BAB I METODE SIMPSON.docx

8/18/2019 BAB I METODE SIMPSON.docx

1/17

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Tujuan

Tujuan penyusunan makalah ini adalah untuk mempermudah pemahaman

prinsip dasar mengenai integrasi numerik khususnya dengan menggunakan Aturan

Simpson sehingga dalam pengaplikasiannya di lapangan menjadi lebih mudah dan

akurat.

1.2 Batasan Masalah

Mengetahui nilai batasan satu titik tambahan di antara f (a) dan f (b), maka

ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola. Apabila terdapat dua titik

tambahan dengan jarak yang sama antara f (a) dan f (b), maka keempat titik

tersebut dapat dihubungkan dengan polinomial order tiga.

1.3 Dasar Teori

13.1 Aturan Trapezoial !Aturan Trapesiu"#Pada aturan ini, fungsi f(x) pada a! b" dibagi dalam beberapa selang (n).

Perha tikan gambar berikut#

$ita tahu bah%a integral dari suatu fungsi adalah luas daerah pada fungsi

tersebut &ang dibatasi oleh selang pengintegralan. 'ambar diatas menunjukkan

bah%a fungsi (x) di hampiri dengan luasan trapesium. adi menghitung integral

fungsi f(x) *engan batas a! b" adalah jumlah dari luas trapesium.


2/17

$ita juga ketahui bah%a rumus dari luas trapesium adalah + h- (/ 0 d). 1umus

luas ini akan membantu kita untuk men/ari luas pada gambar pertama. $arena a

x2 dan b xn maka luas sebuah trapesium pada gambar diatas adalah

3ntuk lebih akurat, maka kita harus memperbanyak trapesium dalam fungsi terse4

but sehingga luas seluruhnya adalah

Atotal A5 0 A 0 6 6 6 0 An

*engan

Sehingga kita dapat menyimpulkan bah%a

Sehingga hasil diatas dapat kita sederhanakan menjadi


3/17

Sekarang kita akan menguji /oba aturan ini dengan integral yang kita ketahui nilai

eksaknya.

5. *engan menggunakan aturan Trape7oidal dengan n 8 hampirilah nilai


4/17

dengan / adalah suatu titik tengah diantara a dan b# ika dibandingkan dengan

nilai eksaknya maka masih terdapat perbedaan yang /ukup signi6kan. Sehingga

kita akan men/oba beralih pada aturan selanjutnya.

a. Moi$i%asi Aturan Trapezoial

Aturan Trape7oidal diatas dapat dimodi6kasi sebagai berikut.

Sekarang kita akan men/oba mengaplikasikannya dalam /ontoh diatas. 5. 4

*engan menggunakan aturan Trape7oidal yang dimodi6kasi dengan n 8

hampirilah nilai


5/17

13.2 Metoe Inte&rasi 'i"pson

Pada Pendekatan 9ntegral numerik menggunakan metode Simpson kita

gunakan pendekatan dengan /ara trapesium dengan mengambil dua

subinter:al dengan mengasumsikan pengambilan dua buah trapesium yang

berdampingan kur:a yang terbentuk mendekati bentuk kur:a parabola. 3ntuk

itu perhitungan integral dengan /ara simpson tersebut hasil nya untuk kur:a

berpangkat kurang atau sama dengan dua mendekati nilai sebenarnya

( perhitungan dengan kalkulus dasar)

Taksiran yang lebih akurat dari suatu integral diperoleh jika polinomial

derajat tinggi digunakan untuk menghubungkan titik4titik diskrit. 1umus4


6/17

rumus yang dihasilkan dengan pengambilan integral dari polinomial tersebut

dinamakan aturan4aturan Simpson. Misalnya, apabila terdapat satu titik

tambahan di antara f (a) dan f (b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan

fungsi parabola. Apabila terdapat dua titik tambahan dengan jarak yang sama

antara f (a) dan f (b), maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan dengan

polinomial order tiga.

(a")ar 1.1 Aturan 'i"pson

a. Aturan*Aturan 'i"pson

Aturan Simpson 1+3

(a")ar 1.2 Penurunan "etoe 'i"pson


7/17

*i dalam aturan Simpson 5-; digunakan polinomial order dua

(persamaan parabola) yang melalui titik f ( xi – 5) , f ( xi) dan f ( xi 0 5)

untuk mendekati fungsi. 1umus Simpson dapat diturunkan

berdasarkan deret Taylor. 3ntuk itu, dipandang bentuk integral berikut

ini.

dx x f x I ∫ =x

a

)()(

(persamaan 5)

Apabila bentuk tersebut didiferensialkan terhadap x, akan menjadi#

)()(

)(< x f dx

xdI x I ==

(persamaan )

*engan memperhatikan 'ambar = dan persamaan () maka

persamaan deret Taylor adalah#

)x(


8/17

Pada 'ambar 5., nilai I ( xi 0 5) adalah luasan diba%ah fungsi f ( x)

antara batas a dan xi 0 5. Sedangkan nilai I ( xi − 5) adalah luasan antara

batas a dan I ( xi − 5). *engan demikian luasan di ba%ah fungsi antara

batas xi − 5 dan xi 0 5 yaitu ( Ai), adalah luasan I ( xi 0 5) dikurangi I ( xi − 5)

atau persamaan (;) dikurangi persamaan (=).

Ai I ( xi 0 5) I ( xi − 5)

Atau

)?()(


9/17

Persamaan C dikenal dengan metode Simpson 5-;. *iberi tambahan

nama 5-; karena∆ x dibagi dengan ;. Pada pemakaian satu pias,

.

ab x

−=∆

, sehingga persamaan C dapat ditulis dalam bentuk#

[ ])()(=)(C

i b f c f a f ab

A ++−

=

(persamaan D)

dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b.

$esalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 5-; untuk

satu pias adalah#

)(


10/17

$esalahan terhadap nilai eksak#

I.E5D,@I522@E85@2,@;

DCEC,@C@E85@2,@;t −=×

−=ε

b. Aturan 'i"pson 1+3 en&an )an,a% pias

Seperti dalam metode trapesium, metode Simpson dapat diperbaiki

dengan membagi luasan dalam sejumlah pias dengan panjang inter:al

yang sama ('ambar @)#

n

ab

x

−=∆

dengan n adalah jumlah pias.

(a")ar 1.3 Metoe 'i"pson en&an )an,a% pias

+uas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias, seperti

pada 'ambar @.

∫ +++= −

b

a5n;5 ...)( A A Adx x f

(persamaan 8)

*alam metode Simpson ini jumlah inter:al adalah genap. Apabila

persamaan C disubstitusikan ke dalam persamaan 8 akan diperoleh#

)=(;

?...)=(

;

?)=(

;

?)( n5nn

b

a;552 f f f

x f f f

x f f f

xdx x f +++∫ ++++++= −−


11/17

atau

∫

∑+∑++=

−

=

−

=

b

a

n

ii

5n

5ii )()(=)()(

;

?)( x f x f b f a f

xdx x f

(persamaan E)

Seperti pada 'ambar @, dalam penggunaan metode Simpson

dengan banyak pias ini jumlah inter:al adalah genap. Perkiraan

kesalahan yang terjadi pada aturan Simpson untuk banyak pias adalah#


12/17

c. Metode Simpson 3+

Metode Simpson ;-8 diturunkan dengan menggunakan persamaan

polinomial order tiga yang melalui empat titik.

dx x f dx x f I ∫ ≈∫ = b

a;

b

a

)()(

*engan /ara yang sama pada penurunan aturan Simpson 5-;, akhirnya

diperoleh#

[ ])()(;)(;)(8

?;;52 x f x f x f x f

x I +++=

(persamaan 52)

dengan#

;

ab

x

−

=∆

Persamaan 52 disebut dengan metode Simpson ;-8 karena ∆ x dikalikan

dengan ;-8. Metode Simpson ;-8 dapat juga ditulis dalam bentuk#

[ ]8

)()(;)(;)()( ;52

x f x f x f x f ab I

+++−=

(persamaan 55)

Metode Simpson ;-8 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar#

)(


13/17

)(


14/17

.2DDE8,@@8

);;()2=(

=CCCD,;;;;,52

=+++

−= eeee

I

Jesar kesalahan adalah#

.IDC5,I522@E85@,@;

2DDE8,@@@E85@2,@;t −=×

−=ε

b) Apabila digunakan @ pias, maka data untuk kelima pias tersebut adalah#

f (2) e

2

5 f (,=) e

,=

55,2;58.

f (2,8) e2,8 ,@@= f (;,) e;,

=,@;@;.

f (5,C) e5,C =,E@;2 f (=) e= @=,@E85@.

9ntegral untuk pias pertama dihitung dengan metode Simpson 5-; (persamaan

D)#

[ ])()(=)(C

i b f c f a f ab

A ++−

=

.EC5;8,;)E@;2;,=)@@=,=(5(C

C,5=+×+= I

Tiga pias terakhir digunakan aturan Simpson ;-8#

[ ]8

)()(;)(;)()( ;52 x f x f x f x f ab I +++−=

.8C@=E,=E8

)@E85@,@=)@;@;,=;()2;58,55;(E@;2;,=(=, =

+×+×+= I

9ntegral total adalah jumlah dari kedua hasil diatas#


15/17

.8C8D;,@;8C@=E,=EEC5;8,; =+= I

$esalahan terhadap nilai eksak#

I.=D,2I522@E85@,@;

8C8D;,@;@E85@2,@;t −=×

−=ε

2.2.2 Algoritma Metode Integrasi Simpson

(5) *efinisikan yf(x)

() Tentukan batas ba%ah (a) dan batas atas integrasi (b)

(;) Tentukan jumlah pembagi n

(=) Hitung h(b4a)-n

DA/TA0 PU'TAA

Purnama Arafah. 22=. Tingkat $esalahan Pada Penghitungan +uas *aerah

Jidang 1ata Pada Metode Trapesium *an Simpson. urusan Pendidikan

Matematika *an $omputasi akultas $eguruan *an 9lmu Pendidikan,

3ni:ersitas Muhammadiyah Malang.


16/17

*idit Judi Bugroho. 22E. *iktat $uliah Metode Bumerik Program Studi

Matematika akultas Sains *an Matematika 3ni:ersitas $risten Satya

Ka/ana.

Prati%i Busi. 255. Approximate 9ntegration. Program Studi Matematika Terapan

Pas/asarjana 3ni:ersitas Hasanuddin Makassar.

endi Al .au7i. 25. Penggunaan Aturan Trape7oidal (Aturan Trapesium), *an

Aturan Simpson Sebagai Hampiran *alam 9ntegral Tentu. akultas

Matematika *an 9lmu Pengetahuan 3ni:ersitas 9ndonesia.

AL(0ITMA METDE 'IMP'N

(5) *efinisikan yf(x)

() Tentukan batas ba%ah (a) dan batas atas integrasi (b)

(;) Tentukan jumlah pembagi n

(=) Hitung h(b4a)-n

/L4HA0T METDE 'IMP'N


17/17

Date post:	07-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	inget-yester-yunanda-barusst
View:	218 times
Download:	0 times

BAB I METODE SIMPSON.docx

Documents