Distribución Poisson-Pascal Generalizada Utilizando...

Distribuciones Clase (a, b)

Modelo de Riesgo ColectivoAlgoritmo de Panjer

Distribución binomial negativa truncada extendida, ETNBDDistribución Poisson-Pascal Generalizada

Estimación y Ajuste de Siniestros en una Cartera de Autos

Distribución Poisson-Pascal GeneralizadaUtilizando Algoritmo de Panjer

Por:Danna Lesley Cruz Reyes

Director:Luis Alejandro Másmela Caita

Universidad Distrital "Francisco José de Caldas"Bogotá

Por:Danna Lesley Cruz Reyes Director:Luis Alejandro Másmela Caita Distribución Poisson-Pascal Generalizada





Contenido

1 Distribuciones Clase (a,b)

2 Modelo de Riesgo Colectivo

3 Algoritmo de Panjer

4 Distribución binomial negativa truncada extendida, ETNBD

5 Distribución Poisson-Pascal Generalizada

6 Estimación y Ajuste de Siniestros en una Cartera de Autos






Contenido












Contenido












Contenido












Contenido












Contenido













Definición

Una distribución de frecuencia {pk} es un miembro de la clase (a,b)si existen constantes a y b tales que:

pk

pk−1= a +

bk, k = 2,3 . . . (1)

Definición

Una distribución Cero-Truncada notada con (ZT ), con función deprobabilidad {pT

k } surge cuando p0 = 0, tal que:

pTk =

pk

1− p0, (2)







Definición


pk

pk−1= a +

bk, k = 2,3 . . . (1)

Definición



pTk =

pk

1− p0, (2)







Definición


pk

pk−1= a +

bk, k = 2,3 . . . (1)

Definición



pTk =

pk

1− p0, (2)






En la siguiente tabla se presentan algunas distribuciones quepertenecen a las distribuciones clase (a,b) junto con los valores delas constantes a, b y p0.

Distribución a b p0

Poi(λ) 0 λ e−λ

BN(β, r) β

1+β (r − 1) β1+β (1 + β)−r

Geo(β) β

1+β 0 (1 + β)−1

Bin(q,m) − q1−q (m + 1) q

1−q (1− q)m






En la siguiente tabla se presentan algunas distribuciones quepertenecen a las distribuciones clase (a,b) junto con los valores delas constantes a, b y p0.

Distribución a b p0

Poi(λ) 0 λ e−λ

BN(β, r) β

1+β (r − 1) β1+β (1 + β)−r

Geo(β) β

1+β 0 (1 + β)−1

Bin(q,m) − q1−q (m + 1) q

1−q (1− q)m






Modelo de Riesgo Colectivo

Considérese una cartera conformada por un número no especificadode pólizas observadas en conjunto e idénticas.

N: Número de pérdidas ocurridas en un lapso de estudio [0, t ].

Xi : i = 1,2, . . . representa la cuantía de la i-ésima pérdidaindividual.

Por lo tanto, el total de pérdidas agregadas se obtiene a través de lasiguiente v .a.:

S = Scol = X1 + X2 + . . .+ XN =N∑

i=1

Xi











S = Scol = X1 + X2 + . . .+ XN =N∑

i=1

Xi











S = Scol = X1 + X2 + . . .+ XN =N∑

i=1

Xi











S = Scol = X1 + X2 + . . .+ XN =N∑

i=1

Xi






Algoritmo de Panjer

Teorema

Si la distribución primaria es un miembro de la clase (a,b), entoncesg0 = PN(f0) y

gx =[p1 − (a + b)p0]fx +

∑xy=1 (a + by

x )fy gx−y

1− af0, k = 1,2, . . . (3)






Distribución binomial negativa truncada extendida,ETNBD

Para construir la distribución ETNBD utilizamos las distribucionesclase (a,b):

pk = (a +bk

)pk−1

= (a +bk

)(a +b

k − 1)pk−2

= (a +bk

)(a +b

k − 1)(a +

bk − 2

)pk−3

...

pk = p1

(

a +b2

)(

a +b3

)

. . .

