UNIVERSIDADNACIONALDELCALLAOFACULTADDECIENCIASNATURALESYMATEMATICAESCUELAPROFESIONALDEMATEMATICAINFORMEFINALDEPRACTICAPRE-PROFESIONALMODALIDADDEINVESTIGACIONCATEGORIASYFUNTORESSOBREMODULOSANGELICAMILUZCAVICTORIOCELISC odigo:031038-KRESOLUCIONN:011-2014-CD-EPM-FCNMBellavista-CallaoSemestre:2014-AA.DATOSGENERALESA1.DELESTUDIANTEAPELLIDOSYNOMBRES :VictorioCelisAngelicaMiluzcaCODIGO :031038-KINSTITUCION :UniversidadNacionaldelCallaoFACULTAD :CienciasNaturalesymatematicasESCUELAACADEMICAPROFESIONAL :Matem aticaTITULO :CATEGORIASYFUNTORESSOBREMODULOSSEMESTREACADEMICO :2014-AA2.DELPROFESORASESORAPELLIDOSYNOMBRES :FajardoCamposEzequielCODIGO :2807CATEGORIAYDEDICACION :AsociadoD.E.CONDICION :NombradoESPECIALIDAD :Matem aticaFACULTAD :CienciasNaturalesyMatematicaA3.DELAINSTITUCIONINSTITUCION :UniversidadnacionaldelCallaoDIRECCION :Av.JuanPabloII306,Bellavista-CallaoTELEFONO :(051)4297178iiB.CRONOGRAMADEACTIVIDADESREALIZADASEl desarrollo de la pr actica pre-profesional en la modalidad de investigaci on se realizo co-moindicaelsiguientecronogramasemanaldeactividades:SemanasDescripci on 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17Recolecci onbibliogr acaxM odulos, homomors-mos, sumadirectas ysucesionesexactasx x xSemigrupoides, cate-gorasyfuntoresx x xTransformaciones ymorsmosfuntorialesx x xFuntores lineales sobrem odulos,satelitesx xAn alisisderesultados x xRedacci on y exposi-ci ondelinformex x xC.PRESENTACIONDELAMONOGRAFIAiiiIndiceI. RESUMEN 1II. INTRODUCCION 2III.MARCOTEORICO 3CAPITULOI:Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1. M odulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Homomorsmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Productosdirectosysumasdirectas. . . . . . . . . . . . . . . 61.4. M oduloslibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Sucesionesexactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Productostensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. M odulosdehomomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8. M odulosproyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9. M oduloinyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.10. Semigrupoides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14CAPITULOII:DesarrollodelTrabajodeInvestigaci on . . . . . . 182.1. Categoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2. Funtores y Transformaciones de Funtores o Morsmos Funtoriales 212.3. FuntoresLinealessobreModulos . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4. Satelites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34IV. ANALISISDELOSRESULTADOS 49V. CONCLUSIONESYDISCUSION 50VI. REFERENCIASBIBLIOGRAFICAS 51VistoBuenodelProfesor 52ivI.RESUMENEl objetivo principal de este trabajo consiste en estudiar Categoras Algebraicas yFuntoresentreCategoras, especcamenteFuntoresContravariantesyCovariantes.Aqu dos funtores especiales son el satelite S1 contravariante y el satelite S1covariante,paralocual usamosnocionesdemodulos, sucesionesexactasdem odulos, modulosproyectivos,m odulosinyectivosysemigrupoides.ConcluyendoqueparatodofuntorR-linealf: MR MRytodasucesionexactacorta0 X Y Z 0deR-m odulos,setieneasociadalasucesi onsemiexactadesatelites. . . [Sn(f)](X) [Sn(f)](Y ) [Sn(f)](Z) [Sn1(f)](X) . . .,parafcontravariante,. . . [Sn(f)](Z) [Sn(f)](Y ) [Sn(f)](X) [Sn1(f)](Z) . . .,parafcovariante.1II.INTRODUCCIONEndiferentes areas de lamatematicase presentael problemade existenciayunicidadental sentido, laaparici ondelosfuntoresseconstituyeenestostiemposcomounasoluci onaesteproblema. Enestetrabajopresentamoslosfuntoresysuspropiedadesdelinealidad.En(1.1)introducimoslosmodulossobreunanilloR.En(1.5)presentamoslassucesionesexactasdem odulosysuspropiedades.En(1.8)y(1.9)presentamoslosm odulosproyectivoseinyectivos.En(1.10)presentamoslossemigrupoidesysuaxiom atica.En(2.1)estudiamoslascategorasysedaunarelaciondeejemplos.En(2.2)introducimoslosfuntoresylastransformacionesfuntoriales.En(2.4)estudiamoslosfuntoressobreR-m odulos.Finalmente en (2.5) estudiamos los satelites y su asociaci on con las sucesiones exactasdemodulos.Elestudiodelosfuntoresesmuyimportante,puestoqueenlaactualidad,medianteestos, se est an resolviendo problemas de Topologa Algebraica, Geometra, Economayotros,taleselcasodelosfuntoresenHomotopayHomologa.2III.MARCOTEORICOCAPITULOI:Preliminares1.1. ModulosA lo largo del texto, R denotar a un anillo conmutativo con unidad 1 = 0, arbitra-riamentedado.Denici on1.1.1(Modulo)UnmodulosobreR, ounR-modulo, esungrupoabe-lianoaditivoX,juntamenteconunafuncion : R X Xdel productocartesianoR XenX,quesatisfacelastrescondicionessiguientes:(M1)Lafuncionesbiaditiva;esdecir,( + , x) = (, x) + (, x),(, x + y) = (, x) + (, y)sonciertasparatodo,enRytodox,yenX.(M2)Paracualesquiera,enRyxenX,setiene[, (, x)] = (, x).(M3)ParatodoelementoxdeX,(1, x) = x.Ejemplo11. SeaRel anilloZdelosenteros. Cualquieraqueseael grupoabelianoX, lafunci on : Z X X,denida por (n, x) = nx para todo n Zy todo x X, satisface las condicio-nes(M1)-(M3). deaqu quetodogrupoabelianopuedaserconsideradocomounmodulosobreelanilloZdelosenteros.32. ElconjuntoX= Rsdetodaslasfuncionesf: S RdeunconjuntoSenResungrupoabelianorespectoalaadici onfuncionaldenidapor(f+ g)(s) = f(s) + g(s)paracualquieraf,g Xys S.Lafunci on : R X X.denidaasignandoacadaelemento(, f)deR Xlafunci onf:S R,dadapor(f)(s) = [f(s)]para todo s S, satisface las condiones (M1)-(M3). Por ello Xes un R-m odulo.Denici on1.1.2(Submodulo)UnsubmodulodeXesunsubconjuntoAnovacodeXqueesunR-modulorespectoalaadicionylamultiplicacionescalardelmoduloX.Ejemplo21. TodosubgrupoAdeungrupoabelianoaditivoXesunsubm odulodeXcon-sideradocomom odulosobreelanilloZdelosenteros.2. Consideremos el R- modulo X= Rsdel ejemplo (2) de modulos. Sea el subcon-juntoAdeXformadoportodaslasfuncionesf: S Rtalesquef(x) = 0para todos los elementos s S salvo a lo m as un n umero nito de ellos. EntoncesAesunsubm odulodeX.Lema1.1.3UnsubconjuntonovacoAdeunR-moduloXesunsubmodulodeXsiysolosicualquieraquesean Ryu,v X,setieneu + v Ayu A.Demostracion.VerSze-TsenHu[5].41.2. HomomorsmoDenici on1.2.1(Homomorsmo)Unhomomorsmo(omorsmooaplicacionli-neal)deunR-moduloXenunR-moduloY esunafuncionf: X Y,queesunhomomorsmodelgrupoabelianoaditivodeXenelgrupoabelianoaditivode Yque conserva la multiplicacion escalar. En otros terminos, fes un homomorsmodel moduloXenel moduloY siysolosif(u + v) = f(u) + f(v),f(u) = f(u)paratodoenRyu,venX.Denici on1.2.2(Monomorsmo, epimorsmoeisomorsmo)Unhomomorsmoh: XY deunR-moduloXenunR-moduloY sedicemonomorsmosi ysolosi esinyectivo; hsediceepimorsmosi ysolosi essuprayectivo(sobre). Unhomomorsmobiyectivo(inyectivoysobre)recibeelnombredeisomorsmo.DosR-modulos Xe Yson isomorfos, X Y , si y solo si existe un isomorsmo h : X Y .Proposicion1.2.3El productoh=hof dedoshomomorsmof : X Y yg:Y ZdeR-modulosesel homomorsmotrivial siysolosiIm(f) Ker(g).Demostraci on. Necesidad. Supongamos h=0. SeayIm(f). Por denici on,existeunelementox Xtalquef(x) = y.Entonces,g(y) = g[f(x)] = h(x) = 0.Luegoy g1(0) = Ker(g),loquepruebalainclusi onIm(f) Ker(g).5Suficiencia. SupongamosIm(f) Ker(g). Seax X. Entonces, tenemosh(x)=g[f(x)].Puestoquef(x) Im(f) Ker(g),obtenemosg[f(x)] = 0,ydeaquh(x) = 0.Comoxesarbitrario,resultaserh = 0.1.3. ProductosdirectosysumasdirectasDenici on1.3.1(Productosdirectosysumasdirectas)Consideremosunafamiliaarbitrariamentedada:F= {Xi\ i M}deR-modulosX1ydesignemosconP=

