CALCOLO SCIENTIFICO - Gervasio · Il Calcolo Scienti co e quella disciplina che, partendo dal...

©Paola Gervasio (UniBS) - Calcolo Scientifico intro.pdf 1

CALCOLO SCIENTIFICO

A.A. 2020/21

Paola Gervasio

e-mail: [email protected]

web: https://paola-gervasio.unibs.it

https://paola-gervasio.unibs.it

Il Calcolo Scientifico e quella disciplina che, partendo dal modellomatematico,

notimesepformula un modello numerico,

notiimeseppropone metodi efficienti per calcolare la soluzionecomputazionale ed infine

notiiimesepverifica la correttezza e l’accuratezza dei risultati ottenuti alcomputer, mediante un confronto con la realta (datisperimentali).

Abbiamo bisogno di: Dobbiamo tenere sotto controllo:

– matematica – gli errori– calcolatori – i costi computazionali


Il Calcolo Scientifico e quella disciplina che, partendo dal modellomatematico,

notimesepformula un modello numerico,

notiimeseppropone metodi efficienti per calcolare la soluzionecomputazionale ed infine

notiiimesepverifica la correttezza e l’accuratezza dei risultati ottenuti alcomputer, mediante un confronto con la realta (datisperimentali).

Abbiamo bisogno di: Dobbiamo tenere sotto controllo:

– matematica – gli errori– calcolatori – i costi computazionali


Alcuni esempi:

Google search



Previsioni e/o simulazioni di eventi naturali

University of HamburgKlima Campus


Supporto alla medicina

https://flowvisioncfd.com/en/flowvision-applications/cardiac-simulationsSimulazione numerica dell’elettromeccanica del cuore.Ricostruzione di geometrie 3D partendo da immagini TAC 2D (da utilizzare comegeometrie per le simulazioni numeriche)

https://flowvisioncfd.com/en/flowvision-applications/cardiac-simulations

https://flowvisioncfd.com/en/flowvision-applications/cardiac-simulations

Computer graphics, rendering, textiles simulation,...

10000 palloncini indipendenti collisione di corpi


Competizioni sportive di alto livello

Renault F1 Alinghi


problema

numerico

soluzione

computazionalemodello

numericamodellistica

modellomatematico

errori

realematematica

modellistica

verifica del modello numerico

processo

validazione del


Dal problema (→ cs →) alla soluzione(cs = calcolo scientifico)

1. problema reale: una ditta che produce abiti per bambini vichiama e vi chiede di scrivere un’app che, note le altezze di uncampione di 1000 individui, dica loro quanti pezzi di ogni modellodella collezione bisogna produrre per ogni taglia (le taglie vanno inbase all’altezza).

Dati: altezze di un campione di 1000 individui


Dal problema (→ cs →) alla soluzione2. modello matematico (teoria della probabilita):Dai dati estraiamo l’altezza media xm = 145cm; e consideriamo ladistribuzione di probabilita normale. La funzione di densitaassociata e

f (x) = 1000σ√

2πe−(x−xm)2/(2σ2),

di cui conosciamo la deviazionestandard σ = 3

130 140 150 160

0

20

40

60

80

100

120

140

Grazie alla teoria della probabilita sappiamo che: il numero diindividui con altezza compresa tra h1 e h2 e stimabile con

P[h1 ≤ X ≤ h2] =

∫ h2

h1

f (x)dx

Questa e la soluzione “nel continuo”, quella esatta.©Paola Gervasio (UniBS) - Calcolo Scientifico intro.pdf 11

Dal problema (→ cs →) alla soluzione3. modello numerico (o discreto)Peccato che la funzione e−x

2non sia integrabile elementarmente,

quindi nemmeno f (x) = 1000σ√

2πe−(x−xm)2/(2σ2) e integrabile con le

regole simboliche.

Approssimiamo I =

∫ b

af (x)dx con Iappx =

M∑k=1

f (xk)wk

I valori xk e wk caratterizzano un metodo particolare

a b x b xa

yy

y = f (x) y = f (x)

∆x

Si parla di problema discreto, soluzione discreta©Paola Gervasio (UniBS) - Calcolo Scientifico intro.pdf 12

Dal problema (→ cs →) alla soluzione

4. implementazione al calcolatore

Dobbiamo scrivere un programma per la risoluzione numerica delnostro problema discreto, ad esempio con Matlab:

function Imp=pmedioc(a,b,M,f)

% IMP =PMEDIOC(A,B,M,FUN) calcola una

% approssimazione dell’integrale della funzione

% FUN con M intervalli in [A,B]

H=(b-a)/M;

x = linspace(a,b,M+1);

Imp=0;

for k=2:M+1;

Imp=Imp+f((x(k-1)+x(k))/2);

end

Imp=Imp*H;



5. interpretazione dei risultati sia grafici che numerici.La soluzione numerica ottenuta e soddisfacente?

