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8/3/2019 Bruce Bartlett- On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum fi eld theory
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O n u n i t a r y 2 - r e p r e s e n t a t i o n s o f n i t e g r o u p s a n d
t o p o l o g i c a l q u a n t u m e l d t h e o r y
B r u c e B a r t l e t t
A t h e s i s s u b m i t t e d i n f u l l m e n t o f t h e r e q u i r e m e n t s
f o r t h e d e g r e e o f D o c t o r o f P h i l o s o p h y
t o t h e
U n i v e r s i t y o f S h e e l d
D e p a r t m e n t o f P u r e M a t h e m a t i c s
O c t 2 0 0 8
arX
iv:0901.3975v1[math.QA]26Jan2009
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P
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A b s t r a c t
o n n o l o n n P E n o n o ( n
o n d P E D l l o n o l o o n
o F m o o n n d d o o l o l n m ( l d o
@ p A D P E o o n P E n o n o ( n o
o o P E o n d o o n 9 n n d ( n
o m o d l F
( l d d m o n o d l o o n o m o n
o d n o n P E o o n P E n o n o ( n o
o m o o o n j o n n o n d l o
o d o n n o o d F l o n n
n d d p o o f z n d h o l n D n l
o n d o l n o n d o
d n 9 o P E o n d o o n F
o n d l o P E o P E n o n D o n
n n o d d n d n d n l q n n d u n o F s
o n P E o n P E n o n n m d
n o l o m o m o P E n o n D n d n
P E n l l l l n o o m o m l ( d
q o n d k o o n P E n o n o o o n E
n o n d l o o F
( n l l o o l o n o n o D
o d o n j m d i n o D x k n d y k F s
o n o l o n o n o n n o n l
n n o l o n o n o m E l o m n d n m D n
o l m n d m o n o d l n l
n o m o n o d n n o o n o F w o o o l
n m d l n d o n l n n m o d F
Q
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R
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D e d i c a t i o n
T o m o m a n d d a d , g r a n n y a n d g r a m p s , n a n n y a n d p a !
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T
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A c k n o w l e d g e m e n t s
p l m l n k o o m o m o n l l o n o m s
d o n o l n n o m n d o m l Y
n m m n o n d m n d F s o n k l l m l l o r o
o w n m o o o d m d D n d l l o d D
n n d D o n 9 n n d o l d n F
e o k o n n d D s o l l n k l o l 9 h d
q n D t m g n D l f k n m D e l m u d D h n D i n
g n D o m f d l n d D n n d d r o o m l n
o n o n n d o l n m o o n d n F
s o l d l k o k n o l d w l l m n D x k q k n d o m
v n o l d m o o l n o o n F s m l o
l o o g o n l l n n o m m o m o
n d d n e n d g F
s m n l l o t o n f z o o l m n k 9 p n d 9
d o o n d ' o n m D n d o D o m s o n
m l l k o k n o F
s o l d l o l k o n k t m D w e n l D p n k x m n n D
r l l n g o l m n n d v k F
p n l l D s o l d l k o k n o l d o o i l l n i E
n m D l l q l o w m l t o n l F
U
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V
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C o n t e n t s
A b s t r a c t 3
D e d i c a t i o n 5
A c k n o w l e d g e m e n t s 7
1 I n t r o d u c t i o n 1 3
I F I f k o n d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I Q
I F P n Z(S1) h m Z( ) n ( n o m o d l F F F F P I
I F Q P E n o n l l l l F F F F F F F P P
I F R g z n o l o n o n o F F F F F P S
I F S g o m o n o o k F F F F F F F F F F F F F F F F F P U
I F T y o F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P V
2 G e o m e t r y o f o r d i n a r y r e p r e s e n t a t i o n s 3 1
P F I r o l o m o m n l n n d l n d k n l F F F F F F F F Q P
P F P f m n k n l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q R
P F P F I f m n k n l m o d o o o n F F F F Q R
P F P F P f m n k n l l m l m o
k n l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q S
P F P F Q f m n k n l n l F F F F F F F F F Q U
P F P F R f m n k n l n d o n F F F F F F F F Q V
P F Q o o l n n d l n d k n l F F F F F F F F F F F F Q W
P F R o m l n n d l o o j F F F F F F F F R I
P F S e n l n o o F F F F F F F F F F F F F F F F F F F R U
P F T n n o n n d n l n n d l F F F F F S I
P F U q o m o n l n n d l F F F F F F F F S R
3 2 - H i l b e r t s p a c e s 5 9
Q F I
HE o F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F T H
Q F P P E r l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F T I
Q F Q P E o o P E r l F F F F F F F F F F F F F F F T T
Q F Q F I g z n l n
E n o F F F F F F F F F F F F F T T
Q F Q F P r l o n l n o m o n F F F F F T V
W
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I H C O N T E N T S
Q F Q F Q n l n o P E r l F F F F F F F F U H
Q F Q F R p o n l o m P E r l F F F F F F F F U I
Q F R o m o P E r l F F F F F F F F F F F F F F F F U P
4 S t r i n g d i a g r a m s 7 7
5 E v e n - h a n d e d s t r u c t u r e s 8 1
S F I h ( n o n o n n E n d d F F F F F F F F F F F F F V P
S F P q o m n o n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F V V
S F Q l o n o o F F F F F F F F F F F F F F F W H
S F Q F I o l o n m o n o d l o F F F F F F F W H
S F Q F P o n o m o f n d F F F W S
S F Q F Q w o n o d l P E o d l F F F F F F F F F F F F W S
S F Q F R g o m o n n E n d d F F F F F F F F W T
S F R i n E n d d n n m o d j n o n o m o m F F F F W U
S F S i n E n d d o m F F F F F F F F F F F F F F F I H H
S F S F I o n l n o F F F F F F F F F F F F F F F F I H H
S F S F P i n E n d d o m F F F F F F F F F F F I H P
S F S F Q i n E n d d n o m m l o F F F F F F F I H Q
S F T P E r l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I H U
S F U h d o o g l E m n o l d F F F F F F F F F F I H V
6 E v e n - h a n d e d s t r u c t u r e s o n f u s i o n c a t e g o r i e s 1 1 1
T F I m E F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I I P
T F P p o n o F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I I R
T F Q o l m o l o o n o F F F F F F F F F F F F I I W
T F R p o o l n o F F F F F F F F F F F F F F F F F F I P Q
T F S i n o o l n d l F F F F F F F F F F I P V
7 2 - r e p r e s e n t a t i o n s a n d t h e i r 2 - c h a r a c t e r s 1 3 7
U F I P E o o n P E n o n F F F F F F F F F F I Q W
U F I F I n P E n o n F F F F F F F F F F F F F F F F I Q W
U F I F P w o m F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I R I
U F I F Q P E m o m F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I R P
U F P i m l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I R Q
U F P F I e o m o m o o F F F F F F F F F F F F F F F F I R R
U F P F P m l n o n F F F F F F F F F F F F F I R R
U F P F Q P E n o n o m n F F F F F F F F F I R S
U F P F R y m l o P E n o n F F F F F F F F F F I R T
U F P F S w o m o P E n o n o m m o m o E
n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I R T
U F Q w o l l m n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I R T
U F R i n E n d d n n d n P E n o n F F F F F F F F I R W
