S C a n d d i s k v o l u m e s u b s y s t e m a r e c o n n e c t e d

t h r o u g h t h e s t a r c o u p l e r b y a C I

3

b u s . T h e s t a r c o u p l e r i s o m i t t e d f r o m t h e a v a i l a b i l i t y m o d e l s a s

i t i s a s s u m e d t o b e a p a s s i v e c o n n e c t o r , a n d h e n c e e x t r e m e l y r e l i a b l e . F i g u r e 8 , s h o w s t h e h a r d w a r e

t o p o l o g y o f a V A X c l u s t e r .

O u r a v a i l a b i l i t y m o d e l i n g a p p r o a c h c o n s i d e r s a V A X c l u s t e r a s t w o i n d e p e n d e n t s u b s y s t e m s

n a m e l y , t h e p r o c e s s i n g s u b s y s t e m a n d t h e s t o r a g e s u b s y s t e m . T h e r e f o r e , t h e a v a i l a b i l i t y o f t h e

V A X c l u s t e r i s t h e p r o d u c t o f t h e a v a i l a b i l i t y o f e a c h s u b s y s t e m . I n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s , w e

d e v e l o p a s e q u e n c e o f i n c r e a s i n g l y p o w e r f u l a v a i l a b i l i t y m o d e l s , w h e r e t h e l e v e l o f m o d e l i n g p o w e r

i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e l e v e l o f c o m p l e x b e h a v i o r a n d c h a r a c t e r i s t i c s o f V A X c l u s t e r s i n c l u d e d

i n t h e m o d e l .

O u r d i s c u s s i o n o f t h e a v a i l a b i l i t y m o d e l s d e v e l o p e d f o r t h e V A X c l u s t e r s y s t e m i s o r g a n i z e d a s

f o l l o w s . I n S e c t i o n 4 . 1 a n d 4 . 2 w e d e v e l o p m o d e l s u s i n g n o n - s t a t e s p a c e t e c h n i q u e s l i k e r e l i a b i l i t y

b l o c k d i a g r a m s a n d f a u l t - t r e e s , r e s p e c t i v e l y . I n S e c t i o n 4 . 3 . 1 , w e d e v e l o p a C T M C o r r a t h e r a

M a r k o v r e w a r d m o d e l . T h e u t i l i t y o f t h i s m o d e l i n p r a c t i c e i s l i m i t e d a s t h e s i z e o f t h e m o d e l g r o w s

e x p o n e n t i a l l y w i t h t h e n u m b e r o f p r o c e s s o r s i n t h e V A X c l u s t e r . A m o d e l t h a t a v o i d s l a r g e n e s s i s

d i s c u s s e d i n S e c t i o n s 4 . 3 . 2 a n d 4 . 4 . T h e m o d e l i n S e c t i o n 4 . 3 . 2 u s e s a t w o - l e v e l d e c o m p o s i t i o n f o r

t h e p r o c e s s o r s u b s y s t e m o f t h e V A X c l u s t e r 1 6 . O n t h e o t h e r h a n d , f o r t h e m o d e l i n S e c t i o n 4 . 4

a n i t e r a t i v e s c h e m e i s d e v e l o p e d 1 0 . T h e a p p r o x i m a t e n a t u r e o f t h e r e s u l t s p r o m p t e d a l a r g e n e s s

t o l e r a n c e a p p r o a c h . I n S e c t i o n 4 . 5 , a c o n c i s e s t o c h a s t i c P e t r i n e t i s d e v e l o p e d f o r V A X c l u s t e r s

c o n s i s t i n g o f u n i p r o c e s s o r s 1 . T h e n e x t a p p r o a c h i n S e c t i o n 4 . 6 c o n s i s t s o f r e a l i s t i c h e t e r o g e n e o u s

c o n g u r a t i o n s , w h e r e t h e V A X c l u s t e r s c o n s i s t o f u n i p r o c e s s o r s a n d o r m u l t i p r o c e s s o r s 3 , 4 u s i n g

s t o c h a s t i c r e w a r d n e t s 1 4 .

3

C o m p u t e r I n t e r c o n n e c t

1 1

7/24/2019 Availability Models

12/28

4 . 1 R e l i a b i l i t y B l o c k D i a g r a m M o d e l R B D

T h e r s t m o d e l o f V A X c l u s t e r s u s e s a n o n - s t a t e s p a c e m e t h o d , n a m e l y , t h e r e l i a b i l i t y b l o c k d i a -

g r a m . T h i s a p p r o a c h w a s s e e n i n t h e a v a i l a b i l i t y m o d e l o f V A X c l u s t e r s b y B a l k o v i c h e t . a l 6 . W e

u s e t h i s a p p r o a c h t o p a r t i t i o n t h e V A X c l u s t e r a l o n g f u n c t i o n a l l i n e s , a n d t h i s a l l o w s u s t o m o d e l

e a c h c o m p o n e n t t y p e s e p a r a t e l y . I n F i g u r e 9 , t h e b l o c k d i a g r a m r e p r e s e n t s a V A X c l u s t e r c o n g u -

r a t i o n w i t h n p r o c e s s o r s , n H S C s a n d n d i s k s . W e a s s u m e t h a t t h e V A X c l u s t e r i s d o w n i f a l l t h e

.

.

.

.

.

.

.

.

.

VAX

VAX

VAX

HSC

HSC

Disk

Disk

Processing

Subsystem

Storage

Subsystem

F i g u r e 9 : R e l i a b i l i t y b l o c k d i a g r a m m o d e l f o r t h e V A X c l u s t e r S y s t e m .

c o m p o n e n t s o f a n y o f t h e t h r e e s u b s y s t e m s a r e d o w n . W e a s s u m e t h a t t h e t i m e s t o f a i l u r e o f a l l

c o m p o n e n t s a r e m u t u a l l y i n d e p e n d e n t , a n d e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d r a n d o m v a r i a b l e s . W e a l s o

a s s u m e e a c h c o m p o n e n t t o h a v e a n i n d e p e n d e n t r e p a i r f a c i l i t y . T h e r e p a i r t i m e h e r e i s a 2 - s t a g e

h y p o e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d r a n d o m v a r i a b l e w i t h t h e r s t p h a s e b e i n g t h e t r a v e l t i m e f o r t h e

r e p a i r m a n t o g e t t o t h e e l d a n d t h e s e c o n d p h a s e b e i n g t h e a c t u a l r e p a i r t i m e . O n e v a l u a t i n g t h i s

m o d e l a s a p u r e s e r i e s - p a r a l l e l a v a i l a b i l i t y m o d e l , t h e e x p r e s s i o n f o r t h e V A X c l u s t e r a v a i l a b i l i t y i s

g i v e n b y :

A =

1 ,

P

P

+

1

1 =

P

+ 1 =

F

!

n

!

