chap1

Series TrigonometriquesCalcul des Coefficients dune Serie Trigonometrique

Series de FourierConvergence des Series de FourierOperations sur les series de Fourier

Applications

Chapitre 1: Series de Fourier (Rappels)

Mohamed LAABISSI

Cours ENSA El Jadida

2 fevrier 2014

Laabissi Series de Fourier



Applications

Joseph Fourier ne a` Auxerre-France, le 21 mars 1768.

Grand geome`tre et physicien, il fut professeur a` lEcolepolytechnique, secretaire de lInstitut dEgypte, prefet en1802.

Elu membre de lAcademie des Sciences en 1817

Il ecrivit des ouvrages scientifiques dont le plus important estla Theorie analytique de la chaleur.

Mort le 16 mai 1830.Laabissi Series de Fourier



Applications

Sommaire

1 Series Trigonometriques

2 Calcul des Coefficients dune Serie Trigonometrique

3 Series de Fourier

4 Convergence des Series de Fourier

5 Operations sur les series de Fourier

6 Applications




Applications

Series Trigonometriques

Definition 1.1

On appelle serie trigonometrique reelle, toute serie de la forme

a0

2+

+n=1

[ancos(nt) + bnsin(nt)

](1)

avec t R, > 0, an, bn R pour tout n N.La serie (1) nest pas necessairement convergente.Exemples :

1

2+

n=1

(cos(2nt)n2

+sin(2nt)

n3

),

n=1

cos(nt)

n,

n=1

sin(3nt)n




Applications


Proposition 1.1

Si les series numeriques |an| et | bn | sont absolument

convergentes alors la serie (1) est normalement convergente sur R.

Proposition 1.2

Si les suites numeriques (an)n, (bn)n sont decroissantes etconvergent vers 0, alors la serie (1) converge simplement en toutpoint t 6= 2kpi

pour tout k Z.




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On rappelle tout dabord le crite`re dAbel :

Theore`me 1.1

La serie

un(t)vn(t) converge au point t si

un+1(t) un(t) pour tout n N,limn+ un(t) = 0,

Il existe M > 0 tel que |nk=1 vn(t) | M pour tout n N.Preuve: On va appliquer le crite`re dAbel pour les series

ancos(kt),

bnsin(kt).

?M > 0 tel que

|n

k=1

cos(kt) | M, |n

k=1

sin(kt) | M.Laabissi Series de Fourier



Applications


Cn =n

k=1

cos(kt), Sn =n

k=1

sin(kt).

Cn + iSn =n

k=1

cos(kt) + isin(kt) =n

k=1

(eit)k

= eit1 eitn1 eit =

(1 cosnt) isinnt(1+ cos(t)) isin(t) , t 6= 2kpi.

1 cos(nt) = 2sin2(nt2

), , sin[nt] = 2cos(nt

2)sin(

nt

2)

1 cost = 2sin2t2, sint = 2cos

t

2sin

t

2.




Applications


Cn + iSn =sin(nt

2)

sint2

(cos((n + 1)

2t) + isin(

(n + 1)

2t))

Ce qui implique que

Cn =sin(nt

2)

sint2

(cos(n + 1

2t), Sn =

sin(nt2)

sint2

sin(n + 1

2t).

En particulier

| Cn || sint2|1, | Sn || sint

2|1 .

On prend M =| sint2|1 pour t 6= 2kpi

.




Applications


Si la serie (1) converge en un t R. On pose cette limite f (t). Ona alors

f (t) =a0

2+

+n=1


]On a aussi :

cos(n(t +2kpi

)) = cos(nt + 2kpi) = cos(nt),

sin(n(t +2kpi

)) = sin(nt + 2kpi) = sin(nt), k Z.

Si la serie (1) converge en t alors elle converge en t + 2kpi

pour

tout k Z. De plus, on a f (t) = f (t + 2kpi

).