(

a +bk

)

, k = 2,3, . . .








pk = (a +bk

)pk−1

= (a +bk

)(a +b

k − 1)pk−2

= (a +bk

)(a +b

k − 1)(a +

bk − 2

)pk−3

...

pk = p1

(

a +b2

)(

a +b3

)

. . .

(

a +bk

)

, k = 2,3, . . .








pk = (a +bk

)pk−1

= (a +bk

)(a +b

k − 1)pk−2

= (a +bk

)(a +b

k − 1)(a +

bk − 2

)pk−3

...

pk = p1

(

a +b2

)(

a +b3

)

. . .

(

a +bk

)

, k = 2,3, . . .








pk = (a +bk

)pk−1

= (a +bk

)(a +b

k − 1)pk−2

= (a +bk

)(a +b

k − 1)(a +

bk − 2

)pk−3

...

pk = p1

(

a +b2

)(

a +b3

)

. . .

(

a +bk

)

, k = 2,3, . . .








pk = (a +bk

)pk−1

= (a +bk

)(a +b

k − 1)pk−2

= (a +bk

)(a +b

k − 1)(a +

bk − 2

)pk−3

...

pk = p1

(

a +b2

)(

a +b3

)

. . .

(

a +bk

)

, k = 2,3, . . .








pk = (a +bk

)pk−1

= (a +bk

)(a +b

k − 1)pk−2

= (a +bk

)(a +b

k − 1)(a +

bk − 2

)pk−3

...

pk = p1

(

a +b2

)(

a +b3

)

. . .

(

a +bk

)

, k = 2,3, . . .






Para la ZT − BN(β, r) los valores correspondientes de a y b sona = β

1+β y b = β(r−1)1+β :

pTk = pT

k−2

(

β

1 + β

)2 k + r − 1k

k + r − 2k − 1

= pTk−3

(

β

1 + β

)3 k + r − 1k

k + r − 2k − 1

k + r − 3k − 2

...

pTk = pT

1

(

β

1 + β

)k−1 k + r − 1k

k + r − 2k − 1

. . .r + 1

2(4)






Para la ZT − BN(β, r) los valores correspondientes de a y b sona = β

1+β y b = β(r−1)1+β :

pTk = pT

k−2

(

β

1 + β

)2 k + r − 1k

k + r − 2k − 1

= pTk−3

(

β

1 + β

)3 k + r − 1k

k + r − 2k − 1

k + r − 3k − 2

...

pTk = pT

1

(

β

1 + β

)k−1 k + r − 1k

k + r − 2k − 1

. . .r + 1

2(4)






Finalmente, obtenemos la función generadora de probabilidad:

P(z) =[1− β(z − 1)]−r − (1 + β)−r

1− (1− β)−r (5)

La cual es de la misma forma que ZT-BN, excepto en el rango der = 1 + b

a que se extiende a −1 < r ≤ 0.

Los valores de a y b de esta distribución son:

a =β

1 + β, b = (r − 1)β (6)







P(z) =[1− β(z − 1)]−r − (1 + β)−r

1− (1− β)−r (5)




a =β

1 + β, b = (r − 1)β (6)







P(z) =[1− β(z − 1)]−r − (1 + β)−r

1− (1− β)−r (5)




a =β

1 + β, b = (r − 1)β (6)






Distribución Poisson-Pascal Generalizada

La distribución de Poisson-Pascal forma una familia de distribucionesque generaliza varias distribuciones.

Cuando la distribución secundaria es la ETNBD es llamada Poisson-Pascal generalizada.

