Derivadas

Analysis

Derivadas

OpenUepc.com 1.1.4.6.1 Ver 01:03/02/2010

NOTA

La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.6 correspondiente a

1 SCIENCE

1.1 MATHEMATICS

1.1.4 ANALYSIS

1.1.4.6 DIFERENCIACION

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Miguel Pérez Fontenla [email protected]

INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla

22/01/2010

http://www.opencontent.org/openpub/).

mailto:[email protected]

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| 1

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 2

Historia.............................................................................................................................. 2

Aplicaciones ...................................................................................................................... 4

Objetivos Mínimos ............................................................................................................ 4

CONCEPTOS BÁSICOS ...................................................................................................... 5

El concepto de derivada ..................................................................................................... 5

Interpretación geométrica de la derivada ............................................................................ 7

Ecuaciones de la recta tangente y la recta normal ............................................................. 12

OPERACIONES CON DERIVADAS ................................................................................. 13

DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES ...................................................... 16

20 ejercicios de derivadas ................................................................................................ 27

+

| INTRODUCCIÓN 2

INTRODUCCIÓN

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Historia

El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallis y Newton entre otros. Así en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación de diferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitos términos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencial y el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era el desarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema de Taylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de la época. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvió en parte con la introducción de términos residuales, así como con la transformación de series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asintóticas introducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencial transcurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su estructura actual

El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro país.

Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil.

Los problemas típicos que dieron origen al Cálculo Infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de Grecia (siglo III a.C.), pero, no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII por obra de Newton y Leibnitz).

En lo que atañe a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico: el problema de la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y mínimos) que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como Cálculo Diferencial.

El problema de la tangente a una curva, fue analizado y resuelto primeramente por Apolonio (200 a.C.). En el libro II de su obra, hace el estudio de los diámetros conjugados y de las tangentes a una cónica. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de una hipérbola de centro

+

| INTRODUCCIÓN 3

C, entonces, Apolonio demuestra que la tangente en P corta las asíntotas en los puntos L y L’ (fig. 9.1. (a)) que equidistan de P.

(a) (b)

fig. 9.1.

En el caso de la elipse, si Q es un punto de la curva (fig. 9.1. (b)), Apolonio traza la perpendicular desde el punto Q al eje AA’, y halla el conjugado armónico T de N con respecto a A y A’, es decir, el punto T de la recta AA’ es tal que , o equivalentemente, el punto T que divide externamente al segmento AA’ en la misma razón en que N divide internamente a AA’. Entonces, la recta que pasa por T y Q será tangente a la elipse.

Igualmente, en el libro CÓNICAS V.8., Apolonio demuestra un teorema relativo a la normal a una parábola, que podría formar parte actualmente de un curso completo de Cálculo Diferencial.

En cuanto al problema de los extremos relativos de una función, fue Pierre de Fermat (1601 – 1665) quien en el año 1629, hizo dos importantes descubrimientos que están relacionados con sus trabajos sobre lugares geométricos. En el mas importante de ellos, titulado Methodus ad disquirendam maximan et miniman ("Métodos para hallar máximos y mínimos"), Fermat expone un método muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma y = f (x), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un cierto punto, con el valor de f (x + E) en un punto próximo; en general, estos dos valores son distintos, pero, en una "cumbre" o en el fondo de un "valle" de una curva "lisa" la diferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores máximos o mínimos de una función, Fermat iguala f (x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son "casi iguales". Cuanto mas pequeña sea la diferencia E entre los dos puntos, mas cerca está la igualdad de ser verdadera. Así, después de dividir todo por E, hace E = 0. El resultado le permite calcular las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica. Aquí se puede ver ya en esencia, el proceso que ahora se llama diferenciación, ya que el método de Fermat es equivalente a calcular: f’(c) e igualar este límite a cero.

+

| INTRODUCCIÓN 4

Esta fue la razón que asistió a Laplace al aclamar a Fermat como el verdadero descubridor del Cálculo Diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a Newton (sir Isaac Newton. 1642 – 1727. Nacido en Woolstharpe (Inglaterra)) y a Leibnitz (Gottgried Wilhelm Leibnitz. 1646 – 1716. Nacido en Leipzig (Alemania)) a quienes se les puede atribuir justificadamente la invención de las derivadas y de las integrales.

Newton, tardó mucho en dar a conocer sus resultados. La notación que usaba era mas sugestiva: lo que nosotros llamamos f (x) ó y, él lo llamaba "cantidades fluentes", y la derivada, D f (x) era llamaba "fluxión".