Applications


En particulier, si la serie (1) converge simplement sur R vers f ,alors f est periodique de periode T = 2pi

et on a

f (t) = f (t + T ), t R.Formules dEuler cos() = e

i+ei

2et sin() = e

ie

i

2i.

La serie (1) secrit

a0

2+

+n=1

an ibn2

eint +an + ibn

2eint .

En posant c0 =a0

2, cn =

anibn

2et cn = cn pour tout n 1, (1)

devient+

n=

cneint . (2)




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Definition 1.2

1 an, bn sont appeles les coefficients de Fourier reels de la serie(1).

2 cn sont appeles les coefficients de Fourier complexes de laserie (1).

3 sappelle la frequence fondamentale de la serietrigonometrique (1).




Applications

Coefficients

Si la serie (1) converge uniformement vers une fonction f sur

lintervalle [0,T ] avec T = 2pi.

f (t)cos(nt) =a0

2cos(nt) +

+k=1

[akcos(kt)cos(nt) + bksin(kt)cos

f (t)sin(nt) =a0

2sin(nt) +

+k=1

[akcos(kt)sin(nt) + bksin(kt)sin

T

0cos(kt)cos(nt)dt =

1

2

T

0cos[(k + n)t] + cos[(k t)t]dt

=

{0 si k 6= nT

2si k = n

(3)




Applications

Coefficients

T

0sin(kt)sin(nt)dt =

{0 si k 6= nT

2si k = n

(4)

T

0cos(kt)sin(nt)dt = 0 pour tout k 1, n 1. (5)

Ces expressions nous donnentT

0f (t)dt = a0

T

2,

T

0f (t)cos(nt)dt = an

T

0cos2(nt)dt = an

T

2pour tout n 1.

T

0f (t)sin(nt)dt = bn

T

0sin2(nt)dt = bn

T

2pour tout n 1.




Applications

Coefficients

an =2

T

T

0f (t)cos(nt)dt pour tout n 0,

bn =2

T

T

0f (t)sin(nt)dt pour tout n 1.

Si lon exprime f sous sa forme complexe, on aura

f (t) =k=+k=

ckeikt .

La convergence uniforme vers f implique queT

0f (t)eintdt =

k=+k=

ck

T

0ei(kn)t dt.




Applications

Coefficients

Or on a T

0ei(kn)t dt =

{0 si k 6= nT si k = n.

(6)

On obtient alors pour tout n Z

cn =1

T

T

0f (t)eintdt.

Definition 2.1

Les expressions (3)-(4)-(5) sont appelees les proprietesdorthogonalite reelles(6) est appelee la propriete dorthogonalite complexe.




Applications

Coefficients

Remarque 2.1

Les coefficients an, bn, cn sont definis pour toute fonction limite ftelle que les integrales

T

0f (t)cos(nt)dt R

T

0f (t)sin(nt)dt R.

En particulier, a` toute fonction f telle que

T

0 | f (t) | dt est finie,on peut associer une serie trigonometrique de la forme (1).




Applications

Series de Fourier

f est une fonction periodique de periode T > 0 telle queT

0| f (t) | dt est finie.

La periodicite de f entrane queT

0f (t)dt =

+T

f (t)dt, pour tout R,

=

T2

T

2

f (t)dt, pour =T2

.




Applications

Series de Fourier

Definition 3.1

Soit f une fonction periodique de periode T > 0 telle queT

0 | f (t) | dt est finie. On appelle serie de Fourier associee a` lafonction f , la serie trigonometrique

a0

2+

+n=1


]avec =

2pi

T

an =2

T

T

0f (t)cos(nt)dt =

2

T

T2

T

2

f (t)cos(nt)dt, pour n 0,

bn =2

T

T

0f (t)sin(nt)dt =

2

T

T2

T

2

f (t)sin(nt)dt, pour n 1,




Applications

Series de Fourier

Remarque 3.1

1 Periode T = 2pi. Dans ce cas = 1 et an, bn les coefficientsde Fourier reels de f .

an =1

pi

2pi0

f (t)cos(nt)dt =1

pi

pipi

f (t)cos(nt)dt, pour n 0,

bn =1

pi

2pi0

f (t)sin(nt)dt =1

pi

pipi

f (t)sin(nt)dt, pour n 1,

2 Les coefficients de Fourier complexes

cn =1

2pi

2pi0

f (t)eintdt =1

2pi

pipi

f (t)eintdt.




