BAB IIPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

DENGAN DERET KUASA

2.1. Fungsi Analitik, Titik Ordiner Dan Titik SingularFungsi f (x), dikatakan analitik di x = x 0 jika deret Taylor

konvergen di sekitar titik x = x0.

Contoh :f (x) = ln x ; akan diselidiki apakah f (x) analitik di x = 1 adalah :

f (x) = ln x → f (1) = 0

f’(x) = → f’(1) = 1

f”(x) = → f”(1) = -1

f’’’(x) = → f’’’(1) = 2

f(iv)(x) = - → f(iv)(1) = -3!

f(n)(x) = → f(n)(1) = (-1)n-1(n-1)!

Deret Taylor :

=

II - 1

Pokok Bahasan Fungsi Analitik, Titik Ordiner dean Titik Singular Power Series Method Persamaan dan Polinomial Legendre Metode Frobenius Persamaan Bessel

Sehingga untuk deret Taylor dari f(x) = In x di atas, yaitu :

; uji konvergensinya adalah sebagai berikut :

=

=

di sekitar x = 1 → |x – 1| = 0

= 0 < 1 ; jadi konvergen

Berarti f(x) = In x analitik di x = 1.

Fungsi-fungsi yang analitik di sembarang nilai x diantaranya adalah

fungsi-fungsi : Polinomial; sin x; cos x; e x; termasuk jumlahan, selisih,

hasil kali, dan hasil bagi dari fungsi-fungsi tersebut. Hasil bagi dari fungsi

analitik akan menjadi tidak analitik jika penyebutnya 0.

Contoh :

f(x) = x3 + 2x2 + x + 9,5

f(x) = cos 2x + x4 + sin x + 1

f(x) = 2xe-x + tg x

f(x) = 0

f(x) = dan sebagainya.

Bila persamaan diferensial berbentuk : y” + P (x) y ‘ + Q(x) y = 0

maka didefinisikan :

1. Titik X0 disebut titik ordiner (ordinary point) dari PD di atas jika P(x),

dan Q(x) analitik pada x = x0. Jika salah satu atau kedua fungsi

tersebut tidak analitik di x=x0, maka x0 disebut titik singular (singular

point) dari PD di atas.

2. Titik x0 disebut titik singular teratur (Regular Singular Point) dari PD

di atas, jika x0 titik singular dari PD dan fungsi (x-x 0) P(x) dan (x-x0)2

Q(x) analitik di x0.

Catatan : koefisien dari y” harus sama dengan 1.

Contoh :

II - 2

1. PD : y” – xy’ + 2y = 0; selidiki di sekitar x = 0

merupakan fungsi-fungsi polinomial

yang analitik dimana-mana, x = 0 merupakan titik

ordiner/biasa.

2. PD : (x2 – 4) y” + y = 0 ; di x = 2

P(x) = 0 analitik di mana-mana

Q(x) = Q(y) = tidak analitik

x = 2 merupakan titik singular.

3. PD : 2x2y” + 7x (x + 1)y’ – 3y = 0 ; di titik x = 0

P(x) = P(0) =

Tidak analitik di x = 0

Q(x) = Q(0) =

x = 0 titik singular

karena :

analitik

maka x = 0 merupakan titik singular teratur.

2.2. Power Seris Method (Penyelesaian PD dengan pendekatan di sekitar titik ordiner)

Teorema 1 :Bila P, Q, dan R dalam PD : y” + P(x) y’ + Q(x) y = R(x) ……….. (2-1)

adalah fungsi analitik di x = x0 (x0 merupakan titik ordiner dari PD) maka

setiap penyelesaian dari (1) analitik di x = x0 dan dapat dinyatakan dalam

bentuk deret kuasa dari x – x0 :

y = (x – x0)m = a0y1(x) + a1y2(x) ……………………... (2-2)

a0 dan a1 adalah konstanta sembarang.

II - 3

Contoh :1. Selesaikan PD : y” – xy’ + 2y = 0

Penyelesaian :

P dan Q analitik di mana-mana, x = 0 merupakan titik

Ordiner.

Sehingga y = (x – 0)m = xm merupakan penyelesaian

persamaan differensial.

y = xm = a0 + a1x + a2x2 + …… + asxs + …..

y’ = xm-1 = a1 + 2a2x + 3a3 x2 + …..

y” = (m – 1) m am xm-2 = 2a2 + 2.3a3 x + 3.4a4x2 + …..

subsitusi y, y’ dan y” ke PD :

(m – 1) m am xm-2 – x m am xm-1 + 2 am xm = 0

[1.2a2 + 2.3a3x + 3.4a4x2 + ….. + (s + 1))s + 2)as+2xs + …..] +

[a1x + 2a2x2 + 3a3x3 + ….. + sasxs + …..]+

2[ao+a1x + 2a2x2 + 3a3x3 + …… + sasxs + …..] = 0

kumpulkan suku-suku yang mengandung x dengan pangkat sama.

(2a2 + 2a0) + x(6a3 – a1 + 2 a1) +…..+

[(s + 1) (s + 2) as+2 - sas + 2as] xs = 0

samakan koefisien sisi sebelah kiri dan kanan tanda sama dengan :

koefisien x0 : 2a2 + 2a0 = 0 a2 = -a0

koefisien x1 : (6a3 – a1 + 2a1) = 0 a3 = - a1

koefisien xs : (s+1)(s+2)as+2 - sas+2as= 0 as+2 =

rumus rekursi untuk s = 0,1,2 ….

Dari rumus rekursi bisa ditentukan nilai am untuk sembarang s

s = 0 a2 = = -a0

s = 1 a3 = = - a1

II - 4

s = 2 a4 = 0

s = 3 a5 =

s = 4 a6 =

s = 5 a7 =

s = 6 a8 =

PUPD : y = amxm = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …..

y = a0 + a1x – a0x2 - a1x3 + 0x4 - a1x5 + 0x6 - a1x7 + ..

y = a0 (1 – x2) + a1

y = a0y1 + a1y2

y1 = 1 – x2

y2 = x - x3 - x5 - x7 - …….