1 ,

H

H

+

1

1 =

H

+ 1 =

F

!

n

!

1 ,

D

P

+

1

1 =

D

+ 1 =

F

!

n

!

3

H e r e ,

1 =

P

i s t h e m e a n t i m e b e t w e e n V A X p r o c e s s o r f a i l u r e s .

1 =

H

i s t h e m e a n t i m e b e t w e e n H S C f a i l u r e s .

1 =

D

i s t h e m e a n t i m e b e t w e e n d i s k f a i l u r e s .

1 =

F

i s t h e m e a n e l d s e r v i c e t r a v e l t i m e .

1 =

P

, 1 =

H

a n d 1 =

D

a r e t h e m e a n t i m e t o r e p a i r a V A X p r o c e s s o r , H S C a n d d i s k r e s p e c -

t i v e l y .

T h e a s s u m p t i o n t h a t a V A X c l u s t e r i s d o w n w h e n a l l t h e c o m p o n e n t s o f a n y o f t h e t h r e e s u b -

s y s t e m s a r e d o w n i s n o t i n t u n e w i t h r e a l i t y . F o r a V A X c l u s t e r t o b e o p e r a t i o n a l t h e s y s t e m s h o u l d

m e e t q u o r u m , w h e r e q u o r u m i s t h e m i n i m u m n u m b e r o f V A X e s r e q u i r e d f o r t h e V A X c l u s t e r t o

f u n c t i o n .

1 2

7/24/2019 Availability Models

13/28

OR

Cluster failure

. . . . . . . . .

P1

UP

UP

2 n

U U U U U UD D DH H H

1 2 n 1 2 n

(n-k+1) of n (n-k+1) of n (n-k+1) of n

U

F i g u r e 1 0 : F a u l t t r e e m o d e l f o r t h e V A X c l u s t e r s y s t e m

4 . 2 F a u l t T r e e M o d e l

I n t h i s s e c t i o n , w e p r e s e n t a f a u l t t r e e m o d e l f o r t h e V A X c l u s t e r c o n g u r a t i o n d i s c u s s e d i n S e c t i o n

4 . 1 . F i g u r e 1 0 , i s a m o d e l f o r t h e V A X c l u s t e r w i t h n p r o c e s s o r s , n H S C s , a n d n d i s k s . O b s e r v e

t h a t , i n a b l o c k d i a g r a m m o d e l , t h e s t r u c t u r e t e l l s u s w h e n t h e s y s t e m i s f u n c t i o n i n g , w h i l e i n a

f a u l t t r e e m o d e l , t h e s t r u c t u r e t e l l s u s w h e n t h e s y s t e m h a s f a i l e d . I n a d d i t i o n , w e h a v e e x t e n d e d

t h e m o d e l t o i n c l u d e a q u o r u m r e q u i r e d f o r o p e r a t i o n . T h e c l u s t e r i s o p e r a t i o n a l a s l o n g a s k o u t

o f n p r o c e s s o r s , H S C s a n d d i s k s a r e u p . T h e n e g a t i o n o f t h i s o p e r a t i o n a l i n f o r m a t i o n i s d e p i c t e d

i n t h e f a u l t t r e e a s f o l l o w s . T h e t o p m o s t n o d e d e n o t e s C l u s t e r F a i l u r e " a n d t h e a s s o c i a t e d O R "

g a t e s p e c i e s t h a t , a c l u s t e r f a i l s i f n , k + 1 p r o c e s s o r s , n , k + 1 H S C s , o r n , k + 1 d i s k s

a r e d o w n . T h e s t e a d y s t a t e u n a v a i l a b i l i t y o f t h e c l u s t e r , U

c l u s t e r

i s g i v e n b y ,

U

c l u s t e r

= 1 , 1 , U

P

1 , U

H

1 , U

D

4

w h e r e , U

i

=

P

j J j n , k + 1

Q

j 2 J

U

i

j

Q

j =2 J

1 , U

i

j

f o r i = P , H o r D p r o c e s s o r s , H S C s o r d i s k s ,

a n d J i s t h e s e t o f i n d i c e s o f a l l f u n c t i o n i n g c o m p o n e n t s .

T h e R B D a n d f a u l t t r e e V A X c l u s t e r a v a i l a b i l i t y m o d e l s a r e v e r y l i m i t e d i n t h e i r d e p i c t i o n o f

t h e f a i l u r e r e c o v e r y b e h a v i o r o f t h e V A X c l u s t e r . F o r e x a m p l e , t h e y a s s u m e t h a t e a c h c o m p o n e n t

h a s i t s o w n r e p a i r f a c i l i t y , a n d t h a t t h e r e i s o n l y o n e f a i l u r e r e c o v e r y t y p e . I n f a c t , c o m b i n a t o r i a l

m o d e l s l i k e R B D s , f a u l t t r e e s a n d r e l i a b i l i t y g r a p h s r e q u i r e s y s t e m c o m p o n e n t s t o b e h a v e i n a

s t o c h a s t i c a l l y i n d e p e n d e n t m a n n e r . D e p e n d e n c i e s o f m a n y d i e r e n t k i n d s e x i s t i n V A X c l u s t e r s a n d

h e n c e , c o m b i n a t o r i a l m o d e l s a r e n o t e n t i r e l y s a t i s f a c t o r y f o r s u c h s y s t e m s . S t a t e s p a c e m o d e l i n g

t e c h n i q u e s l i k e M a r k o v i a n m o d e l s c a n i n c l u d e d i e r e n t k i n d s o f d e p e n d e n c i e s . I n t h e f o l l o w i n g

s e c t i o n s , w e d e v e l o p s t a t e s p a c e m o d e l s f o r t h e p r o c e s s i n g s u b s y s t e m a n d t h e s t o r a g e s u b s y s t e m

s e p a r a t e l y , a n d u s e a h i e r a r c h i c a l t e c h n i q u e t o c o m b i n e t h e m o d e l s o f t h e t w o s u b s y s t e m s t o o b t a i n

a n o v e r a l l s y s t e m a v a i l a b i l i t y m o d e l .

