DISTRIBUSI NORMAL DAN EKSPONENSIAL DALAM DISTRIBUSI WEILBULL
ANALIS RELIABILITAS
Disusun oleh:
Vina Riskia (115090507111004)Windy Antika A.W. (115090500111064)Silvia Netsyah (115090507111022)Cintia Pannyabeta (115090500111036)Putri Ria Aprilia (115090500111030)
PROGRAM STUDI STATISTIKAJURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS BRAWIJAYA
2013
BAB I
PENDAHULUAN
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Distribusi Weibull
Bentuk non-linier dari fungsi hazard digunakan ketika secara jelas tidak dapat direpresantikan secara linier terhadap waktu dengan fungsi hazard yang dikenal dengan Model Weibull,
h (t )= γθ
t γ−1
Untuk γ dan θ bernilai positif. Fungsi f(t) diberikan :
f ( t )=h (t ) exp[−∫0t
h (ξ ) dξ]¿ γ
θt γ−1exp [−∫0
t γθ
ξγ−1 dξ]¿ γ
θt γ−1exp [−γ
θ1γ(t γ )]
¿ γθ
t γ−1exp [−1θ
(t γ)] ; t > 0
Di mana : θ=¿ parameter skala ( sifat umur produk atau characteristic life)
γ=¿ parameter bentuk ( bentuk distribusi )
Jikaγ=¿ 1 maka f(t) adalah density eksponensial, jika γ=2 maka f(t) adalah
distribusi Rayleigh, jika γ=3,43938 maka akan mendekati distribusi normal.
Berikut adalah penjelasan mengenai distribusi normal dan eksponensial
sebagai kasus khusus dari distribusi weilbull.
2.1.1 Distribusi Normal (Distribusi Weibull saat γ=3,43938)
a. Pengertian
Distribusi normal merupakan distribusi teoritis dari variable
random yang kontinu. Pengalaman telah membuktikan bahwa sebagian
besar dari variable random yang kontinu di berbagai bidang aplikasi yang
beraneka ragam umumnya memiliki distribusi yang didekati dengan
distribusi normal atau dapat menggunakan sebagai model teoritisnya.Dua
parameter yang menentukan distribusi normal adalah rataan / ekspektasi
(μ) dan standar deviasi (σ).
Fungsi kerapatan peluang dari distribusi normal diberikan dalam rumus
berikut:
Gambar distribusi normal dengan μ yang sama namun σ berbeda :
Gambar distribusi normal dengan μ yang berbeda namun σsama:
μΧ
σ Χ2 =0 ,25
σ Χ2 =5
σ Χ2 =1
μΧ=0
μΧ =+ 2
μΧ=−2
b. Ciri-ciri distribusi normal
Disusun dari variable random kontinu
Kurva distribusi normal mempunyai satu puncak (uni-modal)
Kurva berbentuk simetris dan menyerupai lonceng hingga mean,
median dan modus terletak pada satu titik.
Kurva normal dibentuk dengan N yang tak terhingga.
Peristiwa yang dimiliki tetap independen.
Ekor kurva mendekati absis pada penyimpangan 3 SD ke kanan dan
ke kiri dari rata-rata dan ekor grafik dapat dikembangkan sampai tak
terhingga tanpa menyentuh sumbu absis.