2. Selesaikan PD : (x2 + 4)y” + xy = x + 2

Penyelesaian :

Masing-masing ruas dibagi dengan (x2 + 4) menjadi :

y” +

Cek apakah P, Q, dan R analitik di titik x = 0

P(x) = 0 analitik di titik x = 0

Q(x) = analitik di titik x = 0

R(x) = analitik di titik x = 0

x = 0 merupakan titik ordiner PD, sehingga penyelesaian PD :

II - 5

y = amxm

y’ = mam xm-1

y” = (m – 1) mam xm-2

Substitusikan y : y’ dan y” ke PD :

(x2 + 4) (m – 1) mamxm-2 + x amxm = x + 2

atau :

(m – 1)mamxm + 4 (m – 1) mamxm-2 + amxm+1 = x + 2

atau :

2a2x2 + 6a3x3 + 12a4x4 + 20a5x5 + …+ (s – 1)sasxs + …

8a2 + 24a3x + 48a4x2 + 80a5x3 + ….+ 4(s + 1)(s + 2) as+2xs + …

a0x + a1x2 + a2x3 + a3x4 + … + as-1xs + …. = x + 2

Persamaan identitas :

Koefisien x0 : 8a2 = 2 a2 =

x1 : 24a3 + a0 = 1 a3 = -

x2 : 2a2 + 48a4 + a1 = 0 a4 = -

xs : (s -1)sas + 4 (s + 1)(s + 2)as+2 + as-1 = 0

as+2 =

Rumus rekursif untuk s = 2,3,4…….

Rumus rekursif ini tidak berlaku untuk s = 0 dan s = 1, karena

koefisien x0 dan x1 dalam ruas kanan PD (1) tidak nol. Sehingga

untuk s = 2,3, …… :

s = 2 : a4 =

s = 3 : a5 =

II - 6

Jadi PUPD :

y = a0 + a1x + x2 + x3 + x4 +

x5 + …….

y =

+

y =

dengan : y1(x) = 1 -

y2(x) = x - + ……

yc = penyelesaian komplementer, yaitu penyelesaian PD

Homogen : (x2 + 4)y” + xy = 0

yp = penyelesaian partikulir, yaitu penyelesaian PD Non-

Homogen : (x2 + 4)y” + xy = x + 2

Bila x = x0 # 0 digunakan transformasi : t = x-x0

x = t + x0

dx = dt = 1

Sehingga PD : y” + P(x)y’ + Q(x)y = 0 menjadi :

y’ =

y” =

P(x) = P(t + x0)

Q(x) = Q(t + x0)

II - 7

Pd menjadi : P(t + x0) + Q(t + x0)y = 0

2.3. Persamaan dan Polinomial Legendre

2.5.1. Persamaan LegendrePersamaan difeensial dengan bentuk umum sebagai berikut :

(1 – x2) y – 2xy + n (n + 1) y = 0 ………………………….... (2.3)

dengan n real : disebut persamaan Legendre.

Jika masing-masing ruas dibagi dengan (1-x2); PD menjadi :

y -

Terlihat bahwa x = 0 merupakan titik ordiner dari PD; sehingga PD diatas

bisa diselesaikan dengan penderetan disekitar titik ordiner, dengan

mengambil :

y = amxm ………………………………………………….. (2-4)

y’ = mamxm-1 …………………………………………….. (2-5)

y” = (m -1)mamxm-2 ……………………………………… (2-6)

substitusikan y, y’ dan y” ke PD :

(1-x2) (m -1)mamxm-2 – 2x mamxm-1 + n(n – 1)

amxm = 0 ………………………………………………….. (2-7)

atau (m -1)mamxm-2 - (m -1)mamxm – 2 mamxm + n(n + 1)

amxm = 0

Atau 1.2.a2 + 2.3.a3 + 3.4.a4x2 + ….. + (s + 1)(s + 2)as+2 xs + …..

- 1.2a2x2 – 2.3a3x3 – 3.4a4x4 - …… -2sasxs - ……

- 2.1a1x – 2.2a2x2 – 2.3a3x3 - ….. -2.sasxs - ……..

+ n(n = 1)a0 + n(n + 1)a1x + n(n + 1)a2x2 + ….+ n(n + 1)asxs + …

= 0

II - 8

kumpulkan x dengan pangkat yang sama, diperoleh persamaan :

koefisien x0 : 1(2)a2 + n(n + 1)a0 = 0 a2 = -

koefisien x1 : 2(3)a3 – 2(1)a1 + n(n + 1)a1 = 0

6a3 + (- 2 + n(n + 1)a1 = 0 a3 = -

Koefisien xs : (s + 1)(s + 2)as + 2 + [-s(s – 1) – 2s + n(n + 1)]as = 0

as+2 = - ………………………………………. (2-8)

rumus rekursif untuk s = 0,1,2,3,…….

dari rumus rekursif bisa diturunkan :

s = 0;a2 = -

s = 1;a3 = -

s = 2;a4 = -

=

s = 3;a5= -

=

PU.PD :

y = a0 + a1x +

+ …………………………..… (2-9)

atau

y = a0

atau

II - 9

y = a0y1 (x) + a1y2(x) ………………………………………… (2-10)

dengan :

y1(x) = 1 - ……………. (2-11)

y2(x) = 1 - ….. (2-12)

2.5.2. Polinomial Legendre

Dalam beberapa aplikasi, parameter n dalam persamaan Legendre

adalah bilangan bulat positif (n ≥ 0). Jika n adalah bilangan bulat positif,

untuk s = n sisi kanan persamaan (1-15) sama dengan nol, dan

an+2 = 0 : an+4 = 0 ; an+6 = 0; an+8 = ; ……..

sehingga,

- jika n genap; persamaan (1-xx) akan tereduksi menjadi suatu

polinomial derajat n dalam x

- jika n ganjil ; Persamaan (1-xx) akan tereduksi menjadi suatu

polinomial derajat n dalam x.

Untuk n genap maupun ganjil polinomial derajat n yang terjadi disebut

polinomial Legendre, ditulis dengan Pn(x). Bentuk umum dari Pn(x) bisa

diturunkan dengan cara sebagai berikut :

Rumus rekursif (1-8) diperoleh

as = - ; s ≤ n – 2 ……………………….. (2.13)

sehingga untuk s = 0; 1; 2; 3; …….; n – 1, nilai a s dapat dinyatakan dalam

an (n adalah pangkal terhitung dari x dalam polinomial).

Koefisien an merupakan konstanta sembarang, dipilih sebagai berikut :

an =

pemilihan nilai an ini dilakukan agar untuk sembarang polinomial Pn(x);

harga Pn(1) = 1, sehingga : an-2 = -

an-4 = -

II - 10

; n = 0

; n = 1; 2; 3; 4 ……………………………. (2-14)

an-2m = (-1)m

sehingga Pn(x) yang merupakan penyelesaian dari persamaan Legendre

bisa dinyatakan secara umum :

Pn(x) = (-1)m = …………... (2-15)

= + - ….

dengan : M = untuk n genap dan M = untuk n ganjil.

