Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
214
UNIDAD VIIIº
SERIES CRONOLÓGICAS
“El ciclo económico, en favor de Fernández; Por Germán Sopeña. Coyuntura: los datos
objetivos de la marcha económica ayudan, de entrada, al equipo que acaba de ocupar su
puesto en el Palacio de hacienda.... El ingreso en un ciclo expansivo de la economía
asegura, por añadidura, que debe disminuir algo el desempleo. Aún si las cifras de la
próxima medición del Indec sólo se conocerán a fin de año, cualquier baja será un dato muy
favorable para la nueva gestión aunque no dependa directamente de la administración que
lo comenzó. Cuestión de ciclos. La mayor parte de estas circunstancias favorables para
Fernández están asociadas al cambio de ciclo en el que se encuentra la economía, pese a
que sus evidencias no sean perceptbiles aún para el común de los ciudadanos. Domingo
Cavallo se fue, probablemente en el peor momento de la economía. Caundo las cosas están
por cambiar pero aún no es fácil darse cuenta a nivel masivo y sólo son notorios los peores
efectos de la recesión del año 95 y primeros meses del 96. Fernádez llega cuando todavía no
se nota un cambio positivo pero las primeras muestras -como el dato de la recaudación-
marcan un cambio de tendencia que el Gobierno hubiera querido ver a fines de 1995 y no
recién ahora. No hay milagros. El gran problema -para ese deseo lógico de una reactivación
anticipada- es que la economía no será una ciencia exacta pero es, al menos, bastante
exacta. Qué quiere decir esto? Que una vez que se puso en marcha un ciclo recesivo, no hay
fórmulas milagrosas que permitan darlo por terminado antes de un cierto tiempo mínimo en
el cual tienen efecto las nuevas decisiones de invertir y de consumir. Algunos economistas
dicen que ese tránsito de la recesión a la expansión puede llevar 18 meses como mínimo
antes de que la población pueda percibir que se volvió al crecimiento. Eso es,
exactamente, lo que pasó en la Argentina. La economía entró en recesión en marzo de 1995
y difícilmente podía pasar a la expansión antes del segundo semestre de 1996. Allí es
cuando encontramos justamente, al nuevo ministro en su despacho....Bour no tiene ninguna
duda que el ciclo económico ya se revirtió. “La tendencia comenzó en el segundo trimestre
y sigue ahora” La nación 3/8/96
“Aún con reparos, Sacerdote -Presidente del Banco Boston y miembro del Consejo
Empresario- no ve problemas futuros en la economía y pronostica que las tasas de interés
continuarán bajando” La Nación 3/8/97
“Es necesario tomar debida nota de que mayo parece marcar un punto de inflexión
importante en la tendencia creciente de las exportaciones -caída del 3.4% respecto de mayo
del ‘96- y que, además, la tasa de crecimiento acumulada para el año está cayendo desde el
18% en el primer trimestre al 12% para los 5 primeros meses” La Nación 6/8/97.
“Ayer, desecho; hoy, tendencia: las botellas descartables pueden ser camperas, y ciertos
caños plásticos, tejidos. Incipiente, el reciclaje estrecha filas en favor de la ecología” Moda
y Belleza. La Nación 7/8/97.
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215
“Juegos y Economía según los analistas: ... Las tendencias económicas permanecen
bastante fuertes, pero hay preocupación alrededor de Brasil. Asia y los movimientos de la
tasa de interés están afectando a los mercados regionales y teniendo efecto sobre el mercado
argentino” La Nación 7/9/97.
“Mercado de valores. La Bolsa espera una señal para DEFINIR LA TENDENCIA. La alta
volatilidad fue la característica saliente de la última semana; aunque tanto loa volúmenes
como los precios registraron fuertes oscilaciones, se siguió operando con selectividad” La
Nación 21/9/97
“Soja: Una tendencia negativa evidenció el mercado a término en la última rueda de la
semana.” La Nación 18/10/97.
“Se puede absorber la tecnología sin perder la identidad Uno de los máximos gurúes de las
macrotendendias analiza lo que vendrá” Para Paul Kennedy –uno de los máximos gurúes
de las macrotendencias- el futuro está donde los pronósticos más tradicionales siempre lo
ubicaron: en los jóvenes. Se está gestando una nueva clase dirigente, formada por chicos
que son cada día más cosmopolitas y que olvidan los prejuicios de los padres sobre la
identidad nacional, frente a la globalización...” La Nación 17/9/99.
“El gas sube un 2,49% y luego queda congelado. No se cambiará la tarifa hasta 2002.
