Date post: | 06-Apr-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | ahmadhassan1976 |
View: | 217 times |
Download: | 0 times |
of 11
8/2/2019 Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Terms
1/11
D I F F E R E N T F O R M U L A T I O N S O F T H E D I S C O N T I N U O U S
G A L E R K I N M E T H O D F O R T H E V I S C O U S T E R M S
C H I - W A N G S H U
y
A b s t r a c t . D i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d i s a n i t e e l e m e n t m e t h o d u s i n g c o m p l e t e l y d i s c o n -
t i n u o u s p i e c e w i s e p o l y n o m i a l s p a c e f o r t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n a n d t h e t e s t f u n c t i o n s . U n t i l r e c e n t l y
i t w a s m a i n l y u s e d f o r s o l v i n g c o n v e c t i o n p r o b l e m s i n v o l v i n g o n l y r s t s p a t i a l d e r i v a t i v e s . R e c e n t l y
t h e m e t h o d h a s b e e n e x t e n d e d s u c c e s s f u l l y t o s o l v e c o n v e c t i o n d i u s i o n p r o b l e m s i n v o l v i n g s e c o n d
d e r i v a t i v e v i s c o u s t e r m s . I n t h i s p a p e r w e w i l l u s e s i m p l e e x a m p l e s t o i l l u s t r a t e t h e b a s i c i d e a s a n d
\ p i t f a l l s " f o r u s i n g t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d o n t h e v i s c o u s t e r m s .
K e y w o r d s . d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d , v i s c o u s t e r m s , c o n v e c t i o n d i u s i o n p r o b l e m .
A M S s u b j e c t c l a s s i c a t i o n s . 6 5 M 6 0
1 . I n t r o d u c t i o n . T h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d i s a c l a s s o f n i t e e l e m e n t
m e t h o d s u s i n g c o m p l e t e l y d i s c o n t i n u o u s p i e c e w i s e p o l y n o m i a l s p a c e f o r t h e n u m e r i c a l
s o l u t i o n a n d t h e t e s t f u n c t i o n s . O n e c e r t a i n l y n e e d s t o u s e m o r e d e g r e e s o f f r e e d o m
b e c a u s e o f t h e d i s c o n t i n u i t i e s a t t h e e l e m e n t b o u n d a r i e s , h o w e v e r t h i s a l s o g i v e s o n e
a r o o m t o d e s i g n s u i t a b l e i n n e r b o u n d a r y t r e a t m e n t s ( t h e s o - c a l l e d u x e s ) t o o b t a i n
h i g h l y a c c u r a t e a n d s t a b l e m e t h o d s i n m a n y d i c u l t s i t u a t i o n s .
U n t i l r e c e n t l y , t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d w a s m a i n l y u s e d t o s o l v e r s t
o r d e r h y p e r b o l i c p r o b l e m s . A n e x a m p l e i n t h e t w o s p a c e d i m e n s i o n a l t i m e d e p e n d e n t
s e t t i n g i s
u
t
+ f ( u )
x
+ g ( u )
y
= 0 :( 1 . 1 )
T h e r s t d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d w a s i n t r o d u c e d i n 1 9 7 3 b y R e e d a n d
H i l l 1 3 ] , i n t h e f r a m e w o r k o f n e u t r o n t r a n s p o r t , i . e . e q u a t i o n ( 1 . 1 ) w i t h o u t t h e t i m e
d e p e n d e n t t e r m u
t
a n d w i t h l i n e a r f ( u ) = a u a n d g ( u ) = b u w h e r e a a n d b d o n o t
d e p e n d o n u . A m a j o r d e v e l o p m e n t o f t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d i s c a r r i e d
o u t b y C o c k b u r n , S h u a n d t h e i r c o l l a b o r a t o r s i n a s e r i e s o f p a p e r s 4 , 5 , 6 , 7 ] , i n w h i c h
t h e y e s t a b l i s h e d a f r a m e w o r k t o e a s i l y s o l v e n o n l i n e a r t i m e d e p e n d e n t p r o b l e m s ( 1 . 1 )
u s i n g e x p l i c i t , n o n l i n e a r l y s t a b l e h i g h o r d e r R u n g e - K u t t a t i m e d i s c r e t i z a t i o n s 1 4 ] a n d
d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n d i s c r e t i z a t i o n i n s p a c e w i t h e x a c t o r a p p r o x i m a t e R i e m a n n
s o l v e r s a s i n t e r f a c e u x e s a n d T V B ( t o t a l v a r i a t i o n b o u n d e d ) n o n l i n e a r l i m i t e r s t o
a c h i e v e n o n - o s c i l l a t o r y p r o p e r t i e s f o r s t r o n g s h o c k s .
T h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r ( 1 . 1 ) h a s f o u n d r a p i d a p p l i c a t i o n s i n
s u c h d i v e r s e a r e a s a s a e r o a c o u s t i c s , e l e c t r o - m a g n e t i s m , g a s d y n a m i c s , g r a n u l a r o w s ,
m a g n e t o - h y d r o d y n a m i c s , m e t e o r o l o g y , m o d e l i n g o f s h a l l o w w a t e r , o c e a n o g r a p h y , o i l
r e c o v e r y s i m u l a t i o n , s e m i c o n d u c t o r d e v i c e s i m u l a t i o n , t r a n s p o r t o f c o n t a m i n a n t i n
p o r o u s m e d i a , t u r b o m a c h i n e r y , t u r b u l e n t o w s , v i s c o e l a s t i c o w s a n d w e a t h e r f o r e -
c a s t i n g , a m o n g m a n y o t h e r s .
T h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d h a s t h e f o l l o w i n g a t t r a c t i v e p r o p e r t i e s :
I t c a n b e e a s i l y d e s i g n e d f o r a n y o r d e r o f a c c u r a c y i n s p a c e a n d t i m e . I n f a c t ,
p - v e r s i o n o r s p e c t r a l e l e m e n t t y p e v e r s i o n c a n b e d e s i g n e d 1 1 ]
T h i s p a p e r i s d e d i c a t e d t o P r o f e s s o r H o n g - C i H u a n g o n t h e o c c a s i o n o f h i s r e t i r e m e n t .
y
D i v i s i o n o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s , B r o w n U n i v e r s i t y , P r o v i d e n c e , R I 0 2 9 1 2 , U S A
( s h u @ c f m . b r o w n . e d u ) . R e s e a r c h s u p p o r t e d b y N S F g r a n t s I N T - 9 6 0 1 0 8 4 , D M S - 9 8 0 4 9 8 5 a n d E C S -
9 9 0 6 6 0 6 .
1
8/2/2019 Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Terms
2/11
2 C H I - W A N G S H U
I t c a n e a s i l y h a n d l e a d a p t i v i t y s t r a t e g i e s s i n c e r e n e m e n t o r u n r e n e m e n t o f
t h e m e s h c a n b e a c h i e v e d w i t h o u t t a k i n g i n t o a c c o u n t o f t h e c o n t i n u i t y r e -
s t r i c t i o n s t y p i c a l o f c o n f o r m i n g n i t e e l e m e n t m e t h o d s . M o r e o v e r , t h e d e g r e e
o f t h e a p p r o x i m a t i n g p o l y n o m i a l c a n b e e a s i l y c h a n g e d f r o m o n e e l e m e n t t o
t h e o t h e r .
