Densidad superficial de carga, s

La densidad superficial de carga eléctrica, s, representa una carga eléctrica Qdistribuida uniformemente en una superficie de área A, por lo que:

Con la finalidad de familiarizarnos con el uso de esta densidad superficial decarga eléctrica, consideremos un disco de radio R que está situado en el plano xyde un espacio euclidiano tridimensional, cuyo centro coincide con el origen dedicho espacio.

𝜎 = 𝑄

𝐴

Ahora, determinaremos el campo eléctrico en un punto de coordenadas (0, 0, zp).

1

Densidad superficial de carga, s

Para determinar el campo en el punto deseado, (0, 0, zp), debemos establecer lascoordenadas cartesianas de los elementos de carga.

Como el disco está en el plano xy, entonces, las coordenadas de los elementos decarga eléctrica se pueden considerar como (Hcosq, Hsenq, 0), en donde Hrepresenta cualquier radio comprendido entre 0 y R mientras que q estádelimitada entre 0 y 2p.

Lo anterior implica resolver ecuaciones diferenciales de dos variables dado quetanto q como H son variables.

Establecido lo anterior, es necesario expresar la ecuación del campo eléctrico ensu forma diferencial:

Para resolver la ecuación diferencial anterior, primero definiremos al vector r, elcual se obtiene a través de las coordenadas del punto de interés menos lascoordenadas de los elementos de carga eléctrica

𝐸 = 𝑘 𝑄 𝑟

|𝑟|3 … 𝑑𝐸 = 𝑘 𝑑𝑞 𝑟

|𝑟|3

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Densidad superficial de carga, s

De esta forma, el vector r quedará de la siguiente manera:

Con lo anterior, la expresión del campo eléctrico, en su modo diferencial será:

Debido a que la variación está en términos del cambio angular asociado con q,dentro del intervalo de 0 a 2p, y del cambio en el radio H, dentro del intervalo de

𝑟 = 𝑟𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 − 𝑟𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = (0, 0, 𝑧𝑃) − (𝐻𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝐻𝑠𝑒𝑛𝜃, 0) = (−𝐻𝑐𝑜𝑠𝜃, −𝐻𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧𝑃)

𝑑𝐸 = 𝑘 𝑑𝑞 (−𝐻𝑐𝑜𝑠𝜃 ,−𝐻𝑠𝑒𝑛𝜃 ,𝑧𝑃 )

(−𝐻𝑐𝑜𝑠𝜃 )2+(−𝐻𝑠𝑒𝑛𝜃 )2+(𝑧𝑃 )2

3 = 𝑘 𝑑𝑞 (−𝐻𝑐𝑜𝑠𝜃 ,−𝐻𝑠𝑒𝑛𝜃 ,𝑧𝑃 )

(𝐻)2+(𝑧𝑃 )2

3

dentro del intervalo de 0 a 2p, y del cambio en el radio H, dentro del intervalo de0 a R, debemos hacer un cambio de variable en donde el término de la cargaeléctrica, dq, quede expresado en términos del diferencial del radio dH y eldiferencial del ángulo dq.

Con este fin, recurriremos a la definición de la densidad superficial de carga, s,así como a la definición del área para un sector circular de radio H y ángulo q:

𝜎 = 𝑄

𝐴 … 𝐴𝜎 = 𝑄 …

𝜃𝐻2

2𝜎 = 𝑄

𝑑𝑞 = 𝜎𝐻𝑑𝐻𝑑𝜃

3

Densidad superficial de carga, s

Sustituyendo el factor diferencial dq expresado en términos del diferencial dH ydq en la expresión del campo eléctrico, podemos establecer que:

Realizando la distribución de las respectivas integrales y resolviendo, obtenemos:

𝑑𝐸 = 𝑘𝜎𝐻 𝑑𝐻 𝑑𝜃 (−𝐻𝑐𝑜𝑠𝜃, −𝐻𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧𝑃)

