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Ch. 5 Inductors, Electromagnets and Permanent magnets
5.1> Inductors – storing EM
Applications: Movers (motors), Shakers (speakers and resonators), Memories (floppy diskettes and
hard disks)
* Magnetic materials increase the stored energy of inductors by the factor r (relative permittivity).
Analogy between capacitor (dielectric mat.) and inductor (magnetic mat.): 그림 5.1
1. EE(Electrostatic energy) in an empty capacitor:
+
-V d
A
o
volume =Ad I
Bind
area A
ℓ
2o = Inductance L n Ao =
ACapacitance C
d
21 1 1/vol o o2 2 2
221o
E /vol 2
;
2
tot
Vd
VE dd
A VE E A d CV
d
D E2
E
E
1. EM(Magnetostatic energy) in an empty inductor:
o o
2 21 1 1M/vol o o2 2 2
2 2 21 1M M/vol o2 2
[ / ] ;
( )
ind ind
tot
Nn turns m B NI H
E d H n I
E E A n A I LI
B H
Inserting a dielectric (r) between the two metal plates of the capacitor: total electrostatic energy ET
' tot 21T r E r2
: E E C V C C ' ' relative permittivity (5.1)
Inserting a magnetic material (r) within the solenoid coil: total magnetostatic energy ET
' t o t 21T r E r2
: E E L I L L ' ' relative permeability (5.2)
[Role of magnetic material in AC electric field]
* I = I(t) H = H(t) and E = E(t)
L : dI
V Ldt
Farday’s law of Induction (5.3)
∴ For ideal inductor, exp( ) oIf I I i t 2L L / V i I V I
The current (I) lags voltage (V or E) by /2 (ELI). “ELI the ICEman” (그림 5.2 참조)
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2
t
IE
[Resistor, R]
IE
[Capacitor (ideal), C]
I
E
[Inductor (ideal), L]
tt
[참고] Voltage drop across the ideal passive devices R, L and C
1. Resistors: o( )( ) exp( )
V t VI t j t
R R I and V are in-phase. V/I = const.
2. Capacitors: o
d ( ) = exp( )
d
VI t C j C V j t
t I leads V by /2. I/V ∝ (decrease of
impedance with ).
3. Inductors: o1 ( ) exp( )V
I t Vdt j tL j L
o2exp[ ( )]
Vj t
L
I lags V by /2.
V/I ∝ (increase of impedance with )
[Role of magnetic core in a coil]
coil 내부 자속 밀도(B)를 r 배만큼 증가시킨다.
Ex) For B = 1[T] within an empty solenoid (coil turns n = 103/m),
o 1[ ] B nI T -7 3 1o = (4 10 10 )I B n 796A is required.
With a core of r = 104, only I of 79.6 mA is needed.
5.2> Magnetization – In a Spin
Toroidal coil:
Without core / o oN n B I I (5.4)
With a core of r, o o o o r + n B I M H M H (5.5)
M: magnetization(자화), defined as magnetic moment / volume.
Magnetic moment(자기 모멘트): defined as a current loop [Am2]
2 3 = [A m / m ] = [A / m] M ∴자화의 단위는 자장(H)과 동일함.
m mo
= 1 + = 1 + : r
B M
M Hmagnetic susceptibility (5.6)
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a) 강자성 b) 반강자성 c) 페리자성
d) 상자성 e) 나선자성
그림 5.3 각종 자성체에서의 자기 모멘트의 배열
[유전체와 자성체의 유사점과 차이점]
유 사 성 (analogy) 차 이 점 (difference)
유 전 체 자 성 체 유 전 체 자 성 체
전장(E) 자장(H) 전기 감응률() 자기 감응률(m)
>> 1 mostly 10-5
<m <10-3
전속 밀도(D) 자속 밀도(B)
유전율() 투자율() electric dipole magnetic pole
--actual quantity -- virtual concept 분극(P) 자화(M)
[Types of magnetism]
1. 상자성 (paramagnetism): m ~ +10-5
non-magnetic Ex) Al
2. 반자성 (diamagnetism): m ~ -10-5
non-magnetic Ex) Cu
3. 강자성 (ferromagnetism): m >> +1 Ex) Fe, Co, Ni
4. 반강자성 (anti-ferromagnetism): m 0. Ex) MnO, Fe2O3
5. 페리자성 (ferimagnetism): 반강자성의 일종이지만 m >> +1. Ex) 페라이트
6. 헬리자성 (helimagnetism): 반강자성의 일종. Ex) Pr, Nd, Tb~Tm metals.
이들 자성체를 내부 자기 모멘트의
정렬 형태에 따라 분류한 것이 그림
5.3이다.
상자성체에서는 자기 모멘트가 서로 평행하게 배열하여 상호작용 에너지를 최소화하
려는 구동력보다 열적인 요동에 의해 무질서하게 분포하려는 구동력이 더 크게 작용
하여 자기모멘트의 합이 0이 되게 무작위 분포한 경우이다. 따라서 상자성체에서는
외부 자장이 인가되고 그 크기가 점차 증가하면 전체 자화의 크기도 서서히 선형 증
가한다.
강자성체에서는 이웃한 자기 모멘트 사이에 양의 상호작용이 작용하여 평행하게 배열
하려는 경향을 가지므로 외부 자장의 인가 없이도 자발자화(Spontaneous magnetization)
를 가지며 이 자화가 만드는 자구(magnetic domain)가 형성된다. 이 경우 내부 포텐셜
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은 최소화하지만 반대로 외부로 새나가는 정자기 에너지가 최대가 된다. 이를 보상하
기 위하여 자구들은 서로의 정자기를 상쇄하게끔 재배열되어, 외부 자장이 인가되지
않은 상태에서의 총 자화가 0이 된다. 이 강자성체에 외부 자장이 가해지면 자구들의
경계면인 자벽(domain wall)의 이동, 자구 내 모멘트의 회전 등에 의해 자장과 평행한
방향으로 배열된 자구의 체적이 증가하면서 자화는 포화값에 이를 때까지 증가한다.
이러한 자구의 정렬은 주어진 온도에서의 열적 요동과 경합하게 되므로 어떤 온도 이
상에서는 이들 자구는 자기 모멘트의 무질서 배열에 의해 소멸되는데, 이를 강자성-상
자성 전이온도라고 한다. 이 전이는 강유전체에서와 달리 결정구조의 변화를 동반하
지 않으므로 2차 상전이(Second-order transition)로 분류되며, 이 특정 온도를 큐리 온도
(Curie temperature, TC)라 부른다. 즉 강자성체의 특징은 자발자화를 가지는 것, 자구 구
조를 가지는 것, 강자성-상자성 전이의 큐리 온도를 가지는 것, 그리고 자화의 이력을
가지는 것 등이라 할 수 있다.
반자성체란 자화의 근원인 궤도전자의 궤도운동과 스핀에 의한 두 모멘트가 서로 상
쇄되어 외부자장과 반대 방향으로 미약한 자화를 나타내는 경우이다.
반강자성체란 이웃하는 원자 또는 이온 사이의 자기모멘트의 상호작용이 음으로 작용
하여 내부 포텐셜을 최소화하는 경향을 가진 재료에서 관찰되는 자성이다. 즉 이웃하
는 모멘트는 서로 반대 방향을 가리키므로 계의 순 자화는 0이 된다.
페리자성체는 모멘트의 정렬방식으로 보아 반강자성체의 일종이지만 자발자화, 큐리
온도, 자구 등을 가지며 자화과정에서도 이력특성을 가지는 점에서 강자성체와 매우
흡사하다. 이 자성체는 대개 비자성 이온인 산소를 매개로 하여 자성 및 비자성 양이
온이 상호작용을 일으키는 결과로 일어난다. 이를 초 교환상호작용(super-exchange
interaction)이라 하는데, 산소를 중심으로 한 두 자성이온의 결합각이 90o에 가까우면
양의 상호작용이, 180o에 가까우면 음의 상호작용이 일어나, 결국 서로 반평행하게 배
열된 크기가 다른 자기 모멘트의 합이 상쇄되지 않은 채 나타나는 강자성을 띤다.
헬리자성 또는 나선자성체라 불리는 이 타입은 Pr, Nd, Tb~Tm 등의 희토류 금속체에서
발견된다. 이들은 공통적으로 hexagonal의 결정구조를 가지는데, c-축에 수직한 면상에
서 자기모멘트가 평행 배열하고 있으나, 이들 면이 적층된 c-축 방향으로 자화의 방향
이 나선형으로 배열된 구조를 가진다.
[Origin of Magnetism]
* Orbital electron in motion
a. 전자의 궤도 자기모멘트(Electron Orbital Magnetic Moment), mo
b. 전자의 스핀 자기모멘트(Electron Spin Magnetic Moment), ms
자성의 발현의 근원은 원자를 구성하는 핵 주변을 에워싼 궤도전자의 공전과 자전에
있다. 이를 수소 원자에 관한 Bohr model을 이용해 설명하면 다음과 같다.
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5
r((t))
r((t+t))
(t)
e-
nucleus
그림 5.4 Bohr의 수소 원자모델
-i
< Bohr Model for H>
지금 그림 5.4와 같이 수소의 원자핵 주위를 선회하는 단일 궤도전자의 운동을 생각하자.
운동의 궤적이 반경 r(), 면적 A인 타원을 이루고, 운동의 주기가 라 하면 궤도 전자의 운
동은 루프 전류(loop current) i로 표현되고, 이는 궤도 자기 모멘트(orbital magnetic moment) mo
를 만들어 낸다.
, ei
o eAiA
m (5.7)
이 궤도운동의 각운동량(angular momentum) po는 전
자의 정지질량을 me라 둘 때 선운동량 p와 각운동
량 po의 관계를 이용하여 다음과 같이 표현할 수
있다.
o
2
2o
= ; =
cos + sin sin + cos =
e e e
e e
e
d dm m m
dt dt
d dm r r r r m r
dt dt
dm r
dt
r rP P r P r
i j i j k
P
(5.8)
한편 궤도 면적 A는 식 (5.8)로부터
o2
,
p1 2 2 er
d dA r dr dt r
dt dt m
(5.9)
식 (5.9)를 (5.7)에 대입하면 궤도 자기 모멘트 mo를 po의 함수로 나타낼 수 있다.
o o 2 e
em
m p (5.10)
즉 궤도 자기 모멘트는 각운동량 벡터의 크기에 비례하며 그 방향은 반대이다. 그러나 이
와 같이 단순화한 원자 모델에서의 고전 물리적인 전자의 궤도운동은 기존의 전자기학으로
부터의 중대한 도전에 직면하였다. 즉 전하를 띤 입자(전자)가 가속운동(궤도 원운동)을 하
면 전자기파를 방출하게 되는데, 그 결과 전자의 운동에너지는 연속적으로 감소하여 궤도
반경이 점차 짧아지면서 원자핵에 접근하게 되므로, 위의 모델로는 분광학에서 원자 고유의
스펙트럼이 얻어지는 근거가 되는 안정화된 궤도 에너지를 설명할 수 없게 된 것이다.
