Berekeningen aan een periodontium

Citation for published version (APA):Braak, L. H. (1980). Berekeningen aan een periodontium. (DCT rapporten; Vol. 1980.007). TechnischeHogeschool Eindhoven.

Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1980

Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:openaccess@tue.nlproviding details and we will investigate your claim.

Download date: 26. Aug. 2020

-1-

Inhoud

i . Inleiding

2. Het model VOSKWADRAAT 2.1. Beschrijving

2.2. Berekeningen met te hoge E (tand) 2.3. Controle rekennauwkeurigheid

2.4. Bepaling van de flexibiliteitsmatrix

3. Het model VOSSCHIL

3.1 e Beschrijving 3.2. Berekeningen 3.2.1. De oorspronkelijke schil 3.2.2. De afgeknotte schil 3.2.3. De schil met constante dikte 3.3. Controles 3.3.1. Controle op lineariteit 3 . 3 . 2 . Vergelijking met andere resultaten

-

Literatuur

Bij lagen

1. Het TRIM6 element

2. Resultaten van het model VOSKWADRAAT; te hoge E (tand)

3. Berekeningen t.b.v. de flexibiliteitsmatrix S voor het model VOSKWADRAAT.

4 . Berekeningen van de flexibiliteitsmatrices S voor het model VOSS CHIL .

5. Lineariteitsonderzoek. 6. Het spanningsverloop.

2

4

4

6

7

9

1 1 1 1 13

13

13

14

17

17

17

23

24

29

32

35

37

38

- 2-

BEREKENINGEN AAN EEN PERIODONTIUM.

1. Inleiding

Binnen het Tandheelkundig Instituut van de Rijksuniversiteit Utrecht wordt door ir. S. de Vos onderzoek verricht naar het gedrag van een tand in de

tandkas. Op grond van verplaatsingsmetingen aan de tandkroon wordt gepoogd de elasticiteitsmodulus en dwarscontractiecoëfficiënt van het periodontium,

de dunne laag tussen tand en tandkas, te bepalen.

Deze karakteristieken zouden bruikbare hulpmiddelen zijn om iets over de biologische toestand van het periodontium te voorspellen.

De Vos ontwikkelde een rekenprogramma, waarbij, volgens de eindige elementen- methode, direct uit de verplaatsingsgrootheden de elasticiteitsmodulus (E)

en dwarscontractiecoëf f iciënt (v) van het tussenlichaam worden berekend. Op grond vaïì een aantal beperkingen in het door hem gehanteerde model -één laag elementen, elementen met een lineair verplaatsingsveld- werd aan ons verzocht eenzelfde soort berekeningen uit te voeren met het pro-

grammapakket FEMSYS. Bij de berekeningen met behulp van FEMSYS worden echter de materiaalkarakteristieken als gegeven grootheden gebruikt en worden ver- plaatsingen als functie van de belasting berekend.

In een inleidende fase werd een simpel tandmodel gehanteerd: WART1 waarbij

de tandwortel was geschematiseerd tot een kegelvormig lichaam. Resultaten van deze fase worden hier niet vermeld. Een tweede serie berekeningen werd uitgevoerd waarbij de tandwortel was

beschreven door een paraboloïde: het model VOSKWADRAAT. Hierbij werden zowel het periodontium als de tand zelf in elementen verdeeld. Gezien de grote verschillen in elastische eigenschappen van tandmateriaal en tussen- weefsel werd de verhouding E (tand) / E (periodontium) heel hoog gekozen.

Hoewel de resultaten bij verschillende E en v-waarden van het periodontium er redelijk betrouwbaar uitzagen, bleek er geen overeenstemming te zijn met de resultaten van De Vos. Nadere analyse bracht aan het licht dat numerieke onnauwkeurigheden, door de grote stijfheidsverschillen, hier- voor waarschijnlijk verantwoordelijk waren. Door een gunstiger waarde

van de tandelasticiteit te kiezen werden betere resultaten bereikt.

- 3-

Omdat enerzijds de rekentijden met het model VOSKWADRAAT aanzienlijk

waren en anderzijds graag gerekend wilde worden aan lichtelijk andere

periodontiumconfiguraties, werd een model VOSSCHIL ontwikkeld waarbij de tandwortel eveneens een parabololde was, maar waarbij e r in de be-

rekening van werd uitgegaan dat de tand volledig star was. Van dit model

zijn een drietal periodontium-configuraties doorgerekend. De berekeningen zijn uitgevoerd bij één waarde van E en v. Het verband tussen verplaatsingen

en belastingen wordt steeds gepresenteerd in de vorm van een flexabili-

teitsmatrix voor de gehele constructie.

- 4-

Het model VOSKWADRAAT

2.1. Beschrijving

De vorm van de tand is gelijk aan de tand die Huiskes (1974) beschrijft

als tand 2. De totale hoogte is 18 mm., de wortel heeft een hoogte van 13 mm. en heeft bij de overgang naar de kroon een diameter van 6,6 mm. In een langsdoorsnede van de tand wordt de parabool beschreven door de relatie:

2 z = 1,1938 x

Overeenkomstig de berekeningen van De Vos worden de knooppunten op de

tandwortelrand gelegd op 37 equidistante niveau's in z-richting.