1 3

7/24/2019 Availability Models

14/28

20p,1

10p,0

10c,1 00t,1 10t,1

01c,1

000,0

01t,1

01b,0

02r,1

11s,1

P

P

P

P

P

2 2P

(1-c)

2I(1-k)

CB

2Ik

T

I

2PB

P

P

2P

P

T P

T

PB2P

c

CB

I

PB

F i g u r e 1 1 : C T M C f o r t h e t w o - p r o c e s s o r V A X c l u s t e r

4 . 3 A v a i l a b i l i t y M o d e l f o r t h e V A X c l u s t e r P r o c e s s i n g S u b s y s t e m

4 . 3 . 1 C o n t i n u o u s T i m e M a r k o v C h a i n

W e n o w d e v e l o p a m o r e d e t a i l e d c o n t i n u o u s t i m e M a r k o v c h a i n C T M C m o d e l f o r t h e V A X c l u s t e r ,

s h o w i n g t w o t y p e s o f f a i l u r e a n d a c o v e r a g e f a c t o r f o r e a c h f a i l u r e t y p e . B y u s i n g a s t a t e s p a c e

m o d e l , w e a r e a l s o a b l e t o i n c o r p o r a t e s h a r e d r e p a i r f o r t h e p r o c e s s o r s i n a c l u s t e r . W e a s s u m e d t h a t

t h e t i m e s b e t w e e n f a i l u r e s , t h e r e p a i r t i m e s a n d o t h e r r e c o v e r y t i m e s a r e e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d

a n d d e v e l o p e d a n a v a i l a b i l i t y m o d e l f o r a n n , p r o c e s s o r n 2 V A X c l u s t e r u s i n g a h o m o g e n e o u s

c o n t i n u o u s - t i m e M a r k o v c h a i n . A C T M C f o r a 2 - p r o c e s s o r V A X c l u s t e r d e v e l o p e d i n 1 i s s h o w n i n

F i g u r e 1 1 . T h e f o l l o w i n g b e h a v i o r i s c h a r a c t e r i z e d i n t h i s C T M C . A p r o c e s s o r i s e i t h e r u p o r d o w n .

T h e r e a r e t w o t y p e s o f f a i l u r e : p e r m a n e n t a n d i n t e r m i t t e n t . A p r o c e s s o r r e c o v e r s f r o m a p e r m a n e n t

f a i l u r e b y a p h y s i c a l r e p a i r a n d f r o m a n i n t e r m i t t e n t f a i l u r e b y a p r o c e s s o r r e b o o t . T h e s e f a i l u r e s

a r e f u r t h e r c l a s s i e d i n t o c o v e r e d o r u n c o v e r e d . A c o v e r e d p r o c e s s o r f a i l u r e c a u s e s a b r i e f i n t h e

o r d e r o f s e c o n d s c l u s t e r o u t a g e t o r e c o n g u r e t h e f a i l e d p r o c e s s o r o u t o f t h e c l u s t e r a n d b a c k

i n t o t h e c l u s t e r a f t e r i t i s x e d . T h u s i f a q u o r u m i s s t i l l f o r m e d b y t h e o p e r a t i o n a l p r o c e s s o r s , a

c o v e r e d f a i l u r e c a u s e s a s m a l l l o s s i n s y s t e m t i m e . A n u n c o v e r e d f a i l u r e c a u s e s t h e e n t i r e c l u s t e r t o

g o d o w n u n t i l i t i s r e b o o t e d e v e n i f t h e r e m a i n i n g o p e r a t i o n a l p r o c e s s o r s s t i l l f o r m q u o r u m . T h e

p e r m a n e n t a n d i n t e r m i t t e n t m e a n f a i l u r e t i m e s a r e 1 =

p

a n d 1 =

I

h o u r s r e s p e c t i v e l y . T h e m e a n

r e p a i r , m e a n p r o c e s s o r r e b o o t , a n d m e a n c l u s t e r r e b o o t t i m e s a r e g i v e n b y 1 =

p

, 1 =

P B

, 1 =

C B

r e s p e c t i v e l y . L e t c a n d k d e n o t e t h e c o v e r a g e f a c t o r s f o r p e r m a n e n t a n d i n t e r m i t t e n t f a i l u r e s

r e s p e c t i v e l y . R e a l i s t i c a l l y , t h e m e a n r e c o n g u r a t i o n t i m e 1 =

I N

t o m a p a p r o c e s s o r i n t o t h e

c l u s t e r a n d t h e t i m e 1 =

O U T

t o m a p i t o u t o f t h e c l u s t e r a r e d i e r e n t . I n t h e C T M C o f F i g u r e

1 1 , w e h a v e a s s u m e d t h a t

I N

=

O U T

=

T

. T h e s t a t e s o f t h e M a r k o v c h a i n a r e r e p r e s e n t e d b y

a b c ; d , w h e r e ,

1 4

7/24/2019 Availability Models

15/28

a = n u m b e r o f p r o c e s s o r s d o w n w i t h p e r m a n e n t f a i l u r e

b = n u m b e r o f p r o c e s s o r s d o w n w i t h i n t e r m i t t e n t f a i l u r e

c =

8

:

0 i f b o t h p r o c e s s o r s a r e u p

p i f o n e p r o c e s s o r i s b e i n g r e p a i r e d

b i f o n e p r o c e s s o r i s b e i n g r e b o o t e d

c i f c l u s t e r i s u n d e r g o i n g a r e b o o t

t i f c l u s t e r i s u n d e r g o i n g a r e c o n g u r a t i o n

r i f t w o p r o c e s s o r s a r e b e i n g r e b o o t e d

s i f o n e i s b e i n g r e b o o t e d a n d o t h e r r e p a i r e d

d =

0 c l u s t e r u p s t a t e

1 c l u s t e r d o w n s t a t e

T h e s t e a d y - s t a t e a v a i l a b i l i t y o f t h e c l u s t e r i s g i v e n b y :

A v a i l a b i l i t y = P

0 0 0 ; 0

+ P

1 0 p ; 0

+ P

0 1 b ; 0

5

w h e r e , P

a b c ; d

d e n o t e s t h e s t e a d y - s t a t e p r o b a b i l i t y t h a t t h e p r o c e s s i s i n s t a t e a b c ; d . W e c o m p u t e d

t h e a v a i l a b i l i t y o f t h e V A X c l u s t e r s y s t e m b y s o l v i n g t h e a b o v e C T M C u s i n g S H A R P E 9 , w h i c h i s

a s o f t w a r e p a c k a g e f o r a v a i l a b i l i t y p e r f o r m a b i l i t y a n a l y s i s . T h e m a i n p r o b l e m w i t h t h i s a p p r o a c h

w a s t h a t t h e s i z e o f t h e C T M C g r e w e x p o n e n t i a l l y w i t h t h e n u m b e r o f p r o c e s s o r s i n t h e V A X c l u s t e r

s y s t e m . T h e l a r g e n e s s p o s e d t h e f o l l o w i n g c h a l l e n g e s : 1 t h e c a p a b i l i t y o f t h e s o f t w a r e t o s o l v e t h e

m o d e l w i t h t h o u s a n d s o f s t a t e s f o r V A X c l u s t e r s w i t h n 5 p r o c e s s o r s . 2 t h e p r o b l e m o f a c t u a l l y

g e n e r a t i n g t h e s t a t e s p a c e . I n t h e n e x t s e c t i o n w e a d d r e s s t h e s e t w o d r a w b a c k s .

