Bài 2:Một số kiến thức về

Vật lý thống kê

Under construction.

Không gian pha

● Xét một hệ cổ điển N hạt● Trạng thái của hệ được xác định bởi tọa độ r và xung

lượng p của tất cả các hạt● Không gian pha: 6N biến, G = (r,p) hoặc (q,p)● Sự thay đổi trạng thái theo thời gian tuân theo các

phương trình cơ học cổ điển

qi=∂H∂ pi

, pi=−∂H∂ qi

H ( p ,q)=K +V p=∑i=1

3 N pi2

2m+V p( p1 , p2, ... , p3 N )

● Chuyển động của hệ theo thời gian mô tả bởi một quỹ đạo trong không gian pha G(t)

● Do tính tất định của các phương trình Newton, quỹ đạo này không bao giờ cắt chính nó!

● Poincare: nếu đợi đủ lâu thì hệ có thể quay trở về trạng thái ban đầu!

– Poincare recurrence time > tuổi vũ trụ đối với hệ vĩ mô

● Gọi A là một đại lượng đo được, là hàm của G● Giá trị đo được bằng thực nghiệm là giá trị trung bình

theo thời gian

● Gibbs: lấy trung bình theo tập hợp với phân bố cần thiết!

– r(G): mật độ xác suất trạng thái ở điều kiện vĩ mô nhất định: NVE, NVT, NPT...

Aobs=⟨A⟩time=⟨A t ⟩time=1tobs∫0

t obs

A t dt

Aobs=⟨A⟩ens=∑

A

Tập hợp thống kê

● Tập hợp: bao gồm các bản sao của hệ ở nhiều trạng thái khác nhau

● r(G,t) hàm mật độ: tỷ lệ với xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái G tại thời điểm t

● Định lý Louville:

– số hệ trong tập hợp không thay đổi theo thời gian

– tập hợp chuyển động theo thời gian trong không gian pha như một chất lỏng có độ nén bằng 0!

d dt

=0

∂

∂ t=−∑

i=1

N

r i∇ r i

pi∇ pi

● Khi t vô cùng lớn, ta có tập hợp cân bằng:

– khi đó, r không phụ thuộc thời gian!– và ta có

● Công thức trên chỉ đúng cho hệ ergodic, là hệ mà mọi điểm trong không gian pha đều liên thông với nhau (any point in phase space is accessible from any other point)

● Hệ non-ergodic: some region of phase space is not accessible from outside

∂

∂ t=0

⟨A⟩time=⟨A⟩ens

● Trọng số & hàm phân hoạch:

– w(G) là trọng số ứng với cấu hình G

– Q là hàm phân hoạch (tổng các trọng số)

– tùy thuộc vào cách lấy trọng số ta có các tập hợp khác nhau

=Q−1w

Q=∑

w

⟨A⟩=Q−1∑

A w

Tập hợp vi chính tắc● N,V,E = constants

● Trọng số w=1 khi năng lượng của hệ bằng E

QNVE=∑

H −E

QNVE=1N !

1

h3N∫ dr dpH r , p−E

S=k B lnQNVE entropy

Tập hợp chính tắc● N,V,T = constants

w (G)=e−H (G)/k BT

QNVT=∑G

e−H (G)/k BT

F=−k BT lnQNVT

QNVT=1N !

1

h3N∫ dpe−K /k BT∫dr e−V pr /k BT

Năng lượng tự do Helmholtz

Z NVT=∫dr e−V pr /k BTconfigurational integral

QNVT=1

N ! h2/2mk BT

3N /2 Z NVE

Tập hợp đẳng nhiệt đẳng áp

● N,P,T=constants

w =e−H PV /k BT

QNPT=∑G∑V

e−(H +PV )/k BT=∑V

e−PV /k BT QNVT

G=−k BT lnQNPT

Z NPT=∫dV e−PV /k BT∫dr e−V pr /k BT

Năng lượng tự do Gibbs

Tập hợp chính tắc lớn

● m,V,T=constants

w =e−H − N /k BT

QVT=∑

∑N

e−H− N / k BT=∑N

e N /k BT QNVT

PV=k BT lnQVT phương trình trạng thái

Định luật đẳng phân

● Mỗi bậc tự do ứng với kích thích năng lượng kT

● Số bậc tự do = 3N - Nc

Nc là số ràng buộc (constraint)

⟨ pk∂H∂ pk

⟩=k BT ⟨qk∂H∂qk

⟩=k BT

Nhiệt độ tức thì● Nhiệt độ đo được bằng thực nghiệm là nhiệt độ trung

bình theo thời gian● Trong mô phỏng có thể tính nhiệt độ từ một trạng

thái vi mô của hệ● Từ định luật đẳng phân ta có:

● Nhiệt độ tức thì:

⟨K ⟩=⟨∑i=1

N ∣pi∣2

2mi⟩=3N

2k BT

T=2K

3NkB

=1

3NkB∑i=1

N ∣pi∣2

mi

● Trong trường hợp có Nc ràng buộc:

● Nhiệt độ trung bình:

