Celso Vargas

El concepto de transformación en Leibniz *

Abstract. In this article we try to clarify theconcept of "transformation" as proposed byLeibniz in his "Metaphysical Foundations ofMathematics", published in 1715. As we pointout, this concept is directly related to that of"homomorfism ". We did not pursue the issue ofdetermining if l.eibniz has anticipated otherconcepts proper of category theory. In the firstsection, we frame Leibniz effort in a moregeneral conception aimed at giving morecoherence to the paper. In this respect, we adoptand take part of the classification introduced bySerres in relation to systematic perspectivespresent in Leibniz: the analytic and themorfology. The second section is concemed withthe analysis of the different meanings of theconcept of transformation as used in Leibniz 'spublication. Finally, in the third section we applyourfindings to his conception of physics.

Resumen. Este artículo explora el uso delconcepto de "transformación" que hace Leibnizen "Metaphysical Foundations of Mathematics"de 1715. Indicaremos que su uso está directa-mente relacionado con el de homomorfismo. Noexploraremos, en este trabajo, otros conceptospropios de lo que actualmente llamamos teoríade categorías. Vemos el esfuerzo de Leibni: comoenmarcado en la búsqueda de una visión sistemá-tica más amplia. En este sentido, en la primerasección procuramos darle sentido a la concep-ción de transformación tomando partido respectode la clasificación de Serres de los dos sistemasen Leibniz: En la segunda sección, hacemos unalectura del artículo de Leibni: estableciendo losusos del concepto de transformación que pode-

mos encontrar. Finalmente, en la tercera secciónaplicamos dicho concepto a su sistema físico.

En este artículo hacemos una lectura de lapublicación (1715) de Leibniz titulada "Fun-damentos metafísicos de las matemáticas".Nuestra lectura se centra en dos conceptos: el dehomomorfismo y el de transformación. Tratamosde clarificar los distintos usos que hace Leibnizde estos conceptos, y su utilización en su concep-ción de la física. Uno de los aspectos que nos lla-ma la atención es el carácter sistemático del en-foque de Leibniz. Se tiene la impresión de queLeibniz fue un buscador incesante de una metafí-sica general que le permitiera ver el conocimien-to bajo una perspectiva unificada. Consideramosque los conceptos de homomorfismo y transfor-mación son centrales en esta búsqueda. El artícu-lo se divide en tres secciones. En la primera pre-sentamos, sin discutir, la visión que adoptamosen el artículo. En la segunda sección analizamoslos conceptos de homomorfismo y transforma-ción tal y como nos parece encontrarla en la obracitada. En la tercera sección, analizamos su con-cepción física y la aplicación del concepto detransformación.

1. Perspectiva sistémica leibniziana

Ha propuesto Serres (1992) que en Leibnizencontramos dos concepciones de sistema dife-rentes cuyas características o perfilamiento sepresentan claramente en los siglos siguientes: unaanalítica y una morfológica. La analítica presen-ta, entre sus rasgos principales, el "pluralismo,

Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XLI (103), 39-48, Enero-Junio 2003

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conjuntismo, teoría de las multiplicidades; logi-cisrno, formalismo, teoría de los lenguajes for-males y de la deducción; algebrismo, iniciaciónen conceptos bastante nuevos, aunque en él de-nominados de manera completamente distinta:aplicación, estructura, teoría de las lenguas ver-náculas y de las características bien formadas;diccionarios, en fin, en el sentido de suma y en elsentido de comunicación". Por otro lado, está laconcepción morfológica del sistema, la cual sig-nifica para este autor, "división inagotable, com-pacidad, encaje localmente reiterado, replicacio-nes, continuidad, conjuntos densos por todas par-tes. Leibniz intuye exactamente lo que es un pun-to de acumulación, una vecindad -él mismo em-plea este término-, un límite. Propone transfor-maciones continuas, sin hiatos ni saltos o desga-rramientos; esboza conexiones ..." (Serres, 1992,54). De acuerdo con la primera perspectiva isté-mica, la preocupación de Leibniz se centra en elestablecimiento de clasificaciones exhaustivas enlos diferentes dominios, mientras que en la se-gunda se trata de establecer la conexión, estable-cer simetrías entre los distintos dominios catego-rizados. Se trata de establecer una perspectivatransversal que conecte los distintos dominiosexhaustivamente tipificados. Para citar de nuevoa Serres:

Conjuntos, elementos, relaciones. Música: notas e in-tervalos son los primeros datos, en el antiguo sistemay diastema, en el Timeo; combinatoria: notas cuales-quiera y variaciones o situaciones recíprocas; álge-bra: letras y signos de operaciones; geometría: puntosy posiciones respectivas; lengua: según el nivel en elque se aborde, sonidos y letras, palabras y frases olenguas mismas si se busca el núcleo adámico, y denuevo, los sentidos para U/l signo dado, o las definicio-nes para un término dividido; teoría: el conjunto deverdades analíticamente finitas o de infinita descom-posición; y así sucesivamente. (39)

No se entrará a cuestionar o legitimar estadistinción entre sistemas que introduce Serres, si-no que la adoptaremos metodológicamente conel propósito de realizar el estudio correspondien-te al objetivo de este trabajo. Para ello adoptare-mos la perspectiva morfológica e insistiremosfuertemente en el concepto de transformación taly como es introducido por Leibniz en el e crito

en cuestión. Se hará referencia complementaria aotros escritos, si fuera necesario, pero siempre enel contexto del escrito mencionado.

