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The Mathematics Vision Project Scott Hendrickson, Joleigh Honey, Barbara Kuehl, Travis Lemon, Janet Sutorius

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MÓDULO 8

Círculos y Otros Cónicos

SECONDARY

MATH TWO

An Integrated Approach

MATEMÁTICAS II NIVEL SECUNDARIA // MÓDULO 8

CÍRCULOS Y OTROS CÓNICOS

Mathematics Vision Project Licensed under the Creative Commons Attribution CC BY 4.0 mathematicsvisionproject.org

MÓDULO 8 - TABLA DE CONTENIDO


Actividad de clase: 8.1 Triángulos circulares (o círculos triangulares) – Actividad para Desarrollar

Comprensión

Derivar la ecuación de un círculo usando el Teorema de Pitágoras (G.GPE.1)

Tarea: Preparación, Práctica, Rendimiento. Círculos y otros cónicos 8.1

Actividad de clase: 8.2 Centrándose – Actividad para Consolidar Comprensión

Completar el cuadrado para encontrar el centro y el radio de un círculo dado por una ecuación

(G.GPE.1)


Actividad de clase: 8.3 Desafíos de Círculos – Actividad para Practicar Comprensión

Escribir la ecuación de un círculo dada información diversa (G.GPE.1)


Actividad de clase: 8.4 Dirigiendo nuestro Enfoque – Actividad para Desarrollar Comprensión

Derivar la ecuación de una parábola dado un foco y directriz (G.GPE.2)


Actividad de clase: 8.5 Funcionando con Parábolas – Actividad para Consolidar Comprensión

Conectar las ecuaciones de las parábolas al trabajo previo con funciones cuadráticas (G.GPE.2)


Actividad de clase: 8.6 Voltéalo – Actividad para Consolidar Comprensión

Escribir la ecuación de una parábola con una directriz vertical y hacer un argumento de que todas las

parábolas son similares (G.GPE.2)





Actividad de clase: 8.7H Operando con Recursos Limitados – Actividad para Consolidar

Comprensión

Explorar las características de las elipses y escribir la ecuación de una elipse usando el hecho de que la

suma de las distancias de los focos es constante. (G.GPE.3) (+)

Tarea: Preparación, Práctica, Rendimiento. Círculos y otros cónicos 8.7H

Actividad de clase: 8.8H ¿Qué pasa si . . . ? – Actividad para Consolidar Comprensión

Explorar las características de hipérbolas escribiendo la ecuación de una hipérbola usando el hecho de

que la diferencia de las distancias de los focos es constante. (G.GPE.3) (+)

Tarea: Preparación, Práctica, Rendimiento. Círculos y otros cónicos 8.8H




8.1 Triángulos circulares

(o círculos triangulares)

Actividad para Desarrollar Comprensión

Usandolaesquinadeuntrozodepapeldecoloresyunaregla,recortauntriángulorectángulo

conunahipotenusade6",así:

Usaestetriángulocomounpatrónparacortartresmáscomoeste,paraquetengasuntotalde

cuatrotriánguloscongruentes.

1. Eligeunodeloscatetosdelprimertriánguloyetiquétaloxyrotulaelotrocatetoy.¿Cuáles

larelaciónentrelostresladosdeltriángulo?

2. Cuandotelopidan,llevalostriángulosalpizarrónycolócalosenunejedecoordenadascomoeste:

Marcaelpuntoalfinaldecadahipotenusaconunalfiler.

CC

BY

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1




3. ¿Quéfiguraseformaconlosalfileresdespuésdequelaclasehacolocadotodossustriángulos?¿Porquéestaconstruccióncrearíaestafigura?

4. ¿Cuálessonlascoordenadasdelalfilerquehascolocadoen:a. ¿elprimercuadrante?b. ¿elsegundocuadrante?c. ¿eltercercuadrante?d. ¿elcuartocuadrante?

5. Ahoraquelostriángulossehancolocadoenelplanodecoordenadas,algunosdesus

triángulostienenladosdelongitud-xo-y.¿Eslarelación!" + $" = 6"todavíaverdaderaparaestostriángulos?¿Porquésioporquéno?

6. ¿Cuálseríalaecuacióndelagráficaqueeselconjuntodetodoslospuntosqueestána6"dedistanciadelorigen?

7. ¿Estáelpunto(0,-6)enlagráfica?¿Quétalelpunto(3,5.193)?¿Cómopuedesdecirlo?

8.Silagráficasetraduce3unidadeshacialaderechay2unidadeshaciaarriba,¿cuálseríala

ecuacióndelanuevagráfica?Explicacómoencontrastelaecuación.

2


CÍRCULOS Y OTROS CÓNICOS – 8.1

8.1

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PREPARACIÓN

Tema:FactorizacióndeproductosespecialesFactorizalosiguientecomoladiferenciade2cuadradosocomountrinomiocuadradoperfecto.Nofactoricessinosonnilounonilootro.1.!" − 49

2.!" − 2! + 1 3.!" + 10! + 25

4.+" − ,"

5.+" − 2+, + ," 6.25+" − 49,"

7.36+" + 60+, + 25,"

8.8102 − 1612 9.144+" − 312+, +169,"

PRÁCTICA

Tema:EscribirlasecuacionesdeloscírculosEscribelaecuacióndecadacírculocentradoenelorigen.

P R E P A R A C I Ó N , P R Á C T I C A , R E N D I M I E N T O Nombre PeriodoFecha

3



8.1



10.

11.

12.

13.

14.

15.