A medio camino entre las pretensiones del sector privado y del Gobierno, el gas aumentará
en un promedio del 2,49 %.....Además las partes decidieron que por dos años el precio del
servicio quede congelado. Mientras tanto, se creará un fondo de estabilización que
controlará el efecto de las variaciones estacionales del gas, basadas en la inflación
industrial de los Estados Unidos.....” La Nación 15/7/2000
“Gracias a la lluvia, en agosto bajará la luz: ..Montamat informó que la próxima revisión
de tarifas se producirá en octubre, cuando, además del estudio estacional, correspondería
aplicar el que indique la indexación según los precios minoristas de los Estados Unidos.
Negociación: Pero este sistema es parte de una negociación integral que el Ministerio de
Economía está llevando adelante con varias empresas prestadoras de servicios públicos,
como el gas y los concesionarios de los peajes, par eliminar este sistema de ajuste de
tarifas.”
DEFINICION:
Una serie temporal o cronológica, es una colección de datos reunidos sobre una
misma variable a lo largo del tiempo.Es decir es una serie que intenta mostrar la evolución
de una variable a traves del tiempo; por ejemplo: la evolución de las ventas de una compa-
ñía en los últimos años; el comportamiento de la producción agropecuaria dentro de las
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216
últimas décadas; los ingresos fiscales en una zona del país; etc. Téngase presente que uno
de los mejores predictores del comportamiento futuro de una variable es su comportamiento
pasado.
En este acápite, sólo intentamos analizar el desarrollo en el tiempo de una variable,
y no el análisis a través del comportamiento de otras variables como es el caso del análisis
de regresión.
COMPONENTES DE UNA SERIE TEMPORAL – ENFOQUE CLASICO-:
Este enfoque permite suponer que la variable Y, es función del tiempo; Y=f(t) y que
las variaciones son una resultante de cuatro componentes:
1 – Tendencia: que es el movimiento suave que experimenta la serie a lo largo del
tiempo; movimiento que puede traducirse en crecimiento ó decrecimiento a lo largo del
tiempo. La tendencia puede ser lineal, exponencial, potencial, etc. Y matemáticamente es
aquella función que mejor ajusta los datos observados, siendo conveniente la utilización del
método de los mínimos cuadrados para su obtención. La ecuación de tendencial lineal es la
más simple – a la cual nos dedicaremos- y se debería elegir este modelo cuando no hay una
curvatura evidente en la gráfica de Y referida a t. Dicha relación será de la forma:
iii tty )(
Donde representa el incremento absoluto medio de Y por unidad de tiempo.
En el caso que la tendencia refleje un porcentaje de crecimiento casi constante, será
oportuno elegir un modelo de tendencia exponencial. Ahora bien, como es ilógico suponer
un crecimiento indefinido, existe un modelo llamado de Gompertz, que proporciona un
ajuste en forma de S, -o sea asume el hecho económico que a partir de un momento
determinado tiende a declinar el crecimiento constante-.
2- Ciclo: son variaciones recurrentes que se dan en períodos o ciclos de tiempo
ligados a los auges y las depresiones propias de toda economía. Son movimientos a
mediano plazo.
En todo ciclo económico se distinguen cuatro etapas: crecimiento en concordancia
con el auge de la economía, apogeo o de prosperidad, declinación concordante con la
retracción económica y por último depresión o momentos de crisis de económica; luego de
lo cual sobreviene una nueva etapa de crecimiento o lo que es lo mismo decir el comienzo
del nuevo ciclo.
3- Estacionalidad: son variaciones propias del corto plazo, atribuibles a problemas
netamente estacionales y que por ende se presentan dentro de un período anual. Las
variaciones estacionales –superación del valor tendencial o viceversa- deben ser compen-
sadas al cabo del período anual. Tal es el caso de las ventas de algunos alimentos -como ser
helados, potajes, etc.-; de antibióticos; de vacunas; de vestimenta, otros.
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217
4- Aleatoriedad – Residual: Toda variación no contemplada –ya sea por su ocasional
aparición o por compleja identificación o medición- se engloba en esta componente. O sea,
es el valor residual, no posible de explicarse por la componente tendencial o cíclica o
estacional.
INTERACCION DE LAS COMPONENTES:
Hay dos modelos que surgen a partir de las hipótesis referidas a la modalidad de
interacción de las componentes:
Modelo Aditivo:
Modelo Multiplicativo:
Más allá del modelo elegido, en general se estima la tendencia y la estacionalidad
para corregir por medios de estos índices los valores tendenciales obtenidos. La compo-
nente cíclica requiere una serie de datos profusa, ya que debe exhibir las modificaciones
recursivas en un período de tiempo considerable, y esto es posible en la medida que exista
una conducta estadística arragaida.