iMXiel productocartesianodelafamiliaFdenidocomoen[4]. Pordenicion,unele-mentodePesunafuncionf: M Udel conjuntoMde ndicesenlaunionUdelosconjuntosXltal quef(i) Xiparatodoi M.DenamosunaoperacionbinariaenPconsiderando,paradoselementosfygdeP,lafuncionf+ g: M Udeterminadapor(f+ g)(i) = f(i) + g(i) Xiparatodondicei M. Sepuedecomprobarfacilmentequeestaoperacionbinaria+estructuraaP comogrupoabelianoaditivo. El elemento0de P es lafuncion0 : M Udenidapor0(i) = 0 Xiparatodoi M.El elementoopuestodef Peslafuncion f: M Udenidapor(f)(i) = [f(i)]6paratodoi M.Porotraparte,sedeneunamultiplicacionescalar : R P Pasignadoacada Rycadaf Pel productoescalar(, f) = f: M Udadopor(f)(i) = [f(i)]para todo i M. Se comprueba facilmente que esta multiplicacion escalar estructuraal grupo abeliano aditivo Pcomo R-modulo, que es conocido con el nombre de productodirectodelafamiliadadaFdeR-moduloXi,i M.Consideremos ahora el subconjunto Sde Pque consiste de todo f Ptal que f(i) = 0paratodoi Msalvoalomasunn umeronito.EvidentementeSesunsubmodulode P. LuegoSes unR-modulollamadosumadirectade lafamiliadadaFyesdesignadoporS=

iMXi.Si el conjuntoMes nito, entonces P =S. Eneste caso, el R-moduloP =SpuedellamarsebienproductodirectoobiensumadirectadelafamilianitaF.Sinembargo, lasegundadenominacioneslamasextendida, yeslaqueutilizaremosenlosucesivo.Paratodo ndicej M,denamosunafunciondj: Xj Smediante[dj(x)](i) =x (sii = j),0 (sii = j),paratodoxde Xj. Evidentemente, djes unhomomorsmodel moduloXjenelmoduloSllamadoinyeccionnatural deXjemlasumadirectaS.Analogamente,denimosunafuncionpk: P Xkparatodo ndicek Mtomandopk(f) = f(k)7paratodof:M UenP. Evidentemente, pkesunhomomorsmodel moduloPenelmoduloXkllamadoproyeccionnaturaldelproductodirectoPenelmoduloXk.Ademas,surestriccionqk= pk| S: S Xkal submodulo Sde Pse llamara proyeccion natural de la suma directa Sen el moduloXk.SealasucesiondehomomorsmosXjdjShPpkXk,dondeh : S Prepresentael homomorsmoinclusion.1.4. ModuloslibresDenici on1.4.1(Moduloslibres)UnR-modulolibresobreunconjuntoSesunR-moduloFjuntamenteconunafuncionf: S Ftalque,paratodafunciong: S Xdel conjuntoSenunR-moduloX,existeun unicohomomorsmoh : F XdelmoduloFenel moduloXtal queh o f =gloqueexpresaqueel siguientetrianguloesconmutativo:Sg

f/ Fh.~X1.5. SucesionesexactasDenici on1.5.1(Sucesiones Exactas) Unasucesionexacta(de modulos) es unasucesionnitaoinnita... XfYgZ ...8dehomomorsmosdeR-modulostalquelaimagendelhomomorsmoentrantecoin-cideconeln ucleodelhomomorsmosalientedetodomodulodistintodelosextremos(siexisten)delasucesion.Porejemplo,enel moduloY ,deberaserIm(f) = ker(g).unasucesionexactadelaforma0 XfYgZ 0sellamarasucesionexactacorta.Comoejemplodesucesi onexactacorta,consideremosunsubmoduloarbitrarioEdeunR-m oduloXyel modulococienteQ=X/E. Comoel homomorsmoinclusi oni : E Xes un monomorsmo, la proyecci on natural p : X Q es un epimorsmo,yIm(i) = E= ker(p),obteniendoseunasucesi onexactacorta0 EiXpQ 0.Reciprocamente,consideremosunasucesi onexactacortaarbitraria0 AfXgB 0.Delaexactitud,sededucequefesunmonomorsmo,gesunepimorsmo,yIm(f) = ker(g).Sea E este submodulo com un Im(f) = ker(g) de X. Entonces fdene un isomorsmoj:A Eyginduceunisomorsmok:Q Bdelm odulococienteQ=X/E.Siidenticamos los modulos A y B con los modulos E y Q por medio de los isomorsmosjyk1,lasucesi onexactacortadadaseconvierteen0 EiXpQ 0.Por tanto, podemos decir que una sucesion exacta corta es simplemente otro nombreparaunsubm oduloysum odulocociente.9Denici on1.5.2(Sucesionessemiexactas)Unasucesionnitaoinnita... XfYgZ ...dehomomorsmosdeR-modulossellamasemiexactasi ysolosi laimagendel ho-momorsmoentranteestacontenidaeneln ucleodelhomomorsmosalienteentodomodulodistintodelosextremos(si existen)delasucesion. Envirtudde(1.2.3), lasucesionessemiexactasiysolosielproductogofdedoshomomorsmoscualesquie-raconsecutivosdelasucesionfygesel homomorsmotrivial.Todasucesionexactade homomorsmode R-m odulos es semiexacta, peronotodasucesionsemiexactaesexacta.Porejemplo,seaAunsubmodulopropiodeunR-m odulo X, es decir, A = Xy A X, y sea i : A Xel homomorsmo inclusion.Entonces,lasucesion0 AiX 0essemiexacta,peronoexacta.1.6. ProductostensorialesDenici on1.6.1(Productostensoriales)SeanAyBdosR-moduloscualesquierayconsideremosel productocartesianoAxBdelosconjuntosAyB.Unafunciong: A B XdeA BesunR-moduloXesllamadabilineal siysolosig(1a1 + 2a2, b) = 1g(a1, b) + 2g(a2, b),g(a, 1b1 + 2b) = 1g(a, b1) + 2g(a, b2)paratodoa1,a2,a A,b1,b2,b By1,2,1,2 R.Unproductotensorial(sobreR)delosmodulosAyB,esunR-moduloTjuntoconunafuncionbilinealf: A B X10tal que,paratodafuncionbilinealg: A B XdeA BennR-moduloX,existeun unicohomomorsmoh:T Xdel moduloTenel moduloXquesatisfacelarelaciondeconmutatividadhof= genel siguientetriangulo:A Bg#f/ Th

XTeorema1.6.2(Teoremadeexistencia)DadosdosR-moduloscualesquieraAyB,existeunproductotensorial sobreRdeAyB.Demostraci on.VerSze-TsenHu[5].1.7. ModulosdehomomorsmosDenici on1.7.1(Modulosdehomomorsmos)SeanAyBmoduloscualesquierayconsideremosel conjunto = HomR(A, B)detodosloshomomorsmosdel moduloAenel moduloB.ComoconsideraremoselanillodecoecientesRjo,usaremosel smbolomasabreviado = Hom(A, B)siemprequenohayapeligrodeambig uedad.Denamosunaadicon+enesteconjuntotomandocomosumadeloshomomor-smos, : A Bel homomorsmo + : A B11denido por (+)(x) = (x)+(x) para todo x A. Con esta adicion es , eviden-temente, ungrupoabeliano. Ahora, paracualesquiera Ry , consideremoslafuncion : A Bdenidapor()(x)=((x))paratodox A. MediantelaconmutatividaddeR,sepuedefacilmenteconbrobar que() es unhomomorsmodeAenByquelacorrespondencia(, ) deneunamultiplicacionescalar : R en el grupo abeliano . Asi, queda estructurado como R-modulo recibiendo el nom-bredemodulodeloshomomorsmosdeAenB.El elementocerodeesel homo-morsmotrivial 0.1.8. ModulosproyectivosDenici on1.8.1(Modulos proyectivos) Un Rmodulo Xse dice proyectivo si y solosi, para todo homomorsmo f: X By todo epimorsmo g: A Bde R-modulos,existeunhomomorsmoh : X Aquesatisfacegoh = f.Enlenguajedediagrama,estadenici onpuedeserexpresadacomosigue:unR-m oduloXesproyectivosiys olositododiagramaXf