2. Homomorfismo y transformación

Leibniz comienza indicando en la obramencionada, a propó ito de las referencias quede Leibniz realizara Wolf, que existe un arteque es más inclusivo que las matemáticas (cla-ramente las de su tiempo), y que denomina "Ar-te de Análisis" o "Ciencia Cornbinatoria" y delcual las matemáticas toman sus métodos. Dosejes fundamentales introduce Leibniz en estaconsideración: primero el concepto de similitud(similaridad)-no-similitud (no-similaridad) y elde contemporaneidad-no-contemporaneidad. Elprimero es la base de una amplia gama de ám-bitos de conocimiento y que producen una es-tructura importante de clasificación y compara-ción, mientras que el segundo está muy relacio-nado con el establecimiento de antecedentes yconsecuentes, con relaciones causal es, de ma-nera que podemos establecer largas cadenas deantecedentes y consecuentes. Sin embargo, am-bos están directamente relacionados, o como di-ce Leibniz: "All existing elements may be thusordered either by the relation of contempora-neity (co-existence) or by that of being be/oreor after in time (succession)". Dios es el únicoque puede visual izar, en una sola perspectiva,en el encadenamiento de todas las cosas, no so-lamente según el orden de sucesión y conexióncausal, sino también la manera como todas lascosas, en un momento determinado, están ubi-cadas según el orden de coexistencia. Diacroníay sincronía, son los dos elementos constitutivosde esta nueva Ciencia Combinatoria. En el as-pecto diacrónico, el énfasis está en el tiempo,como medida de la sucesión y conexión causa-efecto entre las cosas, mientras que en el segun-do, pone énfasis en la relación espacial, comomedida de co-existencia.

Tanto el espacio como el tiempo, entendidoscomo se indicó anteriormente, comparten variascaracterísticas. En primer lugar, en ambos pode-mos hablar de cercanía ipropinquity¡ o lejanía (re-motenessy en relación con los objetos o eventos

EL CONCEP'TO DE TRANSFORMACIÓN DE LEIBNIZ

que ocurren. En segundo lugar, ambos formanun conjunto de estructuras definidas por un con-junto de operaciones, es decir, tenemos un con-junto de álgebras, según la relación que adopte-mos. Leibniz indica como operaciones o rela-ciones entre elementos: la proximidad, porejemplo, entre dos puntos, o entre dos eventosde una sucesión. En tercer lugar, el espacio es elresultado del conjunto de relaciones que se danentre las cosas de manera simultánea. De igualmanera, el tiempo emerge como una relaciónentre eventos bajo la relación de sucesión o decausalidad.

Ahora bien, no existe el espacio absoluto niel tiempo absoluto, sino que el tiempo y el espa-cio son modos relacionales, en los que cosas oeventos están siempre relacionados. En este sen-tido, podemos definir una estructura abstracta f}= < Q, 9\y », donde f} es claramente la estructuraresultante, sea espacial o temporal, según los va-lores que tome Q (el dominio sobre el cual apli-can las operaciones) y 9\y un conjunto disyuntode relaciones 9\YI' 9\y'1' según se trate de relacio-nes espaciales o temporales. El dominio Q estambién complejo, y se divide, igualmente, endos conjuntos. El primero de ellos, un conjuntode individuos (sean puntos, segmentos; instanteso intervalos, según el conjunto de operacionesque se aplique), y un conjunto p¡ de predicadosatribuibles a una clase de entidades. En amboscasos las operaciones asignan a cada instante(punto) O intervalo (segmento), un conjunto depredicados que se reflejan los atributos o nexoscausales, según sea el caso, para un individuo de-terminado.

Realmente, a partir de este conjunto abstrac-to de operaciones se generan un conjunto muygrande de estructuras concretas, dependiendo dela complejidad y el tipo de relaciones que se es-tablezcan. De esta manera, se capturan los com-ponentes básicos de las estructuras diacrónicas(sucesivas) y sincrónicas (co-existentes). Depen-diendo del tipo de relaciones que se definan, sepueden tener diferentes estructuras topológicas ydiferentes estructuras temporales. Las primerassegún Leibniz delimitadas por operaciones úni-camente tridimensionales. En cuanto a las estruc-turas temporales, resulta claro que el tiempo li-neal es únicamente un caso límite, de una corn-

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plejidad de estructuras temporales que depende-rían del tipo de relaciones que se dé entre loseventos (esto es una inferencia de lo anterior y nosignifica que Leibniz lo haya indicado). En estesentido, dicha estructura abstracta es muy rica encuanto a las implicaciones concretas (estructu-ras) que puedan obtenerse.