RENDIMIENTO

Tema:VerificacióndelostriplespitagóricosIdentificaquéconjuntosdenúmerospodríanserlosladosdeuntriángulorectángulo.Muestratutrabajo.

16. 17. 18.

9,12,15{ } 9,10, 19{ } 1, 3, 2{ }

4



8.1



19. 20. 21.

22. 23. 24.

2, 4, 6{ } 3, 4, 5{ } 10, 24, 26{ }

2, 7,3{ } 2 2, 5 3, 9{ } 4ab3 10, 6ab3, 14ab3{ }

5




8.2 Centrándose

Actividad para Solidificar Comprensión

LafamiliadeMalikhadecididoinstalarunnuevosistemadeaspersiónensujardín.Maliksehaofrecidocomovoluntarioparaestablecerelsistema.Losaspersoresestándisponiblesenlaferreteríaenlossiguientestamaños:

• Círculocompleto,radiomáximode15'• Mediocírculo,radiomáximode15'• Cuartodecírculo,radiomáximode15'

Todoslosrociadoressepuedenajustarparaquerocíenunradiomáspequeño.Maliknecesitaasegurarsedequetodoeljardínseregará,loqueélsaberequeriráquealgunosdelospatronescircularesdeaguasesuperpongan.Élsacaunpedazodepapelcuadriculadoycomienzaconundiagramaaescaladelpatio.Enestediagrama,lalongituddelladodecadacuadradorepresenta5pies

CC

BY

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patio

6




1. Amedidaquecomienzaapensarenlaubicaciónlosaspersoresenelcésped,suspadresledicenquetratedecubrirtodoelcéspedconlamenorcantidaddeaspersoresposibleparaquepuedanahorraralgodedinero.LaecuacióndelprimercírculoquedibujaMalikpararepresentarelárearegadaporelrociadores:

(" + 25)' + (( + 20)' = 225Dibujaestecírculoeneldiagramaconuncompás.

2. Estableceunaconfiguraciónposibleparaelsistemaderociadoqueincluyaelprimerpatrónderociadoresquedibujóenel#1.

3. Encuentralaecuacióndecadaunodeloscírculoscompletosquehasdibujado.

Malikescribiólaecuacióndeunodeloscírculosysimplementeporquelegustajugarconelálgebra,hizoesto:

Ecuaciónoriginal: (" − 3)' + (( + 2)' = 225

"' − 6" + 9 +(' + 4( + 4 = 225

"' +(' − 6" + 4( − 212 = 0

7




Malikpensó:"Esoesgenial.Escomounaformadiferentedelaecuación.Supongoquepodríahaberdiferentesformasdelaecuacióndeuncírculocomosihubieradiferentesformasdelaecuacióndeunaparábolaolaecuacióndeunalínea."Mostrósuecuaciónasuhermana,Sapana,yellapensóqueestabaloco.Sapana,dijo,"Esaesunaecuaciónloca.Nisiquierapuedodecirdóndeestáelcentroolalongituddelradio."Malikdijo:"Ahoraescomounrompecabezasparati.Tedaréunaecuaciónenlanuevaforma.Apuestoaquenopuedesdescubrirdóndeestáelcentro".

Sapanadijo:"Porsupuesto,quepuedo".Harélomismoquetú,perotrabajaréalrevés".

4. MalikledioaSapanaestaecuacióndeuncírculo:"' +(' − 4" + 10( + 20 = 0

AyudaaSapanaaencontrarelcentroylalongituddelradiodelcírculo.

5. Sapanadijo,"Estábien.Hiceunaecuaciónparati.¿Cuáleselcentroylalongituddelradiodeestecírculo?

"' +(' + 6" − 14( − 42 = 0

6. Sapanadijo:"Todavíanoséporquéestaformadelaecuaciónpodríaserútil.Cuandoteníamosformasdiferentesparaotrasecuacionescomolíneasyparábolas,cadaunadelasdiversasformasresaltabalasdiferentescaracterísticasdelarelación.¿Porquépodríaserútilestaformadeecuacióndeuncírculo?

"' +(' + 2" + 3( + 4 = 0

8



8.2



PREPARACIÓN Tema:HacertrinomioscuadradosperfectosEncuentraelnúmeroquecompletaelcuadrado.Luegoescribeeltrinomioenformafactorizada.

1. 2.

3. 4.

Enelsiguienteconjunto,dejaelnúmeroquecompletaelcuadradocomounafracción.Luegoescribeeltrinomioenformafactorizada.

5. 6. 7.

8. 9.

10.

PRÁCTICA Tema:Escrituradeecuacionesdecírculosconcentro(h,k)yradior.Escribelaecuacióndecadacírculo.11. 12. 13.

x2 + 6x + _________ x2 −14x + _________

x2 − 50x + _________ x2 − 28x + _________

x2 −11x + _________ x2 + 7x + _________ x2 +15x + _________

x2 + 23x + _________ x2 − 1

5x + _________ x2 − 3

4x + _________


9



8.2



Escribelaecuacióndelcírculoconelcentroyelradiodados.Luegoescríbelaenformaexpandida.

14. Centro:(5,2)Radio:13 15.Centro:(-6,-10)Radio:9

16. Centro:(0,8)Radio:15 17.Centro:(19,-13)Radio:1

18. Centro:(-1,2)Radio:10 19.Centro:(-3,-4)Radio:8

RENDIMIENTO Tema:VerificarsiunpuntoesunasoluciónIdentificaquépuntoesunasoluciónparalaecuacióndada.Muestratutrabajo.