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/9.1.html

Aplicaciones

La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Objetivos Mínimos

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/9.1.html

+

| CONCEPTOS BÁSICOS 5

CONCEPTOS BÁSICOS

El concepto de derivada

Definición: Tasa de variación media en un intervalo Rate of Change

Definimos la Tasa de Variación Media de un función en un intervalo [a,b] , y escribiremos TVM([a,b]), como el cociente:

( ) ( ), f b f aTVM a bb a

La tasa de variación de una función da una primera idea de la rapidez con que crece o decrece la función en un determinada intervalo. Puede ser positiva , negativa o nula , dependiendo de la función y del intervalo.

Ejemplo 1

La TVM de la función f(x)=x2-2 en el intervalo [1,2] es

2 22 2 (1 2)(2) (1)1,2 32 1 2 1

ff fTVM

Ejemplo 2

Un automóvil se desplaza de forma que el especio recorrido en un tiempo t viene dado por la fórmula e(t) = 4t2 +2t -1. ¿Qué Tasa de Variación Media ha mantenido este automóvil entre los segundos 5 y 10 de su recorrido?

2 24 10 2 10 1 4 5 2 5 1(10) (5) 419 1095,10 6210 5 10 5 5

e eTVM

+


Como se evidencia, nuestra TVM equivale a lo que en Física se denomina velocidad

media 310 62 m/sg5m

evt

Definición: Cociente incremental

La tasa de variación media viene a responder a la pregunta: ¿ cuántas unidades crece la variable y por cada una que crece la x?

Vamos a transformar el concepto de TVM sin cambiar su contenido conceptual, llamandole x0 al punto a y consideramos como h su varianciaón de manera que el punto b ahora se llame x0 + h. Denominamos entonces cociente incremental a la expresión.

0 0( ) ( )f x h f xyx h

Como ves, el cociente incremental es lo mismo que la TVM donde hemos hecho un cambio en la notación con objeto de preparar el camino a introducir el concepto de derivada.

Definición: Tasa de variación instantanea (en un punto x0)

La tasa de variación instantanea en un punto x0 es el límite del cociente incremental ( o de las tasas de variación media) cuando los intervalos de la variable independiente se hacen cada vez más pequeños .

+


0 00 0

( ) ( )lim limh h

f x h f xyx h

Definición: Derivada en un punto x0 Derivative

Si usamos la TVM se llama derivada de la función f en el punto x0 al siguiente límite:

0

00

0

( ) ( )' limx x

f x f xf xx x

Si usamos la notaciónd el cociente incremental la misma definición es:

0 00 0 0

( ) ( )' lim limh h

f x h f xyf xx h

Siempre dando por supuesto que el límite exista. Si es así, decimos que la función f es derivable en el punto x0. Intuitivamente podríamos decir que la derivada es la tasa de variación instantánea.

Ejemplo

Calcular la derivada de f(x) = x2 + 8 en el punto x0 = 2

2 2

0 00 00 0 0 0

2 8 2 8( ) ( )' lim lim limh h h

x h x hf x h f xf xh h

02 4h x

h

04 8x

Interpretación geométrica de la derivada

En el gráfico de la TVM , la expresión 0

0

( ) ( )f x f xx x

equivale a la tangente del ángulo α y,

consecuentemente, es la pendiente de la recta que une los puntos (x,f(x)) y (x0, f(x0)), y hemos definido la derivada como el límite de esta expresión cuando x tiende

Igualmente, si usameos la gráfica del conciente incremental, que sabemos que es lo mismo

que la TVM pero dicho de otra manera, la expresión 0 0( ) ( )f x h f xh

equivale también a la

+


tangente del mismo ángulo α y, consecuentemente, es la pendiente de la recta que une los puntos (x0,f(x0)) (x0+h,f(x0+h)).

.

Nos centramos a partir de ahora en la segunda forma de definición y llamamos P al punto (x0,f(x0)) y Q al punto (x0+h,f(x0+h)). Se tiene que la recta que une los puntos P y Q tiende a confundirse con la recta tangente a la función f en P cuando h tiende a 0.

De esta manera observamos que la derivada de una función en un punto x0, f’(x0), coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto x0.

Ejemplo

Dada la función f(x) = x2 +1, calcula la pendiente de la tangente a f en el punto x0 = 0.5.

Esta pendiente m coincide con el concepto de derivada f’(0.5) por tanto

2 2

0 0 0

0.5 1 0.5 1(0.5 ) (0.5)'(0.5) lim lim limh h h

h hf h fm fh h

1hh

1

+


Definición: Derivadas laterales

Definimos derivada por la derecha y por la izquierda de una función f en un punto x0, y la denotamos por f’(x0

+) y f’(x0-), a los límites

0 00

0

( ) ( )' limh

f x h f xf xh

0 00

0

( ) ( )' limh

f x h f xf xh

Definición: Diferenciación. Función derivable en un punto

Para que exista derivada de una función f en un punto x0, deben existir ambos límites laterales y ser coincidentes, en este caso decimos que la función f es derivable o diferenciable en x0.