Beberapa polinomial Legendre orde n :

P0(x) = 1 P1(x) = x

P2(x) = (3x2 – 1) P3(x) = (5x3 – 3x)

P4(x) = (35x4 – 30x2 + 3) P5(x) = (63 x 5 – 70x3 + 15x)

Secara grafis Pn (x) bisa digambarkan sebagai berikut :

Rumus-rumus rekursif untuk polinomial Legendre :

1. Pn+1(x) = x Pn(x) - Pn-1(x)

2. P’n+1(x) – P’n-1(x) = (2n = 1)Pn(x)

Rumus polinomial Legendre Pn(x) bisa dituliskan dalam bentuk formula

Rodrigues sebagai berikut :

II - 11

Pn(x) =

Dua buah polinomial Legendre yang berbeda akan saling tegak lurus pada

interval -1 < x <1 ; sehingga :

1. Pm(x)Pn(x)dx ; m # 2

2. Pn2(x)dx =

2.5.3. Deret Polinomial LegendreJika f(x) memenuhi syarat Dirichet dalam interval -1 < x < 1, maka

f(x) bisa diekspansikan kedalam suatu deret Legendre yang berbentuk :

f(x) = Ak Pk (x) = A0P0(x) + A1P1(x) + A2P2 (x) + …... (2-16)

Syarat Dirichlet untuk deret polonomial Legendre :

1. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal kecuali pada beberapa titik yang

jumlahnya berhingga dalam interval (01, 1).

2. f(x) periodik dengan perioda 2

3. f(x) dan f’(x) kontinu bagian demi bagian pada (-1,1) maka deret f(x) =

Ak Pk (x) konvergen ke :

a. (f(x) jika x titik kontinu.

b. ; jika x titik diskontinu

Bukti :

Pm(x) f(x) dx = Ak Pm Pk(x) dx

Pm(x) f(x) dx = Amm P2m(x) dx = Am

Am = Pm(x) f(x) dx (2-17)

Contoh :

II - 12

f(x) =

Ekspansikan f(x) ke dalam deret Polinomial Legendre :

Deret polinomial Legendre f(x) = AkPk(x)

Ekspansikan

dengan Ak = Pk(x) f(x) dx

k = 0 → A0 = P0(x) f(x) dx = 1.1 dx =

k = 1 → A1 = P1(x) f(x) dx = x.1 dx =

k = 2 → A2 = P2(x) f(x) dx = dx = 0

k = 3 → A3 = P3(x) f(x) dx = dx = -

k = 4 → A4 = P4(x) f(x) dx = dx = 0

k = 5 → A5 = P5(x) f(x) dx = dx =

dan seterusnya

f(x) = P0(x) + P1(x) - P3(x) + P5(x) - + …………

Soal Latihan :Selesaikan persamaan diferensial berikut :

1. y” + 2y’ + 4xy = 0

2. (1 – x2)y’ = 2xy

3. (x + 1)y’ – (2x + 3)y = 0

4. (1 – x2)y” – 2xy’ + 2y = 0

5. Selesaikan PD : y” + y = 0 dengan penderetan disekitar titik x =

1

Jawaban :1. y = -2 + a3x3

II - 13

2. y = a0(1 + x2 + x4 + …) =

3. y = a0 (1 + 3x + x2 + x3 + 2x4 + …)

4. y = a1x + a0 (1 – x2 - x4 - x6 - x8 - ….)

5. y = a0(1 - = + …) + a1 (t - - + …) = a0 cos

(x – 1) + a1 sin (x – 1)

2.4. Metode Frobenius (Extended Power Series Method)

Persamaan diferensial berbentuk : y”+P(x)y’ + Q(x)y = 0.. (2-18)

Bila P(x) dan Q(x), salah satu atau keduanya tidak analitik pada titik x =

x0, maka titik x0 disebut titik singular dari PD. Jika U(x) = P(x) (x-x 0); V(x) =

Q(x) (x-x0)2, PD menjadi :

y” + ………………………. (2-19) atau :

(x – x0)2 y” + (x – x0)U (x)y’ + V(x)y = 0 ………………… (2-20)

Jika U(x) dan V(x) analitik di x = x0, maka x0 disebut titik singular teratur.

Jika U(x) dan V(x) tidak analitik di x = x0, maka x0 disebut titik singular tak

teratur untuk PD (1).

Teorema 1Apabila x = x0 merupakan titik singular teratur dari PD (1); maka PD

(1) paling sedikit mempunyai satu penyelesaian basis yang berbentuk : y =

xr am(x – x0)m ………………………………... (2-21)

Jika x0 = 0 :

Y = xr amxm = xr (a0 + a1x + a2x2 + ...) = amxm+r ……….. (2-22)

r adalah konstanta yang akan ditentukan, sedemikian sehingga a0 # 0.

II - 14

Misalkan pendekatan U(x) dan V(x) dalam deret kuasa adalah :

U(x) = bsxs = b0 + b1x + b2x2 + b3x3 + ….. + bsxs dan

V(x) = csxs = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + ….. + csxs

y’ = = (m + r) amxm+r-1

y’’ = = (m + r-1)(m + r) amxm+r-2

Hasil-hasil tersebut dimasukkan ke dalam PD x 2y” + xU(x)y’ + V(x)y = 0,

sehingga :

x2.xr-2 [(r – 1)ra0 + r(r + 1)a1+ ….] + x [b0 + b1x + b2x2 + b3x3 + ….]

[xr-1(ra0 + (r + 1)a1 x + ….)]

+ [c0 + c1 + c2x2 + c3x3 + …][xr (a0 + a1x + a2x2 + …)] = 0

atau

xr[(r – 1)ra0 + r(r + 1)a1x + …] + xr[b0 + b1x + …][(ra0 + (r + 1)a1x +

…..)]

+xr[c0 + c1x + c2x2 + …][a0 + a1x+a2x2 + …] = 0 ………… (2-23)

Persamaan identitas :

Koefisien xr : [r(r – 1)a0 + b0ra0 + c0a0] = 0

[r(r – 1) b0r + c0]a0 = 0

[r2 – r + b0r + c0]a0 = 0

[r2 + (b0 – 1)r + c0] = 0

r dipilih sedemikian sehingga a # 0, sehingga r2 + (b0 – 1) r + c0 = 0 ………………………………………………………….. (2-24)

Persamaan (2-24) disebut persamaan indical.

Teorema 2PD berbentuk (1-18) memenuhi asumsi dalam Teorema 1, n dan r 2 adalah

akar-akar dari persamaan indicial, maka ada 3 kasus sebagai berikut :

1. r1 # r2 dan r1 – r2 # bilangan bulat, penyelesaian basis untuk PD (xx)

adalah :

y1(x) = xr1 (a0 + a1x + a2x2 + …) ………………………………. (2-25)

II - 15

y2(x) = xr2 (A0 + A1x + A2x2 ….) ……………………………… (2-26)

Koefisien am dan Am diperoleh dari rumus rekursi yang diturunkan dari

persamaan (2-18) dengan r = r2 dan r = r2.