I t i s a n e x p l i c i t m e t h o d , t h u s e c i e n t f o r s o l v i n g t h e h y p e r b o l i c p r o b l e m
( 1 . 1 ) . N o g l o b a l l i n e a r o r n o n l i n e a r s y s t e m s n e e d b e s o l v e d
I t c o m b i n e s t h e e x i b i l i t y o f n i t e e l e m e n t m e t h o d s i n t h e e a s y h a n d l i n g o f
c o m p l i c a t e d g e o m e t r y , w i t h t h e h i g h r e s o l u t i o n p r o p e r t y f o r d i s c o n t i n u o u s
s o l u t i o n s o f n i t e d i e r e n c e a n d n i t e v o l u m e m e t h o d s t h r o u g h m o n o t o n e
u x e s o r a p p r o x i m a t e R i e m a n n s o l v e r s a p p l i e d a t t h e e l e m e n t i n t e r f a c e s a n d
l i m i t e r s
I t h a s n i c e s t a b i l i t y p r o p e r t i e s : a l o c a l c e l l e n t r o p y i n e q u a l i t y f o r t h e s q u a r e
e n t r o p y c a n b e p r o v e n 1 0 ] f o r g e n e r a l t r i a n g u l a t i o n f o r a n y s c a l a r n o n l i n e a r
c o n s e r v a t i o n l a w s ( 1 . 1 ) i n a n y s p a t i a l d i m e n s i o n s a n d f o r a n y o r d e r o f a c -
c u r a c y , e v e n w i t h o u t t h e n e e d o f n o n l i n e a r l i m i t e r s . S o f a r t h i s i s t h e o n l y
c l a s s o f h i g h o r d e r m e t h o d s h a v i n g p r o v a b l e c e l l e n t r o p y i n e q u a l i t i e s i n s u c h
a g e n e r a l s e t t i n g . T h i s i m p l i e s n o n l i n e a r L
2
s t a b i l i t y a n d e n t r o p y c o n s i s t e n c y
e v e n f o r d i s c o n t i n u o u s s o l u t i o n s
T h e m e t h o d i s h i g h l y c o m p a c t : t h e e v o l u t i o n o f i n f o r m a t i o n i n a n y e l e m e n t
d e p e n d s o n l y o n t h e i n f o r m a t i o n o f i t s e l f a n d i t s i m m e d i a t e n e i g h b o r s , r e -
g a r d l e s s o f t h e o r d e r o f a c c u r a c y . T h i s i s i n c o n t r a s t w i t h h i g h o r d e r n i t e
v o l u m e s c h e m e s w h i c h m u s t u s e w i d e s t e n c i l s f o r h i g h o r d e r r e c o n s t r u c t i o n .
T h i s c o m p a c t n e s s i s r e s p o n s i b l e f o r t h e e c i e n t p a r a l l e l i m p l e m e n t a t i o n o f
t h e m e t h o d , s e e , e . g . 3 ] .
F o r m o r e d e t a i l s o f t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d a n d i t s r e c e n t d e v e l o p m e n t
a n d a p p l i c a t i o n s , w e r e f e r t h e r e a d e r s t o t h e s u r v e y a r t i c l e b y C o c k b u r n , K a r n i a d a k i s
a n d S h u 9 ] , t h e r e f e r e n c e s l i s t e d t h e r e i n , a n d o t h e r p a p e r s i n t h a t s p e c i a l S p r i n g e r
v o l u m e d e d i c a t e d e x c l u s i v e l y t o t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d .
R e c e n t l y , m o t i v a t e d b y t h e s u c c e s s f u l n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s o f B a s s i a n d R e b a y
1 ] , C o c k b u r n a n d S h u d e v e l o p e d t h e s o - c a l l e d l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d
i n t r e a t i n g t h e s e c o n d o r d e r v i s c o u s t e r m s a n d p r o v e d t h e s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e
w i t h o p t i m a l e r r o r e s t i m a t e s 8 ] . A t a b o u t t h e s a m e t i m e , B a u m a n n a n d O d e n 2 ]
i n t r o d u c e d a n e w d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r t h e d i s c r e t i z a t i o n o f t h e s e c o n d
o r d e r v i s c o u s t e r m s , s e e a l s o t h e p a p e r b y O d e n , B a b u s k a a n d B a u m a n n 1 2 ] . I n t h i s
p a p e r w e w i l l u s e s i m p l e e x a m p l e s t o i l l u s t r a t e t h e b a s i c i d e a s o f b o t h a p p r o a c h e s
a n d c o m p a r e t h e i r p e r f o r m a n c e s . W e w i l l a l s o e m p h a s i z e t h e \ p i t f a l l s " f o r u s i n g t h e
d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d o n t h e v i s c o u s t e r m s .
2 . D i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r r s t o r d e r c o n v e c t i o n p r o b l e m s .
W e s h a l l r s t d e s c r i b e t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r t h e r s t o r d e r c o n v e c t i o n
p r o b l e m ( 1 . 1 ) . T o s i m p l i f y t h e p r e s e n t a t i o n a n d w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t i e s w e s h a l l
u s e t h e o n e d i m e n s i o n a l l i n e a r v e r s i o n o f ( 1 . 1 ) a s a n e x a m p l e :
u
t
; u
x
= 0 :( 2 . 1 )
W e s h a l l s o l v e ( 2 . 1 ) f o r x 2 0 , 2 ] w i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d w i t h a n
i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n ( x ) .
L e t ' s d e n o t e I
j
= x
j ;
1
2
x
j +
1
2
] , f o r j = 1 : : : N , a s a m e s h f o r 0 , 2 ] , w h e r e x
1
2
= 0
a n d x
N +
1
2
= 2 . W e d e n o t e t h e c e n t e r o f e a c h c e l l b y x
j
=
1
2
x
j ;
1
2
+ x
j +
1
2
a n d t h e
8/2/2019 Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Terms
3/11
D I S C O N T I N U O U S G A L E R K I N M E T H O D F O R V I S C O U S T E R M S 3
s i z e o f e a c h c e l l b y x
j
= x
j +
1
2
; x
j ;
1
2
. T h e c e l l s d o n o t n e e d t o b e u n i f o r m b u t f o r
s i m p l i c i t y w e w i l l p e r f o r m c a l c u l a t i o n s i n t h i s p a p e r o n l y w i t h u n i f o r m m e s h e s a n d
w i l l d e n o t e t h e u n i f o r m m e s h s i z e b y x .
I f w e m u l t i p l y ( 2 . 1 ) b y a n a r b i t r a r y t e s t f u n c t i o n v ( x ) , i n t e g r a t e o v e r t h e i n t e r v a l
I
j
, a n d i n t e g r a t e b y p a r t s , w e g e t
Z
I
j
u
t
v d x +
Z
I
j
u v
x
d x ; u ( x
j +
1
2
t ) v ( x
j +
1
2
) + u ( x
j ;
1
2
t ) v ( x
j ;
1
2
) = 0 :( 2 . 2 )
T h i s i s t h e s t a r t i n g p o i n t f o r d e s i g n i n g t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d . W e r e p l a c e
b o t h t h e s o l u t i o n u a n d t h e t e s t f u n c t i o n v b y p i e c e w i s e p o l y n o m i a l s o f d e g r e e a t m o s t
k . T h a t i s , u v 2 V
x
w h e r e
V
x
= f v : v i s a p o l y n o m i a l o f d e g r e e a t m o s t k f o r x 2 I
j
j = 1 : : : N g :( 2 . 3 )
W i t h t h i s c h o i c e , t h e r e i s a n a m b i g u i t y i n ( 2 . 2 ) i n t h e l a s t t w o t e r m s i n v o l v i n g t h e
b o u n d a r y v a l u e s a t x
j
1
2
, a s b o t h t h e s o l u t i o n u a n d t h e t e s t f u n c t i o n v a r e d i s c o n -
t i n u o u s e x a c t l y a t t h e s e b o u n d a r y p o i n t s . T h i s i s a n u i s a n c e b u t a l s o a n o p p o r t u n i t y :
o n e c o u l d c l e v e r l y d e s i g n t h e s e t e r m s s o t h a t t h e r e s u l t i n g n u m e r i c a l m e t h o d i s s t a b l e
a n d a c c u r a t e . T o m o t i v a t e t h e i d e a s , l e t ' s l o o k a t t h e s i m p l e s t c a s e k = 0 . T h a t i s ,
t h e s o l u t i o n a s w e l l a s t h e t e s t f u n c t i o n s a r e p i e c e w i s e c o n s t a n t s . I f w e d e n o t e b y u
j
t h e v a l u e o f u ( w h i c h i s c o n s t a n t i n e a c h c e l l ) i n t h e c e l l I
j
, ( 2 . 2 ) w o u l d b e c o m e t h e
f a m i l i a r r s t o r d e r u p w i n d n i t e v o l u m e s c h e m e
d
d t
u
j
;
1
x
j
( u
j + 1
; u
j
) = 0
i f w e p e r f o r m t h e f o l l o w i n g i n ( 2 . 2 ) :
1 . R e p l a c e t h e b o u n d a r y t e r m s u ( x
j
1
2
t ) b y s i n g l e v a l u e d n u m e r i c a l u x e s
u
j
1
2
= u ( u
;
j
1
2
u
+
j
1
2
) . T h e s e u x e s i n g e n e r a l d e p e n d b o t h o n t h e l e f t
l i m i t ( e . g . u
;
j +
1
2
= l i m
x ! x
;
j +
1
2
u ( x t ) ) a n d o n t h e r i g h t l i m i t ( e . g . u
+
j +
1
2
=
l i m
x ! x
+
j +
1
2
u ( x t ) ) . F o r t h e e q u a t i o n ( 2 . 1 ) , t h e u x ^ u
j +
1
2
i s t a k e n a s u
+
j +
1
2
a c c o r d i n g t o u p w i n d i n g .