4 . 3 . 2 A p p r o x i m a t e A v a i l a b i l i t y M o d e l f o r t h e P r o c e s s i n g S u b s y s t e m

I n t h i s s e c t i o n , w e d i s c u s s a V A X c l u s t e r a v a i l a b i l i t y m o d e l t h a t a v o i d s t h e l a r g e n e s s a s s o c i a t e d w i t h

a M a r k o v m o d e l . T o r e d u c e t h e c o m p l e x i t y o f a l a r g e s y s t e m , I b e e t . a l 1 6 d e v e l o p e d a t w o - l e v e l

h i e r a r c h i c a l m o d e l . T h e b o t t o m l e v e l i s a h o m o g e n e o u s C T M C a n d t h e t o p l e v e l i s a c o m b i n a t o r i a l

m o d e l . T h i s t o p - l e v e l m o d e l w a s r e p r e s e n t e d a s a n e t w o r k o f d i o d e s o r t h r e e - s t a t e d e v i c e s .

T h e a p p r o x i m a t e a v a i l a b i l i t y m o d e l d e v e l o p e d f o r t h e a n a l y s i s m a d e t h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n s

1 6 .

1 . T h e b e h a v i o r o f e a c h p r o c e s s o r w a s m o d e l e d b y a h o m o g e n e o u s C T M C a n d a s s u m e d t h a t

t h i s p r o c e s s o r d i d n o t b r e a k t h e q u o r u m r u l e . T h i s a s s u m p t i o n i s j u s t i e d b y t h e f a c t t h a t

t h e p r o b a b i l i t y o f V A X c l u s t e r f a i l u r e d u e t o l o s s o f q u o r u m i s r e l a t i v e l y l o w .

2 . E a c h p r o c e s s o r h a s a n i n d e p e n d e n t r e p a i r m a n . T h i s a s s u m p t i o n i s j u s t i e d a s t h e a u t h o r s

s a w t h a t t h e M T B F w a s l a r g e c o m p a r e d t o t h e M T T R .

T h e s e a s s u m p t i o n s a l l o w e d t h e a u t h o r s t o d e c o m p o s e t h e n - p r o c e s s o r V A X c l u s t e r i n t o n i n d e -

p e n d e n t s u b s y s t e m s . F u r t h e r , t h e s t a t e s o f t h e C T M C f o r t h e i n d i v i d u a l p r o c e s s o r s w e r e c l a s s i e d

i n t o t h e f o l l o w i n g t h r e e s t a t e s :

1 5

7/24/2019 Availability Models

16/28

X = t h e s e t o f s t a t e s i n w h i c h t h e p r o c e s s o r s a r e u p .

Y = t h e s e t o f s t a t e s i n w h i c h t h e c l u s t e r i s d o w n d u e t o a p r o c e s s o r f a i l u r e .

Z = t h e s e t o f s t a t e s i n w h i c h t h e p r o c e s s o r i s d o w n b u t t h e c l u s t e r i s u p .

T h e a u t h o r s c o m p a r e d t h e s u p e r s t a t e s t o t h e t h r e e s t a t e s o f a d i o d e . T h e t h r e e s t a t e s X , Y

a n d Z r e p r e s e n t t h e f o l l o w i n g s t a t e s o f t h e d i o d e u p s t a t e , t h e s h o r t c i r c u i t s t a t e a n d t h e o p e n

c i r c u i t s t a t e r e s p e c t i v e l y . T h e n t h e a v a i l a b i l i t y , A , o f t h e V A X c l u s t e r w a s d e n e d a s f o l l o w s 1 6 :

A = P a t l e a s t o n e p r o c e s s o r i n s u p e r s t a t e X a n d n o n e i n s u p e r s t a t e Y :

L e t n

X

, n

Y

a n d n

Z

d e n o t e t h e n u m b e r o f p r o c e s s o r s i n s u p e r s t a t e s X , Y a n d Z , r e s p e c t i v e l y .

L e t P

X

, P

Y

a n d P

Z

d e n o t e t h e p r o b a b i l i t y t h a t a p r o c e s s o r i s i n s u p e r s t a t e X , T a n d Z . T h e n I b e

e t a l . 1 6 d e n e d t h e a v a i l a b i l i t y A

n

o f a n n - p r o c e s s o r V A X c l u s t e r a s f o l l o w s :

A

n

=

n

X

n

X

= 1

n

n

X

0 n , n

X

P

n

X

X

P

0

Y

P

n , n

X

Z

6

=

n

X

n

X

= 0

n

n

X

P

n

X

X

P

n , n

X

Z

,

n !

0 ! n , 0 !

P

0

X

P

n

Z

= P

X

+ P

Z

n

, P

n

Z

T h e a u t h o r s c o u l d a n a l y z e d i e r e n t V A X c l u s t e r c o n g u r a t i o n s b y s i m p l y v a r y i n g t h e n u m b e r

o f p r o c e s s o r s n i n t h e a b o v e e q u a t i o n . T h e m a i n d r a w b a c k s o f t h i s a p p r o a c h a r e t h e a p p r o x i m a t e

n a t u r e o f t h e s o l u t i o n v e r s u s a n e x a c t s o l u t i o n , a n d t h e n e e d t o m a k e s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n s , o n e

o f t h e a s s u m p t i o n s b e i n g a n i n d e p e n d e n t r e p a i r m a n f o r e a c h p r o c e s s o r . I n t h e n e x t s e c t i o n , w e

i l l u s t r a t e a n o t h e r a p p r o x i m a t i o n t e c h n i q u e t o d e a l w i t h l a r g e s u b s y s t e m s .

4 . 4 A v a i l a b i l i t y M o d e l f o r t h e V A X c l u s t e r S t o r a g e S u b s y s t e m

I n t h i s s e c t i o n , w e d i s c u s s a n o v e l a v a i l a b i l i t y m o d e l f o r V A X c l u s t e r s w i t h l a r g e s t o r a g e s u b s y s t e m s .

I n 1 0 , a x e d - p o i n t i t e r a t i o n s c h e m e w a s u s e d o v e r a s e t o f C T M C s u b - m o d e l s . T h e d e c o m p o s i t i o n

o f t h e m o d e l i n t o s u b - m o d e l s c o n t r o l l e d t h e s t a t e s p a c e e x p l o s i o n a n d t h e i t e r a t i o n m o d e l e d t h e r e -

p a i r p r i o r i t i e s b e t w e e n t h e d i e r e n t s t o r a g e c o m p o n e n t s . T h e m o d e l c o n s i d e r e d c o n g u r a t i o n s w i t h

s h a d o w e d c o m m o n l y k n o w n a s m i r r o r e d d i s k s a n d c h a r a c t e r i z e d s y s t e m a l o n g w i t h a p p l i c a t i o n

l e v e l r e c o v e r y .

