Calcul mental au cycle 3

Formation: 26 Novembre 2013

Geneviève Martiel Espe Grenoble

Groupe Départemental Mathématiques 38/34

Michel Valla Cpc Grenoble 1

Pourquoi faire du calcul mental à l'école ?

Des raisons institutionnelles

Pour les opérations posées et pour la résolution de problèmes ; des résultats mémorisés

Nécessaire pour les mathématiques du collège et du lycée et plus généralement pour faire des mathématiques : il faut connaitre les relations entre les nombres

Un moyen de développer la compréhension du sens des opérations. En faisant résoudre de petits problèmes en variant les mots du langage courant et les contextes

Un moyen de développer les apprentissages sur le système de numération et sur le sens des opérations

Une connaissance utile pour le citoyen

Comment organiser le travail en calcul mental ?

Du côté du maître: deux types de séances Situations d'entraînement :

des séances courtes, rythmées,

quotidiennes,

sans explicitation(ou presque)

Situations d'apprentissage :

des séances plus longues,

hebdomadaires

à partir de situations de recherche,

permettant la comparaison de stratégies

institutionnalisation progressive

débouchant vers une automatisation

Comment organiser le travail en calcul mental ?

Du côté de l’élève:

Eviter la monotonie:

De l’imagination… pour l’habillage

Varier les supports au sein d’une séance

Varier les types de calcul au sein d’une séance Echauffement avec calculs faciles et sus Entraînement avec calculs automatisés Temps de calculs réfléchis (ajouter 11, …). Moment court car très fatigant

Les activités de calcul mental

Présentez une activité de calcul mental que vous

pratiquez qui vous donne satisfaction.

S’entendre sur le vocabulaire ?

S’entendre sur le vocabulaire

Calcul mental: pas de traitement écrit du calcul lui-même, quoi que le résultat puisse être écrit ( et même aussi, parfois, l’énoncé du calcul)

Calcul posé: usage d’une technique opératoire

Eduscol: Progressions pour le cours élémentaire deuxième année et le cours moyen en mathématiques (janvier 2012)

S’entendre sur le vocabulaire

Les termes

calcul automatisé et calcul réfléchi

(programmes 2002) et calcul rapide

(dont la datation est incertaine…)

ne sont plus en usage dans les programmes de 2008. Ceci est lié au fait que dans ces programmes,

tables et calculs,

sens et automatismes,

sont très étroitement interdépendants

S’entendre sur le vocabulaire

calcul automatisé: la réponse à « a x b » ou

« a + b » (les tables) ne doit pas relever d’une reconstruction, mais bien d’une restitution, la plus directe possible. Il ne sagit donc pas réellement d’un calcul, mais d’un fait de mémoire.

D’autres résultats de calcul mental gagneront à être automatisés

(par exemple les compléments à dix au Cycle 2)

S’entendre sur le vocabulaire

Procédures automatisées:

Certaines procédures de calcul doivent aussi progressivement être automatisées.

C’est le cas, particulièrement des procédures qui sont des mises en œuvre directes des propriétés des opérations, comme la distributivité

« 5 x 104 = 5 x (100 + 4) = 5 x 100 + 5 x 4 = 520 »

ou la commutativité

« 7 + 20 = 20 + 7 = 27 ».

S’entendre sur le vocabulaire

L’automatisation de la procédure s’appuie alors sur la mise en évidence de la propriété utilisée. L’automatisme doit être régulièrement démonté et justifié, pour permettre aux élèves de s’approprier la propriété (dont la maîtrise conditionne la compréhension des règles de calcul algébrique au collège).

Exemple :

25 + 27=25 + ( 25 + 2 )=( 25 + 25 ) + 2=50 + 2 = 52

S’entendre sur le vocabulaire

Calcul réfléchi:

Tout calcul fait appel à une activité cérébrale, même s’il ne s’agit que d’aller chercher un résultat connu par coeur.

Il ne faut pas oublier que les performances en calcul mental dépendent largement de la capacité des élèves à mobiliser les résultats et les automatismes procéduraux.

Mais quels résultats et/ou automatismes mobiliser ? Ainsi, pour calculer « 543 + 17 » ou « 5 x 4 », il y a plusieurs manières de faire…

S’entendre sur le vocabulaire

S’entendre sur le vocabulaire

Calcul rapide:

C’est un critère de performance pour la restitution des tables, pas une forme de calcul.

Mais historiquement l’expression calcul rapide désignait des exercices de calcul et de résolution de petits problèmes sans le recours à l’écrit.

S’entendre sur le vocabulaire

Calcul approché: Un calcul approché permet de donner un ordre de grandeur du résultat, c'est-à-dire, concrètement, de ne pas donner tous les chiffres, mais un nombre qui paraît proche du résultat au regard de sa taille.

