06 삼각 함수

JK mathclass

14강.�삼각함수

� � � � � 01.�삼각함수의�정의와�성질� � � � � 02.� 삼각함수의�그래프

� � � � � 03.�삼각방정식과�부등식�

� � �

15강.�삼각함수의�활용� � � � � � 04.� 사인법칙과�코사인법칙

� � � � � � 05.�삼각형의�넓이

� � � �

112 JK mathclass

sub 01 삼각함수의 정의와 성질

육십분법과 호도법 (1) 1라디안 = ,

라디안

부채꼴의 호의 길이와 넓이 : 반지름의 길이가 , 중심각의 크기가 , 호의 길이가 , 넓이가 인 부채꼴에서

삼각함수의 정의 : 인 점 에 대하여 동경 가 축의 양의 방향과 이루는 일반각의 크기를 (라디안) 라 할 때,

sin

cos

tan

여러 가지 삼각함수

(1) tan cossin (2) sin cos

수 삼각함수의 성질 (1) sin sin cos cos tan tan (은 정수) (2) sinsin , cos cos , tan tan

(3) sinsin , coscos , tan tan sin sin , cos cos , tan tan (4)

±의 삼각함수

① sin cos , cos

sin ② sin

cos , cos

sin

mathematics

Ⅵ. 삼각함수

113JK mathclass

01호도법으로 나타낸 각을 60분법으로 고칠 때, 보기 중

옳은 것의 개수는?

<보 기>

㉠

㉡

㉢ ㉣

㉤

① 1개 ② 2개 ③ 3개

④ 4개 ⑤ 5개

다음은 육십분법의 각을 호도법의 각으로, 호도법의 각을 육

십분법의 각으로 고친 것이다. 다음 중 옳은 것은?

①

②

③ ④

⑤

02반지름의 길이가 , 중심각의 크기가 , 호의 길이가

인 부채꼴의 넓이를 라고 할 때, 다음을 구하여라.

(1)

일 때, 과

(2) 일 때, 와

중심각의 크기가 이고, 넓이가 인 부채꼴의 둘레

의 길이를 구하면?

① ② ③

④ ⑤

필수문제

01

필수문제

02

호도법 부채꼴의 호의길이와 넓이

114 JK mathclass

03

일 때, 다음 물음에 답하여라.

(1) 각 를 나타내는 동경과 단위원의 교점을 라고 할

때, 점 의 좌표를 구하여라.

(2) sin cos tan 의 값을 구하여라.

원점과 를 이은 선분을 동경으로 하는 각의 크기를

라고 할 때, sin cos tan의 값을 구하여라.

04

일 때, sin cos tan 를

간단히 하면?

① sin cos tan② sin cos tan③ sin cos tan④ sin cos tan⑤ sin cos tan

일 때, sin sin sin 를 간

단히 하여라.

필수문제

03

필수문제

04

삼각함수의 부호 삼각함수의 정의

[고등수학총정리]기초를 세우다

Ⅵ. 삼각함수

115JK mathclass

05sincos

일 때, sin cos의 값은?

① 0 ② 1 ③ 2

④ 3 ⑤ 4

sin cos

일 때, tantan

의 값을 구하여라.

06cos

×sin

이고 π

일 때,

sin cos 의 값을 구하면?

① ② 1 ③

④

⑤

sincos

cos sin

를 간단히 하면?

① sin ② cos ③ cos

④ sin

⑤

sin

필수문제

05

필수문제

06

삼각함수 사이의 관계(2) 삼각함수 사이의 관계(1)

116 JK mathclass

07sin

cos cos

sin 를

간단히 하면?

① sin ② cos ③ 0

④ cos ⑤ sin

cos

sin cos

+sin

sin cos

를

간단히 하면?

① -1 ② 0 ③ 1

④ sin ⑤ cos

08다음 삼각함수의 값을 구하여라.

① sin ② cos

③ tan ④ sin

⑤ cos ⑥ tan

cos

⋅tan

의 값은?