(𝐻)2 + (𝑧𝑃)2

3

𝐸𝑥 = −𝑘𝜎𝐻2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝐻 𝑑𝜃

(𝐻)2 + (𝑧𝑃)2

3 = 0 𝑁/𝐶2𝜋

0

𝑅

0

𝐸𝑦 = −𝑘𝜎𝐻2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝐻 𝑑𝜃

(𝐻)2 + (𝑧𝑃)2

3 = 0 𝑁/𝐶2𝜋

0

𝑅

0

𝐸𝑧 = 𝑘𝜎𝐻𝑧𝑃 𝑑𝐻 𝑑𝜃

(𝐻)2 + (𝑧𝑃)2

3 = 2𝜋

0

𝑘𝜎𝐻𝑧𝑃 𝑑𝐻

(𝐻)2 + (𝑧𝑃)2

3 𝜃│02𝜋

𝑅

0

𝑅

0

𝐸𝑧 = 𝑘2𝜋𝜎𝐻𝑧𝑃 𝑑𝐻

(𝐻)2 + (𝑧𝑃)2

3 = −𝑘2𝜋𝜎𝑧𝑃1

(𝐻)2 + (𝑧𝑃)2

│0𝑅 = −𝑘2𝜋𝜎𝑧𝑃

1

(𝑅)2 + (𝑧𝑃)2

−1

𝑧𝑃

𝑅

0

𝐸 = 0𝑖̂ + 0𝑗̂ − 𝑘2𝜋𝜎𝑧𝑃1

(𝑅)2 + (𝑧𝑃)2

−1

𝑧𝑃𝑘

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Densidad superficial de carga, s

Tomando de la expresión del campo eléctrico, únicamente la componente en z,ya que las demás valen cero, podemos obtener:

A la cual, sí se le aplica la condición de “sistema infinito”, es decir, que el valorde la coordenada zP es mucho menor que el valor del radio del disco, R,entonces, el término (R)2 + (zP)2 puede aproximarse a (R)2, quedando entonces:

𝐸𝑧 = 2𝑘𝜋𝜎 1 −𝑧𝑃

(𝑅)2 + (𝑧𝑃)2

𝐸𝑧 = 2𝑘𝜋𝜎 1 −𝑧𝑃

(𝑅)2= 2𝑘𝜋𝜎 1 −

𝑧𝑃

𝑅

Pero dado que el término R es mucho mayor que el término zP, entonces, la razónzP/R tiende a cero, por lo que el campo eléctrico para un disco que tiende a unsistema infinito, el cual será denominado plano infinito o placa infinita, será:

Como puede observarse, cuando el sistema se considera “infinito”, el campoeléctrico, en la componente cartesiana z, es independiente de la distancia deseparación entre el punto de análisis y el sistema eléctricamente cargado, lo cualnos permite tener un campo eléctrico uniforme en el espacio.

𝐸𝑧 = 2𝑘𝜋𝜎 1 −𝑧𝑃

(𝑅)2= 2𝑘𝜋𝜎 1 −

𝑧𝑃

𝑅

𝐸𝑧 = 2𝑘𝜋𝜎 = 2𝜋𝜎

4𝜋𝜀0 =

𝜎

2𝜀0

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Densidad superficial de carga, sEjercicio 1.Considera un disco de radio 1.5 cm situado en el plano yz de un espacio euclidianotridimensional, cuyo centro coincide con origen del espacio establecido. Si ladensidad superficial de carga eléctrica es de -4.0 nC/m2, determina:

A) la magnitud del campo eléctrico en un punto situado, sobre el eje x, a unadistancia de 4.0 cm del centro del disco.

B) la magnitud del campo eléctrico en un punto situado, sobre el eje x, a unadistancia de 2.0 Å del centro del disco.

C) la diferencia de potencial eléctrico con respecto al infinito en cada uno de lospuntos anteriores.puntos anteriores.

Para resolver este ejercicio recurrimos a la ecuación demostrada previamente.Sin embargo, dicha ecuación deberá adecuarse a las condiciones particulares delejercicio 1; es decir, el término zP representa el valor de la componente en el ejecartesiano x y el vector campo eléctrico resultante estará en éste mismo eje.