U F S P E o P E n o n F F F F F F F F F F F F F F F F F I S P
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C O N T E N T S I I
U F S F I P E F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I S P
U F S F P l o o o o d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I S Q
U F S F Q P E F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I S Q
U F S F R p n o l o P E F F F F F F F F F F F F F I S R
8 G e r b e s a n d t h e i r g e o m e t r i c c h a r a c t e r s 1 5 9
V F I i n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I T H
V F P i m l o n F F F F F F F F F F F F F F F F F I T P
V F Q P E o o n F F F F F F F F F F F F F F I T Q
V F R v n n d l n d @ I A E n d l F F F F F F F F F F F F F F F F F I T U
V F S n o n n d d F F F F F F F F F F F F F F I T W
V F T o m o n n F F F F F F F F I U P
V F T F I n o d l n n d l o l o o o o d F F F I U P
V F T F P h ( n o n o o m F F F F F F F F F F I U Q
V F T F Q p n o l o o m F F F F F F F F I U Q
9 G e o m e t r i c c h a r a c t e r s a n d 2 - c h a r a c t e r s 1 7 7
W F I i n o m n P E n o n F F F F F F F I U V
W F P w o m o o m m o m o P E n o n F F I V H
W F Q P E w o m F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I V I
W F R i l n o P E o F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I V P
W F S P E n d o m F F F F F F F F F F I V S
W F S F I h ( n n o m o m F F F F F F F F F F F F F F F F I V T
W F S F P n o m o m n F F F F I V T
W F S F Q n n l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I V U
W F T P E d o n o d n P E n o n F F F F I W I
1 0 T h e h i g h e r c a t e g o r i c a l d i m e n s i o n o f 2 R
e p
(G). 1 9 3
I H F I r o l d m n o n o P E o F F F F F F F F F I W S
I H F P m n D o n l l d o n F F F F F F F F F F F F F F F F F F I W W
I H F Q n d m o d o n c F F F F F F F F P H Q
I H F R n d n d n m o m m n n o o EG
F F F F F F F F P H S
I H F S i n n o n d l F F F F F F F F F F F F F P H U
I H F T i n d n n o m o n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P I I
I H F U e n o m o n d m n d d EG
F F F F F F F P I T
I H F V o n m l l l F F F F F F F F F F F F F F F P P Q
I H F W n o o F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P P S
A V e r i f y i n g t h e ` c r o s s i n g w i t h S1
' e q u a t i o n f o r l o w c o d i m e n s i o n 2 2 7
B F u s i o n c a t e g o r i e s h a v e a m b i d e x t r o u s d u a l s 2 2 9
C N a t u r a l i t y o f t h e c a t e g o r i c a l d i m e n s i o n 2 3 1
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I P C O N T E N T S
D F u s i o n t e n s o r p r o d u c t f o r c o n j u g a t i o n e q u i v a r i a n t v e c t o r b u n -
d l e s 2 4 1
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C h a p t e r 1
I n t r o d u c t i o n
s n o m n l F ( o d o n
o n l 9 o n n n d d ( n o p D
o n d o d o z n o l o n o n o D
n d d o o P E n o n l l l l F
1 . 1 B a c k g r o u n d
f o l n l D ( l l o m o o d m o
n d d o o l o l n m ( l d o D o o l o n F
C h e r n - S i m o n s t h e o r y a n d t h e b i r t h o f T Q F T
s n I W V W D n l o m d o n o n n l
d o d k n o n n o t o n n m o E d m n o n l n m
( l d o k n o n C h e r n - S i m o n s t h e o r y I Q P D U T F p o m o n o
o o d n o o d d n o n p u r e l y
t o p o l o g i c a l " d o n o d n d o n m o n m F o o n
k n o n n l o o n l o l d
n o n n n d m n o o o k n o F n m ( l d o
o k n o n t o p o l o g i c a l q u a n t u m e l d t h e o r i e s @ p 9 A D n d
l l m n l o m m l n l m n o
n ( n l l l E l o n o d o n o Y o n n
r l o o n i t e - d i m e n s i o n a l F s n n n
l d D g n E m o n o o m o E l d o
p D n d o o n o n n n n n o n n
o m n d F p o n n o d o n o d D o m m n d Q D
V U l l o n l o n I Q P F p o m o o n k o n d
n d o o n o n D I Q S D g I I F
I Q
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I R C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N
E x t e n d e d t o p o l o g i c a l q u a n t u m e l d t h e o r y
p o m m m l D n m o m n o
n d n d n d o m l o o o l o l n m ( l d o F t
i s p l l D n d o d o o n o n o n c
o m n d n o m n o l c
e n n o ( o n n l o d d n
n n n e n d l R D I I U F p o m o k m d n
nE d m n o n l p n o o f u n c t o r
Z:n g o
o m o n g o o (n 1)
E d m n o n l l o d m n o l d n d o o E
d m n m o o o o F w o o D n o
d o m o n o d l o n o D o
d j o n n o n o m n o l d m n o n o o d o o E
o n d n o D n d m l l o o d m o
m n o l d o n d o l d n o l n m o
n n o o d o o o n d n o F x o l o d n
E
m n o l d M
n n d o o d m o m m o l D
o n o Z
m o n o d l m l
Z l l n d
M o m o m o m l n m o l D
m n n u m b e r F o n D p n n u m b e r o
l o d n
E m n o l d n d v e c t o r s p a c e o l o d (n 1) E m n o l d F
y m o D l z d o m l z o n l d o E
o m m o n o m n m l o p 9 F p o n n D
k n D n d o o n d n d o n
o l d m d m m l l o o D n n n n m
o o o n o n o q u a n t u m g r o u p I H V D n d
o o d d m o n o d l o F s o n d d o n
n d e E l m o n o d l n o d o n o m o d ' n
d o m o n D n d o l m o ( n d o m l m o
d o n d o m m o n o m F
e n o o l m o m l z o n o p m o n o d l
n o o n l d m l l o l n l l l l d
n F o n n n m ( l d o l l o l o c a l n D
o o l d n l o l l o l
l n l o l l o d m n o n D n o j l n o (n 1) E m n o l d l o n
nn
E d m n o n l o o d m F
o n d o n o n o o n o n e x t e n d e d p o n
l l o l n l I H D S W D T P D T R D
V W D I H U D I Q U F s l z d j n o d n n
E d m n o n l p
n n m o l o d
nE m n o l d n d o o l o d
(n1)E
m n o l d D n e x t e n d e d p o n d n l i n e a r c a t e g o r y o
l o d (n 2)
E m n o l d D n d l i n e a r 2 - c a t e g o r y o l o d (n 3)
E m n o l d D
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1 . 1 . B A C K G R O U N D I S
n d o o n F s n g n E m o n o o n n D n = 3
D d d
m o n o d l o o n o n o n m o " o
o j d o d k n D n d o " d d n l o n d
o m c a t e g o r y a s s i g n e d t o t h e c i r c l e F s n o o d D l n o
h i g h e r c a t e g o r i e s n o o ' n ( d o o j D l o
d m d l o m l m n o o o d 9 F
T h e B a e z - D o l a n h y p o t h e s e s
o l m m n d o ( n d o n d o n o d o n n d d
p n m o n l n D n d l l l n
l F o n f z n d h o l n l d m n l
I H D ( o l o n o n r d m n o n l l n d
o o l o l n m ( l d o 9 F s n m d o o
o n o n d d p 9 D o l o n o u n i t a r y
p 9 D k n d o o n l l n F
l l n d d l o n j l l d ' n l D o l
o 9 m o n o m n F ( o o l l o F
E x t e n d e d T Q F T H y p o t h e s i s ( B a e z - D o l a n [ 1 0 ] ) . e nn
E
d m n o n l n n d d p k n
E n o D n l l
l l o d l D o m n
E o nC
o o o o d m o nH
l D
nE o o
nE r l F
m o n n d n F ( m l o n
m m l o o j l o d
0E m n o l d @ F F
o l l o n o o n A D o I E m o m 9 I E m n o l d o n d D
