HAMLET MATA MATA

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2

EL TIGRE/ANZOÁTEGUI/VENEZUELA/

DIAGRAMA DE ÁRBOL, TEORÍA COMBINATORIA Y DE PROBABILIDAD

HAMLET MATA MATA

ARREGLO DE OBJETOS. - Es la acción de arreglar, componer u ordenar objetos determinados en los estudios de probabilidades. Una forma útil de contar todos los posibles arreglos de un conjunto de datos es por medio de un DIAGRAMA DE ÁRBOL, que es una gráfica en donde se presentan todos los posibles arreglos de uno ó varios eventos en forma de árbol.

ÁRBOL DE PROBABILIDAD O DIAGRAMA DE ÁRBOL

Un Árbol de Probabilidad o Diagrama de Árbol es una herramienta utilizada para determinar si en el cálculo de diversas opciones es necesario conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, los cuales se pueden determinar con la construcción de un Diagrama de Árbol (Wikipedia). El diagrama de árbol es una herramienta de gran utilidad en el proceso de toma de decisiones, sabemos que no es una bola de cristal que todo lo sabe, sin embargo, facilita información útil y necesaria que te orientan en la dirección correcta para la toma de decisiones.

Todos los administradores en algún momento de nuestra vida debemos tomar decisiones referentes, al trabajo, los negocios, las empresas, se manejan en base a decisiones que conducen diferentes acciones, una decisión errada puede generar una gran pérdida económica, desaprovechamiento de los recursos e incluso causar un impacto negativo sobre la imagen de la empresa, en ese sentido, un Diagrama de Árbol es una representación gráfica de gran importancia que consta de múltiples pasos, donde cada uno de dichos pasos posee varias maneras de llevarse a cabo.Es decir, se utiliza para determinar el cálculo de cuantiosas probabilidades cuando se conocen las opciones de la muestra. Esta herramienta se fundamenta en la probabilidad condicionada, la cual supone que ocurra un evento A, con conocimiento que también ocurre otro evento B. Definidos como eventos dependientes, es decir, para que ocurra un evento A, es preciso que suceda el evento B.

Un diagrama de árbol parte de lo general y se dirige a lo específico, vale decir que, la base es el problema y las ramificaciones son los niveles subsecuentes o causas. Es útil en la construcción de agrupación, bien sean combinaciones, variaciones o permutaciones. Se utiliza en diversos ámbitos, ya sea científico, económico, social. Un diagrama de árbol es muy útil en la toma de decisiones en negocios, se utiliza en la planificación estratégica, al estudiar una investigación de mercado, y al abordar ciertas conclusiones. En el mundo de financiamiento, los bancos y prestamistas usan esta herramienta para calcular el riesgo y las oportunidades de inversión. En general el diagrama de árbol se usa para evaluar cualquier inquietud, pregunta y/o visualizar los posibles resultados.

En el ámbito científico, un diagrama de árbol es de gran utilidad en la resolución de problemas de experimentos compuestos, es decir donde se llevan a cabo más de un experimento aleatorio. Resulta una herramienta necesaria para mantener el equipo de trabajo vinculado con las metas y sub-metas de una tarea, de una forma tal que se comprenda en general las acciones llevadas a cabo, permitiendo destacar la importancia de establecer soluciones a los problemas detectados, además de identificar las consecuencias o posibles problemas que generarían las soluciones planteadas.

Un diagrama de árbol o de decisiones (también llamados árbol de toma de decisiones, árbol de decisión o árboles de decisiones) es un esquema que representa las alternativas disponibles para quien va a tomar la decisión en un momento dado, además de las circunstancias y consecuencias de cada elección. Su nombre proviene del aspecto similar a un árbol y sus ramificaciones que tiene este diagrama.

Un diagrama de árbol de probabilidad enumera los resultados probables de un problema dado. Los docentes de estadística normalmente les piden a sus estudiantes que los elaboren para solucionar problemas de probabilidad. Los que trabajen con éstos por primera vez deberían comenzar entendiendo cómo expresar las probabilidades asociadas con una situación que tiene dos o más resultados posibles. Los modelos incluyen encontrar la probabilidad de seleccionar al azar una bola de una bolsa que contiene dos colores, o la probabilidad de obtener cara o cruz al tirar una moneda, entre muchos otros. Las empresas siempre deben tomar decisiones trascendentes todo el tiempo; una mala elección puede significar grandes pérdidas e incluso su desaparición.

