２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第９回 1

● 前回の講義のまとめ

常微分方程式の初期値問題x′(t) = f(t, x(t)),

x(0) = x0

(1)

の数値解を構成する計算スキームを考える. 以下では, f(t, p) は滑らかであると仮定する.

★ ルンゲ・クッタ型公式

• 常微分方程式の初期値問題 (1) の数値解を, オイラー法よりも高次の公式を得る方法として, 以下の

方法を考える.

ki = f(tn + hci, xn + h

s∑

j=1

aijkj), i = 1, . . . , s,

xn+1 = xn + h

s∑

i=1

biki.

(2)

ここで, {aij}si,j=1, {bi}

si=1, {ci}

si=1 は, 指定の次数の公式となるような条件の下で適切にきめる定数

である. この形の公式をルンゲ・クッタ型公式と呼び, s をその段数と呼ぶ.

• いま, i ≤ j の時に aij = 0 を仮定すると, {ki}si=1 は, k1 から順に計算が可能である. この条件を満

たすとき, 陽的ルンゲ・クッタ型公式と呼ぶ.

なお, i < j の時に aij = 0 となる公式を, 半陰的ルンゲ・クッタ型公式, このような条件がない公式

を陰的ルンゲ・クッタ型公式と呼ぶ.

• 前進オイラー法は「１段陽的ルンゲ・クッタ型公式」と考えられ, 後退オイラー法は「１段陰的ルン

ゲ・クッタ型公式」と考えられる.

【前進オイラー法】 s = 0, a11 = 0, b1 = 1, c1 = 0 とおくと,

k1 = f(tn, xn),

xn+1 = xn + hk1 = xn + hf(tn, xn)

となり, 前進オイラー法を得ることができる.

【後退オイラー法】 s = 0, a11 = 1, b1 = 1, c1 = 1 とおくと,

k1 = f(tn + h, xn + hk1),

xn+1 = xn + hk1 = xn + hf(tn+1, xn+1)

となり, 後退オイラー法を得ることができる.

• ルンゲ・クッタ型公式で得た数値解 {xn} が tn+1 ≤ T に対して,

|xn+1 − x(tn+1)| ≤ Ch,T |xn − x(tn)| + Chp+1 + O(hp+2)

を満たすとき, その公式を p 次公式であるという. ただし, Ch,T は h について p 次以下であるとす

る. この意味で, 前進オイラー法および後退オイラー法は「1 段 1 次」の公式である.

ex09.tex,v 1.7 2009-06-21 16:12:59+09 naito Exp

2 ２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第９回

★ ルンゲ・クッタ型公式の次数条件

• s 段のルンゲ・クッタ型公式が p 次あるための条件を求める. 簡単のため,

x′(t) = f(x(t)),

x(0) = x0

(3)

の形の場合を考える.

• (1) の代わりに, 補助的に τ(t) = t を導入し,

x′(t) = f(t, x(t)),

τ ′(t) = 1,

x(0) = x0,

τ(0) = 0

と考え, X(t) = (τ(t), x(t)) についての微分方程式と考えれば, (1) は (3) の形に帰着される. この時,

ルンゲ・クッタ型スキームは,

ℓi = 1, i = 1, . . . , s,

ki = f(tn + h

s∑

j=1

aijℓi, xn + h

s∑

j=1

aijkj), i = 1, . . . , s,

xn+1 = xn + h

s∑

i=1

biki,

tn+1 = tn + h

s∑

i=1

biℓi,

と書ける. したがって,

s∑

j=1

aij = cj , (4)

s∑

j=1

bi = 1 (5)

を仮定することにより, (3) についてのルンゲ・クッタ型公式から, (1) についてのルンゲ・クッタ型

公式を導出することができる. よって, 以下では (4), (5) を仮定して, 次数条件を計算する.