o P E m o m 9 m n o l d o n D n d o o n o n
D l l
o m n
n- c a t e g o r y . s n o o d D m l o n h i g h e r
c a t e g o r i e s a r e p r e c i s e l y t h e r i g h t l a n g u a g e t o d e s c r i b e t h e c u t t i n g a n d p a s t i n g
b e h a v i o u r o f m a n i f o l d s w i t h c o r n e r s F o o o l l
o n n d n d l o d D n l n m j o m o o n o
j Y R Q o n o n d F
o n d n d m o l n d n n l l l E
l o d l 9 D o o o d u n i t a r y m n n
n n d d p o n F d n
E o nC
o
l n E o d l 9 D m n o k
E
m o m f: a b
d l m o m f : b a
D o
(k + 1)E m o m
: d a ff n d : f f d b D m l
d l m o m n d o n d o o n D n d o o n D o o
l l n
D n o o m o m F d
nE o d l d o m o o n n 9 n
m n n k n o c a t a s t r o p h e s 9 o n l o P D I P T F D
o m n f
n d n f
n o d k n k 9 D n d
n o
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I T C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N
o m o n k n k 9 D n d o o n F o o n d d l
o i n d d p r o D o o n
n o D n d d d o d I H n o d o n d n d
F
d n d n n
E o D n m l n
- c a t e g o r y o f
n- H i l b e r t s p a c e s F e n
nE r l 9 m n o n
(n 1)E o
n d o o r l D o l E
o ( d F p o n n D 2 - H i l b e r t s p a c e d ( n d f z T n l l
C
E l n o h o m - s e t s ( n E d m n o n l r l
@ o ( 9 d n n o d o o o n r l
o m l n m A d o m l n o l o n
:r o m
(x, y) r o m
(y, x)@ o ( o n
(x, y) = (y, x) n
r l A F s n D l m o n n d n o i n d d
p r o F e l l l l m n
E o
n d d p Z
k l n o m k n d o l n o d l
l l l l Y m l l l l m l d d n o o n F p o
n n D l o g n E m o n o n o m l d k n l
n r l D m o o m l o n d d p 9 D
o z n k E n o @ I H W n d n n A n d
o n n q o m v n l n d o m m 9 P Q k
l n o m k n d o d e r i v e d o F
o n d o o f z n d h o l n o n o n d d
p 9 o l l o F
C o b o r d i s m H y p o t h e s i s ( B a e z - D o l a n [ 1 0 ] . ) n
E o nC
o
o o o d m l n
E o d l o n o n o j F
m k l o n o n n
E o d l 9
n o o D n o n o l o o D n d n o n l
o n D l l n n d n o o m n o l d 3 d d ' n l D
m n n
- c a t e g o r i e s w i t h d u a l s a r e t h e g r a m m a r o f s p a c e F e n
nE o l l d s t a b l e n d d o
nE d m n o n l
o n (k + n)
E o k n Y o n d o n m l o n
l k n o a b s t r a c t o o d m n d n o n l 9 m d d d
o j t a n g l e s F
s n o o k o l k o d n o o Y
o d d o I H n d o r h m n o n l
e l 9 F o p o w e r o o F p o
n n D o m n n m o o l l o n X
T h e p r i m a c y o f t h e p o i n t e n n E d m n o n l n n d d p o m l l d d
nE r l n o
o n F
k n o n Y l m m n o
l o l o o X e v e r y t h i n g D n l d n l l n m
8/3/2019 Bruce Bartlett- On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum fi eld theory
17/251
1 . 1 . B A C K G R O U N D I U
o o n F D d m n d E o l n o n n 9 o m
o n o o n 3 g o n d n n m n n
n o l d n o g n E m o n o D o z n k E n o D
E n o n d q o m v n l n d n o m o d E
o n n o n n n d o m D n o l
n o n o E o l d n o m n m m m F
V e r i f y i n g t h e p r i m a c y o f t h e p o i n t
s n g Q F Q F R l l l l ` v e r i f y ' m o o n 9 n
n = 2
F s l o n n k n o n n o E d m n o n l p
z d n
o l n m k1, . . . , kn D n l E
o m n n d l o n o o S P F l l
l d z P E r l o o n n
o m o m F @ o o n m k o n d o d 9
m o o m o i n d d p r o l l n o
n m d n l D n o n = 2
Y n l n o o m l l
l m n o d l l l l l 9 D o o m E
l o n o o o o o n = 2
n o n d n o k
o w o o n W U A
s n D g o l l o l l o d m o o l l l o n
l n R U F r o n n n n d d o E d m n o n l
o n E l o d o o l o l o n o m l ( l d o m n n
C a l a b i - Y a u A - c a t e g o r y F e o o l o l o n o m l ( l d o l n p n d o n o m l ( l d o D n d
m n m l A
n dB
m o d l n o d d n I Q Q F e n
A E o n o o o l l o n o o j d d o n m o m o o o n o m o o 9 D n d
C a l a b i - Y a u A E o D o l k n D n A E o d
n o n E d n n n n o n o m o m F y n
n n k o g l E A E o d d o n 9 o P E r l
D n d o n n n g o l l o 9 l 0 m n m
o o n o
n = 2 n o l d o o o l o l o n o m l ( l d o F
T h e ` c r o s s i n g w i t h t h e c i r c l e ' e q u a t i o n
s n d d p o n d d o m o k o E
n l n l o n n d d p D n o n E o ' o l d
o n o l d n m n n
Z(M) n d o
l o d m n o l d M
o l d
Z(M S1) = h m Z(M)
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18/251
I V C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N
h m 9 o h i g h e r - c a t e g o r i c a l d i m e n s i o n o Z(M)
D o o
E o l o o n D d ( n d o l l o n o n o m E
o n o d n n o o n Z(M)
F l l o n
l 9 o n n d m k o m n n d o n F p l D l
l X o n l m n e n t i r e p l e t h o r a o f t o p o l o g i c a l o p e r a -
t i o n s o n E o l Z(M S1)
" o d
n o m o n D d n D p o n n
F " n o m d l o m E o l n o n n 9
o n h m Z(M)
F o o n m o o n o d E
n n d d p X t o p o l o g i c a l o p e r a t i o n s t r a n s l a t e i n t o h i g h e r - c a t e g o r i c a l
o p e r a t i o n s F
g o n d m l o n o n o l d o l d o g n E m o n
o F n
M = S1 r l n d o o "
k n o n V e r l i n d e a l g e b r a " n l l d l o n l
n o m o n o d n n o o n o n d o l F
x o o n d o l o o o n
n o n o l o o o l l k
F n o m m l D
l o n l n o m o n n l o n n o
n l n o m o n o d d l n o n F
o n l d d o n l z o n l 9 F l
m n n l d l k n o n V e r l i n d e c o n j e c t u r e
" n d j n o o l d n n l n l m n
o d o o m l n o n o l m F
l o m k o m n o m o n n d D n
o n o o m n o n o D n o n d n o k o f n E
D p n n d x d l P S F
T h e F r e e d p i c t u r e o f e x t e n d e d e l d t h e o r y
o n n n o n i s n n d d p c D
d n o n o o o m n d n o n n d o
l l c o n s t r u c t o F p d l d l n
d D n d n d o n n l n ) n d
d S W D T H D T P F s n l m l o m m n d n
T I D n l n o o n m o k o n d d
g n E m o n o l o n l n F
s n m o k o p d D o m d n d d o o n n
nE d m n o n l n d d p o n o o l l o n @ o l d n E
d o o d o k n o 9 Y m l l n d o d o n n
o d o m k A X
p o m n o l d
M
dim M nD s p a c e o f e l d s
PM o n MF m n m n ( l d m l o c a l D o
l l n d n n d n F p o n n n g n E m o n
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19/251
1 . 1 . B A C K G R O U N D I W
o d o n o G
o ( l d PM
o )
GE n d l o n n o n o n
MF
p o m n o l d M
D h i g h e r - l i n e b u n d l e L PM o
o ( l d PMF ( o l n n d l L o n E d m n o n l
(n dim M)E r l D o n dim M = n n d l o n m o n n o m 9 D F F f u n c t i o n
eiS[] : PM U(1) D l dim M = n 1 n d l o m n l n 9 F F o n n o n l h e r m i t i a n l i n e b u n d l e D l
dim M = n 2 P E l n n d l 9 D F F n n m n o o n E d m n o n l P E r l o ( l d
P PMD n d o o n d o n o o n D dim M = 0 D o n E d m n o n l
nE r l n o F
o l n n n o n n o E
o l d d o o n 9 o ( l d o X n o n d a m a c h i n e
w h i c h c o n s t r u c t s h i g h e r l i n e b u n d l e s o v e r t h e s p a c e s o f e l d s F q u a n t u m
d o o j X l l o l o d m n o l d
n m o m l n o l o d m n o l d M
o o n
o l n n d l X
Z(M) = (L).