De vorm van de overgang periodontium/tandkas wordt eveneens als parabool

gekozen. Deze parabool wordt bepaald door twee punten: één onder de wortelpunt en één ter hoogte van de overgang tandwortel/tandkroon. Op

die twee punten is de dikte van het periodontium gelijk aan 0,25 mm. Tand en periodontium worden verdeeld in ringvormige elementen met een

driehoekige dwarsdoorsnede en zes knooppunten. Deze TRIAX6-elementen

(zie bijlage i ) hebben een kwadratisch verplaatsingsveld en kunnen een lineair spanningsverloop over het element beschrijven. In figuur 1 wordt een schets gegeven van de afmetingen en van de element- verdeling. In de berekening wordt verondersteld dat de tandkas star is. De belasting wordt aangebracht op het bovenvlak van de kroon, als een radiale verdeel-

de belasting (zie bijlage i ) en heeft als resultante een kracht die lood- recht op de z-as staat.

(excl. middenpunten)

(incl. middenpunten)

-S -

- 6-

2.2. Berekeningen met te hoge E (tand)

Voor de berekeningen van dit tandmodel is steeds uitgegaan van een

constante elasticiteitsmodulus van het tandmateriaal:

E (tand) = 1.000.000 en v = 0 , 3

Voor het periodontium zijn de volgende E-waarden gebruikt:

E = 0,05 ; 0,IO ; 0,15 ; 0 ,20 ; 0 , 2 5 en 0,30 .

Bij elke waarde van de elasticiteitsmodulus werd de waarde van de dwars- contractiecoëfficiënt v gevarieerd; de volgende waarden werden telkens

ingevoerd :

v = 0,35 ; 0,40 ; 0,45 en 0 , 4 9 .

De topwaarde van de verdeelde belasting bedraagt 1 , zodat als resultante een kracht ter grootte 71 op de tand werkt.

I

Fig. 2. Knooppunten in het bovenvlak.

Uit de berekeningen wordt de radiale verplaatsing u van het hoogste punt op de tandhartlijn (knooppunt 92, zie fig. 2) en de hoekverdraaiing 4 van het bovenvlak van de kroon bepaald voor een eenheidskracht in radiale richting.

Als U g 2 en w

radiale en axiale richting dan geldt:

verplaatsingen zijn van de knooppunten 92 en 22 in resp. 22

u = u /?r 92

180 g , = - , - = - - W 22 180 22 W

T.r 71 71.3,3 7r (in graden)

In bijlage 2 zijn de numerieke resultaten verzameld en in grafieken weer-

gegeven. Deze resultaten werden eerder (oktober 1979) in schriftelijke vorm

aan De Vos ter hand gesteld.

-7-

2.3. C o n t r o l e rekennauwkeurigheid

De r e s u l t a t e n u i t d e e e r d e r beschreven berekeningen stemmen n i e t goed

overeen m e t d e r e s u l t a t e n d i e De Vos had verkregen . Ook d e overeenkomst

met r e s u l t a t e n v a n Huiskes (1974) en Van Gein (1975) i s n i e t op t imaa l .

Ter c o n t r o l e van m o g e l i j k e rekenonnauwkeurigheden a ls g e v o l g van d e z e e r

g r o t e s t i j f h e i d s v e r s c h i l l e n v a n tand en periodontium word t d e waarde v a n

d e e l a s t i c i t e i t s m o d u l u s v a n h e t periodontium (E ) i n een a a n t a l s t appen

g e w i j z i g d . I n d e z e berekeningen b l i j f t : P

E ( tand) = 1,000,000 v (periodontium) = 0,40

Voor E worden d e v o l g e n d e waarden genomen: P

2 E = l o5 ; l o 4 ; l o 3 ; i o ; io ; i .

P

Al e e r d e r waren r e s u l t a t e n bekend v o o r E = 0 , l en 0,05. Opnieuw worden P

u i t d e FEMSYS-resultaten bepaa ld : u en $, de r a d i a l e v e r p l a a t s i n g v a n

h e t h o o g s t e punt op d e t a n d h a r t l i j n en d e v e r d r a a i i n g v a n h e t boven-

vlak . Om d e r e s u l t a t e n e n i g s z i n s o v e r z i c h t e l i j k i n een g r a f i e k t e p r e s e n t e r e n

wordt d e v o l g e n d e kunstgreep u i t g e v o e r d : de berekende waarde v a n u en $

wordt vermenigvuldigd met d e waarde v a n d e b i j b e h o r e n d e e l as t i c i t e i t s -

modulus E . D i t h e e f t t o t g e v o l g d a t ondanks een i 0 x st i jvere c o n s t r u c t i e d i e een

i0 x k l e i n e r e v e r p l a a t s i n g v e r o o r z a a k t , t o c h t e l k e n s d e z e l f d e waarde

zou moeten worden gevonden. I n h e t i d e a l e g e v a l z u l l e n d e l i j n e n v o o r

u.E en $.E c o n s t a n t z i j n .

