Elements Finis Ensmp

8/7/2019 Elements Finis Ensmp

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Ecole Nationale Suprieure des Mines de Paris

Enseignement spcialis Elments finis S3733-S3735

METHODES DE RESOLUTION

EN ELEMENTS FINIS

Stphanie Basseville

Frdric Feyel

3me 5me semestre

Anne 2005 2006


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Table des matires

Introduction 4

I Discrtisation de problme de champ 7

I.1 Structures lastiques avec amortissement linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I.1.1 Formulation du problme aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.1.2 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.1.3 Discrtisation en lments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

I.2 Lquation quasi-harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.2.1 Formulation gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.2.2 Approximation par lments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.2.3 Remarques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.2.4 Application : lquation de conduction de chaleur en rgime transitoire . . 13

II Mthodes analytiques de rsolution 17

II.1 Classification gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II.2 Les vibrations libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II.2.1 Vibrations libres non amorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II.2.2 Valeurs propres de problmes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . 20II.2.3 Valeurs propres de problmes du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . 20

II.3 Vibration priodique force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20II.4 Rgimes transitoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

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4 TABLE DES MATIRES

II.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21II.4.2 Dcomposition modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

III Mthodes de rsolution par rcurrence 25

III.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25III.2 Schmas un pas pour les quations du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III.2.1 Mthode du point milieu gnralise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26III.2.2 Mthode des trapzes gnralise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28III.2.3 Application au problme de conduction de chaleur . . . . . . . . . . . . . 28

III.2.4 Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29III.2.5 Valeur critique t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31III.3 Schmas un pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

III.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32III.3.2 Lalgorithme SSpj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33III.3.3 Lalgorithme de Newmark GN22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35III.3.4 Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36III.3.5 Valeur critique t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Quelques rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


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INTRODUCTION

Il existe de nombreux problmes physiques faisant intervenir la variable temps. A titredexemples, on peut penser aux problmes de conduction de chaleur, de propagation lectro-magntique, de propagation dondes dans un fluide.... Lobjectif de ce cours est de prsenter lesalgorithmes spcifiques mettre en oeuvre en calcul par lments finis dans des situations dpen-

dant du temps.Lexpos est divis en trois chapitres :

Dans le premier chapitre, nous allons tablir par une simple extension des mthodes parlments finis les quations diffrentielles sous forme matricielle auxquelles obissent ungrand nombre de problmes.Deux exemples physiques faisant intervenir la variable temps sont traits :- ltude du comportement dynamique des structures ;- une classe particulire de problmes dont la formulation se fait laide dquations quasi-harmoniques (conduction de chaleur, de propagation lectromagntique...).

On montre que nous pouvons regrouper ces problmes en une seule catgorie dont la formu-lation matricielle est la suivante :

[M] {q} + [C] {q} + [K]{q}+ {F} = 0, {q} = d2 {q}dt2

{q} = d{q}dt

. (1)

Le second chapitre est consacr aux mthodes analytiques de rsolution de systmes linairesdquations diffrentielles. On sintresse trois types de rponses : les rponses libres, lesrponses priodiques et les rponses transitoires. Pour chaque type de rponse, on prsenteles mthodes de rsolution analytique.

Malgr lexistence de mthodes analytiques de rsolution, la solution relle de problmestransitoires est difficile obtenir. Dans le dernier chapitre, on revient une discrtisationpar lments finis partir dune fonction test, applique maintenant au domaine temporel.On considre ainsi des intervalles de temps de longueur finie t en rptant les calculs pourles intervalles suivants avec de nouvelles conditions initiales. De nombreux processus passimple ou multiple permettent dobtenir des relations de rcurrence. Cependant, on prsentedans ce cours uniquement des schmas un pas pour les problmes du premier et du secondordre. Pour finir, on discute la stabilit des schmas prsents.


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Chapitre I

EXEMPLES DE DISCRTISATION PARTIELLEDE PROBLME DE CHAMP

INTRODUCTION

Lobjectif de ce chapitre est dtudier diffrents phnomnesphysiques faisant intervenir la variable temps. Tout dabord, on

sintresse un problme particulier : le comportement dyna-

mique des structures lastiques avec amortissement linaire.

On montre que la rsolution par lments finis conduit la r-

solution dun systme diffrentiel du second ordre de la forme

[M] {q} + [C] {q} + [K]{q} + {F} = 0. (I.1)La mthode dcrite pour les milieux continus lastiques peuttre applique une grande varit de phnomnes phy-siques : conduction de chaleur, rpartition du potentiel elec-trique... Ceci nous amne traiter les problmes gnrauxrgis par lquation gnrale quasi-harmonique. On constatealors que la discrtisation par lments finis permet gale-

ment de ramener ce problme un systme de la forme (I.1).

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8 CHAPITRE I. DISCRTISATION DE PROBLME DE CHAMP

I.1 Comportement dynamique de structures lastiques avec

amortissement linaire

Lexemple trait est de grande importance puisquil correspond au calcul des structures.

I.1.1 Formulation du problme aux limites

On considre un corps lastique occupant un domaine IR3, soumis une force volumiqueFd et des rsistances linaires de type visqueux u, o est un facteur traduisant les propritsdu matriaux.

Sur le bord de , on considre deux types de conditions aux limites :- dplacement impos sur une partie du bord D, le dplacement tant donn : ud = 0 ;- contrainte impose sur une partie du bord N, le vecteur contrainte tant impose : .n = Fd.