20. a.(-15,-14) b.(10,10)

21. a.(-4,-12) b.!−√5, 3√5(

22. a.!√7, 15( b.!√7,−1(

23. a.!5√3, −180( b.!5√3, 40(

24. a. b.!−2, √5(

25. a.!−3, √10( b.!−2√2, 4(

y = 45x − 2

y = 3 x

y = x2 + 8

y = −4x2 +120

x2 + y2 = 9 8,−1( )

4x2 − y2 = 16

10




8.3 Desafíos de Círculos

Actividad para Practicar Comprensión

UnavezqueMalikySapanacomenzaronadesafiarse

entresíconecuacionesdecírculos,sevolvieronunpocomáscreativosconsusideas.Vesi

puedesresolverlosdesafíosquesedieronelunoalotro.Asegúratedejustificartodastus

respuestas.

1. EldesafíodeMalik:¿Cuáleslaecuacióndelcírculoconcentro(-13,-16)yquecontieneelpunto(-10,-16)enelcírculo?

2.EldesafíodeSapana:

Lospuntos(0,5)y(0,-5)sonlospuntosfinalesdeldiámetrodeuncírculo.Elpunto(3,y)estáenelcírculo.¿Cuálesunvalordey?

3.EldesafíodeMalik:

Encuentralaecuacióndeuncírculoconcentroenelprimercuadranteytangentealaslíneasx=8,y=3,yx=14.

CC

BY

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11





Lospuntos(4,-1)y(-6,7)sonlospuntosfinalesdeldiámetrodeuncírculo.¿Cuálesla

ecuacióndelcírculo?


¿Elpunto(5,1)estádentro,afueraoenelcírculo!" − 6! +'" + 8' = 24?¿Cómolosabes?


Elcírculodefinidopor(! − 1)" + (' + 4)" = 16setraslada5unidadeshacialaizquierday2unidadeshaciaabajo.Escribelaecuacióndelcírculoresultante.

12





Haydoscírculos,elprimeroconcentro(3,3)yelradior1,yelsegundo,concentro(3,1)y

elradior2.a. Encuentralosvaloresr1yr2,demodoqueelprimercírculoestécompletamente

encerradoporelsegundocírculo.

b. Encuentraunvalorder1yunvalorder2paraquelosdoscírculossecrucenendos

puntos.

c. Encuentraunvalorder1yunvalorder2paraquelosdoscírculossecrucenen

exactamenteunpunto.

13



8.3



PREPARACIÓN Tema:Encontrarladistanciaentredospuntos

Simplificar.Usalafórmuladedistancia paraencontrarladistancia

entrelospuntosdados.Dejaturespuestaenlaformaradicalmássimple.

1. 2. 3.

4. 5.

6. 7.

PRÁCTICA Tema:EscribirecuacionesdecírculosUsalainformaciónprovistaparaescribirlaecuacióndelcírculoenformaestándar

(" − $)& + (( − $)& = *&

8.Centro ylacircunferenciaes22π

9.Centro yeláreaes196π

10.Eldiámetromide15unidadesyelcentroestáenlainterseccióndey=x+7ey=2x–5

11.Seencuentraenelcuadrante2,tangenteax=-12yx=-4

d = x2 − x1( )2 + y2 − y1( )2

A 18,−12( ) B 10,4( ) G −11,−9( ) H −3,7( ) J 14,−20( ) K 5,5( )

M 1,3( ) P −2,7( ) Q 8,2( ) R 3,7( )

S −11,2 2( ) T −5,−4 2( ) W −12,−2 2( ) Z −7,−3 2( )

−16,−5( )

13,−27( )


14



8.3



12.Centro(-14,9)Puntoencírculo(1,11)13.Elcentroseencuentraenelejey,tangenteay=-2ey=-17

14.Trespuntosenelcírculoson

15. Séquetrespuntosenelcírculoson(-7,6),(9,6)y(-4,13).Creoquelaecuacióndelcírculoes.¿Esestalaecuacióncorrectaparaelcírculo?Justificaturespuesta.

RENDIMIENTO Tema:EncontrarelvalordeBenunaecuacióncuadráticaenlaformade paracrearuntrinomiocuadradoperfecto.EncuentraelvalordeBqueharáuntrinomiocuadradoperfecto.Luegoescribeeltrinomioenformafactorizada.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

−8,5( ), 3,−6( ), 14,5( )

x −1( )2 + y − 6( )2 = 64

Ax2 + Bx +C

x2 + _____ x + 36 x2 + _____ x +100 x2 + _____ x + 225

9x2 + _____ x + 225 16x2 + _____ x +169 x2 + _____ x + 5

x2 + _____ x + 254

x2 + _____ x + 94

x2 + _____ x + 494

15




8.4 Dirigiendo nuestro

Enfoque

Actividad para Desarrollar Comprensión

Enunpizarróndetusalóndeclase,tumaestrahacreadounpuntoyunalíneacomoesta:

foco(puntoA)

directriz(líneal)

Vamosallamaralalíneaunadirectrizyalpuntounfoco.Hansidoetiquetadoseneldibujo.

Deformasimilaralatareadecírculos,laclaseconstruiráunafigurageométricautilizandoelfoco

(puntoA)yladirectriz(líneal).

1. Cortadospedazosdehilodelamismalongitud.

2. Marcaelpuntomediodecadahiloconunmarcador.

CC

BY

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16




3. Colocalacuerdaeneltablerodemaneraqueelpuntomedioseaequidistantedelfoco

(puntoA)yladirectriz(líneal),loquesignificaquedebeserperpendicularaladirectriz.