Z o a l s u i t f i g u u r 3 i s t e z i e n i s d i t s l e c h t s i n een g e d e e l t e v a n h e t

door lopen interval waar. Voor g r o t e waarden v a n E s p e e l t d e relatieve

s t i j f h e i d v a n d e tand nog een r o l . D i e b i j d r a g e neemt d u i d e l i j k af b i j

l a g e r e waarden v a n E , z o d a t v o o r E tussen 100 en 1 een nagenoeg c o n s t a n t

v e r l o o p o p t r e e d t .

P

P P

P

P P

-9 -

2.4.

Voor zeer kleine waarden van E

gevolg zal zijn van rekenonnauwkeurigheden. Helaas waren de eerder uitge- voerde berekeningen uitgevoerd met waarden voor E E < 0,05.

Vervolgberekeningen zullen alleen dan betrouwbaar zijn als de verhouding

E tand/E kleiner of gelijk is aan 10 .

treedt opnieuw een afwijking op, die het P

waarvoor gold: 0,30 < P

6 P

Bepaling van de flexibiliteitsmatrix

Om berekeningen van diverse auteurs, met onderling verschillende reken- programma's beter te kunnen vergelijken wordt het belangrijk het gedrag van de tand met bijbehorend periodontium te kunnen beschrijven voor wille- keurige belasting. Wij moeten een uitdrukking vinden voor de stijfheids-

of flexibiliteitsmatrix van de gehele constructie. Omdat wij met behulp van FEMSYS het gemakkelijkst de verplaatsingen kunnen berekenen als functie van de belasting zullen wij de resultaten presenteren in de vorm van een flexibiliteitsmatrix S; zodat u - = S i, waarin E de verplaatsings- grootheden en f de belastingsgrootheden bevat.

\ Bel as t ingen Fig. 4 . Definities.

Verplaatsingen '

De belasting zal bestaan uit achtereenvolgens een horizontale kracht H,

een axiale kracht V , een buigend moment M,, dat werkt om de y-as en een wringend moment M . De belasting wordt aangebracht op knooppunt 22, dit is de buitenrand van het bovenvlak van de kroon. De verplaatsingen en hoekverdraaiingen worden toegerekend aan het middel- punt van het bovenvlak resp. het bovenvlak zelf. De tandkas is volkomen

star.

W

-10-

Alle berekeningen zijn uitgevoerd bij de volgende karakteristieke

waarden van het materiaal.

periodontium

Uit de berekeningen (zie bijlage 3) volgt:

U

W

N.B.

8,233

= 10 0,707

L o

O

2 , 3 9 2

O

O

0,707

O

O o 068

O

O

O

O

0 ,45

- 1

H

v

Mb M W - .

De hoekverdraaiingen zijn uitgedrukt in radialen.

- 1 1-

3 . Het model VOSSCHIL

3.1. Beschrijving

Aangezien de rekentijden voor het VOSKWADRAAT-model aanzienlijk waren

en er bovendien naar werd gestreefd om diverse vormen van de tussenlaag (het periodontium) in rekening te brengen, werd een nieuw rekenmodel

ontwikkeld. In dit model: VOSSCHIL wordt de tand als star lichaam be-

schouwd. Alleen het periodontium wordt in TRIAXG-elementen verdeeld. De vorm van de tand en van de tandkas zijn in eerste instantie gelijk aan die van het model VOSKWADRAAT,

Om de verplaatsing als star lichaam van de tand te beschrijven worden alle verplaatsingen van punten op de tandomtrek uitgedrukt als functies van de verplaatsingen (en hoekverdraaiingen) van een willekeurig punt. Wij hebben hiervoor het middelpunt van het bovenvlak van de kroon ge- kozen. Voor verpiaatsingen in het x-z-vlak

geldt dan voor een punt met coördi-

naten (x zi); zie fig. 5: i'

\

Fig. 5. Afhankelijkheidsrelaties.

-12-

In deze uitdrukking zijn u, w en $y de amplituden van de verplaatsingen in het punt A. In het rekenprograrmna heeft dit punt het knooppuntsnummer 230.

Het in rekening brengen van de afhankeïijkheidsrelaties en op correcte wijze rekening houden met de eisen die het TRIAXG-element stelt, leidt

er toe dat er drie verschillende invoerbeschrijvingen moeten worden ge-

maakt, Alleen voor de horizontale belasting en voor het buigend moment kan met één structuurbeschrijving worden volstaan. Nadat eerst als extra graden van vrijheid, verplaatsingen en hoekverdraaiingen van knooppunt 230 worden gedefinieerd, kan voor elk knooppunt dat in contact is met de tand, de radiale en axiale verplaatsing worden uitgedrukt als Íunctie van de extra vrijheidsgraden. Voor de belastingen H en %, is een eerste orde Fourier-ontwikkeling ge- bruikt, Om er zeker van te zijn dat een cirkelvormige doorsnede ook cirkel- vormig blijft, moet bovendien de tangentiële verplaatsing eveneens als functie van de extra vrijheidsgraden worden uitgedrukt. Voor de punten op de tandkas worden alle vrijheidsgraden onderdrukt, bovendien wordt niet

toegelaten dat knooppunt 230 in axiale richting verplaatst (zie voor de reden: bijlage 4.1).

