Dr. José Dionicio Zacarias Flores

Apuntes extraídos de los libros:

WILLIAM G. COCHRAN, Sampling Techniques, third edition

Introducción

• El muestreo aleatorio simple (MAS) con reemplazo de tamaño n de una poblacióncon N unidades muestrales , puede entenderse como extraer n muestrasindependientes de tamaño 1.

• Una unidad se selecciona aleatoriamente de la población para ser la primeraunidad muestreada, con probabilidad 1 / N. Luego, la unidad muestreada sereemplaza en la población, y se selecciona aleatoriamente una segunda unidadcon probabilidad 1 / N. Este procedimiento se repite hasta que la muestra tenga nunidades, que pueden incluir duplicados de la población.

• El que un elemento pueda ser repetido en la muestra, puede que no proveainformación adicional.

Introducción

• El muestreo aleatorio simple sin reemplazo es un método para seleccionar nunidades de N existentes de modo que cada una de las muestras distintas 𝑁

𝑛tenga la misma probabilidad de ser extraída. En la práctica, una muestra aleatoriasimple se extrae unidad por unidad. Las unidades en la población se numeran del 1al N. Luego se dibuja una serie de números aleatorios entre 1 y N, ya sea pormedio de una tabla de números aleatorios o por medio de un programa decomputadora que produce dicha tabla.

• En cualquier sorteo, el proceso utilizado debe dar la misma posibilidad deselección a cualquier número de la población que no haya sido sorteado. Lasunidades que llevan estos n números constituyen la muestra.

• Se verifica fácilmente que todas las muestras 𝑁𝑛

distintas tienen lasmismas posibilidades de ser seleccionadas por este método.Considere una muestra distinta, es decir, un conjunto de n unidadesespecíficas. En el primer sorteo, la probabilidad de que se seleccionealguna de las n unidades especificadas es n / N. En el segundo sorteo,la probabilidad de que se extraiga alguna de las unidadesespecificadas restantes (n - 1) es (n - 1) / (N— 1), y así sucesivamente.Por lo tanto, la probabilidad P(S) (siendo S una muestra con nunidades) de que todas las unidades especificadas se seleccionen en nsorteos es

P(S) = 𝑛

𝑁∙(𝑛−1)

(𝑁−1)∙(𝑛−2)

(𝑁−2)⋯

1

(𝑁−𝑛+1)=

𝑛! 𝑁−𝑛 !

𝑁 !=

1𝑁𝑛

Como consecuencia de esta definición, la probabilidad de que cualquier unidad aparezca en la muestra es n/N

• Dado que un número que se ha extraído se elimina de lapoblación para todos los sorteos posteriores, este métodotambién se denomina muestreo aleatorio simple sin reemplazo.El muestreo aleatorio con reemplazo es completamentefactible: en cualquier sorteo, todos los N miembros de lapoblación tienen la misma oportunidad de ser sorteados, sinimportar la frecuencia con que ya hayan sido sorteados.

• Las fórmulas para las variaciones y las variaciones estimadas delas estimaciones realizadas a partir de la muestra son a menudomás simples cuando el muestreo es con reemplazo que cuandono lo es. Por esta razón, el muestreo con reemplazo a veces seusa en los planes de muestreo más complejos, aunque a primeravista parece poco útil tener la misma unidad dos o más veces enla muestra.

Conceptos básicos

•En una encuesta de muestra, decidimos ciertaspropiedades que intentamos medir y registrar paracada unidad muestral que entra en la muestra.Estas propiedades de las unidades se denominancaracterísticas o simplemente elementos.

Conceptos básicos

•Los valores obtenidos para cualquier elementoespecífico en las N unidades que comprenden lapoblación se denotan por y1, y2, … yN. Los valorescorrespondientes para las unidades en la muestrase denotan por y1, y2, … yn, y por yi, (i = 1, 2, ..., n) sideseamos referirnos a un elemento de nuestramuestra.

Conceptos básicos

•Tenga en cuenta que la muestra no consistirá en lasprimeras n unidades de la población, excepto en elcaso, generalmente raro, en el que estas unidadesse extraen por azar.

•Por letras mayúsculas nos referiremos a lascaracterísticas de la población, y por letrasminúsculas a la muestra.

Definición

• POBLACIÓN MUESTRA

• TOTAL

• MEDIA

• Aunque el muestreo se realiza para muchos propósitos, los intereses se centran con mayor frecuencia en cuatro características de la población.

• Media = Y (por ejemplo, el número promedio de fumadores por escuela).

• Total = Y (por ejemplo, el número total de fumadores de la FCFM).

• Relación de dos totales o medias R = Y / X = 𝑌 / 𝑋 (por ejemplo, relación de activos líquidos a activos totales en un grupo de familias).

• Proporción de unidades que pertenecen a una clase definida (por ejemplo, proporción de personas que fuman ocasionalmente).

Estimadores

En 𝑌, el factor N/n por el cual se multiplica el total de la muestra a veces se denomina factor de expansión o aumento o inflación. Su inversa n/N, la relación entre el tamaño de la muestra y el de la población, se denomina fracción de muestreo y se denota con la letra f.

