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Home Page Title Page Contents JJ II J I Page 1 of 41 Go Back Full Screen Close Quit Richiami di Cinematica piana Prof. Ettore Pennestr` ı Universit` a Roma Tor Vergata
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Richiami di Cinematica piana
Prof. Ettore PennestrıUniversita Roma Tor Vergata
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1. IntroduzioneLa Cinematica e quella scienza che studia il moto dei corpiindipedentemente dalle cause che l’hanno provocato.Lo studio delle proprieta cinematiche dei moti rigidi epreliminare a qualsivoglia modellazione di sistemi fisici.Scopo della presente trattazione e quello di richiamare alcunerelazioni fondamentali dei moto rigidi.Per semplicita la trattazione e limitata al caso piano.Testo consigliato per un’introduzione all’argomento:Di Benedetto, A., Pennestrı, E., Introduzione alla Cinematicadei Meccanismi, Casa Editrice Ambrosiana, vol. 2 e 3.
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2. Il centro di istantanea rotazioneSi puo dimostrare l’esistenza di un punto P0 del corpo rigidocaratterizzato da velocita nulla.Tale punto e definito quale centro di istantanea rotazione(c.i.r.).Per dimostrare l’esistenza di un punto con tali caratteristicheconsideriamo lo schema di Figura 1.
Figura 1: Nomenclatura
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Dalla geometria presentata possono ottenersi le relazioni
XM = a + xM cosφ− yM sinφ , (1a)YM = b + xM sinφ + yM cosφ (1b)
che restituiscono la posizione assoluta del punto M nelriferimento assoluto.
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Derivando rispetto al tempo otterremo le componenticartesiane della velocita del punto M
dXM
dt= a− xM φ sinφ− yM φ cosφ , (2a)
dYM
dt= b + xM φ cosφ− yM φ sinφ (2b)
Volendo determinare la posizione del c.i.r. P0 imponiamo chele componenti della sua velocita siano nulle.
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Pertanto, particolarizzando le (2) perM ≡ P0 e posto XP0=
YP0= 0, si ha
−xP0φ sinφ− yP0
φ cosφ = −a , (3a)
+xP0φ cosφ− yP0
φ sinφ = −b (3b)
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Risolvendo il sistema lineare rispetto ad xP0ed yP0
si ha
xP0=a sinφ− b cosφ
φ,
yP0=a cosφ + b sinφ
φ
(4a)
(4b)
Sostituita la soluzione in (1) si ha
XP0= a− b
φ,
YP0= b +
a
φ,
(5a)
(5b)
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In definitiva poiche la soluzione del sistema (3)
• esiste sempre (Il determinante della matrice dei coeffi-cienti e sempre 6= 0;
• e unica
resta dimostrata l’esistenza ed unicita del c.i.r.
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3. Cinematica del puntoDato un punto M che percorre una traiettoria espressa dauna funzione continua e derivabile, sia ~r(t) il vettore cheindividua la posizione assoluta di tale punto sulla traiettoria.
Si definisce velocita ~v(t) del punto M il limite del rapportoincrementale
~v(t) = lim∆t→0
~r(t + ∆t)− ~r(t)∆t
= lim∆t→0
∆~r
∆t(6)
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4. Velocita
Figura 2: Nomenclatura
Se la velocita di M viene misurata in funzione dell’ascissacurvilinea s, allora
~v(t) = sτ , (7)
essendo τ il versore della tangente alla traiettoria in M .
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5. Accelerazione
Figura 3: Nomenclatura
L’accelerazione del punto M vale
~a(t) = lim∆t→0
~v(t + ∆t)− ~v(t)
∆t= lim
∆t→0
∆~v
∆t. (8)
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In alternativa, considerata l’espressione (7) della velocita,avremo
~a(t) =d
dt(sτ ) . (9)
Figura 4: Nomenclatura
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Con riferimento alla geometria della Figura 4, sia dθ l’angoloinfinitesimo che sottende l’arco ds nel centro di curvatura Ωdello stesso.La precedente relazione puo esprimersi nella forma
~a = sτ + sdτ
dt(10)
Essendodτ
dt=dτ
dθ
dθ
ds
ds
dt(11)
~a =sτ + sdτ
dt
=sτ + sdτ
dθ
dθ
ds
ds
dt. (12)
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Inoltre, essendo
dθ
ds=
1
MΩ=
1
ρ(13)
edτ
dθ= n , (14)
con n versore della normale alla traiettoria diretto daM versoΩ, la precedente equazione diventa
~a = sτ +s2
ρn
In definitiva l’accelerazione di un punto puo scomporsi in unacomponente tangenziale ed in una normale alla traiettoria.