2 . R e p l a c e t h e t e s t f u n c t i o n v a t t h e b o u n d a r i e s b y t h e v a l u e s t a k e n f r o m i n s i d e
t h e c e l l I
j
, n a m e l y v
;
j +
1
2
a n d v
+
j ;
1
2
.
T h e s c h e m e n o w b e c o m e s : n d u 2 V
x
s u c h t h a t , f o r a l l t e s t f u n c t i o n s v 2 V
x
,
Z
I
j
u
t
v d x +
Z
I
j
u v
x
d x ; u
j +
1
2
v
;
j +
1
2
+ u
j ;
1
2
v
+
j ;
1
2
= 0( 2 . 4 )
w h e r e t h e n u m e r i c a l u x ^ u
j +
1
2
= u
+
j +
1
2
.
A f t e r p i c k i n g a l o c a l b a s i s a n d i n v e r t i n g a l o c a l ( k + 1 ) ( k + 1 ) m a s s m a t r i x ( b y
h a n d ) , t h e s c h e m e ( 2 . 4 ) c a n b e w r i t t e n a s
d
d t
u
j
+
1
x
j
( A u
j
+ B u
j + 1
) = 0( 2 . 5 )
w h e r e u
j
i s a s m a l l v e c t o r o f l e n g t h k + 1 c o n t a i n i n g t h e c o e c i e n t s o f t h e s o l u t i o n u
i n t h e l o c a l b a s i s i n s i d e c e l l I
j
, a n d A a n d B a r e ( k + 1 ) ( k + 1 ) c o n s t a n t m a t r i c e s
w h i c h c a n b e c o m p u t e d o n c e a n d f o r a l l a n d s t o r e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c o d e .
8/2/2019 Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Terms
4/11
4 C H I - W A N G S H U
T a b l e 2 . 1
L
2
a n d L
1
e r r o r s a n d o r d e r s o f a c c u r a c y f o r t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 2 . 4 ) a p p l i e d t o
t h e l i n e a r e q u a t i o n ( 2 . 1 ) w i t h a n i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n ( x ) , t = 2 . T h i r d o r d e r R u n g e - K u t t a
i n t i m e .
k = 1 k = 2
x L
2
e r r o r o r d e r L
1
e r r o r o r d e r L
2
e r r o r o r d e r L
1
e r r o r o r d e r
2 = 2 0 4 . 6 3 E - 0 3 | 1 . 3 4 E - 0 2 | 1 . 1 4 E - 0 4 | 5 . 1 0 E - 0 4 |
2 = 4 0 1 . 0 9 E - 0 3 2 . 0 8 3 . 7 5 E - 0 3 1 . 8 4 1 . 4 2 E - 0 5 3 . 0 0 6 . 4 4 E - 0 5 2 . 9 8
2 = 8 0 2 . 6 9 E - 0 4 2 . 0 2 9 . 8 4 E - 0 4 1 . 9 3 1 . 7 7 E - 0 6 3 . 0 0 8 . 0 8 E - 0 6 3 . 0 0
2 = 1 6 0 6 . 6 9 E - 0 5 2 . 0 1 2 . 5 2 E - 0 4 1 . 9 7 2 . 2 1 E - 0 7 3 . 0 0 1 . 0 1 E - 0 6 3 . 0 0
S c h e m e ( 2 . 5 ) c a n t h e n b e e a s i l y d i s c r e t i z e d i n t i m e b y t h e n o n l i n e a r l y s t a b l e h i g h
o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d s i n 1 4 ] . W e u s e t h e t h i r d o r d e r v e r s i o n i n 1 4 ] a n d u s e
s u c i e n t l y s m a l l t i m e s t e p s f o r t h e a c c u r a c y t e s t s .
W e r e m a r k t h a t t h e m e t h o d ( 2 . 5 ) i s e x t r e m e l y s i m p l e t o c o d e a n d e a s y t o p a r a l -
l e l i z e .
F o r i l l u s t r a t i o n p u r p o s e w e s h o w i n T a b l e 2 . 1 t h e L
2
a n d L
1
e r r o r s a n d n u m e r i -
c a l l y o b s e r v e d o r d e r s o f a c c u r a c y f o r t h e t w o c a s e s k = 1 a n d 2 ( p i e c e w i s e l i n e a r a n d
p i e c e w i s e q u a d r a t i c c a s e s ) f o r t = 2 ( a f t e r o n e t i m e p e r i o d ) . W e c a n c l e a r l y s e e t h a t
a n o r d e r o f k + 1 i s a c h i e v e d .
T o i l l u s t r a t e t h e p o w e r o f t h e m e t h o d f o r d i s c o n t i n u o u s s o l u t i o n s , e v e n w i t h o u t
u s i n g t h e n o n l i n e a r l i m i t e r s , w e s o l v e e q u a t i o n ( 2 . 1 ) w i t h a d i s c o n t i n u o u s i n i t i a l c o n -
d i t i o n u ( x 0 ) = 1 f o r x 2
2
3
2
] a n d u ( x 0 ) = 0 e l s e w h e r e i n s i d e 0 , 2 ] , e x t e n d e d
p e r i o d i c a l l y . W e s o l v e t h e p r o b l e m f o r 5 0 t i m e p e r i o d s t o t = 1 0 0 , u s i n g N = 4 0
c e l l s , w i t h k = 1 ( p i e c e w i s e l i n e a r ) a n d k = 6 ( p i e c e w i s e s i x t h d e g r e e p o l y n o m i a l ) ,
a n d s h o w t h e r e s u l t s i n F i g . 2 . 1 , w h e r e t h e s o l i d l i n e i s t h e e x a c t s o l u t i o n a n d t h e
d a s h e d l i n e a n d s q u a r e s y m b o l s ( o n l y t h e m i d d l e p o i n t v a l u e o f e a c h c e l l i s p l o t t e d )
a r e t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s . W e c a n c l e a r l y o b s e r v e t h a t t h e s e c o n d o r d e r m e t h o d
( k = 1 ) h a s a c o n s i d e r a b l e s m e a r i n g o f t h e d i s c o n t i n u i t y a t t h i s l o n g t i m e b u t t h e
s e v e n t h o r d e r m e t h o d ( k = 6 ) a r e s t i l l a b l e t o h o l d o n t o t h e s t r u c t u r e o f t h e s o l u t i o n
w i t h o u t n o t i c e a b l e s m e a r i n g . N o t i c e t h a t t h i s i s a p a r t i c u l a r l y t o u g h t e s t c a s e a s d i s -
c o n t i n u i t i e s f o r l i n e a r e q u a t i o n s l i k e ( 2 . 1 ) , w h i c h a r e c a l l e d \ c o n t a c t d i s c o n t i n u i t i e s "
i n t h e l i t e r a t u r e , a r e s u b j e c t t o s e v e r e n u m e r i c a l d i s s i p a t i o n ( s m e a r i n g ) a n d a r e v e r y
d i c u l t t o r e s o l v e s h a r p l y b y a n u m e r i c a l m e t h o d .
3 . N a i v e g e n e r a l i z a t i o n o f t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d t o t h e
s e c o n d o r d e r d i u s i o n p r o b l e m | a \ p i t f a l l " . W e n o w t u r n o u r a t t e n t i o n t o
t h e c o n v e c t i o n d i u s i o n p r o b l e m s c o n t a i n i n g s e c o n d d e r i v a t i v e s . T h e d i c u l t y c a n b e
i l l u s t r a t e d b y t h e f o l l o w i n g s i m p l e h e a t e q u a t i o n :
u
t
; u
x x
= 0 :( 3 . 1 )
a g a i n f o r x 2 0 , 2 ] w i t h p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d w i t h a n i n i t i a l c o n d i t i o n
u ( x 0 ) = s i n ( x ) .