m n o o o n l n E o
n l n n m ( l d o m n o m
o o m d n o d o o n n u m b e r "
j o E d m n o n l d n 9 o o n l l D n d
n l o o k l o m o l l o d m n o n 3 p o n n D m o
m m n l n n d o d d l o o n
o l l ( l d 9 D l o l o l l m n n d
o k o o n o l n n d l 9 F
o n n o o o o n l l o m o E
m d o l n n d l o o ( l d F s n m o
o n n d l o m m n m o m n n o o m ( d
9 X
m E l n n d l 9 L X
n o
D n d n n n m l n n d l o o o ( l d
PM o k n o n t r a n s g r e s s i o n F s n m n m k n o n
- m o d e l F n d l d o n l m d m o o E d E o l n d n d n o m n m I I S D I I T D I I Q F
s n l D o d o o o n o n n l n l
n d E o l l m l o o m o o n
n o n o F s n d d o n D D D k o d n d n o n
n l o l n d o o d n o n l n o o m o l o n m o o
E o o d n I I P D o d n o n o o l o o n d n d n
o m o m E l n n d l 9 F
e o n D n o n o n o ( o m o d l E
n n m d l X n i t e g r o u p m o d e l F
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P H C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N
T h e n i t e g r o u p m o d e l
p o d m n o n n
D h j k D n n d p d o n o
n n d d p l l d n i t e g r o u p m o d e l S H D S W F n o
o ( n o
G n d n
nE o l
Zn(G, U(1))F n
n = 3D ( n o n l o o g n E m o n o D n d o n n k
o Q E o l
l o E l l d o n o Q E l n n d l 9 o BG
D
o l n l P E 9 o BG
F r n d l n D
n o o n BG o o G o o o n E o j o @ o o l d o d o n o n
BG9 D o m
l z o n o n o BGA F
l l o n d d n l n o o m d o
( n o m o d l n d ( n o o d I P H D n d l l
d o n F s n ( n o m o d l D o ( l d PM o
m n o l d M
@ dim M n
A o o d o o j n E
l
GE n d l o
M n d o m o m n o m o m
o G
E n d l F e ( n m o d l o PM o n d o o n ( n n m
o o n o n M
@ l o n o o m o n n A D n d d n o n 1(M)
o n o n d m n l o o d o M
o o n F s o n E
n n o l l o m o n o n o n o n o m o n n D m k n
m o n l o n d n o n d F x l D
n ( n n l G
E n d l d m n d o l o n o m D
PM = Fun(1(M),BG),
o o n o n d n l n o m o n o m
1(M) n o BGF
o n d ( n d n o n D n d o k o l l o F y n
d m
PM PM 1(M) e v BG,
o l l k n d d o n o l
o n o PM o (d dim M)E
o l M() Z(dn)(PM, U(1))F
n m o n o l o d m n o l d M
o
o n o l n n d l o PM n d n d
o l M()F
s n l I l l n n m n n n E
d m n o n l o D o n o F m n o n n
d l m n o o n o Q E d m n o n l n d d p 9
n o l l E d ( n d o n " o k n o d o n
n o o f z E h o l n n d d p o F
p o m o d l o n n n d o I D P n d Q E d m n o n l
l o d m n o l d n d n o o n n n l I D
d o o k o l l o n I P H D o l l n o l o
n g V F n o l n n o l n m
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1 . 2 . V E R I F Y I N G Z(S1)
D I MZ(
P T)
I N T H E F I N I T E G R O U P M O D E L P I
dim
Z3 l n o n
Q
MPM M()
n o F o
GE n d l
Po n
MD d
M()|
A u t (P)|
P P(()) ) o n o ()E d l n n d l o n P
I
S1r l
()G (G)
o o ()
E d n E
o n d l o G
H P R
(GA P E o o
E d P E n o n o
G
l I F I X n m n n n d o l o d m n o l d n
d E d m n o n l ( n o m o d l F
n n Z(
)
n d o p o i n t F o ( l d Pp t
o o n
o o d o G
E n d l o o n D n o o m l
BGF Q E l n n d l 9
L Pp t
o o ( l d o n d
n Q E o l
o a s s o c i a t o r o n P H l D P E o o
P E r l D o o o m n d l o o n E d m n o n l Q E r l
o P
p t
= BG9 X
P H l BG BG. n m n n n d o o n n o ) o n
o n d l F o d l n o n k n o Q E o l
o n BG o o n n 2 - g r o u p (G, ) @ I Q D W Q A D n d n n
Z(
) o P E o o P E n o n 9 o P E o D
n S Q F s n D n o l m l o n u n i t a r y n d d
p D m P E n o n n 9 F v
m z ( n l l X
s n d Q d ( n o o D n m n n E
n d o o n d o P E o o n
P E n o n o P E o (G, )
F
y o D n o l l m k m n
n P E n o n 9 o o F l l n l l n
o l o u n t w i s t e d m o d l D = 1
D n o o l k o
n o l o o d l d m l n d
o d o j n o n l F
1 . 2 V e r i f y i n g Z(S1) D i m Z(p t ) i n t h e n i t e g r o u p
m o d e l
r n o n o m o d l o n d d p l k ( n o m o d l
l l o o o m o d o n o i n d d p r o F
p o n n D n o l o n ( n o o d 9 n o l o o
l l o n I P H o k o n l 9 o n n d d
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P P C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N
o l d " n l l d m o d l " n l l d m n o n Z(M)
o o o F o l l d o m o o o m o n n
d n e n d e F
n o k n Z(M)
2 - c a t e g o r y F p o n n D n
E d m n o n l m o d l k M
o o n F e
n D n E d m n o n l n d m o d l Z(
)
d o
P E o o n P E n o n o o G
D l Z(S1)
d d m o n o d l o r l
f u s i o n
G (G) o o n j o n n o n d l o o n d o n n o o d @ e n d h A F
s n g I H o n l 9 o n n d d
o l d n D n d n o ( m n o m n
" o l l o d l D n g I H F
T h e o r e m . T h e h i g h e r - c a t e g o r i c a l d i m e n s i o n o f t h e 2 - c a t e g o r y o f u n i t a r y
2 - r e p r e s e n t a t i o n s o f a n i t e g r o u p G
i s e q u i v a l e n t , a s a b r a i d e d m o n o i d a l
c a t e g o r y , t o t h e c a t e g o r y o f c o n j u g a t i o n - e q u i v a r i a n t h e r m i t i a n v e c t o r b u n d l e s
o v e r G
e q u i p p e d w i t h t h e f u s i o n t e n s o r p r o d u c t . I n s y m b o l s ,
h m P R (G) r l f u s i o n G (G).