이러한 모순은 1913년 N. Bohr가 제창한 고전적 양자론에 의해 해결되었다. 즉 그는
원자핵 주위의 전자의 궤도운동을 고전 역학적인 운동 방정식으로 표현하여 전자와
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원자핵의 정전 인력(FE)과 원심력(FC)이 상쇄되는 조건을 찾아 궤도 반경 r을 결정한 다음
궤도 안정화 조건으로 정재파(standing wave)의 조건을 도입하였다. 즉 전자 운동을 파동으로
표현할 때 반경 rn인 원주 궤도가 파장 의 정수배가 되는 조건에서만 전자의 궤도 운동이
정상상태를 유지할 수 있다고 가정하였다.
2 2
c E2o
1 ( )
4
e
n n
m e
r r
F F
o
4 e n
e
m r
(5.11)
2 nn r ( 1 2 3 )n , , (5.12)
이 식에 1924년 de Broglie에 의해 제안된 양자화 개념의 물질파의 식 p h 을 대입하면
전자의 운동량 p와 파장 사이에 다음과 같은 결과를 얻게 된다.
;en
nhp mr
o4 n
e
rhe m
(5.13a)
2 2o
2 , n
e
n h r
m e
o n n p r p o o =
2 2e e
e en
m m
m p (5.13b)
따라서 전자의 궤도 자기 모멘트 mo의 크기는 eħ/2me의 정수 배로 주어지며, 이 때
상수B는 원자가 가지는 자기 모멘트의 기본 단위로 Bohr 자자(Bohr magneton)라 부른다.
-24 2B = 9.27 10 [A m J/T]
2 e
em
(5.14)
궤도전자의 총 에너지(Et) 및 Bohr 자자로 표현한 자기 모멘트는 아래 식과 같다.
o o2
Be
en
m m p (5.15a)
2 2
to o
4 8n n
e eE
r r
4
2 2 2 2o
1 113.6 [eV]
8
em e
h n n (5.15b)
준 식 (5.15b)의 우변의 제 1항 및 2항은 각각 궤도전자의 운동 에너지와 위치 에너지를
나타내며, 자연수 n은 궤도 안정화 조건을 나타내는 것으로서, 양자역학에서의 전자의
주양자수(principal quantum number)에 상당한다.
[궤도전자의 양자수(Electron Quantum Numbers)]
앞서 정의한 po는 전자의 궤도 각운동량의 참값과는 다소 다르다. 즉 참값은 궤도전자에
대한 슈레딩거 방정식의 해로 주어지는 각운동량으로서 양자수에 의해 다음과 같이
결정된다.
<주양자수와 전자의 에너지>
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a) n =1 b) n =2
1 0 ( )n sb2
ab1
0 ( ) s
1 ( ) p
a
b2
c) n =3
b3
b1
1
nab
0 ( ) s
1 ( ) p
2 ( ) d
그림 5-5 Bohr-Sommerfeld이론에 따른 궤도반경 비의 함수로서의 부양자수(타원의 형상).
주양자수 n은 기본적으로 Bohr 모델에서 도입된 것과 같이 전자의 궤도반경의 크기를
정의하는 값이나, Sommerfeld에 따르면 주양자수에 대응하는 에너지값 En에는 각운동량이
서로 다른 다수의 전자 상태들이 축퇴되어 있다. 원자번호가 Z인 원자의 n 궤도의 전자의
에너지 En은 다음 식과 같이 정의된다.
4
2 2 2o
1,
8
en
m eE
h n
n (principal quantum number) 1,2,3 (5.16)
<궤도 양자수와 궤도 각운동량>
궤도전자의 에너지가 같더라도 그 각운동량은 타원운동의 궤적의 형태에 따라 다를 수
있다. 이와 같이 운동량이 서로 다른 전자의 상태가 겹쳐져 존재할 때 에너지 값이
축퇴되어 있다(degenerated)고 한다.
그림 5.5에 Bohr-Sommerfeld 이론에 따라 각각
주양자수 n =1, 2, 3인 에너지 준위에 해당하는
전자궤도의 형태를 2차원으로 나타내었다.
동일한 n값을 가지면서 각운동량이 다른
궤도는 n개 존재한다. 이들은 장축(그림의
a)의 길이는 같으나 단축(그림의 b)은
= +1a b n 의 관계를 만족하며 그
편심(eccentricity)의 정도가 다른 타원들이다.
이들을 구별하는 양자수를 부양자수 또는
궤도 양자수(orbital quantum number) ℓ이라 하며
0 1n 의 관계를 만족한다. ℓ의 크기로
구별되는 궤도의 각운동량 및 궤도 자기
모멘트는 다음과 같이 주어진다.
o ; p (orbital quantum number) 0, 1, 2 , 1n (5.17)
o B ; m L = 1, 2, 3 , nL (angular momentum vector) (5.18)
<자기 양자수와 공간 양자화>
원자를 단위로 보면 그 궤도전자의 임의의 각운동량 벡터는 그 방향이 정의되지 않은
상태로 분포되어 있다. 이 원자의 자기적 성질을 평가하기 위해 외부로부터 자장 Hext를
가하면(임의로 자장을 z-축에 평행하게 두고 Hext = -Hzk라 하자.) 전자의 슈레딩거 방정식의
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해는 그 궤도 각운동량(po 또는 L)의 크기가 1
2
o = 1L p 로 주어지며, 방향은
L의 z-축 성분 LZ가 ħ의 정수배로 양자화된 결과로 나타난다. 즉 전자의 궤도운동은 그림
5.6과 같이 z-축을 회전 중심축으로 한 세차운동(precession)을 하며, 이 때 LZ의 크기는 자기
양자수(magnetic quantum number) m mℓ 에 의해 다음과 같이 표현된다.
o z ( 1) , L L m P (space quantization)
- -( 1) -1 ,0 ,1 ( 1), m (magnetic quantum number) (5.19)
< ℓ = 2 >
L =[ℓ (ℓ+1)]1/2ħ=√6ħ
-Hext
궤도세차의 궤적
궤도각운동량 벡터의 궤적
a) 전자의 궤도운동의 세차
-Hext=Hzk -Hext= Hzkmℓ
+2
+1
0
-1
-2
LZ = 2ħ
ħ
0
-ħ
-2ħ
b) 궤도 각운동량의 공간양자화 (-√6 < mℓ<+√6 )
그림 5.6 전자 궤도의 세차운동과 이에 따른 공간 양자화
즉 전자의 궤도 각운동량 벡터의 크기는 ℓ∙ħ가 아니라 [ℓ∙(ℓ+1)]1/2
ħ로 주어지고, 운동 궤적은
원뿔의 측면을 휘감는 세차운동의 그것에 해당한다. 이 때 원뿔의 높이에 해당하는 자장
방향 성분의 크기 LZ는 zL (ℓ은 정수인 궤도 양자수) 사이에 오는 ħ의 정수배로
한정(양자화)되는 총 2ℓ+1 개의 자유도를 가진다. 이와 같이 궤도전자의 각운동량이 기준
방향에 대해 양자화되는 현상을 공간 양자화(space quantization)라 한다.
<스핀 양자수와 공간 양자화>
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전자는 궤도운동(핵 주위의 공전)뿐 아니라 스핀(spin, 자전에 해당)에 의한 운동량을
가진다. 이 스핀 각운동량(spin angular momentum) ps (또는 스핀 각운동량 벡터 S)는 전자의
자전 방향에 따라 up(), down()의 두 가지 경우만 가지며 둘 사이의 크기 차는 ħ로
주어진다. 스핀 양자수(spin quantum number) ms를 이용하면 ps와 ms는 다음과 같이 표현된다.
s , p sm 12
sm (spin quantum number), s s B e
e
m m p (5.20)
이 스핀 각운동량 ps (또는 스핀 각운동량 양자수 S)또한 양자역학적인 크기는 달리
정의되며, 외부 자장이 인가되면 다음과 같이 공간 양자화된다.
s s s 1 , S P z1
2S sm (space quantization) (5.21)
즉 스핀 각운동량 벡터의 방향은 2s+1=2 개의 자유도를 가지고, 그 자장방향 성분의 크기가
식 (5.21)과 일치한다
<전자의 총 자기 모멘트>
하나의 궤도전자만을 가진 원자에서의 총 자기 모멘트(total electronic magnetic moment) mt는
전자의 궤도 및 스핀 자기 모멘트의 벡터 합으로 다음과 같이 주어진다.
t o s o s t 2 2 2e e
e egm m
m m m p p p
t , Bg
P (Lande splitting factor 1 g 2) (5.22)
식 중의 pt(또는 J) = po + ps 는 전자의 총 각운동량(total angular momentum) 벡터이고, g는
분광학적 분지계수(spectroscopic splitting factor) 또는 g-인자라 불리는데 mt와 pt의 크기 비에
비례하는 상수이다. 단일 원자에서 g는 전자의 각운동량이 온전히 스핀에 의한 경우 2를,
궤도운동에 의할 때는 1을 나타내나 일반적으로 po와 ps의 벡터 방향에 따라 1과 2 사이의
값을 나타낸다. 이 때 총각운동량 pt(또는 J)역시 앞서의 두 각운동량과 마찬가지로
양자역학적인 크기는 다르고, 기준(자장) 방향 성분이 공간 양자화된 값을 가지게 된다.
t ( 1) , z jJ j j J m p (space quantization);
, ( 1) j j j j jm - - - + + (5.23)
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식에서 j 와 mj 는 각각 단일 전자의 총 자기 모멘트 및 공간 양자화 모멘트를 나타내는
양자수로 정수 값을 가진다. 그림 5.6은 단일 궤도 전자의 궤도 각운동량의 양자화의
개념을 나타낸 것이다.