T=2K

3N−N ck B

=1

3N−N ck B∑i=1

N ∣pi∣2

mi

T=⟨ T ⟩

Áp suất tức thì ● Từ trạng thái vi mô của hệ có thể tính được áp suất

tức thì● Từ định luật đằng phân ta có:

suy ra:

● Lực tổng cộng bằng ngoại lực + nội lực:

⟨qk pk ⟩=−k BT pk= f ktot=−

∂

∂qk

V p

13 ⟨∑i=1

N

r i⋅f itot ⟩=−N k BT

f itot=f i

extf i

internal

● Ngoại lực cân bằng với áp suất lên các bức tường:

● Hàm virial

● Áp suất tức thì:

13 ⟨∑i=1

N

r i⋅f i

ext ⟩=−PV

W≝13∑i=1

N

r i⋅f i

internal=−

13∑i=1

N

r i⋅∇ r iV p

PV=N k BT⟨W ⟩

P= k BT

WV= P ideal gas

P ex

P= k BTWV=⟨ P ideal gas

⟩ P exhoặc

● Tương tác cặp

W=13∑i

∑i j

r i⋅f ij=−

13∑i

∑i j

r i⋅∇ r ijv r ij

V p=∑i< j

v (r ij)

W=−13∑i

∑i j

w r ij

w r =rdv r dr

hàm virial cho tương tác cặp

Nhiệt dung riêng● N,V,T=constants

● N,P,T=constants

E=⟨H ⟩

⟨ E 2⟩=⟨H 2

⟩−⟨H ⟩2

C v=⟨H 2

⟩−⟨H ⟩2

k BT2

C p=⟨H 2

⟩−⟨H ⟩2

k BT2

Thực hành lập trình● Gọi số giả ngẫu nhiên trong Fortran 90● Vector ngẫu nhiên trong không gian 3 chiều● Số ngẫu nhiên theo phân bố Gauss ● Tạo các trạng thái của hệ khí lý tưởng N hạt trong

thể tích V với vận tốc theo phân bố Maxwell-Boltzmann

Gọi số giả ngẫu nhiên(pseudo-random number)

program test1integer, dimension(1) :: seedinteger :: kreal :: u

call random_seed(size=k)call random_seed(put=seed(1:k))

call random_number(u)

print *,u

end program test1

u∈(0,1) phân bố đều

Tạo vector đơn vị ngẫu nhiên trongkhông gian 3 chiều

θ∈(0,π) ϕ∈(0,2π)

dΩ=sinθd θ d ϕ=−d (cosθ)d ϕ

u , v∈(0,1)

ϕ=2πu

t=1−2 v

x=√1−t2 cosϕ

y=√1−t2 sin ϕz=t

Trong hệ tọa độ cầu ta có:

Chọn 2 số ngẫu nhiên u và v:

t∈(−1,1)

ϕ∈(0,2π)

subroutine random_unit_vec(a) real*8 :: a(3),x1,x2,s,t10 continue call random_number(x1) call random_number(x2) x1=2.*x1-1. x2=2.*x2-1. s=x1*x1+x2*x2 if(s>1.) goto 10 t=2.*sqrt(1.-s) a(1)=x1*t a(2)=x2*t a(3)=1.-2.*s end subroutine random_unit_vec

Do tính sin và cos mất thời gian, nên có thể dùng thuậttoán sau gọn hơn để tạo vector đơn vị ngẫu nhiên

u , v∈(−1,1) s=u2+v2

∈(0,1)

sin ϕ=v

√s

cosϕ=u

√scosθ=1−2 s sinθ=2√s (1−s)

Tạo số ngẫu nhiên theo phân bố Gauss

Tính sin, cos trên máy tính khá mất thời gian !!

P X ( x)=1

σ√2πexp(−x2

2σ2 )

function gauss() !returns a normal distribution real*8 :: gauss,tmp integer :: flag real*8 :: fac,gsave,rsq,r1,r2 save :: flag,gsave data flag /0/ if (flag.eq.0) then rsq=2.0d0 do while(rsq.ge.1.0d0.or.rsq.eq.0.0d0) call random_number(r1) call random_number(r2) r1=2.0d0*r1-1.0d0 r2=2.0d0*r2-1.0d0 rsq=r1*r1+r2*r2 enddo fac=sqrt(-2.0d0*log(rsq)/rsq) gsave=r1*fac tmp=r2*fac flag=1 else tmp=gsave flag=0 endif gauss=tmp end function gauss

Phân bố Maxwell-Boltzmann

f p( px , p y , pz)= f ( px) f ( p y) f ( p z)

f ( p)=1

√2πmkTexp( − p2

2mkT )

f p( px , p y , pz)=( 12πmkT )

3/2

exp(−p x2+ p y

2+ pz

2

2mkT )

Xét hệ khí lý tưởng với N hạt trong hộp lập phương có cạnh bằng L.Viết chương trình tạo các cấu hình ngẫu nhiên theo phân bốMaxwell-Boltzmann.

Tính nhiệt độ tức thì.

L