Modalidad de cálculo para la determinación de la tendencia lineal: para la tendencia nos
basaremos en el método de los mínimos cuadrados, utilizado para obtener la función
regresora y en el método de los promedios móviles, que como bien lo indica el nombre
implica hallar promedios para cada uno de los períodos en base a los valores observados –
los más cercanos- y que por ser promedios suavizan la serie observada –téngase presente
que los valores extremos se diluyen al ser considerados conjuntamente con los valores
normales-
)()()()()( tAtEtCtTtY
)(*)(*)(*)()( tAtEtCtTtY
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Ejercicio 1:
A continuación se detalla la demanda de pan por semana –en Kgs.- en una cierta población:
SEMANA DEMANDA
1 1000
2 1050
3 1020
4 1090
5 1100
6 1060
7 1105
8 1045
9 1085
10 1035
11 1105
12 1045
13 1080
14 1100
15 1025
Emplear el método de los promedios móviles para suavizar la serie, con los tres valores más
recientes, y calcular el error cuadrático medio y el error del pronóstico para la semana 15.
Calcular el pronóstico para el período 16 y el error del pronóstico..
Explicación:
Debido a que no hay fluctuaciones importantes, o sea las variaciones aleatorias son
considerablemente pequeñas, es posible realizar un suavizamiento de la serie a partir del
método de los promedios móviles. Como se pide que se tengan en cuenta los períodos más
cercanos y n=3 y la fórmula a aplicar será:
3i3
y
Pm
1i
31-ii
j
j
Y el error cuadrático medio vendrá dado por la fórmula:
3-n
(y
ECM
n
4i
i
2
ipm )
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219
SEMANA DEMANDA Pmi ECM
1 1000
2 1050
3 1020
4 1090 1023,333333 4444,444
5 1100 1053,333333 2177,778
6 1060 1070 100
7 1105 1083,333333 469,4444
8 1045 1088,333333 1877,778
9 1085 1070 225
10 1035 1078,333333 1877,778
11 1105 1055 2500
12 1045 1075 900
13 1080 1061,666667 336,1111
14 1100 1076,666667 544,4444
15 1025 1075 2500
Y el error cuadrático medio resulta ser: 1496,065
El error del pronóstico para el período 15 es: 1025-1075= -50.
El pronóstico para el período 16 es: 1068,33 y el error del pronóstico no es posible calcular,
pues no se dispones del valor observado del período 16.
Gráficamente:
940
960
980
1000
1020
1040
1060
1080
1100
1120
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Promedios móviles sobre demanda de tres semanas
DEMANDA
Pmi
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Ejercicio 2:
Emplear el método de los promedios móviles para suavizar la serie dada anteriormente, con
los cuatro valores más recientes, y con los cinco valores más recientes, y calcular el error
cuadrático medio para cada caso, el error del pronóstico para cada semana y analizar cuál
es el método de pronóstico más preciso.
Explicación:
Nuevamente, debido a que no hay fluctuaciones importantes, o sea las variaciones aleatorias
son considerablemente pequeñas, es posible realizar un suavizamiento de la serie a partir
del método de los promedios móviles. Como se pide que se tengan en cuenta los períodos
más cercanos y n=4 y la fórmula a aplicar será:
4i4
y
Pm
1i
41-iji
j
j
Y el error cuadrático medio vendrá dado por la fórmula:
4-n
(y
ECM
n
5i
i
2
ipm )
Por lo tanto los valores de los promedios y los errores del pronóstico para cada semana
serán:
SEMANA DEMANDA Pmi ECM Error
1 1000
2 1050
3 1020
4 1090
5 1100 1040 3600 60
6 1060 1065 25 -5
7 1105 1067,5 1406,25 37,5
8 1045 1088,75 1914,063 -43,75
9 1085 1077,5 56,25 7,5
10 1035 1073,75 1501,563 -38,75
11 1105 1067,5 1406,25 37,5
12 1045 1067,5 506,25 -22,5
13 1080 1067,5 156,25 12,5
14 1100 1066,25 1139,063 33,75
15 1025 1082,5 3306,25 -57,5
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221
Donde el error cuadrático medio es: 1365,199
940
960
980
1000
1020
1040
1060
1080
1100
1120
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Serie1
Serie2
Promedios móviles sobre demanda de cuatro semanas
Para el caso de n = 5 se tiene:
5
i
5
y
Pm
1i
51-iji
j
j
Y el error cuadrático medio vendrá dado por la fórmula:
5-n
(y
ECM
n
6i
i
2
ipm )
Por lo tanto los valores de los promedios y los errores del pronóstico para cada semana
serán:
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222
SEMANA DEMANDA Pmi ECM Error
1 1000
2 1050
3 1020
4 1090
5 1100
6 1060 1052 64 8
7 1105 1064 1681 41
8 1045 1075 900 -30
9 1085 1080 25 5
10 1035 1079 1936 -44
11 1105 1066 1521 39
12 1045 1075 900 -30
13 1080 1063 289 17
14 1100 1070 900 30
15 1025 1073 2304 -48
Donde el error cuadrático medio es: 1052
940
960
980
1000
1020
1040
1060
1080
1100
1120
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
DEMANDA
Pmi
Promedios móviles sobre demanda de cinco semanas
Como el error cuadrático medio para n = 5 es menor que para n = 3 y n = 4 -, los
pronósticos más precisos-, parece ser cinco la mejor cantidad de semanas con datos del
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223
pasado para usarla en el cálculo del promedio móvil para la demanda del pan en la
población.