한편 원자핵의 스핀 운동에 의해서도 자기 모멘트가 발생하지만, 이 핵자기 모멘트의
크기는 10-3B 정도로 원자의 총 자기 모멘트에의 기여는 무시할 만큼 적다. 이 미약한
자화는 NMR, Mössbauer효과 등의 측정에 의한 물질의 자성의 평가에 이용된다.
[각운동량의 벡터 모델]
다수의 전자를 가지는 원자에서의 총 각운동량은 구성 전자들의 궤도 및 스핀 각운동량
의 벡터 합으로 주어지는데, 이 때 벡터 합의 방식은 원자의 종류와 그 처한 환경에 따라
달라진다. 이를 각운동량 벡터 L, S, J를 사용해 표현하면 다음과 같다.
1) 외각(outer shell)에 쌍을 이루지 못한 외톨이 전자를 가지는 원자( Ⅰ족 H, Li, Na, K, Rb,
Cs 등) 또는 이온( He+, Be
+, Mg
+, B
2+, Al
2+ 등)의 총 각운동량 J는 궤도 및 스핀 각운동량
벡터 L과 S의 벡터 합으로 주어지며, 이 때 J, L, S는 각각 식 (5.19), (5.21) 및 (5.23)에
정의된 공간 양자화된 벡터로 주어진다.
J L S : .z z zJ L S j sm m m (5.24)
이 때 내각(inner shell)에서는 공간 양자화된 -ℓ, -(ℓ-1)… -1, 0, +1, +(ℓ-1), +ℓ 의 모든 양자
상태를 Pauli의 배타율(exclusion principle)에 따라 각각 up()-down() 스핀의 한 쌍의 전자
가 채우게 되므로, 궤도 및 스핀 각운동량이 모두 상쇄된다. 따라서 전자로 완전히 차 있
는 내각은 총자기 모멘트에 기여하지 않는다.
Exp 5.1) 전자 배열을 따져서 3d 부각(sub-shell)이 10 개의 전자로 차 있는 Zn2+이온의 총각
운동량이 0이 됨을 보여라.
해 3d 부각은 주양자수 n=3, 부양자수 ℓ=2
의 양자상태를 나타낸다. 따라서 3d 부각 내
의 전자 상태는 자기 양자수 -2 mℓ +2, 스
핀 양자수 ms = 1/2에 대해 표와 같이 배열된
다. 따라서 JZ = LZ SZ = 0로부터 총자기
모멘트는 0이 된다
mℓ ms
-2 -1/2(↓), +1/2(↑)
-1 -1/2(↓), +1/2(↑)
0 -1/2(↓), +1/2(↑)
+1 -1/2(↓), +1/2(↑)
+2 -1/2(↓), +1/2(↑)
LZ= ħmℓ=0 SZ= ħms=0
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2) 외각에 2 개 이상의 전자를 가진 원자 또는 이온의 총각운동량 J는 외각 전자들의 궤도
및 스핀 각운동량의 합으로 주어지는데, 그 벡터합의 과정은 원자량과 외부 자장의 세기
에 따라 달라진다. 먼저 통상적인 세기의 자장 아래 놓인 대부분의 원자는 구성 전자들
이 가지는 궤도 각운동량끼리의 상호작용(ℓ-ℓ coupling) 및 스핀 각운동량끼리의 상호작용
(s-s coupling)이 궤도-스핀 각운동량의 상호작용(ℓ-s coupling)보다 강하다. 이 경우 총 각운
동량은 궤도 각운동량의 벡터 합(L=ℓi)과 스핀 각운동량의 벡터 합(S=si)의 벡터 합으
로 주어지며, 이러한 결합을 LS-coupling이라 부른다.
J L S i ii i
s , i iii
L S s ;and (LS-coupling) (5.25)
3) 한편 원자 번호가 매우 클 경우 원자핵이 가지는 양전하의 영향으로 각각의 전자가 가
지는 궤도-스핀 각운동량 사이의 상호작용 즉 ℓ-s coupling이 증가하여 LS-coupling의 구도
가 깨어지게 된다. 또한 매우 큰 외부 자장(~10T)이 가해질 때도 비슷한 양상을 보인다.
이 경향이 극대화되면 각 전자의 궤도-스핀 각운동량의 합 즉 ji = ℓi + si 의 벡터 합 ji가
원자의 총각운동량으로 나타나게 되는데 이를 jj-coupling이라 한다.
i iiii
, ; J j j s jj-coupling (5.26)
이상의 관계를 간단한 공간벡터의 작도로 나타내면 원자의 총 각운동량의 크기를 구할
수 있다. 이를 벡터 모델이라 하는데, 통상 원자의 각운동량을 J, L, S로, 이에 대응하는 양
자수를 J, L, S로 표기한다. LS-coupling에서 둘 사이는 ħ에 의해 다음과 같이 연결된다.
J
SL
M1)J(J
M1)S(SM1)L(L
;
; ;
Z
ZZ
JJ
SSLL (5.27)
식에서 양자수 L과 ML은 항상 정수 혹은 0의 값을 가지고, S, MS, J, MJ는 외각 전자가 홀수
개이면 정수½을, 짝수 개이면 정수 또는 0의 값을 가진다.
Exp 5.2) 외각 전자 하나를 가지고 그 궤도 양자수 ℓ = 2, 스핀 양자수 s = 1/2인 상태의 원자
가 가질 수 있는 모든 총 각운동량 벡터를 도형으로 나타내어라.
해 먼저 1차원 벡터로 나타내면 L=2, S=1/2에서 J = L S = 5/2 또는 3/2이다. 이를 2차원 벡
터로 나타내면 L = [2(2+1)]½ ħ = √6 ħ; S = [½ (½ +1)]
½ ħ = √3/2 ħ가 되며 총 각운동량 양자수 J =
L S = 5/2 또는 3/2에서 J = [J(J+1)]½ ħ
= (√35/2)ħ 또는 (√15/2)ħ가 된다. 이 값에 공간 양자
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화의 개념을 적용하면 JZ = ħ(35 또는 15 미만의 최대 정수)/2 = 5/2 ħ 또는 3/2 ħ가 되
어 1차원 벡터에서와 같은 결과를 나타낸다. 그림 exp. 5-2를 참조하기 바란다.
s =1/2
ℓ=2j =5/2
6 )1(
2/3 )1( ss
2/35 )1( jj
(a) j = ℓ+s
ℓ=2
s =1/2
j =3/2
2/3 )1( ss
6 )1(
2/15 )1( jj
(b) j = ℓ-s
그림 exp 5.2 ℓ=2, s=1/2인 외톨이 궤도전자의 총 각운동량 벡터
Exp 5.3) 외각에 두 개의 전자가 LS-coupling을 이루는 원자를 가정하자. 이 두 전자의 궤도
양자수를 ℓ1 = 1, ℓ2 = 2라 둘 때 가능한 모든 총 각운동량의 크기를 구하여라.
해 궤도 각운동량 벡터 L =ℓ1+ℓ2의 합성 방법은 아래 그림과 같이 세 가지가 있으며, 이는
각각 공간 양자화를 고려한 총 궤도 각운동량 양자수 L =3, 2, 1에 해당된다(ℓ1-ℓ2 Lℓ1 +ℓ2).
한편 스핀 각운동량 벡터 S =s1+s2의 합성 방법은 아래의 그림같이 두 가지가 있으며 이는
s1=s2=½ 이므로 각각 총 스핀 각운동량 양자수 S =1, 0에 해당된다. LS-coupling의 방법은 총
각운동량 양자수 J = L+S 또는 L-S로부터 J = 0, 1, 2, 3, 4의 다섯 가지가 있다.
322 L
211 L
3 L62 L
21 L
2 L
62 L
21 L
1 L
a) L = ℓ1 + ℓ2
1 S
231 S
232 S
0 S 231 S
232 S
b) S = s1 + s2
3 L
1 S
4 SLJ
2 L
1 S 0 S
3 L
3 SLJ 2 SLJ 1 SLJ 0 SLJ
c) J = L S
그림 exp 5.3 외각에 두 개의 궤도전자(ℓ1=1, ℓ2=2; s1=s2=1/2)를 가진
원자의 LS-coupling에서 가능한 총 각운동량 양자수.
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전자의 궤도 각운동량 Li의 coupling은 전자의 운동 궤적이 구대칭이 아니므로 정전기적
작용력이 각운동량 벡터의 방향에 따라 달라지며, 결과적으로 벡터 사이의 특정 방향관계
에서만 안정화된다. 이러한 결과는 총 각운동량 L = [L(L+1)]1/2
ħ의 공간 양자화로 나타나며,
이들 중 L값의 크기가 최대가 되는 방향에서 가장 낮은 에너지를 가진다. 한편 스핀 각운
동량 si의 coupling은 양자역학적 원인에 의한 것으로, 이 경우 총 스핀 각운동량 S가 최대
값이 되도록 평행 배열함으로써 에너지적으로 안정한 상태를 취하려는 경향이 있는데 이를
Hund의 법칙이라 하며, LS-coupling을 따르는 원자에서 기저상태의 전자배열에 대해 다음과
같이 적용된다.
i) Pauli의 배타율에 저촉되지 않는 범위에서 총스핀 각운동량 양자수 S =ms가 최대값을
가지게끔 배열.
ii) S값이 변화하지 않으면서 총 궤도 각운동량 양자수 L= mℓ이 최대값을 가지게 배열.
iii) 총 각운동량 양자수 J는 부각의 상태(states)가 전자에 의해 반 미만이 채워질 때는
|L-S|, 반 이상이 채워질 때는 |L+S|값을 가진다. 따라서 부각이 정확히 반만큼 찰 때
는 L =0로부터 J = S가 된다.
Exp 5.4) 4f 부각(n = 4, ℓ = 3)에 전자 5 개를 갖는 Sm3+
이온의 전자배열 및 총 각운동량 양
자수를 결정하여라.
해 Sm3+의 전자배열은 Hund의 법칙을 따라 다음과 같이 결정된다.
-ℓ mℓ +ℓ: mℓ = 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3
ms = +½ (), -½ (): ms = ½ (), ½ (), ½ (), ½ (), ½ () - -
따라서 S =ms = 5/2, L = mℓ = 5이며 J = L-S = 5/2가 된다.