I f w e p r o c e e d a s b e f o r e w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g e q u a l i t y s i m i l a r t o ( 2 . 2 ) :
Z
I
j
u
t
v d x +
Z
I
j
u
x
v
x
d x ; u
x
( x
j +
1
2
t ) v ( x
j +
1
2
) + u
x
( x
j ;
1
2
t ) v ( x
j ;
1
2
) = 0 :( 3 . 2 )
T h e o n l y d i e r e n c e b e t w e e n ( 2 . 2 ) a n d ( 3 . 2 ) i s t h a t , i n a l l t h e t e r m s e x c e p t t h e r s t
o n e , u i n ( 2 . 2 ) i s r e p l a c e d b y u
x
i n ( 3 . 2 ) . A v e r y n a t u r a l w a y t o e x t e n d t h e s c h e m e
8/2/2019 Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Terms
5/11
D I S C O N T I N U O U S G A L E R K I N M E T H O D F O R V I S C O U S T E R M S 5
0 1 2 3 4 5 6
x
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1u
k=1, t=100, solid line: exact solution;dashed line / squares: numerical solution
0 1 2 3 4 5 6
x
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1u
k=6, t=100, solid line: exact solution;dashed line / squares: numerical solution
F i g . 2 . 1 T h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 2 . 4 ) a p p l i e d t o t h e l i n e a r e q u a t i o n ( 2 . 1 ) w i t h a
s q u a r e i n i t i a l c o n d i t i o n , t = 1 0 0 . 4 0 c e l l s . T h i r d o r d e r R u n g e - K u t t a i n t i m e . S o l i d l i n e : t h e e x a c t
s o l u t i o n D a s h e d l i n e a n d s q u a r e s s y m b o l s : t h e c o m p u t e d s o l u t i o n a t t h e c e l l c e n t e r s . L e f t : k = 1
R i g h t : k = 6
( 2 . 4 ) w o u l d b e s i m p l y t o r e p l a c e u b y u
x
: n d u 2 V
x
s u c h t h a t , f o r a l l t e s t f u n c t i o n s
v 2 V
x
,
Z
I
j
u
t
v d x +
Z
I
j
u
x
v
x
d x ; u
x
j +
1
2
v
;
j +
1
2
+ u
x
j ;
1
2
v
+
j ;
1
2
= 0( 3 . 3 )
w h e r e , f o r t h e l a c k o f u p w i n d i n g m e c h a n i s m i n a h e a t e q u a t i o n o n e n a t u r a l l y t a k e s a
c e n t r a l u x ^ u
x
j +
1
2
=
1
2
( u
x
)
;
j +
1
2
+ ( u
x
)
+
j +
1
2
.
O n e m i g h t b e m o r e c a r e f u l a n d n o t i c e t h a t , f o r t h e p i e c e w i s e c o n s t a n t c a s e k = 0 ,
( 3 . 3 ) b e c o m e s t h e r i d i c u l o u s
d
d t
u
j
= 0( 3 . 4 )
w h e r e u
j
i s t h e v a l u e o f u ( c o n s t a n t i n e a c h c e l l ) i n c e l l I
j
, c l e a r l y i n c o n s i s t e n t w i t h
t h e o r i g i n a l P D E ( 3 . 1 ) . H o w e v e r , o n e m i g h t b e t e m p t e d t o b e l i e v e t h a t t h i s i s j u s t a
s p e c i a l c a s e a n d s t a r t i n g f r o m k = 1 t h i n g s w i l l b e O K , a s t h e n t h e r s t e q u a l i t y i n
t h e s c h e m e ( 3 . 3 ) w i t h t h e c h o i c e v = 1 i n I
j
b e c o m e s
d
d t
u
j
;
1
x
j
u
x
j +
1
2
; u
x
j ;
1
2
= 0
w h i c h i s q u i t e r e a s o n a b l e i n a p p e a r a n c e .
W e r e m a r k t h a t , i n t h e a c t u a l c o m p u t a t i o n , t h e s c h e m e i s s i m i l a r t o ( 2 . 5 ) a n d
t a k e s t h e f o r m
d
d t
u
j
+
1
x
2
j
( A u
j ; 1
+ B u
j
+ C u
j + 1
) = 0( 3 . 5 )
w h e r e u
j
i s a s m a l l v e c t o r o f l e n g t h k + 1 c o n t a i n i n g t h e c o e c i e n t s o f t h e s o l u t i o n u
i n t h e l o c a l b a s i s i n s i d e c e l l I
j
, a n d A , B , C a r e ( k + 1 ) ( k + 1 ) c o n s t a n t m a t r i c e s
w h i c h c a n b e c o m p u t e d o n c e a n d f o r a l l a n d s t o r e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h e c o d e .
A g a i n , t h e t h i r d o r d e r R u n g e - K u t t a m e t h o d 1 4 ] c a n b e u s e d .
8/2/2019 Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Terms
6/11
6 C H I - W A N G S H U
T a b l e 3 . 1
L
2
a n d L
1
e r r o r s a n d o r d e r s o f a c c u r a c y f o r t h e i n c o n s i s t e n t d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d
( 3 . 3 ) a p p l i e d t o t h e h e a t e q u a t i o n ( 3 . 1 ) w i t h a n i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n ( x ) , t = 0 8 . T h i r d
o r d e r R u n g e - K u t t a i n t i m e .
k = 1 k = 2
x L
2
e r r o r o r d e r L
1
e r r o r o r d e r L
2
e r r o r o r d e r L
1
e r r o r o r d e r
2 = 2 0 1 . 7 8 E - 0 1 | 2 . 5 8 E - 0 1 | 1 . 8 5 E - 0 1 | 2 . 7 2 E - 0 1 |
2 = 4 0 1 . 7 6 E - 0 1 0 . 0 1 6 2 . 5 0 E - 0 1 0 . 0 2 5 1 . 7 8 E - 0 1 0 . 0 4 9 2 . 5 5 E - 0 1 0 . 0 8 9
2 = 8 0 1 . 7 5 E - 0 1 0 . 0 0 4 2 . 4 8 E - 0 1 0 . 0 1 2 1 . 7 7 E - 0 1 0 . 0 1 3 2 . 5 1 E - 0 1 0 . 0 2 5
2 = 1 6 0 1 . 7 5 E - 0 1 0 . 0 0 1 2 . 4 8 E - 0 1 0 . 0 0 3 1 . 7 6 E - 0 1 0 . 0 0 3 2 . 5 0 E - 0 1 0 . 0 0 7
W e c o m p u t e w i t h t h e s c h e m e ( 3 . 3 ) a n d s h o w i n T a b l e 3 . 1 t h e L
2
a n d L
1
e r r o r s
a n d n u m e r i c a l l y o b s e r v e d o r d e r s o f a c c u r a c y f o r t h e t w o c a s e s k = 1 a n d 2 ( p i e c e w i s e
l i n e a r a n d p i e c e w i s e q u a d r a t i c c a s e s ) t o t = 0 : 8 . C l e a r l y t h e r e i s a n o r d e r o n e e r r o r f o r
b o t h c a s e s w h i c h d o e s n o t d e c r e a s e w i t h a m e s h r e n e m e n t ! W e p l o t t h e s o l u t i o n s w i t h
1 6 0 c e l l s i n F i g . 3 . 1 a n d c a n c l e a r l y s e e t h a t t h e c o m p u t e d s o l u t i o n s h a v e c o m p l e t e l y
i n c o r r e c t a m p l i t u d e s . T h e s c h e m e i s n o t c o n s i s t e n t !