① 1 ② -1 ③

④

⑤

삼각함수의 성질(1) 삼각함수의 성질(2)필수문제

07

필수문제

08

[고등수학총정리]기초를 세우다

117JK mathclass

sub 02 삼각함수의 그래프

함수 sin의 그래프 (1) 정의역 : 실수 전체의 집합 (2) 치역 : ≦ ≦ (3) 주기 : (4) 원점에 대하여 대칭 (5) sin ➜ 주기 :

최댓값 : , 최솟값 :

함수 cos의 그래프 (1) 정의역 : 실수 전체의 집합 (2) 치역 : ≦ ≦ (3) 주기 :

(4) 축에 대하여 대칭. (5) cos ➜ 주기 :

최댓값 : , 최솟값 :

. 함수 tan의 그래프

(1) 정의역 : ≠

(은 정수)인 실수 전체의 집합 (2) 치역 : 실수 전체의 집합

(3) 주기 : (4) 원점에 대하여 대칭 (5) 점근선의 방정식:

(은 정수)

(6) tan ➜ 주기 :

최댓값, 최솟값은 없다.

mathematics

118 JK mathclass

09다음 중 함수 sin

의 그래프의 모양으로

가장 적당한 것은?

① ②

③ ④

⑤

함수 sin 의 그래프가 다음 그림과 같을

때, 의 값을 구하여라.

단 π

10다음 설명 중 옳지 않은 것은?

① sin 의 최솟값은 -1이다.

② cos 의 최댓값은 1이다.

③ sin의 주기는 이다.

④ tan의 주기는 2이다.

⑤ cos의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.

다음 함수 중 주기가 가장 짧은 것은?

① sin

② cos

③ tan

④

⑤ cos

필수문제

09

필수문제

10

삼각함수의 그래프 (1) 삼각함수의 그래프 (2)

[고등수학총정리]기초를 세우다

Ⅵ. 삼각함수

119JK mathclass

11함수 의 최댓값이 , 최솟값이 이고 주기

가 일 때, 의 값을 구하여라. (단, )

삼각함수 sin 의 최댓값을 최솟값을 이

라고 할 때, 의 값을 구하여라.

(단, ≤ )

필수문제

11

삼각함수의 최대최소

120 JK mathclass

sub 03 삼각방정식과 부등식 mathematics

삼각방정식과 삼각부등식 (1) 삼각함수의 각의 크기를 미지수로 하는 방정식을 삼각방정식, 부등식을 삼각부등식이라고 한다. (2) 삼각방정식의 풀이 ① 주어진 방정식을 sin (또는 cos tan )의 꼴로 변형한다. ② 함수 sin(또는 cos tan)의 그래프와 직선 의 교점의 좌표를 구한다.

(3) 삼각부등식의 풀이 ① 부등호를 등호로 바꾸어 삼각방정식을 푼다. ② 삼각함수의 그래프를 이용하여 주어진 부등식을 만족하는 미지수의 값의 범위를 구한다.

Ⅵ. 삼각함수

121JK mathclass

12 ≦ ≦ π에서 의 방정식 sin

의 모든 근의

합은?

① ② ③

④ ⑤

다음 중 삼각방정식 sin

의 해가 아닌 것은?

(단, ≦ π)

①

②

③

④ ⑤

13 ≦ ≦ π일 때, 부등식

cos

을 만족하는

의 범위를 라 할 때, 의 값은?

①

②

③

④

⑤

부등식 sin cos의 해가 일 때,

의 값을 구하여라. 단 ≦ ≦

필수문제

12

필수문제

13

삼각방정식 삼각부등식

122 JK mathclass

sub 04 사인법칙과 코사인법칙 mathematics

사인법칙 sin

sin

(의 외접원의 반지름의 길이)

코사인법칙 (1) 제 1코사인법칙 : coscos , coscos , coscos (2) 제 2코사인법칙 : cos, cos , cos

Ⅵ. 삼각함수

123JK mathclass

14∆ 에서 ∠A ∠B 일 때,

c와 외접원의 반지름의 길이 의 곱, 의 값은?

① 50 ② ③

④ ⑤

예각삼각형 에서 , 이고, 외접원

의 반지름의 길이가

일 때, 와 를 각각

구하여라.

15반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 ∆ 에서

이다. 이 때,

의 값은?