Ejemplo 1

La función ( )f x x no es derivable en x0=0. Para que f fuese derivable tendrían que exister las dos derivadas laterales y ser iguales, pero

0 0 0 0

(0 ) (0) 0 0 1' 0 lim lim lim limh h h h

f h f h hfh h h h

Por otro lado f’(0-) no existe porque las raíces de números negativos no son números reales, por tanto f’(0+) no coincide con f’(0-)por tanto la función f no es derivable en 0.

Ejemplo 2

Dada la función definida por partes 2

2 si x< 2( )

si x 2x

f xx

, no es derivable en x0=2,

pues las derivadas laterales resultan:

2 2

0 0 0 0

2 4(2 ) (2) 4' 2 lim lim lim lim 4 4h h h h

hf h f h hf hh h h

0 0 0 0

2 2 4(2 ) (2)' 2 lim lim lim lim 1 1h h h h

hf h f hfh h h

Y son distintas, luego f no es drivable en 2.

+


Ejemplo 3

Dada la función definida por partes 2

4 4 si x< 2( )

si x 2x

f xx

, sí que es

derivable en x0=2, pues las derivadas laterales resultan:

2 2

0 0 0 0

2 4(2 ) (2) 4' 2 lim lim lim lim 4 4h h h h

hf h f h hf hh h h

0 0 0

(2 ) (2) 4(2 ) 4 (4 2 4) 4' 2 lim lim lim 4h h h

f h f h hfh h h

Ejemplo 4

Dada la función valor absoluto si x< 0

( )si x 0

xf x x

x

, no es derivable en x0 = 0,

pues las derivadas laterales resultan:

0 0

(0 ) (0) (0 ) 0' 0 lim lim 1h h

f h f hfh h

0 0

(0 ) (0) (0 ) 0' 0 lim lim 1h h

f h f hfh h

Al no ser coincidentes, la función f no es derivable en 0.

Definición: Funcion derivable (ó diferenciación) en un intervalo

Si una función es derivable en cada punto de un intervalo [a,b] se puede definir una nueva función que asigne a cada punto x0 de ese intervalo su derivada f '(x0) en dicho punto, es decir

0 0

0

' : ,( ) ( )'( ) lim

h

f a bf x h f xx f x

h

Esta función se llama función derivada de f en un intervalo [a,b] y la denotaremos por f ' o

por d fdx

+


Definición: Derivadas sucesivas. Differentiation of higher order derivatives

Si la función f’ derivada de f, es derivable en todos los puntos de un intervalo, su derivada se llama derivada segunda y se denota f '':

0 00 0

'( ) '( )'' limh

f x h f xf xh

En general, podemos definir la derivada n-ésima como

1) 1)

) 0 00 0

( ) ( )limn n

n

h

f x h f xf xh

Ejemplo

Calcula las derivadas sucesivas de la función f(x) = x3 hasta el orden 4.

33 3

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )' lim lim limh h h

xf x h f x x h xf xh h

32 2 303 3x h xh h x 23x

h

2 2 2

0 0 0

'( ) '( ) 3( ) ( ) 3'' lim lim limh h h

f x h f x x h x xf xh h

2 26 3 3xh h x 6xh

0 0 0

''( ) ''( ) 6( ) 6 6''' lim lim limh h h

f x h f x x h x xf xh h

6 6h x 6h

)

0 0

'''( ) '''( ) 6 6lim lim 0iv

h h

f x h f xf xh h

Teorema

Si una función f es derivable en x0 entonces f es continua en x0.

Demostración

Supongamos f una función derivable en x0, entonces

0 0 0 00 0 00 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( ) lim lim lim 0 '( ) 0h h h h

f x h f x f x h f xf x h f x h h f xh h

Si 0

0

0 0 0 0 00 0lim ( ) ( ) 0 lim ( ) ( ) lim ( ) ( )h h x x

x x h

f x h f x f x h f x f x f x

c.q.d.

Conclusiones:

Lo contrario no tiene por qué ser cierto, como contraejemplo tenemos la función valor absoluto f(x)=x que es continua en el punto 0 pero no es derivable.

Usaremos muy frecuentemente la conclusión que nos otorga el resultado contrarecíproco es decir: “si f no es continua, entonces f no es derivable”.