0 1 2 3 4 5 6
x
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8u
k=1, t=0 .8, solid line: exact solution;dashed line / squares: numerical solution
0 1 2 3 4 5 6
x
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6u
k=2, t=0 .8, solid line: exact solution;dashed line / squares: numerical solution
F i g . 3 . 1 T h e i n c o n s i s t e n t d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 3 . 3 ) a p p l i e d t o t h e h e a t e q u a t i o n
( 3 . 1 ) w i t h a n i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n ( x ) t = 0 8 . 1 6 0 c e l l s . T h i r d o r d e r R u n g e - K u t t a i n
t i m e . S o l i d l i n e : t h e e x a c t s o l u t i o n D a s h e d l i n e a n d s q u a r e s s y m b o l s : t h e c o m p u t e d s o l u t i o n a t t h e
c e l l c e n t e r s . L e f t : k = 1 R i g h t : k = 2
T h i s i s a v e r y s u b t l e i n c o n s i s t e n c y : t h e e x a c t s o l u t i o n o f t h e P D E ( 3 . 1 ) d o e s s a t i s f y
t h e s c h e m e ( 3 . 3 ) e x a c t l y ! H e n c e o n e m i g h t b a s e t h e j u d g m e n t o n o n e ' s e x p e r i e n c e w i t h
n i t e d i e r e n c e a n d c o n c l u d e t h a t t h e m e t h o d i s c o n s i s t e n t . I n d e e d , s i n c e t h e m e t h o d
i s e x t r e m e l y n o n - c o n f o r m a l ( i . e . t h e s p a c e V
x
i n ( 2 . 3 ) i s t o o i r r e g u l a r f o r t h e h e a t
e q u a t i o n ( 3 . 1 ) w h i c h n e e d s a n H
1
s p a c e ) , t h e s c h e m e ( 3 . 3 ) s u e r s f r o m t h e \ v a r i a t i o n a l
c r i m e s " a s d e s c r i b e d b y S t r a n g a n d F i x 1 5 ] .
I t i s a c t u a l l y v e r y d a n g e r o u s t h a t t h e s c h e m e ( 3 . 3 ) p r o d u c e s s t a b l e b u t c o m p l e t e l y
i n c o r r e c t s o l u t i o n . I f o n e w a s i n a h u r r y a n d d i d n o t w a n t t o d o t h e g r o u n d w o r k o f
t e s t i n g t h e m e t h o d o n t h e s i m p l e h e a t e q u a t i o n r s t w h i c h h a s a k n o w n e x a c t s o l u -
t i o n , b u t r a t h e r w e n t t o s o l v e t h e c o m p l i c a t e d N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a n d p r o d u c e d
b e a u t i f u l c o l o r p i c t u r e s , o n e w o u l d n o t b e a b l e t o t e l l t h a t t h e r e s u l t i s a c t u a l l y w r o n g !
I n f a c t , t h e i n c o r r e c t s c h e m e ( 3 . 3 ) h a s b e e n u s e d i n t h e l i t e r a t u r e f o r d i s c r e t i z i n g t h e
v i s c o u s t e r m s i n t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s ( I w i l l s p a r e t h e r e f e r e n c e h e r e ) .
I n t h e n e x t t w o s e c t i o n s w e w i l l d e s c r i b e \ s m a l l " m o d i c a t i o n s t o t h e i n c o r r e c t
8/2/2019 Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Terms
7/11
D I S C O N T I N U O U S G A L E R K I N M E T H O D F O R V I S C O U S T E R M S 7
s c h e m e ( 3 . 3 ) t o o b t a i n t w o c l a s s e s o f s t a b l e a n d a c c u r a t e s c h e m e s f o r ( 3 . 1 ) . W e w i l l
a l s o c o m p a r e t h e i r n u m e r i c a l p e r f o r m a n c e s .
4 . T h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r t h e s e c o n d o r d e r d i f -
f u s i o n p r o b l e m . I f w e r e w r i t e t h e h e a t e q u a t i o n ( 3 . 1 ) a s a r s t o r d e r s y s t e m
u
t
; q
x
= 0 q ; u
x
= 0 ( 4 . 1 )
w e c a n t h e n f o r m a l l y u s e t h e s a m e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d a s i n s e c t i o n 2
f o r t h e c o n v e c t i o n e q u a t i o n t o s o l v e ( 4 . 1 ) , r e s u l t i n g i n t h e f o l l o w i n g s c h e m e : n d
u q 2 V
x
s u c h t h a t , f o r a l l t e s t f u n c t i o n s v w 2 V
x
,
Z
I
j
u
t
v d x +
Z
I
j
q v
x
d x ; q
j +
1
2
v
;
j +
1
2
+ q
j ;
1
2
v
+
j ;
1
2
= 0( 4 . 2 )
Z
I
j
q w d x +
Z
I
j
u w
x
d x ; u
j +
1
2
w
;
j +
1
2
+ u
j ;
1
2
w
+
j ;
1
2
= 0
w h e r e , a g a i n f o r t h e l a c k o f u p w i n d i n g m e c h a n i s m i n a h e a t e q u a t i o n o n e n a t u r a l l y
r s t t r i e s t h e c e n t r a l u x e s :
u
j +
1
2
=
1
2
u
;
j +
1
2
+ u
+
j +
1
2
q
j +
1
2
=
1
2
q
;
j +
1
2
+ q
+
j +
1
2
:( 4 . 3 )
W e e m p h a s i z e t h a t t h e a b o v e f o r m u l a t i o n o f t h e d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n s c h e m e
i s o n l y f o r m a l l y s i m i l a r t o t h a t o f t h e c o n v e c t i o n e q u a t i o n i n s e c t i o n 2 . I n f a c t , t h e r e
i s n o t i m e d e r i v a t i v e i n t h e s e c o n d e q u a t i o n i n ( 4 . 1 ) a n d i t i s n o t a h y p e r b o l i c p r o b l e m
e v e n t h o u g h i t i s w r i t t e n i n t o a s y s t e m f o r m w i t h o n l y r s t d e r i v a t i v e s . I f w e v i e w t h e
s c h e m e ( 4 . 2 ) a s a m i x e d n i t e e l e m e n t m e t h o d t h e n i t l a c k s t h e u s u a l s o p h i s t i c a t e d
m a t c h i n g o f t h e t w o s o l u t i o n s p a c e s f o r u a n d q ( t h e s a m e s p a c e i s u s e d f o r b o t h
o f t h e m ) . \ C o m m o n s e n s e " i n t r a d i t i o n a l n i t e e l e m e n t s w o u l d h i n t t h a t s c h e m e
( 4 . 2 ) h a s n o c h a n c e t o w o r k . H o w e v e r , B a s s i a n d R e b a y 1 ] w e r e b r a v e e n o u g h t o
t r y t h i s m e t h o d o n t h e v i s c o u s t e r m s i n t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a n d s e e m e d t o
h a v e o b t a i n e d v e r y g o o d r e s u l t s . M o t i v a t e d b y t h e i r w o r k , C o c k b u r n a n d S h u 8 ]
a n a l y z e d t h i s m e t h o d a n d o b t a i n e d c o n d i t i o n s o n t h e c h o i c e o f t h e u x e s ^ u
j +
1
2
a n d
q
j +
1
2
w h i c h g u a r a n t e e s t a b i l i t y , c o n v e r g e n c e a n d a s u b - o p t i m a l e r r o r e s t i m a t e o f o r d e r
k f o r p i e c e w i s e p o l y n o m i a l s o f d e g r e e k . I t t u r n s o u t t h a t t h e c e n t r a l u x e s ( 4 . 3 )
u s e d b y B a s s i a n d R e b a y 1 ] d o s a t i s f y t h e s e c o n d i t i o n s . N o w o n d e r t h e y c o n v e r g e i n
p r a c t i c e !
W e r e m a r k t h a t t h e a p p e a r a n c e o f t h e a u x i l i a r y v a r i a b l e q i s s u p e r c i a l : w h e n a
l o c a l b a s i s i s c h o s e n i n c e l l I
j
t h e n q i s e l i m i n a t e d a n d t h e a c t u a l s c h e m e f o r u t a k e s
a f o r m s i m i l a r t o ( 3 . 5 ) . W e w i l l c o m e b a c k t o t h i s i s s u e l a t e r .