Una manera útil de evaluar cuál debe ser la mejor alternativa al momento de tomar una decisión es elaborar un árbol de decisiones o diagrama de árbol. En este caso conocerás cómo hacer un diagrama de árbol de decisiones paso a paso, por medio de ejemplos resueltos, para elaborar tus diagramas. Veamos los siguientes pasos:

Paso 1, se dibuja un gran signo "mayor que" si se inicia con 2 casos, <, que constituye las dos primeras ramas del árbol. Cada rama simboliza el resultado de unas circunstancias.

Paso 2, suponemos que tenemos una bolsa que contiene 12 bolas rojas y ocho blancas.

Paso 3, colocamos o anotamos un punto donde las dos ramas se unen. El punto simboliza el primer evento, cuya probabilidad es la suma de las probabilidades asignadas a sus ramas y que siempre esa suma tiene que ser 1.

Paso 4 Se indica qué rama representa cada situación. Escribe "Rojo", o simplemente "R", al lado de una rama, y "Blanco", o "B", en la otra.

Paso 5 Se anota en la rama, la probabilidad de cada situación que podría ocurrir, por ejemplo, la probabilidad de seleccionar una bola roja de la bolsa. Como Hay 20 bolas en total (8 blancas + 12 rojas), entonces, la probabilidad de elegir una bola roja es de 12/20. En este caso se escribe 8/20 al lado de la segunda rama que son las bolas blancas. También puedes expresar cada una como fracción, lo que facilitará los cálculos que podrías tener que realizar posteriormente

Paso 6 Aquí se puede continuar el árbol, eligiendo otra bola roja o blanca, expandiendo así el diagrama de árbol. Entonces, es necesario dibujar otro signo "mayor que", conectado por un punto, que salga de cada extremo de las ramas originales. Ahora tendrás cuatro ramas nuevas en el árbol.

Paso 7 Usaremos el mismo procedimiento para designar a las primeras dos ramas para representar la situación de seleccionar otra bola roja o blanca, después de haber sacado una bola roja. Igualmente, designamos a las ramas restantes para representar la circunstancia de seleccionar otra bola roja o blanca después de sacar una blanca. Tomando en cuenta que se sacó una de las bolas durante la ronda anterior, se expresa las posibilidades en la segunda ronda de elección de bolas de la bolsa sobre 19, y no 20.

Paso 8 Se continúa agregando ramas y sus probabilidades correspondientes, si el problema en cuestión implica más situaciones.

Paso 9 Se Multiplican todas las probabilidades (De izquierda a derecha, y cuando se quiere encontrar las probabilidades de arriba abajo, en ese caso, se suman los eventos) de múltiples ramas para determinar la posibilidad de una secuencia específica de eventos. Supón que debes encontrar la probabilidad de seleccionar dos canicas rojas seguidas. La probabilidad de seleccionar una bola roja durante la primera ronda es de 12/20. Durante la segunda ronda, la probabilidad sería 11/19 ya que quedan 19 canicas en total y 11 rojas. Por lo tanto, la posibilidad de elegir una bola roja y luego otra equivaldría al producto de 12/20*11/19.

¿Qué es un diagrama árbol o de decisiones?

Un diagrama de árbol o decisiones es un esquema que simboliza las alternativas disponibles para quien va a tomar la decisión, incluyendo las circunstancias y consecuencias de cada elección. Su nombre arranca del aspecto análogo a un árbol y sus ramificaciones que tiene este diagrama. Los árboles de decisiones están integrados por un conjunto de nodos de decisiones con ramas que llegan y salen de ellos. Los mismos pueden ser:

· Nodos Cuadrados o de decisión: Constituyen los puntos de decisión donde se expresan las diferentes alternativas disponibles a elegir. Se escoge la alternativa que presenta el mayor valor esperado.

· Nodos Circulares o de probabilidad: Son aquellos de donde salen las diversas ramificaciones que muestran los hechos aleatorios que poseen una probabilidad de ocurrencia. La suma de las probabilidades de cada suceso (rama) que sale de un nodo circular debe ser uno. El valor esperado del nodo se obtiene realizando un promedio ponderado de las ramificaciones con sus probabilidades.

· Nodos Terminales: Son aquellos que representan un resultado definitivo de una ramificación.