Applications

Exemple 1 :

Onde Carree : Soit le fonction f : R R periodique de periode 2pidefinie par

f (t) =

{1 si |t| < pi

2,

0 si pi2| t | pi

0 1 2 3 4 5123450

2

4




Applications

Exemples

c0 =1

2pi

pipi

f ()d =1

2pi

pipi

d =1

2,

cn =1

2pi

pipi

f ()eind =1

2pi

pi2

pi

2

eind

=1

2pi[ein

in]pi

2pi

2

=sin(npi

2)

npi.

En particulier, la serie de Fourier de f est

1

2+

+n=1

sin(npi2)

npi[eint + eint ] =

1

2+ 2

+n=1

sin(npi2)

npicos(nt).




Applications

Exemple 2

On conside`re la fonction g : R R periodique de periode 2pidefinie sur [pi, pi] par g(t) = t2.




Applications

Exemple 2

a0 =1

pi

pipi

t2dt =2

pi

pi0

t2dt =1

pi[t3

3]pi0 =

2

3pi2,

an =1

pi

pipi

t2cos(nt)dt =1

pi[t2sin(nt)

n]pipi

2

npi

pipi

tsin(nt)dt

=4(1)n

n2,

bn =1

pi

pipi

t2sin(nt)dt = 0.

La serie de Fourier est donc

1

3pi2 + 4

+n=1

(1)nn2

cos(nt).




Applications

Exemple 3

Onde triangulaire : soit f la fonction periodique de periode 2pidefinie par f (t) = 1 t

pipour tout t [0, pi] et f (t) = f (t) pour

tout t [pi, 0].




Applications

Exemple 3

an =2

pi

pi0(1 t

pi)cos(nt)dt =

2

pi

pi0

cos(nt)dt 2pi2

pi0

tcos(nt)dt

=2

pi[sin(nt)

n]pi0

2

pi2

pi0

tcos(nt)dt = 2pi2

pi0

tcos(nt)dt,

=2

pi2n2(1 (1)n), pour tout n 1

a0 =2

pi

pi0(1 t

pi)dt =

2

pi[pi 1

pi

pi0

tdt] = 1.

La serie de f est donc

1

2+

+n=0

2[1 (1)n]pi2n2

cos(nt) =1

2+

2

pi2

+n=0

1 (1)nn2

cos(nt)




Applications

Remarque

Pour tout n 1 et t [0,T ] , on peut ecrire lorsque an ou bn estnon nul

ancos(nt) + bnsin(nt) =

a2n + b2n[

ana2n + b

2n

cos(nt) +bn

a2n + b2n

sin

En notant Rn =

a2n + b2n = 2|cn|, on aura

ancos(nt) + bnsin(nt) = Rn[an

Rncos(nt) +

bn

Rnsin(nt)].

Comme ( anRn)2 + ( bn

Rn)2 = 1,




Applications

Remarque

Il existe un angle n tel que cos(n) =an

Rnet sin(n) =

bn

Rn. On

peut ecrire alors :

ancos(nt) + bnsin(nt) = Rn(cos(n)cos(nt) + sin(n) sin(nt),

= Rncos(nt n).

Rn sappelle lamplitude, n la pulsion et n le dephasage.lapplication n 7 Rn sappelle le spectre de la serie de Fourier def . Le spectre permet de mettre en evidence les terme quicontribuent effectivement dans la serie de Fourier. Le terme avecRn grand contribue beaucoup plus dans la serie de Fourier que leterme avec un Rn petit.




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Convergence

On rappelle, pour une fonction periodique de periode T telle queT

0 | f (t) | dt finie, la serie de Fouriera0

2+

+n=1

[ancos(nt) + bnsin(nt)] =+

n=

cneint .