• はじめに,

Xi = xn + h∑

j

aijkj

とおく. この時,d

dhXα

i =∑

j

aijkαj + h

∑

j

aij

d

dhkα

j ,

d

dhkα

j =∑

β

fαβ

d

dhXβ

j ,

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２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第９回 3

が成り立つ. したがって,

Xαj

∣

∣

h=0= x(tn)α,

kαj

∣

∣

h=0= fα,

d

dhXα

i

∣

∣

∣

∣

h=0

=∑

j

aijfα = cif

α,

d

dhkα

j

∣

∣

∣

∣

h=0

=∑

β

fαβ cif

β = ci

∑

β

fαβ fβ ,

がなりたつ. 一方, ki を h についてテイラー展開すれば,

kαi = kα

i |h=0+ h

d

dhkα

i

∣

∣

∣

∣

h=0

+ O(h2)

となるので,

xαn+1 = xα

n + h∑

i

bi

(

kαi |h=0

+ hd

dhkα

i

∣

∣

∣

∣

h=0

)

+ O(h3)

= x(tn)α + h

(

∑

i

bi

)

fα + h2

(

∑

i

bici

)

∑

β

fαβ fβ + O(h3)

(6)

が成り立つ. 一方, x(t) をテイラー展開すれば,

x(tn+1)α = x(tn)α + hfα +

h2

2

∑

β

fαβ fβ + O(h3) (7)

となる. よって, (6) と (7) から,

x(tn+1)α − xα

n+1 = x(tn)α − xαn

+ h

(

fα(x(tn)) −∑

i

bifα(xn)

)

+h2

2

∑

β

(fαβ fβ)(x(tn)) − 2

∑

i

bici(fαβ fβ)(xn)

+ O(h3)

(8)

が成り立つ.

• このことから, 次を示すことができる. ただし, 以下では f およびその高階微分について, リプシッツ

条件を仮定する.

【１次の条件式】 (5) が成り立つならば,

|x(tn+1)α − xα

n+1| ≤ (1 + Lh)|x(tn)α − xαn | + O(h2)

が成り立つ. したがって, (5) は, ルンゲ・クッタ型公式が 1 次公式となるための必要十分条件

である.

【２次の条件式】s∑

i=1

bici =1

2(9)

ex09.tex,v 1.7 2009-06-21 16:12:59+09 naito Exp

4 ２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第９回

が成り立つならば,

|x(tn+1)α − xα

n+1| ≤

(

1 + Lh +Lh2

2

)

|x(tn)α − xαn| + O(h3)

が成り立つ. したがって, (5) と (9) は, ルンゲ・クッタ型公式が 2 次公式となるための必要十

分条件である.

★ 具体的なルンゲ・クッタ型公式

• 以下では, ルンゲ・クッタ型公式の係数を

c1 a11 · · · a1s

......

...

cs as1 · · · ass

b1 · · · bs

と表記する. これを Butcher 行列と呼ぶ.

• 代表的なルンゲ・クッタ型公式は以下の通りである.

1 段 1 次公式

前進オイラー法 後退オイラー法

0

1

1 1

1

2 段 2 次公式

改良オイラー法 ホインの２次公式

0

1/2 1/2

0 1

0

1 1

1/2 1/2

3 段 3 次公式

ホインの３次公式 クッタの３次公式

0

1/3 1/3

2/3 0 2/3

1/4 0 3/4

0

1/2 1/2

1 −1 2

1/6 2/3 1/6

4 段 4 次公式

ルンゲ・クッタの公式 ルンゲ・クッタ・ジルの公式

0

1/2 1/2

1/2 0 1/2

1 0 0 1

1/6 1/3 1/3 1/6

0

1/2 1/2

1/2 1√2− 1

21 − 1√

2

1 0 − 1√2

1 + 1√2

1/6 1

3(1 − 1√

2) 1

3(1 + 1√

2) 1/6

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２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第９回 5

• これらの中でも特に有名な公式がルンゲ・クッタ法（ルンゲ・クッタの公式）であり, それを標準的

な記法で書けばk1 = f(tn, xn),

k2 = f(tn + h/2, xn + hk1/2),

k3 = f(tn + h/2, xn + hk2/2),

k4 = f(tn + h, xn + hk3),

xn+1 = xn +h

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

となる.