Ag/ B/ 0dehomomorsmosdeR-m odulos, cuyalaesexacta, puedeserinmersoensudia-gramaconmutativo:Xh.~f

Ag/ B/ 012Proposicion1.8.2TodoR-modulolibreesproyectivo.Demostraci on.VerSze-TsenHu[5].Proposicion1.8.3TodosumandodirectodeunR-moduloproyectivoesproyectivo.Demostraci on.VerSze-TsenHu[5].1.9. ModuloinyectivoDenici on1.9.1UnR-moduloXsediceinyectivosi ysolosi, paratodohomo-morsmof : A Xytodomonomorsmog : A BdeR-modulos, existeunhomomorsmoh : B Xquesatisfaceho g= f.Enterminosdediagrama,estadenici onseenunciacomosigue:UnR-m oduloXesinyectivosiysolositododiagrama0/ Af

g/ BXdehomomorsmosdeR-m odulos, cuyalaesexacta, puedeserinmersoensudia-gramaconmutativo:0/ Ag/f

Bh.~XTeorema1.9.2TodoR-moduloesisomorfoaunsubmodulodeunR-modulointec-tivo.Demostracion.VerMacLane[14]131.10. SemigrupoidesUn semigrupoide es una clase Mtal que, para algunos pares , Mest a denidounproducto Mquesatisfacelasdoscondicionesdeasociatividadsiguientes:(CA 1) Para elementos cualesquiera , , de M, el triple producto ()est a deni-do si y s olo si () est a denido. En el caso en que cualquiera de los dos este denido,secumplelaleyasociativa()= ()Esteproductotripleser adenotadopor.(CA 2) El triple producto est a denido siempre que esten denidos los productosy.Porejemplo,todosemigrupotalcomosedeni oen[4]esunsemigrupoide.Seg unladenici on,esobvioqueunsemigrupoideMesunsemigruposiys olosielproductoest adenidoparatodopar, deelementosdeM.Unelementodeunsemigrupoidesedicequeesunaidentidad(ounaunidad)deMsiys olosi = y= siemprequeyestendenidos.UnsemigrupoideMsellamaregularsiys olosi,paratodoelemento M,existenunidadesyenMtalesqueyestendenidos.Porejemplo,tomomonoide[4]esunsemigrupoideregular.Lema1.10.1DadounelementoarbitrariodeunsemigrupoideregularM,existeuna unicaidentidaddeMtal queestedenido.Demostraci on. Sean y

dos identidades de Mtales que y

esten denidos.Comoy

sonidentidades,eltripleproducto(

) = = 14est a denido. Entonces, por (AC 1), se deduce que (

) est a tambien denido. Estoimplicaqueelproducto

est adenido.Comoy

sonidentidades,es=

=

.loqueprueba(1.10.1).Est a identidad unica de (1.10.1) recibir a el nombre de identidad por la izquierda delelementodeMysedesignar aconelsmbolo().Lacorrespondencia ()deneunafuncion : M MdelsemigrupoideregularMensmismo.An alogamente,tenemoselsiguientelema.Lema1.10.2DadounelementoarbitrariodeunsemigrupoideregularM,existeuna unicaidentidaddeMtal queestadenido.Esta identidad unica de (1.10.2) recibir a el nombre de identidad por la derecha delelementodeMysedesignaraconel smcolo(). Lacorrespondencia ()deneunafuncion : M MdelsemigrupoideregularMensimismo.SeaI(M)laclasedetodaslasidentitadesdeM.Setieneelsiguientecorolario.Corolario1.10.3DadounsemigrupoideregularM,tenemos() = = ()paratodo I(M).Enconsecuencia,tenemos(M) = I(M) = (M).15Demostraci on.Pordenici onde(),elproducto()est adenido.Como () y son identidades, se sigue que () = . Analogamente, se puede probarque() = ,loquecompletalademostraciondelCorolario(1.10.3).Lema1.10.4Si ysondoselementoscualesquieradeunsemigrupoideregularM,entoncesestadenidosiysolosi() = ().Demostraci on. Necesidad. Supongamos queest adenido. Entonces el tripleproducto[()] = est adenido. Por(AC1)tambienest adenido[()], loqueimplicaque()est adenido.Por(1.10.2),obtenemos() = ().Suficiencia. Supongamos () = (). Entonces estan denidos () y (). Por(AC2),estadenido().Como()esunaidentidad,tenemos()= yporconsiguienteest adenido.Lema1.10.5Si el productodedoselementos, deunsemigrupoideregularMestadenido,entonces() = (), () = ().Demostraci on. Como () y est an denidos, se deduce de (AC 2) que ()est adenido.Por(1.10.1),estoimplica() = ().Analogamentesepruebaque() = ().Dado un elemento de un semigrupoide regular M, diremos que Mes un inverso16desi ysolosi =()y=(). Si poseeuninverso, diremosqueesinversible.Lema1.10.6Todoelementoinversibledeunsemigrupoideregulartieneun unicoinverso.Demostraci on.Seanydosinversosdeunelementoinversiblearbitrariamentedado de un semigrupoide regular M. Entonces estan denidos y . Por tanto,por(AC2),est adenido.Delasrelaciones= () = () = ,= ()= ()= ,deducimos= .El unico inverso del elemento inversibles de Mse denotara por a1, por denici on,tenemosevidentemente(1) = (), (1) = ().Obviamente, todaidentidad deunsemigrupoideregular Mes inversible, siendo1= .Engeneral,Mposeeelementosquenosoninversibles.Llamaremos grupoideatodosemigrupoideregular Menel quetodoelementoesinversible.Todogrupoesungrupoide,peroexistengrupoidequenosongrupos.Unejemploimportantedeestosgrupoidesloconstituyeel grupoidefundamental deunespaciotopologico[2].17CAPITULOII:DesarrollodelTrabajodeInvestigacion2.1. CategorasUnacategorasC consistedeunaclaseKdeelementos llamados objetosyunsemigrupoide regular Mde elementos llamados morsmos justamente con una funci onbiyectiva : K I(M)delaclaseKdeobjetossobrelasubclaseI(M)delasidentidadesdeM.SeaC= {K, M, }unacategoraarbitrariamentedada.ParacadaobjetoX K,laidentidad(X) I(M)recibeel nombredemorsmoidentidaddel objetoXylodenotamosporix.Paracadamorsmo M,losobjetosDom() = X= 1[()],Ran() = Y= 1[()],sellaman,respectivamente,dominioyrangodelmorsmo.Enestecaso,sedicequeesunmorsmodeXenY ,denotandolopor : X Y.Enparticular,tenemosix: X X.Lasiguienteproposicionesunaconsecuenciainmediatade(1.10.4)y(1.10.5).Proposicion2.1.1El productodedosmorsmos, Mestadenidosi ysolosiRan() = Dom().Si : X Y y: YZsonmorsmos, entoncesel morsmoproductoestadeterminadoporel siguientetriangulo:X