•Hansen, Hurwitz y Madow (1953) y Murthy (1967)ofrecen una definición alterna de consistencia, similar ala de las estadísticas clásicas. Un estimador esconsistente si la probabilidad de que esté en error pormás de cualquier cantidad dada tiende a cero a medidaque la muestra se vuelve grande.

•La declaración exacta de esta definición requiereatención con planes de encuesta complejos.

•Los estimadores 𝑌 y 𝑦 son estimadores insesgados.

• La varianza de los yi en una población finita se define por:

• La varianza muestral se define por:

• Consideremos la varianza de 𝑦 que debe entenderse como el valor esperado E( 𝑦 - 𝑌) tomado sobre todas las muestras 𝑁

𝑛.

• La varianza de la media 𝑦 a partir de una muestra aleatoria simple es:

• (**)

donde f = n/N.

• El error estándar de 𝑦 es:

• La varianza de 𝑌 = N 𝑦 como un estimador de la población total es:

• El error estándar de 𝑌es:

•Para una muestra aleatoria de tamaño n de unapoblación infinita, es bien sabido que la varianza de lamedia es σ2/ n. El único cambio en este resultado cuandola población es finita es la introducción del factor (N-n) /N.

•Los factores (N- n) / N para la varianza y (𝑁 − 𝑛)/𝑁para el error estándar se denominan correcciones de población finita (fpc).

• Las fórmulas para los errores estándar de la media y el total de lapoblación estimada se usan principalmente para tres propósitos:(1) para comparar la precisión obtenida por el muestreo aleatoriosimple con la dada por otros métodos de muestreo, (2) paraestimar el tamaño de la muestra necesario en una encuesta quese está planificando y (3) para estimar la precisión realmentealcanzada en una encuesta que se ha completado.

• Las fórmulas involucran a S2, la varianza de la población. En lapráctica, esto no se sabrá, pero se puede estimar a partir de losdatos de la muestra.

Teorema • Para una muestra aleatoria simple

• es un estimador insesgado de

Corolario • Estimadores insesgados de las varianzas de 𝑦 y 𝑌 = N 𝑦 son

• Para los errores estándar tenemos

• Y son ligeramente sesgados, aunque para muchas aplicaciones no es tan importante.

• Por lo general, se supone que las estimaciones de 𝑦 y 𝑌sedistribuyen normalmente sobre los valores de poblacióncorrespondientes. Las razones de esta suposición y suslimitaciones se consideran más adelante. Si se cumple elsupuesto, los límites de confianza inferior y superior para lamedia y el total de la población son los siguientes:

• Media

• Total

• El símbolo t es el valor de la desviación normal correspondiente ala probabilidad de confianza deseada.

Valores de confianza más comunes

Probabilidad de confianza (%)

Ejemplo • Las firmas de una petición se recogieron en 676 hojas. Cada hoja tenía suficiente

espacio para 42 firmas, pero en muchas hojas se había recogido un número menor de firmas. El número de firmas por hoja se contó en una muestra aleatoria de 50 hojas (aproximadamente una muestra del 7%), con los resultados mostrados en la siguiente tabla.

• Estime el número total de firmas de la petición y los límites de confianza del 80%.

TABLA. Resultados para una muestra de 50 hojas de petición yi = Número de firmas: fi = Frecuencia

Solución

• La unidad de muestreo es una hoja, y las observaciones yi son losnúmeros de firmas por hoja. Dado que aproximadamente lamitad de las hojas tenían el número máximo de firmas, 42, losdatos se presentan como una distribución de frecuencia. Tengaen cuenta que la distribución original parece estar lejos de sernormal, la mayor frecuencia está en el extremo superior. Sinembargo, hay razones para creer por experiencia que las mediasde las muestras de 50 se distribuyen aproximadamente demanera normal.

Solución • Se tiene que

• Por lo tanto, el número total estimado de firmas es

• Para la varianza muestral s2 se tiene

Solución • Por el corolario, los límites de confianza al 80% son:

• Resultando ser 18107 y 21669 para los límites con un 80% deconfianza.

• Un recuento completo mostró 21045 firmas.

• Un enfoque similar se aplica cuando el muestreo es con reemplazo. En este caso, la unidad i-ésima puede aparecer 0,1, 2, ..., n veces en la muestra. Sea ti el número de veces que la quinta unidad aparece en la muestra. Entonces

• 𝑦 =1

𝑛 𝑖=1

𝑁 𝑡𝑖𝑦𝑖

Muestreo aleatorio con reemplazo

• Un enfoque similar se aplica cuando el muestreo es conreemplazo. En este caso, la unidad i-ésima puede aparecer 0,1,2, ..., n veces en la muestra. Sea ti el número de veces que laquinta unidad aparece en la muestra. Entonces

𝑦 =1

𝑛

𝑖=1

𝑁

𝑡𝑖𝑦𝑖

• Dado que la probabilidad de que se extraiga la unidad i-ésima es1/N en cada sorteo, la variable ti se distribuye como un númerobinomial de éxitos de n pruebas con p = l/N.