I n F i g u r e 1 2 , w e s h o w t h e b l o c k d i a g r a m o f a n e x a m p l e s t o r a g e s y s t e m c o n g u r a t i o n , t h a t w i l l

b e u s e d t o d e m o n s t r a t e t h e t e c h n i q u e . T h e c o n g u r a t i o n s h o w n c o n s i s t s o f t w o H S C s , a n d a s e t

o f d i s k s . T h e d i s k s a r e f u r t h e r c l a s s i e d i n t o t w o s y s t e m d i s k s a n d t w o a p p l i c a t i o n d i s k s . T h e

o p e r a t i n g s y s t e m r e s i d e s o n t h e s y s t e m d i s k , a n d t h e u s e r a c c o u n t s a n d o t h e r a p p l i c a t i o n s o f t w a r e

o n t h e a p p l i c a t i o n d i s k s . F u r t h e r , i t i s a s s u m e d t h a t t h e d i s k s a r e s h a d o w e d

4

a n d d u a l p a t h e d

a n d p o r t e d b e t w e e n t h e t w o H S C s 1 0 . A d i s k d u a l p a t h e d b e t w e e n t w o H S C s c a n b e a c c e s s e d

c l u s t e r - w i d e i n a c o o r d i n a t e d w a y t h r o u g h e i t h e r H S C . I n c a s e , o n e o f t h e H S C f a i l s , a d u a l p o r t e d

d i s k c a n b e a c c e s s e d t h r o u g h t h e o t h e r H S C a f t e r a b r i e f f a i l o v e r p e r i o d .

4

C o m m o n l y r e f e r r e d t o a s m i r r o r e d

1 6

7/24/2019 Availability Models

17/28

HSC1

HSC2System

System

Disk 1

Disk 2

Application

Application

Disk 1

Disk 2

F i g u r e 1 2 : R e l i a b i l i t y b l o c k d i a g r a m f o r t h e s t o r a g e s y s t e m

2H

1H T2H

0H

H2

H

F

F

H H

H

T1H

1S T2S

0S

D2

D

F

F

D D

D

T1S

2S 2A

1A T2A

0A

D2

D

F

F

D D

D

T1A

a b c

F i g u r e 1 3 : C T M C m o d e l s : S h a r e d r e p a i r w i t h i n a

a H S C s u b s y s t e m , b S D i s k s u b s y s t e m , c A D i s k s u b s y s t e m

W e n o w d i s c u s s t h e s e q u e n c e o f a p p r o x i m a t i o n m o d e l s d e v e l o p e d t o c o m p u t e t h e a v a i l a b i l i t y

o f t h e s t o r a g e s y s t e m i n F i g u r e 1 2 . T h e r s t m o d e l a s s u m e d t h a t e a c h c o m p o n e n t i n t h e b l o c k

d i a g r a m h a s i t s o w n r e p a i r f a c i l i t y . W e a s s u m e d t h a t t h e r e p a i r t i m e i s a 2 - s t a g e h y p o e x p o n e n t i a l l y

d i s t r i b u t e d r a n d o m v a r i a b l e w i t h t h e r s t p h a s e b e i n g t h e t r a v e l t i m e a n d t h e s e c o n d p h a s e b e i n g

t h e a c t u a l r e p a i r t i m e . T h i s m o d e l c a n b e s o l v e d a s a p u r e s e r i e s - p a r a l l e l a v a i l a b i l i t y m o d e l t o

c o m p u t e t h e a v a i l a b i l i t y o f t h e s t o r a g e s y s t e m , s i m i l a r t o t h e s o l u t i o n o f t h e R B D i n S e c t i o n 4 . 1 .

I n t h e s e c o n d i m p r o v e d m o d e l , w e r e m o v e d t h e a s s u m p t i o n o f i n d e p e n d e n t r e p a i r . I n s t e a d , i t

i s a s s u m e d t h a t a r e p a i r f a c i l i t y i s s h a r e d w i t h i n a s u b s y s t e m . T h e s t o r a g e s y s t e m i s n o w a s s u m e d

a s a t w o - l e v e l h i e r a r c h i c a l m o d e l . T h e b o t t o m l e v e l c o n s i s t s o f t h r e e i n d e p e n d e n t C T M C m o d e l s ,

n a m e l y H S C , S D i s k a n d A D i s k , r e p r e s e n t i n g t h e H S C , s y s t e m d i s k a n d a p p l i c a t i o n d i s k s u b s y s t e m s

r e s p e c t i v e l y . T h e t o p l e v e l c o n s i s t s o f a r e l i a b i l i t y b l o c k d i a g r a m r e p r e s e n t i n g a s e r i e s n e t w o r k o f

t h e t h r e e s u b s y s t e m s . I n F i g u r e 1 3 a , b , c w e s h o w t h e C T M C m o d e l s o f t h e t h r e e s u b s y s t e m s .

T h e r e l i a b i l i t y b l o c k d i a g r a m a t t h e t o p l e v e l i s s h o w n i n F i g u r e 1 4 .

T h e s t a t e s o f t h e C T M C m o d e l a d o p t t h e f o l l o w i n g c o n v e n t i o n .

S t a t e n X r e p r e s e n t s , n c o m p o n e n t s o f t h e s u b s y s t e m a r e o p e r a t i o n a l , w h e r e n c a n t a k e t h e

v a l u e s 0 , 1 o r 2 .

HSC SDISK ADISK

F i g u r e 1 4 : T o p l e v e l r e l i a b i l i t y b l o c k d i a g r a m f o r t h e s t o r a g e s u b s y s t e m

1 7

7/24/2019 Availability Models

18/28

S t a t e T

n X

r e p r e s e n t s t h a t t h e e l d s e r v i c e h a s a r r i v e d a n d t h a t n , 1 c o m p o n e n t s o f t h e

s u b s y s t e m a r e o p e r a t i o n a l a n d t h e r e s t a r e u n d e r r e p a i r .

I n t h e a b o v e n o t a t i o n , t h e v a l u e o f X i s H , S o r A , w h e r e H i s a s s o c i a t e d w i t h t h e H S C s u b s y s t e m

m o d e l , S w i t h t h e s y s t e m d i s k s u b s y s t e m m o d e l a n d A w i t h t h e a p p l i c a t i o n d i s k s u b s y s t e m m o d e l .

T h e s t e a d y s t a t e a v a i l a b i l i t y o f t h e s t o r a g e s u b s y s t e m i n F i g u r e 1 4 i s g i v e n b y ,

A = A

H

A

S

A

A

7

A

X

i s t h e a v a i l a b i l i t y o f t h e X s u b s y s t e m a n d i s g i v e n b y ,

A

X

= P

2 X

+ P

1 X

+ P

T

2 X

8

w h e r e P

i X

a n d P

T

i X

a r e t h e s t e a d y - s t a t e p r o b a b i l i t y t h a t t h e M a r k o v c h a i n i s i n s t a t e i X a n d s t a t e

T

i X

r e s p e c t i v e l y .