Como el ejercicio solicita la magnitud del campo eléctrico, entonces, la densidadsuperficial de carga se tomará en valor absoluto, es decir, |s| = 4.0x10-9 C/m2.

𝐸𝑥 = 2𝑘𝜋𝜎 1 −𝑥

(𝑅)2 + (𝑥)2

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Como el ejercicio son brinda el valor del radio del disco (R = 1.5x10-2 m) y ladensidad superficial de carga (s = –4.0x10-9 C/m), evaluaremos las condicionesde solución:

Inciso A, x = 4.0x10-2 m:

Inciso B, x = 2.0 Å:

Densidad superficial de carga, s

|𝐸𝑥 | = 2𝑘𝜋𝜎 1 −𝑥

(𝑅)2 + (𝑥)2= 2𝜋(9𝑥109)(4.0𝑥10−9) 1 −

4.0𝑥10−2

(1.5𝑥10−2)2 + (4.0𝑥10−2)2 = 14.4 𝑁/𝐶

|𝐸𝑥 | = 2𝑘𝜋𝜎 1 −𝑥

(𝑅) + (𝑥)= 2𝜋(9𝑥109)(4.0𝑥10−9) 1 −

2.0𝑥10−10

(1.5𝑥10 ) + (2.0𝑥10 ) = 226.2 𝑁/𝐶

Obsérvese la cercanía del valor al evaluar este punto (2.0 Å) en la ecuación deplano infinito o placa infinita:

Esto es debido a la dimensionalidad del punto de análisis y las dimensiones deldisco.

|𝐸𝑥 | = 2𝑘𝜋𝜎 1 −𝑥

(𝑅)2 + (𝑥)2= 2𝜋(9𝑥109)(4.0𝑥10−9) 1 −

2.0𝑥10−10

(1.5𝑥10−2)2 + (2.0𝑥10−10)2 = 226.2 𝑁/𝐶

|𝐸𝑥 | = 𝜎

2𝜀0 =

4.0𝑥10−9

2(8.854𝑥10−12) = 226.0 𝑁/𝐶

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Para resolver el inciso C, en donde se pide la diferencia de potencial eléctrico conrespecto al infinito en cada uno de los puntos en donde se determinó el campoeléctrico, es requerido primero determinar la ecuación de diferencia de potencialeléctrico. Sin embargo, por el acuerdo tomado en clase, tú tendrás quedemostrar dicha ecuación así que aquí sólo será aplicada.

Cuando se trata de un sistema finito, la diferencia de potencial eléctrico conrespecto al infinito es:

Densidad superficial de carga, s

Δ𝑉 = 2𝜋𝑘𝜎 𝑅2 + 𝑥2 − 𝑥

Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene que:

Cuando se trata de un sistema infinito (placa o plano), la diferencia de potencialeléctrico con respecto al infinito es:

Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene que:

Δ𝑉 = 2𝜋𝑘𝜎 𝑅2 + 𝑥2 − 𝑥 = 2𝜋(9𝑥109)(−4.0𝑥10−9)[ (1.5𝑥10−2)2 + (4.0𝑥10−2)2 − 4.0𝑥10−2] = −0.62 𝑉

Δ𝑉 = 𝜎

2𝜀0𝑥

Δ𝑉 = 𝜎

2𝜀0𝑥 =

−4.0𝑥10−9

2(8.85𝑥10−12 )(2.0𝑥10−10) = −4.52𝑥10−8 𝑉

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Una de las aplicaciones más utilizadas en este tema es el arreglo de planosinfinitos, ya que como se observó anteriormente, estos generan campos eléctricosuniformes en el espacio.

Para poder estudiar el arreglo de plano infinitos, debe recordarse que:

• Si la carga eléctrica del elemento que genera la perturbación de campo eléctricoes de naturaleza positiva, entonces, el vector campo eléctrico apuntará endirección contraria a la posición del elemento de carga eléctrica.