e n m d D l n ( n d d m o n o d l
o n r l
f u s i o n
G (G) o n o n d o m o o l o l o n E d o n o n o n o o d m D l d p d S W F y
l o n l o o m d d m o n o d l d E
l o m n o n n 9 o n P R
(G)
F
1 . 3 T h e 2 - c h a r a c t e r f u n c t o r i s u n i t a r i l y f u l l y f a i t h -
f u l
s n o o n o l n d l n o m o o n
o n n d n P E o o n P E n o n o ( n
o " 2 - c a t e g o r y a s s i g n e d t o t h e p o i n t i n t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l
u n t w i s t e d n i t e g r o u p T Q F T F i o g S n d T o
n E n d d n d o n o n d n d l o m
D P E o P R (G) n o o X d e n i n g D l n g e o m e t r y n d o o k D n d o n o m n
l o o r d i n a r y n o n o o o ( d n l o
o 2 - r e p r e s e n t a t i o n s F
y m n l n l d o l l o n F d ( n
m n o k 2 - c h a r a c t e r o n P E n o n @ d ( n o n
l o n n n d n d n l q n n d u n o T U A D o o
o n u n i t a r y c o n j u g a t i o n e q u i v a r i a n t v e c t o r b u n d l e o v e r t h e g r o u p G
F
o o o o ( o n o l n o n o n G
F
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23/251
1 . 3 . T H E 2 - C H A R A C T E R F U N C T O R I S U N I T A R I L Y F U L L Y F A I T H F U L P Q
n o o o n n l o k P E o m o r p h i s m o
n P E n o n D o o o n m o r p h i s m n o E
o n d n o n d l o G
@ l n o o n n o o n d d n
T U A F t o d n o n o n d o n o d n d o n
o m o m l o n o n D P E o m o r p h i s m
o P E n o n d o n o d n d o n o m o m l D n
P E d n d o n o o m G r o t h e n d i e c k c a t e g o r y o n
P E n o n o o o o n j o n n o n d l
o o F y m n l o n n o o m E n
[PR
(G)]
CD P E n o o m u n i t a r i l y f u l l y f a i t h f u l X
T h e o r e m . T h e 2 - c h a r a c t e r f u n c t o r
: [P
R
(G)]C r l
G(G)i s a u n i t a r i l y f u l l y f a i t h f u l f u n c t o r f r o m t h e c o m p l e x i e d G r o t h e n d i e c k c a t e -
g o r y o f u n i t a r y 2 - r e p r e s e n t a t i o n s o f G
t o t h e c a t e g o r y o f u n i t a r y c o n j u g a t i o n
e q u i v a r i a n t v e c t o r b u n d l e s o v e r G
.
o o o o ( o n o o d n
o o d n n n o n
: [
(G)]C g l (G) n o m o m o m o m l ( d q o n d k o o
o o n n o n o G
o o l n o n o n
GF
o o l D l o m o o n d n n
n P E n o n n d n i t e e q u i v a r i a n t g e r b e s e q u i p p e d w i t h m e t -
r i c s D n d o n d o o n d n P E 9 o
P E n o n o o n d o ` g e o m e t r i c c h a r a c t e r ' o o d
n F s n o o o o m E
o n o m E n m n o t w i s t e d c h a r a c t e r m a p o
l l o n I P H D n d o l l o o m n o l o o I P H
o m m n l l l l D n d n o l o
P E F
y o D d l n d n d E
o n D n d n o ) n d n m o d l o n o o n
l o d o n o m n X o m o o n d n
o o r d i n a r y n o n o o n d D n d n o o n
o n e v e n - h a n d e d s t r u c t u r e o n P E o F
G e o m e t r y o f o r d i n a r y r e p r e s e n t a t i o n s o f g r o u p s a n d t h e i r
c h a r a c t e r s
d o o m n z o n n n o n
n o n o v o G
n z o n 9 o l E
l o m m n m m o G
F x o m l l d
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24/251
P R C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N
n l n o m l o m n d o l z o n I Q T D n d n
o m n F r o D o n d o n l l l o
m l m o o m l o n o o o n d n D n o d o
l l o n o o n d n n n P E n o n n d ( E
n n d m 9 o l d d n
o n F o d o o n n o n o o
l n o n o o e q u i v a r i a n t h e r m i t i a n h o l o m o r p h i c l i n e
b u n d l e s o v e r c o m p a c t h e r m i t i a n m a n i f o l d s D n d m o o n d o E
o n d n D c h a r a c t e r o n o n o o n d o g e o m e t r i c
c h a r a c t e r o o d n l n n d l D d ( n d n n l o
n k n l o m n o l d F n l n n d l 0 n l
o D n l n E d n e E l E
n n d o m n n l o x e d p o i n t s o o o n F
l d o ( d o n n
g V F
d m m o l o m l l D m l o l n o n d d
( n d m n o n l r l V
d n ( n l n l o
o n o o l o m o l n n d l " h y p e r p l a n e l i n e b u n d l e o
o j o V
F f l o o o n d n n d D
n o d o o m o ( d o n 9 D o o n d n E
n P E n o n n d n F l o d d d l m
o m o o n d n o o d n n E
n o n o v o @ ( n D o m o n o n o m A n o l n n 9
o m o j o m l m n o l d n d o l o m o l n n d l D
o m o o n d n o n P E n o n o ( n
o o n l t o y m o d e l n n 9 l k o
n i t e F o d o P E r l m m l n d
o o d o o n n o o m Y n o ( n l o d o n
o ( d ( n E d m n o n l n n o d 9 o l d D
o n l ( o m o n F l l d o n n g Q F
E v e n - h a n d e d s t r u c t u r e s o n 2 - c a t e g o r i e s
s n o d o d ( n P E o m o m o n P E n o n D
o n n d o o o d o n o l o d j o n n o n P E o o P E
r l D o o m l l k n D o n n d o n o n n
o o ) o n o m d o d j n o n n d l 9 F l l n