/ ZY?18paradarejemplosdecategoras,sedebeespecicarlosobjetosylosmorsmosdelacategora,eindicarc omoest andenidoslosproductosdemorsmos.Enlamayoradeloscasos,lasidentidadesylascondicionesdeasociatividadsonobvias.Ejemplosdecategoras(1) Todo monoideX[4]constituye unacategora conXcomo unico objetoy conloselementosdeXcomomorsmo.Losproductosdemorsmosestandenidosporlamultiplicaci ondeX.(2) LacategoraY deconjuntosconsistedetodoslosconjuntoscomoobjetosy todas las funciones (de un conjunto en un conjunto) como morsmos. los productosde morsmos est an denidos por la composicion de funciones como sigue. El productode : X Y y: Y Zes= o : X Z.(3) La categora Tde espacios topologicos consiste de todos los espacios topologi-coscomoobjetosydelasaplicacionescontinuascomomorsmos.Losproductosdemorsmosestandenidosporlacomposicion, comoen(2). Paralasdenicionesdeespacio topol ogico y aplicacion continua, consultar cualquier tratado de topol ogia ge-neral,porejemplo[2].(4)LacategoraGdegruposconsistedetodoslosgruposcomoobjetosytodosloshomomorsmos(degrupo)comomorsmos. Losproductosdemorsmosest andenidoscomoen(2),porlacomposicion.(5) LacategoraMRde R-m odulos comoobjetos ysus homomorsmos comomorsmos. Losproductosdemorsmosest andenidoscomoen(2). Si Resel ani-llo Z de los enteros, entonces MR recibe el nombre de categora Ade grupos abelianos.19(6) LacategoraLde sucesiones descendentes sobre Rconsiste de todas lassucesionesdescendientesdeR-m oduloscomoobjetosydesushomomorsmoscomomorsmos. Los productos de morsmos est an denidos por composici on como en (2).An alogamente,sepuededenirlacategoraUdesucesionesascendentessobreR.Sea ahora C ={K,M,l} una categora arbitrariamente dada. Condos objetosX,Y KdeC,consideremoslasubclaseMor(X,Y ) = { M| : X Y }.Enelejemplo(5),tenemosMor(X,Y )=Hom(X,Y )queesunR-m odulo.An alogamente,sepuedeverf acilmenteque,enelejemplo(6),Mor(X,Y )estambienunR-m odulo.Estosuguierelasiguientedenicion.UnacategoraC= {K,M,}sediceR-linealsiys olosisesatisface:(LC1)ParacadadosobjetosX,YKdeC,Mor(X,Y )esunR-m odulo.(LC2) Para tres objetos cualesquiera X,Y,Z Kde C,el producto en MdeneunfuncionbilinealdeMor(X,Y ) Mor(Y ,Z)enMor(X,Z).Enparticular,lascategoraslinealessobreZsellamancategorasaditivas,conZelanillodelosenteros.Concluiremos esta secci on con algunas observaciones sobre la denicion de categoras.la noci on de categora proviene de la consideraci on de las propiedades comunes de losejemplos(2)-(6)yotrosanalogos.La estructura de una categora C= {K,M,} est a determinada por el semigrupoideregularM.Enefecto,laclasedelosobjetosdeCpuedeseridenticadaconT (M)pormediodelafuncionbiyectiva.Debidoaesto,lossemigrupoidesregularesMsellamancategorasabstractas. Portanto, enunacategora, sonlosmorsmoslosquelosquejueganunpapel importante, mientrasqueel desempe nadoporlosobjetosessecundario. Detodasformas, enlamayoradelasaplicacionesdeesteconcepto,losobjetostieneninteresprimordial. EstoexplicaporquelaclaseKdeobjetoses20introducidaarticialmenteenlanoci ondecategoramedianteunafunci onbiyectiva.En los ejemplos (2)-(6), hemos utilizado los terminos la clase de todos los conjuntos, etc. En la axiomatica usual de la teora de conjuntos, estas son totalidades ilegtimasque deben ser evitadas. Sin embargo, si adoptamos los axiomas de Godel-Bernays-vonNeumann de la teora de conjuntos, disponemos de totalidades m as amplias llamadasclases, y podemos hablar legtimamente de la clase de todos los conjuntos, etc. Asi,enunacategoraarbitrariaC= {K,M,}, KyMsonengeneral clases. Sedebetener cuidado de no efectuar sobre estas categoras ciertas operaciones, tales como laformaci ondel conjuntodetodoslosconjuntos. Unacategorasellamapeque nasi ys olosisuclaseKdeobjetosesunconjunto.2.2. Funtores yTransformaciones deFuntores oMorsmosFuntorialesSeanCyDcategorasdadasyconsideremosunafunci onf: C DqueasignaacadaobjetoXdeCunobjetof(X)deDyacadamorsmodeCunmorsmof()deD.LafuncionfsedicequeesunfuntorcovariantedeCenDsiysol osisatisfacelastrescondicionessiguientes:(CF1)Si : X Y ,entoncesf() : f(X) f(Y ).(CF2)f(iX) = if(X)(CF3)Siest adenido,entoncesf() = f()f().Lacondicion(CF1)puedeserexpresadaenlaformasiguiente:f[Dom()] = Dom[f()], f[Ran()] = Ran[f()].As fes un funtor covariante si y s olo si conmuta con las operaciones de las categoras.21En virtud de la condicion (CF2), un funtor fest a completamente determinado por lafunci on f() denida para los morsmos de C unicamente. As un funtor covariantef : CDesesencialmenteunhomomorsmodel semigrupoidedelosmorsmosdeCeneldelosdeD,sujetoalacondiciondequelasidentidades(ounidades)seapliquenenidentidades.Porotraparte,lafunci onfsedicequeesunfuntorcontravariantedeCenDsiysolosisatisfacelastrescondicionessiguientes:(CF1*)Si : X Y ,entoncesf() : f(Y ) f(X).(CF2*)f(iX) = if(X).(CF3*)Siest adenido,entoncesf() = f()f().Setienenobservacionesan alogasalasanteriores,conmodicacionesobviasquesonnecesariasacausadelacontravariancia.Seanf : CDyg : DE funtores arbitrariamentedados. Comof ygsonfuntores,suproductog o f : C Ees una funci on bien denida que aplica objetos en objetos y morsmos en morsmos.Proposicion2.2.1La funcioncompuesta g o f es unfuntor covariante si f y gtienen la misma variancia; g o fes un funtor contravariante si fy gson de varianciaopuesta.Ejemplosdefuntores(1)ConsideremoslacategoraY deconjuntosylacategoraMRdeR-m odulos.Denamosunafuncionf: YMRcomosigue. UnobjetoarbitrarioXdeY esunconjunto. Denotamosconf(X)elR-m odulolibreengendradoporX. Porotraparte, morsmoarbitrariodeY esunafuncion : X Y f(Y ).Puestoquef(X)eselR-m odulolibreengendradoporX,sesiguequeseextiende22aun unicohomomorsmof() : f(X) f(Y )deR-m odulo.Esevidentequefesunfuntorcovariante.(2)ConsideremoslacategoraMRjustamenteconunR-m odulodadoM.Denamosunafunciong: MR MRcomo sigue. Para cada R-m odulo Xde MR, denotemos con g(X) el producto tensorialX MsobreRdelosmodulosXyM. Porotraparte, paracadahomomorsmo : X Y deR-m odulosdeMR,seag()elproductotensorial i : X M Y Mde y el endomorsmo identidad i de M. Se comprueba f acilmente que g es un funtorcovariante.(3) Consideremos de nuevolacategoraMRjustamente conunR-m oduloMdado.Denamosunafunci onh : MR MRcomosigue.ParacadaR-m oduloXdeMRseah(X)elm oduloHom(X,M)deloshomomorsmosdeXenM.Porotraparte,paracadahomomorsmo : X YdeMR,seah()elhomomorsmoHom(,i):Hom(Y ,M) Hom(X,M),dondei:M Mrepresentael endomorsmoidentidaddeM. Facilmentesecom-pruebaquehesunfuntorcontravariante.Denamosahoraunafunci onk : MR MRenlaformasiguiente.ParacadaR-m oduloXdeMR,seak(X)elm oduloHom(M,X). Adem as, para cada homomorsmo : X Yde MR, sea k() el homomorsmoHom(i,):Hom(M,X)Hom(M,Y ).23Severicaquekesunfuntorcovariante.(4) Consideremos la categora Lde sucesiones descendentes sobre R y un enterodadon.Denamoslafunci onHn: L MRdeLenlacategoraMRdeR-m odulocomosigue.Paracadasucesi ondescendenteXdeL, seaHn(X)el modulodehomologan-dimensional deX. Porotraparte,paracadamorsmo : X Y deL,seaHn()elhomomorsmoinducidoHn() : Hn(X) Hn(Y ).Secompruebaf acilmentequeHnesunfuntorcovariante,llamandofuntordehomo-logan-dimensional.SeanahoraCyDcategorasR-linealesarbitrariamentedadas. Unfuntorcova-riante f: C Dse dice R- lineales si y s olo si, para cualesquiera dos objetos Xe YdeC,denefunhomomorsmof(X,Y ):Mor(X,Y )Mor[f(X),f(Y )]de R-m odulos. An alogamente, un funtor contravariante g: C Dse dice R-lineal siysolosi,paracualquieradosobjetosXeY deC,gdeneunhomomorsmog(X,Y ):Mor(X,Y )Mor[f(Y ),f(X)]deR-m odulos. Es facil comprobar quelos funtores delos ejemplos (2)-(4) sonR-lineales.Enparticular,losfuntoreslinealessobreelanilloZdelosenterosrecibenelnombredefuntoresaditivos.TransformacionesdeFuntoresoMorsmosFuntorialesSean fy gdos funtores covariantes cualesquiera de una categora Cen una categoraD. Unatransformacionnatural omorsmofuntorial del funtorfenel funtorg, esunafuncionqueasignaacadaobjetoXdelacategoraCunmorsmo(X)de24lacategoraDcumpliendoselasdoscondicionessiguientes:(NT1)ParatodoobjetoXdeC,setiene(X) : f(X) g(X).(NT2)Paratodomorsmo : X Y deC,tenemosf()(Y ) = (X)g().Lacondici on(NT1) es equivalente alacondici onde que los productos en(NT2)estensiempredenidos. Lacondicion(NT2) armaqueel siguienterect anguloesconmutativo:f(X)f()/(X)