En la estructura abstracta anterior, se derivande la definición de conjuntos de propiedades di-ferentes estructuras temporales y espaciales es-pecíficas. En este sentido, no hay reducción deuna estructura a otra. Sin embargo, podría serposible en Leibniz otra manera de presentar lascosas, mediante reducción a un conjunto deter-minado. Es decir, se debe encontrar el procedi-miento o conjunto de principios que nos permi-tan reducir una estructura a otra. El concepto detransformación podría cumplir esta propiedad.La transformación es un procedimiento de mapeode una estructura o elemento a otra.

Pero antes de introducir este concepto, haga-mos una breve disgresión sobre el concepto deestructura y de elemento. Leibniz habla tanto deelemento como de estructura. Veamos las si-guientes referencias:

We say oJ an element that it is contained in a determi-ned structure or constitutes an ingredient oJ u. whenthrough the determination oJ the structure the elementis immediately determined without need oJJurther rea-soning.

Claramente Leibniz no contaba con el con-cepto de "ser miembro de" propio de la teoría deconjuntos. Aun así sigue siendo correcto afirmarque es un término primitivo y que no requiereninguna justificación adicional. Esto es lo relati-vo a elementos. En relación con el concepto deestructura, Leibniz utiliza el mismo concepto de"is contained in", con una interpretación clara-mente en términos de subconjunto o de subsun-ción. Al respecto dice Leibniz: "A structurewhich is contained in another homogeneous to it,is called a par! -the other in which it is containedis called the whole".

Para terminar esta disgresión indiquemosque Leibniz, por lo menos en esta publicación,habla de que el "todo es mayor que la parte", in-dicando que lo que le interesa son las relaciones

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de ser subconjunto o de estructuras homomórficas.No habla, por tanto, de otro tipo de estructuras co-mo las de homomorfismo inverso e isomorfismo.

Indicamos anteriormente que la pretensiónde Leibniz es buscar un procedimiento sistemáti-co de transformar una estructura en otra, de ma-nera que la primera conserve sus propiedadesfundamentales. En el caso de Leibniz el criteriopara transformar una estructura en otra es me-diante homogeneidad. Definiendo esta última co-mo aquella que preserva la propiedad de simili-tud, en el sentido de la "misma cualidad". Esto loexpresa Leibniz de la siguiente manera: "1 gene-rally say also that elements are homogeneouswhen they can be made similar through a trans-formation of one into the other",

Leibniz habla de varios procedimientos paratransformar una estructura en otra:

l. Encontrando un modo de transformar esa es-tructura a un subconjunto o subestructura dela nueva estructura. Es decir, pensando siem-pre en estructuras que cumplen la propiedadde ser homomórficas o simplemente de "sersubconjunto de".

2. Un segundo criterio consistiría en dividir laestructura a transformar en un conjunto desegmentos tales que cada uno de estos cons-tituya un límite común (common boundary)a las dos estructuras. Leibniz define "límitecomún" de la siguiente manera: "By thecommon boundaries of two structures wemea n something contained in both, yet wit-hout their having a common part". Se tratade encontrar el conjunto de "cortaduras" o"secciones cruzadas" de la primera estructu-ra y de la segunda.

3. Encontrar una transición término a términoentre la primera estructura y la segunda pormedio de determinado tipo de enlace, de ma-nera que se pueda encontrar un orden, es de-cir, una operación uno-a-uno que sea unívo-ea. Señala Leibniz al respecto, "The transi-tion from term to term pursues, furthermore,a definite order, insofar as it proceeds th-rough determined connecting links. We maydesignate this order as a path".

4. Utilizando como procedimiento el criteriode la medida. Leibniz habla de dos tipos demedida: una que el denomina imperfecta y laotra perfecta. El autor nos explica en queconsiste cada una de ellas:

There are two kinds of measurement, imperfect andperfecto Imperfect. When we set up a relation of grea-ter and /ess between two e/ements even though theyare not homogeneous, nor stand in a numerical re/a-tion to one another, as when we say that a Une is grea-ter than a point, or a surface greater than a Une. Inthis manner Euclid called the tangent angle (made bya curve and a tangent to the curve at a specified point}smaller than the rectilinear angle, although in truthbetween two sucn different kinds of construction wecan scarce/y find any comparison since they are neit-her homogeneous nor can one /ead to the other by anycontinuous transformation. For (he characteristicallyperfect measurement of homogeneous content the ru-/e required is that we actually cover ill a continuoustransition form one end-point to the other all the in-termediate links.

