Chapter 9 매개변수방정식과 극좌표

Chapter 9 매개변수방정식과 극좌표

이문배

건국대학교 수학과

Chapter 9 매개변수방정식과 극좌표

Contents

9.3 극좌표

9.4 극좌표계에서 넓이와 길이

Chapter 9 매개변수방정식과 극좌표

9.3 극좌표

극좌표

▶ 극점 (또는 원점)이라 부르고 O라 이름 붙여진 평면내의 한 점을잡는다.

▶ 극축이라 부르는 O에서 시작하는 반직선을 그린다. 이 극축은 항상 오른쪽으로 수평하게 그려지고 직교좌표에서 양의 방향인 x-축에 대응된다.

▶ P를 평면내의 임의의 점이라 하면 r을 O에서 P까지의 거리라 놓고 θ를극축과 직선 OP 사이의 각 (항상 radian으로 측정된다.)이라 하자. 점 P는 순서쌍 (r,θ) 로 나타내어지고 r, θ 를 P의 극좌표라 한다.

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9.3 극좌표

극좌표

▶ 만일 각이 극축으로 부터 반시계 방향으로 측정되면 각은 양이고 시계

방향으로 측정되면 음이라고 약속한다.▶ P = O이면 r = 0 이고 (0, θ)는 θ의 값에 관계없이 원점(극점)을나타낸다.

▶ 점 (−r,θ)와 (r,θ)가 O를 지나는 같은 직선위에 놓여있고 O로 부터똑같은 거리인 |r|에 있으나 O의 반대편에 놓여 있다.

Remark

▶ r > 0이면 점 (r,θ)는 θ와 같은 사분면에 놓여 있고 r < 0이면 점 (r,θ)는극점의 반대 사분면 위에 놓여 있다.

▶ 직교좌표계에서 각 점은 오직 하나의 표현을 갖지만 극좌표계에서의 각

점은 많은 표현을 갖는다.

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9.3 극좌표

Example

(1, 5π/4)의 위치를 정하시오.

풀이.

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9.3 극좌표

극좌표와 직교좌표 사이의 관계

극좌표와 직교좌표 사이의 관계는 아래 그림으로 부터 알 수 있다. 여기서극점은 원점에 대응되고 극축은 양의 x축과 일치한다.

점 P가 직교좌표 (x, y)이고 극좌표로 (r, θ)이면

x = r cos θ y = r sin θ

가 된다.

▶

r2 = x2 + y2 tan θ =y

x

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9.3 극좌표

Example

극좌표인 점 (2, π/3)를 직교좌표로 바꿔라.

풀이.

Example

직교좌표로 (1, –1)인 점을 극좌표로 나타내어라.

풀이.

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9.3 극좌표

극곡선(Polar Curves)

▶ http://www.ies.co.jp/math/java/calc/의 Polar Coordinates Simple Graph

▶ GeoGebra Applet

r = f(θ) 또는 보다 일반적으로 F (r, θ) = 0의 극방정식의 그래프는 적어도하나의 극좌표 표현 (r, θ)를 가지며 이 극좌표가 주어진 극방정식을 만족하는모든 점들로 이루어져 있다.

Example

중심 O와 반지름 2를 갖는 원을 나타낸다.

풀이.

Example

극방정식 θ = 1이 나타내는 곡선을 그려라.

풀이.

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9.3 극좌표

Example

1. 극방정식 r = 2 cos θ를 갖는 곡선을 그려라

2. 이 곡선에 대하여 직교방정식을 구하여라.

풀이.

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9.3 극좌표

Example

곡선 r = 1 + sin θ를 그려라 (심장형, cardioid)

풀이. 위 예제에서와 같이 점들의 좌표를 정하는 대신에 다음 그림처럼직교좌표계에서 r = 1 + sin θ의 그래프를 먼저 그린다.

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9.3 극좌표

Example

곡선 r = cos 2θ를 그려라 (4엽장미선)

풀이.

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9.3 극좌표

Example

곡선 r = 1− 2 cos θ를 그려라

풀이.

Example

곡선 r = 103−2 cos θ

를 그려라

풀이.

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9.3 극좌표

대칭성(Symmetry)

극방정식이 나타내는 곡선을 그리는데 가끔 대칭을 이용하는 것 도움이 된다

▶ θ를 −θ로 놓았을 때 극방정식이 변하지 않으면 곡선은 극축에 대해서대칭이다.

▶ r를 –r로 놓았을 때 또는 θ를 θ + π로 놓았을 때 극방정식이 변하지않으면 곡선은 극점에 대해서 대칭이다.