c. Nilai harapan dan varians
Metode maximum likelihood :
Rata-Rata
f ( x )= 1σ √2 π
e−12
( x−μσ
)2
L (μ ,σ )=∏i=1
n
f ( X i=x i∨μ , σ )
L (μ ,σ )= 1(σ √2 π )
n e−12σ 2 [(x1−μ)2+(x2−μ )2+…+(xn−μ )2]
L (μ ,σ )= 1σn(√2π )
n e−12 σ 2∑ (x i−μ)2
ln [ L (μ ,σ ) ]=ln [¿ 1σ n(√2 π)
n e−12 σ 2 ∑ (x i−μ)2
]¿
l (μ ,σ )=ln [e−12σ 2∑ ( x i−μ )2
]−ln [σ n (√2π )n]
l (μ ,σ )= −12σ2 ∑ ( x i−μ )2−n ln σ−n ln √2π
∂l ( μ , σ )∂ μ
=−2∑ ( x i−μ)
2 σ 2 −0−0
∂l ( μ ,σ )∂ μ
=−¿¿
0=−∑ xi+nμ
σ2
0=−∑ x i+nμ
−nμ=−∑ x i
μ̂=∑ x i
n
E ( X )= μ̂=∑ xi
n
Varians
l (μ ,σ )= −12σ2 ∑ ( x i−μ )2−n ln σ−n ln √2π
∂l ( μ , σ )∂ σ =
4 σ∑ ( x i−μ )2
4 σ 4 −nσ −0
∂l ( μ , σ )∂σ =
∑ ( xi−μ)2
σ3 −nσ
0=∑ ( xi−μ )2−σ2n
σ3
0=∑ ( x i−μ )2−σ2 n
σ 2n=∑ ( x i−μ)2
σ̂ 2=∑ ( xi−μ)2
n
d. Fungsi kumulatif kerusakan F(t) sebaran Normal
F ( t )= 1σ .√2 π
.∫−∞
t
e{− (t−μ )2
2 σ2 }
e. Fungsi keandalan R(t)
R( t )= 1σ .√2 π
.∫t
∞
e{−( t−μ )2
2 σ2 }dt
f. Fungsi laju kerusakan h(t)
h( t )= e{− ( t−μ )2
2σ 2 }
∫t
∞
e{−( t−μ)2
2σ2 }dt
g. Pola grafik dari masing-masing fungsi pada distribusi normal
mendekati pola berikut ini :
Fungsi kumulatif kerusakan
Fungsi keandalan
Gambar 2.9 Pola grafik fungsi distribusi normal
Sumber : Jardine (1973)
2.1.2 Distribusi Eksponensial a. Pengertian
Merupakan kasus dari distribusi weilbul disaatγ=¿ 1. Distribusi
yang menggambarkan suatu kerusakan dari mesin yang disebabkan oleh
kerusakan pada salah satu komponen dari mesin atau peralatan yang
menyebabkan mesin terhenti. Dalam hal ini kerusakan tidak
dipengaruhi oleh unsur pemakaian peralatan.
b. Fungsi Kepekatan Peluang Sebaran Eksponensial
Dengan fungsi sebaran kumulatif
Mean dan varians dari sebaran Eksponensial adalah 1λ dan
1λ2 .
Bukti :
1. Rata-rata
f ( x )={λe− λx , untuk x≥00 , selainnya
F ( x )={1−e−λx , untuk x≥00 , x<0
E( X )=∫−∞
∞
xf ( x )dx
E( X )=∫0
∞
x ( λe− λx )dx
=[−xe− λx ]0∞+∫
0
∞
e−λx dx1λ
¿(0−0 )+(−1λ
e− λx )0∞
¿0+(0+1λ )
¿1λ
2. Varians
c. Fungsi-fungsi yang terdapat dalam distribusi ini adalah :
1. Fungsi kepadatan probabilitas f(t)
f ( t )=λ .e ( λ . t )
Untuk t > 0
Dimana : λ = Rata-rata nilai kedatangan kerusakan
2. Fungsi kumulatif kerusakan F(t)
F(t) = 1 - e (λ t)
3. Fungsi keandalan R(t)
R(t) = e (-λ t)
4. Fungsi laju kerusakan r(t) atau h(t)
h(t) = λ
=[−x2 e− λx ]0∞+∫
0
∞
2xe− λx dx
¿(0−0 )+2λ [−
1λ e− λx ]0
∞
¿2λ
(0−(−1))
¿2λ
E( X2)=∫0
∞
x2( λe−λx )dx
Var ( X )=E( x2 )−( E( x ))2= 1λ2
E( X )=1λ
Var ( X )=E( x2 )−( E( x ))2= 1λ2
d. Pola grafik dari masing-masing fungsi pada distribusi eksponensial
mendekati pola berikut ini :
Gambar 2.8 Pola grafik fungsi distribusi eksponensial
Sumber : Jardine (1973)