① 1 ② ③

④

⑤

반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 ∆ 에서

sin sin 이 성립할 때, 의 값은?

① 1 ② 2 ③ 3

④ 1 또는 2 ⑤ 2 또는 3

필수문제

14

필수문제

15

사인법칙 (1) 사인법칙 (2)

124 JK mathclass

16다음 그림과 같이 ∆ 에서 , ,

일 때, 의 길이는?

① ② ③

④ ⑤

다음 그림과 같은 ∆ABC에서 , ,

, 일 때, 를 구하여라.

17∆에서 , , 일 때, ∠의

크기는?

① ②

③

④

⑤

원에 내접하는 사각형 가 있다.

, ∠ 이고, 대각선

일 때, 변 의 길이는?

① 1 ② ③

④ ⑤

필수문제

16

필수문제

17

제 1코사인법칙 제 2코사인법칙

[고등수학총정리]기초를 세우다

125JK mathclass

sub 05 삼각형의 넓이 mathematics

삼각형의 넓이 (1) 이웃하는 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때,

sin

(2) 내접원의 반지름의 길이와 세 변의 길이를 알 때,

(3) 외접원의 길이와 세 변의 길이를 알 때,

(4) 세 변의 길이가 주어질 때, (단, )

126 JK mathclass

18다음 그림과 같은 ∆에서 , ,

BC 일 때, 이 삼각형의 넓이를 구하여라.

∆에서 , 이고 넓이가 일 때,

예각인 ∠의 크기는?

①

②

③

④

⑤

19다음 그림과 같은 사각형 ABCD 에서

∠

∠ 일 때, □의 넓이를 구하라.

원에 내접하는 사각형 D에서 , ,

, 일 때, 사각형 의 넓이는?

① ② ③

④ ⑤

필수문제

18

필수문제

19

삼각형의 넓이 사각형의 넓이

[고등수학총정리]기초를 세우다

127JK mathclass

memo

08 정답 및 해설

JK mathclass

기초를 세우다[고등수학총정리]

JK mathclass

Ⅵ . 삼 각 함 수

1 4강 삼 각 함 수

01 . 삼 각 함 수 의 정 의 와 성 질

필수문제 필수1. ③π 이므로

㉠ 1=π

㉣

π

π

따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢, ㉤의 3개이다.

필수2.(1) , (2)

필수3.(1)

(2) sin ,cos

, tan

(1) 오른쪽 그림에서

∠

이므로 점의

좌표는

이다.

(2) 이므로

sin

cos

tan

필수4. ②가 제4사분면의 각이므로 cos sin tan

∴sin cos tan

sin cos tan sincos tan

필수5. ①sincos sincos ‧

∴sincos

필수6. ④cos ‧sin

이므로 sincos

한편, sincos sincos ‧

이므로 sincos ∵

∴sincos sincossincossincos ‧

‧

필수7. ③sin

cos

cos coscos

sin

이므로 (준식) coscossinsin

필수8. ① ②

③

④

⑤ ⑥

유제문제 유제1 ④①

②

③

⑤

유제2. ②부채꼴의 중심각의 크기를θ, 넓이를 라 하면

부채꼴의 반지름의 길이를 , 호의 길이를 이라 하면

에서 π

‧

π ∴ ∵

이 때, ‧

따라서 구하는 부채꼴의 둘레의 길이는

‧

유제3 이므로 sin

cos

tan

∴ sincostan

유제4. sin제 3사분면에서 sin 이므로 sin sin ,sin sin . sin sin∴(주어진 식)=sin

유제5.

sincos sincos 이므로 sincos

∴tantan

cos

sinsin

coscossin

sincos

Ⅷ. 정답 및 해설

JK mathclass

유제6. ③

sincos

cossin

sincoscossin

sincossin

sincossin

cos

유제7. ②sin

cos

cos cos coscos cossin

sin

cos

cossin

sin sin∴준식 cos

cos‧ cossin

cos‧ sin coscos

유제8. ④cos

π

π sinπ

tan tan

tan

∴cos

‧tan

‧

02 . 삼 각 함 수 의 그 래 프

필수문제 필수9. ③ sin

π sinπ 이므로 sin

π 의 그래프는 주기가

π π인 sin의 그래프를 축의 방향으로

π만큼

평행이동한 것과 같다.