Si la serie de Fourier converge alors son terme general convergevers 0.

Theore`me 4.1 (Inegalite de Bessel)

a204

+1

2

+n=1

(a2n + b2n) =

+n=

| cn |2 1T

T

0| f (t) |2 dt.




Applications

Preuve

Dautre part, on a :

1

T

T

0[

n=Nn=N

cneint f (t)]dt =

n=Nn=N

cn1

T

T

0eint f (t)dt

=n=N

n=N

| cn |2, car cn = 1T

T

0eint f (t)dt.

1

T

T

0[

n=Nn=N

cneint f (t)]dt =

n=Nn=N

| cn |2 .

1

T

T

0

n=Nn=N

m=Nm=N

cncmeinteimtdt =

n=Nn=N

m=Nm=N

cncm1

T

T

0ei(n

=n=N

n=N

| cn |2 .Laabissi Series de Fourier



Applications

Preuve

Par consequent,

n=Nn=N

| cn |2 1T

T

0| f (t) |2 dt, pour tout N 1,

et par suite la serie

n=n= | cn |2 converge si lintegrale

T

0 | f (t) |2 dt est finie.




Applications

Convergence

Remarque 4.1

1 lintegrale 1T

T

0 | f (t) |2 dt sappelle lenergie moyenne de f .2 Si lenergie moyenne est finie alors la serie

n=n= | cn |2

converge et donc limn+ cn = 0 et par suitelimn+ an = limn+ bn = 0.Ce qui secrit

limn+

T

0f (t)cos(nt)dt = 0,

limn+

T

0f (t)sin(nt) = 0,

limn+

T

0f (t)eintdt = 0.




Applications

Convergence

Linegalite de Bessel est en fait une egalite connue sous le nom delidentite de Parseval (Admis).

Theore`me 4.2 (Identite de Parseval)

Si

T

0 | f (t) |2 dt est finie, alors

a204

+1

2

+n=1

(a2n + b2n) =

+n=

| cn |2= 1T

T

0| f (t) |2 dt.




Applications

Convergence

Definition 1

Une fonction f admet une discontinuite de premie`re espe`ce en unpoint x0 si la limite a` droite de f en x0 et la limite a` gauche en x0existent et elles sont differentes.

Si la limite a` droite de f en x0 et la limite a` gauche en x0 existent,on les note respectivement :

limxx0x>x0

f (x) = f (x+0 ), limxx0x



Applications

Convergence

Theore`me 4.3 (Dirichlet)

Soit f : R R une fonction periodique de periode T > 0 telleque :

1 les points de discontinuite de f sont en nombre fini et leurdiscontinuite est de premie`re espe`ce.

2 f admet en tout point une derivee a` droite et une derivee a`gauche.

Alors, la serie de Fourier de f converge simplement vers

f (t+) + f (t)

2pour tout t

De plus la convergence est uniforme sur tout intervalle ou` f est continue.




Applications

Convergence

Sous les condition du theore`me 4.3, on a

a0

2+

+n=1

[ancos(nt) + bnsin(nt)] =f (t+) + f (t)

2

On note que

f (t) =f (t+) + f (t)

2si f est continue en t.

avec = 2piT.




Applications

Exemple 1

Onde Carree : Londe carree f definie dans lexemple precedentverifie les conditions du theore`me de Dirichlet. On a alors en toutpoint de continuite.

f (t) =1

2+ 2

+n=1

sin(npi2)

npicos(nt)

En particulier, on a

1

2+ 2

+n=1

sin(npi2)

npicos(nt) = 1, pour tout | t |< pi

2,

1

2+ 2

+n=1

sin(npi2)

npicos(nt) = 0, pour tout

pi

2



Applications

Exemple 1

0 1 2 3 4 5123450

2

4




Applications

Exemple 1

0 1 2 3 4 5123450

2

4 n=3




Applications

Exemple 1

0 1 2 3 4 5 61234560

2

4

6

2

n=5




Applications

Exemple 1

0 1 2 3 4 5 61234560

2

4

6

2

n=3

n=5




Applications

Exemple 1

Au point de discontinuite, on a

t =pi

2,

1

2+ 2

+n=1

sin(npi2)

npicos(n

pi

2) =

1

2,

t = pi,1

2+ 2

+n=1

sin(npi2)

npi(1)n = 0.