e v e n - h a n d e d s t r u c t u r e D n d o o P E o n m o m
l l n n l d e p e n d o n o o F r o D o
P E o o P E r l n o n l n E n d d D
n n o d n d d l o n o m E n n n l
" n l o o o d j o n o l n m n
o n n n o d F e n l o m l l o n z
o n P E r l o m d n o n l
8/3/2019 Bruce Bartlett- On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum fi eld theory
25/251
1 . 4 . C H A R A C T E R I Z I N G P I V O T A L S T R U C T U R E S O N F U S I O N C A T E G O R I E S P S
l n o 9 F m k o o n
P E n o n n o o n d o n d P E n o n o n
P E o o u n o n d o d o d k V P " n n o d
n n n n l F
d o n n E n d d o n P E o n l o n
o D n d n l d o n P E o I E m o m
m d o d l 9 D n n o m o m F: A B
m o m F : B A
m l n o l l n d d j o n
oF
F n P E o o n l o n o j D o n d d
m o n o d l o D n n n E n d d n l l m
n p i v o t a l s t r u c t u r e o n m o n o d l o n n o t o l
n d V H n d p d n d T S F
r o D o o n n o n n o o n o n n E n d d
n m o o n l d n o n o o n o o l D
n d l n d n n g S F g ) D l l (
m l n m n d D P E o o P E r l D n d
l o m l l s t r i n g d i a g r a m n o t a t i o n o o k n P E
o o o F l o n m
m l D m o n n l n o l
n o l n o n E n d d n l
o l z o o l o n f u s i o n c a t e g o r y D
m k n o o n o n j m d i n o D x k n d
y k S T F o d m n l n D o n o
n F
1 . 4 C h a r a c t e r i z i n g p i v o t a l s t r u c t u r e s o n f u s i o n c a t -
e g o r i e s
e f u s i o n c a t e g o r y m m l l n m o n o d l o o j
d l F n m d d n ( l d o n m l
@ l n o o w I H I o n o A F e m n l
n d n o i n o D x k n d y k S T D n d
o n o o n j m d e v e r y f u s i o n c a t e g o r y a d m i t s a
p i v o t a l s t r u c t u r e F n n n E n d d 9 o n m o n o d l o
o l m n o l D m
n d m n o o n D n d o n m o k
o n E n d d o l d l m k o o n o n j F
s n d d D n n d m o o n r n d r o n U P D
l o n l m n o l o S T n o l n
d m m m o k F n l d o d n o l
o n o n o t w i s t e d m o n o i d a l n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n o f t h e
i d e n t i t y f u n c t o r o n t h e c a t e g o r y F n o n d o l l o n
o n {ijk}D o n o l o m l o j n o D
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26/251
P T C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N
o m n o d l o o n n o F x m l D
o o n n o o o o p a i r e d d i m e n s i o n s o w W V D
o n n n o n l l d ( n n i n v o l u t i o n o p e r a t o r s Tijk o n o m E
o o m r o m (Xi, Xj Xk) Xi, Xj n d Xk m l o j F
o n o n o m n o n o o l
o n o Tijk = d o l l i,j,k Y
o d n n m o l ijk = n (T
ijk) F l l n
p i v o t a l s y m b o l s n o m n l o o o 6 j s y m b o l s Q W
o n o o n o m o n n o n o F
w k n d ' n o o n o o o o d d E
m n o n o l d l d n d ' n n o n o l o n o o
Tijk D n d o m l z n l n l o n
{ijk} o n o l o n o o Tijk n o n o o l [] H
p i v
([C],Z/2) n ` p i v o t a l c o h o m o l o g y ' o o F o
C
n s p h e r i c a l o l n d o n l l
l @ l 9 o l n o o n d o f n d E
I V n d o o l l n d 9 o
n d o m o m o n d A F
q n o l l o n o n {ijk}D d ( n n E d m o n o d l n E
l n o m o n o d n o n o n o C
o l l o n o
n m {ti}iI I n d m l o j n
tjtk = ijk ti n Xi n Xj
Xk F
o l l o n o o l o n o o n e
( d C)F s
ijk 1 o l l i,j,k n m n m o n o d l n l n o m o n o d n o n
Cd o m m l o
CF
v o d o l Y d n o m l m o e v e n - h a n d e d
s t r u c t u r e s l n o o l D o n g E
S F Q F I F
T h e o r e m . L e tC
b e a f u s i o n c a t e g o r y o v e r C
w i t h r e p r e s e n t a t i v e s i m p l e o b -
j e c t s Xi . S u p p o s e t h a t a c h o i c e o f r o o t s d
2i = d{i,i} o f t h e p a i r e d d i m e n s i o n s
h a s b e e n m a d e , w i t h r e s u l t i n g i n v o l u t i o n o p e r a t o r s Tijk : r o m (Xi, XjXk)
r o m(Xi, Xj
Xk
). T h e n :
( i ) U n l e s s Tijk = d f o r a l l i, j a n d k , t h e f u s i o n c a t e g o r y C c a n n o t c a r r y
a n e v e n - h a n d e d s t r u c t u r e .
( i i ) S u p p o s e t h a t Tijk =
ijk d f o r a l l i, j a n d k , w h e r e
ijk = 1. T h e n a n
e v e n - h a n d e d s t r u c t u r e o n C
i s t h e s a m e t h i n g a s a n
- t w i s t e d m o n o i d a l
n a t u r a l t r a n s f o r m a t i o n o f t h e i d e n t i t y o n C
. T h a t i s , t h e r e i s a c a n o n -
i c a l b i j e c t i o n o f s e t s
i n E r n d d (C) = e ( d C).
8/3/2019 Bruce Bartlett- On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum fi eld theory
27/251
1 . 5 . C O M P A R I S O N W I T H P R E V I O U S W O R K P U
( i i i ) F u r t h e r m o r e , t h e e v e n - h a n d e d s t r u c t u r e c a n b e m a d e s p h e r i c a l i f a n d
o n l y i f
[] = 0i n
Hp i v ([C],Z/2).
