Cours Evaluation 2

7/23/2019 Cours Evaluation 2

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Notions de files dattente

OULD ELHASSEN 1


2/54

Notion de file dattente

Exemple

OULD ELHASSEN 2


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Terminologies

On dfinit : ,, (N,w), (Ns, s), (Nq, q) :

OULD ELHASSEN 3


4/54

Intrt de files dattente dans les rseaux

OULD ELHASSEN 4


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Deux cas particuliers sont couramment rencontrs : Si linterarrive des paquets est distribue exponentiellement et les

tailles de paquets suivent une distribution exponentielle, les rsultatssur une file dattente M/M/1 sont directement exploitables.

Si linterarrive des paquets est distribue exponentiellement et la tailledes paquets est constante, ce systme pourra tre modlis par une file

M/D/1.

OULD ELHASSEN 5


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Modle MIQSS (Multiple Input Queues Single Server) CPU

OULD ELHASSEN 6


7/54


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FILES D'ATTENTE

DEFINITION

Une file d'attente est caractrise par :

Un flot d'arrives

Un mcanisme de service

Une salle d'attente

Une discipline de service

"Salle" d'attente

mcanisme de

service

m

OULD ELHASSEN 8


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FILES D'ATTENTE

Flot d'arrive

Suite stochastique

Tn: est le temps du nemeclient

Sn: la charge apporte par le nemeclient, service ncessaire.

Les clients arrivent successivement, un la fois, il n'y a pasd'accumulation: 0


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FILES D'ATTENTE

Capacit de la file d'attente:

Nombre de places possibles : limit ou illimit.

Si capacit limite: les clients supplmentaires sont perdus ourejoignent une autre file d'attente.

Le nombre de clients dans le systme est diffrent du nombre declients dans la file d'attente

OULD ELHASSEN 10


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FILES D'ATTENTE

Discipline de service:

Rgle d'ordonnancement des clients au service.

- FIFO: first in first out

- LIFO : Last in first out

- PS : processor sharing, un serveur donne chaque client en attente une'tranche' de service.

-ALEA un serveur libre choisit un client au hasard dans la file

Priorit: on ajoute une suite {Un}, n appartient N+, au flot des arrives

o Un est une variable alatoire prenant ses valeurs dans l'ensemble desclasses de priorits P. Un=i, signifie que le nemeclient, arrivant au temps Tnest de la classe i.

Priorit premptive

OULD ELHASSEN 11


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FILES D'ATTENTE

Notation de KENDALLA/B/C/D/E

A: statistique du processus d'arrive (M = markovien; D=dterministe;G=gnrale)

B: statistique des lois de service (M = markovien; D=dterministe;G=gnrale)

C: nombre de serveurs

D: nombre de clients dans le systme

E: discipline du service

OULD ELHASSEN 12


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FILES D'ATTENTE

Application aux rseaux de communications et aux systmesinformatiques:

Clients = tches, programmes, paquets,

Temps de service = dure de tche

Serveur = processeur Salle d'attente = tampon

OULD ELHASSEN 13


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LOI DE LITTLE

HYPOTHESES Lorsqu'un client, ayant termin son service, quitte le systme, il laisse,

en moyenne, derrire lui, un nombre de clients gal E(k).Ce client a trouv en arrivant E(k) clients dj prsents et a pass dansle systme un temps, E(T).

Nous supposons que: - Le nombre moyen des arrives est gal au nombre moyen des dparts du systme.

-La longueur moyenne de la file lors des arrives est gale la longueur moyenne de lafile lors des dparts

OULD ELHASSEN 14


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LOI DE LITTLE

ENONCE

Si on appelle, , le taux moyen des arrives on a:

{Nombre moyen de clients arrivs pendant le sjour du client dans lesystme} = E(t) = {nombre moyen de clients qu'il laisse}

Et en rgime permanent, si T temps pass dans la file :

E(k)=E(T)

N T

OULD ELHASSEN 15


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LOI DE LITTLE

VALIDITE

Rgime permanent

Les formules de Little sont valides pour les files G/G/S. Elles ont uncaractre trs gnral. En effet, il n'y aaucune restriction quant :

la loi d'arrive, la loi des services, le nombre de serveurs.