그림 5.7에 외각에 두 개의 전자를 가진 원자에서 총 각운동량 양자수 J (= L+S)에 해당
하는 LS-coupling의 벡터모형(a) 및 각운동량 벡터와 자기 모멘트의 관계(b)를 도시하였다.
원자에 속한 각 전자의 궤도 및 스핀 각운동량 ℓi 및 si의 벡터 합 L =ℓi 및 S =si를 구하면
결과는 ℓi 및 si의 공간 양자화된 성분의 합과 일치한다. 마찬가지로 각운동량 벡터의 합 J =
L+S를 구하면 결과는 자장 방향(˝-˝부호에 유의)에 대해 공간 양자화된 값으로 나타난다.
한편 L과 S에 각각 (5.19), (5.21) 및 (5.23)의 관계식을 적용하면 대응하는 궤도 자기 모멘트
(mo), 스핀 자기 모멘트(ms) 그리고 이들의 합인 총 자기 모멘트(mt)는 아래 식으로 표
현된다.
o B ; m L s B2 ; m S t o s B ( 2 ) m m m L S (5.28)
L과 S의 방향이 서로 다른 일반적인 경우를 생각하면 그림 (b)에 보듯이 L+2S와 J는 서로
다른 방향을 가리키게 된다. 그러나, 벡터 L, S, J는 모두 세차운동을 하므로 L+2S 또한 J의
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주위를 세차 운동한다. 따라서, 그 평균 자기 모멘트는 J방향을 가리키며 크기는 식 5.22에
서 도입한 g-인자를 이용해 다음과 같이 표현되는데 이를 포화 자기 모멘트(saturation
magnetic moment, Ms)라 한다.
s BgM J (5.29)
-Hext
L
ℓ1
ℓ2
S1
S2SJJZ
(a) 두 궤도전자의 LS-coupling
S
L
J
S
L +
2S
-MS
O
A
B
C
(b) 각운동량과 자기 모멘트의 관계
-Hext
그림 5.7 두 궤도전자의 각운동량과 자기 모멘트의 벡터 합성도
<자성원자의 교환 상호작용>
자성원자가 고체의 주성분을 이룰 때 이들의 궤도 전자가 겹치게 되고, 이에 따라 인접
원자간의 궤도 전자의 교환이 가능하게 되어 부가적인 에너지가 발생하게 되는데 이를
교환 상호작용(exchange interaction)이라 한다. 교환 상호작용에는 직접 교환(direct exchange)과
초교환(super exchange)이 있다.
[직접 교환 상호작용] Direct exchange interaction
Heisenberg에 따르면 두 자성원자가 근접할 때 각각의 스핀 양자수를 Si, Sj로 두면 교환
상호작용에 따른 에너지 wij는 다음과 같이 주어진다.
i j S Sij ijw J (5.30)
식에서 Jij는 교환적분(exchange integral)이라 불리는 상수이다. 이 식을 다원자계인 결정에
대해 확장하고 상호작용을 최 인접원자 사이에만 국한하면 다음과 같은 교환 상호작용
에너지(Eex)가 정의된다.
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i j i j 2 2ijnn
exE J NJ S S S S (5.31)
교환적분 J 의 크기와 부호는 원자간 거리(a)와 d-궤도 반경(rd)의 비에 따라 달라진다.
그림 5.8은 3d-천이금속의 교환적분을 a/rd에 따라 나타낸 Bethe-Slater 곡선이다. 결정의
Eex가 최소값을 갖는 안정화 조건으로는
1) J > 0 이면 스핀이 평행 배열된 강자성 (ferromagnetism)을
2) J < 0 이면 반평행 배열된 반강자성(anti-ferromagnetism)을 띠게 된다.
실제 J >0인 Fe, Co, Ni은 강자성체, Cr, Mn은 반강자성체이다. 이들 3d-천이금속들에서는
3d-전자가 전도대를 채워 궤도자기 모멘트는 거의 소멸되고 스핀 자기 모멘트만 남게 된다.
이 때에도 역시 전자로 완전히 채워진 내각은 up, down 스핀 쌍의 상쇄에 의해 자성에
기여하지 않는다.
+to rare earth
elements
그림 5.8 교환적분과 원자거리/d-궤도반경의 비를 나타낸Bethe-Slater 곡선
exch
ange
inte
gra
l, J
0
-
interatomic distance/d-orbital radius, a/rd
Cr
Mn
Fe
Co
Ni
ferromagnetism
antiferromagnetism
Exp 5-5) Ferromagnetic particle: N = 106, 구성 원자의 자기 모멘트를 2B라 하고 이 입자에
자장 Hext = 106 [A/m]가 가해졌을 때 스핀이 antiparallel() parallel()로 변화하는 데 따른
정자기 에너지의 변화량 E를 구하라. 이를 열에너지로 환산하면 몇 도에 해당하는가?
Sol o 2E N mH 1062410-7
29.2710-2410
6 = 4.6710-17
J.
환산온도: =E
Tk
4.6710-17
/1.381 10-23 = 3.3810
6 [K]
[초교환 상호작용] Super exchange interaction
MnO와 같은 자성 금속이온의 산화물의 경우에는 자성 이온 사이의 직접교환은 약한
반면 이들의 사이에 낀 산소 이온(O2-
)을 매개로 한 상호작용이 강하게 일어나는데 이를
초교환 상호작용(super exchange interaction)이라 한다. 즉 자성 이온의 d-궤도전자는 이온에
결합되어 있으나 자성 이온을 에워싼 이온들에 의한 강한 전장(결정장, crystal field)의
영향아래 놓여 있다. 산소 이온의 2p-궤도는 자성이온을 향해 뻗어 있어서 두 자성 이온 M1,
M2와의 선형 결합 M1-O-M2에 공유된 두 개의 전자는 Pauli의 배타율에 의해 반평행하므로
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결과적으로 M1과 M2의 스핀의 방향은 반평행하게 되어 반자성체가 된다. 한편 M1-O-M2
결합의 각도가 선형(180)에서 벗어나면 음의 초교환은 점차 약해지고, 결합각이 직각(90)에
가까워지면서 양의 초교환이 일어나 이웃한 자성 이온의 스핀은 평행하게 배열된다. Fe3O4와
같은 스피넬형 산화물의 경우에는 산소 이온이 만드는 4면체(tetrahedral)의 중심 및
8면체(octahedral)의 중심에 위치한 Mtet 및 Moct가 있어서 선형 결합에 가까운 Mtet-O-
Moct에서는 스핀이 반평행하게 배열되고, 직각에 가까운 Mtet-O-Mtet 또는 Moct-O-
Moct에서는 평행 배열하는 경향을 가진다. 따라서 이 경우 총 자기 모멘트는 Mtet-O-Mtet 와
Moct-O-Moct의 자기 모멘트의 차이 값으로 주어지며 이를 페리자성(ferrimagnetism)이라 한다.
그림 5.9에 교환 상호작용에서의 스핀 배열을 모식화하여 나타내었다.
1) 직접교환 상호작용
J > 0 J < 0
2) 초교환 상호작용
O
M1 M2
2p
M1(↑)-O-M2(↓): 반평행
M1(↑)Ⅰ : 평행O-M2(↑)
그림 5.9 결정 내의 자성원자간의 교환 상호작용
한편 가넷, 사방정계 페라이트 등을 구성하는 희토류 이온에서는 f-전자의 궤도반경이
원자간 거리에 비해 작아서 결정장의 영향이 약하므로 궤도자기 모멘트가 소멸되지 않고
결정의 자화에 기여한다.
[자성원자의 분류]
1) 3d-천이원소(transition elements): 주기표 상에서 원자번호 19≤Z≤30인 K~Zn 계열은
구대칭인 3d-전자궤도에 비해 양자수가 높고 납작한 4s-궤도의 일부분이 원자핵에
근접하여 보다 낮은 에너지상태를 가진다. 그 결과 3d-궤도에 10 개의 전자가 다
채워지기 전에 4s-궤도가 차기 시작하므로 이 계열의 원자는 부분적으로 채워진 3-
d궤도를 가지는데 이를 3d-천이원소(transition elements)라고 한다.
2) 4d-천이원소 및 5d-천이원소: 37≤Z≤47인 Rb~Ag 계열은 4d- 와 5s-궤도 사이에 3d-
천이원소와 유사한 전자배열이 일어나 부분적으로 채워진 4d-궤도를 가지며, 72≤Z≤80인
Hf~Hg 계열에서는 5d- 와 6s-궤도 사이에서 같은 이유로 5d-궤도가 전자에 의해
부분적으로 채워진 구조를 가지는데, 이를 각각 4d-천이원소 및 5d-천이원소라 부른다.
3) 한편 57≤Z≤71인 La~Lu에서는 낮은 양자수의 4f-궤도가 다 차기 전에 5s, 5p, 5d, 6s-궤도가
채워져 4f-궤도가 전자에 의해 부분적으로 채워진 구조를 가지는데, 이를 특히
희토류원소(rare-earth elements)라 부른다.
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이들 천이원소 및 이온들은 주기표 상의 규칙에서 벗어난 화학적 성질을 가지는데, 통상
자성원자라 함은 이들 중 어느 한 계열의 원자를 지칭하는 말이다. 이 그룹에서 주목할
계열은 3d-천이원소로서 이들 원소를 주성분으로 한 고체에서는 천이원소의 3d-궤도 부각이
주변 원자 또는 이온의 전기적 영향(이를 결정장(crystal field)이라 한다.)을 강하게 받아
궤도자기 모멘트가 소멸되고 결과적으로 스핀 자기 모멘트만을 가지게 된다. 따라서 이들
원자 또는 이온의 총 자기모멘트(mt)는 식 (5.28)에서 L=0으로 두고 mt = -2B·S 즉 3d-
궤도 내에 평행 배열된 스핀의 수에 B를 곱한 값으로 주어진다. 표 5.2에 3d-천이원소의
이온상태에 따른 자기 모멘트값을 정리해 나타내었다.
표 5.2 3d-천이원소의 이온상태에 따른 자기 모멘트
3d-궤도의 전자수 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2가 이온
3가 이온
4가 이온
Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn
Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn -
V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn - -
자기 모멘트(B) 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0
<Paramagnetic Materials> 상자성 물질
Spin and orbital magnetic moments are randomly distributed, and are uncoupled.
Origin: Competition of thermal energy (driving force of randomness) and exchange interaction
(driving force of arrangement).