m z l d o n o l o n j o i n o D
x k n d y k Y m n o o n n Tijk = d a l w a y s
o l d n o n o D n d m o o l []
a l w a y s l F
f o d o l l o m o n o l d F
1 . 5 C o m p a r i s o n w i t h p r e v i o u s w o r k
l d n n m o o k o n P E n o n o o
o n m m l l n o D o f n d w k I U D
g n n d R S n d y k I H R D m o l n o
n o i l S Q n d o q n n d u n o T U F
i l o m d o o n d l n o n o P E o o
P E n o n o P E o @ P E o m o n o d l o E
n d o n l o o o o o I Q A n o n u n o
n d o o d k 9 P E o D n d m o o n o o o k
o E o d n z d o n o P E o m n l o d o m E
o n D n d o l o F
q n n d u n o m o d n o m o o o D
n m l o n d ( n d o l o n o n o l d o d
o o n l z d o o n w o
EE o Y
@ n d n d n l A n o d d c a t e g o r i c a l c h a r a c t e r @ l l P E
A o P E n o n n d o d n d d E
o F n d n o o n n o o D l o o k d o E o d n z d
P E o @ m o o m
nA Y l o d d n o n
n n d m o m n d P E m o m o P E n o n F
e l n d D n m o d n d d p D
P E o o n P E n o n o o
P E o n d o o n n n d E d m n o n l ( n
o m o d l F ( n o m o d l l j n o n D n
o l o l o n d n d n d m o d l n d d n o
C h e r n - S i m o n s t h e o r y T I D T Q F l n o g n E m o n o
o m l n o m o d l E k D l n E n d l D n D
) o n n d l k D n d o m o d o o
o P E n o n n d d n o o o m o
o D o m k l d d d o n T U F p o
n n D o l o o k d l n d l n P E
r l o P E n o n m l o o d o o m o E
o d n z o n 9 o m D m m o n n m o n E
o m n F o o m o d d l o d
n l l l o n l n o m o d n d o m o n
8/3/2019 Bruce Bartlett- On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum fi eld theory
28/251
P V C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N
o o q n n d u n o T U D l l o k o p d D
l m n n d r o k n T Q F
1 . 6 O v e r v i e w o f t h e s i s
s n g P l o m o o n d n n n
n o n o o n d n o l o m o m n l n n E
d l o o m m n m n o l d D n d o o
n o n o o n d o o m o o d
n l n n d l F
s n g Q n o o n o P E r l d o f z
T F l l m n o m o d ( n o n o o
d ' n l D m n o l o n o n o n l n
o 9 D n l k l m o ( n d n o o n o P E r l 9
n l l m o o d e r i v e d ) o F l o o
P E o o P E r l l n o n P E o o
o j ( n d o l l o Y
o o m o o n d n n n P E n o n
n d ( n n d m 9 F
s n g R n d m n o o n o o k n P E
o D n d o n o o n l l l E d ( n d n n
l l k n Y n o o n l n o o n o s t r i c t P E o D
n l m o n o n F
s n g S d ( n n E n d d o n P E o D n d
o m n o o n o o m l n o o n o d l F n P E o
o n o l n o D l n n o n d n l n o m o n D
o o n n E n d d o m d o t r a c e o n
o m E n o F s n l P E o P H l
o P E r l D n d P E o CY
" o o j d d
d d o
D(X)o g l E m n o l d " o d
n o n l n E n d d F
s n g T l o n o o n o n n E n d d o o n
o D n d o n o o m n o n d l D o l
o n o n o o o n d o d m o n o d l n l n o m E
o n o d n o n o D n d m o o m n
o o d m l o l F
s n g U d ( n n P E n o n o ( n o o n P E
r l D n d o m m l F n n d m D d ( n
o o k P E o n P E n o n D n d n n E
n d d o n P H
l l o d ( n o o k P E o
m o r p h i s m o n P E n o n D o P E d n d o
n o o m q o n d k o o n P E n o n o
o o o n j o n n n o n d l o o
8/3/2019 Bruce Bartlett- On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum fi eld theory
29/251
1 . 6 . O V E R V I E W O F T H E S I S P W
GF
s n g V d ( n ( n n d m D
n d P E o o n F d ( n o m o
n n n m o n d l n n d l D n d o
o o m l o o m n o o m q o n d k
o o n o o o n o n d l
o o G
F p n l l o n o n o m E C
n o n l l l l F
s n g W l o o n d n n n P E n o n
n d ( n n d m D n d o P E
o P E n o n o o n d o o m o
o d n F n l o o P E
l o n l l l l F
p n l l n g I H o m E o l d m n o n 9 o
P E o o n P E n o n o G
D n d o
l n d d m o n o d l o o o o o n j o n
n o n d l o o n d o n n o o d F
d o o k n n m o k o n D o n n
d o n n o n l o m l o n o m k o F m l
o o n d n l o P E n o n o l n E
n o o D l n d n n l m o n
l d n d d o o l d F
s n e n d e o n l 9 o n n
d ( n o m o d l o l o o d m n o n F s n e n d f o
l o d l n o n o n g T F s n e E
n d g o o n d j o n l n n
P E o n l l E d ( n d d d m o n o d l l n E
n E o l d m n o n F s n e n d h l l E
o n o d o n o o o n j o n n o n d l o
( n o D n p d S W F
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30/251
Q H C H A P T E R 1 . I N T R O D U C T I O N
8/3/2019 Bruce Bartlett- On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum fi eld theory
31/251
C h a p t e r 2
T h e g e o m e t r y o f o r d i n a r y
r e p r e s e n t a t i o n s o f g r o u p s
n l n d o n o n o o l o n n
P E n o n n d P E n l F x m l D n
o o o o n n o n o v o
G n d d n l n o n o o e q u i v a r i a n t
l i n e b u n d l e s D n d n d l n c h a r a c t e r o n E
o n o o n d o g e o m e t r i c c h a r a c t e r o l n n d l F n
o o o o o m o o n d n
d l o n l n n P E n o n n d n
D n d n P E o n P E n o n n d o m
o n D l o n n l o l l o o r d i n a r y
n o n F
p o m o D d o n o m l D n d m l
o l o n d d o n o o
o o n o l n n d l F i l m n D d n n E
l o o n d D o n n o o o Y o n e d a
l e m m a F x l D d o n o l m l n
l l m o n Y o n l o n o o l l o n
o m o c a t e g o r i e d n o n o o F
s n ( o o n l l k n o n m l F s n o n P F I
l l d ( n o n o o m o m n o o n D o l o m o
l n n d l n d k n l D n d n o n P F P B e r g m a n k e r n e l D
n o n l k n l o n o l o m o m n l n n d l o o m
m n m n o l d F n o n k n o X m
o n d m n l m o d o o o n D l m l m o
k n l D n d l m o n l F l o l f m n
k n l o c o h e r e n t s t a t e s m o k F e n d m E
l D o o o n o n o n D
o F
Q I
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32/251
Q P C H A P T E R 2 . G E O M E T R Y O F O R D I N A R Y R E P R E S E N T A T I O N S
s n o n P F Q d ( n o o l n n d l n d k n l F s n E
o n P F R d ( n g e o m e t r i c l i n e b u n d l e o o j D n
l n n o o n o h y p e r p l a n e l i n e b u n d l e l l n n
o n n o d D n d o o o n o d n E
l n l o o n o o m l n n d l F s n o n P F S
l o o ( n d m n o n l r l n d
o o l n n d l n d k n l l n F s n o n P F T o
o o n d n o n n o o l d n n o G
E o n Y
l l n n o o n n o n
o G
n d o o n l n n d l F
p n l l n o n P F U d ( n g e o m e t r i c c h a r a c t e r o n n
l n n d l D n d o o n o n o m E
o m o o d n l n n d l F s
l o m l l o 9 n o m W F U n g E
W F l o n o n o m l o o m
n i n d e x t h e o r y D l d n n o l n
n d l 0 n l o F o m l o m o m E
n n l o x e d p o i n t s o o o n F s n o n
V F R o g V l l n l o o o m l o o m
o n e q u i v a r i a n t g e r b e F
2 . 1 H o l o m o r p h i c h e r m i t i a n l i n e b u n d l e s a n d k e r -
n e l s
s n o n l l o m o m n o o n F e n
I Q I F
e h e r m i t i a n m e t r i c o n o m l m n o l d m n n n m
o m l F e h e r m i t i a n m a n i f o l d o m l m n o l d
d m n m F x o n n o d o n
n n o n l d o m o o l o n n d
n o o l o m o l l Y n l o m l m n o l d n d
m n m F
e h o l o m o r p h i c l i n e b u n d l e L
o o m l m n o l d X
l n n d l
o
X o o l
L o m l m n o l d n d o o j o n
m : L X o l o m o F e h o l o m o r p h i c s e c t i o n o L o l o m o
m s : X L
s =
d F l l o o
o l o m o o n o l n n d l L
(L)
F x o (L)
m
( n d m n o n l X
o m F
e o l o m o l n n d l L
l l d h e r m i t i a n h o l o m o r p h i c l i n e b u n d l e
( d m n n n o d n d n n
o d m o o l o n F x o o l o m o
l n n d l n d m n n n o d F
e l l o l n n d l d l n l l o l o m o F
8/3/2019 Bruce Bartlett- On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum fi eld theory
33/251
2 . 1 . H O L O M O R P H I C H E R M I T I A N L I N E B U N D L E S A N D K E R N E L S Q Q
p P F I X e o l o m o k n l o m l n n d l L X
o n o l n
n d l
Q YF
l l o n m l l n n d l 9 o m n l n n d l 9 n d o
o l o m o l n n d l 9 n d o l o m o m n l n n d l 9 F
s L
m n l n n d l o o m m n m n o l d X
D n
o o l o m o o n (L)
o L
n n n n n o d
n n ( n n o d o o l m o m
d ( n d m n m o n X
X
s, s =X
(s(x), s(x)) o l x .