Es importante, antes de continuar, hacer unbreve análisis de estas cuatro estrategias, para vercomo se relacionan entre sí.

1. La primera de ellas está basada en el princi-pio leibniziano de que "el todo es mayor quela parte" y agrupa, como indica Leibniz, unaserie de criterios prácticos como la enumera-ción y la comparación, por ejemplo. Comosabemos actualmente, "el todo es mayor quela parte" se aplica únicamente a conjuntos fi-nitos, y es falso para conjuntos infinitos, nu-merables y no numerables. Por otro lado, es-te procedimiento, a pesar de ser tan general,implica claramente la co-existencia de losentes sobre los cuales se establece la transfor-mación. Pero debemos distinguir los dos ti-pos de co-existencia: la que podríamos deno-minar actual, para objetos perceptibles, comola comparación de un pie con un metro; laotra potencial, en la que las cualidades de losobjetos son los que nos permiten establecerdicha propiedad. Por ejemplo, los algorit-mos, al igual que los lenguajes formales,pueden ser clasificados de manera jerárquica,en los que se garantiza la inclusión propia.

EL CONCEPTO DE TRANSFORMACIÓN DE LEIBNIZ

2-. Un procedimiento similar al segundo procedi-miento enumerado por Leibniz jugó un papelmuy importante en el siglo XIX en la cons-trucción de los números reales, tal y como fueutilizado por Dedekind en 1872 y 1887. Sinembargo, Leibniz no tenía en mente tal preten-sión, y no se puede esperar que en la breve re-ferencia que hace el autor a este procedimien-to se pueda concluir mucho. Se señala la rela-ción con Dedekind por denominarse de la mis-ma manera, aunque Dedekind no utiliza elconcepto de secciones-cruzadas, pero sin lacondición de que "without their having a com-mon part". Este procedimiento es abstracto enel sentido de que hace abstracción de la estruc-tura o conjunto que se trata de transformar ytraslada la transformación al establecimientode un conjunto exhaustivo de "secciones-cru-zadas" de ambas estructuras. Si al final noquedan más cortaduras en una estructura, po-demos decir, que el procedimiento de transfor-mación es equivalente a dicho conjunto de"secciones-cruzadas". Finalmente, este proce-dimiento se aplica a muchos dominios, perosobre todo, a aquellos que son continuos. Estesegundo procedimiento puede verse como unmejoramiento del procedimiento anterior y esclaramente constructivo. Este método recuer-da mucho el del cálculo infinitesimal, peroaplicado a transformar una estructura en otra.

3. El procedimiento tercero es muy específico enel sentido de que se aplica a estructuras discre-tas más que a continuas. En este sentido, pue-de verse como un caso particular del procedi-miento dos, y es, por tanto, constructivo.

4. Finalmente, el procedimiento cuarto es muy ge-neral, al igual que el primero, y puede conside-rarse como un paso previo, por lo menos comoprocedimiento, para determinar cuál procedi-miento (2 o 3) utilizar en el proceso de transfor-mación. Si se trata de estructuras discretas latransición término a término podría funcionar.Pero si se tratara de un dominio continuo, elprocedimiento de las cortaduras podría servir.

Sin embargo, los procedimientos como talespodrían ser de menor interés para Leibniz. En

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efecto, Leibniz está muy interesado en mostrarque existen principios más generales, y su jerar-quización, a partir de los cuales se puede fácil-mente ver cómo los sistemas, como los algebrai-cos, son casos particulares de un arte más gene-ral, la Ciencia Combinatoria, pero sobre todo, enel hecho de que no existe contradicción entre losdatos, las hipótesis y la razón. Terminemos estaparte del análisis con una cita de Leibniz en laque se pone de manifiesto lo anterior:

Whence in calculation we perceive not only the law 01homogeneity but also the law 01 harmonious corres-pondence (lex justitiae) which consists in the fact thatthe same kinds 01 relations given in the data or hypot-hesis ola problem hold correspondingly for similar re-lations in the results derived [rom the [ormer; 10 theextend practically permitted by the particular case, theoperations 01 calculation can be manipulated (and for-med) with corresponding agreement and uniformity.The proposition holds gene rally that a definitely go-verned order within the conditions corresponds to a si-milar order within the series 01 things conditioned.From this there results the Law of Continuity (. ..).

En este sentido, una de las preocupacionesde Leibniz es establecer principios generales queproporcionen una visión sistemática del mundo.

De lo dicho hasta el momento, podemosproponer dos refinamientos de la estructura abs-tracta presentada anteriormente. La primera deellas consiste en transformar una estructura enotra por medio de principios, y la segunda, me-diante la aplicación de procedimientos. En ge-neral, podemos proponer las siguientes, comoreformulaciones compatibles con lo expresadohasta ahora.