On en deduit

+n=1

sin(npi2)

ncos(n

pi

2) = 0,

+n=1

sin(npi2)

n(1)n = pi

4.




Applications

Exemple 1

Lidentite de Parseval secrit comme

1

2pi

2pi0

| f (t) |2 dt = 14+ 2

+n=1

[sin(npi

2)

npi]2, ou

+n=1

[sin(npi

2)

npi]2 =

1

8.




Applications

Exemple 2

Onde parabolique : la fonction periodique de periode 2pi definiepar : t [pi, pi] 7 t2.Toute les conditions de Dirichlet sont satisfaites. On peut ecrirealors,

1

3pi2 + 4

+n=1

(1)nn2

cos(nt) = t2, pour tout t [pi, pi].

En particulier, pour t = pi, on a

+n=1

1

n2=

pi2

6

Lidentite de Parseval donne+n=1

1

n4=

pi4

90.




Applications

Exemple 2

1 2 3 4 512345

1

2

3

4

5

1Laabissi Series de Fourier



Applications

Exemple 2

1 2 3 4 512345

1

2

3

4

5

1

n=2




Applications

Exemple 2

1 2 3 4 512345

1

2

3

4

5

1

n=3




Applications

Exemple 2

1 2 3 4 512345

1

2

3

4

5

1

n=2

n=3




Applications

Exemple 3

Onde triangulaire : la fonction paire et periodique de periode 2pidefinie par t [0, pi] 7 (1 t

pi). Le theore`me de Dirichlet implique

que

1

2+

2

pi2

+n=1

1 (1)nn2

cos(nt) = (1 tpi) pour tout t [0, pi].

si n = 2k + 1 alors (1 (1)n) = 2 et si n = 2k alors(1 (1)n) = 0. On peut ecrire

1

2+

4

pi2

+k=0

1

(2k + 1)2cos((2k + 1)t) = (1 t

pi) pour tout t [0, pi].




Applications

Exemple 3

Pour t = pi, on a cos((2k + 1)pi) = 11

2 4

pi2

+k=0

1

(2k + 1)2= 0.

Un calcul elementaire entrane que

+k=0

1

(2k + 1)2=

pi2

8.

Lidentite de Parseval donne

1

4+

1

2(16

pi4)+k=0

1

(2k + 1)4=

1

pi

pi0(1 t

pi)2dt =

1

3.

+k=0

1

(2k + 1)4=

pi4

96.




Applications

Exemple 3

1 2 3 41234

2

4




Applications

Exemple 3

1 2 3 41234

2

4

n=3




Applications

Exemple 3

1 2 3 41234

2

4 n=9




Applications

Exemple 3

1 2 3 41234

2

4

n=3

n=9




Applications

Phenome`ne de Gibbs

Details en TDs




Applications

Operations :somme

Pour une fonction periodique de periode T telle que

T

0 | f (t) | dtest finie, on note les coefficients de Fourier de f par

an(f ), bn(f ), c(f ).

Proposition 5.1 (Somme)

Si f et g deux fonctions periodiques de meme periode T telles queT

0 | f (t) | dt et

T

0 | g(t) | dt sont finies, alors pour tout R

an(f + g) = an(f ) + bn(g),

bn(f + g) = bn(f ) + bn(g),

cn(f + g) = cn(f ) + ncn(g).




Applications

Operations :translation

Pour une fonction f , on definit la translation de f par a la fonction

fa(t) = f (t + a).

Si f est une fonction periodique de periode T telle queT

0 | f (t) | dt est finie, alors fa est une fonction periodique deperiode T telle que

T

0 | fa(t) | dt est finie. En particulier, la seriede Fourier de fa est bien definie.