+


Ecuaciones de la recta tangente y la recta normal

Gracias a la derivada noes es muy sencillo calcular las ecuaciones de la recta tangente y normal a una función f en un punto x0. De ambas rectas sabemos un punto por el que pasan que es (x0,f(x0)). De la recta tangente sabemos que su pendiente es f’(x0) luego podemos escribir la ecuación punto.pendiente de esta recta tangente: 0 0 0'( )( )y f x f x x x

Para la normal, sabemos que dada la pendiente m de la tangente, la pendiente m’ de la normal tiene que verificar que m·m’ = -1 por ser ambas rectas perpendiculares, entonces:

f’(x0)·m’ = -1 y de ahí que la ecuación de la recta normal sea 0 00

1 ( )'( )

y f x x xf x

+


OPERACIONES CON DERIVADAS Basic differentiation rules

Se verifican las siguientes propiedades

Propiedad 1. Sum and difference of functions

' ( ) '( ) '( )f g x f x g x

Demostración

'

0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim ...

( ) ( ) ( ) ( )... lim lim '( ) '( )

h h

h h

f g x h f g x f x h g x h f x g xf g x

h hf x h f x g x h g x f x g x

h h

Propiedad 2 Product rule

' ( ) '( ) ( ) ( ) '( )f g x f x g x f x g x

Demostración

'

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim ...

h h

f g x h f g x f x h g x h f x g xf g x

h h

Sumamos y restamos a esta expresión el factor f(x)·g(x+h)

0

0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... lim ...

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... lim ...

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... lim lim ( ) '( ) ( ) '( )

h

h

h h

f x h g x h f x g x h f x g x h f x g xh

g x h f x h f x f x g x h g xh

g x h f x h f x f x g x h g xg x f x f x g x

h h

Propiedad 3

' ( ) '( )f x f x

Demostración

'

0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim ...

( ) ( ) ( ) ( )... lim lim '( )

h h

h h

f x h f x f x h f xf xh h

f x h f x f x h f x f xh h

Propiedad 4 Quotient rule

+


'

2

'( )· ( ) ( )· '( )( )( )

f f x g x f x g xxg g x

Demostración

'

0 0 0

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) lim lim lim ...

( ) ( )h h h

f f f x h f xx h xg gf f x h g x f x g x hg x h g xx

g h h h g x h g x

Introducimos en el numerador, sumando y restando, el factor f(x)·g(x) y realizamos las transformaciones siguientes:

0

0

0 0

0

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim ...( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1... lim ...( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim ( ) lim...

lim ( ) (

h

h

h h

h

f x h g x f x g x f x g x f x g x hg x h g x h

g x f x h f x f x g x g x hg x h g x h

f x h f x g x h g xg x f xh h

g x h g

2( ) '( ) ( ) '( )

) ( )g x f x f x g x

x g x

Propiedad 5: Regla de la cadena Chain Rule

' ( ) ( ) ' ' ( ) '( )g f x g f x g f x f x

Demostración

Vamos a probarlo en forma local para un punto x0. Supongamos pues f derivable en x0 y g derivable en f(x0) se tiene que:

0

0

' 0 0 00 0

0hacemos x +h=x

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim ...

h x x

g f x h g f x g f x g f xg f x

h x x

Multiplicamos y dividimos esta expresión por f(x)-f(x0)

0 0 0

0 00 0

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )... lim lim lim ...( ) ( ) ( ) ( )

... '[ ( )] '( )

x x x x x x

g f x g f x g f x g f xf x f x f x f xf x f x x x f x f x x x

g f x f x

NOTA: En esta demostración falta considerar el caso en que f(x)-f(x0) pueda valer 0, pero esta apreciación corresponde demostrarla en niveles de enseñanza superiores a secundaria.

Propiedad 6:

1 1'( )'( )

f xf x

Demostración

+


Vamos a probarlo en forma local para un punto x0. Supongamos pues f derivable en x0 y f-1 derivable en y0=f(x0). Se tiene que:

0 0

0 0

0 0

1 10 0

( ) lim ( ) lim

( ) lim ( ) limx x x x

y y y y

y f x f x y

x f y f y x

Se tiene que

1 10 0

00 0

0

( ) ( ) 1( ) ( )( ) ( )

f y f y x xf x f xy y f x f x

x x

, por lo que se verifica que

0 0

1 10

00

0

( ) ( ) 1lim lim ( ) ( )y y x x

f y f yf x f xy y

x x

Entonces

00

0

0

1 1 1 1'1 0 0 00 0

0hacemos y +h=y

0 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim ...