Voor de axiale belasting V is het voldoende om alleen de radiale en axiale verplaatsing van punten op de tand uit te drukken in de extra vrijheids- graden. De punten op de tandkas kunnen niet bewegen en verder wordt alleen de axiale verplaatsing van knooppunt 230 en van punten op de hartlijn, niet onderdrukt.

Bij de torsiebelasting geldt voor punten op de tand dat de tangentiële verplaatsingsamplitude een functie is van de verdraaiingsamplitude van de tand om de z-as en van de straal van het punt:

G(i) = +z . x(i) Voor dit belastingsgeval is er maar één extra vrijheidsgraad gedefinieerd:

de hoekverdraaiing om de z-as van knooppunt 230. Nadat de afhankelijkheids- relaties zijn opgesteld, worden de verplaatsingen van punten op de tandkas onderdrukt. Een gedetailleerd overzicht van de diverse invoerbeschrijvingen is te vinden

in de programmalistingen, die separaat aan dit verslag worden toegevoegd.

-13-

-3 = 10

3.2. Berekeningen

3.2.1. _-----_ De oorspronkeliake ------- -------- schil

In bijlage 4.1 zijn de resultaten uit de FEMSYS-berekeningen verzameld en verwerkt.

Evenals in de berekeningen voor de niet starre tand zijn hier de materiaal- karakteristieken voor het periodontium: E = 1 en L, = 0 , 4 .

Voor de flexibiliteitsmatrix vinden wij in dit geval:

O

O. 705

O L

o O. 705

2.393 o O O. 068

O O

O

O

O

0.452 M W

De vergelijking met de resultaten uit 2.3 Bs zeer gunstig. De afwijkingen

bedragen minder dan 12, en liggen aan de goede kant. Dit model met starre tand geeft inderdaad een heel klein beetje minder grote verplaatsingen.

2 2s X

3 24

222

225

Fig. 6. Afknotting.

In fig. 6 is links een stukje van de oorspronkelijke schil getekend.

A l s variant op deze schil is het onderste element 1 , met hoekpunten 216, 222 en 225 weggelaten. De invoer voor FEMSYS is op een aantal

plaatsen aangepast aan deze nieuwe situatie.

In bijlage 4.2 zijn de resultaten van de berekeningen verzameld en terug-

gerekend naar eenheidskrachten of momenten.

-1 4-

Uiteraard zijn deze berekeningen weer uitgevoerd met één stel materiaal-

parameters voor het periodontium; te weten E = 1 en v = 0 , 4 . Uit de berekeningen volgt in dit geval voor de flexibiliteitsmatrix:

Alleen voor de verticale verplaatsing wordt een verplaatsing berekend die meer dan 1 % afwijkt van de waarde bij de oorspronkelijke schil. De overige verplaatsingsgrootheden wijken minder dan 0,5% af.

3.2.3. De schil met constante dikte ............................ De geometrie van deze schil is geleverd door De Vos. In axiale richting is het periodontium weer verdeeld in 37 equidistante niveau's. De dikte, loodrecht op de contour gemeten, is bij dit model constant. Het onderste

knooppunt op de overgang tand/periodontium gaat niet door de wortelpunt. De radiale afstand bedraagt 0,036 mm. voor dit onderste knooppunt. Op de gebruikelijke wijze is een elementverdeling gegenereerd, welke is aangevuld tot een complete invoer voor PEMSYS.

De tand beweegt a l s star lichaam, deze beweging wordt uitgedrukt in de

vrijheidsgraden van het middelpunt van het bovenvlak van de tandkroon. Bij deze elementverdeling is dit het knooppunt 225.

Het periodontium is star verbonden met de tandkas. Opnieuw is gerekend met de materiaalkarakteristieken E = 1 en L, = 0 , 4 .

Uit de berekeningen (zie bijlage 4 . 3 ) volgt in dit geval voor de flexi- bi 1 it ei t sma tr ix :

U

W

@Y

@z i - -

-

9.319 O 0,824 O r O

= 10-3 I 2.964 O O

O . 824 O O . 082 O

O 0.513

Mb M :I W

-15-

Zoals blijkt uit vergelijking met voorafgaande resultaten zijn in dit

model de verplaatsingen per eenheid van kracht of moment aanzienlijk

(10-20%) groter. Dit verschil wordt veroorzaakt door het verschil in periodontiumdikte. In de eerste twee modellen is de vorm van de af- scheiding periodontium/tandkas ook een parabololde, zodat alleen boven

bij de tandkas en onder bij de wortelpunt de vereiste dikte t = 0,25 m. van het periodontium wordt gehaald. Uit berekeningen blijkt dan dat vooral

aan de tandvoet het periodontium plaatselijk niet dikker is dan 0,17 m.

In fig. 8 is het dikteverloop vergroot weergegeven.