T h e r e a r e t w o p r o b l e m s a s s o c i a t e d w i t h t h e c h o i c e o f t h e c e n t r a l u x e s i n ( 4 . 3 ) :
1 . I t s p r e a d s t o v e c e l l s w h e n a l o c a l b a s i s i s c h o s e n f o r u i n c e l l I
j
. A f t e r q i s
e l i m i n a t e d t h e s c h e m e b e c o m e s
d
d t
u
j
+
1
x
2
j
( A u
j ; 2
+ B u
j ; 1
+ C u
j
+ D u
j + 1
+ E u
j + 2
) = 0
w h e r e u
j
i s a s m a l l v e c t o r o f l e n g t h k + 1 c o n t a i n i n g t h e c o e c i e n t s o f t h e
s o l u t i o n u i n t h e l o c a l b a s i s i n s i d e c e l l I
j
, a n d A , B , C D , E a r e ( k + 1 ) ( k + 1 )
c o n s t a n t m a t r i c e s w h i c h c a n b e c o m p u t e d o n c e a n d f o r a l l a n d s t o r e d a t t h e
b e g i n n i n g o f t h e c o d e . T h e s t e n c i l h e r e i s w i d e r t h a n t h a t i n ( 3 . 5 ) .
8/2/2019 Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Terms
8/11
8 C H I - W A N G S H U
T a b l e 4 . 1
L
2
a n d L
1
e r r o r s a n d o r d e r s o f a c c u r a c y f o r t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 4 . 2 )
w i t h u x e s ( 4 . 4 ) a p p l i e d t o t h e h e a t e q u a t i o n ( 3 . 1 ) w i t h a n i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n ( x ) , t = 0 8
T h i r d o r d e r R u n g e - K u t t a i n t i m e .
k = 1 k = 2
x L
2
e r r o r o r d e r L
1
e r r o r o r d e r L
2
e r r o r o r d e r L
1
e r r o r o r d e r
2 = 2 0 , u 1 . 9 2 E - 0 3 | 7 . 3 4 E - 0 3 | 4 . 8 7 E - 0 5 | 2 . 3 0 E - 0 4 |
2 = 2 0 , q 1 . 9 3 E - 0 3 | 7 . 3 3 E - 0 3 | 4 . 8 7 E - 0 5 | 2 . 3 0 E - 0 4 |
2 = 4 0 , u 4 . 8 1 E - 0 4 2 . 0 0 1 . 8 4 E - 0 3 1 . 9 9 6 . 0 8 E - 0 6 3 . 0 0 2 . 9 0 E - 0 5 2 . 9 9
2 = 4 0 , q 4 . 8 1 E - 0 4 2 . 0 0 1 . 8 4 E - 0 3 1 . 9 9 6 . 0 8 E - 0 6 3 . 0 0 2 . 9 0 E - 0 5 2 . 9 9
2 = 8 0 , u 1 . 2 0 E - 0 4 2 . 0 0 4 . 6 2 E - 0 4 2 . 0 0 7 . 6 0 E - 0 7 3 . 0 0 3 . 6 3 E - 0 6 3 . 0 0
2 = 8 0 , q 1 . 2 0 E - 0 4 2 . 0 0 4 . 6 2 E - 0 4 2 . 0 0 7 . 6 0 E - 0 7 3 . 0 0 3 . 6 3 E - 0 6 3 . 0 0
2 = 1 6 0 , u 3 . 0 0 E - 0 5 2 . 0 0 1 . 1 5 E - 0 4 2 . 0 0 9 . 5 0 E - 0 8 3 . 0 0 4 . 5 3 E - 0 7 3 . 0 0
2 = 1 6 0 , q 3 . 0 0 E - 0 5 2 . 0 0 1 . 1 5 E - 0 4 2 . 0 0 9 . 5 0 E - 0 8 3 . 0 0 4 . 5 3 E - 0 7 3 . 0 0
2 . T h e o r d e r o f a c c u r a c y i s o n e o r d e r l o w e r f o r o d d k . T h a t i s , f o r o d d k t h e
p r o o f o f t h e s u b - o p t i m a l e r r o r e s t i m a t e o f o r d e r k i s a c t u a l l y s h a r p .
B o t h p r o b l e m s c a n b e c u r e d b y a c l e v e r c h o i c e o f u x e s , p r o p o s e d i n C o c k b u r n
a n d S h u 8 ] :
u
j +
1
2
= u
;
j +
1
2
q
j +
1
2
= q
+
j +
1
2
:( 4 . 4 )
i . e . w e a l t e r n a t i v e l y t a k e t h e l e f t a n d r i g h t l i m i t s f o r t h e u x e s i n u a n d q ( w e c o u l d
o f c o u r s e a l s o t a k e t h e p a i r u
+
j +
1
2
a n d q
;
j +
1
2
a s t h e u x e s ) . N o t i c e t h a t t h e e v a l u a t i o n
o f ( 4 . 4 ) i s s i m p l e r t h a n t h a t o f t h e c e n t r a l u x e s i n ( 4 . 3 ) . W e r e c o v e r e x a c t l y t h e
s c h e m e i n t h e f o r m o f ( 3 . 5 ) ( o f c o u r s e w i t h d i e r e n t c o n s t a n t m a t r i c e s A , B a n d C )
w h e n a l o c a l b a s i s i s c h o s e n . H e n c e t h e c o m p u t a t i o n a l c o s t a n d s t o r a g e r e q u i r e m e n t
o f s c h e m e ( 4 . 2 ) w i t h t h e u x e s ( 4 . 4 ) i s t h e s a m e a s t h a t o f t h e i n c o n s i s t e n t s c h e m e
( 3 . 3 ) , e v e n t h o u g h w e n o w h a v e n o m i n a l l y a n a d d i t i o n a l a u x i l i a r y v a r i a b l e q ! W e c a n
a l s o p r o v e t h a t n o w t h e o r d e r o f a c c u r a c y b e c o m e s k + 1 f o r a l l k .
F o r i l l u s t r a t i o n p u r p o s e w e s h o w i n T a b l e 4 . 1 t h e L
2
a n d L
1
e r r o r s a n d n u m e r -
i c a l l y o b s e r v e d o r d e r s o f a c c u r a c y , f o r b o t h u a n d q , f o r t h e t w o c a s e s k = 1 a n d 2
( p i e c e w i s e l i n e a r a n d p i e c e w i s e q u a d r a t i c c a s e s ) t o t = 0 : 8 . C l e a r l y ( k + 1 ) - t h o r d e r
o f a c c u r a c y i s a c h i e v e d f o r b o t h o d d a n d e v e n k a n d a l s o t h e s a m e o r d e r o f a c c u r a c y
i s a c h i e v e d f o r q w h i c h a p p r o x i m a t e s u
x
. W e t h u s o b t a i n t h e a d v a n t a g e o f m i x e d
n i t e e l e m e n t m e t h o d s i n a p p r o x i m a t i n g t h e d e r i v a t i v e s o f t h e e x a c t s o l u t i o n t o t h e
s a m e o r d e r o f a c c u r a c y a s t h e s o l u t i o n t h e m s e l v e s , y e t w i t h o u t a d d i t i o n a l s t o r a g e o r
c o m p u t a t i o n a l c o s t s f o r t h e a u x i l i a r y v a r i a b l e q !
5 . T h e B a u m a n n - O d e n d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r t h e s e c o n d
o r d e r d i u s i o n p r o b l e m . A n o t h e r p o s s i b l e m o d i c a t i o n t o t h e i n c o n s i s t e n t s c h e m e
( 3 . 3 ) i s g i v e n b y B a u m a n n a n d O d e n 2 ] , s e e a l s o O d e n , B a b u s k a , a n d B a u m a n n 1 2 ] .
B a s i c a l l y , e x t r a b o u n d a r y t e r m s w e r e a d d e d t o t h e e l e m e n t b o u n d a r i e s s u c h t h a t ,
w h e n o n e t a k e s v = u a n d s u m o v e r a l l c e l l s , t h e b o u n d a r y c o n t r i b u t i o n d i s a p p e a r s
a n d o n e g e t s a n i c e L
2
n o r m s t a b i l i t y c o n t r o l . T h e s c h e m e n o w b e c o m e s : n d u 2 V
x
s u c h t h a t , f o r a l l t e s t f u n c t i o n s v 2 V
x
,
Z
I
j
u
t
v d x +
Z
I
j
u
x
v
x
d x ; u
x
j +
1
2
v
;
j +
1
2
+ u
x
j ;
1
2
v
+
j ;
1
2
( 5 . 1 )
;
1
2
( v
x
)
;
j +
1
2
u
+
j +
1
2
; u
;
j +
1
2
;
1
2
( v
x
)
+
j ;
1
2
u
+
j ;
1
2
; u
;
j ;
1
2
= 0
8/2/2019 Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Terms
9/11
D I S C O N T I N U O U S G A L E R K I N M E T H O D F O R V I S C O U S T E R M S 9
w h e r e , a g a i n f o r t h e l a c k o f u p w i n d i n g m e c h a n i s m i n a h e a t e q u a t i o n o n e n a t u r a l l y
t a k e s a c e n t r a l u x ^ u
x
j +
1
2
=
1
2
( u
x
)
;
j +
1
2
+ ( u
x
)
+
j +
1
2
. N o t i c e t h a t t h e e x t r a t e r m s
a d d e d d o n o t m a k e t h e s y s t e m s y m m e t r i c .