La función generadora de probabilidad de la distribuciónPoisson-Pascal generalizada es:

P(z) = eλ

[

[1−β(z−1)]−r−(1+β)−r

1−(1−β)−r −1

]

, r > −1, λ, β > 0, (7)










P(z) = eλ

[

[1−β(z−1)]−r−(1+β)−r

1−(1−β)−r −1

]

, r > −1, λ, β > 0, (7)










P(z) = eλ

[

[1−β(z−1)]−r−(1+β)−r

1−(1−β)−r −1

]

, r > −1, λ, β > 0, (7)










P(z) = eλ

[

[1−β(z−1)]−r−(1+β)−r

1−(1−β)−r −1

]

, r > −1, λ, β > 0, (7)










P(z) = eλ

[

[1−β(z−1)]−r−(1+β)−r

1−(1−β)−r −1

]

, r > −1, λ, β > 0, (7)






La f .g.p. de la distribución Poisson-Pascal también se puede calcularutilizando el algoritmo de Panjer:

g0 = e−λ (8)

gn =λ

n

n∑

k=1

kfk gn−k , n = 1,2, . . . , (9)

ya que la ETNBD pertenece a las distribuciones clase(a,b), satisfacela siguiente relación:

f1 =

(

r(1 + β)−r

)(

β

1 + β

)

. (10)

fk =

(

k + r − 1k

)(

β

1 + β

)

fk−1, k = 2,3, . . . , (11)






La f .g.p. de la distribución Poisson-Pascal también se puede calcularutilizando el algoritmo de Panjer:

g0 = e−λ (8)

gn =λ

n

n∑

k=1

kfk gn−k , n = 1,2, . . . , (9)

ya que la ETNBD pertenece a las distribuciones clase(a,b), satisfacela siguiente relación:

f1 =

(

r(1 + β)−r

)(

β

1 + β

)

. (10)

fk =

(

k + r − 1k

)(

β

1 + β

)

fk−1, k = 2,3, . . . , (11)






Los correspondientes momentos centrales:

Media = µ =λrβ

1− (1 + β)−r (12)

Varianza = σ2 = µ[1 + (r + 1)β] (13)

Asimetría en función de la media y la varianza:

γ = σ32

[

3σ2 − 2µ+(r + 2)(σ − µ)2

(r + 1)µ

]

. (14)







Media = µ =λrβ

1− (1 + β)−r (12)

Varianza = σ2 = µ[1 + (r + 1)β] (13)


γ = σ32

[

3σ2 − 2µ+(r + 2)(σ − µ)2

(r + 1)µ

]

. (14)







Media = µ =λrβ

1− (1 + β)−r (12)

Varianza = σ2 = µ[1 + (r + 1)β] (13)


γ = σ32

[

3σ2 − 2µ+(r + 2)(σ − µ)2

(r + 1)µ

]

. (14)






Cuando r = −0.5 obtenemos la Distribución de Sichel

Cuando r = 0 obtenemos la Distribución de BN

Cuando β → 0, r →∞ con rβ = λ obtenemos la Distribución deNeyman tipo A

Cuando r → −1 y β →∞ obtenemos la Distribución de Poisson










































Estimación y Ajuste de Siniestros en una Cartera deAutos

Tomamos los siguientes datos obtenidos de una cartera deresponsabilidad civil para autos, observamos 280162 pólizas duranteun año:

Número de Siniestros Número de Pólizas0 2238141 468782 76813 1392≥ 4 397Total 280162






Calculamos los tres primeros momentos centrales:

µ = 0.2427309914,

σ2 = 0.2854609892,

γ = 2.552649963,

Para encontrar la distribución adecuada, sustituimos los valores delos anteriores momentos en la siguiente ecuación y despejamos C:

γ = σ32

[

3σ2 − 2µ+ C(σ − µ)2

µ

]

,






Calculamos los tres primeros momentos centrales:

µ = 0.2427309914,

σ2 = 0.2854609892,

γ = 2.552649963,

Para encontrar la distribución adecuada, sustituimos los valores delos anteriores momentos en la siguiente ecuación y despejamos C:

γ = σ32

[

3σ2 − 2µ+ C(σ − µ)2

µ

]

,






Obtenemos C = 2.446546734, por lo tanto, utilizando la siguienteecuación C = r+2

r+1 despejamos el parámetro r :

r̂ = −0,3086984496

Así que r ∈ (−1,0) por lo que la candidata resulta ser la distribucióncompuesta de Poisson-ETNBD, calculamos los parámetros de dichadistribución,

