Autor: Sebastián Lema

Derivada de una función en un punto

La derivada de una función f(x) en un punto x=a es el límite, si existe y es finito, de las tasa de variación media, TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero. La representamos por f'(a) y es :

Función derivada.La función derivada de una función y=f(x), que sea derivable en su dominio, es una función que asocia a cada valor de la variable x, el valor de la derivada en ese punto. La representamos por f'(x) o y' y viene dada por :

Ejemplo de cálculo de la función derivada

Idea gráfica del concepto de derivada

Ecuación de la recta tangente y normal a una curva

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

y-f(a)=f’(a)(x-a)

La recta normal a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a -1/f '(a).

y-f(a)=-1/f’(a)(x-a)

Derivada lateral por la izquierda

La derivada lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasa de variación media TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero por la izquierda del cero, es decir tomando sólo valores negativos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la izquierda y es :

Derivada lateral por la derecha

La derivada lateral por la derecha de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasa de variación media, TVN[a,a+h] cuando h tiende a cero por la derecha del cero, es decir, tomando sólo valores positivos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la derecha y es:

Continuación de derivadas laterales

Si en un punto x=a, las derivadas laterales no coinciden, es decir, son distintas, la función no es derivable en el punto x=a.

Si la función tiene derivada en un punto x=a, existen las derivadas laterales y son iguales,es decir;

f’(a)=f’(a+)=f’(a-)

Relación entre continuidad y derivabilidad

La condición de derivabilidad es más fuerte que la condición de continuidad, una función derivable en un punto, además de ser continua en ese punto , varía suavemente al pasar por el punto, no sufre cambios bruscos. Esto, lo expresamos matemáticamente en el siguiente enunciado:

“Si una función y=f(x) es derivable en x=a, entonces la función es continua en ese punto”

Demostración: Si existe y es finita f'(a)

Luego la función es continua en x=a.

Operaciones con derivadas

Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones

Cálculo de derivadas de funciones elementales

Función Derivada Ejemplos

Constante

y=k y'=0 y=8 y'=0

Identidad

y=x y'=1 y=x y'=1

Funciones potenciales

Cálculo de derivadas de funciones elementales

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

Cálculo de derivadas de funciones elementales

Funciones trigonométricas (Continuación)

Funciones crecientes y decrecientes

Monotonía: Crecimiento y Decrecimiento

TEOREMA 1Sea (f,D) derivable en c c R. Entonces:

TEOREMA 2Sea (f,D) derivable en c c R. Entonces:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICASi una función es creciente en un punto, la pendiente de la recta tangente es mayor o igual que cero.

Extremos relativos: Máximos y Mínimos relativos

TEOREMASea (f,D) derivable en a c R. Si f posee un máximo o un mínimo relativo en a, entonces f´(a) = 0.

El recíproco no es cierto en general: f(x) = x3 es derivable en 0, y f´(x) = 3 x2, con f´(0) = 0; pero f no tiene

máximos ni mínimos en ningún punto (es estrictamente creciente). f(x) = |x| no es derivable en 0 y posee un mínimo en él.