Mientrassostieneselhiloenestaposición,colocaunalfilerenelpuntomedio.Dependiendo

deltamañodetuhilo,severácomoesto:

4. Usandotusegundohilo,usaelmismoprocedimientoparacolocarunalfilerenelotrolado

delfoco.

5. Amedidaquetuscompañerosdeclaseponensushilos,¿quéfigurageométricapronosticas

seráhechacontachuelas(lacoleccióndetodoslospuntoscomo(x,y)semuestraenla

figuraanterior)?¿Porqué?

6. ¿Dóndeseencuentraelvérticedelafigura?¿Cómolosabes?

7. ¿Dóndeseencuentralalíneadesimetría?¿Cómolosabes?

(x, y)

A

l

17




8. ConsideralasiguienteconstrucciónconelpuntodefocoAyeleje!comoladirectriz.Usaunareglaparacompletarlaconstruccióndelaparáboladelamismamaneraquelaclase

construyólaparábolaconhilo.

9. Acabasdeconstruirunaparábolabasadaenladefinición:Unaparábolaeselconjuntode

todoslospuntos(x,y)equidistantesdeunalíneal(ladirectriz)yunpuntoquenoestáenla

línea(elfoco).Usaestadefiniciónparaescribirlaecuacióndelaparábolaanterior,usando

elpunto(x,y)pararepresentarcualquierpuntoenlaparábola.

10. ¿Cómocambiaríaslaparábolasielfocosemovierahaciaarriba,lejosdeladirectriz?

11. ¿Cómocambiaríalaparábolasielfocosemovierahaciaabajo,hacialadirectriz?

12. ¿Cómocambiaríalaparábolasielfocosemovierahaciaabajo,debajodeladirectriz?

(!, $)

18



8.4



PREPARACIÓN Tema:GraficarecuacionescuadráticasGraficacadaconjuntodefuncionesenlosmismosejesdecoordenadas.Describedequémaneralasgráficassonigualesydequémanerasondiferentes.

1. 2.

3. 4.

y = x2, y = 2x2, y = 4x2 y = 14x2, y = −x2, y = −4x2

y = 14x2, y = x2 − 2, y = 1

4x2 − 2, y = 4x2 − 2 y = x2, y = −x2, y = x2 + 2, y = −x2 + 2


19



8.4



PRÁCTICA Tema:BosquejarunaparábolausandoladefinicióncónicaUsaladefinicióncónicadeunaparábolaparadibujarunaparáboladefinidaporelfocoFdadoylaecuacióndeladirectriz.Comienzaporgraficarelfoco,ladirectrizyelpuntoP1.UsalafórmuladedistanciaparaencontrarFP1yencuentraladistanciaverticalentreP1yladirectrizidentificandoelpuntoHenladirectrizycontandoladistancia.UbicaelpuntoP2,(elpuntoenlaparábolaqueesunreflejodeP1atravésdelejedesimetría).LocalizaelvérticeV.Comoelvérticeesunpuntoenlaparábola,debeestarequidistanteentreelfocoyladirectriz.Dibujalaparábola.Sugerencia:laparábolasiempre"abraza"elfoco.

Ejemplo:F(4,3),P1(8,6),y=1

FP1= P1H=5P2estálocalizadoen(0,6)Vestálocalizadoen(4,2)

5.F(1,-1),P1(3,-1) y=-3 6.F(-5,3),P1(-1,3)y=77.F(2,1),P1(-2,1)y=-3 8.F(1,-1),P1(-9,-1)y=9

4 − 8( )2 + 3− 6( )2 = 16 + 9 = 25 = 5

20



8.4



9.Encuentraunahojadepapelcuadrada(unanotapost-itfuncionará).Doblaelcuadradoporlamitadverticalmenteyponunpuntoencualquierlugareneldoblez.Dejaqueelbordedelpapelsealadirectrizyelpuntoseaelfoco.Doblaelbordedelpapel(ladirectriz)hastaelpuntorepetidamentedesdediferentespuntosalolargodelborde.Laslíneasdeldoblezentreelfocoyelbordedeberíanformarunaparábola.

Experimentaconunnuevodocumentoymueveelfoco.Usatusexperimentospararesponderlassiguientespreguntas.

10.¿Cómocambiaríalaparábolasielfocosemovierahaciaarriba,lejosdeladirectriz?11.¿Cómocambiaríalaparábolasielfocosemovierahaciaabajo,hacialadirectriz?12.¿Cómocambiaríalaparábolasielfocosemovierahaciaabajo,debajodeladirectriz?

RENDIMIENTO Tema:EncontrarelcentroyelradiodeuncírculoEscribecadaecuaciónparaquemuestreelcentro(h,k)yelradiordelcírculo.Estosellamalaformaestándardeuncírculo(" − $)& + (( − ))& = +&.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

x2 + y2 + 4y −12 = 0 x2 + y2 − 6x − 3= 0

x2 + y2 + 8x + 4y − 5 = 0 x2 + y2 − 6x −10y − 2 = 0

x2 + y2 − 6y − 7 = 0 x2 + y2 − 4x + 8y + 6 = 0

x2 + y2 − 4x + 6y − 72 = 0 x2 + y2 +12x + 6y − 59 = 0

x2 + y2 − 2x +10y + 21= 0 4x2 + 4y2 + 4x − 4y −1= 0

21




8.5 Funcionando con Parábolas

Actividad para Consolidar Comprensión

Dibujalagráficadecadaparábola(conprecisión),encuentraelvérticeyusaladefinición

geométricadeunaparábolaparaencontrarlaecuacióndeestasparábolas.