β̂ = 0.2546479063

λ̂ = 0.2239901669






Obtenemos C = 2.446546734, por lo tanto, utilizando la siguienteecuación C = r+2

r+1 despejamos el parámetro r :

r̂ = −0,3086984496

Así que r ∈ (−1,0) por lo que la candidata resulta ser la distribucióncompuesta de Poisson-ETNBD, calculamos los parámetros de dichadistribución,

β̂ = 0.2546479063

λ̂ = 0.2239901669






Utilizamos el algoritmo de Panjer de la siguiente forma:

g0 = e−0.2239901669

gk =0.2029636402

k

n∑

k=1

kfk gn−k

con,

f1 = 0.92637881, fk =k − 1.3086984496

k(0.2029636402)fk−1






Resultados:

Número Frecuencias Frecuenciasde Siniestros Observadas Teóricas

0 223814 223868.29201 46878 46725.1609842 7681 7792.9223493 1392 1401.947280≥ 4 397 373.6773580






Bibliografía I

Dunn, R.; Reader, S.; y Wrigley, N. An Investigation of theAssumptions of the NBD Model as Applied to Purchasing atIndividual Stores. Applied Statistics. 1983.

Escalante, Cesar; Gerardo, Arango. Aspectos básicos delmodelo de riesgo colectivo. Matemáticas: EnseñanzaUniversitaria, año/vol. XII, número 2. 2004.

Escalante, Cesar. Distribuciones Clase (a,b) y Algoritmo dePanjer. Matemáticas: Enseñanza Universitaria, año/vol. XIV,número 002. 2006.

Hess, Klaus; Liewald Anett y Schmidt,Klaus. An extension ofpanjer’s recursion. Technische Universitiit Dresden.






Bibliografía II

Kuon, S.; Reich, A. y Reimers, L. Panjer vs Kornya vs De Pril: acomparison from a practical point of view. Department forResearch and Development.

Meyer,P.L. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. FondoEducativo Interamericano. México. 1970.

Montgomery, David. On the Negative Binomial Distribution:Comment on Morrison and Schmi-ttlein. Journal of Business andEconomic Statistics. 1988.

Mood, A; Graybill, F; Boes D. Introduction to the Theory ofStatistics. McGrawHill. 1974.

Nagle, Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur. EcuacionesDiferenciales y problemas con valores en la frontera. Edt.Pearson. 2004.






Bibliografía III

Panjer, H.; Brockett, L.; Golden, L. Flexible Purchase FrequencyModeling. Journal of Marketing Research, Vol. 33. 1996.

Panjer Harry H. Recursive Evaluation of a Family of CompounDistributions. Astin Bulletin vol. 12. 1981.

Rincón, Luis. Introducción a la Teoría del Riesgo. Departamentode Matemáticas Facultad de Ciencias UNAM. 2007.Ross, S.M. Introduction to Probability Models. Academic Press.London. 1997.

Sundt, Bjorn; Jewell, Wiilliam. Further Results on RecursiveEvaluation of Compound Distributions. Astin Bulletin. 1987.

Sundt, Bjorn. On multivariate panjer recursions. Universtty ofBergen y Universty of Melboutne. 1999.






Bibliografía IV

Vegas, Asensio Jesús. Algunos aspectos actuariales que surgenen las aplicaciones del reglamento de ordenación y supervisiónde los seguros privados. Universidad Complutense de Madrid.

Walhin, Jean-Francois. Recursions for Actuaries and Applicationsin the Field of Reinsurance and Bonus-Malus Systems.Universite catholique de Louvain, institut de statistique. 2000.

Willmot, Gordon. Sundt and Jewell’s Family of DiscreteDistributions. Astin Bulletin vol, 18. 1988.

Zhuoheng, Chen. The Generalization of Multivariate PanjerRecursion. Hua Qiao University, Fujian. 2009.


Date post:	01-Oct-2018
Category:	Documents
Upload:	lykien
View:	223 times
Download:	0 times

Distribución Poisson-Pascal Generalizada Utilizando...

Documents