On cherche dterminer le dplacement u d ce chargement. La dtermination du dpla-cement permet alors dexprimer les dformations linarises et par suite les contraintes parle biais de la loi de comportement. En gnral, le matriau compris lintrieur des frontirespeut tre soumis des dformations initiales. Si lon note par 0 de telles dformations, alors lescontraintes proviennent de la diffrence entre les dformations rlles et les dformations initiales.Au dpart, le corps peut galement tre soumis des contraintes initiales rsiduelles 0. Dans le

cas du comportement linaire lastique, on obtient la relation = : ( 0) +0, avec ten-seur dlasticit. Cependant, dans ce qui suit, on ne prendra pas en compte les contributions decontraintes et de dformations initiales.

FIG . I.1 Problme lastique aux conditions limites

Finalement, dterminer le dplacement u :

IR3 revient rsoudre le systme dquations

suivant :


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I.1. STRUCTURES LASTIQUES AVEC AMORTISSEMENT LINAIRE 9

Problme (P)

u +u = div + fd dans quation de la dynamique = : dans loi de comportement

u = 0 sur D condition sur le bord.n = Fd sur N condition sur le bordu(0) = u0, u(0) = u0 condition initiale

(I.2)

o est la masse volumique.

I.1.2 Formulation variationnelle

La formulation variationnelle du problme dynamique tudi sobtient en suivant une dmarche

analogue celle des problmes statiques et dcoule de la somme des travaux intrieur et extrieurpour un dplacement virtuel quelconque u appliqu la rgion . On obtient :

Zu.ud+

Zu.ud+

Z : d

Zu.f

d

ZNu.Fdd= 0 (I.3)

pour tout u tel que u = 0 sur D.

I.1.3 Discrtisation en lments finis

On choisit dapprocher le dplacement par une discrtisation partielle.Soit {q}e un dplacement virtuel des nuds : il provoque des dplacements lintrieur de ll-ment e qui sont :

u(X, t) = [Ne(X)]{qe(t)} (I.4)o [N] dfinit les fonctions de forme pour le dplacement et X les coordonnes de lespace. Ledplacement provoque galement des dformations que lon traduit toujours par une relation quipeut tre crite sous forme matricielle :

(X, t) = [Be(X)]{qe(t)} avec [Be] = [L][Ne] (I.5)expression dans laquelle [L] dsigne loprateur linaire appropri et [Be] sont les fonctions deforme pour les dformations.Le champ de dplacement est estim lintrieur de chaque lment e dun maillage, et chaqueinstant, partir des valeurs quil prend aux nuds associs cet lment au mme instant. Sonapproximation est la suivante :

u(X, t) = [Ne(X)]{qe(t)} . (I.6)On en dduit la dformation :

(X, t) = [Be(X)]{ qe(t)}


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Dans la suite, pour allger lcriture, on omet la dpendance de X et t. Cependant, il sera nces-saire de la garder lesprit. La loi de comportement permet dexprimer le tenseur des contraintesapproch :

= : [Be]{qe} . (I.7)

Grce aux relations (I.4)-(I.7), lexpression (I.3) permet dtablir :

Ze

[Ne]T[Ne]d

d2 {qe}

dt2+

Ze

[Ne]T[Ne]d

d{qe}

dt

+

Ze

[Be] : [Be]d

{qe}

Ze

[Ne]Tfd

d+

Ze

D

[Ne]TFdd= 0.

Cette relation ne diffre du cas stationnaire que par lajout des termesRe [N

e]T[Ne]d etRe [N

e]T[Ne]d. On dfinit ainsi les matrices lmentaires de masse [Me], damortissement [Ce],de rigidit [Ke] et le vecteur lmentaire {Fe} de la manire suivante :

[Me] =

Ze

[Ne]T[Ne]d [Ce] =

Ze

[Ne]T[Ne]d

[Ke] =

Ze

[B]T : [B]d {Fe} = Ze

[Ne]Tff

dZeD

[N]TFdd

Enfin, lassemblage des quantits lmentaires seffectue de la mme faon que dans le casstationnaire et permet dobtenir un systme diffrentiel du second ordre par rapport au temps :

[M] {q}+ [C] {q}+ [K]{q} + {F} = 0

{q} d{q}dt

{q} d2 {q}dt2

(I.8)

avec

[M] =m

e=1

[Ae]T[Me][Ae] [C] =m

e=1

[Ae]T[Ce][Ae]

[K] =m

e=1

[Ae]T[Ke][Ae] {F} =m

e=1

[Ae]T{Fe}

[Ae] reprsentant la matrice dassemblage et m le nombre dlment. [M], [C], [K] et {F} sontles matrices globales de masse, damortissement, de rigidit et le vecteur global des forces.

Remarque

La dtermination de la matrice [C] est difficile tant donn le manque de connaissance concernant. Souvent, on crira [C] sous la forme dune combinaison linaire de [M] et [K] : [C] =[M]+[K].

Les paramtres et sont alors dtermins exprimentalement.


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I.2. LQUATION QUASI-HARMONIQUE 11

I.2 Lquation quasi-harmonique

I.2.1 Formulation gnrale

Dans ce qui suit, on sintresse une catgorie particulire mais importante de problmesphysiques rgis par lquation gnrale quasi-harmonique avec drives partielles par rapportau temps. Les problmes les plus frquemment rencontrs par lingnieur sont par exemple : laconduction de chaleur, lcoulement irrotationnel de fluide parfait, la rpartition du potentiel lec-trique (ou magntique).

La formulation dveloppe dans ce paragraphe sapplique tous ces problmes.De nombreux problmes physiques concernent la diffusion ou lcoulement dune certaine

quantit (chaleur, masse, produit chimique...). Le flux ou taux dchange q par unit de surfacepeut scrire partir de ses composantes sous la forme :

qT = [qx,qy,qz].