2. r1 = r2, penyelesaian basis untuk PD (2-18) adalah :

y1(x) = xr (a0 + a1x + a2x2 + ….) ; r = (1 – b0) …………….. (2-27)

y2(x) = y1 ln x + xr (A1x + A2x2 + ….) ; (x > 0) ……………… (2-28)

3. r1 # r2 dan r1 – r2 = bilangan bulat, (r1 – r2) > 0 penyelesaian basis untuk

PD (2-18) adalah :

y1(x) = xr1 (a0 + a1x + a2x2 + …..) …………………………….. (2-29)

y2(x) = k y1 ln x + xr2 (A0 + A1x + A2x2 + …) ……………….. (2-30)

Contoh :

1. Selesaikan PD : y” + y’ + y = 0 (kasus 1)

Penyelesaian :

Titik x = 0, merupakan titik singular teratur, sehingga

y = amxm+r.

PD dituliskan : 4xy” + 2y’ + y = 0

Substitusikan y, y’, y” ke PD diperoleh :

4 (m + r)(m + r-1)amxm+r-1 + 2 (m + r)amxm+r-1 +

amxmtr = 0

[4r(r – 1)a0 xr-1 + 4(r + 1)ra1xr + ….+ 4(s + 1 + r)(s + r)as+1xr+s + …] +

[2ra0xr-1 + 2(r + 1)a1xr + 2r(r + 2)a2xr+1 + ….+ 2(s + 1 + r)as+1xr+s +….] +

[a0xr + a1xr+1 + a2xr+2 + …..+ asxr+s + ……] = 0

Persamaan Indicial :

4r(r – 1) + 2r = 0

r2 - r = 0

II - 16

r1 = ; r2 = 0

Koefisien dari x r+s :

4(s + r + 1)(s + r)as+1 + 2(s + r + 1)as+1 + as = 0

4(s + r + 1)(s + r + )as+1 + as = 0

as+1 = - : s = 0, 1, 2, ……

Untuk r = r1 = , rumus rekursi menjadi :

as+1 = - ; s = 0, 1, 2, ……

a1 = , a2 = - = - , a3 = - = - , dan seterusnya.

am = - , m = 0,1,2,…..

y1(x) = x1/2 = (1 - + …..)

Untuk r = r2 = 0, rumus rekursi menjadi :

As+1 = - ; s = 0,1,2,3…..

A1 = - , A2 = - = , A3 = - = - , dan seterusnya

Am = -

y2(x) = A0 xm = A0(1 - x + x2 + ….)

PUPD

y = c1y1 + c2y2 = c1a0 (1 - x + x2 + .c2 A0(1 - x + x2 - + …..)

: y = k1 (1 - x + x2 - + …..) + k2

2. Selesaikan PD : x (x-1)y” + (3x-1)y’ + y = 0 (kasus 2)

Penyelesaian :

II - 17

x = 0 merupakan titik Singular teratur dari PD, sehingga Substitusikan

y, y’, y”, ke PD :

(m + r)(m + r – 1)am xm+r - (m + r)(m + r-1)am xm+r-1 +

3 (m + r)am xm+r - (m + r)am xm+r-1 + am xm+r = 0

Persamaan indicial :

[-r(r -1)-r]a0 = 0 atau r2 = 0; r1,2 = 0

Koefisien xr+s dengan r1 = r2 = 0 maka rumus rekursi :

S(s -1)as – (s + 1)s as+1 + 3sas – (s + 1)as+1 + as = 0

as+1 = as

Sehingga : a0 = a1 = a2 = ……

y1(x) = a0 xm = ; bila dipilih a0 = a ; y1 =

Penyelesaian basis kedua dicari dengan persamaan (2-28) atau

dengan memisalkan :

y2 = u(x) y1(x) = u(x).

Substitusikan y, y, y”, ke PD :

x(x – 1)(u” y1 + 2u’y1’+uy1”) + (3x – 1)(u’y1 + uy1’) + uy1 = 0

y1 adalah penyelesaian PD, sehingga :

x(x-1)(u”y1 + 2u’y1’) + (3x – 1)u’y1 = 0

x(x – 1)(u” + 2u’ ) + (3x – 1)u’ = 0

xu” + u’ = 0

= -

ln u’ = - ln x = ln

u’ = , u = ln x

y2 = u y1 =

PUPD : y = c1y1 + c2y2 = c1 + c2

II - 18

3. Selesaikan PD : (x2 – 1)x2y”-(x2 + 1)xy’+(x2 + 1)y = 0 (kasus 3)

Penyelesaian :

x = 0 merupakan titik Singular teratur dari PD, sehingga

y = am xm+r

Subsitusikan y, y’, y: ke PD :

(x2 – 1) (m + r) (m + r-1)am xm+r – (x2 + 1) (m + r)am xm+r + (x2 +

1) am xm+r = 0

Kalikan dan sederhanakan diperoleh persamaan :

(m + r-1)2 am xm+r+2 - (m + r + 1) (m + r-1)am xm+r = 0

Persamaan Indicial :

(r + 1) (r – 1) = 0

r1 = 1 ; r2 = -1

Koefisien xr+1 : - (r + 2)ra1 = 0

a1 = 0

Koefisien xs+r+2 : (s + r + -1)2as – (s + r + 3)(s + r + 1)as+2 = 0,

s = 0,1,2,3 ……

Untuk r = r1 = 1, diperoleh rumus rekursi :

as+2 = - ; s = 0,1,2,……

a1 = 0, sehingga a3 = 0, a5 = a7 = 0, ……

Untuk s = 0 → a2 = 0 sehingga a4 = 0, a6 = 0, a8 = 0, …….

y1 = a0 x

Untuk r = r2 = -1, rumus rekursinya adalah :

as+2 = ; s = 0,1,2, …..

s = 0 → a2 = ,

a0 = 0 (tidak memenuhi a0 # 0)

Penyelesaian basis yang kedua bisa ditentukan berdasarkan teorema 2

kasus 3 dengan r = -1 atau dengan memisalkan y2 = y1(x)u(x) = a0xu(x).