W e r e m a r k t h a t f o r k = 0 t h e s c h e m e ( 5 . 1 ) a g a i n d e g e n e r a t e s t o t h e r i d i c u l o u s
( 3 . 4 ) h e n c e i s i n c o n s i s t e n t w i t h t h e P D E ( 3 . 1 ) . T h e s c h e m e c a n o n l y b e u s e d f o r
k 1 .
F o r c o d i n g p u r p o s e ( 5 . 1 ) i s t h e m o s t c o n v e n i e n t f o r m , h o w e v e r i t m i g h t b e m o r e
i l l u s t r a t i v e i f w e r e w r i t e ( 5 . 1 ) i n t o a g l o b a l f o r m : n d u 2 V
x
s u c h t h a t , f o r a l l t e s t
f u n c t i o n s v 2 V
x
,
Z
2
0
u
t
v d x +
N
X
j = 1
Z
I
j
u
x
v
x
d x + u
x
j +
1
2
v ]
j +
1
2
; v
x
j +
1
2
u ]
j +
1
2
!
= 0( 5 . 2 )
w h e r e w ] w
+
; w
;
d e n o t e s t h e j u m p o f t h e f u n c t i o n w a t t h e i n t e r f a c e a n d t h e
u x f o r v
x
i s a l s o a c e n t r a l u x ^ v
x
j +
1
2
=
1
2
( v
x
)
;
j +
1
2
+ ( v
x
)
+
j +
1
2
. T h e a n t i - s y m m e t r y
n a t u r e o f t h e b o u n d a r y t e r m s ( w h i c h d i s a p p e a r w h e n o n e t a k e s v = u ) i s c l e a r l y s e e n
i n t h e g l o b a l f o r m u l a t i o n ( 5 . 2 ) .
W e r e m a r k t h a t o n c e a g a i n w e r e c o v e r e x a c t l y t h e s c h e m e i n t h e f o r m o f ( 3 . 5 )
( o f c o u r s e w i t h d i e r e n t c o n s t a n t m a t r i c e s A , B a n d C ) w h e n a l o c a l b a s i s i s c h o s e n .
H e n c e t h e c o m p u t a t i o n a l c o s t a n d s t o r a g e r e q u i r e m e n t o f s c h e m e ( 5 . 1 ) i s t h e s a m e a s
t h a t o f t h e i n c o n s i s t e n t s c h e m e ( 3 . 3 ) o r a s t h a t o f t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n
m e t h o d ( 4 . 2 ) - ( 4 . 4 ) . T h e r e i s n o s a v i n g i n t h e c o m p u t a t i o n a l c o s t h e r e o v e r t h e m e t h o d
( 4 . 2 ) - ( 4 . 4 ) e v e n t h o u g h t h e l a t t e r h a s n o m i n a l l y a n a d d i t i o n a l a u x i l i a r y v a r i a b l e q .
T h i s s t a t e m e n t i s v a l i d w h e n a l i n e a r P D E i s s o l v e d . F o r n o n l i n e a r p r o b l e m s t h e
c o m p u t a t i o n a l c o s t o f t h e B a u m a n n - O d e n m e t h o d ( 5 . 1 ) m a y b e s m a l l e r t h a n t h a t o f
t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 4 . 2 ) - ( 4 . 4 ) .
T h e o r d e r o f a c c u r a c y f o r t h e s c h e m e ( 5 . 1 ) i s k f o r e v e n k ( s u b - o p t i m a l ) a n d k + 1
f o r o d d k ( o p t i m a l ) .
F o r i l l u s t r a t i o n p u r p o s e w e s h o w i n T a b l e 5 . 1 t h e L
2
a n d L
1
e r r o r s a n d n u m e r i -
c a l l y o b s e r v e d o r d e r s o f a c c u r a c y , f o r t h e t w o c a s e s k = 1 a n d 2 ( p i e c e w i s e l i n e a r a n d
p i e c e w i s e q u a d r a t i c c a s e s ) t o t = 0 : 8 . C l e a r l y ( k + 1 ) - t h o r d e r o f a c c u r a c y i s a c h i e v e d
f o r t h e o d d k = 1 a n d k - t h o r d e r o f a c c u r a c y i s a c h i e v e d f o r t h e e v e n k = 2 . C o m -
p a r i n g w i t h t h e r e s u l t s i n T a b l e 4 . 1 o f t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d , w e
c a n s e e t h a t , f o r t h e s a m e m e s h , t h e B a u m a n n - O d e n m e t h o d ( 5 . 1 ) h a s l a r g e r e r r o r s
t h a n t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 4 . 2 ) - ( 4 . 4 ) e v e n f o r o d d k w h e r e b o t h
a r e a c c u r a t e o f o r d e r k + 1 . F o r e v e n k t h e B a u m a n n - O d e n m e t h o d ( 5 . 1 ) i s m u c h
i n f e r i o r t o t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d ( 4 . 2 ) - ( 4 . 4 ) a s t h e f o r m e r i s o n e
o r d e r l o w e r i n a c c u r a c y .
6 . C o n c l u d i n g r e m a r k s . W e h a v e d i s c u s s e d t h r e e d i e r e n t f o r m u l a t i o n s o f t h e
d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d s f o r t h e h e a t e q u a t i o n ( 3 . 1 ) . F o r p r a c t i c a l i m p l e m e n -
t a t i o n s o f l i n e a r p r o b l e m s a l l o f t h e m a r e o f t h e s i m p l e f o r m ( 3 . 5 ) a n d h a v e t h e s a m e
c o m p u t a t i o n a l c o s t a n d s t o r a g e r e q u i r e m e n t . F o r n o n l i n e a r p r o b l e m s t h e c o m p u t a -
t i o n a l c o s t o f t h e B a u m a n n - O d e n m e t h o d m a y b e s m a l l e r t h a n t h a t o f t h e l o c a l d i s -
c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d . T h e r s t a p p r o a c h i n s e c t i o n 3 p r o d u c e s a n u m e r i c a l l y
s t a b l e b u t i n c o n s i s t e n t m e t h o d , g i v i n g n i c e l o o k i n g b u t c o m p l e t e l y w r o n g s o l u t i o n s .
T h i s e x a m p l e s e r v e s a s a w a r n i n g t o \ p i t f a l l s " i n u s i n g d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h -
o d s f o r h i g h e r o r d e r d e r i v a t i v e t e r m s . T h e l a s t t w o a p p r o a c h e s a r e b o t h s t a b l e a n d
c o n v e r g e n t a n d h a v e c o m p a r a b l e c o m p u t a t i o n a l e c i e n c y . T h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s
8/2/2019 Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Terms
10/11
1 0 C H I - W A N G S H U
T a b l e 5 . 1
L
2
a n d L
1
e r r o r s a n d o r d e r s o f a c c u r a c y f o r t h e B a u m a n n - O d e n d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n
m e t h o d ( 5 . 1 ) a p p l i e d t o t h e h e a t e q u a t i o n ( 3 . 1 ) w i t h a n i n i t i a l c o n d i t i o n u ( x 0 ) = s i n ( x ) , t = 0 8
T h i r d o r d e r R u n g e - K u t t a i n t i m e .