Ejercicio 3:
A continuación se detalla la demanda de carne por mes–en Kgs.- para una ciudad:
MES DEMANDA
Enero 1200
Febrero 1250
Marzo 1320
Abril 1390
Mayo 1500
Junio 1460
Julio 1505
Agosto 1645
Septiembre 1585
Octubre 1435
Noviembre 1305
Diciembre 1245
Enero 1180
Febrero 1200
Marzo 1225
Abril 1400
Mayo 1450
Emplear el método de los promedios móviles para suavizar la serie, con los tres valores más
recientes, y calcular el error cuadrático medio y el error del pronóstico para el mes de Mayo.
Calcular el pronóstico para el mes de Junio.
Graficar ambas series.
Resolución
Debido a que no hay fluctuaciones importantes, o sea las variaciones aleatorias son
considerablemente pequeñas, es posible realizar un suavizamiento de la serie a partir del
método de los promedios móviles. Como se pide que se tengan en cuenta los períodos más
cercanos y n=3 y la fórmula a aplicar será:
3i3
y
Pm
1i
31-ii
j
j
Notas de Estadística
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224
El error cuadrático medio viene dado por la fórmula:
3-n
(y
ECM
n
4i
i
2
ipm )
El error del pronóstico viene dado por Yobs. – Pm(Y)
El pronóstico para el mes de junio, está en función de los meses: marzo, abril y mayo.
MES DEMANDA Pmi Error ECM
Enero 1200
Febrero 1250
Marzo 1320
Abril 1390 1256,67 133,33 17777,78
Mayo 1500 1320,00 180,00 32400,00
Junio 1460 1403,33 56,67 3211,11
Julio 1505 1450,00 55,00 3025,00
Agosto 1645 1488,33 156,67 24544,44
Septiembre 1585 1536,67 48,33 2336,11
Octubre 1435 1578,33 -143,33 20544,44
Noviembre 1305 1555,00 -250,00 62500,00
Diciembre 1245 1441,67 -196,67 38677,78
Enero 1180 1328,33 -148,33 22002,78
Febrero 1200 1243,33 -43,33 1877,78
Marzo 1225 1208,33 16,67 277,78
Abril 1400 1201,67 198,33 39336,11
Mayo 1450 1275,00 175,00 30625,00
21366,87
El error cuadrático medio resulta ser: 21366,87 y el error de la estimación para mayo es
175.
El pronóstico para el mes de junio es: 1358,33
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Demanda de Carne mensual y Promedios móviles
0
200
400
600
8001000
1200
1400
1600
1800
Ene
ro
Mar
zo
May
oJu
lio
Sep
tiem
bre
Novi
embr
e
Ene
ro
Mar
zo
May
o
DEMANDA
Pmi
Ejercico 4:
Estos datos han sido extraídos de la serie 10 - Análisis Demográfico - editado por el
INDEC- en el mes de septiembre de 1997. Determine los pronósticos por medio de los
promedios móviles ponderados para la tasa de natalidad; con n = 5; calcule el error
cuadrático medio para cada caso, y el error del pronóstico para cada período. Calcule el
pronóstico para el período 2000-2004.