II - 19

y2’ = a0[u(x) + u’ (x)x]

y2” = a0 [u’ (x) + u” (x)x + u’(x)] = a0[xu”(x) + 2u’(x)]

Substitusikan y2, y2’, dan y2” ke PD, sehingga :

(x2 – 1)x2a0[xu”(x) + 2u’(x)] – (x2 + 1)xa0[u(x) + u’(x)x] + (x2 + 1)a0xu(x) = 0

Masing-masing ruas dibagi dengan a0x :

(x2 – 1)x[xu(x) + 2u’(x)] – (x2 + 1)[u(x) + u’(x)x] + (x2 +1) u(x) = 0

(x2 – 1)x2u”(x) + 2(x2 – 1)xu’(x) – (x2 + 1)u(x) – (x2 + 1)xu’(x) + (x2 + 1)u(x)

= 0

(x2 – 1)x2u”(x) + (x2 – 3)xu’(x) = 0

(x2 -1)xu”(x) + (x2 – 3)u’(x) = 0 → = -

= - = -

lnu’ = - 3 ln x + ln(x + 1) + ln(x – 1)

= ln

u’ =

u = ln x +

y2(x) = xu(x) = x ln x +

PUPD : y = c1y1 + c2y2

Y = c1a0x + c2 y = k1x + k2

Soal Metode Frobenius1. xy” + 2y’ + 4xy = 0

2. xy” + (1 – 2x)y’ + (x -1)y = 0

3. x(1 – x)y” + (x + 1)y’ - y = 0

4. (x – 1)2 y” + (x – 1)y’ – 4y = 0

II - 20

5. (1 + x)x2y” – (1 + 2x)xy’ + (1 + 2x) y = 0

6. x2y” – 5xy’ + 9y = 0

Jawaban :1. y1 = x-1 cos 2x ; y2 = x-1 sin 2x

2. y1 = ex ; y2 = ex ln x

3. y1 = ; y2 = 1 x

4. y1 = (x -1)2 ; y2 = (x -1)-2

5. y1 = x ; y2 = x ln x + x2

6. y1 = x3 ; y2 = x3 ln x

2.5. Persamaan Bessel

2.5.1. Fungsi Bessel Jenis PertamaBentuk umum PD Bessel : x2y” + xy’ + (x2 - 2)y = 0 …… (2-31)

dengan parameter yang diketahui dan nilai 0.

Persamaan ini biasanya muncul dalam masalah getaran; medan-medan

elektrostatik; masalah konduksi panas dan sebagainya.Untuk

menyelesaikan PD Bessel ini, digunakan metoda Frobenius dengan

penderetan di sekitar x=0 (x=0 merupakan titik singular teratur untuk PD

Bessel di atas).

Penyelesaian PD mempunyai bentuk :

Y(x) = xr amxm = amxm+r …………………………… (2-32)

dengan syarat nilai a0 # 0. Sehingga :

y’(x) = (m + r)amxm+r-1 = xr-1 (m + r)amxm ……..… (2-33)

y”(x) = (m + r)m + r-1)amxm+r-2 = xr-2 (m + r)(m +r-1)amxm

……………………………………………………... (2-34)

PDnya mempunyai :

II - 21

x2 + x + (x2 - 2)

= 0

atau,

(m + r)(m + r-1)amxm+r + (m + r)amxm+r + amxm+r+2 - 2

amxm+r = 0………………………………………………………. (2-35)

Jika x tidak selalu nol, maka yang pasti = 0 adalah koefisien-koefisien dari

xr+s :

Koefisien xr : (r -1)ra0 + ra0 - a0 = 0

(r2 – r + r - 2)a0 = 0

(r2 - 2)a0 = 0 ; a0 # 0

Persamaan indical : r2 - 2 = 0 ; r1.2 = + ……………………… (2-36)

Koefisien xr+1 : r(r + 1)a1 + (r + 1)a1 - 2a1 = 0

(r2 + r + r + 1 - 2)a1 = 0

(2r + 1 + r2 - 2)a1 = 0

(2r + 1 +)a1 = 0; (2r + 1) tidak selalu 0

a1 = 0

Koefisien xr+s : (s + r -1))s + r)as + (s + r)as + as-2 - 2as = 0

[(s + r)(s + r -1 + 1) - 2]as = as-2

[(s + r)2 - 2]as = -as-2

as = - …… (2-37)

Untik r = :

as = -

s = 2 a2 = -

s = 3 a3 = -

s = 4 a4 = -

II - 22

Karena a1 = 0 ; 0, maka untuk s ganjil as = 0 dan untuk s genap = 2m;

m = 1,2,3……….

a2m = -

= -

Karena a0 sembarang dan a0 # 0, maka bisa dipilih a0 =

Dengan ( + 1) = () = ! Untuk = 0,1,2,3,……. Sehingga :

m = 1 a2 = -

=

m = 2 a4 = -

=

m = 3 a6 = -

m = m a2m = (-1)m

y = (-1)m …………………….. (2-38)

Fungsi y yang merupakan penyelesaian PD berbentuk deret tak hingga ini

disebut Fungsi Bessel Jenis Pertama orde dan dinotasikan dengan

J(x).

Jadi, J(x) = (-1)m

J(x) = x (-1)m ………………… (2-39)

Untuk akar indicial yang lain, yaitu r = - ;

J- =(x) = (-1)m …………… (2-40)

II - 23

Untuk bukan integer (bukan bilangan bulat), maka J (x) dan J- tidak

bergantungan secara linier, sehingga PUD PD Bessel :

y(x) = C1 J(x) + C2J-(x) …………………………………… (2-41)

Untuk integer (bulat); misalkan = n ; n = 0,1,2,3, …………………..

J-n(x) = (-1)m

= (-1)m (-1)m

Karena untuk m = 0, 1, 2, …..(n-1) ; harga (-n + m + 1) = , maka :

J-n(x) = (-1)m

= (-1)m

(-1)m

Karena untuk m = 0, 1, 2, ……(n-1) ; harga (-n + m + 1) = , maka :

J-n(x) = (-1)m

Misalkan,

- n + 2m = 2p + n

-n + m + 1 = -n + p + n + 1 = p + 1

M = n p + n = n p = 0

Sehingga,

J-n(x) = (-1)p+n

= (-1)nxn (-1)p

= (-1)n Jn(x)

Jadi untuk = n bulat :

Y(x) = C1Jn(x) + C2J-n(x) = C1Jn(x) + (-1)n C2 J-n(x)

Y(x) = [C1 + (-1)n C2]Jn(x) = KJn (x)

II - 24

Belum merupakan PU PD Bessel, karena hanya memuat satu konstanta

sembarang untuk PD orde 2. Untuk menentukan Penyelesaian Basis yang

lain pada kasus = n bulat ini akan dibahas pada bagian Fungsi Bessel Jenis Kedua.

Fungsi Bessel Jenis Pertama untuk n = 0, 1, 2, ………… (bulat)

Jn(x) = xn (-1)m

n = 0 J0(x) = (-1)m

= + ……….

= 1 - + ………………

= 1 - + ………………………

n = 1 J1(x) = (-1)m

= + ……….