1. Directriz! = −4,FocoA(2,-2)

Vértice________________

Ecuación:

2. Directriz! = 2,FocoA(-1,0)

Vértice________________

Ecuación:

CC

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22




3. Directriz! = 3,FocoA(1,7)

Vértice________________

Ecuación:

4. Directriz! = 3,FocoA(2,-1)

Vértice________________

Ecuación:

23




5. Dadoelfocoyladirectriz,¿cómopuedesencontrarelvérticedelaparábola?

6. Dadoelfocoyladirectriz,¿cómopuedessabersilaparábolaseabrehaciaarribaohacia

abajo?

7. ¿Cómovesladistanciaentreelfocoyelvértice(oelvérticeyladirectriz)enlasecuaciones

quehasescrito?

8. Describeunpatrónparaescribirlaecuacióndeunaparáboladadoelfocoyladirectriz.

24




9. Annikasepreguntaporquérepentinamenteestamospensandoenparábolasdeuna

maneracompletamentediferentequecuandohacíamosfuncionescuadráticas.Ellase

preguntacómoencajanestasdiferentesformasdepensar.Porejemplo,cuando

hablamosdefuncionescuadráticasanteriormente,comenzamoscon! = () ."Mmm...Mepreguntodóndeestaránelfocoyladirectrizenestafunción",pensó.Ayudaa

Annikaaencontrarelfocoyladirectrizparay=() .

10. Annikapiensa:"Estábien,puedoverquepuedesencontrarelfocoyladirectrizpara

unafuncióncuadrática,pero¿quéhaydeestasnuevasparábolas?¿Sonfunciones

cuadráticas?Cuandotrabajamosconfamiliasdefunciones,sedefinenporsustasasde

cambio.Porejemplo,podemosdecirqueunafuncióneslinealporquetieneunatasa

constantedecambio."¿CómoresponderíasaAnnika?¿Sonestasnuevasparábolas

funcionescuadráticas?Justificaturespuestausandovariasrepresentacionesylas

parábolasenlosproblemas1-4comoejemplos.

25



8.5



PREPARACIÓN Tema:Formaestándardeunaecuacióncuadrática

Verificaqueelpuntodadoseencuentreenlagráficadelaparáboladescritaporlaecuación.(Muestratutrabajo.)

1.

2.

3. 4.

PRÁCTICA Tema:Ecuacióndelaparábolabasadaenladefinicióngeométrica

5.Verificaque sealaecuación

delaparábolaenlaFigura1conectandolos3puntosV(0,1),C(4,5)yE(2,2).

¡Muestratutrabajoparacadapunto!

6.Sinosabíasque(0,1)eraelvérticedelaparábola,¿podríashaberloencontradosimplemente

mirandolaecuación?Explica.

6,0( ) y = 2x2 − 9x −18 −2,49( ) y = 25x2 + 30x + 9

5,53( ) y = 3x2 − 4x − 2 8,2( ) y = 14x2 − x − 6

y −1( ) = 14x2

Figure1


26



8.5



7.UsaeldiagramadelaFigura2paraderivarlaecuacióngeneraldeunaparábolabasadaenladefinicióngeométricadeunaparábola.RecuerdaqueladefiniciónestablecequeMF=MQ.

8.Recuerdalaecuaciónen#5, ¿cuáleselvalordep?

9.Engeneral,¿cuáleselvalordepparacualquierparábola?

10.EnlaFigura3,elpuntoMtienelamismaalturaqueelfocoy .¿Cómosecomparan

lascoordenadasdeestepuntoconlascoordenadasdelfoco?

CompletalascoordenadasquefaltanparaMyReneldiagrama.

y −1( ) = 14x2

FM ≅ MR

Figura2

Figura3

M

27



8.5



DibujalagráficaencontrandoelvérticeyelpuntoMyR(lareflexióndeM)comosedefineeneldiagramaanterior.Usaladefinicióngeométricadeunaparábolaparaencontrarlaecuacióndeestasparábolas.

11.Directrizy=9,FocoF(-3,7) 12.Directrizy=-6,FocoF(2,-2)

Vértice_____________ Vértice_____________

Ecuación______________________________________ Ecuación______________________________________

13.Directrizy=5,FocoF(-4,-1) 14.Directrizy=-1,FocoF(4,-3)

Vértice_____________ Vértice_____________Ecuación______________________________________ Ecuación______________________________________

28



8.5



RENDIMIENTO Tema:Encontrarvaloresmáximosymínimosparaecuacionescuadráticas

Encuentraelvalormáximoomínimodelaecuacióncuadrática.Indicacuáles.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

y = x2 + 6x − 5 y = 3x2 −12x + 8

y = − 12x2 +10x +13 y = −5x2 + 20x −11

y = 72x2 − 21x − 3 y = − 3

2x2 + 9x + 25

29




8.6 Voltéalo


Annikaestápensandomásenlavistageométricadelas

parábolasenlasquehaestadotrabajandoenlaclasede

matemáticas.Ellapiensa:"Ahoraveocómotodaslasparábolasqueprovienendelasfunciones

gráficascuadráticastambiénpuedenprovenirdeunfocoyunadirectrizdeterminados.Notoque

todaslasparábolassehanabiertohaciaarribaohaciaabajocuandoladirectrizeshorizontal.Me

preguntoquépasaríasigiraraelfocoyladirectriz90gradosparaqueladirectrizseavertical.