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6. Derivate di un vettore rispetto altempoDesignato con ~r = rr un versore di modulo r e versore r, laderivata di ~r risulta essere:
d~r
dt=d (rr)
dt= rr + r
dr
dt. (15)
Figura 5: Nomenclatura
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D’altra parte se r(t) ed r(t + ∆t) sono le posizioni assuntedal versore agli estremi dell’intervallo di tempo ∆t, sussistela relazione
dr
dt= lim
∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)∆t
= lim∆t→0
k × r∆θ
∆t= θk × r ,
(16)essendo
• k il versore della normale al piano contenente le posizioniestreme del versore;
• θ il modulo del vettore velocita angolare
~ω = θk . (17)
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Derivata di un versore o di un vettore il cui modulo e costante:
dr
dt= ~ω × r
Se il modulo del vettore e variabile:
d~r
dt= rr + ~ω × ~r
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Derivando ancora una volta rispetto al tempo avremo
d2~r
dt2= rr + r
dr
dt+d
dt(~ω × ~r)
= rr + r (~ω × r) +d~ω
dt× ~r + ~ω × d (rr)
dt
= rr + ~α× ~r + r (~ω × r) + ~ω ×(rdr
dt+ r
dr
dt
)= rr + ~α× ~r + ~ω × (~ω × ~r) + 2~ω × rr (18)
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In definitiva si ha
d2~r
dt2= rr + ~α× ~r − ω2~r + 2~ω × rr .
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Componenti dell’accelerazione• rr: Accelerazione di trascinamento
• ~α × ~r: Componente tangenziale dell’accelerazionerelativa
• −ω2~r: Componente normale dell’accelerazione relativa
• 2~ω × rr: Accelerazione di Coriolis
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7. Velocita dei punti di un corpo rigido
Figura 6: Nomenclatura
Dalla geometria di Figura 6 avremo
~rB = ~rA +−→AB . (19)
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Derivando rispetto al tempo i vettori presenti avremoDerivando rispetto al tempo i vettori presenti avremo
d~rBdt
=d~rAdt
+d−→AB
dt. (20)
~vB = ~vA + ~ω ×−→AB . (21)
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Il termine ~ω ×−→AB rappresenta la velocita relativa del punto
B rispetto ad un osservatore posto in A, ovvero
~vBA = ~ω ×−→AB . (22)
Figura 7: Velocita relativa tra due punti di un corpo rigido
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Se A ≡ P0, la (21) si particolarizza nella seguente
~vB = ~ω ×−−→P0B . (23)
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8. Accelerazioni dei punti di un corporigidoDerivando rispetto al tempo la relazione (21) si ha
~aB = ~aA +d(~ω ×−→AB
)dt
= ~aA + ~α×−→AB + ~ω × d
−→AB
dt
= ~aA + ~α×−→AB + ~ω ×
(~ω ×−→AB
)= ~aA + ~α×
−→AB + ω2−→BA (24)
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QuitFigura 8: Accelerazione relativa tra due punti di un corporigido
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Accelerazioni di punti appartenenti allo stesso corpo rigido
~aB = ~aA + ~α×−→AB + ω2−→BA
• ~aB: Accelerazione assoluta del punto B
• ~aA: Accelerazione di trascinamento (Accelerazione delpunto A)
• ~a tBA = ~α×
−→AB: Componente tangenziale accelerazione
relativa
• ~a nBA = ω2
−→BA: Componente normale accelerazione
relativa
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FinalitaMettere in relazione le caratteristi-che cinematiche dei punti A2 ed A1appartenenti a corpi distinti
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9. Velocita di punti appartenenti a corpidistintiSiano B1 e B2 due corpi mobili eA2 un punto di quest’ultimoistantaneamente sovrapposto al punto A1 del primo.