-1 6-

-17-

3.3. Controles

3.3.1. Controle OE lineariteit ---------- ------------ De Vos maakt in zijn berekeningen gebruik vac een enkele laag elementen

in het periodontium en deze elementen kennen slechts een lineair ver-

plaatsingsveld. Het TRIAXG-element kent echter een kwadratisch ver-

plaatsingsveld. Uit de berekeningen die met behulp van FEMSYS worden uitgevoerd is na te gaan in hoeverre het verplaatsingsveld over de

elementranden afwijkt van de lineariteit. Daartoe zijn de resultaten van het laatste model, met constante dikte,

voor alle belastingssituaties nader geanalyseerd. Op 10 niveau's is het verloop van de verplaatsing als functie van de x-coördinaat uit- gezet. Voor alle grafieken geldt uiteraard dat het knooppunt op de tandkas geen verplaatsingen kan ondergaan. De numerieke waarden zijn

in bijlage 5 opgenomen en grafisch weergegeven B n de fig. 9 t!m 12,

waarbij voor alle niveau's de functies zijn uitgezet op een element- rand.

Uit de graf ieken blijkt dat de grootste afwijkingen optreden aan boven- en onderkant van het periodontium. Dit verschijnsel was te verwachten in verband met het feit dat daar ter plaatse relatief grote spannings- concentraties optreden ten gevolge van krachtsinleiding of randeffecten. Voor vrijwel alle andere niveau's wordt vrij redelijk voldaan aan de eis van lineariteit, alleen bij de axiale verplaatsing, zowel bij een hori-

zontale als bij een axiale kracht, zijn de verschillen in de grafieken

zichtbaar. Er is geen dringende noodzaak om een dubbele laag elementen in het perio-

dontium aan te brengen.

3.3.2. Vergelijking met andere resultaten

Eerder zijn door Huiskes (1974) en van Gein (1975) berekeningen uitge- voerd aan een model van een tand, dat overeenkomt met ons laatste model:

de schil met constante dikte. De in de publicaties gepresenteerde flexibiliteitsmatrix is echter bepaald voor krachten en verplaatsingen

in de wortelpunt. De resultaten die in dit onderzoek verkregen zijn

worden teruggerekend naar de wortelpunt.

Noemen wij de krachten en verplaatsingen in de wortelpunt Ho, Mo resp. en is R de afstand tussen wortelpunt en tandbovenvlak, dan geldt:

u. +o

-81-

O1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ I

/ / P

.- \

\

o1 x

V

c- M

-61-

-20-

zoda t d e o o r s p r o n k e l i j k e formuler ing:

o v e r g a a t in:

Voor d e elementen van d e nieuwe f l e x i b i l i t e i t s m a t r i x v inden w i j dan:

* 2 S I ] = S I ] - 2R.SI2 + R .s22

s22 - s22

- s i 2 - s12 - s22

- *

U i t e r a a r d t r e e d t er geen verander ing op i n d e o v e r i g e f l e x i b i l i t e i t s r e l a t i e s .

Voor h e t berekenen van d e elementen v a n de nieuwe f l e x i b i l i t e i t s m a t r i c e s

wordt n i e t u i t g e g a a n van d e paragraa f 3 vermelde, a fgeronde waarden; v o o r a l

de waarde v a n S i s nogal g e v o e l i g v o o r a f rondings fouten i n S I 2 en S

I n p l a a t s daarvan wordt gebru ik gemaakt v a n d e o o r s p r o n k e l i j k e FEMSYS

r e s u l t a t e n .

* 22' I 1

-21-

In onderstaande tabel 2 worden de vijf significante termen uit de flexi- biliteitsmatrix onderling vergeleken. Daarbij wordt de volgende notatie aangehouden:

o '31

s22 O

O ' 3 3

O 0

O

' 4 4 4

Mb M -:I . d W

Tabel 2 Vergelijking f lexibiliteitsmatrices, betrokken op de

wortelpunt.

3 N.B. Alle termen zijn vermenigvuldigd met een factor 10 I

Vos kwadraat

I

I

De resultaten van Huiskes hebben betrekking op zijn tand nr. 2 (Huiskes, 1974, deel D, bij lage blad 1 2 ) . Het aantal elementen is daarbij 106.

Van Gein (1975) heeft in geval a een wat grovere benadering van de contour dan in geval b.

-zz-

- 23-

Literatuur

H.v.Gein, 1975; Stijfheidsmatrix voor een meerwortelig gebitselement.

THE-rapport WE 75-04.

R. Huiskes, 1974; Een mechanica beschouwing van het gebit, met toe- passingen voor de orthodontie. THE-rapport WE 74-05.

S . de Vos, 1979. Persoonlijke mededelingen.

- 24-

Bijlage 1

Het TRIAX-6 element

1 . Algemeen

Het TRIAX-6 element is een ringvormig element met een driehoekige

&d.arsdoorsr,ede. k t element heeft zes (riligvormige) knooppunten, waar-

van er drie liggen op de middens der zijden van de dwarsdoorsnede.

Het verplaatsingsveld is kwadratisch, het rek- en spanningsveld worden lineair verondersteld. Elk knooppunt heeft drie vrijheidsgraden: verplaatsingen in axiale, radiale en tangentiele richtlng zijn mogelijk. Het element wordt

vastgelegd door de x- en z-coördinaat van de hoekpunten 1 , 3 en 5.

Het element is niet alleen geschikt voor rotatie-symmetrische pro-

blemen, maar kan ook bij niet rotatie-symmetrische belastingssituaties worden ingezet, omdat zowel de verplaatsing als de belasting kan worden beschreven met termen uit een Fourier-reeks-ontwikkeling.