I n t h e t h i r d a p p r o x i m a t i o n w e t o o k i n t o a c c o u n t d i s k r e l o a d a n d s y s t e m r e c o v e r y . T h i s t a k e s i n t o

a c c o u n t t h e f o l l o w i n g a c t i v i t i e s . W h e n a d i s k s u b s y s t e m e x p e r i e n c e s a f a i l u r e , d a t a o n t h e d i s k m a y

b e c o r r u p t e d o r l o s t . A f t e r t h e d i s k i s r e p a i r e d t h e d a t a i s r e l o a d e d o n t o t h e d i s k f r o m a n e x t e r n a l

s o u r c e , s u c h a s a b a c k u p d i s k o r t a p e . W h i l e t h e r e l o a d i s a l o c a l a c t i v i t y o f a d i s k s u b s y s t e m ,

r e c o v e r y i s a g l o b a l s y s t e m - w i d e a c t i v i t y . T h i s b e h a v i o r i s i n c o r p o r a t e d i n t h e M a r k o v m o d e l s o f

F i g u r e 1 5 a , b , c a s f o l l o w s . T h e H S C M a r k o v m o d e l i s e n h a n c e d b y i n c l u d i n g a p p l i c a t i o n

r e c o v e r y s t a t e s R

2 H

a n d R

1 H

a f t e r t h e l o s s o f b o t h t h e H S C s i n t h e H S C s u b s y s t e m . T h e s y s t e m

d i s k M a r k o v m o d e l i s e x t e n d e d b y i n c o r p o r a t i n g r e l o a d s t a t e s L

2 S

a n d L

1 S

, a n d a p p l i c a t i o n r e c o v e r y

s t a t e s R

2 S

a n d R

1 S

. T h e r e l o a d f o l l o w e d b y a p p l i c a t i o n r e c o v e r y s t a r t s i m m e d i a t e l y a f t e r t h e r s t

d i s k i s r e p a i r e d . W e f u r t h e r a s s u m e t h a t a c o m p o n e n t c o u l d s u e r f a i l u r e s d u r i n g a r e l o a d a n d o r

r e c o v e r y . T h e a p p l i c a t i o n d i s k M a r k o v m o d e l i s e x t e n d e d s i m i l a r t o t h e s y s t e m d i s k m o d e l b y

i n c l u d i n g r e l o a d s t a t e s L

2 A

a n d L

1 A

, a n d r e c o v e r y s t a t e s R

2 A

a n d R

1 A

. T h e e x p r e s s i o n f o r t h e

s t e a d y - s t a t e a v a i l a b i l i t y o f t h e s t o r a g e s u b s y s t e m i s s i m i l a r t o t h e e x p r e s s i o n o b t a i n e d i n t h e s e c o n d

a p p r o x i m a t i o n .

I n t h e f o u r t h a p p r o x i m a t i o n , t h e a s s u m p t i o n o f i n d e p e n d e n t r e p a i r f a c i l i t y f o r e a c h s u b s y s t e m i s

e l i m i n a t e d . I n t h i s a p p r o x i m a t i o n , t h e r e p a i r f a c i l i t y i s s h a r e d b e t w e e n s u b s y s t e m s , a n d w h e n m o r e

t h a n o n e c o m p o n e n t i s d o w n , t h e f o l l o w i n g r e p a i r p r i o r i t y i s a s s u m e d : 1 a n y s u b s y s t e m w i t h a l l

f a i l e d c o m p o n e n t s i s r e p a i r e d r s t ; 2 o t h e r w i s e , a n H S C i s r e p a i r e d r s t , s y s t e m d i s k s e c o n d , a n d

a p p l i c a t i o n d i s k t h i r d . T h i s r e p a i r p r i o r i t y s c h e m e d o e s n o t c h a n g e t h e M a r k o v m o d e l f o r t h e H S C

s u b s y s t e m , b u t c h a n g e d t h e m o d e l f o r t h e s y s t e m a n d a p p l i c a t i o n d i s k s u b s y s t e m s . T h e s y s t e m

d i s k h a s t h e s e c o n d h i g h e s t p r i o r i t y a n d h e n c e , t h e s y s t e m d i s k r e p a i r r a t e

D

i s s l o w e d d o w n b y

m u l t i p l y i n g i t b y P

1

, t h e p r o b a b i l i t y t h a t b o t h H S C s a r e o p e r a t i o n a l , g i v e n t h a t e l d s e r v i c e i s

p r e s e n t a n d t h e s y s t e m i s n o t i n a r e c o v e r y m o d e . T h e n P

1

i s g i v e n b y ,

P

1

=

P

2 H

P

2 H

+ P

T

1 H

+ P

T

2 H

: 9

I n 1 0 i t i s a s s u m e d t h a t a c o m p o n e n t c a n b e r e p a i r e d d u r i n g r e c o v e r y . T h e n t h e s y s t e m d i s k

r e p a i r r a t e ,

D

f r o m t h e r e c o v e r y s t a t e s i s s l o w e d d o w n b y m u l t i p l y i n g i t b y P

2

w h e r e ,

P

2

=

P

R

2 H

P

R

1 H

+ P

R

2 H

: 1 0

1 8

7/24/2019 Availability Models

19/28

2H

1H T2H

0H

2 H

F

F

H H

1H

H

R

R

H

H

H

2 H

T

R2H

1HR

1S T2S

0S

D2

D

F

F

D D

T1S

2S

R

R

D

D

D

D 2 D

D 2 D

S

S

R2S

L

L

R

2S

1S1S

a b

T2A

0A

D2

D

F

F

D D

T

1A

R

R

D

D

D

D 2 D

D 2 D

A

A

R2A

L

L

R

2A

1A1A

2A

1A

c

F i g u r e 1 5 : C T M C m o d e l s :

a S y s t e m R e c o v e r y I n c l u d e d f o r H S C s u b s y s t e m ,

b D i s k R e l o a d a n d S y s t e m R e c o v e r y I n c l u d e d f o r S D i s k s u b s y s t e m ,

c D i s k R e l o a d a n d S y s t e m R e c o v e r y I n c l u d e d f o r A D i s k s u b s y s t e m

1 9

7/24/2019 Availability Models

20/28

H e r e , P

R

n H

n = 1 ; 2 a r e t h e H S C r e c o v e r y s t a t e s .