Las ramificaciones se representan de la manera siguiente:

· Ramificaciones alternativas: Cada ramificación representa un resultado probable.

· Alternativa rechazada: Después que se desarrolla el árbol, las alternativas que no se eligen se marcan con dos líneas.

Esta herramienta se utiliza ampliamente en la toma de decisiones tales como:

· Planificación de productos.

· Análisis de procesos.

· Capacidad de planta.

· Alternativas de localización, entre otros.

· Un diagrama de árbol es útil en la construcción de agrupación, bien sean combinaciones, variaciones o permutaciones y en la Solución de problemas estadísticos diversos.

SÍMBOLOS UTILIZADOS EN UN DIAGRAMA DE ÁRBOL O DECISIONES

2.- La Compañía Expando, Inc., considera la posibilidad de construir una fábrica adicional para su línea de productos. En la actualidad, la compañía considera dos opciones:

La primera es una instalación pequeña cuya edificación costaría 6 millones de dólares. Si la demanda de los nuevos productos es floja, la compañía espera recibir 10 millones de dólares en forma de ingresos descontados (valor presente de ingresos futuros) con la fábrica pequeña. Por otro lado, si la demanda es mucha, espera 12 millones de dólares por concepto de ingresos descontados con la fábrica pequeña.

La segunda opción es construir una fábrica grande con un costo de 9 millones de dólares. Si la demanda fuera poca, la compañía esperaría 10 millones de dólares de ingresos descontados con la planta grande. Si la demanda es mucha, la compañía estima que los ingresos descontados sumarían 14 millones de dólares. En los dos casos, la probabilidad de que la demanda sea mucha es 0.40, y la probabilidad de que sea poca, 0.60.

La tercera opción no construye una nueva fábrica no se generarían ingresos adicionales porque las fábricas existentes no pueden producir estos nuevos productos.

Elabore un árbol de decisión que ayude a Expando a determinar la mejor opción.

Solución:

Elaboramos el árbol de decisión según las opciones que nos muestra el problema:

Procedemos a calcular los extremos de los nodos de nuestro árbol:

Finalmente calculamos los valores de los nodos intermedios y marcamos con 2 líneas las alternativas rechazadas.

En este problema la mejor alternativa es construir una fábrica pequeña, ya que representa un mayor valor esperado.

Reflexión Final

En esta entrada hemos aprendido los conceptos necesarios para elaborar nuestros diagramas de árboles de decisión paso a paso y sin inconvenientes, además de revisar algunos ejemplos sencillos para fortalecer el aprendizaje.

Recuerda que la importancia del árbol de decisiones radica en que es una herramienta flexible que nos permite evaluar diferentes alternativas de un determinado proyecto o problema, por ello es un tema de estudio obligado para la gerencia. En la práctica, al visualizar las diferentes rutas que podemos tomar; es posible que encontremos un curso de acción que no habíamos considerado antes, o decidamos combinar caminos para optimizar sus resultados. Todo depende de nuestra creatividad para poder evaluar nuestros proyectos.

Un Diagrama de Árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Para calcular muchas probabilidades es necesario conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, los mismos es posible determinarlos con la construcción de un diagrama de árbol.

Para construir un diagrama en árbol se partirá de dos ramas por lo menos para cada una de las posibilidades, acompañada de sus probabilidades, las cuales sumadas deben dar 1. Cada una de esas ramas se le denomina rama de primera generación. Al final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda, tercera, cuarta y demás generación, según las posibilidades establecidas en el total de eventos a realizar, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final). Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol No depende de tener el mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y, lo que es más importante, que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo debe dar 1. Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles para los cálculos rápidos de probabilidad:

Siempre, multiplicaremos las probabilidades si se trata de ramas adyacentes (contiguas, vale decir derecha izquierda o viceversa), o bien las sumamos si se trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto, vale decir, de arriba hacia abajo o viceversa.

4.- Una universidad está formada por tres facultades:La 1ª con el 50% de estudiantes.La 2ª con el 25% de estudiantes.La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

Solución:

Construimos el diagrama de árbol, partiendo de la primera información que tenemos: las facultades (F) que forman la universidad y de cada una de las facultades saldrán dos ramas para indicar el porcentaje de mujeres (M) y hombres (H), colocando encima de cada rama su probabilidad y comprobando que su suma sea la unidad.