= - ………………

= - ………………………

II - 25

- Akar-akar dari J0(x) = 0 dan J1(x) = 0

Berikut ini adalah 5 buah akar positif pertama dari J 0(x) = 0 dan J1(x) =

0 dalam 4 desimal, beserta selisih antara 2 akar yang berurutan :

J0(x) J1(x)

Akar Selisih Akar Selisih

x1 = 2,4048

3,1153x2 = 5,5201

3,1336x3 = 8,6537

3,1378x4 = 11,7915

3,1394x5 = 14,9309

x1 = 3,8317

3,1839x2 = 7,0156

3,1579x3 = 10,1735

3,1502

x4 = 13,3237

3,1469

x5 = 16,4706

Untuk = ½ ;

J1/2(x) = x1/2 (-1)m

=

J1/2(x) =

Catatan : ( + 1) = ()

( =

J1/2(x) =

=

II - 26

=

Ekspansi Mc. Laurin dari :

Sin x = x - + ……………

Cos x = 1 - + …………….

Jadi :

J1/2(x) =

=

J1/2(x) =

Dengan cara yang sama bisa ditentukan :

J-1/2(x) =

J3/2(x) =

J-3/2(x) =

Rumus-rumus untuk fungsi Bessel :

1. [x J(x)] = xJ-1(x)

2. [x-J(x)] = -x-J+1(x)

3. J-1(x) + J+1(x) = J(x)

4. J-1(x)-J+1(x) = 2J(x)

Rumus integral yang meliputi fungsi Bessel

1. xJ-1(x)dx = xJ(x) + C

2. J+1(x)dx = J-1(x)dx – 2J(x)

II - 27

3. x-J+1(x)dx = -x-J(x) + C

Contoh :

1. J3/2(x) = J1/2+1(x) = J1/2(x) – J1/2-1(x)

=

J-3/2(x) = J-1/2-1(x) = J-1/2(x) – J-1/2+1(x)

= -

= -

2. x4 J1(x) dx = x2 x2 J1(x) dx = x2 d[x2 J2 (x)]

= x2 x2 J2(x) - x2 J2 (x)dx2

= x4 J2 (x) - 2 x3 J2 (x)

= x4 J2 (x) – 2 d [x3 J3 (x) ]

= x4 J2 (x) – 2x3 J3 (x) + C

= x4

= x4

= 2x3 J1(x) – x4 J0(x) – 16x J1(x) + 9x2 J0(x) + 2x3 J1(x)

= (8x2 – x4) J0(x) + (4x3 – 16x) J1 (x) + C

3. x3 J3(x) dx = x5 [x-2 J3(x)]dx = -x5 d[x-2 J2 (x)]

= -x5 x-2 J2(x) + x-2 J2 (x) dx5

= x3 J2(x) + 5 x2 J2 (x) dx5

= -x3 J2 (x) + 5 x3 [x-1 J2 (x)]

= -x3 J2 (x) + 5 x3 d[x-1 J1 (x)]

= -x3 J2(x) + 5x2 J1 (x) – 5 x-1 J1 (x) dx3

= - x3 J2 (x) + 5x2 J1 (x) – 15 x J1 (x) dx

= -x3 J2 (x) + 5x2 J1 (x) – 15 x J0 (x) dx

= -x3 J2 (x) + 5x2 J1 (x) – 15 x d [J0 (x)]

= -x3 J2 (x) + 5x2 J1 (x) – 15 x J0 (x) - 15 J0 (x) dx

II - 28

Contoh aplikasi : Vibrasi dari Rantai yang Tergantung

Suatu rantai dengan masa persatuan panjang konstan, dengan

panjang L digantung tegak lurus pada suatu tumpuan tetap ) seperti pada

gambar. Pada saat t = 0, rantai ditempatkan dengan membentuk sudut

terhadap bidang vertikal, kemudian dilepaskan.

L = panjang rantai

= densitas rantai (massa persatuan panjang) = konstan

= sudut penyimpangan rantai terhadap bidang vertikal

U(x,t) = besarnya simpangan di titik x = x pada rantai terhadap

vertikal pada saat t.

Berat bagian rantai di bawah sembarang titik (x = x) = W (x)

W (x) = g (L-x)

Karena rantai menyimpang sejauh terhadap bidang vertikal, maka

W (x) gaya tekan yang bekerja secara tangensial pada gerak

rantai.

Sehingga komponen horisontal dari gaya tekan [W(x)] :

F(x) = W (x)sin

Jika 0 ; W (x) Sin W (x) tg = W(x)

Ambil bagian kecil rantai dari x sampai x + x ; dengan x 0

maka besarnya perubahan gaya : F (x + x) – F (x)

F(x+ x) – F (x) = W(x+ x) - W(x)

II - 29

= x

= x

= x

Hukum Newton II : F = ma = massa x percepatan

- percepatan vibrasi :

- massa dari bagian kecil rantai (x) = x

Gaya F = x , gaya ini sama dengan perubahan gaya F(x+x) – F(x),

jadi :

x = x

= xg

Bila gerakannya merupakan gerak periodik dalam t dengan periode 2/,

maka :

U(x,t) = y(x) cos (t + )

= - y (x) sin (t + )

= - 2 y(x) cos (t + )

= y’ (x) cos (t + )

= - 2y cos (t + ) = g

- 2y cos (t + ) = g [(L – x) y’ cos (t + )]

- 2 y cos (t + ) = g cos (t + ) [(L – x) y’]

II - 30

- 2y = g [(L – x)y’] = g[ - y’ + (L – x)y”]

- y = -y’ + (L – x)y”

(L – x)y” – y’ + 2y = 0 ; 2

Misal : L-x = z ; = -1

y’ =

y” =

Sehingga persamaan menjadi : z

s = 2z1/2 ; z =

Misal :

dz =

= -

= -

= -

Persamaan menjadi :

z atau

2

2

II - 31

+ y = 0

+ y = 0 PD Bessel dengan = 0

Penyelesaian PD : y(s) = J0 (s)

Sehingga y(x) = J0 (2 / )

Syarat batas : pada x = 0 rantai berada pada posisi tetap pada setiap saat

: y(0) = 0

y(0) = J0(2 / = 0 J0(2 = 0

Akar positif pertama dari J0(2 = 0 adalah 2,4148, berarti

2 = 2,4048 : =

Frekuensi getaran (gerakan) rantai = siklus/satuan waktu =

siklus / satuan waktu

2.5.2. Fungsi Bessel Jenis Kedua

Persamaan diferensial Bessel berbentuk : x 2y” + xy’ + (x2 – n2) y = 0

dengan penyelesaian : y(x)=c1Jn(x) + c2 J-n(x).