f(Y )(Y )

g(X)g()/ g(Y )En el caso de ser fy gfuntores contravariantes, la condicion (NT2) debe ser rempla-zadaporlasiguientecondici on:(NT2*)Paratodomorsmo : X Y deC,tenemosf()(X) = (Y )g().Estacondicionarmaqueelsiguienterect anguloesconmutativo:f(X)(X)

f(Y )f()o(Y )

g(X) g(Y )g()oSeanf,g:C Dfuntoresarbitrariamentedadosdelamismavariancia.Usaremoselsmbolo : f gpara denotar un morsmo funtorial del funtor fen el funtor g. Si el morsmo (X)deDesunaequivalenciaparatodoobjetoX C, entoncesrecibeel nombredeequivalencianatural oisomorsmodelosfuntoresfyg,ensmbolos, : f g.25Seaahora : f gunaequivalencianaturaldelosfuntoresf,g:C D.Sifygsonfuntorescovariantes,sesiguede(NT2)queg() = [(X)]1f()(Y )paratodomorsmo: X Y delacategoraC. Encasodeserf ygfuntorescontravariantes,entoncessededucede(NT2*)queg() = [(Y )]1f()(X)paratodomorsmo : X Y delacategoraC.Sean : f gy : g hmorsmosfuntorialesdadasdelosfuntoresf,g,h: C D.Denamosunafunci ontomando()(X) = (X)(X)paratodoobjetoX C. Sepuedecomprobarf acilmentequelafuncionesunmorsmofuntorialdelfuntorfenelfuntorh;ensmbolos : f h.Sea ahora : f g una equivalencia natural arbitraria de los funtores f,g,: C D.Denamostomando(X) = [(X)]1paratodoobjetoXC. Es facil comprobar que es unaequivalencianatural: g f. Adem as, : ff y: g gsonequivalencias naturales quesatisfacen()(X) = if(X), ()(X) = ig(X)paratodoobjetoX C.Dos funtores f,g,: C Dse dicen equivalentes naturalmente e isomorfos, en smbo-losf g,siys olosiexisteunaequivalencianatural : f g.26Por las consideraciones de la secci on precedente, es reexiva, simetrica y transitiva.Unejemploilustrativoelementaldemorsmosfuntorialespuedeverseen[3].2.3. FuntoresLinealessobreM odulosLos funtores que nos seran m as interesantes son los de la categora MR de R-m odu-los. Lapresentesecci onest adedicadaaestosfuntores. ComoMResunacategoraR-lineal,lanoci ondefuntorlinealf: MR MResventajosa.ComoelelementocerodelR-m oduloMor(X,Y )=Hom(X,Y )esel homomorsmotrivial 0: X Y paradosR-m oduloscualesquieraX, Y , ellemasiguienteesconsecuenciainmediatadeladenici ondefuntoreslineales.Lema2.3.1Cualquierfuntorlinealf: MR MRsobreRaplicatodohomomors-motrivial enunhomomorsmotrivial.Establezcamosahoraelsiguienteteorema.Teorema2.3.2Seaf: MR MRunfuntorR-lineal covariante.Si0 XYZ 0esunasucesionexactacortadescomponibledeR-modulos,entoncesigualsucedeconlasucesion0 f(X)f()f(Y )f()f(Z) 0.Demostracon.Debidoalaexactituddelasucesiondada,esunmonomorsmo,esunepimorsmo,yIm() = H= Ker().Comoestasucesi onsedescompone, Hes unsumandodirectodel m oduloY . Porconsiguiente existe unsubm oduloKde Y tal que Y =H

K. Estoimplicalaexistenciadedoshomomorsmos: Y Xy: Z Y deMRtalesque27= o = 0, = o = 0,= o = iX, = o = iZ,dondeiXeiZsonlosendomorsmoidentidaddeXyZ, respectivamente. ComofesunfuntorR-linealcovariante,sededucede(2.3.1)juntocon(CF2)y(CF3)quef() o f() = f()f() = f() = f(0) = 0,f() o f() = f()f() = f() = f(0) = 0,f() o f() = f()f() = f() = f(iX) = if(X),f() o f() = f()f() = f() = f(iZ) = if(Z),donde if(X) e if(Z) son los endomorsmos identidad de f(X) y f(Z), respectivamente.Portanto,f()esmonomorsmos,f()esepimorsmo,yIm[f()]=Ker[f()], Im[f()]=Ker[f()],f(Y )=Im[f()]