¿Cómoseveríaeso?¿Cuálseríalaecuación?Mmm..."EntoncesAnnikacomienzaatratarde

construirunaparábolaconunadirectrizvertical.Aquíestáelcomienzodesudibujo.Usaunaregla

paracompletareldibujodeAnnika.

1. UsaladefinicióndeunaparábolaparaescribirlaecuacióndelaparáboladeAnnika.

CC

BY

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30




2. ¿Quésimilitudesvesconlasecuacionesdelasparábolasqueseabrenhaciaarribaohaciaabajo?¿Quédiferenciasves?

3. Pruebaconotra:escribelaecuacióndelaparábolacondirectrizx=4yfoco(0,3).

4. Unamás:escribelaecuacióndelaparábolacondirectrizx=-3yfoco(−2,−5).

5. ¿Cómopuedespredecirsiunaparábolaseabriráalaizquierda,derecha,arribaoabajo?

6. ¿Cómopuedessaberquétananchaoestrechaesunaparábola?

7. AAnnikalequedandosgrandespreguntas.Escribeyexplicatusrespuestasaestaspreguntas.

a. ¿Sontodaslasparábolasfunciones?

b. ¿Sontodaslasparábolassimilares?

31



8.6



PREPARACIÓN Tema:RevisióndecírculosUsalainformacióndadaparaescribirlaecuacióndelcírculoenformaestándar.

1. Centro:(-5,-8),Radio:112. Puntosfinalesdeldiámetro:(6,0)y(2,-4)3. Centro(-5,4):Puntoenelcírculo(-9,1)

4. Ecuacióndelcírculoeneldiagramaaladerecha.

PRÁCTICA Tema:EscrituradeecuacionesdeparábolashorizontalesUsaelfocoF,elpuntoM,unpuntoenlaparábolaylaecuacióndeladirectrizparadibujarlaparábola(etiquetatuspuntos)yescribelaecuación.Pontuecuaciónenlaforma! = #

$% (' − ))+ + -donde"p"esladistanciadesdeelfocoalvértice.

5.F(1,0),M(1,4)x=-3 6.F(3,1),M(3,-5)x=9


32



8.6



7.F(7,-5),M(4,-1)x=9 8.F(-1,2),M(6,-9)x=-7

RENDIMIENTO Tema:IdentificacióndelascaracterísticasclavedeunaecuacióncuadráticaescritaenformadevérticeIndica(a)lascoordenadasdelvértice,(b)laecuacióndelejedesimetría,(c)eldominioy(d)elrangoparacadaunadelassiguientesfunciones.

9. 10. 11.

12. 13. 14.

15.Comparalaformadelvérticedeunaecuacióncuadráticaconladefinicióngeométricadeunaparábolabasadaenelfocoyladirectriz.Describecómosonsimilaresycómosondiferentes.

f x( ) = x − 3( )2 + 5 f x( ) = x +1( )2 − 2 f x( ) = − x − 3( )2 − 7

f x( ) = −3 x − 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+ 45

f x( ) = 12x − 4( )2 +1 f x( ) = 1

4x + 2( )2 − 4

33


CÍRCULOS Y OTROS CÓNICOS - 8.7H


8.7H Operando con recursos

limitados


Necesitarás3pedazosdepapel,unpedazodecartóndeal

menos8"x8",2tachuelas,36pulgadasdehiloyunlápiz.

1. Cortatrespedazosdehilo:unapiezade10pulgadas,unapiezade12pulgadasyunapiezade14pulgadas.Atalosextremosdecadahilo,

haciendo3lazos(comosemuestraacontinuación).

2. Coloqueunpedazodepapelsobreelcartón.

3. Colocalasdostachuelasa4pulgadasdedistancia,enrollaelhiloalrededordelastachuelas

yluegopresionalastachuelashaciaabajo.4. Jalaelhiloapretadoentrelasdostachuelasymantenloapretadoentretudedoytupulgar.

Tiradelhiloparaqueformeuntriángulo,comosemuestraacontinuación.¿Cuáleslalongituddelapartedelhiloquenoestáenelsegmentoentrelasdostachuelas,lasumade

laslongitudesdelossegmentosmarcadosd1yd2eneldiagrama?

5. Conellápizenellazoyelhiloapretado,mueveellápizalrededordelcaminoquemantieneapretadoelhilo.

CC

BY

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34




6. ¿Quéfiguraseforma?¿Quécaracterísticasgeométricasdelafiguraobservas?

7. Repiteelprocesonuevamenteusandolosotroshilos.¿Cuáleselefectodelalongituddel

hilo?

8. ¿Cuáleselefectodecambiarladistanciaentrelasdostachuelas?(Puedequetengasque

experimentarparaencontrarestarespuesta).

Lafigurageométricaquehascreadosellamaelipse.Lasdostachuelasrepresentancadaunaun

puntodeenfoqueparalaelipse.(Elpluraldelapalabra"foco"es"focos",pero"enfoques"también

escorrecto).

Paraenfocarnuestrasobservacionessobrelaelipse,vamosahacerelprocesomáslentoymirarlospuntosenlaelipseenposicionesparticulares.Paraayudaraqueeletiquetadoseamásfácil,

colocaremoslaelipseenelplanodecoordenadas.

9. Lasdistanciasdesdeelpuntoenlaelipseacadaunodelosdosfocossedenominand1yd2.

Figura1 Figura2

¿Cómosecomparad1+d2enlaFigura1cond1+d2enlaFigura2?(LaFigura1ylaFigura2sonlamismaelipse).

35




10. ¿Cómosecomparad1+d2conlalongituddelaelipse,medidadeunextremoalotroalo

largodelejex?Explicaturespuestaconundiagrama.