Elles peuvent prendre en compte le cas o il existe plusieurs classes declients mais la discipline de service doit tre dfinie, nous avonsconsidr la discipline FIFO.

OULD ELHASSEN 16


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FILE M/M/1

DEFINITION Arrives: loi de Poisson de taux Un serveur

Loi de service: exponentielle de paramtre m

Capacit de file: infinie discipline de service : FIFO Si serveur satur (r-->1):

La distribution des intervalles de temps sparant deux dpart conscutifsde la file sature tend vers la distribution des temps de service

m

OULD ELHASSEN 17


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FILE M/M/1 PRINCIPAUX RESULTATS

tat: nombre de clients, k, dans le systme probabilit de l'tat Ek:

0 1 1

1 1

k

k

k

p

p

r r

m m

rm

Taux de trafic, r(charge, activit du serveur):

rm

OULD ELHASSEN 18


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FILE M/M/1 Condition de stabilit : activit du serveur


20/54

FILE M/M/1 Nombre moyen de clients dans le systme, N

1

0 0 1

0

2

1 1

11 1

1

1

11

11

k k

k

k k k

k

k

N kp k

N

N

k

N

r

r r r r r

r r r r rr

r

r

r rrr

OULD ELHASSEN 20


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FILE M/M/1

Nombre moyen de clients dans la file, Nq=E(n)

1 1

2 2

1

22

2

2

( ) 1 1 1

( ) 1 1

(

1

1

1

)

( ) 11

k

k

k k

k

k

E k p k

E k

E

E

n r r

n r r r

rn r r

r

r

n r

r

OULD ELHASSEN 21


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FILE M/M/1

Temps moyen,T , pass par un clients dans systme

: nombre de clients

: dbit d'entre, nombre de clients par seconde

T: dure d'observation

=

Le nombre moyen de clients dans le systme s'crit (Little):

( ) ( )

et le nombre moyen de clients da

N

N T

N E m E t

ns la file s'crit:

( ) ( )

Temps moyen, T, pass par un client dans le systme:1

=

=1

1

1 1

fE E t

N

T

T

n

r

m

r

r

OULD ELHASSEN 22


23/54

FILE M/M/1

Nombre moyen de clients dans le systme:

1N

r

r

Nombre moyen de clients dans la file:

2

1

rn

r

Temps moyen pass par un client dans

le systme:

1 1

1T

m r

OULD ELHASSEN 23


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FILE M/M/1

Nombre de clients dans le systme en fonctiondu taux de trafic

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

Taux de trafic

N

ombredeclien

ts

N

OULD ELHASSEN 24


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FILE M/M/1

Nombre de clients dans la file en fonction dutaux de trafic

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

Taux de trafic

N

ombredeclien

ts

Nf

OULD ELHASSEN 25


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FILE M/M/1

Temps moyen pass par un client dans lesystme en fonction du taux de trafic

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

Taux de trafic

Tempsmoyen

T

OULD ELHASSEN 26


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FILE M/M/1

DISCUSSION DES HYPOTHESES Prob(1 arrive pdt DT)=Dt Prob(1 dpart pdt DT/ serveur occup)=mDt Les probabilits d'occurrence des vnements ne

dpendent que de l'tat du systme l'instantd'observation: Indpendantes de l'tat antrieur du systme proprit markovienne

Loi exponentielle

OULD ELHASSEN 27


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FILE M/M/1

Processus d'arrive: Temps inter-arrives: variable alatoire exponentielle Processus de Poisson Vrification pratique hypothse de Poisson :

Bien vrifie dans un contexte informatique.

e1

e2

ei

en

m

Sources indpendantes

(terminaux)Superposition Poisson

OULD ELHASSEN 28


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FILE M/M/1

Dure du service: Temps service: variable alatoire exponentielle Vrification pratique hypothse exponentielle :

souvent non satisfaite dans contexte informatique coefficient devariation, c, lev.