Figura 9: Caratteristiche cinematiche di punti distinti
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Dalla geometria della Figura 9 sussiste la relazione
~RA2= ~RΩ1
− ρn .
Derivando rispetto al tempo avremo
d~RA2
dt=d~RΩ1
dt− d (ρn)
dt,
ovvero
d~RA2
dt=d~RΩ1
dt− dρ
dtn− ρdn
dt=d~RΩ1
dt− ρdn
dt, (25)
in quanto ρ = A2Ω1 si puo ritenere costante per 2 motiinfinitesimi.
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Posto
~vΩ1=d~RΩ1
dt,
~vA2=d~RA2
dt,
e tenuto conto delle uguaglianze
~ω2 = ~ω1 + ~ω21 ,
~ω21 =dφ
dtk = φk ,
la (25) diventa
~vA2= ~vΩ1
− ~ω1 × ρn− φk × ρn . (26)
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Interpretazione dei termini:
• ~vA1Ω1= −~ω1 × ρn = ~ω1 ×
−−→Ω1A1;
• ~vA2A1= −φk × ρn = ~ω21 ×
−−→Ω1A1.
In definitiva la (27) diventa
~vA2= ~vΩ1
+ ~vA1Ω1+ ~vA2A1
= ~vA1+ ~vA2A1
. (27)
Relazione tra velocita punti appartenenti a corpi distinti
~vA2= ~vA1
+ ~vA2A1
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Utile uguaglianza vettoriale:
~a×(~b× ~c
)≡ ~b (~a · ~c)− ~c
(~a ·~b
)(28)
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10. Accelerazioni di punti appartenenti acorpi distintiLa derivata rispetto al tempo della (27) fornisce
d~vA2
dt=d~vΩ1
dt− d
dt(~ω1 × ρn)− d
dt
(φk × ρn
).
Tenuto conto che e
dn
dt=(~ω1 + φk
)× n , (29)
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Derivate temporali dei singoli termini
d~vΩ1
dt= ~aΩ1
− ddt
(~ω1 × ρn) = −~α1 × ρn− ~ω1 ×[(~ω1 + φk
)× ρn
]− ddt
(φk × ρn
)= −φk × ρn− φk ×
[(~ω1 + φk
)× ρn
]
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Sostituendo:
~aA2=~aΩ1
− ~α1 × ρn− ~ω1 ×[(~ω1 + φk
)× ρn
]− φk × ρn− φk ×
[(~ω1 + φk
)× ρn
]=~aΩ1
− ~α1 × ρn + ω21ρn− ~ω1 ×
(φk × ρn
)− φk × ρn− φk × (~ω1 × ρn) + φ2ρn .
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Se si pone
• ρn =−−→A1Ω1 =
−−→A2Ω1;
• ~aA1= ~α1 ×
−−→Ω1A1 + ω2
1
−−→A1Ω1, accelerazione assoluta di
A1 (moto trascinamento);
• ~a tA2A1
= φk×−−→Ω1A2 = φΩBτ , componente tangenziale
accelerazione relativa di A2 rispetto ad A1;
• ~a nA2A1
= φ2−−→A2Ω1, componente normale accelerazione
relativa di A2 rispetto ad A1;
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I seguenti termini
− φk × (~ω1 × ρn)− ~ω1 ×(φk × ρn
)= −~ω1 ×
(φk × ρn
)− ~ω1 ×
(φk × ρn
)= 2~ω1 × ~vA2A1
forniscono l’accelerazione complementare o di Coriolis.
In definitiva, la relazione tra le accelerazioni di punti A2 edA1 appartenenti a corpi distinti risulta essere
~aA2= ~aA1
+ ~a tA2A1
+ ~a nA2A1
+ 2~ω1 × ~vA2A1.
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Riassunto equazionifondamentali analisi
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Punti A e B appartenenti almedesimo corpo rigido
• Velocita
~vB = ~vA + ~ω ×−→AB .
• Accelerazioni
~aB = ~aA + ~α×−→AB + ω2−→BA
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Punti A2 e A1 appartenenti acorpi rigidi distinti
• Velocita~vA2
= ~vA1+ ~vA2A1
• Accelerazioni
~aA2= ~aA1
+ ~a tA2A1
+ ~a nA2A1
+ 2~ω1 × ~vA2A1.