필수10. ① sin의 최솟값은 -1+2=1이 된다.

필수 11. 주기가 이고 이므로

∴

최댓값이 , 최솟값이 이고 이므로

두 식을 연립하여 풀면 ∴

유제문제 유제9.

주어진 그래프에서 최댓값은 3, 주기는

π

π π이므로 이고,

π π에서 ∴sin sin

곧, sin의 그래프를 축의 방향으로

만큼 평행이동한 것과

같으므로

π∴

π

∴

π

유제10. ③보기의 주기를 각각 구하면

①

ππ ②

π π ③

π

④π

π ⑤

ππ

유제 11.

함수 sin≤ 의 그래프는 다음과 같다.

sin

일 때 최댓값

일 때 최솟값

∴

기초를 세우다[고등수학총정리]

JK mathclass

03 . 삼 각 방 정 식 과 부 등 식

필수문제 필수12. ③

의 중점을 구하면

∴

의 중점을 구하면

∴

즉,

필수13. ③

위의 그래프에서

cos

∴

즉,

이므로

π

유제문제 유제12. ③

sin

에서 ≦ π이므로 ≦ π이고 라

하면 sin

≦

∴

즉

이므로

∴

π

π

π π

유제13. sin cos이므로

sin cos에서 cos coscoscos

cos ≦ ≦ 로 놓으면

≦ ≦ 이므로 ∴

∴ cos

cos

의 그래프를 그려 보면

∴

∴

1 5강 삼 각 함 수 의 활 용

04. 사 인 법 칙 과 코 사 인 법 칙

필수문제 필수14. ④

∠C

sin

sin

에서 sin

sin

∴

∴ ×

Ⅷ. 정답 및 해설

JK mathclass

필수15. ② π이므로 π‧

π π‧

π π‧

π이 때, 사인법칙에 의하여

πBC

πCA

‧

∴BCsin CAsin

∴BCCA

필수16. ④사인법칙에 의하여

sin

sin

∴ AC‧

코사인법칙에 의하여 BCBDCD cos

필수17. ① cos에서

cos

××

∴cos

∴ π

π

π

유제문제 유제14.

사인법칙에서 sin

sin

이므로

sin

sin

⋅

∴sin

곧 ∵예각삼각형

또,

‧

유제15. ①sinsin에서

π이므로 π

sin sinπ sin이므로

sinsinsinsin

즉, sin

∴sin

π이므로 sin

사인법칙 sin

에서 sin‧

유제16.

제일 코사인법칙에서 coscos이므로

cos cos ‧ ‧

유제17. ②

Ab

BC라 하면 AB, BC

∠B ∠D 이므로 ∠B

△ABC에서 제이 코사인법칙을 적용하면

AC AB BC AB‧BC‧ ‧ ‧ ‧ cos

∴ ∵

∴AB

05 . 삼 각 형 의 넓 이

필수문제�

필수18.

구하는 넓이를 라 하면

sin

⋅ ‧ ‧ sin

필수19.

□ABCD ∆ABD∆BCD

‧ ‧ ‧ sin

‧ ‧sin

기초를 세우다[고등수학총정리]

JK mathclass

‧

‧

또, ∆ABD에서 ‧ ‧ ‧ cos

∴

∴□ABCD

유제문제 유제18. ③△ABC

‧AB‧AC ‧ 이므로 ‧ ‧ ‧ sin에서

sin

∴

π∵ 는 예각이므로

유제19. ③

□ABCD가 원에 내접하므로 ∠B 이면∠D 이다.

제이 코사인법칙에 의하여

∆ACD에서 AC ‧ ‧ ‧ cos ⋯ ㉠

∆ABC에서 AC ‧ ‧ ‧ cos ⋯ ㉡

㉠, ㉡에 의하여 cos coscos ∴cos

sin cos

□ABCD ∆ABC ∆ACD

‧ ‧ ‧ sin ‧ ‧ sin sinsin sin

‧