1. Dadas dos estructuras p, 3, decimos que pes transformada en 3 , si Y solo si existe unconjunto 9\ de principios tales que 9\ (p) <;;; 3.

2. Dadas dos estructuras p,3, decimos que pes transformada en 3 , si y solo si existe unconjunto de procedimientos <ptales que Va.E p, 3(3 E 3, que cumple la propiedad <p(«)= (3, es decir, <p(p) <;;; 3.

Las formulaciones anteriores preservansiempre la propiedad de homomorfismo.

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Concluimos, de esta manera, la presentación for-mal del concepto de transformación, que nos pa-rece inferir de los trabajos de Leibniz.

3. Homomorfismo, transformacióny física

Nos interesa analizar dos aspectos en estasección. En primer lugar, caracterizar, de maneramuy general, el enfoque de la física que desarro-lló Leibniz. Para esto nos guiaremos principal-mente en el trabajo de Garber (1995). En segun-do lugar, nos interesa determinar las relacionesque pueden establecerse en el enfoque de la físi-ca, y el de homomorfismo y transformación de-sarrollado en la sección anterior de este trabajo.

3.1. Su concepción de la física

Los logros más significativos de los coperni-canos, tanto en el campo de la física como de laastronomía, plantearon la necesidad de reempla-zar la física aristotélica -la cual fundamentabauna física para una tierra inmóvil y centro deluniverso- por una física para una tierra en movi-miento. En la parte física y la instrumentación,Galileo jugó un papel fundamental, proporcio-nando algunas leyes para los cuerpos bajo acele-ración (sea constante o uniformemente acelera-da), así como su contribución importante del te-lescopio, instrumento fundamental para la nuevafísica. Por otro lado, los aportes de Kepler, consus tres leyes, así como de sus sucesores, marcanel inicio de esta transformación que pronto serácolmada con los éxitos de Newton. En relacióncon el enfoque de Newton, Leibniz toma partidoadoptando más bien la visión continental, de loque será denominado, posteriormente, sobre todoa partir de Bresnel y Faraday, teoría de los cam-pos de fuerza.

Las preocupaciones de Leibniz sobre la físi-ca se enmarcan en este contexto. Leibniz sepreocupa de asuntos de física prácticamente des-de el inicio de su carrera intelectual. Pudo ver elcambio de paradigma (para usar la expresión deKuhn). Participa activamente en temas físicos

durante toda su vida productiva. Cuando iniciasus labores intelectuales había al menos tres po-siciones: (1) Todos aquellos que simpatizaban yadoptaban el punto de vista aristotélico, y quedefendían la física aristotélica (en Alemania, se-gún indica Belaval existió una escuela de "aris-totélicos auténticos" que jugaron un papel im-portante en el contexto leibniziano); (2) La delos radicales que defendían la construcción deuna nueva física sobre bases totalmente nuevas;y (3) Aquellos que mantenían una posición in-termedia y continuista entre el pensamientoaristotélico y el moderno. Leibniz defendiósiempre una posición continuista. De hecho, es-te parece ser uno de los grandes retos en el pen-samiento de Leibniz: combinar los nuevos desa-rrollos, en diversos campos, con la perspectivaaristotélica, y quizá, como se ha señalado, conla escolástica.

Leibniz comenzó, como indica Garber,adoptando la posición aristotélica en relacióncon los objetos físicos, en el sentido de que laexplicación de estos debe realizarse de maneracualitativa. Materia y forma, son los criteriosfundamentales para dar cuenta de estos. Sin em-bargo, poco después adoptó la perspectiva meca-nicista, la perspectiva según la cual, los objetosfísicos pueden ser adecuadamente explicados entérminos de tamaño, forma y movimiento. Man-tiene el punto de vista de que esta visión es con-sistente con Aristóteles. El tamaño y la formapueden ser explicados en términos geométricos,mientras que el movimiento tiene que ser expli-cado en términos de la colisión entre objetos.Estos tres elementos son fundamentales paracomprender la naturaleza de los objetos, y estostienen diferente importancia según la naturalezadel cuerpo. Uno de los problemas fundamentalesconsistirá en establecer las leyes que rigen elmovimiento, es decir, la colisión entre objetos.Como señala Garber, "la colisión es la única ma-nera en la que el movimiento de un cuerpo pue-de cambiar naturalmente".