k = 1 k = 2
x L
2
e r r o r o r d e r L
1
e r r o r o r d e r L
2
e r r o r o r d e r L
1
e r r o r o r d e r
2 = 2 0 6 . 4 0 E - 0 3 | 1 . 2 5 E - 0 2 | 4 . 0 0 E - 0 3 | 5 . 6 4 E - 0 3 |
2 = 4 0 1 . 6 0 E - 0 3 2 . 0 0 3 . 1 4 E - 0 3 2 . 0 0 1 . 0 3 E - 0 3 1 . 9 5 1 . 4 6 E - 0 3 1 . 9 5
2 = 8 0 4 . 0 0 E - 0 4 2 . 0 0 7 . 8 5 E - 0 4 2 . 0 0 2 . 6 1 E - 0 4 1 . 9 9 3 . 6 8 E - 0 4 1 . 9 9
2 = 1 6 0 9 . 9 9 E - 0 5 2 . 0 0 1 . 9 6 E - 0 4 2 . 0 0 6 . 5 3 E - 0 5 2 . 0 0 9 . 2 3 E - 0 5 2 . 0 0
G a l e r k i n m e t h o d i s s y m m e t r i c a n d m o r e e x i b l e i n n u m e r i c a l u x e s a n d c a n a c h i e v e
u n i f o r m ( k + 1 ) - t h o r d e r a c c u r a c y f o r b o t h u a n d u
x
f o r a l l k , w h i l e t h e B a u m a n n - O d e n
m e t h o d a p p r o x i m a t e s u t o ( k + 1 ) - t h o r d e r a c c u r a c y f o r o d d k b u t o n l y t o k - t h o r d e r
a c c u r a c y f o r e v e n k . F o r t h e s a m e m e s h a n d w h e n k i s o d d h e n c e b o t h m e t h o d s a r e o f
t h e s a m e o r d e r k + 1 , t h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d h a s s m a l l e r e r r o r s t h a n
t h e B a u m a n n - O d e n m e t h o d f o r t h e h e a t e q u a t i o n w e h a v e t e s t e d . W h e n k i s o d d t h e
l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d i s m u c h m o r e a c c u r a t e t h a n t h e B a u m a n n - O d e n
m e t h o d a s t h e l a t t e r i s o n e o r d e r l o w e r i n a c c u r a c y . T h e c o n c l u s i o n s d r a w n i n t h i s
p a p e r , a l t h o u g h g i v e n o n l y f o r t h e s i m p l e h e a t e q u a t i o n , a r e v a l i d f o r m o r e c o m p l e x
c o n v e c t i o n d i u s i o n p r o b l e m s s u c h a s t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s .
R E F E R E N C E S
1 ] F . B a s s i a n d S . R e b a y , A h i g h - o r d e r a c c u r a t e d i s c o n t i n u o u s n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r t h e
n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , J . C o m p u t . P h y s . , 1 3 1
( 1 9 9 7 ) , p p . 2 6 7 { 2 7 9 .
2 ] C . E . B a u m a n n a n d J . T . O d e n , A d i s c o n t i n u o u s h p n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r c o n v e c t i o n -
d i u s i o n p r o b l e m s , C o m p u t . M e t h o d s A p p l . M e c h . E n g r g . , 1 7 5 ( 1 9 9 9 ) , p p . 3 1 1 { 3 4 1 .
3 ] R . B i s w a s , K . D . D e v i n e a n d J . F l a h e r t y , P a r a l l e l , a d a p t i v e n i t e e l e m e n t m e t h o d s f o r
c o n s e r v a t i o n l a w s , A p p l . N u m e r . M a t h . , 1 4 ( 1 9 9 4 ) , p p . 2 5 5 { 2 8 3 .
4 ] B . C o c k b u r n a n d C . - W . S h u , T V B R u n g e - K u t t a l o c a l p r o j e c t i o n d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n
n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r s c a l a r c o n s e r v a t i o n l a w s I I : g e n e r a l f r a m e w o r k , M a t h . C o m p . ,
5 2 ( 1 9 8 9 ) , p p . 4 1 1 { 4 3 5 .
5 ] B . C o c k b u r n , S . - Y . L i n a n d C . - W . S h u , T V B R u n g e - K u t t a l o c a l p r o j e c t i o n d i s c o n t i n u o u s
G a l e r k i n n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r c o n s e r v a t i o n l a w s I I I : o n e d i m e n s i o n a l s y s t e m s , J
C o m p u t . P h y s . , 8 4 ( 1 9 8 9 ) , p p . 9 0 { 1 1 3 .
6 ] B . C o c k b u r n , S . H o u , a n d C . - W . S h u , T V B R u n g e - K u t t a l o c a l p r o j e c t i o n d i s c o n t i n u o u s
G a l e r k i n n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r c o n s e r v a t i o n l a w s I V : t h e m u l t i d i m e n s i o n a l c a s e , M a t h .
C o m p . , 5 4 ( 1 9 9 0 ) , p p . 5 4 5 { 5 8 1 .
7 ] B . C o c k b u r n a n d C . - W . S h u , T V B R u n g e - K u t t a l o c a l p r o j e c t i o n d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n n i t e
e l e m e n t m e t h o d f o r s c a l a r c o n s e r v a t i o n l a w s V : m u l t i d i m e n s i o n a l s y s t e m s , J . C o m p u t .
P h y s . , 1 4 1 ( 1 9 9 8 ) , p p . 1 9 9 - 2 2 4 .
8 ] B . C o c k b u r n a n d C . - W . S h u , T h e l o c a l d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r t i m e - d e p e n d e n t
c o n v e c t i o n d i u s i o n s y s t e m s , S I A M J . N u m e r . A n a l . , 3 5 ( 1 9 9 8 ) , p p . 2 4 4 0 { 2 4 6 3 .
9 ] B . C o c k b u r n , G . K a r n i a d a k i s a n d C . - W . S h u , T h e d e v e l o p m e n t o f d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n
m e t h o d s , i n D i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n M e t h o d s : T h e o r y , C o m p u t a t i o n a n d A p p l i c a t i o n s , B
C o c k b u r n , G . K a r n i a d a k i s a n d C . - W . S h u , e d i t o r s , L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t a t i o n a l S c i e n c e
a n d E n g i n e e r i n g , v o l u m e 1 1 , S p r i n g e r , 2 0 0 0 , P a r t I : O v e r v i e w , p p . 3 - 5 0 .
1 0 ] G . J i a n g a n d C . - W . S h u , O n c e l l e n t r o p y i n e q u a l i t y f o r d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d s ,
M a t h . C o m p . , 6 2 ( 1 9 9 4 ) , p p . 5 3 1 { 5 3 8 .
1 1 ] I . L o m t e v a n d G . K a r n i a d a k i s , A d i s c o n t i n u o u s G a l e r k i n m e t h o d f o r t h e N a v i e r - S t o k e s
e q u a t i o n s , I n t . J . N u m . M e t h . F l u i d s , 2 9 ( 1 9 9 9 ) , p p . 5 8 7 - 6 0 3 .
1 2 ] J . T . O d e n , I v o B a b u
s k a , a n d C . E . B a u m a n n , A d i s c o n t i n u o u s h p n i t e e l e m e n t m e t h o d
f o r d i u s i o n p r o b l e m s , J . C o m p u t . P h y s . , 1 4 6 ( 1 9 9 8 ) , p p . 4 9 1 { 5 1 9 .
1 3 ] W . H . R e e d a n d T . R . H i l l , T r i a n g u l a r m e s h m e t h o d s f o r t h e n e u t r o n t r a n s p o r t e q u a t i o n ,
8/2/2019 Different Formulations of the Discontinuous Galerkin Method for the Viscous Terms
11/11
D I S C O N T I N U O U S G A L E R K I N M E T H O D F O R V I S C O U S T E R M S 1 1
T e c h . R e p o r t L A - U R - 7 3 - 4 7 9 , L o s A l a m o s S c i e n t i c L a b o r a t o r y , 1 9 7 3 .
1 4 ] C . - W . S h u a n d S . O s h e r , E c i e n t i m p l e m e n t a t i o n o f e s s e n t i a l l y n o n - o s c i l l a t o r y s h o c k c a p -
t u r i n g s c h e m e s , J . C o m p u t . P h y s . , 7 7 ( 1 9 8 8 ) , p p . 4 3 9 { 4 7 1 .
1 5 ] G . S t r a n g a n d G . F i x , A n a n a l y s i s o f t h e n i t e e l e m e n t m e t h o d , P r e n t i c e - H a l l , 1 9 7 3 .