Im[f()].Estoimplicaquelasucesion0 f(X)f()f(Y )f()f(Z) 0esexactaysedescompone.An alogamente,sepuedeestablecerelsiguienteteorema.Teorema2.3.3Seaf: MR MRunfuntorR-lineal contravariante.si0 XYZ 0esunasucesionexactacortadescomponibledeR-modulos,tambienloes0 f(Z)f()f(Y )f()f(X) 0.Un funtor covariante f: MR MR se llama exacto si y solo si, para toda sucesi onexactaXYZ28deR-m odulos,lasucesi onf(X)f()f(Y )f()f(Z)estambienexacta.Analogamente,unfuntorcontravariantef: MR MRsellamaexactosiys olosi,paratodasucesi onexactaXYZdeR-m odulos,lasucesi onf(Z)f()f(Y )f()f(X)estambienexacta.Lema2.3.4Cualquierfuntorexactof: MR MRaplicatodomodulonuloenunmodulonulo;ensmbolos,f(0) = 0.Demostracion.Sea0unmodulonulodeMR.Entoncesconsideremosunasucesi onexacta0i0i0dondeirepresentaelendomorsmoidentidad.Comofesexacto,lasucesi onf(0)f(i)f(0)f(i)f(0)estambienexacta.Por(CF2)y(CF2*)delaseccion(4.2),f(i)eselendomorsmoidentidaddef(0).Porconsiguienteobtenemosf(0) = Im[f(i)] = Ker[f(i)] = 0Porlotantof(0) = 0.Teorema2.3.5Un funtor covariante f: MR MRes exacto si y solo si, para todasucesionexactacorta0 XYZ 029deR-modulos,lasucesionf(0) f(X)f()f(Y )f()f(Z) f(0)essiempreexacta.Demostraci on.Debidoa(2.3.4), lanecesidaddelacondici onesobvia. Faltaesta-blecerlasuciencia.Paraello,consideremosunasucesi onexactaarbitrariamentedadaXYZdeR-m odulos.SeaA = Ker(), B= Im() = Ker(), C= Im().entoncesobtenemostressucesionesexactascortas:0 AiXpB 0,0 BjYqC 0,0 CkZrD 0,dondei,j,ksonhomomorsmosinclusion, pyqest andenidospor,yreslaproyeccionnaturaldeZsobresum odulococienteD = Coker() = Z/C.Aplicando la condici on a estas sucesiones exactas cortas, obtenemos las siguientes tressucesionesexactascortas:0 f(A)f(i)f(X)f(p)f(B) 0,0 f(B)f(j)f(Y )f(q)f(C) 0,0 f(C)f(k)f(Z)f(r)f(D) 0.Enparticular,f(p)esepimorsmo,f(k)esmonomorsmo,yIm[f(j)] = Ker[f(q)].30Porladeniciondej,k,p,q,tenemos = pj= j o p, = qk = k o q.Comofesunfuntorcovariante,tenemosf() = f(pj) = f(p)f(j) = f(j) 0 f(p),f() = f(qk) = f(q)f(k) = f(k) o f(q).Comof(p)esepimorsmoyf(k)monomorsmo,tenemosIm[f()] = Im[f(j)] = Ker[f(q)] = Ker[f()].Estoimplicalaexactituddelasucesi onf(X)f()f(Y )f()f(Z)yporellocompletalademostraci on.An alogamente,sepuedeestablecerelsiguienteteorema.Teorema2.3.6Un funtor covariante f: MR MRes exacto si y solo si, para todasucesionexactacorta0 XYZ 0deR-modulos,lasucesionf(0) f(Z)f()f(Y )f()f(X) f(0)essiempreexacta.Los funtores exactos no son frecuentes. La mayora de los funtores que encontraremosconservanlaexactitudsoloparcialmente.Paradenirlasdiversasnocionesdeexac-titudparcial deunfuntorf : MR MRconsideremosunasucesi onexactacortaarbitrariamentedada0 XYZ 0deR-m oduls.Unfuntorf: MR MRsedicesemiexactosiys olosilasucesi onf(X)f()f(Y )f()f(Z)31essiempreexactasifescovariante,ylasucesionf(Z)f()f(Y )f()f(X)es siempre exacta si fes contravariante. Un funtor f: MR MRse dice exacto porlaizquierdasiys olosilasucesion0 f(X)f()f(Y )f()f(Z)essiempreexactasifescovariante,ylasucesion0 f(Z)f()f(Y )f()f(X)es siempre exacta en el caso de ser fcontravariante. Un funtor f: MR MRse diceexactoporladerechasiys olosilasucesionf(X)f()f(Y )f()f(Z) 0esexactaenelcasodefcovariante,ylasucesi onf(Z)f()f(Y )f()f(X) 0esexactaenelcasodefcontravariante.Las dos siguientes proposiciones son consecuencias inmediatas de (2.3.5), (2.3.6) y delasdeniciones.Proposicion2.3.7Unfuntorf: MR MResexactosiysolosiesexactoporlaizquierdayexactoporladerecha.Proposicion2.3.8Unfuntor f : MRMRes semiexactosi es exactopor laizquierdaoexactoporladerecha.Establezcamosahoraelsiguienteteorema.Teorema2.3.9Unfuntorcovariantef: MR MResexactoporlaizquierdasiysolosi,paratodasucesionexacta0 XYZ 032deR-modulos,lasucesion0 f(X)f()f(Y )f()f(Z)estambienexacta.Demostracion.Lasucienciadelacondicionesobvia,establezcamoslanecesidad.Paraello,supongamosquef: MR MResexactoporlaizquierda.SeaU= Im() Z, Y= Z/U.Entoncesobtenemosdossucesionesexactascortas0 XYU 0,0 UZV 0,donde es el homomorsmo denido por , es el homomorsmo inclusion y es laproyeccionnatural.Comofesexactoporlaizquierda,sedeterminanlasdossucesionesexactas0 f(X)f()f(Y )f()f(U),0 f(U)f()f(Z)f()f(V ).Enparticular,f()yf()sonmonomorsmos,yIm[f()] = Ker[f()].Comoest adenidoporyeselhomomorsmoinclusi on,tenemos= o = .Puestoquefesunfuntorcovariante,estoimplicaf() = f() = f()f() = f() o f().Porconsiguiente,lasucesion0 f(X)f()f(Y )f()f(Z)esexacta,loquecompletalademostraci on.An alogamente,sepuedeestablecerlossiguientestresteoremas.33Teorema2.3.10Unfuntorcovariantef: MR MResexactoporladerechasiysolosi,paratodasucesionexactaXYZ 0deR-modulos,lasucesionf(X)f()f(Y )f()f(Z) 0estambienexacta.Teorema2.3.11Un funtor contravariante f: MR MRes exacta por la izquierdasiysolosi,paratodasucesionexactaXYZ 0deR-modulos,lasucesion0 f(Z)f()f(Y )f()f(X)estambienexacta.Teorema2.3.12Unfuntorcontravariantef: MR MResexactoporladerechasiysolosi,paratodasucesionexacta0 XYZdeR-modulos,lasucesionf(Z)f()f(Y )f()f(X) 0estambienexacta.2.4. SatelitesAlolargodelapresenteseccion, nosocuparemosdeunfuntorarbitrariamentedadoyR-lineal:f: MR MR34ParatodoR-m oduloX,elijamosunasucesi onexactacortaparticular0 APX 0deR-m odulostal quePesproyectivo. Porejemplo, podemosconsiderarquePseael R-m odulolibreengendradopor el conjuntoXy: PXel homomorsmo unicotalque(x) xparatodox X P.Adem as,tomamosA=Ker()ysea : A Pelhomomorsmoinclusion.Sielfuntorfescovariante,obtenemosunhomomorsmof() : f(A) f(P).Enestecaso,denotemos[S1(f)](X) = X1= Ker[f()]queesunsubm odulodef(A).Sielfuntorfescontravariante,obtenemosunhomomorsmof() : f(P) f(A).Enestecaso,denotemos[S1(f)](X) = X= Coker[f()]queesunm odulococientedef(A).Ahora,sea:X Y unhomomorsmoarbitrariodeR-m odulos.Consideremoseldiagrama0/ A/ P/ X

/ 00/ Bk/ Q/ Y/ 0dondelas las sonlas sucesiones exactas cortas elegidas paralos modulos XeYcomo antes. Como Pes proyectivo y es un epimorsmo, se sigue la existencia de unhomomorsmo : P Qquesatisface o =o .35Comol yksonmonomorsmos, estarelaci ondeconmutatividadimplicaquede-terminaunhomomorsmo: A Bquesatisfacek o =o l.Asobtenemosundiagramaconmutativo:0/ A/

P/

X

/ 00/ Bk/ Q/ Y/ 0Sielfuntorfescovariante,elcuadradodelaizquierdadeterminauncuadradocon-mutativo:f(A)f()/f()

f(P)f()

f(B)f(k)/ f(Q)La conmutatividad de este cuadro implica que f() aplica el subm odulo X1= Ker[f()]def(A)eselsubm oduloY1= Ker[f(k)]def(B)yporlotantodeneunhomomor-smo1: X1 Y1.Lema2.4.1El homomorsmo1nodependedelaelecciondel homomorsmo : P Q.Demostraci on.Sea: P Qotrohomomorsmoquesatisface o =o .Entoncesdeneunhomomorsmo: A Bquesatisfacek o = o .Consideremoselhomomorsmodiferencia : P Q.Como o ( ) = o o =o o =0,36obtenemos Im( ) Ker() =Im(k). PuestoquePes proyectivo, sesiguelaexistenciadeunhomomorsmo : P Bquesatisface =k o .Porlotantoobtenemosk o ( ) =k o k o = o o =( ) o =k o o .Comokesmonomorsmo,estoimplica = o .PuestoquefesunfuntorcovarianteyesR-lineal,larelacionprecedenteimplicaf() f() = f( ) = f() o f()).Porlotantoobtenemos[f()](X) = [f()](X)paratodoelementoxdeX1= Ker[f()].Estopruebaque1nodependedelaelec-ci onde : P Q.En virtud de (2.4.1), el homomorsmo 1: X1 Y1 depende solamente de : X Yydelfuntorf.Porlotantoser adenotadopor[S1(f)]() = 1: [S1(f)](X) [S1(f)](Y ).As,hemosconstruidounafunci onS1(f) : MR MR.Ellemasiguienteesobvio.Lema2.4.2Para todo funtor covariante f: MR MR, R-lineal, la funcion S1(f) :MR MRestambienunfuntorcovarianteyR-lineal.37LaconstrucciondeestefuntorcovarianteS1(f):MR MRdependeademasdelaelecci ondeunasucesionexactacortaparticular0 APX 0,con un modulo proyectivo P, para todo R-m odulo X. Para una elecci on arbitraria deunasucesionexactacorta0 BkQX 0,conunm oduloproyectivoQ,paratodoR-m odulo,obtenemosotrofuntorS

1(f) : MR MR.Medianteelmetodousadoantes,obtenemosundiagramaconmutativo:0/ A/

P/

X

/ 00/ Bk/ Q/ X/ 0,donde representa el homomorsmo identidad. Como antes, este diagrama determinaun unicohomomorsmo(X) : [S1(f)](X) [S

1(f)](X).Se puede comprobar facilmente que la correpondencia X (X) dene una equiva-lencianatural : S1(f) S