Muestreo aleatorio con reemplazo

• Por lo tanto

•𝐸 𝑡𝑖 =𝑛

𝑁, V(𝑡𝑖) = 𝑛

1

𝑛1 −

1

𝑛

• Conjuntamente, las variables ti siguen una distribuciónmultinomial. Para esto,

•𝐶𝑜𝑣 𝑡𝑖𝑡𝑗 = −𝑛

𝑁2

Muestreo aleatorio con reemplazo

• Usando todo lo anterior

𝑉 𝑦 =1

𝑛2

𝑖=1

𝑁

𝑦𝑖2

𝑛(𝑁 − 1)

𝑁2− 2

𝑖<𝑗

𝑁

𝑦𝑖𝑦𝑗𝑛

𝑁2

=1

𝑛𝑁

𝑖=1

𝑁

𝑦𝑖 − 𝑌 2 =𝜎2

𝑛=

𝑁 − 1

𝑁

𝑆2

𝑛

• En consecuencia, 𝑉 𝑦 en muestreo sin reemplazo es (N-n)/(N-1)veces su valor en muestreo con reemplazo.

• Con frecuencia, la cantidad que debe estimarse a partir de unamuestra aleatoria simple es la relación de dos variables, quevarían de una unidad a otra. En una encuesta de hogares, losejemplos son el número promedio de trajes de ropa por hombreadulto, el gasto promedio en cosméticos por mujer adulta y elnúmero promedio de horas por semana que pasan mirandotelevisión por niño de 10 a 15 años. Para estimar el primero deestos artículos, registraríamos para el i-ésimo hogar (i = 1, 2, ...,n) el número de hombres adultos xi, que viven allí y el númerototal de trajes yi que poseen.

• El parámetro poblacional a estimar es la relación

R =𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑗𝑒𝑠

𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜𝑠=

• La estimación muestral correspondiente es

Teorema

• Si las variables yi, Xi se miden en cada unidad de una muestra aleatoriasimple de tamaño n, asumido como grande, el MSE y la varianza de 𝑅 = 𝑦/ 𝑥 son cada uno aproximadamente

• Donde R = 𝑌/ 𝑋 es la proporción de las medias proporcionales y f = n/N.

• Para el error estándar estimado de 𝑅, se tiene

•La confianza de que la aproximación normal esadecuada en la mayoría de las situaciones prácticasproviene de una variedad de fuentes. En la teoría de laprobabilidad se ha estudiado mucho la distribución demedias de muestras aleatorias. Se ha demostrado quepara cualquier población que tiene una desviaciónestándar finita, la distribución de la media muestraltiende a la normalidad a medida que aumenta n

• Hájek (1960) supone una secuencia de valores nv, Nv que tiende al infinitode tal manera que (Nv - nv) también tiende al infinito. Las medidas en la v-ésima población se denotan por yvi (i = 1, 2, ..., Nv). Para esta población, seaSvτ el conjunto de unidades en la población para las cuales

• Donde 𝑌𝑣, Sv, fv son la media poblacional, la desviación estándar y f.p.c., y τes un número > 0

Condición tipo Lindeberg

es necesario y suficiente para asegurar que 𝑦𝑣 tiende a la normalidad con la media y la varianza ya definidas con anterioridad.

Problema 1

•En una población con N = 6, los valores de yi son 8,3, 1, 11, 4 y 7. Calcule la media muestral 𝑦 paratodas las posibles muestras aleatorias simples detamaño 2. Verifique que 𝑦 es un estimadorinsesgado de 𝑌 y que su varianza es como se da enel teorema dado en (***)

Problema 2

•Para la misma población, calcule s2 paratodas las muestras aleatorias simples detamaño 3 y verifique que E(s2) = S2.

Problema 3

•Si se extraen muestras aleatorias de tamaño 2 conreemplazo de esta población, demuestre alencontrar todas las muestras posibles que V( 𝑦)satisface la ecuación

Problema 4

• Se extrajo una muestra aleatoria simple de 30 hogares de un área de la ciudad que contenía 14848 hogares. El número de personas por hogar en la muestra fue el siguiente.

5,6,3,3,2,3,3,3,4,4,3,2,7,4,3,5,4,4,3,3,4,3,3,1,2, 4,3,4,2,4

• Estime el número total de personas en el área y calcule la probabilidad de que esta estimación esté dentro de ± 10% del valor verdadero.

Problema 5• De una lista de 468 colegios pequeños de 2 años, se extrajo una muestra aleatoria simple de

100 colegios. La muestra contenía 54 colegios públicos y 46 privados. Los datos para el número de estudiantes (y) y el número de maestros (x) se muestran a continuación.

• Pública

• Privada

• Pública

• Privada

• (a) Para cada tipo de universidad en la población, calcule la proporción (número de estudiantes)/ (número de maestros), (b) Calcule los errores estándar de sus estimaciones, (c) Para lasuniversidades públicas, encuentre los límites de confianza al 90% para la proporción alumno /docente en la población total.