Par exemple, 160 est une valeur approchée de 4 X 42. L’expression estimation de l’ordre de grandeur n’est mentionnée que dans le programme de CM mais donner, par un calcul mental, un ordre de grandeur du résultat d’une opération permet à l’élève de poser un regard critique sur son résultat et, à ce titre, doit être entraîné dès le cycle 2.

Progressions et programmations

Les apprentissages se construisent dans la durée : la notion de séquence est essentielle.

S’appuyer sur le document Eduscol: Progressions pour le cours élémentaire deuxième année et le cours moyen en mathématiques (janvier 2012)

Un exemple de programmation: Circonscription Aubenas 1

Progressions et programmations

Le calcul mental

Quelques idées…

La famille d'un nombre Pour un nombre donné, il s'agit de donner des

écritures possibles de ce nombre :

Ex : 358 = 350 + 8 ou 300 + 58 ou 400 – 42 …

Variations : Le nombre de départ un nombre ou plusieurs à utiliser obligatoirement une opération ou plusieurs à utiliser obligatoirement le nombre de termes

Le furet Dispositif classique : on ajoute ou on retranche un

nombre en passant d'un élève à l'autre

Variations : Le sens Le pas Le nombre de départ Certaines étapes sont silencieuses

Une variante La boîte mystère

Le maître dit: « Il y a 20 jetons dans ma boîte »

Il fait passer au premier élève en disant « j’en ajoute 2 »

l’élève dit « il y a 22 jetons dans la boîte » et fait passer au suivant

Le maître dit j’en retranche 7

L’élève suivant dit « il y a 15 jetons dans la boîte »

…….

Cartes en

chaîne

(jeux école APMEP)

Règle du jeu Partager les cartes parmi les élèves du groupe (différenciation possible: plus

de cartes pour certains élèves)

Celui qui possède la carte « Début » lit ce qui est écrit (ex « tu es 10 X 5 »)

Chaque élève doit alors trouver la bonne réponse du calcul proposé, chercher

s’il a la carte qui correspond, puis seul celui qui possède le résultat doit dire

« Je suis 50 ».

Les autres élèves valident. Celui qui a donné la réponse lit le calcul qui se

trouve sur sa carte (ici « tu es 10 fois 18 »)

Le jeu se poursuit jusqu’à la carte « Fin »

Le meneur de jeu à une fiche contrôle qui permet de valider les réponses du

groupe.

Contenu des cartes: Nombres entiers, sommes: compléments à 10,

différences: compléments à 10, table de multiplication, changement d’unité de

longueur, complément au mètre, conversion minutes, horaires, durées.

Cette activité « autonome » peut permettre au maître de prendre un groupe

pour reprendre et consolider une notion, une procédure…

Ardoise (procédé Lamartinière) Calculs automatisés ou réfléchis.

Activité rythmée par l’enseignant :

- on propose le calcul

- on laisse un temps de réflexion

- au 1er coup on écrit

- au 2ème coup on montre

Evolutions: - à partir de situations problèmes ; faire varier le lexique employé - calculs à plusieurs termes

Autre procédé Lamartinière (Collège J Vallès Fontaine)

Les enfants ont une planche comme ceci dans une pochette plastifiée

1) 2,8<2,45

2) 6x7=48

3) 56x3= 168

Le carré

Tout ce qui se prête à un Vrai Faux :

Ordres de grandeurs

Inégalités, comparaisons de nombres

En profiter pour attirer l’attention sur des erreurs classiques

Le bon compte

Trouver un nombre donné à partir de plusieurs autres nombres.

Variations : - le nombre d’éléments mis en jeu - on peut imposer d’utiliser un type d’opération ou plusieurs - utilisation de tous les nombres ou pas - utiliser des dés ou des cartes pour tirer le nombre Variante : à partir de plusieurs nombres, trouver le plus de résultats possibles - le plus petit, le plus grand, …

Les nombres ronds Utiliser les relations possibles entre deux ou

plusieurs nombres pour faciliter le calcul :

Ex : 24 + 47 + 13 + 26 = (24 + 26) + (47 + 13)

Variations :

- le nombre de termes à ajouter

- des propositions impossibles à regrouper en proposant des décompositions : 28 + 45 = 25 + 3 + 45 = (25 + 45) +3

- les regroupements se font sur les unités, sur les dizaines et au delà

Les tables Les tables d’addition, de soustraction, de

multiplication sont à savoir par cœur à la fin du cycle 3,

La forme d’interrogation est fonction du vécu de la classe. On peut organiser des confrontations de vitesse, de défis individuels ou d’équipes.