예를 들어 자기 모멘트 m (또는 자기 쌍극자 모멘트 Pm)이 자장 H 속에 놓였을 때의
자기 포텐셜 에너지 Em과 토크(torque) T는
m o o ; = E m H T m H (5.32)
Em과 T는 각각 최소값 및 0을 향해 자기 모멘트를 구동시키므로, 자성체 내의 이웃한
원자(이온) 사이의 스핀은 평행하게 배열하려는 경향을 가진다. 이와는 반대로 주어진
온도에서의 열에너지는 스핀을 무질서화하려는 구동력을 발휘하므로, 자성체의 스핀 정렬은
이 두 작용의 경합에 의해 결정된다. 이를 확률(P)로 나타낸 것이 Langevin 이론으로서
상자성체의 자화의 온도 특성을 잘 설명해 준다. 즉 온도 T에서 스핀이 평행 정렬할 확률
P는 온도에 대해 지수 감소한다.
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Hext
Pm
Hext
Pm
Antiparallel:
Em = oPmH
Parallel:
Em = -oPmH
+d
r
om exp = exp E
PkT kT
m H (5.33)
이 이론으로 ferromagnetic (low T) paramagnetic (high T) transition의 상전이 거동을 설명할
수 있다.
Exp 5-6) Hext = 106 [A/m], Pm = 3B인 자성원자의 스핀이 반평행 상태에서 평행 정렬되는 데
따른 퍼텐셜 에너지 Em의 감소폭을 계산하여라.
m o m o m o m = 2E P H P H P H (5.34)
계산하면 E = 2410-79.2710
-2410
6 = 7.0110
-23J.
즉 스핀 정렬에 동반되는 에너지 감소는 7.0110-23
J
이다. 한편 상온에서의 스핀 정렬과 무질서 분포의
경합의 정도는 /E kT 값으로부터 추정할 수 있다.
E kT 7.0110-23
/(1.38110-23300) = 0.0169. 즉 이
자성원자에서 상온 magnetic ordering이 일어날 확률은 희박하다.
[Curie’s law]—Langevin theory of paramagnetism
Ass.) Non-interacting magnetic moments (no coupling) & Boltzmann statistics applicable.
The probability of an electron occupying an energy state E, p(E):
o cosθ( ) exp exp
mHEp EkT kT
(5.35)
For isotropic material, dn, the number of moments,
pointing their vector heads between 3-D solid angles and
+ d is proportional to the corresponding surface of the
sphere dA:
2 2
0 θ sinθ φ 2 sinθ θ dA rd r d r d
(5.36)
2 = 2 sinθ θ : dn C r d C normalizing constant (5.37)
식 (5.37)에서 C는 모멘트의 밀도를 정의하는 보정 상수로서, 가상 구의 반경을 1로 두
면 1이 된다. 따라서 식 (5.35)와 (5.36)을 적용하면 자기 모멘트(간단히 자성체의 스핀)가
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0 1 2 3 4 5 6 70
1.0
0.6
0.4
0.2
0.8
L(
)
Fig. 5.10 Langevin function L().
~ +d 사이의 방향을 가리킬 확률 p()d는 다음과 같다.
o
o0
cosθexp sin
( ) cosθ
exp sin
mHd
kTp d
mHd
kT
(5.38)
한편 스핀 m이 자장 H와 교각 로 교차할 때의 자장 방향 성분은 cosθm 이므로, 자성
체의 단위 체적에 포함된 전 스핀에 의한 자기 모멘트의 크기 즉 자화 M은 식 (5.38)을
반경 r =1인 반구(hemisphere: 0 )에 대해 적분하여 다음과 같이 얻어진다.
o0
0 0o
0
cosθcosθsinθ exp θ
cosθ cosθ = cosθ ( ) = cosθ
sinθ exp θ
N
mHNm d
kTM m dn Nm Nm p d
mHd
kT
(5.41)
식 중의 o = mH kT , cos = x & -sind = dx로 치환하면 다음 관계식을 얻는다.
2
-11 1
1 1-1 1
1
exp ( ) ( ) = = coth
( )exp
Nm x x dx e e e eM Nm Nm
e ex dx
(5.42)
식 중의 괄호 내의 함수
coth 1 = ( ) : -1 ( ) 1 L L 는
Langevin 함수라고 불린다. 그림 5.10
에서 보듯이 이 함수는 값이 증가함
에 따라 1에 점근하며, 가 매우 작을
때는 기울기 1/3인 직선으로 근사할
수 있다.
그러나 이 ( )L =1은 강자장 아래
서 모든 자기 모멘트가 평행하게 정
렬된 상태를 의미하는 것으로, 극저온
/초 강자장 아래서만 실현될 수 있다.
즉 상온, H = 1 MA/m의 현실적 조건에서 계산하면
omH kT = 410-7B110
6/(1.38110
-23300) = 0.0028 정도로 o 1 mH kT 이
된다. 이러한 범위에서 ( )L 는 종종 다음과 같이 급수 전개된다.
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c
CT T
Tc
CT
ParamagneticFerro-magnetic
T
Fig. 5.11 Curie-Weiss law for ferro-toparamagnetic transition.
31 13 45
( ) = L (5.43)
이를 1차 근사하여 제 1항만을 취하면
2o1 coth = ( ) = 3
NmM Nm Nm H
kT
L (5.43)
또 이로부터 상자성체에서 자기 감응률 m이 온도에 반비례한다는 Curie’s law가 정의된다.
2
om =
3
M Nm C
H kT T
(5.44)
[Curie-Weiss law]
실험적으로 많은 상자성체 금속의 자기 감응률 m은 아래 식과 같은 Curie-Weiss law를
따르는 것으로 밝혀졌다(그림 5.11 참조.).
mc
= ( )
C
T T
(5.45)
즉 자기 감응률은 특정 온도 Tc 이상에서
Curie 법칙을 따르는 상자성체로 표현된다.
이 Tc를 Curie 온도라 하여, 강자성-상자성의
전이온도로 정의된다. 한편 반강자성-상자성
의 전이를 나타내는 물질의 경우, 이 온도가
실제 양의 값을 갖더라도 Tc를 음의 온도라
고 간주하는데 특히 이 반강자성-상자성의
전이온도를 강자성-상자성의 전이와 구별하
기 위해 Neel 온도(Neel temperature, TN)라고
부른다.
5.3> Magnetic Domains & M(H)
* Magnetic domains (자구, 磁區) --- 양의 교환정수 J가 작용하는 물질에서는 이웃하는 자구
들이 평행하게 배열된 단위 구역을 형성하는데, 이를 자구라 한다. 이 자구 내의 자화
의 크기는 포화 자화 Ms에 해당한다. 이 자구들은 또다시 무작위에 가까운 배열을 하
여 물질 전체의 에너지 상태를 최소화하려고 하는 경향이 있다.
이와 관련한 구동력은 계의 외부로 새나가는 자속에 의한 정자기 에너지의 최소화, 자
기변형 에너지의 최소화 등이다. 이때 자구와 자구의 경계는 일정 두께를 가진 자벽
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Hext
Ms
Ms
Ms
[Fig. 5.12]
(domain wall)이 가로막고 있다. 외부 자장(Hext)이 가해질 때 이 자벽
의 단위면적당 가해지는 이동의 구동력은 정자기 에너지의 감소,
E로부터 계산된다. 즉 그림 5.12와 같은 자구구조에서 자벽 이동
에 의해 단일 자구가 형성되는 데 따른 에너지 감소
o o o ( ) 2s s sE M H M H M H 이다.
* 자화의 과정: 강자성체의 자화에는 가역과정과 비가역과정이 있
다. 가역 과정에는 자벽의 휨(domain wall bowing), 자화 반전(rotation
of magnetization)이 있고, 비가역 과정에는 자벽 이동(domain wall
movement) 및 자화 반전(rotation of magnetization)기구가 있다.
① 자벽의 휨--- 약한 자장 아래서의 자성체의 자화는 마치 자벽이 고무 막과 같은
탄성체의 부풂과 유사한 과정으로 일어난다고 가정하는 모델이다. 자벽 내에는 군데
군데 점/선결함, 제 2상 등의 결정결함이 존재하여 이들이 자벽의 손쉬운 이동을 억
제(pinning)하고 있다. 이로 말미암아 자장이 약할 때는 마치 자벽이 자장과 가까운
방향을 가진 자구에서 바깥으로 부풀어 오른 막과 같은 구조를 가진다고 본다.
② 자벽 이동--- 자벽 휨 기구에서 자벽을 고정하는 결함의 작용은 자장의 세기가 증
가하면 더 이상 효과를 발휘하지 못한다. 이 경우 자벽은 자장과 가까운 자화 방향을
가리키는 자벽의 바깥으로 이동하고 그 체적의 증가가 자화의 증가로 나타나게 되는
과정을 이른다.
③ 자화 반전--- 적당한 세기의 자장이 가해지는 동안에는 각 자구 내의 자화의 방향
은 자장 방향으로 조금만 회전한 상태(가역 과정)를 가진다. 그러나 자장의 세기가 증
가하면 자구의 자화 방향은 한 자화 용이 방향에서 되도록 자장과 가까운 다른 자화
용이 방향으로 비가역적으로 회전하여 전체 자화가 증가하게 된다.
④ 자벽의 이동이 완료(포화자화, saturation magnetization)되어 더 이상 스핀의 정렬에 의
한 자화의 증가가 지속되지 않은 채 자장의 세기가 계속 증가하면 자기변형 에너지가
변화하며, 이에 따라 자화 용이의 방향(magnetic easy direction)도 자장의 방향으로 움직
이게 된다. 따라서 자화는 이 새로운 용이 방향(자장의 방향)으로의 정렬(가역과정)에
의해 조금씩 증가한다. 이는 공간 양자화된 자기 모멘트의 세차각의 감소로도 설명할
수 있다.
이상의 과정을 자장의 세기에 따라 정리하면 약한 자장에서는 자벽의 휨이 가역적으로
일어나며, 이후 중간 크기의 자장까지는 자벽 이동(비가역)과 자화 회전(가역적)이, 강한
자장에서는 비가역적인 자화 반전이 진행된다. 그리고 아주 강한 자장 아래서는 자화 용
이 방향의 변화에 따른 자화 반전이 가역적으로 일어난다.