En gnral, les flux sont relis directement au gradient dun potentiel, . On aura la relation :

q = k,o kest une matrice trois par trois. Dans le cas dun matriau orthotrope, la matrice kest diagonaledans le repre prfrentiel du matriau, et ses termes sont nots kx, ky, kz.

Ainsi, dans le cas tridimensionnel, lquation quasi-harmonique en fonction du potentiel scrit :

x

kx

x

+

y

ky

y

+

z

kz

z

+

Q

t

2

t2

= 0, (I.9)

ou sous forme compacte :

T.(k) + rt

2

t2= 0,

Aux limites du domaine , on rencontre deux types de conditions :i) sur :

= .

On impose une valeur de ce potentiel gale zro par la suite.

ii) sur : la composante normale du flux est donne par :

qn = q +,

o q et sont des valeurs imposes.Cette dernire condition scrit directement sous la forme :

(k)T.n q = 0,n tant le vecteur normal la surface .


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I.2.2 Approximation par lments finis

La rsolution par lments finis se fait de manire similaire celle dun problme en rgimestationnaire. On considre alors un instant donn. Les drives de par rapport au temps sont

traites comme des fonctions des coordonnes. On obtient la forme faible suivante :Z

T.(k) + r

t

2

t2

d

Zq

(k)T.n qd= 0,pour toute fonction nulle sur q.

Le thorme de la divergence permet dtablir :

ZT.(k)d

Zr

t2

t2 dZ

q

(q +)d= 0. (I.10)

Le potentiel est estim lintrieur de chaque lment du maillage e et chaque instant dela manire suivante :

(X,t) = {Ne(X)} .{qe(t)}o {Ne(X)} reprsente les fonctions de forme. En reportant cette approximation dans lquation(I.10), il vient :

Ze {Ne}T{Ne}dd2 {qe}

dt2+Z{Ne}T{Ne}d

d{qe}dt

+

Ze

{Ne}T[k]{Ne}dZeq

{Ne}T{Ne}d

{qe}

Z

e{Ne} rd+

Zqe

{Ne}qd

= 0.

On dfinit ainsi les matrices lmentaires par les relations :

[Me] =

Z

{Ne}T{Ne}d[Ce] =

Z

{Ne}T{Ne}d[Ke] =

Z{Ne}T[k]{Ne}d

Zq

{Ne}T{Ne}d

{Fe} = Z

{Ne} rd+

Zq

{Ne}qd

Enfin, lassemblage des quantits lmentaires seffectue de la mme faon que dans le casstationnaire et permet dobtenir un systme diffrentiel du second ordre par rapport au temps :

[M]

{q

}+ [C]

{q

}+ [K]

{q

}+

{F

}= 0

avec bien entendu,


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[M] =m

e=1

[Ae]T[Me][Ae] [C] =m

e=1

[Ae]T[Ce][Ae]

[K] =me=1

[Ae]T[Ke][Ae] {F} = me=1

[Ae]T{Fe}

Remarquons que les matrices obtenues sont symtriques.

I.2.3 Remarques :

Si = 0, lquation (I.9) correspond lquation classique de la chaleur en rgime transitoire.Cette mme quation sapplique galement dautres problmes physiques comme la consolida-tion des sols...

Si = 0, lquation (I.9) devient lquation dondes dHelmholtz. Quelques exemples de ph-nomnes tudis laide de cette quation : les ondes lectromagntiques, les ondes de surfacesdun fluide...

Si = = 0, il sagit de lquation des ondes non amorties dont le domaine dapplication estvaste.

I.2.4 Application : lquation de conduction de chaleur en rgime transi-

toire

A titre dapplication, nous tudions un problme de conduction thermique au sein dun milieuisotrope en rgime transitoire. La loi reliant la densit de flux de chaleur au champ de tempratureest la loi de Fourier = T, o est la conductivit thermique. Nous utilisons une dmarcheanalogue qui nous conduit un systme diffrentiel en temps, sur les tempratures.

Entre deux instants conscutifs, le premier principe de la thermodynamique scrit :

dE + dU = dQ + dW,

o dE doit tre compris comme la transformation au sein du milieu dnergie potentielle ;il sagit de leffet Joule ou de lnergie calorifique rsultant dune raction exo--thermique ou endothermique ;

dU est la variation dnergie interne ;dQ reprsente les changes de chaleur aux frontires du systme ; situ au sein du

systme sige dun phnomne de conduction de la chaleur, ces changes sont detype conductifs ;

dW reprsente les changes de travail aux frontires du systme.

Pour un lment du milieu quelconque, suffisamment petit pour tre homogne, de volume, limit par une surface , les quations de bilan sont les suivantes :


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rest la puissance calorifique volumique des sources internes, si bien que :

dE =

Z

rd

Les volutions du milieu, sauf cas particulier se font pression constante p = pext,

dU dW = dH =ZcT

td,

o T/t est llvation de temprature par unit de temps, la masse volumique et c la capacitmassique pression constante du milieu.

Les changes de chaleur aux frontires du milieu sexpriment, compte tenu de lorientation de lanormale n, par la relation :

dQ =Z.nd= Z

div()d =

Z

div(T)d.

Lapplication du premier principe de la thermodynamique conduit lquation indfinie de lachaleur,

div(T) c Tt

= ren tout point de .Le solide est soumis aux conditions limites suivantes :

- un flux entrantd connu sur une partie q de la frontire .- une condition de temprature Td connue sur une partie T de la frontire .