No obstante, pronto se observa en Leibnizun movimiento hacia una concepción de la sus-tancia en la que se prescinde del tamaño y laforma. Dicha concepción considera que suesencia consiste en la actividad. Ya en sus traba-jos Hypothesis Physica Nova y Theoria Motus

EL CONCEIYfO DE TRANSFORMACIÓN DE LEIBNIZ

Abstracti, publicadas en 1671, ofrece un plantea-miento de este tipo. La teoría abstracta de las co-lisiones que aparece en la segunda obra mencio-nada, se hace "calzar" con el comportamiento delmovimiento en este mundo por medio de algunassuposiciones relacionadas con el momento de lacreación del universo. Sin embargo, parece queLeibniz no encontró una visión consistente de lasustancia. Garber es de otro parecer. Para él setrata de una concepción en dos niveles: por un la-do, está el nivel en el que trata de explicar todoen términos de tamaño, forma y movimiento, ypor el otro, está un nivel más abstracto, más pró-ximo a su metafísica, y que busca explicar todoobjeto corporal en términos de fuerza. Este se-gundo enfoque se pone de manifiesto en el Dis-curso de Metafísica, en el que afirma:

Although all the particular phenomena o/ nature canbe explained mathematically or mechanically by thosewho understand them, nevertheless the general princi-pies o/ corporeal nature and o/ mechanics itself aremore metaphysical than geometrical, and belong 10

some indivisible [orms or natures as the causes o/ ap-pea rences, rather than 10 corporeal rnass o/ extension.(Citado en Garber, 283)

Una evolución natural de esta perspectiva seexpresa en su concepción de las mónadas comoentidades de naturaleza inmaterial. En este senti-do, se observa a partir del año de 1676 una líneaimportante de reflexión sobre temas físicos quetoma en consideración el tamaño o la masa comoparte esencial, tanto de la sustancia corporal co-mo para explicar el movimiento. Se enfrenta, así,con la ley de conservación de la cantidad de mo-vimiento de Descartes. Se trata de determinar lascondiciones bajo las cuales la igualdad de causa-efecto se mantiene en el contexto de la colisiónde objetos. Pronto llega a darse cuenta de que es-te principio de igualdad no se mantiene con la leyde Descartes, y la reemplaza en 1678 por la suyapropia que define la fuerza (f) como equivalentea masa o volumen (m) por velocidad al cuadrado(f = rnv"). Este principio adquiere gran importan-cia para el pensamiento de Leibniz ya que le per-mite visualizar de manera concreta un compo-nente de la sustancia que no es reducible a la ex-tensión (forma y tamaño). Este concepto de fuer-za adquirirá una gran relevancia metafísica para

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Leibniz. Esto le permitirá afirmar, para el segun-do nivel, que la esencia de un objeto es la fuerzao actividad. De esta manera, los dos niveles des-critos por Garber, están indisolublemente ligadosel uno al otro. Se pasa del primer nivel al segun-do a partir del concepto de fuerza, y del segundoal primero a partir del hecho de que la fuerza semanifesta en la relación del producto masa-velo-cidad. Estas consideraciones deben hacerse te-niendo siempre presente, como señala Capek,que Leibniz pretendía explicaciones mecánicasde los fenómenos de la naturaleza, y esto guardauna relación de continuidad con su visión meta-física del mundo.

En Specimen Dynamicum de 1695, Leibnizpresenta una teoría paralela a la aristotélica, aun-que más inclusiva, basada en el concepto de fuer-za. Distingue Leibniz entre dos tipos básicos defuerzas: las primitivas y las derivadas. Las primi-tivas se dividen, igualmente, en pasivas y activas,que corresponden respectivamente a los concep-tos aristotélicos de materia y forma. EscribeLeibniz en 1702: "Prirnitive active force, whichAristotle calls first entelechy and one commonlycalls the form of a substance, is another naturalprincipie which together with matter or (primiti-ve) passive force, completes a corporeal substan-ceo This substance, of course, is one per se, andnot a mere aggregate of many substances, forthere is a great difference between an animal, forexample, and a flock" (citado en Garber). Sinembargo, como fuerzas tienen otra función im-portante: resistir la penetración de otro cuerpo yofrecer resistencia al movimiento. Por otro lado,las fuerzas derivadas se subdividen también endos: pasivas y activas. Las pasivas correspondena lo que denomina "fuerzas inertes" y que Leib-niz asocia con la aceleración (pensando en casoscomo las fuerzas centrífugas y las gravitacionalesterrestres, que son de algún modo fuerzas poten-ciales), mientras las activas están asociadas conlas causas del movimiento. Las fuerzas derivadasactivas y pasivas son el objeto de una nueva cien-cia que Leibniz denomina "Dinámica". Un asun-to importante es que Leibniz considera las fuer-zas derivativas como limitaciones de las fuerzasprimitivas a causa de la colisión de un objeto conotros; tienen, además, un carácter accidental y nosustancial.

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Para finalizar este apartado, nos interesamencionar las leyes para la colisión de cuerposdentro de un sistema determinado. Tres son lasleyes fundamentales:

1. La ley de conservación absoluta de la fuerza(vis viva), según la cual, en un sistema deter-minado, la fuerza absoluta se mantiene paracolisiones elásticas. Es decir, un sistema en elque los cuerpos están colisionando respondea la ley f = mv". Esta ley de conservación dela fuerza garantiza que la suma de fuerzas an-tes y después de la colisión es la misma.