Untuk n bilangan bulat, Jn(x) dan J-n(x) bergantungan secara linear, maka

harus dicari penyelesaian basis kedua selain J n(x) untuk memperoleh

penyelesaian umum PD Bessel untuk n bilangan bulat.

c1 dan c2 adalah konstanta sembarang, dipilih c1 = E + ;

c2 = - , E dan F adalah konstanta sembarang.

PUPD Bessel menjadi :

y(x) =

y(x) = E Jn(x) + J-n(x)

II - 32

y(x) = EJn(x) + F

y(x) = EJn(x) +FYn(x)

dimana Yn(x) =

Fungsi Yn(x) disebut fungsi Bessel jenis kedua.

Untuk n = O PD Bessel menjadi :

Xy” + y’ + xy = 0

Akar-akar persamaan indicial : r1,2 = 0, sehingga

Y2(x) = J0(x) ln x + Am xm

Y2’ = J0 ‘ ln x + + Am xm-1

Y2” = J0 “ ln x + 2 - + m (m – 1) Am xm-2

Substitusikan Y2, Y2’ dan Y2” ke PD (1), kemudian disederhanakan dan

diperoleh :

2J0’ + m (m – 1) Am xm-1 + m Am xm-1 + Am xm-1 = 0

Berdasarkan fungsi Bessel jenis pertama untuk n = 0 diperoleh :

J0’(x) = =

Persamaan menjadi :

+ m2 Am xm-1 + Am xm+1 = 0

Koefisien dari x0 : A1 = 0

Koefisien dari x2s : (2s + 1)2A2s+1 + A2s-1 = 0, s = 1, 2, 3, …..

A3 = 0, A5 = 0, A7 = 0, …..

Koefisien dari x2s+1 : -1 + 4A2 = 0 A2 =

Untuk s + 1, 2, 3…. Berlaku :

+ (2s + 2)2 A2s+2 + A2s = 0

II - 33

p n

Untuk s = 1 diperoleh : + 16A4 + A2 = 0 A4 = -

Rumus untuk menentukan A2m :

A2m = , m = 1, 2, 3 ….

bila hm = 1 + + + … + , maka :

y2(x) = J0(x) ln x +

J0 dan y2(x) merupakan penyelesaian yang bersifat linear independence,

sehingga : a (y2 + bJ0) juga merupakan penyelesaian basis. Bila a = ,

b = - ln 2 maka :

Y0(x) = J0(x) …………….. (2-42)

hm = 1 + , = 0,57721566490 .., konstanta

Euler

Yn(x) = Jn(x)

- ……………………………….. (2-43)

Sehingga PUDP Bessel untuk semua nilai n adalah :

y(x) = c1Jn (x) + c2 Yn (x)

Rumus-rumus rekursi yang berlaku untuk Jn(x) juga berlaku untuk Yn(x).

Contoh :1. Selesaikan PD : xy” + xy’ + (x – 4)y = 0

PD : x2y” + xy’ + (x2 – 4)y = 0 merupakan PD Bessel dengan n = 2.

PUDPD-nya : y(x) = C1J2(x) = C2 Y2(x)

dengan

J2(x) =

II - 34

Y2(x) = J2(x) - (1-k)! 2k-2 - (1)k

[(k) + (k + 2)]

2. PD : x2y” + xy’ + (2x2 - 2)y = 0; (subst x = z)

Misalkan : z = x x =

=

Jadi,

y’ =

y” =

=

PD menjadi :

x2 (2 x2 - 2) y = 0

y = 0

z2 + (z2 - 2) y = 0 PD Bessel dalam y dan z dengan =

y(z) = C1 J (z) + C2 Y(z)PUPD :

Y(x) = C1 J (x) + C2 Y (x)

3. xy” + (1 + 2n) y’ + xy = 0 (y = x -nu)

Misalnya y = x -n u ; maka :

= -n x-n-1 u + x-n

= [-n x-n-1u] +

II - 35

= (n + 1)nx -n-2u – nx-n-1 -nx-n-1 + x-n

= (n + 1)nx -n-2u – 2nx-n-1 + x-n

x + x x-nu

= 0

PD menjadi :

(n + 1)nx-n-1u – 2nx-n + x-n+1 -nx-n-1u + x-n - 2n2 x-n-1u +

2nx-n + x-n+1u = 0

[n2 + n – n – 2n2] +-n-1u + x-n+1 + x-n + x-n+1 u = 0

Masing-masing ruas dibagi dengan x -n :

- n2x-1u + x + xu = 0

x + (x – n2 x-1) u = 0

Masing-masing ruas dikalikan dengan x :

x2 + (x2 – n2)u = 0 PD Bessel dalam u dan x

dengan = n

PU PD :

u(x) = C1 Jn (x) + C2 Yn (x) ; y = x-n u

y(x) = x-n u(x) = x-n[C1 Jn (x) + C2 Yn (x)]

= C1 x-n Jn (x) + C2 x-n Yn (x)

4. x2y” – 3xy’ + 4(x4 – 3)y = 0 ; (y = x2u, x2 = z)

Misalkan y = x2 u; maka :

= (x2u) = 2 x u + x2

2u + 2x + 2x + x2

II - 36

= 2u + 4x + x2

PD menjadi :

x2 + 3x + 4(x4 – 3)x2 u = 0

x4 + (2x2 – 6x2 + 4x6 – 12x2)u = 0

x4 x3 + (4x6 – 16x2)u = 0 dibagi dengan x2

x4 + x + (4x4 – 16) u = 0

Misalkan : x = z = 2x

= = 2x

= 2

= 2

PD menjadi :

x2 + (4x4 – 16)u = 0

4x4 + (4x4 – 16)u = 0

4x4 + 4x2 + (4x4 – 16)u = 0 dibagi dengan 4x2

x2 + x + (x2 -4)u = 0 PD Bessel dalam u dan z dengan = 2

PU PD : u(z) = C1 J2 (z) + C2 Y2 (z)

z = x2 u (x) = C1 J2 (x2) + C2 Y2(x2)

z = x2 u y (x) = x2 u(x) = x2 [C1 J2 (x2) + C2 Y2 (x2)]

II - 37

2.5.3. Fungsi Bessel Termodifikasi (Modified Bessel Function)Persamaan Diferensial :

x2y”+ xy’ – (x2 + n2)y = 0 …………………………………. (2-44)

dikenal dengan nama persamaan Bessel termodifikasi orde n. Karena bisa

ditulis :

x2y”+ xy’ – (i2 x2 + n2)y = 0 ……………………………….. (2-45)

yang merupakan persamaan Bessel dengan variable bebas ix dan

mempunyai penyelesaian umum : y = C1 Jn (ix) + C2 Yn (ix) …… (2-46)

dengan,

Jn (ix) =

Jn (ix) = in

i-n Jn (ix) =

Bentuk [i-nJn(ix)] merupakan fungsi baru yang berharga real dan disebut

fungsi Bessel termodifikasi jenis pertama orde n yang dinotasikan

dengan In(x).