Finalement le problme de conduction thermique en rgime transitoire scrit :

Problme (P) Trouver T : IR vrifiant :

div(T) + rcTt

= 0 dans quation indfinie de la chaleur

(T).n = d sur q condition sur le bord

T = Td sur T condition sur le bord

T(0) = T0 condition initiale.

(I.11)

Une dmarche analogue celle des quations quasi-harmoniques permet dobtenir la formu-lation faible suivante :Trouver T tel que T = Td sur T telle que :

ZT(rcT

t)d+

ZqTdd

ZTT.T d = 0, (I.12)

pour toute fonction T telle que T = 0 sur T.

Le champ de temprature est estim lintrieur de chaque lment e du maillage, et chaqueinstant partir des valeurs qui prend aux nuds associs cet lment cet instant. La temprature


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est approche de la manire suivante :

T(X, t) = {Ne(X)} .{Te(t)} .

Lapplication des approximations nodales dans le problme (I.12) permet dobtenir :

Ze

{Ne}rdZ

ec{Ne}T{Ne}d

{Te} +

Zeq

{Ne}dd

Z

e(Ne)T.Ned

{Te} = 0.

Cette relation ne diffre du cas stationnaire que par lajout dun terme d la variation denthal-

pieZec{Ne}T{Ne}d. On dfinit ainsi la matrice dinertie ou matrice de capacit calorifique

ou de masse, lmentaire [Ce], la matrice de conductivit [Ke] et le second membre

{Fe

}:

[Ce] =

Zec{Ne}T{Ne}d

[Ke] =

Ze

({N}e)T..{N}ed

{Fe} =Ze

{Ne}rd+Zeq

{Ne}dd

Enfin, lassemblage des quantits lmentaires seffectue de la mme faon que dans le casstationnaire et permet dtablir un systme diffrentiel du premier ordre par rapport au temps :

[C]{T} + [K]{T} + {F} = 0,

avec

[C] =m

e=1

[Ae]T[Ce][Ae]

[K] =m

e=1

[Ae]T[Ke][Ae]

{F} =m

e=1

[Ae]T {Fe}


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Chapitre II

MTHODES ANALYTIQUES DE RSOLUTION

INTRODUCTION

Le chapitre prcdent a mis en vidence le fait que, suite

une discrtisation partielle, diffrents problmes dpendantdu temps peuvent scrire comme un systme dquations dif-

frentielles dont la forme matricielle est donne par la relation

[M] {q} + [C] {q} + [K]{q} + {F} = 0. (II.1)De manire gnrale, le systme (II.1) peut tre non linaire.Pour les matrices de rigidit par exemple, la non-linaritpeut provenir de la loi de comportement, ou de la prsencede grandes dformations... Dans ce qui suit, nous nous res-

treindrons ltude de systmes dquations diffrentielles li-naires. Lobjectif de ce chapitre est de prsenter diffrentesmthodes analytiques de rsolution. Il faut noter cependantque de telles mthodes peuvent savrer complexes. Danscertains cas, on aura recours un processus dapproximation(cf chapitre 3).

II.1 Classification gnrale

Bien que lapproche analytique soit souvent complexe, elle permet de donner un aperu trsutile lingnieur.

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18 CHAPITRE II. MTHODES ANALYTIQUES DE RSOLUTION

La plupart des mthodes de rsolution prsentes dans ce cours ne sont quune extension des m-thodes classiques utilises pour la rsolution des quations diffrentielles coefficients constants.

Dans ce qui suit, nous allons traiter successivementt les problmes suivants :

- dtermination dune rponse libre : {F} = {0} ;- dtermination dune rponse priodique : {F} priodique ;- dtermination dune rponse transitoire : {F} quelconque.

Dans les deux premiers cas, les conditions initiales du systme nont aucune importance. Oncherche dterminer une solution gnrale. Dans le dernier cas, une attention particulire seraporte.

II.2 Les vibrations libres

II.2.1 Vibrations libres non amorties

En labsence de termes damortissement et de force, le problme dynamique (II.1) se ramneau problme suivant :

[M] {q} + [K]{q} = 0, (II.2)dont la solution gnrale est

{q} = {q}eit. (II.3)

La partie relle cos(t) reprsente une rponse harmonique.En injectant (II.3) dans (II.2), on montre que est solution du problme de valeurs propres suivant :

[K] {q} = 2[M] {q} . (II.4)

Le dterminant de lquation (II.4) doit tre nul

det([K] 2[M]) = 0. (II.5)

On obtient ainsi les n valeurs 2 (i, i = 1, ,n) pour une dimension n des matrices [K] et [M].

La relation (II.5) ne permet pas de dterminer les vritables valeurs {q}. Cependant, on peuttrouver n vecteurs

qj

appels modes propres du systme dont la norme est

qjT

[M]

qj

= 1.

La dtermination des valeurs propres se fait rarement en cherchant les zros de lquation (II.5)en raison de la trs grande taille du systme dans le cas gnral, et des considrables diffrencedordre de grandeur entre les valeurs propres les plus grandes et les plus faibles. De toutes faons,ce sont les premires frquences qui dterminent le comportement du systme. Des mthodes per-mettant de trouver les premiers zros dun polynme de degr n ont donc t mises au point. Dupoint de vue numrique, il existe un grand nombre de programmes disponibles permettant dva-luer ces valeurs. Lobjectif du cours ntant pas de dtailler ce type de mthode, nous prsentons

uniquement lide de dpart.