2. La ley de conservación de la velocidad res-pectiva. Dados dos objetos que se muevencon velocidades v y x antes de la colisión ycon velocidades y y z después de la colisiónse cumple la siguiente ecuación: v-y = z-x,donde velocidad respectiva significa la capa-cidad de un objeto de actuar sobre otro.

3. La ley de conservación del progreso común.Dados dos objetos A y B, la relación entre lacantidad de la masa por velocidad, antes ydespués de la colisión, cumple la siguienteecuación: mAv + mBy = mAx + mBz.

3.2. Homomorfismo, transformación y física

Intentamos establecer el tipo de relacionesque pueden darse entre la presentación de la físi-ca de Leibniz, específicamente la parte corres-pondiente a la dinámica (fuerzas derivadas activay pasiva), y los conceptos de homomorfismo ytransformación presentados anteriormente. Lasfuerzas centrífugas y gravitacionales tienen unaexpresión diferente. La primera está directamen-te relacionada con la velocidad a la que se des-plaza un objeto, mientras que la segunda se sitúaen un valor alrededor de los 9.8 newtons.

Habiendo hecho esta distinción, podemosestablecer las siguientes relaciones:

l. Transformación según el resultado de lafuerza. Si aceptamos la propuesta de Garberde la existencia de dos niveles en la descrip-ción leibniziana de la naturaleza, podemos

afirmar que en el primer nivel lo que tenemosson descripciones sobre las propiedades deun objeto que se desplaza en un espacio. Haydos formas de hacerlo. A) Conociendo ciertascondiciones iniciales podemos obtener lafuerza, en cada momento, es decir, la fuerzaque está actuando sobre ese objeto. De estamanera podemos obtener dos líneas el y e2relacionadas por una función, donde la pri-mera indica la velocidad de desplazamientodel objeto y la segunda la fuerza asociada conese objeto a esa velocidad. Podemos realizaruna transformación de la línea el a otra es-tructura de manera que hagamos homogéneasla estructuras según las definciones secciónsegunda. Leibniz mismo, en el ensayo de1715, da este paso. Leibniz define movimien-to como cambio de posición. Y agrega "Themovable is homogenous with extension; forthe point is also viewed as movable". Pode-mos definir la ruta de un objeto en movimien-to, como una sucesión de puntos (locus) en elespacio. De igual manera, podemos ver la lí-nea e2 (asociada con la fuerza), como una pa-ralela a el' B) La otra forma de ver la trans-formación es por medio de las secciones cru-zadas o cortaduras. Este método de transfor-mación es presentado por Leibniz, y nos limi-taremos a citar al autor en este respecto: "Pla-ce is the position which the movable objectoccupies at a fixed instant. The Iimiting placeor boundary of a movable object is thereforegiven by the cross-section of the path whichthe boundary prescribes, assuming that theobject has a path and does not move in oneand the same place". Se define path (ruta) co-mo lo hicimos anteriormente.

2. Transformación, por lo que denominamos elmétodo directo. Este consiste en modelar entérminos de funciones continuas, y por tanto,estructuras que responden al principio decontinuidad, los principales casos de fuerzas(parte dinámica) presentadas anteriormente.Las fuerzas centrífugas, las gravitacionales ydel movimiento pueden modelarse bajo pa-rámetros temporales, es decir, estudiando sucomportamiento en el tiempo. En este senti-do, las fuerzas centrífugas varían en relación

EL CONCEPTO DE TRANSFORMACIÓN DE LEIBNIZ

mucho más compleja que la anterior, ya querequiere tomar en consideración no sola-mente los aspectos relativos al movimiento,sino las propiedades mismas del sistema.La discusión que mantuvo Leibniz con loscartesianos en relación con las leyes carte-sianas del impacto, se basa en la siguientepremisa: en un sistema elástico (que admi-te que los cuerpos reboten) debe garantizar-se que a nivel del sistema como un todo, lafuerza o energía total del sistema se conser-ve constante. Expresado de otra manera, lafuerza presente en los cuerpos antes y des-pués de la colisión debe ser igual, así comola de todo el sistema. De este supuesto,Leibniz no solamente deriva la fuerza iner-te, sino la expresión para la vis viva. Igual-mente, deriva las dos leyes de conservación