1 1 1... lim ( ) ( ) ( ) ( ) '( )lim

h y y

x x

x x

f y h f y f y f yf yh y y

f x f x f x f x f xx x x x

+


DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Differentiation of elementary functions

Función constante Constant function

Consideramos la función :

( )fx f x k

. Su función derivada es

0 0 0

( ) ( ) 0'( ) lim lim lim 0h h h

f x h f x k kf xh h h

Función identidad


( )fx f x x


0 0 0

( ) ( )'( ) lim lim lim 1h h h

f x h f x x h x hf xh h h

Función lineal


( )fx f x mx b


0 0 0

( ) ( )'( ) lim lim limh h h

m x h b mx bf x h f x mhf x mh h h

Función Potencial


( ) n

fx f x x

. Su función derivada es:

0 0

Desarrollo binomio de Newton

1 2 2 1

0

1 2 2 1

0

( ) ( )'( ) lim lim ...

( 1) ...2... lim ...

( 1)... lim ...2

n n

h h

n n n n n n

h

n n n n

h

x h xf x h f xf xh h

n nx nhx h x nh x h x

hn nnx hx nh x h

1 2 2 1 1

0 0 0

0 00

...

( 1)... lim ... lim lim2

n n n n n

h h h

n nnx hx nh x h nx

+


Función inversa 1( )f xx

Esta función es el cociente de la función constante g(x) = 1 y la función identidad h(x) = x, por lo que su derivada se calcula de forma inmediata aplicando la regla de la derivada del cociente de dos funciones

'

2 2 2

1 1' 1 ' 0 1 1 1'( ) x x xf xx x x x

Función Potencial. Power function

Consideramos la función ( ) nf x x . Su función derivada es:

0 0


1 2 2 1

0

1 2 2 1

0

( ) ( )'( ) lim lim ...

( 1) ...2... lim ...

( 1)... lim ...2

n n

h h

n n n n n n

h

n n n n

h



hn nnx hx nh x h

1 2 2 1 1

0 0 0

0 00

...

( 1)... lim ... lim lim2

n n n n n

h h h

n nnx hx nh x h nx

Función Potencial


( ) n

fn

x f x x

. Su función derivada es:

0 0


1 2 2 1

0

1 2 2 1

0

( ) ( )'( ) lim lim ...

( 1) ...2... lim ...

( 1)... lim ...2

n n

h h

n n n n n n

h

n n n n

h



hn nnx hx nh x h

1 2 2 1 1

0 0 0

0 00

...

( 1)... lim ... lim lim2

n n n n n

h h h

n nnx hx nh x h nx

Ejemplo

+


Calcular la derivada de la función f(x) = x5 – x3 en el punto x0 = -1.

Solución

f’(x) = 5x4 – 3x2 y f’(-1) = 5(-1)4 -3(-1) 2 = 2

Función Polinómica

Consideramos la función polinómica dada por 1 2 11 2 1 0( ) ...n n

n nf x a x a x a x a x a

Y vamos a calcular su derivada, para ello aplicamos las propiedades de la suma y el producto de funciones, así como la acabada de demostrar derivada de la función potencial, resultando que, como cada sumando tiene por derivada:

' '' 1 10n n n n n nn n n n na x a x a x x a nx n a x

La derivada del polinomio completo queda:

' ' ' ' '1 2 1 1 21 2 1 0 1 2 1'( ) ... 1 ...n n n n

n n n nf x a x a x a x a x a na x n a x a x a

Ejemplo

Calcular la derivada de la función f(x) = 3x4 – 2x3 + 5x -2 en el punto x0 = 2.

Solución

f’(x)=12x3 – 6x2 + 5 y f’(2) = 12·23 – 6·22 + 5 = 77

Función exponencial

Consideramos la función exponencial

( ) xf x a . Su derivada resulta:

0 0 0 0

1( ) ( ) 1'( ) lim lim lim lim ...x hx h x h

x

h h h h

a af x h f x a a af x ah h h h

Hacemos el cambio ah -1 = t ⇔ ah = t + 1 ; en donde vemos que si h⇾0 ⇒ t = ah - 1⇾0

y tomando logaritmos neperianos en esta igualdad ln 1ln ln( 1)

lnh t

a t ha

, de donde

10 0

0

1 1 1... lim lim ln ln lnln( 1) lnln lim(1 )ln

hx x x x x

h ht

h

a ta a a a a a a ath eta

El caso particular de la función exponencial ( ) xf x e resulta '( ) lnx xf x e e e , que es la única función que coincide con su derivada. Fíjate que la interpretación geométrica de este

+


hecho es que la función ( ) xf x e es tal que en cada punto nos da exactamente la pendiente de la propia función.

Función logarítmica

Consideramos la función logarítmica ( ) lnf x x (que solamente está definida para x > 0, si queremos definirla sobre todo ℝ\0 tenemos que usar f(x) = lnx)

Entonces vamos a demostrarlo para f(x) = lnx. Hay que considerar dos casos x>0 y x<0

Si x>0

0 0 0 0

11 11 1

0 0 0hhacemos el cambio n= / 0x

ln ln ln ln( ) ( ) 1'( ) lim lim lim lim ln ...