PERIODO NATALIDAD
1860-1864 36,5
1865-1869 36,2
1870-1874 35,6
1875-1879 30,9
1880-1884 28,6
1885-1889 37,8
1890-1894 42,5
1895-1899 41,2
1900-1904 36,6
1905-1909 34,5
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
226
1910-1914 33,8
1915-1919 25,3
1920-1924 22,9
1925-1929 22,4
1930-1934 19,5
1935-1939 16,9
1940-1944 17,9
1945-1949 19,8
1950-1954 22,2
1955-1959 22,7
1960-1964 23
1965-1969 25,9
1970-1974 16,8
1975-1979 17,5
1980-1984 14,6
1985-1989 15
1990-1994 13,4
1995-1999 13,4
Explicación:
Debido a que podemos aceptar, que el pasado reciente es el mejor predictor que el pasado
lejano para la tasa de natalidad, es que conviene utilizar los promedios ponderados móviles,
asignándoles a los valores más recientes mayor peso.
Ahora bien, como no se indica cuál es la cantidad de períodos a tener en cuenta,
definiremos que se tomarán 5 períodos para la generación de cada promedio; y las
ponderaciones a utilizar estarán relacionadas de la siguiente manera:
45
3
25
15
p*2p
p*3p5
p*4p
p*5p
Ahora bien, debe tener presente que las ponderaciones deben cumplir siempre con la
siguiente relación:
1p2
p
3
p
4
p
5
p5
5555
Se tiene que:
Notas de Estadística
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227
1ppppp
5
5555 2345
Resultando entonces, los siguientes valores:
137
12p
137
15p
137
20p
137
30p
137
60p
1
2
3
4
5
Y como consecuencia, se tendrá, la fórmula para el promedio móvil ponderado solicitado:
5
iypPm1i
51-iji
jjj
Y los valores de pronósticos respectivos son: PERIODO NATALIDAD Pmi ECM Error
1860-1864 36,5
1865-1869 36,2
1870-1874 35,6
1875-1879 30,9
1880-1884 28,6
1885-1889 37,8 31,64963504 37,8269892 6,150365
1890-1894 42,5 34,39708029 65,6573078 8,10292
1895-1899 41,2 37,56715328 13,1975753 3,632847
1900-1904 36,6 38,70656934 4,4376344 -2,10657
1905-1909 34,5 37,89927007 11,555037 -3,39927
1910-1914 33,8 37,10291971 10,9092786 -3,30292
1915-1919 25,3 35,93430657 113,088476 -10,6343
1920-1924 22,9 31,13430657 67,8038047 -8,23431
1925-1929 22,4 27,48686131 25,876158 -5,08686
1930-1934 19,5 25,24087591 32,9576562 -5,74088
1935-1939 16,9 22,5189781 31,5729149 -5,61898
1940-1944 17,9 19,6649635 3,11509617 -1,76496
1945-1949 19,8 18,84525547 0,91153711 0,954745
1950-1954 22,2 19,15547445 9,26913581 3,044526
1955-1959 22,7 20,22992701 6,10126059 2,470073
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
228
1960-1964 23 21,13357664 3,48353615 1,866423
1965-1969 25,9 22,02043796 15,0510017 3,879562
1970-1974 16,8 23,85839416 49,8209281 -7,05839
1975-1979 17,5 20,81678832 11,0010848 -3,31679
1980-1984 14,6 19,63065693 25,3075092 -5,03066
1985-1989 15 17,52919708 6,39683787 -2,5292
1990-1994 13,4 16,42919708 9,17603495 -3,0292
1995-1999 13,4 14,67226277 1,61865257 -1,27226
El error cuadrático medio resulta se: 24,1798021
El pronóstico para el período 2000-2004 es: 14,12408759
Gráficamente:
Tasa de Natalidad y Promedios Móviles
Ponderados
05
1015202530354045
186
0-1
864
187
0-1
874
188
0-1
884
189
0-1
894
190
0-1
904
191
0-1
914
192
0-1
924
193
0-1
934
194
0-1
944
195
0-1
954
196
0-1
964
197
0-1
974
198
0-1
984
199
0-1
994
NATALIDAD
Pmi
Ejercicio 5:
Estos datos han sido extraídos de la serie 10 - Análisis Demográfico - editado por el
INDEC- en el mes de septiembre de 1997. Determine los pronósticos por medio de los
promedios móviles ponderados para la tasa de natalidad; con n = 5; con las siguientes
ponderaciones: p1= p2=0,15, p3= p4=0,2 y p5=0,3; calcule el error cuadrático medio para
cada caso, y el error del pronóstico para cada período. Compare con el ejercicio Nº 4 y
determine cuál pronóstico es más confiable.