T h e a p p l i c a t i o n d i s k h a s t h e l o w e s t r e p a i r p r i o r i t y , a n d i s e n f o r c e d b y p r o b a b i l i s t i c a l l y s l o w i n g

d o w n t h e r e p a i r r a t e . T h e r e p a i r r a t e f r o m t h e n o n - r e c o v e r y s t a t e s i s s l o w e d d o w n b y m u l t i p l y i n g

D

b y P

3

w h e r e ,

P

3

=

P

2 H

A

P

2 S

B

: 1 1

H e r e A = P

2 H

+ P

T

1 H

+ P

T

2 H

a n d B = P

2 S

+ P

T

1 S

+ P

T

2 S

+ P

L

1 S

+ P

L

2 S

. T h e n P

3

e x p r e s s e s t h e

p r o b a b i l i t y t h a t b o t h H S C s a r e o p e r a t i o n a l g i v e n t h a t t h e H S C s u b s y s t e m i s n o t i n t h e r e c o v e r y

s t a t e s o r i n s t a t e s w i t h l e s s t h a n t w o H S C s o p e r a t i o n a l , a n d t h a t b o t h s y s t e m d i s k s a r e o p e r a t i o n a l

g i v e n t h a t t h e s y s t e m d i s k i s i n n o n - r e c o v e r y s t a t e s o r s t a t e s w i t h m o r e t h a n o n e s y s t e m d i s k u p .

T h e s t e a d y - s t a t e a v a i l a b i l i t y i s c o m p u t e d a s i n t h e r s t a p p r o x i m a t i o n .

I n t h e a b o v e a p p r o x i m a t i o n s w e i n c l u d e d t h e e l d s e r v i c e t r a v e l t i m e f o r e a c h s u b s y s t e m . I n t h e

r e a l w o r l d , i f a e l d s e r v i c e p e r s o n i s p r e s e n t a n d r e p a i r i n g a c o m p o n e n t i n o n e s u b s y s t e m , h e w o u l d

r e s p o n d t o a f a i l u r e i n a n o t h e r s u b s y s t e m . T h u s i n t h i s c a s e w e s h o u l d n o t b e i n c l u d i n g t r a v e l t i m e

t w i c e . A l s o , t h e e l d s e r v i c e w o u l d f o l l o w t h e r e p a i r p r i o r i t y d e s c r i b e d a b o v e . T h e M a r k o v m o d e l

f o r e a c h s u b s y s t e m c a n b e m o d i e d , b y i t e r a t i v e l y c h e c k i n g t h e p r e s e n c e o f e l d s e r v i c e p e r s o n i n

t h e o t h e r t w o M a r k o v m o d e l s . T h e e l d s e r v i c e p e r s o n i s a s s u m e d t o w a i t o n s i t e u n t i l r e l o a d a n d

r e c o v e r y i s c o m p l e t e d i n t h e S D i s k a n d A D i s k s u b s y s t e m , a n d u n t i l r e c o v e r y i s c o m p l e t e d i n t h e

H S C s u b s y s t e m .

T h e H S C s u b s y s t e m i s e x t e n d e d a s f o l l o w s . T h e r a t e o f t r a n s i t i o n d u e t o a c o m p o n e n t f a i l u r e

i s p r o b a b i l i s t i c a l l y s p l i t u s i n g t h e v a r i a b l e y

1

o r 1 , y

1

. T h e p r o b a b i l i t y t h a t t h e e l d s e r v i c e i s

p r e s e n t f o r r e p a i r i n g a c o m p o n e n t i n e i t h e r o f t h e t w o d i s k s u b s y s t e m s i s ,

y

1

= 1 , P

2 S

, P

1 S

, P

0 S

+ 1 , P

2 A

, P

1 A

, P

0 A

1 2

, 1 , P

2 S

, P

1 S

, P

0 S

1 , P

2 A

, P

1 A

, P

0 A

:

T h e i n i t i a l v a l u e o f y

1

i s a s s u m e d t o b e 0 i n t h e r s t i t e r a t i o n . T h e n t h e a b o v e v a l u e o f y

1

i s

u s e d f o r t h e n e x t i t e r a t i o n .

T h e s y s t e m a p p l i c a t i o n d i s k s u b s y s t e m i s e x t e n d e d a s f o l l o w s . T h e r a t e o f e v e r y t r a n s i t i o n d u e

t o a c o m p o n e n t f a i l u r e t h a t o c c u r s i n t h e a b s e n c e o f t h e r e p a i r p e r s o n i n t h e s y s t e m a p p l i c a t i o n

d i s k s u b s y s t e m i s m u l t i p l i e d b y y

2

o r 1 , y

2

. T h e e x p r e s s i o n f o r y

2

i s s i m i l a r t o t h e e x p r e s s i o n

f o r y

1

e x c e p t S A i s r e p l a c e d b y H . T h i s t a k e s i n t o a c c o u n t t h a t t h e e l d s e r v i c e i s p r e s e n t i n t h e

H S C a n d o r a p p l i c a t i o n s y s t e m d i s k s u b s y s t e m .

I n a s i m i l a r m a n n e r , t h e n e x t a p p r o x i m a t i o n r e n e d t h e m o d e l b y t a k i n g i n t o a c c o u n t t h e

g l o b a l n a t u r e o f s y s t e m r e c o v e r y . T h a t i s , i f a r e c o v e r y i s o n g o i n g i n o n e s u b s y s t e m t h e o t h e r

t w o s u b s y s t e m s a r e f o r c e d t o g o i n t o r e c o v e r y . T h e a p p r o x i m a t e d e e c t o f g l o b a l r e c o v e r y i s

a c h i e v e d w i t h a n i t e r a t i v e s c h e m e t h a t a l l o w s f o r i n t e r a c t i o n b e t w e e n t h e s u b - m o d e l s . T h e n a l

a p p r o x i m a t i o n o n l y m o d i e d t h e H S C s u b s y s t e m m o d e l t o i n c o r p o r a t e t h e e e c t o f a n H S C f a i l o v e r

5

a s s h o w n i n F i g u r e 1 6 .

I n s t a t e 2 H , i n s t e a d o f a s i n g l e f a i l u r e t r a n s i t i o n l a b e l e d 2

H

, w e n o w h a v e t h r e e f a i l u r e t r a n -

s i t i o n s . I f t h e p r i m a r y H S C f a i l s t h e m o d e l t r a n s i t i o n s f r o m s t a t e 2 H t o s t a t e P F A I L w i t h a r a t e

H

, a n d P F A I L t r a n s i t i o n s t o s t a t e 1 H a f t e r a f a i l o v e r t o t h e s e c o n d a r y H S C w i t h a r a t e

F D

. I n

5

F a i l o v e r i s t h e p r o c e d u r e o f s w i t c h i n g t o a n a l t e r n a t e p a t h o r c o m p o n e n t a f t e r f a i l u r e o f a p a t h o r a c o m p o n e n t

1 9 . D u r i n g t h e H S C f a i l o v e r p e r i o d a l l t h e d i s k s a r e s w i t c h e d o n t o t h e o p e r a t i o n a l H S C .