Cómo resolveríamos la siguiente cuestión: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

Multiplicando las ramas de 1ª facultad y que sea mujer, tendremos:

P (alumna de la 1a facultad1) = 0,5*0,6 = 0,3

Y, cómo resolveríamos ahora esta cuestión: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un alumno hombre?

Multiplicando las probabilidades de las ramas de 1ª facultad y que sea hombre, más la multiplicación de las probabilidades de las ramas de 2ª facultad y que sea hombre y también habrá que sumarle la probabilidad de multiplicar las probabilidades de las ramas de la 3ª facultad y que sea hombre, por lo que tendremos:

P (F1, 2, 3 y que sea hombre) = 0,5*0,4 + 0,25*0,4 + 0,25*0,4 = 0,4

4.- Se elige al azar un número de 4 cifras distintas escrito con las cifras 7, 2, 3 y 8. Calcula la probabilidad de que dicho número sea mayor que 7500.

.

3333

.

0

3

1

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12

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7500

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Numero

de

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P

5.- Tenemos una urna con 3 bolas amarillas y 5 bolas negras si extraemos 2 bolas con devolución calcular la probabilidad de:   

a) Que sean las dos amarillas

b) Que sean las dos negras

c) Que sean del mismo color

d) Que sean de distinto color

A = Sacar bolaAmarilla; N = Sacar bola Negra.

%.

88

,

46

64

30

64

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15

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N

P

N

A

p

d

N

N

P

A

A

P

c

N

N

P

b

A

A

P

a

6.-Tenemos una urna con 4 bolas verdes y 3 bolas azules si extraemos 2 bolas sin devolución calcular la probabilidad de:    

a) Que sean los dos verdes

b) Que sean las dos azules

c) Que sean del mismo color

d) Que sean de distinto color

V = Sacar Bola Verde; A = Sacar Bola Azul

%.

14

,

57

5714

.

0

7

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12

42

24

42

12

42

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V

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A

V

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A

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P

V

V

P

c

A

A

P

b

V

V

P

a

7.- Una empresa utiliza dos servidores para conectarse a Internet. El primero, 1 S, lo utiliza el 45% de las veces y el segundo, 2 S, el resto. Cuando se conecta a Internet con 1 S, los ordenadores se bloquean el 5% de las veces, y cuando lo hace con 2 S el 8%.

Dibuja el diagrama de árbol asociado a este ejercicio y escribe la probabilidad de cada uno de sus tramos.

%.

6

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50

92

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*

55

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0

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Bloquea

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No

S

P

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S

P

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Bloquea

se

No

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p

b

Bloquea

Se

S

P

a

8.- El 35 % de los estudiantes de un centro docente practica el fútbol. El 70 % de los que practican el fútbol estudia Matemáticas, así como el 25 % de los que no practican el fútbol.

Dibuja el diagrama de árbol asociado a este ejercicio y asigna la probabilidad a cada uno de sus tramos.

%.

75

.

48

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0

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16

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Matemática

No

Fútbol

No

P

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Matemática

Fútbol

No

P

c

Matemática

No

Fútbol

P

b

Matemática

Fútbol

P

a

9.- Una bolsa contiene 2 bolas negras y 3 blancas. Otra bolsa tiene 4 bolas negras y 2 blancas. Se elige una de las bolsas al azar y se extrae una bola. Calcular la probabilidad de:

a).- La bola es blanca y de la bolsa 1.

b).- La bola es blanca.

c).- Si la bola es negra, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la bolsa 2?

Solución: Es un experimento compuesto, para analizarlo utilizaremos un diagrama de árbol, etiquetando las ramas con las probabilidades condicionales.

10.- Una urna (A) contiene siete bolas, numeradas del 1 al 7; otra urna (B) tiene cinco bolas, numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna A; si sale sello, la extraemos de la B. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? • Sabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?

Hacemos un diagrama en árbol.

P(A y Par) = ½*3/7 =3/14.

P(B y Par) = 1/2*2/5 = 1/5

%.

73

.

51

5173

.

0

29

15

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2

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7

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P

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P

Par

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P

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Los procedimientos de cálculo para hallar el número de arreglos probables de objetos de un conjunto, son indispensables en el estudio de probabilidades. Al enumerar los arreglos, es útil contar todos los posibles arreglos en la forma de un árbol, llamado diagrama de árbol; también se puede aplicar el método de la REGLA MULTIPLICATIVA o principio multiplicativo del conteo ó también aplicando las técnicas de la teoría combinatoria (variación y combinación).