• なお, 5 段以上のルンゲ・クッタ型公式については, 段数と等しい次数の公式を得ることができない

ことが知られている.

★ ルンゲ・クッタ型公式と数値積分

• ルンゲ・クッタ法をx′(t) = f(t),

x(0) = 0(10)

に適用することを考える. この時, (10) の解は

x(t) =

∫ t

0

f(s) ds (11)

であるので, (10) の数値解を構成することは, 積分 (11) の近似値を求めることに他ならない.

• 前進オイラー法を (10) に適用すると,

xn+1 = xn + hf(tn)

となり, これは,∫ tn+1

tn

f(s) ds ∼ hf(tn)

となる近似である. すなわち, 積分を「分割区間の端点の高さ×分割幅」の長方形で近似したことに

なる.

• ホインの２次公式を (10) に適用すると,

xn+1 = xn +h

2(f(tn) + f(tn+1))

となり, これは,∫ tn+1

tn

f(s) ds ∼h

2(f(tn) + f(tn+1))

となる近似である. すなわち, 積分を「分割区間の両方の端点の高さの平均×分割幅」で近似したこ

とになり, これは, 4 点 (tn, 0), (tn, f(tn)), (tn+1, f(tn+1)), (tn+1, 0) でつくられる台形の面積に等し

い. 積分をこのように近似して計算する方法を台形公式と呼ぶ.

• 台形公式は, 区間 [0, h]上の関数 f(t)を, (0, f(0)), (h, f(h))を通る直線（１次関数） f1(t) で近似し,∫ h

0

f(s) ds ∼

∫ h

0

f1(s) ds

と近似したことに他ならない.

ex09.tex,v 1.7 2009-06-21 16:12:59+09 naito Exp

6 ２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第９回

● 講義資料

▼ 講義予定

• 常微分方程式の初期値問題の数値解法

– ルンゲ・クッタ型公式の安定性

– シンプレクティック解法

● 講義資料

★ ルンゲクッタ型公式の安定性

• x′ = −x, x(0) = 1.0 に対して, h を動かしたときの例.

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

EulerExp(-t)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

I EulerExp(-t)

オイラー法 (t = 1.5) 改良オイラー法 (t = 1.5)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Heun 3Exp(-t)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

RKExp(-t)

ホインの３次公式 (t = 1.5) ルンゲクッタ法 (t = 1.5)

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

EulerExp(-t)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

I EulerExp(-t)

オイラー法 (t = 2.5) 改良オイラー法 (t = 2.5)

ex09.tex,v 1.7 2009-06-21 16:12:59+09 naito Exp

２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第９回 7

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Heun 3Exp(-t)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

RKExp(-t)

ホインの３次公式 (t = 2.5) ルンゲクッタ法 (t = 2.5)

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

400000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

EulerExp(-t)

0

1e+07

2e+07

3e+07

4e+07

5e+07

6e+07

7e+07

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

I EulerExp(-t)

オイラー法 (t = 3.5) 改良オイラー法 (t = 3.5)

-2e+07

-1e+07

0

1e+07

2e+07

3e+07

4e+07

5e+07

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Heun 3Exp(-t)

0

200000

400000

600000

800000

1e+06

1.2e+06

1.4e+06

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

RKExp(-t)

ホインの３次公式 (t = 3.5) ルンゲクッタ法 (t = 3.5)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

p=4p=3p=2p=1

ルンゲクッタ型公式の安定領域 （k が大きいほど, 安定領域は大きくなる）

ex09.tex,v 1.7 2009-06-21 16:12:59+09 naito Exp

8 ２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第９回

★ シンプレクティック解法

• x′′ = −x, x(0) = 1.0, x′(0) = 0.0 に種々の方法を適用した例. h = 0.10, 相空間では t = 200π まで

を表示.