2 0

7/24/2019 Availability Models

21/28

2H

1H

0H

PFAIL SFAIL RPFAIL RSFAIL

R2H

R1H

T2H

T1H

H

FD

H

H

P

det

H

(1-Pdet

)

H

H

F

F

H

H

H

H

H

FD

HPdet

H

(1-Pdet

)

R

R

H

R

F i g u r e 1 6 : H S C s u b m o d e l w i t h f a i l o v e r i n c l u d e d

s t a t e 2 H i f t h e f a i l u r e o f t h e s e c o n d a r y H S C i s d e t e c t e d w i t h p r o b a b i l i t y P

d e t

a t r a n s i t i o n t o s t a t e

1 H o c c u r s w i t h r a t e P

d e t

H

a n d i f n o t d e t e c t e d t h e n a t r a n s i t i o n o c c u r s w i t h r a t e 1 , P

d e t

H

t o

s t a t e S F A I L . T h e s t e a d y s t a t e a v a i l a b i l i t y o f t h e H S C s u b s y s t e m i s t h e n g i v e n b y ,

A

H S C

= P

2 H

+ P

1 H

+ P

T

2 H

+ P

S F A I L

: 1 3

T h e s t e a d y s t a t e a v a i l a b i l i t y o f t h e s t o r a g e s u b s y s t e m i s g i v e n b y E q u a t i o n 7 . I n 1 0 , a f t e r

v a r i o u s e x p e r i m e n t s i t w a s o b s e r v e d t h a t t h e s t o r a g e d o w n t i m e i s m o r e s e n s i t i v e t o d e t e c t i o n o f a

s e c o n d a r y H S C f a i l u r e t h a n t h e a v e r a g e f a i l o v e r t i m e .

4 . 5 S P N A v a i l a b i l i t y M o d e l

I n t h i s s e c t i o n w e d i s c u s s a V A X c l u s t e r a v a i l a b i l i t y m o d e l t h a t t o l e r a t e s l a r g e n e s s a n d a u t o m a t e s

t h e g e n e r a t i o n o f l a r g e M a r k o v m o d e l s . I b e , S a t h a y e e t a l . 1 , u s e g e n e r a l i z e d s t o c h a s t i c P e t r i

n e t s t o m o d e l V A X c l u s t e r s . T h e a u t h o r s u s e d t h e s o f t w a r e t o o l S P N P 8 t o g e n e r a t e a n d s o l v e

t h e M a r k o v m o d e l u n d e r l y i n g t h e S P N . I n f a c t , t h e S P N m o d e l i n 1 a l l o w s e x t e n s i o n s t o p e r m i t

s p e c i c a t i o n s a t t h e n e t l e v e l , h e n c e t h e r e s u l t i n g m o d e l i s a s t o c h a s t i c r e w a r d n e t .

I n F i g u r e 1 7 s h o w s a p a r t i a l S P N V A X c l u s t e r s y s t e m m o d e l . T h e d e t a i l s o f t h e e n t i r e m o d e l i n

1 a r e b e y o n d t h e s c o p e o f t h e p a p e r . T h e p l a c e P

U P

w i t h N t o k e n s r e p r e s e n t s t h e i n i t i a l c o n d i t i o n

t h a t a l l t h e N p r o c e s s o r s a r e u p . T h e p r o c e s s o r s c a n s u e r a p e r m a n e n t o r i n t e r m i t t e n t f a i l u r e ,

r e p r e s e n t e d b y t h e t i m e d t r a n s i t i o n s t

I N T

a n d t

P E R M

r e s p e c t i v e l y . T h e r i n g r a t e o f t h e t r a n s i t i o n

t

P E R M

a n d t

I N T

a r e m a r k i n g d e p e n d e n t . T h i s r a t e i s e x p r e s s e d a s P

U P

; i

P

a n d P

U P

; i

I

r e s p e c t i v e l y , w h e r e P

U P

; i r e p r e s e n t s t h e n u m b e r o f t o k e n s i n p l a c e P

U P

i n a n y m a r k i n g i .

T h e p l a c e P

P E R M

P

I N T

r e p r e s e n t s t h a t a p e r m a n e n t i n t e r m i t t e n t f a i l u r e h a s o c c u r r e d . W h e n

p e r m a n e n t i n t e r m i t t e n t f a i l u r e o c c u r s , i t w i l l b e c o v e r e d w i t h p r o b a b i l i t y c k a n d u n c o v e r e d

w i t h p r o b a b i l i t y 1 , c 1 , k . T h e c o v e r e d p e r m a n e n t a n d i n t e r m i t t e n t f a i l u r e i s r e p r e s e n t e d b y

i m m e d i a t e t r a n s i t i o n s t

P C

a n d t

I C

r e s p e c t i v e l y . T h e u n c o v e r e d p e r m a n e n t a n d i n t e r m i t t e n t f a i l u r e

i s r e p r e s e n t e d b y i m m e d i a t e t r a n s i t i o n s t

P U

a n d t

I U

r e s p e c t i v e l y . A f a i l u r e i s c o n s i d e r e d t o b e

c o v e r e d o n l y i f t h e n u m b e r o f o p e r a t i o n a l p r o c e s s o r s i s a t l e a s t l , t h e q u o r u m . T h e i n p u t a n d

o u t p u t a r c w i t h m u l t i p l i c i t y l f r o m a n d t o t h e p l a c e P

U P

e n s u r e s q u o r u m m a i n t e n a n c e . I n F i g u r e

2 1

7/24/2019 Availability Models

22/28

Block

Cluster

Reconfiguration

PUIF

t IC

PINT

tIU

tIP

P#

#

I

l

Intermittent

#

P

tPERM

PPERM

1-c

tPC

tPU

P

PUPF

PRP

REBP

Block Permanent Block

l

INT

REBt

1-k

CPF

N

UPP

k c

l

l

t

RECONFIG

RECONFIGt

F i g u r e 1 7 : P a r t i a l S P N m o d e l o f t h e V A X c l u s t e r s y s t e m

1 7 , t h e b l o c k l a b e l e d , C l u s t e r R e c o n g u r a t i o n B l o c k " r e p r e s e n t s a g r o u p o f r e c o n g u r a t i o n p l a c e s

i n t h e c o m p l e t e m o d e l o f 1 . I n a d d i t i o n , t h e f o l l o w i n g b e h a v i o r i s r e p r e s e n t e d b y t h e S P N :

A c o v e r e d p e r m a n e n t f a i l u r e i s n o t p o s s i b l e w h i l e t h e c l u s t e r i s b e i n g r e b o o t e d a f t e r a n

u n c o v e r e d f a i l u r e t o k e n i n e i t h e r P

U I F

o r P

U P F

. T h i s i s r e p r e s e n t e d b y a