M metodo 1 metodo 2

2 457.0 442.64 453.4 449.88 452.5 451.6

16 452.3 452.132 452.2 452.2

Tabella: Approssimazione di P[145 ≤ X ≤ 150] =

∫ 150

145

f (x)dx al variare del

numero M di intervalli.

Chi mi garantisce che la soluzione numerica sia una buonaapprossimazione di quella esatta? Vedremo le stime a prioridell’errore: stimano l’errore commesso senza conoscere la soluzioneesatta e ancor prima di calcolare quella numerica.


Dal problema (→ cs →) alla soluzione(cs = calcolo scientifico)

1. problema reale: Si vuole approssimare l’andamento delladifferenza di potenziale v(t) ai capi del condensatore C a partiredal tempo t = 0 in cui viene chiuso il circuito e fino alraggiungimento dello stato stazionario.

e

R1 L

i1

i2

R2

i3+

−C

Dati: R1, R2 resistenze costanti, L induttanza costante, e f.e.m, Ccapacita costanteIncognita: v(t) = differenza di pontenziale ai capi del condensatore.


Dal problema (→ cs →) alla soluzione2. modello matematico:Applicando la legge di Ohm ∆V = iR, le leggi di Kirchoff, larelazione i = C dv

dt per il condensatore, la legge ∆V = L didt per

l’induttanza, otteniamo il sistemadi1dt

=1

L(e − i1R1 − v)

dv

dt=

1

C

(i1 −

v

R2

)i1(0) = 0, v(0) = 0

Ponendo

[x1(t) = i1(t)x2(t) = v(t)

], il sistema diventa

x = Ax + bux(0) = 0y = x2

Si parla di problema nel continuo, soluzione esatta©Paola Gervasio (UniBS) - Calcolo Scientifico intro.pdf 16

Dal problema (→ cs →) alla soluzione3. modello numerico (o discreto)ogni passaggio al limite (e quindi ogni derivata) deve essereapprossimata, discretizzata.ad esempio:

approssimaredv

dt(t0) con un rapporto incrementale vuol dire

dv

dt(t0) ' v(t0 + h)− v(t0)

h

t0 t0 + h

t

yr1(t)

r2(t)

r1(t) = m1t + q1 con m1 = ∂v∂t

(t0),

r2(t) = m2t+q2 con m2 = v(t0+h)−v(t0)h

Si parla di problema discreto, soluzione discreta©Paola Gervasio (UniBS) - Calcolo Scientifico intro.pdf 17

Dal problema (→ cs →) alla soluzione4. implementazione al calcolatore

Dobbiamo scrivere un programma per la risoluzione numerica delnostro problema discreto, ad esempio con Matlab:

R1=10; R2=10; e=5; L=0.1; C=1.e-3;

A=[-R1/L -1/L; 1/C -1/(R2*C)]; bu=[e/L; 0];

f=@(t,x)A*x+bu;

tspan=[0,0.1]; x0=[0;0]; Nh=200; h=diff(tspan)/Nh;

tn=linspace(tspan(1),tspan(2),Nh+1);

un=zeros(Nh+1,2);

for n=1:Nh

wn=un(n,:).’;

w=wn+h*f(tn(n),wn);

un(n+1,:)=w.’;

end

plot(tn,un(:,1),tn,un(:,2)); grid on

legend(’i_1(t)’,’v(t)’); xlabel(’t’)

set(gca,’Fontsize’,16)



5. interpretazione dei risultati sia grafici che numerici.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

t

0

1

2

3

4

i1(t)

v(t)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

t

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

i1(t)

v(t)

h = 1/160 h = 1/1000

La soluzione numerica ottenuta e soddisfacente? Chi mi garantisceche sia una buona approssimazione di quella esatta?Stima a priori sui dati: l’errore tra la soluzione esatta e quellanumerica tende a zero quando h→ 0.


In sintesi

s = 0

for k = 1 : ns = s + f(t(k))w(k)

end

programma

xc

problemafisico

xf

linguaggio diprogrammazione

xm

xn

numericomodello

matematicomodello


Gli inevitabili errori

programma

problemafisico

modello matematico

linguaggio di

programmazionemodello numerico

xn

ea

ec

em

en

xf

xm

xc

em=errore di modello, et=errore di troncamento,ea=errore di arrotondamento, ec=errore computazionale(ec = et + ea),


Errore di troncamento o di approssimazione

Nell’approssimare f ′(x0) ' f (x0 + h)− f (x0)

hcommetto un errore.

Scrivo lo sviluppo di Taylor di ordine 1 di f (x) attorno ad x0 conresto di Lagrange:

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + f ′′(ξ)2 (x − x0)2

Prendo x = x0 + h:

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)(x0 + h − x0) +f ′′(ξ)

2(x0 + h − x0)2

isolo f ′(x0) e ottengo:

f ′(x0) =f (x0 + h)− f (x0)

h− f ′′(ξ)

2h

L’errore commesso e detto di troncamento perche per approssimarela f ′ ho troncato lo sviluppo di Taylor di f .