Acabasdeconstruirunaelipsebasadaenladefinición:unaelipseeselconjuntodetodoslospuntos

(x,y)enunplanoquetienelamismadistanciatotaldesdedospuntosfijosllamadosfocos.Aligual

queloscírculosylasparábolas,laselipsestambiéntienenecuaciones.Laecuaciónbásicadelaelipsesederivadeunamanerasimilaralaecuacióndeunaparábolaouncírculo.Como

generalmenteesmásfácilcomenzarconuncasoespecíficoyluegogeneralizar,comenzaremosconestaelipse:

11. Ahora,usalasconclusionesquesacasteantesparaayudarteaescribirunaecuación.(Ayudaremosconalgunasindicaciones).

a. ¿Cuáleslasumadelasdistanciasdeunpunto(x,y)enestaelipseparaF1yF2?

b. Escribeunaexpresiónparaladistanciaentreelpunto(x,y)enlaelipseyF1(-3,0).

c. Escribeunaexpresiónparaladistanciaentre(x,y)enlaelipseyF2(3,0).

d. Usatusrespuestasparaa,b,ycparaescribirunaecuación.

36




12. Laecuacióndeestaelipseenformaestándares:

!"

#$ +&"' = 1

Puedesermuchomáscomplicadodeloqueimaginasreorganizartuecuaciónparaverificarla,porloqueintentaremosunaestrategiadiferente.Estaecuacióndiríaquela

elipsecontienelospuntos(4,0)y(0,−√7).¿Ambospuntoshacenquetuecuaciónseaverdadera?Muestracómolosverificasteaquí.

13. Usarlaformaestándardelaecuaciónesbastantefácil,perodebesnotaralgunasrelaciones

más.Aquíhayotraimagenconalgunaspartesdiferentesetiquetadas.

a=distanciahorizontaldesdeelcentroalaelipse

b=distanciaverticaldesdeelcentroalaelipse

c=distanciadelcentroaunfoco

Basadoeneldiagrama,describeenpalabraslassiguientes

expresiones:

2a

2b

2c

14. ¿Cuáleslarelaciónmatemáticaentrea,byc?

37




15. Ahorapuedesusarlaformaestándardelaecuacióndeunaelipsecentradaen(0,0)quees:

!"-" +

&"." = 1

Escribelaecuacióndecadaunadelaselipsesquesemuestranacontinuación:

38




16. Enbaseatuexperienciaconcírculosyparábolascambiantesquesealejandelorigen,

escribeunaecuaciónparaestaelipse.Ponapruebatuecuaciónconalgunospuntosenlaelipsequepuedasidentificar.

39



8.7H



PREPARACIÓN Tema:ResolverecuacionesradicalesResuelveparax.Cuidadoconlassolucionesextrañas.1. √2# − 5 = 3 2.√10# + 9 = 13 3.√2# = # − 4

4.3√2# + 2 = 2√5# − 1 5.# − 3 = √3# + 1 6.4 − √10 − 3#=x

PRÁCTICA Tema:GraficarelipsesEncuentralasinterseccionesxeydelaelipsecuyaecuaciónseda.Luegodibujalagráfica.

7.-.

/0 +1.20 = 1 8.-

.

3 +1.04 = 1 9.-

.

56 +1.4 = 1

10.#5 + 475 = 64 11.9#5 + 75 = 36 12.#5 + 375 = 75


40



8.7H



Notodaslaselipsesestáncentradasenelorigen.Unaelipseconcentro(ℎ, =)setrasladahunidadeshorizontalmenteykunidadesverticalmente.LaformaestándardelaecuacióndeunaelipseconcentroenC(h,k)ycuyosvérticessonhorizontalyverticalmente±ay±b,respectivamentees(-@A)

.

B. + (1@C).D. = 1.

Escribeunaecuación,enformaestándar,paracadaelipsebasadaenelcentroCdadoysonlosvaloresdadosparaelradiohorizontal,a,yelradiovertical,b.

13.C(-2,3),a=±4,b=±2 14.C(5,2),a=±3,b=±515.C(-4,-7),a=±10,b=±8 16.C(6,-5),a=±7,b=±√11

Escribelaecuacióndecadaelipseenformaestándar.Identificaelcentro.Luegograficalaelipse.17.4#5 + 75 − 32# − 47 + 52 = 0 18.16#5 + 975 − 96# + 727 + 144 = 0

RENDIMIENTO Tema:formadepunto-pendientedeunalíneaElrectánguloenlafiguraBesunatraslacióndelrectánguloenlafiguraA.Escribelasecuacionesdelas2diagonalesdelrectánguloABCDenformapunto-pendiente.Luegoescribelasecuacionesdelas2diagonalesdeA’B’C’D’.19.figuraA figuraB

41



8.7H



20.figuraA figuraB 21.figuraA figuraB

22.LasecuacionesdelasdiagonalesdelrectánguloJKLMson72 = 6F #y75 = −6F #.

ElrectánguloJKLMsetrasladaentoncesparaquesusdiagonalessecrucenenelpunto(12,-9).Escribelaecuacióndelasdiagonalesdelrectángulotrasladado.

42


CÍRCULOS Y OTROS CÓNICOS – 8.8H


8.8H ¿Qué pasa si?...