Proposition 5.2 (Translation)

Soit f une fonction periodique de periode T telle queT

0 | f (t) | dt est finie. Alors

cn(fa) = eina)cn(f ).




Applications

Operations :derivee

Proposition 5.3 (Derivee)

Si f est une fonction derivable periodique de periode T telle queT

0 | f (t) | dt et

T

0 | f (t) | dt sont finies, alors la serie de laderivee de f , f est bien definie et on a

cn(f) = incn(f ).

Preuve: f est periodique de periode T .

cn(f) =

1

T

T

0f (t)eintdt

=1

T[f (t)eint ]T0

1

T

T

0f (t)[ineint ]dt

= 0+ in1

T

T

0f (t)eintdt = incn(f ).




Applications

Equation des ondes

Dans cette section, nous allons etudier le proble`me de vibrationdune corde. Il sagit dune corde elastique de longueur L = 1 fixeeaux extremites x = 0 et x = 1. On suppose de plus que la cordeest soumise a` une tension T et quelle est relachee avec une vitesseinitiale nulle. Si on designe par h(t, x) la hauteur du point x de lacorde a` linstant t,




Applications

Equation des ondes

x=0 x=1

h(t,x)

Tt=0




Applications

Equation des ondes

x=0 x=1




Applications

Equation des ondes

Levolution de la vibration de la corde suit lequation suivante :

2h(t, x)

2t= v2

2h(t, x)

2x, t > 0, x ]0, 1[. (7)

ou` v > 0. On a aussi les conditions aux limites suivantes :1 a` linstant t = 0, la tension T donne a` la corde une hauteur

initiale connue h0(x). On ecrit

h(0, x) = h0(x), x [0, 1]. (8)2 Les extremites sont a` tout a` instant fixes. On a alors :

h(t, 0) = 0, h(t, 1) = 0, t 0. (9)3 La corde est relachee avec une vitesse nulle :

h(0, x)

t= 0, x [0, 1]. (10)




Applications

Equation des ondes

On prolonge la fonction h0 en une fonction impaire sur lintervalle[1, 1] et par periodicite sur R.

h0(x) =

{h0(x) x [0, 1],

h0(x) x [1, 0]On suppose que h0 est continue verifiant les conditions deDirichlet. h0 est alors continue satisfaisant les conditions deDirichlet et on a

h0(x) =+n=1

bnsin(npix), x [1, 1].

car an = 0, T = 2, =2piT

= pi et avec

bn = 2

10

h0(x)sin(npix)dx , n 1.Laabissi Series de Fourier



Applications

Equation des ondes

On commence par resoudre lequation suivante :2u(t,x)

2t= v2

2u(t,x)2x

, t > 0, x ] 1, 1[,u(0, x) = bnsin(npix), x [1, 1],u(t, 0) = u(t, 1) = 0, t 0,u(0,x)

t= 0, x [1, 1].

On cherche la solution de cette equation sous la forme

u(t, x) = un(t)sin(npix) x [1, 1].




Applications

Equation des ondes

Ce qui revient a` resoudred2un(t)d2t

+ (npiv)2un(t) = 0,un(0) = bn,un(0) = 0.

La solution est donc un(t) = bncos(npit). En superposant tous lestermes de la serie de Fourier de h0, on trouve

u(t, x) =+n=1

bncos(npit)sin(npix).


Sries TrigonomtriquesCalcul des Coefficients d'une Srie TrigonomtriqueSries de FourierConvergence des Sries de FourierOprations sur les sries de FourierApplications

0.0: 0.1: 0.2: 0.3: 0.4: 0.5: 0.6: 0.7: 0.8: 0.9: 0.10: 0.11: 0.12: 0.13: 0.14: 0.15: 0.16: 0.17: 0.18: 0.19: 0.20: 0.21: 0.22: 0.23: 0.24: anm0:

Date post:	26-Nov-2015
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chap1

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