Als karakteristieke grootheden moeten worden opgegeven:

E: de elasticiteitsmodulus v: de dwarscontractiecoëfficiënt

p: de orde van de Fouriertermen Berekend worden de topwaarden van de verplaatsingen en van de zes

spanningsgrootheden in elk knQoppunt.

-25- . .~

2 . Het verplaatsingsveld

Voor elk knooppunt wordt de verplaatsing gegeven door drie grootheden:

--

r = X cos p.a t = 7 sin p.m w = z cos p.a

in radiale richting

in tangentiële richting in axiale richting

Voor het geval dat p = O wordt genomen, geldt voor de verplaatsingen: r = 2 t = O

A w = z De radiale en tangentiële verplaatsing is dan constant voor elk punt van de omtrek.

A l s punten van het element deel uit maken van de hartlijn van de

~~~

~~~~

constructie moet er voor worden gezorgd dat er daar ter plekke geen gat ontstaat. Voor die punten moet dan dus worden geëist:

2 = O (voor punten op de constructie hartlijn)

2a. L p T J A l s p = 1 dan geldt voor de verplaatsingen dat die functies zijn van de hoek a:

r(a) = I cos a

t(a) = 9 sin a

w(a) = 2 cos a

Bekijk een verplaatsing a van de ring als star lichaam in de

x-r ich t ing.

- 26-

I

In dit geval moet dan gelden: r.cos a - t sin a = a

r sin a + t cos a = O Uitgeschreven in 2 en 7 moet dan gelden:

2 2 2 cos a - 7 sin a = a

2 cos a . sin a + 7 sin a . cos a = O

Daaruit volgt dan als eis voor de verplaatsingen: % + ? = O

f cos a - y sin a = ?(cos a + sin a) = X = a

zodat inderdaad: 2 2 2 2

In de invoer van FEMSYS kan de verplaatsing als star lichaam worden opgegeven via:

TRANSFORMATIONS Ci:xl = -Ci:yl voor alle relevante knooppunten i.

Deze eis moet ook worden opgelegd aan knooppunten die deel uitmaken van de constructiehartlijn.

2b. Bekijk een kanteling van de ring als star lichaam om de y-as.

\ \

- 27-

Noem de verdraaiing om de y-as: 8.

Dan is de verplaatsing in z-richting voor een punt van de omtrek

met straal b: A w(a) = û.b cos a = z cos a

dus in dit geval is A z = O.b

N.B.: Als extra eis moet gelden dat het middelpunt van de ring niet

ii. z-richting verp laa t s t .

Stel dat dit punt een verplaatsing Wo zou ondergaan dan wordt een extra kanteling û

doorsnede niet meer loodrecht op de constructiehartlijn blijft

staan.

= $ /b geïntroduceerd waardoor deze O O

3 , Belastingssituaties

Evenals de verplaatsingen worden de belastingen op de ring in eerste instantie beschreven door functies die afhankelijk zijn van de hoek-

coördinaat a en van de orde p van de Fourierterm: = P.cos p.a qr

qt = Q.sin p.a = €?.cos p.a 42

in radiale richting in tang ent iëi e r ich t ing

in axiale richting

Alle q's en dus ook P, Q en 8 worden uitgedrukt in krachtgrootheden

per radiaal.

Als referentie gebruiken wij

een ringvormig knooppunt

met straal b.

De normaalkracht N in z-richting

Een normaalkracht wordt verkregen in het geval p = O en q = 8.

Voor de resultante geldt dan: Z

~~ ~

21T 2lT

a= O a= O N = ,f q .da = ,f €? da = 2lTB

Z

Dit resultaat geldt ook als het knooppunt deel uitmaakt van de cons truct iehart lij n.

De d w a r s k r a c h t D i n x - r i c h t i n g

Een dwarsk rach t wordt ve rk regen

i n h e t g e v a l p = 1 en q r = P COS a.

Dan g e l d t voor de r e s u l t a n t e :

-28-

A

Ook d i t r e s u l t a a t i s g e l d i g a l s h e t knooppunt d e e l u i tmaak t van de

cons t r u c t i e - h a r t l i j n.

H e t bu igend moment M,, om d e y-as

Een bu igend moment wordt ve r -

k r e g e n als p = 1 e n q z = a cos a.

E r g e l d t dan:

Het to rs iemoment M om d e z-as W

Een tors iemoment wordt v e r k r e g e n

a i s p = 0 en q = Q. t A l s r e s u l t a n t e v inden w i j dan:

2Tf 2Tr

CX=O

M = I q .b .da = I b.b .da = 2~rQ.b W t

a= O

Y 4 I h

N.B.: B i j de i n v o e r van FEMSYS behoeven a l l e e n d e topwaarden P, 0 e n a t e worden ingevoerd a l s b e l a s t i n g s g r o o t h e d e n .