* 자화 곡선(magnetization curve): 자화가 순전히 가역적으로 일어나면 M-H 자화곡선은 s-
자 형의 단일 곡선(anhysteretic curve)으로 이루게 된다. 그러나, 실제 강자성의 자화는 비
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22
가역 과정이 동시에 진행되므로 자화곡선은 내부 면적을 가지는 s-자형의 루프를 그리게
되며 이를 자기 이력곡선(magnetic hysteresis loop)이라 한다. 그림 5.13에 가역 및 비가역
과정의 자화곡선을 대비해 나타내었다. 초기 곡선의 기울기는 초기 투자율(initial
permeability, i)로 정의되어 연질 자성체에서 중요한 성능의 지표로 이용된다.
rid 1 ; dMH
ri md1dMH
(5.46)
M
H
M
H
M
H
Ms
Hc
Mr
Fig. 5.13 a) anhysteretic, b) hysteresis (ideal) and c) typical hysteresis curves of
ferromagnetic materials.
a) b) c)
Ms(saturation magnetization, 포화자화) ---단자구화 된 재료가 가질 수 있는 이론적 자화
의 최대값. 이는 강자장에서의 자화의 증가 기구로 인해 직접 측정할 수 없고, 대신
포화 곡선의 접선과 M-축의 교점의 값으로 대신하는데 이를 기술적 포화자화
(technical saturation magnetization)이라 한다.
Mr(remnant magnetization, 잔류자화) ---자성체를 포화자화 시킨 후 자장을 제거하면 비
가역 자화들이 제거되지 않고 잔류되는 크기를 이른다. 자석과 같은 경질 자성체의
성능의 지표로 이용된다.
Hc(coercive field, 항전계 또는 항자력) ---재료의 잔류자화를 제거하는 데 필요한 역방
향 자장의 세기. 잔류자화와 함께 경질 자성체의 주요한 성능 지표.
loop area ---BH 곱은 에너지 단위(J/cc)로서 loop의 면적 B Hd 는 자장의 한 주기 동
안 자성체가 자화에 의해 joule열로 소모하는 에너지를 나타낸다.
MHmax (or BHmax) ---제 2사분면의 BH-곡선을 따라가며 구한 BH의 최대값(kJ/m3). 영구
자석에서 자력의 지표로 가장 중요하게 사용된다. Alnico 등 철합금의 10-30에서부터
바륨 페라이트의 30, 희토류 자석 RCo의 ~200을 거쳐 현재 Nd-Fe-B계의 >300까지
발전해 있다.
i (initial permeability, 초투자율) ---통상 약한 자장에서의 비투자율을 지칭한다. 이 성능
은 전자석용의 연질자석에서의 성능 지수로 쓰인다. 철 합금계의 수 천에서부터 비정
질 금속(metal ribbons)의 수 십만에 이르기까지 다양한 크기가 존재하며, 특히 산화물
계에서는 Ni-Zn계 및 Mn-Zn계 페라이트에서 수 천~수 만의 값을 가지는 재료가 개발
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23
Ms
M
H0
-Fe
<111>
<100>
Fig. 5.14 Magnetization of -Fe along <100>
and <111> directions.
<0001>
Ms
[Fig.5.15]
되어 있다. 이 산화물은 금속 재료와는 비교할 수 없을 정도의 높은 비저항으로 인해
매우 낮은 교류전류에서의 와전류 손실(Eddy current loss)을 나타내므로 전파 영역의
연질 자성재료로서 독보적인 위치를 점유하고 있다.
자화의 과정 중 가역 과정의 기여가 비가역 과정보다 월등히 큰 재료는 낮은 Hc와 낮
은 이력손실을 가지므로, 연질자성재료로서 유망하다. 이러한 재료는 인덕터, 트랜스포머
등의 EM core로서의 용도를 가진다. 한편 비가역 과정이 자화의 주요 기구로 작용하는 경
우는 영구자석으로서의 경질 자성재료로서 널리 쓰인다. 용도로는 전동기나 발전기의 영
구자석, 기록용 매체 등이 있다.
5.4> Rotating against Anisotropy
자기 이방성 (magnetic anisotropy) ---자성체는 그 결정구조에 따라 자화 에너지에 방향
의존성이 존재한다. 이 방향 의존성은 결정이 가진 대칭성을 그대로 반영하므로 결정 자
기 이방성 (magneto-crystalline anisotropy)이라고도 부른다. 한편 강자성체에서 자발자화는
자화 에너지가 가장 낮은 방향으로 배열되는데, 이 방향을 자화 용이축 (easy direction)이
라 부른다.
Ex) Cubic crystals:
bcc(-Fe) <100> easy direction
fcc(Ni ) <111> easy direction
Ex) Hexagonal crystals:
hcp(Co) [0001] easy direction, called
uniaxial anisotropy.
1> Uniaxial Anisotropy: 단축 자기 이방성. easy axis // c-axis
Co와 같은 육방정 강자성체에서는 자발자화 Ms가 [0001] 방향을
벗어나면 자기 이방성 에너지(magnetic anisotropic energy, Ean)가 증가
한다.
지금 자화 용이축 [0001]과 자화 Ms의 교각을 라 두면 Ea는 /2
에서 최대, 0와 에서 최소가 된다. 따라서 이를 2sin 에 대한 멱급
수(power series)로 전개할 수 있다.
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24
[001]
[100] [010]x y
z
1
2
3 Ms
Fig. 5.16 Anisotropic energy of a cubic crystal.
2 41 2 sin sin an u uE K K (5.47)
Ex) Co at room Temp.: Ku1 = 4.1105 [J/m3] & Ku2 = 1.010
5 [J/m3].
2> Cubic Anisotropy:
-Fe(bcc), Ni(fcc)과 같은 강자성체에서는 입방정
결정의 대칭요소가 자기 이방성의 대칭요소로 그
대로 나타난다. 지금 그림 5.16과 같은 cubic
symmetry를 나타내는 결정에서 자발자화 Ms와 결
정축 , , x y z 가 이루는 교각의 코사인을 각각
1 2 3, , 라 하면 결정 자기 이방성 에너지 Ean은
모든 입방정 대칭요소에 대해 같은 값을 가진다.
1 2 3 ( , , )anE f (5.48)
<특징>
1. 결정의 inversion symmetry에 의해 1 2 3, , 의 각 항의 멱수(power)들은 우수(even
numbers)만을 가진다.
2. 일반항 m ni j k 은 임의의 ( , , )m n 조합에 대해 ( , , )i j k 의 순서가 바뀐 모든 항에서
그 계수가 같다.
<Derivation>
2nd
order term: 2 2 21 2 3 1 (5.49)
4th order term:
2
2 2 21 2 3
4 4 4 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1
1
1 2
(5.50)
6th order term:
3
2 2 21 2 3
6 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 1 1 2 31 2 3
1
1 3 + 3
(5.51)
8th order term:
42 2 21 2 3 1
2
8 8 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 31 2 3 1+ 2 4 + 4
(5.52)
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25
easy-axis
Ms
Han(virtual)
<Fig.5.17a>
[Summing-up] For cubic anisotropy,
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 3 1 + + anE K K K (5.53)
K1, K2, K3 = anisotropy constants.
Ex) At room temp.,
1) -Fe(bcc): K1 = 4.8104 [J/m3] ; K2 = 510
3 [J/m3]
2) Ni(fcc): K1 = -4.5103 [J/m3] ; K2 = 2.3410
3 [J/m3]
결론적으로
1) K1> 0인 계에서는 Ms가 [100], [010], [001] 방향 즉 2 2i i j
i=j
1 ( 1,2 or 3) & 0i
일 때 최소값을 가지므로 대표방위 <100>이 easy axis이다.
2) K1< 0인 계에서는 Ms가 [111], [1 11 ], [1 1 1 ], [1 1 1 ] etc.의 방향에서 최소값을 가진다.
1 3i j k 2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 1 =1/3 <111>이 easy direction.
<이방성 자계(anisotropy field)> Han
자성재료의 자발자화 sM 가 easy-direction과 매우 근접하여
의 각을 이루고 교차할 때 자발자화에는 포텐셜 에너지의 차
를 구동력으로 하여 보다 easy-axis 방향으로 접근시키려는 토
크가 작용한다. 이는 외부 자장이 없더라도 마치 easy-direction
으로 가상적인 자장이 작용하고 있는 것과 같은 효과이다. 즉
결정의 자기 이방성 효과를 이에 상당하는 자장의 크기로 환
산한 것을 이방성 자계(anisotropy field, Han)라 한다. 각 결정에
서 이방성 자계의 크기를 식으로 나타내면 다음과 같다.
a) Uniaxial anisotropy:
2 4 21 2 1 sin sin an u u uE K K K (5.54)
이 에너지를 가상적인 자장 extH 을 이용해 등가 표현하면
2 41 1H o s o s o s 2 4!
cos 1 an an an anE E M H M H M H (5.55)
위 두 식의 2 항의 계수를 비교하면
u1
o s
2 an
KH
M
(5.56)
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26
Hext
easy-dir.
Ms
<Fig.5.17b>
Ms
x y
z
Fig. 5.18 Spherical coordinate for
cubic anisotropy consideration.
일축방향 이방성을 갖는 단일 입자에 관한 이와 같은 모델을
Stoner-Wohlfarth 모델이라 한다. 이 이론에 따르면 구형의 단축 이
방성 단일자구 입자의 M-H 곡선은 자화 용이축과 자장이 직교하면
( = /2) 자기이력이 없는 기울기(즉 자기감응률 )가 일정한 직선
을 나타내며, = 0인 조건에서는 각진 이력곡선을 형성한다. 이방성
자장은 자화의 방향을 easy-direction에 수직 방향으로 회전시키는
데 요하는 외부자장의 세기로서, 종종 단일자구 입자가 M-H 곡선
에서 가지는 진성 항자력(intrinsic coercivity, Hci)으로 평가된다.
Exp 5-7) 이방성 계수 Ku1 =3.3105[J/㎥], 포화자화 Ms=380[kA/m]인 구형의 단일자구 Ba-페라
이트 입자의 진성 항자력을 계산하여라.