Despuésdepasaruntiempotrabajandoconcírculosy

elipses,Mayanotaquelasecuacionessonmuyparecidas.Porejemplo,aquíhayunaecuaciónde

unaelipseyuncírculo:

!"#$ +

&"' = 1 *+ + ,+ = 16

1. ¿Cuálessonalgunasdelassimilitudesentreelcírculoylaelipsequesedanenlas

ecuacionesanteriores?¿Cuálessonalgunasdelasdiferencias?

2. Mayasepreguntaquépasaríasitomaralaecuacióndelcírculoylareorganizara,demodo

queelladoderechofuera1,comolaformaestándardeunaelipse.¿Enquéseconviertela

ecuacióndelcírculo?

3. Despuésdeverestaecuación,Mayasepreguntasiuncírculoesrealmenteunaelipse,osi

unaelipseesrealmenteuncírculo.¿Cómoresponderíasestapregunta?

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43




4. Mayamiralaecuacióndelaelipseysepreguntaquépasaríasiel"+"enlaecuaciónfuera

reemplazadopor“—“,haciendolaecuación:

!"#$ −

&"' =1

Sinhacermáscálculosnigraficarningúnpunto,predicesilagráficadeestaecuaciónseráo

noelipse.Usandoloquesabessobreelipses,explicaturespuesta.

5. Graficalaecuaciónparadeterminarsitupredicciónfuecorrectaono.Asegúratedeusar

suficientespuntosparaobtenerunaimagencompletadelafigura.

6. ¿Cuálessonalgunasdelascaracterísticasdelafiguraquehasgraficado?

44




7. LamaestradeMayaledicequeelnombredelafigurarepresentadaenestenuevotipode

ecuaciónesunahipérbola.Mayasepreguntaquépasaríasieltérmino*+enlaecuacióncambiaraconeltérminoy2,haciendolaecuación:

&"' − !"

#$ = 1

Graficaestaecuaciónycompáralaconlahipérbolaquegraficastepreviamente.

8. ¿Quésimilitudesydiferenciasvesentreestahipérbolaylaquegraficasteenel#5?

Unaestrategiaquehacemásfácilgraficarlahipérboladeunaecuaciónesnotarquelaraíz

cuadradadelosnúmerosbajolostérminosx2yy2sepuedeusarparahacerunrectánguloyluego

dibujarlíneaspunteadasatravésdelasdiagonalesqueformanloslímitesdelahipérbola.Usando

estaestrategiaparagraficarlaecuación:&"' − !"

#$ = 1,comenzaríastomandolaraízcuadradade9,quees3ysubiendoybajando3unidadesdesdeelorigen.Luegotomaslaraízcuadradade16,

45




quees4yvasalaizquierdayderecha4unidadesdesdeelorigen.Hazunrectánguloconestos

puntosenlosladosydibujalasdiagonales.Obtendrásesto:

9. Entonces,Maya,laaudazaventureramatemática,decideintentarloconunanuevaecuación

dehipérbola.Laformaestándardelaecuacióndeunahipérbolacentradaen(0,0)es:

!"0" −

&"1" = 1(abrealaizquierdayaladerecha)

&"0" −

!"1" = 1(abrehaciaarribayhaciaabajo)

Mayatrabajaengraficarlaecuación:

!"2$ −

&"+3 = 1

Pruébalatumismoenlagráficaquesigueyvequéseteocurre.

46




10.Mayasepreguntaquésucedesilaecuaciónseconvierteen:

(!5#)"2$ − (&7+)"

+3 = 1¿Cuálestupredicción?¿Porqué?

47




11. Escribelaecuacióndelahipérbolaquesemuestraacontinuación:

12.¿Quésimilitudesydiferenciasvesentreunahipérbolayunaelipse?

48


CÍRCULOS Y OTROS CÓNICOS 8.8H

8.8H



PREPARACIÓN Tema:IdentificacióndelasseccionescónicasporsusecuacionesIdentificacadaseccióncónicaporlaecuacióndada.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

PRÁCTICA Tema:RepresentacióngráficadehipérbolasEscribelaecuacióndelasasíntotas.Luegodibujalagráficadelaecuacióndada.

10. 11.

x2

25+ y

2

12= 1 x2

4− y

2

16= 1 x2

49+ y2

49= 1

x2 = 16 + y 9x2 = 36 + 4y2 9x2 = 36 − 9y2

y = x + 4y

7x2 − 8y2 = 35 5x2 − 2y2 −15 = −6y2 + 5

x2

16− y2

25= 1 y2

16− x2

25= 1


49



8.8H



12. 13.

14. 15.

y2

9− x

2

4= 1 x2

49− y2

36= 1

4x2 −16y2 = 64 12x2 − 3y2 = 48

50



8.8H



16. ("#$)&'( − (*+,)&

- = 1 17. ("#0)&

1 − (*#$)&- = 1

RENDIMIENTO Tema:Escribirecuacionesdeseccionescónicasenformaestándar

Escribelaecuaciónenformaestándarcompletandoelcuadrado.Luegoidentificalaseccióncónica.Sielcónicoes:

• unaparábola,identificaelvérticeyescribelaecuacióndeladirectriz.• uncírculo,identificaelcentroyelradio.• unaelipse,identificaelcentroyelradioparaelejehorizontalyvertical.• unahipérbola,escribelasecuacionesdelasasíntotas.

18. 19. 20. 21.43, + 5, + 163 − 65 + 9 = 16

x2 − 4x + y2 + 6y = 1 16x2 − 9y2 − 72y − 288 = 0

2y2 − 32x + 20y + 50 = 0

51

Date post:	19-Oct-2019
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Círculos y Otros Cónicos - mathematicsvisionproject.org€¦ · Derivar la ecuación de un...

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