-29-

'9 2

0.4923

,4180

.2866

.O875

Bijlage 2

j -w22

0.1417

,1206

.O828

,0253

6 Resultaten van het model VOSKWADRAAT (met te hoge Etand = 10 )

E

O. 05

o. 10

V

.35

.40

.45

.49

.35

.40

.45

O. 1567

,1331

, O91 2

0279

O. 0882

.O734

.O488

I

O. 02564

,021 82

. O 1 498

,00458

0.01428

.o1 194

.O0797

0.2770

,2307

. I532

I

0.07892

.O6601

e 04404

0.0614

I

0.00991 O. 15

o. 20

O. 25

3.30

. 3 5

.40

.45

.49

.35

.40

.45

.49

.35

.40

.45

.49

.35

.40

.45

.49

I

O. i930

. I595

. I046

.O299

0.05478

,0455 1

.O3002

.O0865

Verplaatsingen per eenheidskracht

U 1 4 (graden)

0.1479

. I219

,0794

,0225

0.04192

.O3472

. O2277

,0065 1

.O508

.O333

,0095

0.1200

.O986

.O640

.O181

,00823

,00543

. O01 57

0.03396

.O2807

. O 1 834

.O0522

I I

O. 1 O09

.O829

.O536

. O 1 51

0.0471

,0388

,0253

O. 02854

. O2357

, o1 535

.O0435

O. 00759

.O0628

.O041 2

,0048

.O01 18 I .O072 I

,0007 9

O , 0382

.O314

.O204

.O058

0.0321

.O264

,0171

0.00614

,00508

,00332

,00095

O . O051 6

.O0426

.O0278

4 3 l-t

-i&-

-32-

punt U W

22 2.5867 E-2 -7.3364 E-3

25 2.5866 E-2 -4.8903 E-3

88 2.5865 E-2 -2.4451 E-3

92 2.5865 E-2 E-1 O

Bijlage 3

Berekeningen t.b.v. de flexibiliteitsmatrix S voor het model VOSKWADRAAT.

$y = -w/r

2.2232 E-3

2.2229 E-3

2.2228 E-3 -

2

Fig. 1 . Ligging van de knooppunten op het bovenvlak.

Verplaatsingen

Fig. 2. Definities.

Krach ten

In alle berekeningen wordt de belasting ingevoerd als een eenheidskracht per radiaal. In bijlage i is na te gaan op welke manier de resultante van een dergelijke belasting is te berekenen.

De hoekverdraaiing wordt uitgedrukt in radialen. Voor elk belastingsgeval worden de resultaten apart weergegeven.

1 . De horizontale belasting H De resultante van de belasting heeft de waarde T .

De berekeningen met FEMSYS geven het volgende beeld:

-33-

D a a r u i t v o l g t v o o r d e eerste kolom v a n S:

U = (2 .5865 E - ~ ) / T = 8.233 E-3

w = o = o = (2 .223 E - ~ ) / T = 0.7076 E-3

= o @Y @ z = 0

2. De vert icale b e l a s t i n g V

De r e s u l t a n t e van d e b e l a s t i n g h e e f t d e waarde 2 ~ .

U i t FEMSYS-berekeningen v o l g t i n d i t geval:

1.50303 E-2

-1.995 E-7 1.50300 E-2

D a a r u i t v o l g t v o o r d e tweede kolom v a n S:

u = o = o w = (1 .503 E - 2 ) / 2 ~ = 2,392 E-3

@ = o = o Y

@z = 0 = o

Mb 3. Het buigend moment

De r e s u l t a n t e van d e b e l a s t i n g h e e f t d e waarde -T.P

FEMSYS-berekeningen geven h e t vo lgende r e s u l t a a t :

= -10,37. 22

-7.3364 E-3 2.3329 E-3 -0.7069 E-3

-7.3359 E-3 1 .5543 E-3 -0.7069 E-3

-7.3357 E-3 0.7771 E-3 -0.7069 E-3

-7.3356 E-3

-34-

Daaruit volgt voor de derde kolom van S:

U = (-7.3356 E-3)/-10,37 = 0.7076 E-3

w = o = o 4 = (-0.7069 E-3)/-10.37= 0.0683 E-3 Y

oz = 0 = o

4 . Het wringend moment M W

De resultante is in dit geval 27rr = 20,74.

Uit de berekeningen komen de volgende resultaten: 22

3.0902 E-2

2.0600 E-2 9.3638 E-3

1.0300 E-2 9.3638 E-3

Voor de relevante hoekverdraaiing in de flexibiliteitsmatrix vinden we dan:

oZ = (9.3638 E-3)/20.74 = 0.4516 E-3

-35-

Bijlage 4

Berekening van de flexibiliteitsmatrices S voor het model VOSCCHIL.

Alle resultaten hebben betrekking op knooppunt 230, het punt waarbij

de extra graden van vrijheid zijn gedefinieerd. Dit knooppunt is het middelpunt van het bovenvlak van de kroon.

4.1. Periodontium volgens de oorspronkelijke geometrie

E = 1 ; v = 0,04

FEMSYS-resultaten

u = 25.8051 E-3 T.7 w o =

Cpy = 2.2161 E-3

w = 15.038 E-3

U = 2.2161 E-3

w = o

$7 = E-3

= 2.8420 E-3 9,

4.2. Afgeknot periodontium

E = 1 ; v = 0,04.