해 Hci = Han = 2Ku1/oMs = {23.3105[J/㎥]}/{410
-73.810
5[A/m]} = 1382[kA/m]. 이 값은
전형적인 육각 판상의 Ba-페라이트에서 측정되는 955[kA/m]의 약 1.5배에 달한다. 이러
한 차이는 실제의 합성 조건에서 얻어지는 두께가 얇은 판상의 입자 내부에 두께 방향
으로 형성되는 반자장(demagnetizing field, Hd)에 의한 유효 자화의 감소에 기인한 것으로
이를 형상 자기 이방성(shape anisotropy)이라 한다.
b) Cubic anisotropy:
그림 5.18과 같은 구좌표계를 설정하자. <100>
에 sM 가 근접한 경우: 에 대해
1
2
213 2
sin cos cos
sin sin sin
cos 1
(5.57)
이 관계식을 (5.53)에 적용하면
24 2 2 2 2 21
1 12 sin cos 1 anE K K
(5.58)
이 식은 (5.54)와 같은 형이다. 따라서 이 경우
도 이방성 자계는 (5.56)과 같다.
<111>에 sM 가 근접한 경우: zz(=<111>)의 좌표변환과 관계식을 이용. 에 대해
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27
그림 5.19 강자성체에서의 자발자왜(b) 및 자장인가시의 포화자왜(c)를 설명하는 1차원 모델
a) 상자성 상태 (T>TC)
b) 자구 형성과 자발자왜 (T<TC)
c) 전장 인가에 의한 포화자왜
e
e/3
21 1 1 11 22 6 3
21 1 1 12 22 6 3
22 1 13 3 23
cos + sin + 1
cos + sin + 1
sin + 1
(5.59)
이 식을 (5.53)의 제 1항에 대입하여 근사하면
21 21 13 3
anE K K (5.60)
u1
o s
4 3an
KH
M (5.61)
<자왜(magnetostriction)>
강자성체가 가지는 또 다른 특이 현상으로 자왜(magnetostriction, . 자기 변형이라고도 함)를
들 수 있다. 자왜란 자성체가 외부로부터 인가되거나 그 내부의 자구에 의해 형성되는 자장
의 영향으로 치수의 변화가 일어나는 현상을 이르는데, 전자를 자계 유기형 자왜, 후자를 자
발자왜(spontaneous magnetostriction)로 구별해 부른다. 자왜의 원인은 강자성체의 자발자화에
의해 형성하는 자구와 그 이동에 있다. 즉 격자 내에 인접해 배열된 자기 모멘트 사이의 인
력과 척력에 의한 변형과, 이 상호작용력이 자장의 인가 방향에 따라 변화하는 결과가 자왜
로 나타난다.
Ms
1O
e
cos
e cos
ecos2
P
PP
A
B
xx
yy
zz
그림 5.20 입방정 자성체 구에서의 자왜
그림 5.19와 같은 1 차원 모델을 고찰해 보자. a)는 큐리 온도 이상의 상자성 상태에서의 자
성체의 치수( ℓ )를 나타낸다. 이 자성체가 큐리 온도 이하에서는 자발자화에 의해 자구를 형
성하고 이들 자구가 무작위로 배열되어 b)와 같은 모양으로 늘어난다. 여기에 외부로부터 자
장을 가하여 자구를 자장의 방향으로 정렬시키면 포화자화에 이르러 총 변형률(strain, ∆ℓ / ℓ ) e
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가 b)의 세 배에 이르게 되는 포화자왜(saturation magnetostriction, o)가 일어난다. 이를 2, 3 차
원으로 확대하면 자왜는 일반적으로 자발자화의 방향으로는 양의 값 즉 늘어나고 이와 수직
한 방향에서는 재료의 Poisson 비의 정의에서처럼 음의 값 즉 수축함을 예상할 수 있다. 물론
드물게 이와 반대의 경향을 보이는 재료도 있다.
이 자왜를 보다 엄밀히 정의하기 위해 그림 5.20과 같은 자성체 구를 고려하자. 상자성 상
태에서 구의 반경을 1(unity)이라 하고, 이 구가 강자성으로 변화하면서 자발자화가 x-축 방향
으로 포화되어 그 변형률이 e (=∆ℓ / ℓ )인 타원구가 되었다 하자. 지금 자왜를 측정하는 방향을
직선 AB 로 나타내어 이것과 자화의 교각을 라 두면 구의 표면의 한 점 P가 변형에 의해 P
로 이동했을 때 변형은 ' cosPP e 이고, 이 때의 구의 반경 OP 의 변화 "PP 를 AB 방향
으로 측정하면 2 cose 로 근사된다. 따라서, 그림 5.19 b)의 상태와 같이 자성체의 자
구가 무작위 방향으로 분포되어 있는 탈자 상태에서의 평균 변형률 즉 자발자왜는 다음 식으
로 표현된다.
/2 2
o0
cos sinavg
e d
1 2
0:
3ee t dt ( cos )t (5.62)
즉 강자성체의 자발자왜는 단결정, 다결정 모두에서 총 변형률의 1/3값을 나타낸다. 따라서
자성체의 포화자왜는 총 변형률 e에서 이 자발자왜를 뺀 값으로 다음과 같이 정의된다.
2 3S
sat avge (5.63)
이 자왜현상은 그 크기가 10-6~10-5
정도로 재료의 열팽창계수와 비슷하지만 재료의 자기적
특성 특히 연질 자성재료의 투자율에 큰 영향을 미친다. 따라서 자성재료를 이용한 소자의
설계에서 TV 브라운관의 요크 코어(yoke core)와 같이 치수가 큰 소자의 경우 이러한 자왜의
영향이 적절히 고려되어야 한다.
한편 자왜는 외부 자장의 방향과 크기에 따라 달라지는데 이는 자성체 내의 자구의 정렬에
따른 자화 과정과 유사하다. 그림 5.20에서 AB 방향으로 자장이 가해진다면 이 방향의 변형
률 2 cose 이므로, 자장 방향의 포화자왜 S()는 자발자화와 자장의 교각 의 함수
로 다음과 같이 정의된다.
2 231 1 ( ) cos cos 3 2 3S Se (5.64)
포화자왜의 최대값 S는 큰 자장이 자발자화의 방향 즉 = 0로 인가될 때 얻어지는데, 실제
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자성체에서는 단결정의 단위 방향에 대해 스트레인 게이지로 측정한 자왜를 이용해 표현된다.
즉 입방정의 경우[100], [111] 방향의 자왜 100과 111로부터 다음과 같이 정의된다.
2 2 2 2 2 2100 1 1 2 2 3 3 111 1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1
3 1 3 2 3S (5.65)
식 중의 1, 2, 3는 각각 자발자화와 입방정의 주축 x, y, z와의 방향 코사인(direction cosines)을,
1, 2, 3는 각각 자왜 측정방향과 입방정의 주축 x, y, z와의 방향 코사인(direction cosines)을 나
타낸다. 이 식을 보다 간략히 표현하기 위해 자발자화와 자장의 인가 방향을 일치시키면
2 2 2 2 2 2100 111 100 1 2 2 3 3 1 3 S (5.66)
으로 변화한다. 한편 다결정체에서는 관측 방향에 무관하게 등방적인 자왜가 관측되는데, 그
크기는 결정의 각 방위에 대해 식 (5.66)의 값을 평균하여 다음 식으로 표현된다.
100 11132 :
5 5S polycrystals (5.67)
자화와 자왜의 상관성은 그림 5.20에서 자화의 관측 방향성분 cossM M 를 이용해 구한다.
2
2s s
s
3 3 cos 2 2
MM
(5.68)
Exp 5-8) 입방정 자성체 단결정에서 자화의 방향이 각각 [010] 및 [110] 방위로 자장을 가하여
포화시켰을 때의 자왜의 크기 010 및 110를 결정하여라.
해 i) 먼저 방위 [100]으로 초기 자화가 된 상태에서 각각 [010] 및 [110] 방위의 자왜를 구하
면 1=1, 2=3=0이고, ① [010] 방위로는 1=3=0, 2=1이므로 식 (5.65)에서 010 = -½ 100이
다. ② [110] 방위로는 1=3=1/2, 2=0이므로 110=¼ 100이 된다. 즉 100이 양의 값일 경우
[010] 방위로는 그 반만큼 수축하고, [110] 방위로는 그 ¼ 만큼 늘어난다.
ii) 이제 각각 [010] 및 [110] 방위로 자장이 가해진다고 두면 ① [010] 방위로는 초기의 -
½ 100에서 결정의 대칭 구조상 [100]과 동일한 100만큼 늘어날 것이므로 결국 010 = 100-
(-½ 100) =3/2100이다. ② 한편 [110] 방위에 대하여는 이제 1=2=1=2=1/2, 3=3=0이 되
고, 따라서 110=1/4100+3/4111-1/4100 = 3/4111이 된다. 식 (5.65)에 등방 자왜 조건
100=111=S를 대입하면 식 (5.64)가 얻어짐에 주목하라. 자왜를 이용한 대표적인 전기 소
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N
S
Hd= NdMs
Fig. 5.22 Demagnetizing
field Hd in a pole.
자로 초음파 진동자가 있다.
5.5> The Domain Wall (자구)
자벽이 가지는 여분의 에너지에 관한 고찰.
Type of domain wall: 180o domain을 가정하면 wall의 좌우에서 m은 반대 방향.
1) Bloch wall ---rotation of m // wall. 주로 bulk형 강자성체에서 관찰됨.
2) Neel wall --- rotation of m wall. 주로 thin film 등에서 관찰됨.
wall thickness
wall thickness
a) Bloch wall b) Neel wall
Fig. 5.21 Structure of magnetic domain walls.
Domain wall thickness, 를 지배하는 요소
1. anisotropy constant, K --- spin이 easy-axis에서 벗어나는 정도에 따라 부가되는 에너지
증가의 척도이므로 가 얇을수록 유리함.
2. exchange constant, A --- A [J/m]는 이웃하는 spin이 평행 정렬에서 벗어남에 따라 부가
되는 에너지 증가의 척도이므로 가 두꺼울수록 유리함.
[Simple theory of micro-magnetism] for reference’s sake
Total energy of a ferromagnet of finite size, Et:
t magn ex anE E E E E (5.69)
식 중의 Emagn = free pole(N-S)의 magnetostatic energy이고,
나머지는 이를 보상하는 에너지로서 Eex = exchange E, Ean
= magnetocrystalline anisotropy E, E = magnetoelestic E or
magneto-strictive E이다.
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S
S
S
S N
N
N
N
Fig. 5.23 Spin reorientation to eliminate
magnetostatic energy Emagn.