In(x) = ……………………………. (2-47)

I-n(x) didapat dengan mengganti n dengan –n sebagai berikut :

I-n(x) = …………………………. (2-48)

Untuk n tidak bulat In dan I-n merupakan penyelesaian yang linear

independence dari PD (1-44) sehingga penyelesaian umum PD (1)

adalah :

y = c1In (x) + c2I-n(x), n#bilangan bulat …………………… (2-49)

Untuk n bulat :

(-1)n J-n (ix) = Jn (ix)

(i2)n J-n (ix) = Jn (ix)

in J-n (ix) = i-n Jn (ix)

I-n (x) = In (x)

II - 38

Untuk n bilangan bulat I -n (x) = In (x) linear dependence, sehingga perlu

didefinsikan penyelesaian basis yang lain yang bersifat linear

independence dengan In(x) sebagai berikut :

Dipilih c1 = A - , c2 =

y = AIn (x) - In (x) + + I-n(x)

maka y = AIn (x) + B

y = AIn (x) + BKn(x)

dengan Kn(x) =

Kn(x) disebut fungsi Bessel termodifikasi orde n jenis kedua.

PD Bessel termodifikasi bisa dinyatakan dengan : x 2y” + xy’ – (2x2 + n2) y

= 0 dengan PUPD : y = c1 In(x) + c2I-n(x) untuk n # bilangan bulat

y = c1 In(x) + c2Kn(x) untuk n = bilangan bulat

Untuk = i, maka PD menjadi :

x2y” + xy’ – (ix2 + n2) y = 0

x2y” + xy’ + (-ix2 – n2) y = 0

Dan PUPD : y = c1In ( ) + c2Kn ( )

y = c1Jn (i3/2x) + c2 Kn (i1/2 x)

Jn (i3/2x) =

= i3/2 n

j3k = 1 ; k = 0,4,8…….

j3k = -i ; k = 1,5,9 ……

j3k = -1 ; k = 2,6,10……

j3k = i ; k = 3,7,11 …….

Untuk k ganjil Jn (i3/2x) real

Untuk k genap Jn (i3/2 x) imaginer

Untuk k = 2j (-1)ki3k = (-1) j

k = 2j + 1 (-1)k i3k = (-1) ji

II - 39

sehingga

Jn (i3/2x) = i3/2 n

i3/2 n (R + i I)

Menurut Rumus de Moivre :

i3/2 = = cos + i sin

Catatan :

z = a + ib = cps(arc tg ) + I sin(arc tg )

z = i z = cos + i sin

Jadi,

Jn(i3/2x) = (R + i I)

=

dengan :

Bern x = cos

Bein x = cos

Untuk n = 0 :

Ber0 x = Ber x =

Bei0 x = Bei x =

Dengan cara yang sama fungsi Kn (i1/2x) dapat juga dinyatakan dalam

jumlahan : (deret real) + i (deret real) seperti di atas, dengan

Kn (i1/2 x) = Kernx + i Kein x

Sehingga PU PD : x2 y” + xy’ – (ix2 + n2) y = 0

adalah :

y = c1 (Bern x + iBeinx) + c2 (Kernx + Keinx)

II - 40

2.5.4. Persamaan yang bisa ditranformasikan kedalam PD Bessel 1. PD : x2y” + (2K + l)xy’+ (2 x2r + 2)y = 0

dengan k, a, r, konstanta

akan mempunyai PU PD :

y = x-k [C1Jx/r (axr/r) + C2 Yx/r (axr / r)]

=

=

n =

Jika a < 0 Jn dan Yn diganti dengan In dan Kn

Jika n # bulat Yn dam Kn diganti dengan J-n dan I-n

Contoh :

1. PD : x y” + y’ + ay = 0

Dikalikan dengan x :

k = 0; r = ½ ; 2 = a =

= 0 ; =

Jadi PU PD :

y = x0 [C1 J0 (2 ) + C2 Y0 (2 )]

= C1J0 (2 ) + C2 Y0 (2 )

2. PD : x2y” + x(4x2 – 3)y’ + (4x8 – 5x2 + 3)y = 0

a = - 3; b = 2; c = 3; d = -5

p = 4 ; q = 1

= 2; = ½ ; = ; n = 1

PU PD : y = x2 e-x4/2 [c1I1)x ) + c2 K1 (x )]

II - 41

3. PD : x2y” – xy’ + (1 + x) y = 0

dibagi x3 :

y = 0

(x-1y’)’+ (x-2 + x-3) y = 0

r = -1 ; s = -2; a = b = 1; = 0; = ½ ; = 2; n = 0

PUPD : y = x [c1J0 (2 ) + c2J0 (2 )]

4. PD : 9(y” + y’ + y) - y = 0

(y” + y’ + y) - y = 0, dikalikan x2

x2y” + xy’ + x2y – 4/9 y = 0

x2y” + xy’ + (x2 – 4/9)y = 0 PD Bessel dengan n = 2/3

PUPD : y = c1J2/3 (x) + c2J-2/3(x)

5. PD : = ; R =

R (r)

Dikalikan Rr2 PD menjadi :

r2R”rR’ - r2 = 0 PD Bessel termodifikasi dengan = u; n = 0

PUPD : R = c1I0 (r ) + c2 K2 (r )

6. PD : xy” + y’ + 2ixy = 0

atau x2 y” + xy’ + 2ix2y = 0 PD Bessel dengan =

PUPD : y = c1J0 (x ) + c2 Y0 (x )

Soal Latihan Selesaikan PD berikut !

1. x2y” + xy’ + (x2 – 4) y = 0

2. xy” + y’ + ¼ y = 0 ; ( = z)

3. x2y” + xy’ + (4x4 – ¼) y = 0 ; (x2 = z)

4. x2y” – 3xy’ + 4 (x4 – 3) y = 0 ; (y = x2 u, x2 = z)

5. x2 y” + ¼ (x + ¾) y = 0 ; (y = u , = z)

II - 42

6. y” + x2 y = 0 ; (y = u , x2 = z)

Jawaban :1. y = AJ2 (x) + BY2 (x)

2. y = AJ0 ( ) + BY0 ( )

3. y = AJ1/4 (x2) + BY1/4 (x2)

4. y = x2 [AJ2 (x2) + BY2 (x2)]

5. y = [AJ1/2 ( ) + BJ-1/2 ( )]

6. y = [AJ1/4 ( x2) + BY1/4 ( x2)]

II - 43