FEMSY S-res u1 tat en

U = 25.8726 E-3

w = o

@ = 2.2239 E-3 Y

w = 15.2168 E-3

U = 2.2239 E-3

w = o Cp = 0.2141 E-3 Y

CpZ = 2.8420 E-3

per eenheids krach t

U = 8.2140 E-3

-w- 0

Cp = 0.7054 E-3 Y

w = 2.3934 E-3

U = 0,7054 E-3

w = o Cpy = 0.0679 E-3

Cpz = 0.4523 E-3

per eenheidskracht

U = 8.2355 E-3

w = o

@Y = E-3

w = 2.4218 E-3

U = 0.7079 E-3

w = o

@Y = o*o682 E-3 -

Cpz = 0.4523 E-3

H

-9€-

I

iivo

3 , O O

7

i1,56

0,11

8 ,67

7 ,22

5 .78

4 ,33

1,44

2,89

O. 04

cnpp t n.

219-218

195-194

171-1 70

147- 146

123-122

99-98

75-74

51-50

27-26

3- 2

b e l a s t i n g H

3 : a d i a a l x 10

16 ,33 6,74

12,60 6,26

8 ,86 4,39

5 ,12 2,52

+1,38 +0,66

-2,36 -1,20

-6, lO -3,06

-9,84 -4,91

-13,58 -6,71

-17,22 -7,76

- 3 sxiaal x 10

-8,54 +5,'39

-8,05 -4,36

-7,53 -4,lO

-6,97 -3,81

-6,37 -3,49

-5,70 -3,l.S

-4,93 -2,74

-2,85 -1,.53

-4 ,03 -2,24

-0,45 +4 ,58

b e l a s t i n g Fl,,

3 r a d i a a l x 10

+1,30 +0,52

+0,92 +0,46

+0,55 +0,27

-0,18 -0,09

-0,20 -0 , lO

-0,57 -0,29

-0,94 -0,47

-1,32 -0,66

-1,69 -0,83

-2,05 -0,92

- 3 axiaal x 10

-0,85 +0,40

-0,80 -0,44

-0,75 -0,41

-0,70 -0 ,38

-0,64 -0,35

-0,57 -0,31

-0,49 -0,27

-0,40 -0,22

-0,28 -0 ,15

-0,04 +0,57

b e l a s t i n g V

3 r a d i a a l x 10

O + I ,23

O -0.03

O -O. 03

O -0.03

O -0.03

O -0.04

O -0.06

O -0,09

O -0,19

O +2,95

Voor v e r s c h i l l e n d e b e l a s t i n g e n is p e r knooppuntenpaar d e relevante v e r p l a a t s i n g opgegeven.

3 2xiaal x 10

18,62 6 ,88

18,62 9,14

18,62 9,11

18,62 9 , lO

18,62 9.04

18,62 9.02

18,62 8.94

18,62 8.82

18,62 8 , 5 3

18,62 19,81

b e l a s t i n g M W

t a n g e n t i a a l x 10 3

10,63

10.02

9.38

8.68

7.93

7.09

6.14

5,Ol

3 ,54

0 ,56

4 ,86

4.92

4.59

4.25

3.86

3.45

2,97

2,41

1 , 6 8

O , 72

-38-

Bijlage 6

Het spanning sver 1 oop

Om een visuele indruk te krijgen van het verloop van de spanningen in het periodontium zijn in deze bijlage voor één model, nl. de schil met

constante dikte, en voor twee belastingssituaties, nl. voor een radiale kracht H en voor een axiale kracht V de spanningen geplot, zoals die

met FEMSY S word en b er ekend e

Deze spanningen zijn een gevolg van een eenheidsbelasting in het reken-

programma, de resultante in radiale richting is dus gelijk aan IT, in axiale richting gelijk aan IT.

Verder moet bedacht worden dat de hier weergegeven spanningen in principe

de topwaarden zijn; bij de horizontale kracht is dit aspect van belang,

omdat hier als orde in de Fourierontwikkeling de waarde één is genomen

is de definitie gegeven van de spanningen op een (zie ook bijlage 1 ) .

In onderstaande figuren elementair blokje.

F

Fig. 6 . 1 . Definitie van de spanningen.

In fig. 6 . 2 en 6 . 3 zijn de spanningen ten gevolge van de horizontale

bel as ting weergegeven. Opvallend zijn de spanningsconcentraties bij de tandwortelpunt en aan

de bovenrand van het periodontium. Een zelfde tendens is zichtbaar in fig. 6 . 4 en 6.5 waar de spanning

ten gevolge van een axiale (trek-)belasting is uitgezet. Bij deze

belasting is voor alle knooppunten T = T = O.

In fig. 6 . 6 tenslotte is de elementverdeling aangegeven met daarbij de

nummers van de knooppunten die op de tandkas of op de kaak liggen.

rt zt

2 =X30NI ’OS1138 I ‘X30NI ‘OS1138 E ZX30NI ‘OSI13ü ä30300N/l/dflOü3/S/üO

CIINR IO-300‘9:U3 ’ ‘löüH3S CliNfl 10-300’9=U3 1 ‘ltJüH3S SlINíl 10-300*S=W3 1 ‘ltJüH3S

u

-017-

b9,. SlINfl I0-300’9=W3 ! :löüiH3S

-It/-

-42-

SCHARL; i Cf1=6.00€-01 UNITS

Fig. 6.5 Schuifspanning tgv

een axiale kracht

Fig. 6.6 Elementverdeling