cecart type

moyenne

_1

OULD ELHASSEN 29


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FILE M/M/1/N (Systmes avec attente et perte)

OULD ELHASSEN 30

DEFINITION Arrives: loi de Poisson de taux 1 serveur Loi de service: exponentielle de paramtre m Capacit de file: finie = N discipline de service : FIFO

m

N


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PRINCIPAUX RESULTATS tat: nombre de clients, k, dans le systme probabilit de l'tat Ek:


rm

OULD ELHASSEN 31

0

k

p

p


32/54

FILE M/M/1/N (Systmes avec attente et perte) Condition de stabilit: activit du serveur


33/54


Nombre moyen de clients dans le systme, N

OULD ELHASSEN 33

0k

k

N kp

N


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Nombre moyen de clients dans la file, Nq=E(n)

OULD ELHASSEN 34

1

( ) 1 kk

E k pn

N


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FILE M/M/1/N (Systmes avec attente et perte) Temps moyen,T , pass par un clients dans systme

OULD ELHASSEN 35

: nombre de clients

: dbit d'entre, nombre de clients par seconde

T: dure d'observation

=

Le nombre moyen de clients dans le systme s'crit (Little):( ) ( )

et le nombre moyen de clients da

N

N T

N E m E t

ns la file s'crit:

( ) ( )

fE E tn

Temps moyen, T, pass par un client dans le systme:

=N

T


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Nombre moyen de clients dans le systme:

Nombremoyen de clients dans la file:

Temps moyen pass par un client dans le systme:

OULD ELHASSEN 36


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FILE M/M/S

DEFINITION Arrives: loi de Poisson de taux S serveurs

S serveurs indpendants Loi de service: exponentielle de paramtre m Capacit de file: infinie discipline de service : FIFO

m

m

S serveurs

OULD ELHASSEN 37


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FILE M/M/S

Modlisation

Processus de naissance et mort.

Etat, Ek, o k units prsentes dans le systme (file,serveurs).

S serveurs

Taux de naissance et mort:

k

k

k

k k S et N

S k S et N

m m

m m

OULD ELHASSEN 38


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FILE M/M/S

Le graphe associ est le suivant:

0 1 k - 1 k

dt

SmdtSmdt(k-1)mdt2mdt

mdt

dt dt dtdt

1dt) 1dt-mdt) [1dt-k1dt] 1dt-Smdt)

OULD ELHASSEN 39


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FILE M/M/S

PRINCIPAUX RESULTATS tat: nombre de clients, k, dans le systme, probabilit de l'tat Ek:

0

0

1 Si

!

1 Si

!

k

k

k

k k S

p p k Sk

p p k SS S

m

m

Calcul de p0

OULD ELHASSEN 40


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FILE M/M/S Calcul de p0

0

k

1

0

0

1

0

0

0

1

Soit en remplaant P , par les expressions trouves ci-dessus:

1 11

! !

11

! !

Posons =

1

k

k

k kS

k Sk k S

k kSS

k k S

k

P

Pk S S

SP

k S S

rS

P k

m m

m m

m

m

1

0

1 2 2

1! !

Le second terme entre crochets s'crit:

..... 1 .....! ! !

SSk

k k S

S S Sk S S S S

k S

SrS

S S Sr r r r r r r

S S S

OULD ELHASSEN 41


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FILE M/M/S Calcul de p0

2 1 ..... ,une de terme gnral: r=

et sa est gale

On peu

srie gomtrique

1Srie est convergente si : 1 somme

1

t alors cri

-r

re :

1

en remplaant r pa! ! 1- ! 1-

S S S Sk S

k S

r rS

S S S r

r rS S r S

S

r

m

m

0

0

1

0

r sa valeur:

1 1

! ! !