... ln lim ln lim 1 ..... ln lim 1 ln .

h h h h

xh hn x

h h nn

x h x x h xf x h f x x hf xh h h h x

x h h n ex x

..

1 1... ln ex x

Si x<0

Si x<0 siempre habrá un entorno de x, tomando el h suficientemente pequeño de forma que

x + h= - (x + h) y x= - x, entonces la demostración queda similar

0 0 0 0

0

ln lnln ln( ) ( ) 1'( ) lim lim lim lim ln ...

1 1... lim ln .....

h h h h

h

x h xx h x x hf x h f xf xh h h h x

x hh x x

Funciones trigonométricas

Sea la función ( ) sinf x x . Su derivada se deduce de la siguiente forma:

0 0 0

0 0

0 1

sin cos(h) sin h cos sin( ) ( ) sin( ) sin'( ) lim lim lim ...

cos( ) 1 sin( )... sin lim cos lim cos

h h h

h h

x x xf x h f x x h xf xh h h

h hx x xh h

Consideramos ahora la función ( ) cosf x x

+


0 0 0

0 0

0 1

cos cos(h) sin h sin cos( ) ( ) cos( ) cos'( ) lim lim lim ...

cos( ) 1 sin( )... cos lim sin lim sin

h h h

h h

x x xf x h f x x h xf xh h hh hx x xh h

Consideramos ahora la función ( ) tanf x x

' ''

2 2

2 2

2 2

sin cos sin cos cos cos sin sinsin'( ) tan ' ...cos cos cos

cos sin 1...cos cos

x x x x x x x xxf x xx x x

x xx x

Funciones trigonométricas inversas

Vamos a calcular ahora las derivadas de las siguientes funciones

1. ( ) secf x x

2. ( ) cscf x x

3. ( ) cotf x x

1.- Sea la función ( ) secf x x . Su derivada se deduce de la siguiente forma:

'

2 2 2

1' cos 1 cos ' 0 cos 1 sin1 sinsec 'cos coscos cos

x x x x xxx xx x

Lo cual, también puede ser escrito como sinsec ' sec tancos cos

xx x xx x

2.- Para la cosecante: ( ) cf x cs x , aunque se podría hacer forma análoga vamos ahora a utilizar la regla de la cadena:

'

'1 22

1 coscsc ' sin 1 sin cos cot cscsin sin

xx x x x x xx x

3.- Finalmente, para la cotangente ( ) cotf x x :

'2

2 2

sin sin cos coscos 1cot ' cscsin sin sin

x x x xxx xx x x

Funciones arco

Vamos a calcular ahora que las derivadas de las siguientes funciones son:

+


1. 2

1( ) arcsin '( )1

f x x f xx

2. 2

1( ) arccos '( )1

f x x f xx

3. 2

1( ) arctan '( )1

f x x f xx

4. 2

1( ) arcsec '( )1

f x x f xx x

5. 2

1( ) ar csc '( )1

f x sx f xx x

6. 2

1( ) arccot '( )1

f x x f xx

1.- Para la función arco seno tenemos inicialmente que pensar que la función ( ) arcsinf x x es inversa de la función g(x) = sin x.

Vamos a definir la función seno de manera que recorra todo el intervalo [-1,1] sólo una vez (hay que tener en cuenta que sin(x) es una función periódica y si ahora vamos a hablar de su inversa, ésta podría no ser una función bien definida si no lo hacemos de forma rigurosa). Entonces, tomo como función seno exactamente la definida como

sin, [ 1, 1]

2 2sinx x

Así se tiene que dos valores distintos del conjunto origen tienen imágenes distintas en el conjunto imagen, además, todos los valores del conjunto imagen tienen correspondencia con alguno del conjunto origen, luego en estos intervalos la función seno es biyectiva.

Ejemplo

Hablando en radianes, si 1sin6 2 entonces 1sin

2 6arc

.Es decir:

1

sin arcsin, [ 1, 1] ,2 2 2 2

sin arcsin(sin )f fx x x x

Por todo lo explicado, podemos afirmar que si arcsin sin(arcsin ) sinx y x x y

Y si a esta expresión la derivamos aplicando la regla de la cadena resulta

+


2 2como sin

1 1 1' 1 sin ' 'cos ' ...cos 1 sin 1y x

x y y y yy y x

Pero en el intervalo ,2 2

la función coseno es positiva por lo que tomamos sólo la raíz

positiva quedando finalmente que 2

1' arcsin '1

y xx

2.- Para la función f(x) = arccos x, tenemos que repetir el mismo razonamiento.