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II.2. LES VIBRATIONS LIBRES 19

Le point de dpart de la majeure partie de ces mthodes consiste crire la relation (II.4) sousla forme suivante :

[H]{X

}=

{X

}(II.6)

o [H] est une matrice symtrique dfinie positive. Il est clair que si on crit directement lquation(II.4) sous la forme

[K]1 [M] {q} = 12

{q}

o [K]1 est linverse de la matrice [K], la proprit de symtrie nest pas toujours conserve.

Par consquent, il est ncessaire dcrire la matrice [K] en utilisant la dcomposition de Cho-lesky. Ainsi,

[K] = [L]T

[L],o lexposant T dsigne la transpose de la matrice [L], matrice triangulaire infrieure.

Grce cette dcomposition, (II.4) scrit :

[M] {q} = 12

[L] [L]T{q} ,[L]1 [M] {q} = 1

2[L]T{q} ,

[L]1 [M] [L]T[L]T{q} = 12

[L]T{q} .

En posant [H] = [L]1 [M] [L]T, {X} = [L]T {q} et = 1/2, on se ramne un problme de laforme (II.6) o [H] est symtrique.Aprs avoir dtermin , on cherche les modes propres {X} desquels on dduit les modes propres{q} par la relation {q} = [L]T{X}.

Remarques :

1) [M] et [K] sont dfinies positives :

Lorsque les matrices [K] et [M] sont dfinies positives (ce qui est le cas habituel des problmes en

dynamique des structures), il existe n valeurs propres relles positives. Ces solutions sont appelespulsations propres du systme.

2) [K] est singulire :

Si la matrice [K] est singulire, elle ne possde pas dinverse. Afin de pouvoir utiliser les mthodesgnrales prcdentes, on utilise un artifice qui consiste introduire un paramtre IR du mmeordre de grandeur que 2. On a ainsi le problme suivant rsoudre :

([K] + [M]){q} = (2 +)[M] {q} .

La nouvelle matrice [K] +[M] est alors inversible et la solution cherche est 2 +.


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II.2.2 Valeurs propres de problmes du premier ordre

Le cas [M] = 0 reprsente lexpression de lquation de conduction de chaleur. La relation (II.2)se ramne :

[C] {q} + [K] {q} = 0. (II.7)On cherche la solution gnrale sous la forme :

{q} = {q}et (II.8)En substituant la solution gnrale dans (II.7), on obtient un problme de valeurs propres :

( [C] + [K]){q} = 0.Les matrices

[C

]et

[K

]tant souvent dfinies positives, est relle positive.

La solution prsente un terme de dcroissance exponentielle qui ne correspond pas rellement untat de rgime permanent.

II.2.3 Valeurs propres de problmes du second ordre

A prsent, on sintresse au problme (II.1) dans le cas dune rponse libre. La solution gn-rale de [M] {q} + [C] {q} + [K]{q} = 0 est de la forme {q} = {q} et, C. On obtient ainsilquation caractristique :

(2[M] +[C] + [K]){q} = 0, C, {q} C.La partie relle de la solution reprsente une vibration amortie. Ce problme est plus dlicat rsoudre que les prcdents si bien que la rsolution explicite est peu courante.

II.3 Vibration priodique force

On considre une excitation priodique de la forme {F} = Fet, = 1 + i2 C. Lasolution gnrale scrit {q} = {q} et. En substituant cette solution dans lquation (II.1), ilvient :

(2[M] +[C] + [K]) [D]

{q} = F

ce qui nest pas un problme de valeurs propres. De faon formelle, ce problme peut tre rsolucomme un problme statique en inversant la matrice [D]. Nanmoins, la solution doit tre dtermi-ne en fonction de quantits complexes.

La dcomposition suivante :

et = e1t(cos(2t) + isin(2t)) ,i

IR, i = 1,2F = F1+ iF2 ,Fi IR,{q} = {a1} + i{a2} ,{qi} IR,


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II.4. RGIMES TRANSITOIRES 21

permet dobtenir le systme suivant :

(21 22)[M] +1[C] + [K] 212[M] 2[C]

212[M] +2[C] (2122)[M] +1[C] + [K]

{a1}

{a2

} =

F1

F2 dans lequel toutes les quantits sont relles. Il est ainsi possible de dterminer la rponse touteexcitation priodique par rsolution directe.Pour une excitation priodique, la rponse aprs une phase transitoire initiale nest plus influencepar les conditions initiales. La solution obtenue reprsente la rponse qui stablit. Ceci est valableaussi bien pour les problmes en dynamique des structures que pour les problmes de conductionde chaleur.

II.4 Rgimes transitoires

II.4.1 Introduction

Les diffrentes mthodes que nous avons prsentes ne prennent pas en compte les conditionsinitiales du problme, ni la forme ventuelle non priodique des excitations. Or si on sintressepar exemple au comportement sismique des structures ou lvolution transitoire dun problmede conduction de chaleur, il est essentiel de prendre en compte ces facteurs. Par consquent, lob-tention de ces solutions ncessite soit lutilisation dune discrtisation dans le domaine temps, quenous tudierons en dtail au prochain chapitre, soit lutilisation de mthodes adaptes. Dans cedernier cas, il existe deux mthodes importantes :

- la mthode de rponse en frquence,

- la mthode danalyse modale.Cest cette dernire mthode qui fait lobjet du paragraphe suivant.

II.4.2 Dcomposition modale

La mthode de dcomposition modale est sans doute lune des plus importante et des plusemploye.