▶ θ를 π − θ로 놓았을 때 극방정식이 변하지 않으면 곡선은 수직선θ = π/2에 대해서 대칭이다.

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9.3 극좌표

극곡선의 접선(Tangents to Polar curves)

극곡선 r = f(θ)에 대한 접선을 구하기 위해서는 θ를 매개변수로 생각하고곡선의 매개변수 방정식을

x = r cos θ = f(θ) cos θ

y = r sin θ = f(θ) sin θ

로 쓴다. 그러면 매개변수 곡선의 기울기를 구하는 방법과 곱의 미분법을이용하여

dy

dx=

dydθdxdθ

=drdθ

sin θ + r cos θdrdθ

cos θ − r sin θ

를 얻는다.

Remark

▶ dy/dθ = 0 (만일 dx/dθ ̸= 0 라면)인 점들을 구함으로써 수평접선의위치를 알 수 있다.

▶ dx/dθ = 0 (만일 dy/dθ ̸= 0 라면)인 점들을 구함으로써 수평접선의위치를 알 수 있다.

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9.3 극좌표

극점에서의 접선을 찾으려면 r = 0이고

dy

dx= tan θ if

dr

dθ̸= 0

이 된다.

Example

극점에서 r = cos 2θ의 접선을 구하시오.

풀이.

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9.3 극좌표

Example

1. 심장형 r = 1 + sin θ에 대하여 θ = π/3 일 때의 접선의 기울기는?

2. 접선이 수평 또는 수직이 되는 심장형 위의 점들을 구하여라.

풀이.

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9.4 극좌표계에서 넓이와 길이

R을 곡선 r = f(θ)와 반직선 θ = a와 θ = b로 둘러싸인 영역이라 하자.(여기서 f는 양의 연속함수이고 0 < b–a ≤ 2π이다.)

▶ [a, b]를 끝점이 θ1, θ2, · · · , θn이고 폭이 ∆θ인 부분구간으로 등분하자.

▶ θ∗i를 i번째 부분구간 [θi–1, θi]에서 택하면 i번째 영역의 넓이 ∆Ai는

중심각이 ∆θ이고 반지름이 f(θ∗i )인 원의 부채꼴의 넓이로 근사된다.그러면 ∆Ai ≈ 1

2[f(θ∗i )]

2∆θ 이고 R의 넓이 A에 대한 근사값은

A ≈n∑

i=1

12[f(θi

∗)]2∆θ

▶ 극 영역 R의 넓이에 대한 공식은 다음과 같다.

A = limn→∞

n∑i=1

12[f(θi

∗)]2∆θ =

∫ b

a

12[f(θ)]2dθ

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9.4 극좌표계에서 넓이와 길이

Example

4엽 장미 r = cos 2θ의 한 개의 고리로 둘러싸인 넓이를 구하여라.

풀이.

Example

r = 3 sin θ의 내부와 r = 1 + sin θ의 외부로 이루어진 영역의 넓이를구하여라.

풀이.

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9.4 극좌표계에서 넓이와 길이

Remark단 한 점이 종종 극좌표에서 많은 표현을 갖기 때문에 두 극곡선들의 교점을

전부 구한다는 것은 어렵다. 두 극곡선의 모든 교점을 구하려면 반드시 두곡선의 그래프를 그려 보아야 한다.

Example

r = 3 sin θ와 r = 1 + sin θ의 교점을 모두 구하시오.

풀이.

Example

곡선 r = cos 2θ과 r = 12의 모든 교점을 구하여라.

풀이.

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9.4 극좌표계에서 넓이와 길이

r = f(θ), a ≤ θ ≤ b인 곡선의 길이를 구하기 위해 θ를 매개변수로 생각하고곡선의 매개변수 방정식을 다음과 같이 적는다.

x = r cos θ = f(θ) cos θ

y = r sin θ = f(θ) sin θ

θ에 관하여 미분을 하면

dx

dθ=

dr

dθcos θ − r sin θ

dy

dθ=

dr

dθsin θ + r cos θ

따라서 cos2 θ + sin 2θ = 1을 이용하면(dx

dθ

)2

+

(dy

dθ

)2

=

(dr

dθ

)2

cos2θ − 2rdr

dθcos θ sin θ + r2sin2θ

+

(dr

dθ

)2

sin2θ + 2rdr

dθsin θ cos θ + r2cos2θ

=

(dr

dθ

)2

+ r2

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9.4 극좌표계에서 넓이와 길이

Theorem극방정식이 r = f(θ), a ≤ θ ≤ b인 곡선의 길이는

L =

∫ b

a

√r2 +

(dr

dθ

)2

dθ

이다.

Example

심장형 r = 1 + sin θ의 길이를 구하여라.

풀이.