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x’(t

), p

(t)

x(t), q(t)

Harmonic Ossirator

Euler

0

5

10

15

20

25

0 10 20 30 40 50 60

Ham

ilton

ian

Err

or

t

Harmonic Ossirator

Euler

オイラー法

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x’(t

), p

(t)

x(t), q(t)

Harmonic Ossirator

Improved_Euler

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0 10 20 30 40 50 60

Ham

ilton

ian

Err

or

t

Harmonic Ossirator

Improved_Euler

改良オイラー法

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x’(t

), p

(t)

x(t), q(t)

Harmonic Ossirator

Heun_3

-0.003

-0.0025

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0 10 20 30 40 50 60

Ham

ilton

ian

Err

or

t

Harmonic Ossirator

Heun_3

ホインの３次公式

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x’(t

), p

(t)

x(t), q(t)

Harmonic Ossirator

Runge-Kutta

-4.5e-06

-4e-06

-3.5e-06

-3e-06

-2.5e-06

-2e-06

-1.5e-06

-1e-06

-5e-07

0

0 10 20 30 40 50 60

Ham

ilton

ian

Err

or

t

Harmonic Ossirator

Runge-Kutta

ルンゲクッタ法

ex09.tex,v 1.7 2009-06-21 16:12:59+09 naito Exp

２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第９回 9

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x’(t

), p

(t)

x(t), q(t)

Harmonic Ossirator

Symplectic_Euler

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0 10 20 30 40 50 60

Ham

ilton

ian

Err

or

t

Harmonic Ossirator

Symplectic_Euler

シンプレクティックオイラー法

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x’(t

), p

(t)

x(t), q(t)

Harmonic Ossirator

SV

-0.0025

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0 10 20 30 40 50 60

Ham

ilton

ian

Err

or

t

Harmonic Ossirator

SV

シュテルマ・ベルレ法

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x’(t

), p

(t)

x(t), q(t)

Harmonic Ossirator

Ruth

-3e-05

-2e-05

-1e-05

0

1e-05

2e-05

3e-05

0 10 20 30 40 50 60

Ham

ilton

ian

Err

or

t

Harmonic Ossirator

Ruth

ルース法

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x’(t

), p

(t)

x(t), q(t)

Harmonic Ossirator

Implicit_RK_Step_1

-6e-16

-4e-16

-2e-16

0

2e-16

4e-16

6e-16

8e-16

0 10 20 30 40 50 60

Ham

ilton

ian

Err

or

t

Harmonic Ossirator

Implicit_RK_Step_1

陰的中点法（１段陰的ルンゲクッタ法）

ex09.tex,v 1.7 2009-06-21 16:12:59+09 naito Exp

10 ２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第９回

• x′′ = −x, x(0) = 1.0, x′(0) = 0.0 に種々の方法を適用し, 真の解との誤差を表示した例. h = 0.10.

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 50 100 150 200 250 300 350

Symplectic Euler

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 50 100 150 200 250 300 350

SV

シンプレクティック・オイラー法 シュテルマ・ベルレ法

-5e-05

-4e-05

-3e-05

-2e-05

-1e-05

0

1e-05

2e-05

3e-05

4e-05

5e-05

0 50 100 150 200 250 300 350

Ruth

-5e-05

-4e-05

-3e-05

-2e-05

-1e-05

0

1e-05

2e-05

3e-05

4e-05

5e-05

0 50 100 150 200 250 300 350

IRK-2

ルース法 陰的中点法

● 実習内容

1. 単振動とは, ハミルトニアン

H(q(t), p(t)) =1

2p(t)2 +

1

2q(t)2, q(t), p(t) ∈ R

で表される運動である.

この運動を,適当な初期条件のもとに「シンプレクティックオイラー法」で計算し, (q, p) 平面内で運

動を図示しなさい.

2. オモリの質量 m, 長さ ℓ の単振り子の運動の位置エネルギー, 運動エネルギーは, つりあいの位置か

らの角度を θ(t) としたとき,

T =1

2mℓ2(θ′)2,

U = −mℓg cos θ

となる. したがって, ハミルトニアンは

H(q, p) =p2

2mℓ2− mℓg cos q,

運動方程式は,dq

dt=

p

mℓ2,

dp

dt= −mℓg sin q

となる.