o L
n dQ
m n o l o m o l n n d l o
o m m n m n o l d X
n dY
F h o m o m o r p h i s m l i n e b u n d l e
hom(L, Q) l n n d l o
Y X o (
(y, x) o l l E
o n o l n m o m Lx o Qy F @ m o m l o n j
m n o l d X
L
o l o m o l n n d l o X
D n o X
F A
s o l o m o l n n d l o n d o m n n E
n o d n ( o d n n o o d l n n d l
QL Y XF e h o l o m o r p h i c k e r n e l o m
L o
Q o l o m o o n
E (hom(L, Q))o o m o m o m l n n d l F s n o o d o l o m o k n l
o n o l n m
y|E|x : Lx Qy o m ( o
L o ( o
Q n o l o m o l l
o x
n d o l o m o l l o y
@ p P F I A F
x o o l l o n o o l o m o k n l o m L o Q n o n l l o m o o o l n m o m
(L) o
(Q) o l l o n
n o n o n l o m o m X
(hom(L, Q)) = (LQ)= (L) (Q) @ n d d o n o o d n d l I Q I A = (L) (Q) @ d ( n o n A @ P F I A = (L) (Q) @ r l d n ( n l n d l A = r o m ((L), (Q)).
8/3/2019 Bruce Bartlett- On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum fi eld theory
34/251
Q R C H A P T E R 2 . G E O M E T R Y O F O R D I N A R Y R E P R E S E N T A T I O N S
m n d d n V :=
r o m(V, C)
o
l n d l o o
VF
2 . 2 T h e B e r g m a n k e r n e l
i m n l n n d l L
o o m o m l m n m n o l d
X o m d n o n l k n l o l l l d B e r g m a n @ o
r e p r o d u c i n g A k e r n e l D
(hom(L, L)).p o n o n f m n k n l D d o V S D P W D P U D P V F
f m n k n l n d m n l o m o j n d n o n
d n d ' n F l o d o l o
c o h e r e n t s t a t e s o m l m F
2 . 2 . 1 T h e B e r g m a n k e r n e l v i a m o d e s o f p r o p a g a t i o n
m o l m n d o n o f m n k n l o n d E
l n n o o m o m @ P F I A n d o n o
d n o o o n (L)
F l n d d o l l o F g o o
n o o n o m l {si} o (L)F f m n k n l n n d E
d ( m
y
|x
: Lx
Ly
v i
(si(x), v) si(y).
s n o o d D t h e B e r g m a n k e r n e l t r a n s p o r t s v
f r o m t h e b e r a t x
t o t h e
b e r a t y
b y s u m m i n g o v e r t h e v a r i o u s m o d e s o f p r o p a g a t i o n f r o m x
t oy
@ p P F P A F m m o d o o o n 9 o o
o o n o m l o n si z o n m o d o u o d E
v l o o F s n n k o f m n k n l o d n
n o m o n o o o l n n l n n d l L
c o r r e l a t e d
o o F x o d o n n d n d n o
o o o o n o m l o o n {si}D n {si} n o
o o n o m l D n
si =j Uijsj
o n m
UD n d n
i
(si(x), v) si(y) =
i,j,k
UijUik(sj(x), v) sk(y) =k
(sk(x), v) sk(y).
e n m l D f m n k n l o n o o n d o m
E n o n D n d o n n o m o m o o m @
V S A F e l o D f m n k n l L|L
o n l n l n n d l o n
o j o r l m l o o o n l o j o n
o o o m l n L
o n o l n L
D l l n o n P F R F
m o n o f m n k n l l n r e p r o d u c i n g p r o p e r t y F
8/3/2019 Bruce Bartlett- On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum fi eld theory
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2 . 2 . T H E B E R G M A N K E R N E L Q S
p P F P X f m n k n l y|x
m o n d m n l m o d o
o o n o m Lx o Ly F
L e m m a 2 . 1 . F o r e v e r y h o l o m o r p h i c s e c t i o n
s (L), w e h a v e
s(y) =
X
y|x(s(x)) o l x .
P r o o f . g o o n o o n o m l si o (L)F X
Xy|x(s(x))
o l x =
X
i
(si(x), s(x))si(y) o l x
=i
si, ssi(y)
= s(y).
x o f m n k n l y|x
n o n l o c a l o b j e c t n n
n o o m o X
n dL
n o o n l n o n x
n d
y l o o o m o o n
z F
l o l l d o m n o m o n d z
l l n o m o n d
x n d
y n n d l l l o o n
si D n d n o m o n l l o 9 o f m n k n l
y|xF y n o n d D
o l n n d l L
o D n d o
m o n o n o d o n l f m n k n l x|x n m o l o l o m
x@ o m l P V D P U D W S D V S A " o m l
o n l l n l m o o Lp
o L
@ o E l l d s e m i c l a s s i c a l
l i m i t A F s n l m f m n k n l o m m o n d m o l o l z d
l o n d o n l D o n o l o n n o l o n n
d n o n x
n dy
F
2 . 2 . 2 T h e B e r g m a n k e r n e l a s t h e l a r g e t i m e l i m i t o f t h e h e a t
k e r n e l
e m o n n d o n o f m n k n l l a r g e
t i m e l i m i t o f t h e h e a t k e r n e l o n o o n o L
F v
n o o n o k n l Y W S D I I I D P T D V S o d l F
8/3/2019 Bruce Bartlett- On unitary 2-representations of finite groups and topological quantum fi eld theory
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Q T C H A P T E R 2 . G E O M E T R Y O F O R D I N A R Y R E P R E S E N T A T I O N S
n X
o m l m n o l d D o m l ( o n o n n n d l
l n o o l o m o n d n o l o m o
T XR C = T1,0X T0,1X. o n d l o n o l o m o d ' n l o m l
nL
S = (T0,1X) L. d ( n d ' n l o o
D : C(S) C(S) D =
2(+
).
r
d h o l l o o " d ' n l o o n
l o l l o l o m o o n m n o l d X n d n o n l o n n o n o n m n l n n d l
L" n d
d j o n
o n n o d n d d o m m n n n o d o n
X n d ( n n o d o n
LF
h e a t e q u a t i o n o D
l d ' n l o n
s
t= D2s.
y n n o l o n o o n n m o h e a t k e r n e l "
m o o m E d n d n o l l o n o l n m
y|etD2
|x : Sx Sy n o
st(y) =