Consideramos y = arc cos x equivalente a que x = cos y. Derivando por la regla de la cadena:

2 2como cos

1 1 1' 1 cos ' 'sin ' arccos ' ...sin 1 cos 1y x

x y y y y xy y x

3.- Para la derivada del arco tangente, f(x) = arctan x

Consideramos y = arc tan x equivalente a que x = tan y. Derivando por la regla de la cadena:

2

2 2como tan

1 1' 1 tan ' ' 1 tan ' arctan ' ...1 tan 1y x

x y y y y xy x

4.- Para la función arco secante, f(x) = arcsec x:

Dada y = arcsec x ⇒ x = sec y. Entonces, teniendo en cuenta la igualdad trigonométrica que nos afirma que sec2x = 1 + tan2x y aplicando la Regla de la cadena

2 2

1 1 1' 1 sec ' ' sec tan ' arc sec 'sec tan sec sec 1 1

x y y y y y xy y y y x x

5.- Para la función arco cosecante, f(x) = arccsc x:

Dada y = arccsc x ⇒ x = csc y. Entonces, teniendo en cuenta la igualdad trigonométrica que nos afirma que csc2x = 1 + cot2x y aplicando la Regla de la cadena

2 2

1 1 1' 1 csc ' ' csc cot ' arccsc 'csc cot csc csc 1 1

x y y y y y sxy y y y x x

6.- Por último, lo demostramos para el arco cotangente, f(x) = arccot x:

Dada y = arccot x ⇒ x = cot y. Aplicando la Regla de la cadena

2

2 2como cot

1 1' 1 cot ' ' 1 cot ' arccot ' ...1 cot 1y x

x y y y y xy x

+


Derivada de la función 1

( ) nnf x x x n

Consideramos ahora 1

( ) ( ) nnf x x f x x y derivando esta expresión por la Regla de la

Cadena nos queda:

' 11 1 1 11

1 1 1 1' 1 ( ) ( ) '( ) '( )( )

n nn n n n n

nn

x f x n f x f x f xn f x n xnxn x

Derivada de la función ( ) ,m

n mnf x x x m n

Consideramos ahora ( ) ( )m

n mnf x x f x x y derivando esta expresión por la Regla de la

Cadena nos queda:

1 1 1' 1111 1 1' ( ) ( ) '( ) '( )

( )

mm m mn nm m n

n n m nmnn

mx mx mx mx mx f x n f x f x f x xnn f x nxn x

Ejemplo

Calcular la derivada de la función 3 2( )f x x

Solución

Como 2

3 2 3( )f x x x derivamos aplicando la Regla de la Cadena: '2 2 11

3 3 33

2 2 2'( )3 3 3

f x x x xx

+


Función elemental Derivada Integral Gráfico Constante:

kxf )(

0)(' xf

ckxkdx

Identidad:

xxf )(

1)(' xf

cxdxx 2

2

Lineal: f(x)=mx+b

f’(x)=m

cbxmx

dxbmx

2

2

Potencial:

pxxf )(

1)(' ppxxf

cpxdxx

pp

1

1

Parabola:

cbxaxxf 2)(

baxxf 2)('

Ccxbxax

dxcbxax

23

23

2

Raiz:

xxf )(

xxf

21)('

cxdxx 2

3

2 3

+


Inversa:

xxf 1)(

2

1)('x

xf

cxdxx

ln1

Logarítmica:

xxf ln)(

xxf alog)(

xxf 1)('

ex

xf a·lg1)('

Exponencial:

xexf )( xaxf )(

xexf )( aaxf x ·ln)(

cedxe xx

ca

adxax

x ln

Trigonométrica:

xsenxf )(

xxf cos)('

cxsenxdx cos

Trigonométrica:

xxf cos)(

xsenxf )('

csenxxdx cos

Trigonométrica:

xtgxf )(

xtgx

xf 22 1

cos1)('

cxtgxdx |cos|ln

Trigonométrica:

xarcsenxf )(

211)('

xxf

cx

arcsenxdx

21

1

+


Trigonométrica:

xxf arccos)(

211)('x

xf

xxdx

21

1arccos

Trigonométrica:

xarctgxf )(

211)('x

xf

cx

arctgxdx

211

Valor absoluto

00

)(

xsixxsix

xxf

1

01)('

xsixsi

xf

02

02

2

2

xsix

xsix

dxx

+

| 20 EJERCICIOS DE DERIVADAS 27

20 EJERCICIOS DE DERIVADAS

Presento a continuación una colección de 20 derivadas resueltas que de saberlas hacer todas, es presumible que estas perfectamente preparado en lo que respecta al cálculo de derivadas. 1.- Calcular la derivada de la función f(x)= x – cos x