この運動を, m, ℓ, g を全て 1 に取り, 適当な初期条件のもとに「シンプレクティックオイラー法」で

計算し, (q, p) 平面内で運動を図示しなさい.

ex09.tex,v 1.7 2009-06-21 16:12:59+09 naito Exp

２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第９回 11

● レポート問題

★ レポート問題

以下の問題は評価対象のレポート問題です.

【レポート問題 03】 ルンゲ・クッタ法を用いて, 常微分方程式の初期値問題

x′′(t) + sin(x(t)) = 0, x(0) = 2.5, x′(0) = 0.0

の数値解を計算しなさい. ただし, 時間刻み幅を h = 0.01 とし, T = 12.0 までの解を求め, この数値

解を相平面上に図示しなさい.

【レポート問題 04】 ルンゲ・クッタ法を常微分方程式の初期値問題

x′(t) = f(t), x(0) = 0

に適用して, 積分∫ t

0

f(s) ds

の近似値を求めることを考える. この時, ルンゲ・クッタ法から得られる積分の近似式が

∫ h

0

f(s) ds ∼h

6(f(0) + 4f(h/2) + f(h))

であることを証明し, 右辺の式は, 区間 [0, h] で f をどのような関数で近似したことなるかをのべな

さい.

【レポート問題 05】 s 段のルンゲ・クッタ型公式が 3 次公式となるための条件を求めなさい. また, クッ

タの３次公式とホインの３次公式が, それらの条件を満たすことを示しなさい.

これらの問題については, A: 10 点, C: 0 点, と採点します. （中間的な点をつける可能性あり）

★ 注意事項

【締め切り】 締め切りのおおよその目安は, ２００９年７月１５日（水）とします.

その他の注意事項については, 前回のレポートの注意事項と同じです.

ex09.tex,v 1.7 2009-06-21 16:12:59+09 naito Exp

12 ２００９年度・前期・数理解析・計算機数学２・第９回

★ レポート問題 (Extra)

以下の問題は評価対象のレポート問題ですが,この問題を「評価の点の満点」にはカウントしません. （つ

まり, 以下の問題での得点は「ボーナスポイント」となります.）

【レポート問題 E03】 後退オイラー法を用いて, 常微分方程式の初期値問題

x′′(t) + sin(x(t)) = 0, x(0) = 2.5, x′(0) = 0.0

の数値解を計算しなさい. ただし, 時間刻み幅を h = 0.01 とし, T = 12.0 までの解を求めなさい. ま

た, この数値解を相平面上に図示しなさい.

【レポート問題 E04】 シンプレクティック・オイラー法を用いて, 常微分方程式の初期値問題

x′′(t) + sin(x(t)) = 0, x(0) = 2.5, x′(0) = 0.0

の数値解を計算しなさい. ただし, 時間刻み幅を h = 0.01 とし, T = 12.0 までの解を求め, この数値

解を相平面上に図示しなさい. また, この微分方程式にシンプレクティック・オイラー法を適用可能

であることを示しなさい.

【レポート問題 E05】 陰的中点法を用いて, 常微分方程式の初期値問題

x′′(t) + sin(x(t)) = 0, x(0) = 2.5, x′(0) = 0.0

の数値解を計算しなさい. ただし, 時間刻み幅を h = 0.01 とし, T = 12.0 までの解を求め, この数値

解を相平面上に図示しなさい.

【レポート問題 E06】 s 段のルンゲ・クッタ型公式が 4 次公式となるための条件を求めなさい. また, ル

ンゲ・クッタ法がそれらの条件を満たすことを示しなさい.

問題 E03, E04 については, 10 点満点, 問題 E05, E06 については, 15 点満点で採点します. （中間的な

点をつける可能性あり）Extra な問題の締め切りは２００９年８月半ばとし, 提出方法は他の問題と同じと

します. （詳細な締め切りは, 最終回の講義でお知らせします）

ex09.tex,v 1.7 2009-06-21 16:12:59+09 naito Exp