L’artimetica di macchina

Su un calcolatore non si possono rappresentare tutti i numeri reali,ma solo quelli con un numero finito di cifre decimali, compresinell’insieme

[−xmax ,−xmin] ∪ {0} ∪ [xmin, xmax ]

R0

−xmax −xmin xminxmax

In Matlab: xmin = 2.2251 · 10−308, xmax = 1.7977 · 10308.I comandi matlab sono: realmin e realmax

Matlab usa base β = 2 e 8 Bytes per memorizzare un numeromacchina.


Errori di arrotondamento

Nel rappresentare un numero in macchina si commette un errore(rounding error) che dipende dalla base (β) di rappresentazioneusata e dal numero t di bit utilizzati per memorizzare la mantissadel numero:

|x − flt(x)| ≤ 1

2β1−t |x |

In Matlab β = 2 e t = 53,12β

1−t = 1.1102 · 10−16


Una formula ricorsiva inefficiente

{f2 = 2

fn+1 = 2n−0.5√

1−√

1− 41−nf 2n , n = 2, 3, ....

Si riesce a dimostrare che limn→∞

fn = π , quindi i valori fn sono

della approssimazioni di π, tanto piu accurate quanto piu n e alto.

Scriviamo una function matlab per calcolare i valori fn:

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

fn

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

fn



{f2 = 2

fn+1 = 2n−0.5√

1−√

1− 41−nf 2n , n = 2, 3, ....



della approssimazioni di π, tanto piu accurate quanto piu n e alto.Scriviamo una function matlab per calcolare i valori fn:

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

fn

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

fn



{f2 = 2

fn+1 = 2n−0.5√

1−√

1− 41−nf 2n , n = 2, 3, ....



della approssimazioni di π, tanto piu accurate quanto piu n e alto.Scriviamo una function matlab per calcolare i valori fn:

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

fn

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

n

fn


I risultati numericiMisuro l’errore (relativo) tra π e la sua approssimazione fn, miaspetto che l’errore vada a zero quando n→∞.

0 5 10 15 20 25 3010

−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

n

err

ore

L’errore scende fino ad un certo punto (per n = 15) e poiricomincia a salire.La ricetta fornita dalla teoria NON funziona in pratica, a causadella propagazione degli errori di arrotondamento.


errore= |fn−π|π

Un altro tipo di (in)efficienza

Risolvere un sistema lineare di 24 equazioni in 24 incognite con ilmetodo di Cramer richiede circa

3 · 25! = 4.65 · 1025 operazioni elementari (+,−,×, /)

Il calcolatore piu veloce al mondo (June 2020):

Supercomputer Fugaku , Fujitsu(RIKEN Center for ComputationalScience, Japan),7 299 072 computing cores,415.53 Peta-flops = 415.53 × 1015

flops

Sul Supercomputer Fugaku: 4.65 · 1025flops ' ·108 sec ' 3.5 anni

flops=FLoating point Operations Per Second


... e dal 2005 ad oggi


per risolvere un sistema lineare di 24 equazioni in 24 incognite con ilmetodo di Cramer sul calcolatore piu veloce al mondo:

1Tf= 1012 flops1Pf= 1015 flops

Servono metodi numerici piu veloci, alternativi ai metodi classiciche si usano con carta e penna.

Per fortuna, con i metodi numerici attuali, un sistema lineare24× 24 si risolve in un tempo trascurabile (molto meno di unsecondo) su un PC da tavolo (2.66 GHz, ' 42 GFlops)


Contenuti del corso CALCOLO SCIENTIFICO (6CFU)

1 Istruzioni fondamentali di Matlab

2 Propagazione di errori di arrotondamento

3 Risoluzione di equazioni non lineari

4 Risoluzione di sistemi lineari di grandi dimensioni

5 Approssimazione di funzioni e dati

6 Integrazione e derivazione numerica

7 Approssimazione di equazioni differenziali ordinarie


Informazioni sul corso


Testo di riferimento:A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio.Calcolo Scientifico,6a ed. Springer Italia, Milano, 2017.http: // www. springer. com/ it/ book/ 9788847039520

Modalita d’esame: Una prova in laboratorio ed una prova orale.Durante la prova in laboratorio NON sara possibile portare materiale(libri, appunti o proprie matlab function). Si potranno consultare solo lepagine del corso.

Orario di lezione:Lunedı 8:30-10:30, Lezione. MTALunedı 10:30-11:30, Laboratorio. MLAB1Martedı 8:30-10:30, Laboratorio. MLAB1

http://www.springer.com/it/book/9788847039520

Date post:	25-Jul-2020
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