'( ) cos ' ' cos' 1 ( sin ) 1 sinf x x x x x x x

2.- Calcular la derivada de la función 4( ) sin ln en x=2

f x x x x

3 3 4'4 3 1 1 2 4'( ) sin ln 4 cos ; ' 4 cos

2 2 2 2 22

f x x x x x x fx

3.- Calcular la derivada de la función ( ) ln xf x x x Al estar definido x>0 ya no tenemos problemas con la definición de la función, pues sólo tendríamos problemas si apareciesen neperianos de números negativos

1'( ) ln ' 'ln ln ' 1 ln ln 1f x x x x x x x x x xx

4.- Calcular la derivada de la función 2( ) sin f x x x 2 2 2 2'( ) sin ' 'sin sin ' 2 sin cosf x x x x x x x x x x x

5.- Calcular la derivada de la función 3

sin 1( ) x xf xx

3 3' 3 4 3

3 6 6

3

' sin sin ' 0 sin 1 sin cos sinsin 1'( ) ...

sin cos sin 1...

x x x x x x x x x x x x x x xx xf xx x x

x x x x xx

6.- Calcular la derivada de la función tan cos( )ln

x x xf xx

'

2

2

2

' tan tan ' cos ' ln tan cos ln 'tan cos'( ) ...ln ln

1tan tan sin ln tan cos...

ln

x x x x x x x x x xx x xf xx x

x x x x x x x xx

x

7.- Calcular la derivada de la función 2( ) cosf x x '2 2 2'( ) cos sin 2 2 sinf x x x x x x

8.- Calcular la derivada de la función ( ) ln cosf x x

+


' 1'( ) ln cos sin tancos

f x x x xx

9.- Calcular la derivada de la función sin( ) x xf x e 'cos cos cos'( ) 3 3 ln 3 cos ' 3 ln 3 cos sinx x x x x xf x x x x x x

10.- Calcular la derivada de la función ( ) ln(ln )f x x ' 1 1 1'( ) ln(ln )

ln lnf x x

x x x x

11.- Calcular la derivada de la función 2 2( ) ( )f x sen x '2 2 2 2'( ) sin ( ) 2 sin cos 2f x x x x x

12.- Calcular la derivada de la función 3 22( ) lgf x x x

'3 2 2

2 223 22

1 1'( ) lg 3 lg 22 lg

f x x x x e xxx x

13.- Calcular la derivada de la función 2

31( ) xf x

x

' 2 12 1

3 33 3

2 2 2

1 2 1 ( 1) 2 1 1 2'( )3 3 3 1

x x x x x xf xx x x x x x x

14.- Calcular la derivada de la función ( ) arctan1

xf xx

2'

2 2

111'( ) arctan1 11

1

xx xxf xx xx

x

22 2

11 1x x x

2

12 1x x

15.- Calcular la derivada de la función ln( ) arcsec xf xx

'

'2

2 2

ln 1 lnln'( ) arcsec

ln ln ln ln1 1

x xx x xf x

x x x x xx x x x

16.- Calcular la derivada de la función ( ) xf x x Este tipo de derivadas en las que aparecen variables en la base y en el exponente se resuelven tomando previamente logaritmos neperianos en la expresión a derivar, para posteriormente aplicar la Regla de la Cadena de la siguiente forma

+


1 1( ) ln ( ) ln ln ( ) ' ln ' '( ) 1ln '( ) ln 1( )

x xf x x f x x x f x x x f x x x f x x xf x x

17.- Calcular la derivada de la función n( ) l xf x x ln 2 ln1 2ln 2 ln( ) ln ( ) ln ln ln '( ) '( )

( )x xx xf x x f x x x x f x f x x

f x x x

18.- Calcular la derivada de la función tan( ) xf x x tan tan

2 21 1 1 ln tan( ) ln ( ) tan ln '( ) ln tan '( )( ) cos cos

x x x xf x x f x x x f x x x f x xf x x x x x

19.- Calcular la derivada de la función 1 1( ) ln2 1

xf xx

2

1 1 11 1 1'( )12 211

x xf x x x

x

1 x 21 x

x x

21 x 2

1 11 1 1x x x

20.- Calcular la derivada de la función 2( ) ln 1f x x x

2 2 2

1 2 1'( ) 11 2 1 1

xf xx x x x x

2 1x x 2 2

11 1x x

Ejercicios Propuestos

Calcular la derivada de la función 2( ) ln 1f x x x

Calcular la derivada de la función 1 1( ) ln2 1

xf xx

+

| 30

Uℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯Bεαβηθλμξσφφδεε

·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘∙⊕⊗⊛⋅♯⨁⨂×

Date post:	27-Mar-2016
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Derivadas

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