• Si la carga eléctrica del elemento que genera la perturbación de campo

Densidad superficial de carga, s

• Si la carga eléctrica del elemento que genera la perturbación de campoeléctrico es de naturaleza negativa, entonces, el vector campo eléctrico apuntaráen dirección a la posición del elemento de carga eléctrica.

Extrapolando la información anterior para sistemas de placas infinitas, entonces,tendremos vectores de campo eléctrico que serán perpendiculares al planoinfinito y su dirección dependerá de la naturaleza de la densidad superficial decarga eléctrica.

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Ejercicio 2.Considera dos placas infinitas paralelas separadas 10.0 cm. Una de las placastiene densidad superficial de carga eléctrica de -5.0 nC/m2 mientras que la otraplaca tiene una densidad superficial de carga eléctrica de 5.0 nC/m2, determina:

A) la magnitud del campo eléctrico en un punto situado entre las placas.B) la magnitud del campo eléctrico en un punto situado a 15.0 cm de la placa

positiva o de la placa negativa.C) la diferencia de potencial eléctrico de la placa positiva a la placa negativa.D) la diferencia de potencial eléctrico de la placa negativa a la placa positiva.

Densidad superficial de carga, s

Para resolver este ejercicio establezcamos que las placas infinitas están situadasen el plano cartesiano xz en donde la placa positiva corta el punto de coordenadaen el eje y de cero mientras que la placa negativa corta el punto de coordenadaen el eje y en 0.10 m.

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Densidad superficial de carga, s

Para continuar con la solución del ejercicio, debemos recordar que la expresióndel campo eléctrico asociado con placas infinitas brinda un vector de magnitudconstante pero que en su dirección depende de la naturaleza de la cargaeléctricas así como de la región del espacio analizada.

Para resolver el inciso A, un punto entre las placas,podemos establecer que el vector campo eléctrico quegenera la placa infinita positiva apuntará hacia laderecha al igual que el campo eléctrico que genera laplaca infinita negativa.

�⃗� =𝜎+

2𝜀0+

|𝜎−|

2𝜀0 =

5.0𝑥10−9

2(8.85𝑥10−12)+

5.0𝑥10−9

2(8.85𝑥10−12)= 565.0 𝑁/𝐶

Por ello, el campo eléctrico entre las dos placastendrá una dirección resultante en el eje positivo ycuya magnitud se obtendrá de la suma de los camposeléctricos individuales.

Obsérvese que la densidad superficial de carga eléctrica negativa seevaluó en valor absoluto para tener coherencia con la dirección delvector campo eléctrico.

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Densidad superficial de carga, s

Para resolver el inciso B, un punto situado a 15.0 cm de cualquiera de las placasinfinitas, debemos recordar que la distancia de separación entre las placasinfinitas es de 10.0 cm, por lo que si nos situamos en el punto solicitado por elinciso B, nos encontraremos o a la derecha de las dos placas infinitas o laizquierda de las dos placas infinitas. El cálculo será equivalente independientede la opción elegida.

En este caso se elegirá el punto situado a la derechade las dos placas, es decir, en el punto decoordenadas (0, 0.15, 0) m.

Como el campo eléctrico es independiente de la

𝐸 =𝜎+

2𝜀0−

|𝜎−|

2𝜀0 =

5.0𝑥10−9

2(8.85𝑥10−12)−

5.0𝑥10−9

2(8.85𝑥10−12)= 0 𝑁/𝐶

Como el campo eléctrico es independiente de ladistancia de separación, sólo pondremos énfasis en ladirección del vector campo eléctrico, el cual, debido ala placa infinita positiva apuntará a la derechamientras que el campo eléctrico debido a la placainfinita negativa apuntará a la izquierda.

Obsérvese que en este caso se realizó un resta entre las magnitudesde los campos eléctrico debido a la dirección que tiene el vectorcampo eléctrico que genera la placa infinita negativa.

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Para resolver el inciso C y D, en donde se pide la diferencia de potencial eléctricode una placa infinita hacia la otra placa infinita, recurriremos a la definición dela diferencia de potencial eléctrico.