1) Emagn: free-pole의 내부 반자장
(demagnetizing field)을 Hd, pole의 체적
을 m이라고 하면
2 21d s m m2
: for thin diskmangE N M r d (5.70)
Eliminating Emagn by the spin-reorientation (Fig. 5.23):
0 ( n o f r e e p o l e s ) M Emagn = 0. 이 경우 Eex는 증가한다.
ex o i j
i, j
2 E m m (5.70)
이웃한 임의 쌍의 스핀 i j, s s 사이의 교환 에너지 wij는
ij i j2w J s s (J = exchange integral. >0 for ferromagnets) (5.71)
이 교환 에너지는 이웃한 전자들의 궤도 운동의 교환 가능성에 의한 양자역학적인 에너
지 증가분이다. 교환 적분 J는 강자성체의 큐리 온도 Tc의 함수로 주어진다. 즉
c0 . 5 4J k T for s.c.lattice & s = 1/2. (5.72)
c0.34J kT for bcc lattice & s=1/2.
c0.15J kT for fcc lattice & s=0 etc.
Ex) s = 1 for -Fe (3d8). J = 0.151.38110-23
1043 = 2.1610-21[J].
Ex) ij between i j & s s is small:
2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2
2 2
2 cos 2 [cos ( ) sin ( )] 2 [1 2sin ( )] 2 [1 2( ) ]
= , .
W JS JS JS JS
JS Const like strain energy
[교환 정수 A를 정의하는 1-D 모델] for reference’s sake
그림 5.24와 같은 모델에서 공간 상의 점 P와 Q에서의 두 스핀 is 와 js 의 단위벡터를
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32
jrP QQ
i ; s a j; 's a
Fig. 5.24 Interaction of two adjacent spins.
각각 , a a' 라 하고 두 단위벡터 사이의 거리를 벡터 jr 라 두고 이들의 교환 에너지 ijw
를 고체 전체로 확장하여 결정의 교환 에너지 Eex를 구하여 보자.
j j j j = < , , z >x yr
2 2 2
2 2 2
j j j
2 2 21j j j2!
+ +
+ + + +
x y z
x y z
x y z
x y z
a a a
a a a
a a'
(5.73)
i jcos '; ; s s s sa a a a'
따라서 임의의 스핀 is 와 이를 에워싼 z-nearest
neighboring(n.n) 스핀 js 사이의 교환 에너지 Eex는 결정의 inverse symmetry에 의해 1차 미
분항은 서로 상쇄되어(즉 Q에 대응하는 Q의 존재를 고려하면)
2 2 2
2 2 2
z z2 2 2 2ex ij j j ji=1 i=1
+ + x y z
E w JS x y z
a a aa a a (5.74)
Cubic symmetry: 2 2 2j j j1 1 1
z z z
j j jx y z
Ex) sc lattice 6 22 2
j1 6 6
jx a a
; bcc
28 32 2
j 21 8 6
jx a a
;
fcc 2
12 22 2j 21
12 6 j
x a a
. 즉 cubic system에서는 단위정의 크기를 a라 두면
모든 경우에 2 2j1
6z
jx a
가 성립한다.
Number of atoms / cubic unit cell, = 1( ), 2( ), 4( )n sc bcc fcc
Sum-up over all the atomic pairs /unit volume:
2 2 2
2 2 2
22 2 2ij 1
ex ij ji j j j3 2j=1
3( - - ) + + z
x y z
w nJSE n w w double count x y za a
a a aa a a
Using the following vector calculation
2 22 2 2
2 2 2 = 2 = 0 = = a
x x xx x x
' ' "a a a a a aa a + a a a
2 22 2 2 22
ex3 = nJSE A
a x y z x y z
a a a a a a (5.75)
[Meaning of the parameters in eq. (5.75)]
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33
A [J/m]: exchange stiffness const. (교환 정수). A = 3nJS2/a for cubic system
1.
n [#/cell]: magnetic atom density / unit cell(a3).
a: unit cell size.
J: exchange integral.
S: spin quantum number.
[(a/x)2 + (a/y)
2 + (a/z)
2 ] : quantity equivalent to lattice strain.
<Domain Wall Energy>
2W 의 결과는 이웃한 스핀들 사이의 교각 가 작을수록 즉 자벽이 두꺼울수록 교
환적분 에너지가 적으므로 유리함을 나타낸다. 그러나 자벽 두께의 증가는 이방성 에너지
의 증가를 초래하므로, 둘 사이의 절충점에서 자벽의 평형이 이루어진다. (그림 5.25)
Ex) sc lattice. Spin이 N atomic layer에 걸쳐 만큼 변화한다면(180o domain) 격자상수를 a로
두어 이웃한 스핀 사이의 교각 ij: ij = N .
임의 원자 층의 원자 면밀도[m-2] = 1/a
2. 따라서 자벽 단위면적당 N/a
2개가 할당된다. 이로
부터 domain wall 단위면적당 교환에너지, ex 는
2 2
2 222 1
ex ij 2 = (wall thickness)N N
a a
JSw JS Const
N a N
(5.76)
한편 자벽의 이방성 에너지 an 은
an K Na (5.77)
E-최소화 조건: 2 2
tot ex an 2 +
JSK Na
a N
(5.78)
The equilibrium thickness :
2 22tot
32 2 = = 0 =
N
JS AJSK a NKa a Ka N
(5.79)
ANaK
(5.80)
tot ex an 2 : ( = = )A K A K (5.81)
1 참고서적 등에는 A = nJS2/a로 되어 있으나, 이 경우 cell은 통상의 unit cell의 체대각선을 a로 두어
2 2j1
2z
jx a
인 경우에 해당한다. 따라서 이 경우는 n = 33 (sc), 63 (bcc), 123 (fcc)이 되어야 한다.
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Do
mai
n W
all
Ener
gy
, t
ot
0Wall thickness,
tot = 0
tot
ex
an
2
= equil
JS A
Ka K
2
= 2mintot
AKNa AK
Na
tot = 0, At
Fig.5.25 Equilibrium magnetic domain wall energy and thickness.
실제 자성재료에서 교환정수 A는 그다지 크기가 변하지 않으나, 이방성 정수 K는 수천
배 이상 차이가 있다. 예를 들어 비정질 합금계(amorphous alloy)와 같은 연질 재료는 K가
작아서(low-K material) 가 10㎛ 이상으로 두꺼우나, 희토류 자석(rare-earth magnets)과 같이
K가 큰 재료에서는 는 불과 10㎚ 이하에 지나지 않는다. 따라서 두 물질의 자벽 에너지
의 비 high K low K 는 103배 이상 차이가 난다.
Ex) 자벽 단위면적당의 에너지:
tot (J/m2)은 전체 자벽 두께()에 대한 값이므로 이를 로 나누면 단위체적당의 자벽 에
너지(J/m3)로 환산된다. tot = 2 / 2A K A K K .
5.6> Harder and Softer
1) 미세구조의 불균일성이 자벽 이동에 영향을 미침:
입계(GB) ---불규칙한 원자배열, 화학적 변화(ex. 편석) 등에 의해 A, K, 가 변화함.
제 2상
축적된 결함 ---point defect cluster, pore, dislocation
[Potential 이론]
위에 열거한 요소들이 자벽의 이동을 방해하는 요소로 작용하므로 연질 자성체에서는
되도록 없어야 하고, 경질 자성체에서는 자화의 크기를 손상하지 않는 범위 내에서 많을
수록 항자력이 높으므로 바람직하다. 자벽 이동에 대한 퍼텐셜을 모식도로 나타낸 것이
그림 5.26이다. 그림의 패인 곳(-dips)은 상대적으로 낮은 에너지 상태이므로 자벽을 당기
는 작용을, 솟은 곳(-bumps)은 높은 에너지 상태이므로 자벽을 밀어내는 작용을 하는 것
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-dip-bump
PEDomain Wall
moving direction
Fig. 5.26 Potential theory for domain
wall movement.
으로 간주된다. 이러한 작용이 자장을 인가했을 때 자벽의 원활한 이동을 방해하므로 항
자력(Hc)의 증가 원인이 된다.
일반적으로 경질의 경우 high-K, high-,
narrow- 등의 성질을 가지며, 다양한 불균일
성(inhomogeneities, ~ size) 이 자벽에 큰 힘
(d/dx)을 미쳐 그 이동을 방해한다.
한편 연질 자성체의 경우는 low-K, low-
및 wide-의 구조를 가지므로, 자벽에 미치는
작용력(d/dx)은 작다.
경질 자성체(hard magnetic materials)는 high-
K 물질이라고도 할 수 있는데, 미세구조의
불균일성을 높여(선결함 농도를 높이거나 결정립을 미세화) 이력특성을 크게 함으로써
(BH)max가 크고 Hc가 높은 영구자석, 기록용 매체 등을 만들 수 있다.
반면에 연질 자성체(soft magnetic materials)는 low-K 물질이라고도 할 수 있는데, 미세구
조의 균일성을 높여(결정립을 크게, 불순물 함량을 낮추고 제 2상의 생성을 억제) 이력특
성과 Hc가 매우 낮은 전자석용 자심(magnetic core)으로 사용된다.
결론적으로 자성재료는 유별나게 구조에 민감한(structure-sensitive) 재료이다.
오늘날 널리 사용되고 있는 이들 부류의 자성재료를 나열하면 아래와 같다.
1) 경질 자성체: BaFe12O19 (BaO6Fe2O3), SrFe12O19 (SrO6Fe2O3), Nd2Fe14B, SmCo5. 결정구조는
주로 hexagonal로서 높은 일축 자기 이방성을 이용한다. 입자는 매우 미세하며, Hc는
106 [A/m] 이상이다.
2) 연질 자성체: Fe-Si, Fe-Ni 등의 주조물(casts), Fe-, Co-rich amorphous metals (급속 응고체
즉 metallic ribbons), (Mn, Zn, Fe)Fe2O4, (Ni, Zn, Fe)Fe2O4 등의 산화물. Hc는 1 [A/m] 이하.
3) 주용도: 인덕터 및 트랜스포머의 자심(soft, 낮은 E 손실), 모터/스피커(hard: size
reduction)
4) recording media: Hc는 20~100 [kA/m] 이내로서, 적당한 크기의 자장에 의해 읽고 쓰기가
자유로워야 한다. 자기 테이프에는 산화철을 환원시킨 -Fe2O3 입자를, 하드 디스크로
는 기판에 진공 증착한 Co-rich metallic film을 사용하고 있다.
- End of Ch.5 -