1- 1-

Soit pou

1

1 1 1

! !

r

1

:

-

P

S

SS S

k SS

k

k

k

S

SS Sr

S S

S

P

k

S

S

S

S

m

m

m

m

m

m

m

OULD ELHASSEN 42


43/54

FILE M/M/S


S

r

m

Condition de stabilit:

1S

r

m

OULD ELHASSEN 43


44/54

FILE M/M/S

Nombre moyen de guichets (serveurs) g, occups:

0 1

0 01 1

1 1

0 11 1

! !

1 ! !

Posons:j=k-1

S

k k

k k S

k k

S

k Sk k S

k k

S

k Sk k S

g kP SP

g k P S P k S S

g Pk S S

m m

m m

m

OULD ELHASSEN 44


45/54

FILE M/M/S Nombre moyen de guichets, g, occups:

1

0

0

1

0

0

0

Avec:j=k-1

! !

1

! !

1

Le terme entre crochets reprsente l'expression , il reste alors:

j j

SS

jj j S

j jSS

jj j S

Sg P

j S S

Sg P

j S

g

S

P

m m

m

m

m m m

OULD ELHASSEN 45


46/54

FILE M/M/S g=/m

rsultat trs simple,principe de conservation:

flux d'arrives des clients est , personne ne disparat dans le systme, le flux desortie doit tre , hors saturation.

Ce nombre est gal au nombre moyen de guichets actifs g par le taux individuel de

chacun m.

g m

m

m

{g guichets occups}

OULD ELHASSEN 46


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FILE M/M/S Nombre moyen de clients , n,dans la file:

Il existe, des clients dans la file d'attente, si k>S

0

0

0 0

1 1

0

1

1

Soient , les probabilits qu'il y ait respectivement 0 et (S+i)

clients dans le systme.

!

!

Posons:

drive de

S i

S i S

S i

i i

S iS

i

i i

P P

SiP i P

S S

SP i

S S S

xS

ix x

n

m

n

m m

m

OULD ELHASSEN 47


48/54

FILE M/M/S Nombre moyen de clients , n,dans la file:

Il existe un file d'attente si k>S

1

0

2

1

0 2

2

0

0

1 1

1

1

1 1

1 1d'o:

1=

!1

=!

1

S

i

i

i

i

SS

PS

xx

dix

dx x x

SP

S

S

S

S

S

n

m

n

m

m

m

OULD ELHASSEN 48


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FILE M/M/S Temps d'attente moyen, tf,dans la file:

On utilise la formule de LITTLE

Appelons: , le nombre moyen de clients dans la file

, le taux d'arrive des clients

, le temps d'attente moyen des clients dans la file

1 1

!

f

f

f

f

t

t

t

tS S

n

n n

m

1

02

02

1 1 1

!1

1

1S

f

S

t PS S

P

S

S

m m

m

m

OULD ELHASSEN 49


50/54

FILE M/M/S

Nombre moyen de clients dans le systme: Somme du nombre moyen de clients dans la file, n, et du nombre

moyen de clients occupant les guichets

1f

N

t

g

N

n

mm

OULD ELHASSEN 50


51/54

FILE M/M/S/N

DEFINITION Arrives: loi de Poisson de taux S serveurs

S serveurs indpendants

Loi de service: exponentielle de paramtre m Capacit de file: N discipline de service : FIFO

OULD ELHASSEN 51

S serveurs

m

mN


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FILE M/M/S/N

Modlisation

Processus de naissance et mort.

Etat, Ek, o k units prsentes dans le systme (file, serveurs).

S serveurs

Taux de naissance et mort:

OULD ELHASSEN 52

n= , lorsque nS


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FILE M/M/S/N PRINCIPAUX RESULTATS

tat: nombre de clients, k, dans le systme, probabilit de l'tat Ek: Pour NS

Pour N>S

OULD ELHASSEN 53

0

0

1 Si

!

1 Si!

k

k

k

k k S

p p kk

p p kS S

m

m

0

0

1 Si

!

1 Si

!

k

k

k

k k S

p p kk

p p kS S

m

m

N

N

kp 0 Si k>N

Si S kN

S


54/54

FILE M/M/S/N


S

r

m

Condition de stabilit:

1

S

r

m

Date post:	19-Feb-2018
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