Variations : Il faut varier le type d’interrogation : • 8 X 6 = … 8 X … = 48 … X …. = 48 • Avec des mots : quel est le double de 8 ? La moitié de 18 ? Le

tiers de 24 ? Le triple de …. • Trouver deux produits qui encadrent un nombre • Le produit par 6 le plus proche de 40 ? • Décomposer un nombre en une somme dont l’un des termes

est un produit : 50 = (6 x 8)+ 2 • Trouver la série des multiples de 7 : 14 , 21, 28, …., 77, 84, 91

…

La boîte noire

Trouver le terme manquant dans une transformation.

Ex : comment passe-t-on de 24 à 32 ? De 8 à 80 ? De 150 à 75 ?

Variations : - en ajoutant 13 à un nombre, j’ai obtenu 25 quel est ce nombre ? - compléter des suites de nombres : 30, 60, 90 … - …

La règle pensée

Le maître choisit une règle (par exemple « ajouter 11 »).

Les élèves proposent successivement des nombres (exemple 10)

le maître applique la règle (on trouve 21)

les élèves doivent découvrir l’opération faite par le maître.

La règle pensée: Quels types de calculs ?

Ajouter 1, 9 ou 11

Ajouter 10

Retrancher 9, 11, 10, 100

Multiplier par 2, 5, 8, …10, 100.

Prendre le tiers, la moitié le double, le triple, le quart…

Les mariages…

Constituer un jeu de cartes comportant des nombres écrits sous différentes formes (en lettres, sommes, en chiffres, décompositions…).

Les joueurs se partagent les cartes. Lorsqu’un joueur pose une carte, l’adversaire doit trouver dans son jeu une carte représentant le même nombre pour pouvoir constituer une paire.

Le gagnant est celui qui a constitué le plus de paires.

Les compléments

Trouver le complément d’un nombre:

- complément à 10, 100, 1000

- complément à 20,30, … 200, 300 …

- complément à 25, 35,

Variations : - pour un nombre donné, donner deux nombres dont la somme est égale à ce nombre

Ordre de grandeur

Donner l’ordre de grandeur d’un résultat : somme, produit, différence, quotient

Variations : - chercher un calcul dont on connaît l’ordre de grandeur du résultat - compléter un calcul dont on connaît l’ordre de grandeur

Ordre de grandeur Trouver le résultat d’une opération parmi plusieurs choix possibles:

Le maître écrit plusieurs nombres au tableau, et explique qu’il va donner une opération, dont le résultat se trouve parmi les nombres proposés.

L’élève doit le retrouver

Ex: A vous: 78x89=

692 6943 5342 6942

Ordre de grandeur Avec un jeu de mémoire (variante)

Le maître énonce ou montre pendant quelques instants une liste de nombres.

Il demande ensuite aux élèves

- de les restituer tels quels

- ou en ajoutant 10 à chacun,

- ou en les classant du plus petit au plus grand

- ou de citer le plus grand,

- ou celui dont le chiffre des unités est 2, etc.

Ordre de grandeur Avec un jeu de mémoire (variante)

Regardez bien cette liste de nombres:

78 87 59 95 66

On la masque…

Quel est le plus grand ?

Quel est le dernier nombre ?

Quel nombre comporte deux fois le même chiffre ?

Redonner la suite des nombres…

Nombre mystère

Trouver un nombre dont on a la description :

ex : je suis impair, inférieur à 30 et mon chiffre de dizaines est le double de celui des unités

Somme, différence Ajouter ou retrancher des nombres à un nombre donné. Il s’agit dans un premier temps de confronter les procédures, puis

de déterminer une ou plusieurs procédures expertes en lien avec les nombres utilisés.

Remarque : on ne peut utiliser une procédure si on ne précise pas dans quel contexte numérique elle s’applique

Variations : - sur table d’additions et soustractions - avec ou sans retenue - taille des nombres de départ, opérateurs, cibles - nombres entiers ou décimaux - ….

Suite de doubles ou moitiés Sur le principe du furet, il s’agit de donner les produits pas 2 du

précédent.

Variations : - proposer des produits par 3, par 5 - proposer des moitiés - le nombre de départ - …

D’autres situations à utiliser Des fichiers autocorrectifs en libre

service Avec des exercices : - carrés magiques - pyramides de calcul - extraits de tables - des labynombres - des nombres croisés

100 10 10 1000 1000 10 1000 100 100 10 2330

100 10 1 1000 1

5 8

5 10 13

3 9

6 9

x . . 7

. . . 35

. 16 . 56

6 . 60 .

D’autres situations à utiliser Des jeux - jeux de dés - jeux de cartes - dominos - 15 vainc - total 34 - Mathador

D’autres situations à utiliser Des logiciels :

Primaths : www.multimaths.net

Mathador en ligne : www.mathador.fr

Un site :

Calculatice : http://calculatice.ac-lille.fr/calculatice/

http://www.ac-grenoble.fr/ien.g1

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