3. Transformación por principios. Esta consiste tanto del momento como de la velocidaden ver el movimiento como un caso particu- respectiva. Según algunos autores, comolar de la ley de continuidad. Leibniz lo ve de Capek, ésta es la justificación para la intro-esta manera. Permítasenos de nuevo citar a ducción de la fuerza o energía potencial. SeLeibniz al respecto. La ley de continuidad, debe diferenciar claramente ésta de la ener-"first formulated by me, by virtue of which gía gravitacional o centrífuga. En este-mo-the law of bodies at rest is in a certain sense mento, la energía o fue~ntial se de-only a special case of the universal rule for fine de la siguiejue-mañera: V E = 1/2 kx2,

moving bodies, theIaw-for .equility.is.In.,a -6d01on~indica la energía (fuerza) pote n-certain sense a case of the law of inequility, cial elástica, k es la constante de proporcio-the law of curves is likewise a subspecies of nalidad y x es la unidad de elongación (quethe law of straight lines", Más específica- se expresa en diferentes unidades). De lomente, "continuity is present in time as well anterior resulta claro que las característicasas in extension, in qualities as well as in mo- del sistema de col isiones elásticas propues-tions; above all, however, it lurks in every to por Leibniz, deriva de un principio fun-process in Nature, since such a process never damental: la conservación de la fuerza ab-takes place by sudden jurnps". Como puede soluta de un sistema. Ahora bien, con pro-observarse, se hace similar haciéndolo deri- pósitos de transformación es importantevar de un principio que Leibniz considera analizar el estatus del principio de conser-fundamental en la naturaleza, el de continui- vación de fuerza. Se pueden visual izar tresdad, y aplica, por tanto, el procedimiento alternativas. A) Que sea un caso particulardescrito en la sección tercera pero que se re- del principio de continuidad, aplicado enproduce aquí, a saber: Dadas dos estructuras este caso, al campo de la dinámica. En eseEP, 3, decimos que EP es transformada en 3 , caso, es subsumible bajo este principio ge-si y solo si existe un conjunto 9\ de principios neral, y por tanto, cumple con la propiedadtales que 9\ (EP) <;;;; 3. En este caso, la estruc- de que el todo es mayor que la parte. B)tura a la cual se transforma puede ser cual- Que es un principio complementario al dequiera de las indicadas: tiempo o extensión. continuidad, en cuya caso, se debe agregar

a los principios enumerados por Leibniz,de manera que completen la visión leibni-ziana capturada en términos de principios.

directa a la velocidad del objeto, y se expre-sa de la siguiente manera: mv2/R, donde mes la masa, v la velocidad y R es el radio delcírculo que puede trazarse respecto a la cur-va descrita por el objeto. Cuando se modelaen el tiempo, la fuerza centrífuga describeuna función continua que varía respecto dev. La constante gravitacional, excepto queintervengan otras variables como la acelera-ción, describe una función continua constan-te en el tiempo. Finalmente, la fuerza viva ofuerza derivada activa, describe también unafunción continua que varía en función de v,para un objeto determinado. Lo anteriorquiere decir que podemos modelar los casosanteriores mediante integrales indefinidas,en este caso.

4. Transformación por principios, una varian-te. Esta cuarta forma de transformación es

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C) Que se trata de un principio específicoaplicable únicamente a la física, y por tan-to, la transformación, en el sentido que nosinteresa, tendría un carácter parcial. En re-lación con estas alternativas, Leibniz en suensayo "On the PrincipIe of Continuity"(1702), analiza los alcances de este princi-pio, de manera que podemos lograr algúnnivel de claridad en relación con estas tresalternativas. Leibniz, en ese ensayo, discu-tiendo la validez general del principio decontinuidad, establece lo siguiente:

Also it happens to be the case that we do no find asingle natural event which belies this greatPrinciple; on the contrary, all those events we doknow exactly justify the principle perfectly. It hasbeen recognized that the Laws of Collision ofBodies left to us by Descartes are false; but I canshow that they are false because they would allowhiatuses in events by violating the Law ofContinuity; and that as soon as we make (hecorrections which restore that Law, we come uponthose very laws which Messrs. Huyghens and Wrenhave found and which experiments have confirmed.

De esta manera, podemos concluir que, deacuerdo con Leibniz, la relación que se mantie-ne en cuanto al principio de conservación de lafuerza en un sistema y el principio de continui-dad es el descrito en la primera de las opcionesconsideradas, es decir, que es subsumible bajoese principio más general y bajo la relación"todo-parte" .

Nota

* Deseo expresar mi agradecimiento al profesorManuel Murillo de la Escuela de Matemáticas delInstituto Tecnológico de Costa Rica, por la revi-sión de este artículo y por sus valiosas sugeren-cias. Igualmente, deseo expresar un agradeci-miento a mi amigo el profesor Mario Alfaro de laEscuela de Ciencias Sociales por su revisión y su-gerencias. Finalmente, al Dr. Luis Camacho porsus valiosas observaciones.

Bibliografía

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Serres. M. (1977) La filosofía alemana de Leibni: aHegel. México: Siglo XXI.

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Celso VargasEscuela de Ciencias Sociales

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