Como el campo eléctrico es constante en la situación de placas infinitas así comoel ángulo que forman el vector campo eléctrico y el desplazamiento (dirección delectura de la diferencia de potencial eléctrico), entonces, podemos extraer ambostérminos de la integral para obtener:

Densidad superficial de carga, s

Δ𝑉 = − 𝐸⦁𝑑�⃗� =𝐵

𝐴

− 𝐸 |𝑑�⃗�|𝑐𝑜𝑠𝜃𝐵

𝐴

términos de la integral para obtener:

En donde el término |B–A| es la distancia de separación entre las placasinfinitas, la cual es constante. Por lo tanto, al discrepancia entre la diferencia depotencial eléctrico que se obtendrá en el inciso C y el inciso D será ocasionadapor el valor asignado al ángulo q.

Δ𝑉 = − 𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝑑𝑟| = − 𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟│𝐴𝐵 = − 𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝐵 − 𝐴|

𝐵

𝐴

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Para resolver el inciso C, diferencia depotencial eléctrico de la placa positivaa la placa negativa, tenemos que elcampo eléctrico apunta en dirección ala derecha al igual que el vectordesplazamiento, así que el ángulo qtendrá un valor de cero grados y, conello, la diferencia de potencial eléctricoserá negativa.

Densidad superficial de carga, s

Δ𝑉 = − 𝐸 |𝐵 − 𝐴|𝑐𝑜𝑠𝜃 = −(565.0)(0.10) cos(0) = −56.5 𝑉

Para resolver el inciso D, diferencia depotencial eléctrico de la placa negativa ala placa positiva, tenemos que el campoeléctrico apunta en dirección a laderecha pero el vector desplazamientoapunta a la izquierda, así que el ánguloq tendrá un valor de 180.0 grados y, conello, la diferencia de potencial eléctricoserá positiva.

Δ𝑉 = − 𝐸 |𝐵 − 𝐴|𝑐𝑜𝑠𝜃 = −(565.0)(0.10) cos(180.0) = 56.5 𝑉 Δ𝑉 = − 𝐸 |𝐵 − 𝐴|𝑐𝑜𝑠𝜃 = −(565.0)(0.10) cos(0) = −56.5 𝑉 Δ𝑉 = − 𝐸 |𝐵 − 𝐴|𝑐𝑜𝑠𝜃 = −(565.0)(0.10) cos(180.0) = 56.5 𝑉

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Ejercicio para resolver.

1) Considera el arreglo de placas infinitas mostrado en la imagen y determinala magnitud del campo eléctrico en los puntos A, B, C y D. s1 es – 4.0 mC/m2,s2 es –6.0 mC/m2 y s3 es 2.0 mC/m2 .

2) Dos placas infinitas cargadas con igual cantidad de carga eléctrica pero una positiva y otranegativa, están separadas 38.0 mm. Si la diferencia de potencial eléctrico entre ellas tiene unacantidad de 18.2 V, determina la densidad superficial de carga en cada placa.

3) Considerando un disco de radio R, uniformemente cargado y situado en el plano xy,

Densidad superficial de carga, s

3) Considerando un disco de radio R, uniformemente cargado y situado en el plano xy,demuestra que cuando la posición en z es considerablemente más grande que el radio del disco,el campo eléctrico se aproxima a la expresión de carga puntual.

4) Dos placas infinitas cargadas con igual cantidad de carga eléctrica pero una positiva y otranegativa, están separadas 45.0 mm. Si, partiendo del reposo, un electrón se escapa de la placanegativa (lo cual no modifica el campo eléctrico entre placas) y tarda 0.07 s en llegar a la placapositiva, determina, la diferencia de potencial eléctrico entre las placas.

5) Considera una placa infinita con densidad superficial de carga de – 4.0 nC/m2 y determinala magnitud del campo eléctrico en el punto situado a 10.0 cm y en el punto situado a 50.0 cmde la placa infinita, así como la diferencia de potencial eléctrico entre los dos puntos en lacondición de acercarse a la placa.

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