1(f).Porconsiguiente,elfuntorcovarianteS1(f) : MR MRest a determinado, salvo equivalencia natural, por el funtor covariante dado f: MR MRyrecibeelnombredesateliteporlaizquierdadef.Lasiguienteproposicionesahoraobvia.38Proposicion2.4.3Si el funtorf : MR MRescovariante, entonces, paratodasucesionexactacorta0 APX 0siendoPmoduloproyectivo,tenemosunasucesionexacta0 [S1(f)](X) f(A)f()f(P).Volvamosahoradenuevoalprincipiodeestasecci on.Sielfuntordadofescontra-variante,entoncesobtenemosundiagramaconmutativo:f(Q)f(K)/f()

f(B)f()

f(P)f()/ f(A).Laconmutatividaddeestecuadroimplicaquef()aplicaelsubmoduloIm[f(k)]def(B)enelsubm oduloIm[f()]def(A)yporelloinduceunhomomorsmo1: Y1X1del m odulo cociente Y1= Coker[f(k)] de f(B) en el m odulo cociente X1= Coker[f()]def(A).Porargumentosdualesalosusadosenlademostracionde(2.4.1), sepuedeprobarque 1depende unicamente de : X Yy del funtor f. Por ello sera denotado por[S1(f)]() = 1: [S1(f)](Y ) [S1(f)](X).Ashemosconstruidounafunci onS1(f) : MR MR.Elsiguientelema,dualde(2.4.2),esinmediato.Lema2.4.4Paratodofuntorcontravariantef:MR MRyR-lineal, lafuncionS1(f) : MR MRestambienunfuntorcontravarianteyR-lineal.39Comoenelcasocovariante,sedemuestraqueestefuntorcontravarianteS1(f) : MR MRest adeterminado, salvoequivalencias naturales, por el funtor contravariantedadof: MR MRyrecibeelnombredesateliteporladerechadef.Elsiguienteresultado,dualde(2.4.3),esobvio.Proposicion2.4.5Si el funtorf : MR MRes contravariante, entonces, paratodasucesionexactacorta0 APX 0siendoPunmodulodeproyectivo,tenemosunasucesionexactaf(P)f()f(A) [S1(f)](X) 0.Ahora,paratodoR-m oduloX,elijamosunasucesi onexactacortaparticular0 XJU 0de R-m odulos tal que fes inyectivo. Por ejemplo, se puede seguir el metodo de algunade las demostraciones de la existencia del teorema (1.9.2) para construir un R-m oduloinyectivoJ yunmonomorsmo : XJ. Ademas, escogemos U=Coker() y: J Ulaproyecci onnatural.Sielfuntorfescontravariante,obtenemosunhomomorsmof() : f(U) f(J).Enestecaso,denotamos[S1(f)](X) = X1= Ker[f()]queesunsubmodulodef(U).Sielfuntorfescovariante,obtenemosunhomomor-smof() : f(J) f(U).40Enestecaso,denotemos[S1(f)](X) = X1= Coker[f()]queesunm odulococientedef(U).Seaahora: X Y unhomomorsmoarbitrariodeR-m odulos. Consideremoseldiagrama0/ X/

J/ U/ 00/ Yk/ K/ V/ 0donde las las son las sucesiones exactas cortas elegidas para los modulos Xe Ycomoanteriormente. ComoKesinyectivoyesmonomorsmo, sededucequeexisteunhomomorsmo : J Kquesatisfaceo = k o .Estehomomorsmodeterminaun unicohomomorsmo: U V quesatisface o = o .Asobtenemosundiagramaconmutativo:0/ X/

J/

U

/ 00/ Yk/ K/ V/ 0.Si el funtorf escontravariante, el cuadradodeladerechadeterminauncuadradoconmutativo:f(V )f()/f()

f(K)f()

f(U)f()/ f(J).Laconmutatividadde este cuadradoimplicaque f() aplicael submoduloY1=Ker[f()] def(V ) enel subm oduloX1=Ker[f()] def(U) ypor ellodeneunhomomorsmo1: Y1 X1.41Comoen(2.4.1), sepuedeprobarque1nodependedelaelecci onde: J K.Portantoseradenotadopor[S1(f)]() = 1: [S1(f)](Y ) [S1(f)](X).Ashemosconstruidounafunci onS1(f) : MR MR.Elsiguientelemaesobvio.Lema2.4.6Paratodofuntorcontravariantef:MR MRyR-lineal, lafuncionS1(f) : MR MR.estambienunfuntorcontravarianteyR-lineal.Comoantes,sepuedecomprobarqueestefuntorcontravarianteS1(f) : MR MR.est adeterminado,salvoequivalencianatural,porelfuntorcontravariantedadof: MR MR.Recibeelnombredesateliteporlaizquierdadef.Lasiguienteproposicionesinmediata.Proposicion2.4.7Si el funtorf : MR MRes contravariante, entonces, paratodasucesionexactacorta0 XJU 0tal queJesunmoduloinyectivo,tenemosunasucesionexacta0 [S1(f)](X) f(U)f()f(J).Sielfuntorescovariante,tenemosundiagramaconmutativo:f(J)f()/f()

f(U)f()

f(K)f()/ f(V ).42La conmutatividad de este cuadrado implica que f() aplica el subm odulo Im[f()]def(U)enelsubm oduloIm[f()]def(V )yportantoinduceunhomomorsmo1: X1Y1del m odulo cociente X1= Coker[f()] de f(U) en el m odulo cociente Y1= Coker[f()]def(V ).Comoantes, se puede probar que 1nodepende de laeleccionde : JK.Porelloseradenotadopor[S1(f)]() = 1: [S1(f)](X) [S1(f)](Y ).Ashemosconstruidounafunci onS1(f) : MR MR.Elsiguientelemaesinmediato.Lema2.4.8Paratodofuntorcovariantef: MR MRyR-lineal,lafuncionS1(f) : MR MRestambienunfuntorcovarianteyR-lineal.Comoantes, se puede demostrar que este funtor covariante S1(f) : MRMRest adeterminadosalvounaequivalencianatural, por el funtor covariantedadof.Recibeelnombredesateliteporladerechadef.Lasiguienteproposicionesinmediata.Proposicion2.4.9Si el funtorf : MR MRescovariante, entonces, paratodasucesionexactacorta0 XJU 0tal queJesmoduloinyectivo,tenemosunasucesionexactaf(J)f()f(U) [S1(f)](X) 0.43As, paratodofuntorf: MR MRqueesR-lineal, hemosconstruidounsatelitepor la izquierda y un satelite por la derecha de f. Son funtores de la misma varianciaquefS1(f) : MR MR, S1(f) : MR MRyR-linealestambien.Podemositerarladenici ondesateliteponiendoSn+1(f) = S1[Sn(f)], S0(f) = f,Sn+1(f) = S1[Sn(f)], S0(f) = f.Esmuyconvenienteagrupartodosestossatelitesenunasolasucesi on{Sn(f)| < n < }poniendoSn(f) = Sn(f)paratodoenteron,natural.Consideremosahoraunasucesi onexactacortaarbitraria0 XYZ 0deR-m odulos.Consideremoselsiguientediagrama:0/ A/ P/ Z

/ 00/ X/ Y/ Z/ 0.donde la la superior es una sucesion exacta corta tal que Pes un m odulo proyectivoy representa el homomorsmo identidad. Como Pes proyectivo, se puede demostrarcomoantesqueestediagramaseextiendeaundiagramaconmutativo:0/ A

/ P

/ Z

/ 00/ X/ Y/ Z/ 0.Sif: MR MRescovariante,lacomposiciondelhomomorsmoinclusionj: [S1(f)](Z) = Ker[f()] f(A)44yelhomomorsmof() : f(A) f(X)esunhomomorsmo1= f() o j: [S1(f)](Z) f(X)quesatisfacef() o 1=0.Sif:MR MRescontravariante,lacomposiciondelhomomorsmof()def(X)enf(A)ylaproyecci onnaturalp : f(A) [S1(f)](Z) = Coker[f()]esunhomomorsmo1= p o f() : f(X) [S1(f)](Z)quesatisface1o f() = 0.Porotraparte,consideremoseldiagramasiguiente:0/ X

/ Y/ Z/ 00/ X/ J/ U/ 0.dondelalainferior es unasucesi onexactacortaconJ m oduloinyectivoyre-presentaelhomomorsmoidentidad.ComoJesinyectivo,sepuededemostrarcomoantesqueestediagramaseextiendeaundiagramaconmutativo:0/ X