Nous allons tudier cette mthode dans le cas du problme gnral suivant :

[M]

{q

}+ [C]

{q

}+ [K]

{q

}+

{F

}= 0,

{F

}arbitraire. (II.9)

En rponse libre, la solution scrit :

{q} = {q} et =n

i=1

{qi}eit

avec i valeurs propres et {qi} vecteurs propres (cf paragraphe II.2.3).

Pour la rponse force, lide consiste chercher la solution sous la forme dune combinaisonlinaire des modes propres, cest--dire :

{q} = ni=1

{qi}yi(t), (II.10)


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o la quantit yi(t) reprsente la contribution de chaque mode. En injectant (II.10) dans (II.9),puis en composant gauche par {qi}T, on obtient un ensemble dquations scalaires indpen-dantes :

mi yi + ci yi + kiyi + Fi = 0 (II.11)dont les diffrents paramtres sobtiennent grce lorthogonalit des modes :

mi = {qi}T [M]{qi}ci = {qi}T [C]{qi}ki = {qi}T [K]{qi}Fi = {qi}T {F} .

Les quations scalaires (II.11) se rsolvent ensuite par des mthodes lmentaires indpendam-ment les unes des autres. Le vecteur total est ensuite obtenu par superposition en suivant (II.10).

Dans le cas gnral, le calcul des valeurs et des vecteurs propres complexes est loin dtre facile.La mthode habituelle consiste dterminer les valeurs propres relles du problme

2[M] {q} = [K] {q} . (II.12)

En utilisant ensuite le processus prcdent, on montre que le problme est dcoupl en y seulement

si on a la proprit dortogonalit de [C] : {qi}T [C]

qj

= 0. Ceci nest pas vrai en gnral puisqueles vecteurs propres assurent uniquement lorthogonalit de [M] et [K]. En revanche, si la matricedamortissement est une combinaison linaire des matrices [M] et [K], la proprit dorthogonalitest videmment satisfaite.

Dans la suite, on suppose que la proprit dorthogonalit pour [C] est satisfaite. Lquation(II.12) permet dobtenir :

2i [M]{qi} = [K]{qi} ,puis en multipliant gauche par {qi}T, il vient :

2i mi = ki.

En supposant que les modes sont normaliss de telle sorte que mi = 1 et en posant ci = 22i ci,

(o ci correspond au pourcentage damortissement par rapport sa valeur critique) on montre quelquation (II.11) scrit sous la forme dune quation diffrentielle du second ordre :

yi + 2ici yi +

2yi + Fi = 0

dont la solution gnrale est :

yi =

Zt0

Fiecii(t)sini(t )d.

Une intgration numrique permet de dterminer une rponse. La superposition de ces termesdonne la rponse transitoire totale (en principe !).

Remarque

1) Pour un systme de premier ordre [C] {q} + [K]{q} + {F} = 0, on peut dvelopper des m-thodes analogues. En utilisant la relation (II.8) et en procdant de manire similaire, on obtient un


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II.4. RGIMES TRANSITOIRES 23

ensemble dquations dcouples :

ci yi + kiyi + Fi = 0,

et cela permet de dterminer une solution analytique.2) Le type de dcomposition modale ncessite la dtermination de lensemble des valeurs et

des modes propres reprsentant des calculs considrables. Dun point de vue pratique, on ne prenden compte quun nombre limit de modes tant donn que les rponses des frquences lvessont souvent trs amorties et prennent par consquent des valeurs ngligeables.


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Chapitre III

MTHODES DE RSOLUTION PARRCURRENCE

INTRODUCTION

Ce dernier chapitre est consacr ltude de problmes tran-sitoires. Nous revenons une discrtisation par lments finis partir dune fonction test. Malgr linfinit du domaine temps,on divise lintervalle de temps en sous-intervalles de longueurfinie t. On prsente uniquement des schmas de rsolution un pas pour des problmes du premier et du second ordre. Onobtient ainsi une relation par rcurrence permettant de dter-miner une solution approche du problme. Enfin, on discutede la stabilit de ces schmas caractrisant la capacit dunalgorithme amortir ou au contraire amplifier les erreurs

commises au cours des pas de temps successifs.

III.1 Introduction

Dans le chapitre prcdent, nous avons vu que les problmes dynamiques ou les problmes dechamp en rgime transitoire se formulent suite une discrtisation partielle sous forme de sys-tmes dquations diffrentielles :

[M]

{q} + [C]

{q} + [K]{q} + {F} = 0{q(0)} = {q0} {q(0)} = {q0} ,

(III.1)

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26 CHAPITRE III. MTHODES DE RSOLUTION PAR RCURRENCE

pour les problmes dynamiques ou

[C] {q} + [K]{q} + {F} = 0,

{q

(0

)} = {q

0}(III.2)

pour des problmes de conduction de chaleur par exemple.Malgr les diverses mthodes existantes, dont certaines ont fait lobjet du chapitre 2, la solutiondun tel problme reste souvent difficile obtenir.

Dans ce chapitre, on revient une discrtisation par lments finis partir dune fonction test,applique maintenant au domaine temporel de manire gnrale. Lintervalle de temps est divisen sous-intervalles de temps finis t. On dfinit ainsi la relation de rcurrence tn+1 = tn +t olinstant tn correspond la condition initiale. Le calcul seffectue de proche en proche en utilisantune suite de tels domaines avec de nouvelles conditions initiales. On parle de calcul pas--pas ou

par rcurrence. Nous allons voir que lapproche par lments finis permet de retrouver des m-thodes classiques, mais plus gnrales, obtenues laide des diffrences finies ou de Runge-Kutta.