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
229
PERIODO NATALIDAD
1860-1864 36,5
1865-1869 36,2
1870-1874 35,6
1875-1879 30,9
1880-1884 28,6
1885-1889 37,8
1890-1894 42,5
1895-1899 41,2
1900-1904 36,6
1905-1909 34,5
1910-1914 33,8
1915-1919 25,3
1920-1924 22,9
1925-1929 22,4
1930-1934 19,5
1935-1939 16,9
1940-1944 17,9
1945-1949 19,8
1950-1954 22,2
1955-1959 22,7
1960-1964 23
1965-1969 25,9
1970-1974 16,8
1975-1979 17,5
1980-1984 14,6
1985-1989 15
1990-1994 13,4
1995-1999 13,4
Y como consecuencia, se tendrá, la fórmula para el promedio móvil ponderado solicitado:
5
iypPm1i
51-iji
jjj
Con p1= p2=0,15, p3= p4=0,2 y p5=0,3.
El error cuadrático medio viene dado por la siguiente fórmula:
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
230
5-n
(y
ECM
n
6i
i
2
ipm )
Y es más confiable aquél pronóstico que tiene menor error cuadrático medio.
PERIODO NATALIDAD
Pmi ECM Error
1860-1864 36,5
1865-1869 36,2
1870-1874 35,6
1875-1879 30,9
1880-1884 28,6
1885-1889 37,8 32,785 25,15022 5,015
1890-1894 42,5 34,01 72,0801 8,49
1895-1899 41,2 36,005 26,98803 5,195
1900-1904 36,6 37,345 0,555025 -0,745
1905-1909 34,5 37,68 10,1124 -3,18
1910-1914 33,8 37,955 17,26403 -4,155
1915-1919 25,3 36,915 134,9082 -11,615
1920-1924 22,9 32,92 100,4004 -10,02
1925-1929 22,4 29,355 48,37203 -6,955
1930-1934 19,5 26,605 50,48103 -7,105
1935-1939 16,9 23,775 47,26563 -6,875
1940-1944 17,9 20,68 7,7284 -2,78
1945-1949 19,8 19,445 0,126025 0,355
1950-1954 22,2 19,185 9,090225 3,015
1955-1959 22,7 19,66 9,2416 3,04
1960-1964 23 20,43 6,6049 2,57
1965-1969 25,9 21,535 19,05323 4,365
1970-1974 16,8 23,21 41,0881 -6,41
1975-1979 17,5 21,555 16,44303 -4,055
1980-1984 14,6 20,645 36,54203 -6,045
1985-1989 15 18,575 12,78063 -3,575
1990-1994 13,4 17,325 15,40563 -3,925
1995-1999 13,4 15,085 2,839225 -1,685
602,68 30,89218
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
231
El error cuadrático medio resulta se 30,89218 que es mayor que ECM del ejercicio Nº 4
(21,52977), por lo tanto es más confiable el pronóstico realizado por medio de los
promedios móviles del ejercicio Nº 4.
Natalidad y Promedios Móviles
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
186
0-1
864
187
0-1
874
188
0-1
884
189
0-1
894
190
0-1
904
191
0-1
914
192
0-1
924
193
0-1
934
194
0-1
944
195
0-1
954
196
0-1
964
197
0-1
974
198
0-1
984
199
0-1
994
NATALIDAD
Pmi
Ejercicio 8:
Determinación De Tendencia: Recuerde que la tendencia, es el movimiento suave de una
serie cronológica; movimiento que puede traducirse en crecimiento ó decrecimiento a lo
largo del tiempo. Utilice una metodología para determinar la tendencia lineal en la
siguiente serie de ventas de un producto. Estime el valor tendencial para el mes de julio de
1999.
1996 1997 1998 1999
Enero 65 79 90
Febrero 80 93 95
Marzo 95 102 110
Abril 115 123 130
Mayo 120 155 160
Junio 140 161 170
Julio 105 145 175
Agosto 125 155 192
Septiembre 110 135 56
Octubre 105 130 128
Noviembre 75 104 109
Diciembre 70 92 99
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
232
Explicación:
Primeramente conviene recordar que se debe utilizar el método de los mínimos cuadrados,
para determinar los parámetros de la recta que explica la tendencia de la serie de datos.