/ Y

/ Z

/ 00/ X/ J/ U/ 0.Sif: MR MRescontravariante,lacomposici ondelhomomorsmoinclusi onj: [S1(f)](X) = Ker[f()] f(U)yelhomomorsmof() : f(U) f(Z)esunhomomorsmo1= f() o j: [S1(f)](X) f(Z)quesatisfacef() o 1=0.Si f : MR MRescovariante, lacomposici ondel homomorsmof(): f(Z) f(U)ylaproyecci onnaturalp : f(U) [S1(f)](X) = Coker[f()]45esunhomomorsmo1= p o f() : f(Z) [S1(f)](X)quesatisface1o f() =0.Comoen(2.4.1), sepuededemostrarqueestoshomomorsmos1y1nodependedelaelecci ondeloshomomorsmos : P Y y : P J.Aplicandoestoalossatelitesdef,obtenemosunasucesi oninnita. . . [Sn(f)](X) [Sn(f)](Y ) [Sn(f)](Z) [Sn1(f)](X) . . .,denidaparatodoslosenterosn, si f : MR MRescovariante, yunasucesioninnita. . . [Sn(f)](Z) [Sn(f)](Y ) [Sn(f)](X) [Sn1(f)](Z) . . .denidaparatodoslosenterosn, si f:MR MRescontravariante. Lossimbolosdeloshomomorsmosomitenpuestoquesonobvios.Cadaunade estas dos sucesiones seradenominadalasucesionsatelitedel funtorf: MR MRparalasucesi onexactacortadada.Teorema2.4.10Paratodofuntorf : MR MRqueesR-lineal ytodasucesionexactacorta0 XYZ 0deR-modulo,lasucesionsateliteessemiexacta.Demostracion.Supongamosqueelfuntorf: MR MRescovariante.ComofesR-lineal, tambien lo es Sn(f) para todo entero n. Como o =0, deducimos que laparte[Sn(f)](X) [Sn(f)](Y ) [Sn(f)](Z)delasucesi onsateliteessemiexactaparatodoenteron.Ahora,enlaconstrucci onde1,hemosobservadolasemiexactitud1o f() =0delasucesionf(Y )f()f(Z)1[S1(f)](X).46AplicandoestoaSn(f)enlugardef,deducimosquelaparte[Sn(f)](Y ) [Sn(f)](Z) [Sn1(f)](X)de la sucesi on satelite es semiexacta para todo n 0. Para establecer su semiexactitudparatodon > 0,bastaprobarladelasucesi on[S1(f)](Y )[S1(f)]() [S1(f)](Z)1f(X).Paraello,consideremosundiagramaconmutativo:0/ A/

P/

Y/

00/ Bk/

Q/

Z/

00/ X/ Y/ Z/ 0.dondeP, Qsonproyectivosy: Z Zesel homomorsmoidentidad. Delasdenicionesde[S1(f)]()y1,obtenemos1o [S1(f)] = f() o f() | Ker[f()].Comoantes,sesigueque,paratodaelecci ondeldiagramaconmutativo0/ A/

P/

Y/

00/ X/ Y/ Z/ 0.conPm oduloproyectivo,tenemossiempre1o [S1(f)] = f() | Ker[f()].Enparticular,podemoselegir=yporlotanto=0.ComofesR-lineal,estoimplica1o [S1(f)] = 0.Estopruebalasemiexactituddelaparte[Sn(f)](Y ) [Sn(f)](Z) [Sn1(f)](X)47de la sucesionsatelite para todo entero n. An alogamente, se puede establecer lasemiexactituddelaparte[Sn(f)](Z) [Sn(f)](X) [Sn1(f)](Y )paratodoenteron.Esto completa la demostraci on para el caso en que fes covariante. An alogamente, sepuedeprobarelteoremaparaelcasoenquefescontravariante.Teorema2.4.11Si el funtorf:MR MRessemiexactoyR-lineal, entonceslasucesionsateliteesexactaparatodasucesionexactacortadeR-modulosDemostraci on.VerCartan,H.yS.Eilenberg[1].48IV.ANALISISDELOSRESULTADOSEste trabajo se ha desarrollado sobre la base de textos, papers, artculos en topo-logaalgebraicaysoftwareespecializadoadecuandoloanuestranecesidad.Luego de realizar la recolecci on de datos necesarios para la investigacion. Los metodosusadosenladiscusi ondeestetrabajosonclasicadosen:1. Inductivo2. Deductivo3. Inductivo-DeductivoEl metodo deductivo es conciso y l ogico, que permite desarrollar la teora de satelitessobremodulosyaplicarlasalassucesionesexactasdemodulosenformaordenada.El metodo inductivo-deductivo ha hecho posible mostrar el desarrollo del formulismoquedescribenlosconceptosdem odulos, categorasyfuntores, as comotambienelan alisisdelassolucionesparalosejemplospresentados.Enconclusionestos metodos hanpermitidoqueel trabajotengacontenidoyma-yorclaridadabriendonuevaspuertasparaladeterminaci ondeextesionesdeotrasestructurasalgebraicas.49V.CONCLUSIONESYDISCUSIONConsiderandoqueel presentetrabajonotieneresultadosexperimentalesobteni-dos en gabinete o laboratorio, no es posible realizar una discusi on en ese sentido. Sinembargopodemosrealizarunadiscusionrespectodeotrostrabajos.M odulos sobreanillos particulares puedenser vistos enSze-TsenHu[5], VanDerWaerden[7].Sucesionesexactasdegrupos,propiedadesdeexactitudysemiexactitudsonestudia-dasenSze-TsenHu[3],BourbakiHu[10].M odulos libres, proyectivos e inyectivos junto con sus propiedades universales puedenservistosenSze-TsenHu[5],JosephRotman[13].Conel af andedaraconocerunodelost opicosm asimportantesdelatopologayGeometraAlgebraica, presentamosel trabajoCategorasyfuntoresdem odulos,especcamenteFuntorescontravariantesycovariantes.Satelitesysuasociacionconsucesionesexactasdemodulos.Este trabajo es de mucha utilidad en matematica, fsica, ingeniera y ciencias econ omi-cas,sobretodosisetrabajaentopologaalgebraicaodiferencial.50VI.REFERENCIASBIBLIOGRAFICAS[1] cartan,h.,ys.eilenberg, HomologicalAlgebra, Princeton University Press,Princeton,N.J.,1956.[2] hu,s.-t,ElementsofGeneral Topology,Holden-Day,SanFrancisco,1964.[3] hu,s.-t,ElementsofModernAlgebra,Holden-Day,SanFrancisco,1965.[4] hu, s.-t, Introduction to Contemporay Mathematics, Holden-Day, San Francisco,1966.[5] hu,s.-t, Introduction to Homological Algebra, Holden-Day, San Francisco, 1968.[6] n.jacobson,LecturesinAbstractAlgebra,VanNostrand,Princeton,N.J.,vol.1(1951),vol.2(1953),vil.3(1964).[7] vanderwaerden,ModerneAlgebra,SpringerVerlag,Berln,1931.[8] O. Zakiski y p. samuel, Commutative Algebra, Van Nostrand, Princeton, N.J.,vol.1(1958),vol.2(1960).[9] barr, m.,HarrisonHomologyandStandardConstructions,InSeminaronTri-plesandCategoricalHomologyTheory,LectureNotesinMath.No.80.Berln,Heidelberg,NewYork,Springer-Verlag,1969.[10] hu, bourbaki, n., Algebre Homologique, Ch. X of Algebre, Paris, San Francisco,MassonPubl.,1980.[11] cartan, H., andS. Eilemberg, Homological Algebra, Princeton, PrincetonUniversityPress,1956.[12] milnor, j., On Oxiomatic Homology Theory, Pacic J. Math. 12(1962): 337-341.[13] rotman, j., An Introduction to Homological Algebra, New York, Academy Press,1979.[14] MacLane,S.,Homology,AcademicPress,NewYork,1963.51VistoBuenodelProfesorUNIVERSIDADNACIONALDELCALLAOFACULTADDECIENCIASNATURALESYMATEMATICACONSTANCIADEAPROBACIONPor la presente se hace constar que la Srta. Angelica Miluzca Victorio Celis con codigoN031038-KharealizadoPracticaPre-ProfesionalenlamodalidaddeInvestigaci onconeltemaCategorasyFuntoressobreM odulos,cuyoobjetivoprincipalhasidoestudiarcategorasyfuntoressobrem odulos.Enmicalidaddeasesorleotorgoelcar acterdeAPROBADO.Seextiendeestaestaconstancia,paralosnespertinentes.Atentamente,Lic.EzequielFajardoCampos52