Les relations de rcurrence sont crites pour le systme original. Cependant, lorsquil seraquestion de ltude de stabilit des schmas, nous prfrerons la formulation en termes dqua-tions scalaires dcouples :

mi yi + ci yi + kiyi + Fi

ouci yi + kiyi + Fi,

avec yi variable de participation modale, obtenue au paragraphe II.4.2.

III.2 Schmas un pas pour les quations du premier ordre

III.2.1 Mthode du point milieu gnralise

Dans un premier temps, on sintresse lobtention des relations de rcurrence pour un pro-blme du premier ordre (III.2).

On considre un lment typique de temps de longueur t. Il sagit de dterminer la valeur{qn+1} connaissant la valeur {qn} et le vecteur force {F} sur lintervalle t (figure III.2.1). Il estclair que pour le premier intervalle, la valeur initiale est {q0} : on parle de problme valeur ini-tiale.

Dans chaque intervalle t, lapproximation de {q} prend la forme linaire suivante :

{q} {q} = {qn}+ t

({qn+1}{qn}) avec = t tn.

Le problme variationnel scrit :

Zt0

{w()}T [[C] {q} + [K]{q}+ {F}]d = 0,


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III.2. SCHMAS UN PAS POUR LES QUATIONS DU PREMIER ORDRE 27

FIG . III.1 Approximation de {q} dans le domaine temps.

o {w()} sont des fonctions de poids arbitraires dont une approximation scrit :

{w()

}= W()

{qn+1

}, avec

{qn+1

}paramtre arbitraire.

Cette dernire approximation permet dtablir :

Zt0

W()[[C]{q} + [K] {q} + {F}]d = 0. (III.3)

En posant

=1t

Rt0 WdRt0 W d

on peut crire lquation (III.3), quelle que soit la fonction de pondration, sous la forme :

1t

[C]({qn+1}{qn}) + [K] ({qn}+({qn+1}{qn})) + {F} = 0, (III.4)

avec {F} une valeur moyenne de {F} donne par

{F} = 1t

Rt0 W{F}dRt

0 W dou {F} = {Fn} +({Fn+1}{Fn}).

On adopte souvent la mme interpolation pour {F} et {q}Il est intressant de remarquer que la relation (III.4) correspond une srie classique de for-

mules de diffrences finies linstant tn +t. La solution de (III.4) scrit

{qn+1} = ([C] +t[K])1[([C] (1)t[K]){qn}t{F}]. (III.5)

On peut alors dterminer {qn+1} en rsolvant les quations prcdentes tant donn que lesvecteurs {qn} et {F} sont connus.

Remarques

- Si = 0 et [C] est diagonale, la solution est triviale. Ces procdures sont dites explicites.- Si = 0, les procdures sont dites implicites.- Si = 1/2, il retrouve de la formule classique de diffrence centrale (Cranck-Nicholson).

La stabilit des ces schmas sera tudie au paragraphe III.3.4.


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III.2.2 Mthode des trapzes gnralise

Une alternative la mthode prsente au paragraphe III.2.1 consiste approximer {qn+1} parune srie de Taylor tronque :

{qn+1} {qn} +t{qn} +t({qn+1}{qn}), 0 1. (III.6)On suppose que lquation gouvernant le problme est satisfaite linstant tn+1. Ainsi :

[C]{qn+1} + [K]{qn+1} +{Fn+1} = 0 (III.7)En remplacant (III.6) dans lexpression ci-dessus, on obtient la relation de rcurrence :

{qn+1} = ([C] +t[K])1[[K]({qn} + (1)t{qn}) + {Fn+1}]. (III.8)La rsolution de lquation prcdente permet dobtenir la valeur

{q

n+1}puis de dduire

{q

n+1}grce la relation (III.6). Par la suite, pour faire rfrence ce schma, on parlera de schma unpas en temps.

III.2.3 Application au problme de conduction de chaleur

Pour illustrer ce formalisme, on reprend lexemple tudi au paragraphe I.2.4. Suite la dis-crtisation par lments finis, nous avons obtenu le systme dquations diffrentielles suivant :

[C]

{T

}+ [K]

{T

}+

{F

}= 0,

o [C] est la matrice de capacit calorifique, [K] la matrice de conductivit et {F} le vecteur secondmembre.

Lintgration temporelle permet dobtenir lvolution au cours du temps du vecteur des temp-ratures aux nuds du maillage, et donc par approximation nodale la temprature et son gradient entout point du solide. On rsout ce problme pas pas dans le temps. On peut par exemple utiliserun schma aux diffrences finies implicite prsent au paragraphe III.2.1. Dans ce cas, la vitessede variation de la temprature aux nuds du maillage sexprime :

{Tn+1} = {Tn+1}{Tn}t

.

Comme linstant tn, les quantits [C], [K] et {F} sont connues, les tempratures nodales linstant tn+1 sont obtenues par la rsolution du systme linaire suivant :

([C] +t[K]){Tn+1} = t{F} + [C]{Tn} .On part de la condition initiale {T(0)} t = 0. On estime chaque instant par incrments

successifs t la solution. La solution est approche en espace par la mthode par lments finis eten temps par la mthode des diffrences finies.

Ce problme pourrait tre rsolu avec dautres mthodes : la mthode par dcomposition mo-dale vue au chapitre prcdent ; des mthodes dintgration directe dans le temps (mthode dEuler

explicite ou implicite, les mthodes semi-explicites, la mthode de CrankNicholson...).


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III.2.4 Stabilit

La stabilit des schmas prsents prcdemment est tudie dans le cas o {F} = 0. La d-marche propose est toutefois applicable dans le cas o {F} = 0. De manire gnrale, ces schmaspeuvent scrire sous la forme

{qn+1} = [A]{qn} , (III.9)o [A] est la matrice damplification.