Por lo tanto las ecuaciones normales son:
delta
deltabb
delta
deltaaa
YtY*t*ndeltab
Y*tttYdeltaa
)t(t*ndelta
t*bt*aY*t
t*b a *nY
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
2
1
n
1i
i
2n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
2
1
n
1i
i
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
i
*
**
Por lo tanto la matriz de cálculo queda de la siguiente manera:
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
233
Mes Mes Ventas t*t t*Ventas
Julio 1 105 1 105
Agosto 2 125 4 250
Septiembre 3 110 9 330
Octubre 4 105 16 420
Noviembre 5 75 25 375
Diciembre 6 70 36 420
Enero 7 65 49 455
Febrero 8 80 64 640
Marzo 9 95 81 855
Abril 10 115 100 1150
Mayo 11 120 121 1320
Junio 12 140 144 1680
Julio 13 145 169 1885
Agosto 14 155 196 2170
Septiembre 15 135 225 2025
Octubre 16 130 256 2080
Noviembre 17 104 289 1768
Diciembre 18 92 324 1656
Enero 19 79 361 1501
Febrero 20 93 400 1860
Marzo 21 102 441 2142
Abril 22 123 484 2706
Mayo 23 155 529 3565
Junio 24 161 576 3864
Julio 25 175 625 4375
Agosto 26 192 676 4992
Septiembre 27 56 729 1512
Octubre 28 128 784 3584
Noviembre 29 109 841 3161
Diciembre 30 99 900 2970
Enero 31 90 961 2790
Febrero 32 95 1024 3040
Marzo 33 110 1089 3630
Abril 34 130 1156 4420
Mayo 35 160 1225 5600
Junio 36 170 1296 6120
36 666 4193 16206 81416
delta= 139860
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
234
delta a= 13728702 a= 98,16031746
delta b= 138438 b= 0,98983269
Con lo cual se obtiene la siguiente recta tendencial:
t*0.989898.16(t)y
Con lo cual se obtienen lo siguientes valores ajustados:
Mes Mes Ventas Estimacion Ventas
Julio 1 105 99,15015015
Agosto 2 125 100,1399828
Septiembre 3 110 101,1298155
Octubre 4 105 102,1196482
Noviembre 5 75 103,1094809
Diciembre 6 70 104,0993136
Enero 7 65 105,0891463
Febrero 8 80 106,078979
Marzo 9 95 107,0688117
Abril 10 115 108,0586444
Mayo 11 120 109,048477
Junio 12 140 110,0383097
Julio 13 145 111,0281424
Agosto 14 155 112,0179751
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
235
Septiembre 15 135 113,0078078
Octubre 16 130 113,9976405
Noviembre 17 104 114,9874732
Diciembre 18 92 115,9773059
Enero 19 79 116,9671386
Febrero 20 93 117,9569713
Marzo 21 102 118,9468039
Abril 22 123 119,9366366
Mayo 23 155 120,9264693
Junio 24 161 121,916302
Julio 25 175 122,9061347
Agosto 26 192 123,8959674
Septiembre 27 56 124,8858001
Octubre 28 128 125,8756328
Noviembre 29 109 126,8654655
Diciembre 30 99 127,8552982
Enero 31 90 128,8451308
Febrero 32 95 129,8349635
Marzo 33 110 130,8247962
Abril 34 130 131,8146289
Mayo 35 160 132,8044616
Junio 36 170 133,7942943
Y para el mes de julio de 1999, el valor estimado de las ventas es:
134,784127(37)y
37*0.989898.16(37)y
Ejercicio 9:
Utilice una metodología para determinar la tendencia lineal en la siguiente serie de ventas
de un postre helado. Estime el valor tendencial para el mes de junio de 2000.Estime el error
cuadrático medio del pronóstico.