En effet, en ce qui concerne le schma un pas prsent au paragraphe III.2.1, le rsultat estimmdiat et dcoule de la relation de rcurrence :

{qn+1} = ([C] +t[K])1[[C] (1)t[K]){qn} ,avec

[A] = ([C] +t[K])1([C] (1)t[K]).Pour le schma en temps, lapproximation de {qn+1} scrit :

{qn+1} = {qn} +t(1){qn} +t{qn+1} . (III.10)Daprs la relation (III.7), on a :

j [N], qj = [C]1[K]qj .Ce qui permet dcrire la relation (III.10) sous la forme :

{qn+1} = ([I] +t[C]1[K])1([I] t[C]1[K](1)){qn} .Par consquent, la matrice damplification pour le schma en temps est

[A] = ([I] +t[C]1[K])1([I]t[C]1[K](1)).Dans les deux cas, une solution gnrale peut scrire

{qn+1} = {qn} .En remplacant cette dernire relation dans (III.9), on constate que est valeur propre du problmeci-dessous :

([A] [I]){qn} = 0. (III.11)Par consquent, sil existe une valeur propre telle que

|| > 1,la solution est instable. En revanche, si toutes les valeurs propres sont telles que ||< 1, la solutionest stable. Lorsque la valeur propre est complexe, |.| reprsente le module.

La dtermination des valeurs propres du problme (III.11) tant lourde, il est commode pourtablir le critre de stabilit de considrer le systme dquations dcouples en fonction des va-riables yi de participation modale. On traite ainsi lensemble dquations scalaires pour un pro-

blme du premier ordre :ci yi + kiyi = 0. (III.12)


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Le raisonnement tant identique pour les deux schmas, on dtaille seulement lobtention ducritre de stabilit pour le premier schma.

Si on applique la relation de rcurrence (III.5) la relation (III.12), on a

(ci/t+ ki)(yi)n+1 + (ci/t+ ki(1))(yi)n = 0,et en posant

(yi)n+1 = A(yi)n, (III.13)

il vientA(ci/t+ ki) + (ci/t+ ki(1)) = 0. (III.14)

Lexpression ci-dessus met en vidence que si A est strictement suprieur 1, on obtient unerponse sans borne. Le problme devient alors instable.

Lquation (III.13) appele quation caractristique du processus de rcurrence donne :

A =1tki/ci(1)

1 +tki/ci(III.15)

On voit immdiatement que si|A| < 1

le membre droit de (III.15) doit tre suprieur 1. En posant i = ki/ci valeur propre du mode i,cette condition scrit

it(2

1) >

2.

Cette dernire relation est toujours satisfaite si 1/2. On parle de stabilit inconditionnelle.

Si 0 < < 1/2, la stabilit est conditionnelle et ncessite la condition

it 0, la solution oscille. On dduit de (III.15) une condition de non-oscillationde la solution au cours du temps. Cette condition est :

i,1

ti(1

)

1 +ti) 0.Cette relation est toujours satisfaite pour lalgorithme implicite dEuler. Cet algorithme ne conduitjamais une oscillation de la solution au cours du temps.

Les deux rgimes de stabilit obtenus peuvent tre visualiss sur la figure III.2.Concernant le critre de stabilit pour le schma en temps, lquation caractristique du pro-

cessus de rcurrence scrit :

A =1tki/ci(1)

1 +tki/ci.

Cette relation tant semblable (III.15), les rsultats de stabilit sont identiques ceux dupremier schma.


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FIG . III.2 Rgimes de stabilit : axe des absisses : , axe des ordonnes : t.

En rsum, les rsultats de stabilit pour les deux schmas prsents sont les suivants :

- stabilit conditionnelle pour 0 1/2 ;- stabilit inconditionnelle pour 1/2.

III.2.5 Valeur critique t

La dtermination des critres de stabilit montre lexistence de valeurs critiques du pas detemps t (figure III.2.4). En effet, si 0 < < 1/2, le schma est conditionnellement stable. Le pasde temps ne doit en aucun cas dpasser une valeur limite appele pas critique de stabilit tcrit :

t 0 c1 0 det

c1 0c0 c2

ou encore

c0 > 0 c1 0 c2 > 0. (III.29)Ces ingalits donnent la condition de stabilit inconditionnelle :

2 1 > 12 ,qui reste valable lorsque m = 0.La figure ci-dessous montre la stabilit de lalgorithme SS22.

FIG . III.4 Rgime de stabilit de lalgorithme SS22.

Les proprits de stabilit de lalgorithme SS22 sont trs proche de celles de Newmark. En ef-fet, pour 1 = , 2 = 2 et 1 2 1/2,et tant les paramtres de Newmark, lalgorithme est


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inconditionnellement stable. Pour 2 = 0, lalgorithme est explicite et peut tre conditionnellementstable si 1 1/2.

III.3.5 Valeur critique t

La dtermination des critres de stabilit montre lexistence de valeur critique de pas de temps.Lorsque la stabilit est conditionnelle et pour un choix 2 = 0, lingalit (III.29) est verifie pourcertaines valeurs de t :

2m + (1 1)tc 1t2k 02c + (21 1)tk 0.

La seconde relation est satisfaite si 1 12 .Pour 1 = 12 , la premire relation implique :

t2 4mk

= (tcrit)2.

La relation ci-dessus montre quon ne peut avoir un schma explicite pour la rsolution dun pro-blme du premier ordre. Cependant si 1 > 12 , on a

t

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