1997 1998 1999 2000
Enero 205 200 190
Febrero 185 180 170
Marzo 145 152 150
Abril 115 123 100
Mayo 90 85 95
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
236
Junio 90 85 80
Julio 105 105 95
Agosto 100 105 102
Septiembre 120 135 156
Octubre 145 150 178
Noviembre 175 140 190
Diciembre 210 230 250
Por lo tanto la matriz de cálculo queda de la siguiente manera:
Mes Mes Ventas t*t t*Ventas
Junio 1 90 1 90
Julio 2 105 4 210
Agosto 3 100 9 300
Septiembre 4 120 16 480
Octubre 5 145 25 725
Noviembre 6 175 36 1050
Diciembre 7 210 49 1470
Enero 8 205 64 1640
Febrero 9 185 81 1665
Marzo 10 145 100 1450
Abril 11 115 121 1265
Mayo 12 90 144 1080
Junio 13 85 169 1105
Julio 14 105 196 1470
Agosto 15 105 225 1575
Septiembre 16 135 256 2160
Octubre 17 150 289 2550
Noviembre 18 140 324 2520
Diciembre 19 230 361 4370
Enero 20 200 400 4000
Febrero 21 180 441 3780
Marzo 22 152 484 3344
Abril 23 123 529 2829
Mayo 24 85 576 2040
Junio 25 80 625 2000
Julio 26 95 676 2470
Agosto 27 102 729 2754
Septiembre 28 156 784 4368
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
237
Octubre 29 178 841 5162
Noviembre 30 190 900 5700
Diciembre 31 250 961 7750
Enero 32 190 1024 6080
Febrero 33 170 1089 5610
Marzo 34 150 1156 5100
Abril 35 100 1225 3500
Mayo 36 95 1296 3420
36 666 5131 16206 97082
37
delta= 139860
Delta a= 18496374 a= 132,249206
Delta b= 77706 b= 0,55559846
Con lo cual se obtiene la siguiente recta tendencial:
t*0.55559846132,249206(t)y
y = 0,5556x + 132,25
0
50
100
150
200
250
300
0 10 20 30 40
Ventas
Ventas
Lineal (Ventas)
Con lo cual se obtienen lo siguientes valores ajustados:
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
238
Mes Mes Ventas Estimacion Ventas
Junio 1 90 132,804805
Julio 2 105 133,360403
Agosto 3 100 133,916002
Septiembre 4 120 134,4716
Octubre 5 145 135,027199
Noviembre 6 175 135,582797
Diciembre 7 210 136,138396
Enero 8 205 136,693994
Febrero 9 185 137,249592
Marzo 10 145 137,805191
Abril 11 115 138,360789
Mayo 12 90 138,916388
Junio 13 85 139,471986
Julio 14 105 140,027585
Agosto 15 105 140,583183
Septiembre 16 135 141,138782
Octubre 17 150 141,69438
Noviembre 18 140 142,249979
Diciembre 19 230 142,805577
Enero 20 200 143,361175
Febrero 21 180 143,916774
Marzo 22 152 144,472372
Abril 23 123 145,027971
Mayo 24 85 145,583569
Junio 25 80 146,139168
Julio 26 95 146,694766
Agosto 27 102 147,250365
Septiembre 28 156 147,805963
Octubre 29 178 148,361562
Noviembre 30 190 148,91716
Diciembre 31 250 149,472758
Enero 32 190 150,028357
Febrero 33 170 150,583955
Marzo 34 150 151,139554
Abril 35 100 151,695152
Mayo 36 95 152,250751
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
239
El ECM resulta ser:
2138,16803; y para el mes de junio de 2000, el valor estimado de las ventas es: 152,806349
Ejercicio 10:
La ANSES tiene registrado los créditos en millones de pesos y desea analizar si puede considerar
pertinente estimar linealmente el monto de los créditos en millones de pesos. A continuación se
adjuntan los datos registrados:
Mes/Año 10/13 11/1
3
12/1
3
1/14 2/14 3/14 4/14 5/14 6/14
Mill. $ 9822 9610 9550 9700 9503 9400 9052 8850 8705
Qué le aconsejaría usted, a la ANSES y en base a qué estudios realizados? Justificar
Estime el monto de los créditos en millones de pesos para agosto de 2014.
Ejercicio 11:
Una empresa de golosinas desea estudiar el efecto de su campaña publicitaria durante el
año en curso, para lo cual analiza el nivel de sus ventas trimestrales desde el inicio de la
campaña hasta el presente obteniendo los siguientes resultados:
MES T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
VENTAS ( en miles de pesos)
36 43 42 50 53 43 56 70 64 78
a) Estimar el nivel de ventas para el trimestre undécimo a partir de una ley lineal y el
desvío esperado.
Ejercicio 12:
Estimar linealmente las exportaciones de bienes primarios en millones de dólares para el
año 2010 Tabla 1.- Exportaciones de Argentina en bienes primarios. Millones de dólares.
Año 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Exportaciones de
bienes primarios en
millones de dólares 4.816 5.817 5.704 6.603 5.144 5.346 6.052 5.272 6.460
b)
Notas de Estadística
Mag. Liliana Ghersi
240
Ejercicio 12:
Con la información contenida en la siguiente tabla:
Años
Precio
Petróleo/según
cesta OPEP
2000 18,68
2001 12,28
2002 17,47
2003 27,6
2004 23,12
2005 24,36
2006 28,1
2007 30,2
a) Realice un ajuste lineal y si es posible exponencial (use el Excel)!!!.
b) Estime el precio del petróleo para el año 2008.
c) Calcule la bondad del ajuste y la desviación estándar.