11.- En el armario de Luis hay 6 camisetas blancas, 4 azules, 3 negras y 2 rojas. Si saca consecutivamente 2 camisetas, ¿qué tipo de experimento realiza? Dibuja un diagrama en árbol con los resultados posibles y calcula la probabilidad de los siguientes sucesos. a) Sacar dos camisetas negras. b) Sacar una camiseta blanca y otra azul. c) No sacar ninguna camiseta roja.

1).- ¿Qué tipo de experimento realiza? El Experimento que se realiza es Aleatorio.

2).- Dibuja un diagrama con los resultados posibles:

a) Sacar dos camisetas rojas.

b) Sacar una camiseta blanca y otra azul.

c) No sacar ninguna camiseta roja.

12.- En un centro de enseñanza secundaria, el 55% de los estudiantes matriculados son chicas. Se sabe que el 65 % de las alumnas no han estado enfermas durante el curso y que el 25 % de los alumnos tampoco. Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se haya encontrado enfermo? Realiza el diagrama en árbol correspondiente.

13.- Considera el experimento compuesto que consiste en lanzar una moneda al aire y, si sale cara, se extrae una bola de la primera urna, y si aparece cruz, una de la segunda. Dibuja un diagrama en árbol indicando la probabilidad de cada suceso y calcula la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.

14.- Pedro desea coger la bicicleta guardada en su garaje, y para ello necesita abrir dos puertas. Dispone de 4 llaves: dos de ellas abren la primera puerta; otra de ellas, la segunda, y la cuarta es maestra. ¿Cuál es la probabilidad de que abra las dos puertas en el primer intento si escoge las llaves al azar?

Condiciones:

1.- Llave 1, Abre Puerta 1 (P1).

2.- Llave 2, Abre Puerta 1(P1).

3.- Llave 3, Abre Puerta 2 (P2).

4,- Llave Maestra (M), Abre (P1 y P2).

P (Abrir P1) = P(Ll1) + P(Ll2) + P(LlM)

P (Abrir P1) = 1/4+ 1/4 + 1/4 = 3/4

P (Abrir P2) = P(Ll3) + P(LlM)

P (Abrir p2) = 1/4+1/4 = 2/4

%.

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.

37

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P

P

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PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN. - El mismo está basado en el método de razonamiento del diagrama de árbol; el mismo se define así: " Si una acción puede efectuarse, de a maneras diferentes, una segunda acción puede efectuarse de b maneras diferentes, una tercera acción puede efectuarse de c maneras diferentes, y así sucesivamente para n acciones, entonces el número total de maneras diferentes en que pueden efectuarse todas estas acciones en el orden mencionado está dado por: axbxc...xn".

15. - Un joven tiene cuatro camisas de los siguientes colores: roja (R), blanca (B), negra (N) y verde(V), también posee dos pantalones, gris(G) y azul (A). ¿De cuantas maneras pueden combinarse los pantalones con las camisas o viceversa? Elabore un diagrama de árbol…

Como puede verse en el diagrama de árbol, se puede hacer de 8 maneras diferentes.

Un restaurante de la localidad ofrece un menú de tres componentes:

1.- Aperitivo: Sopa (S), o Ensalada (E).

2.- Pato Principal: Bisté (B), Carite (C), o Pavo (P).

3.- Postre: Torta (T), o Helado (H).

Construya un diagrama de árbol, indicando el número posible de comidas completas (aperitivo, plato principal y postre) que se pueden consumir.

Como se puede observar en el diagrama de árbol M hay 12 arreglos posibles.

Los resultados obtenidos con el diagrama de árbol también se pueden, obtener aplicando la regla multiplicativa: En el caso primero tenemos que multiplicar 4x2 = 8 posibles arreglos; en el segundo problema se multiplica 2x3x2=12 posibles arreglos el mismo resultado que se logró con el diagrama de árbol.

16.- Se lanzan al aire 4 monedas y se anota el resultado de la cara superior. ¿Qué tipo de experimento se realiza? Forma el diagrama en árbol y calcula la probabilidad de obtener 4 caras.

El experimento que se realiza es un experimento Aleatorio.

1ra Moneda 2da Moneda 3ra Moneda 4ta Moneda Resultado.

17.- Una bolsa tiene 4 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes y se sacan, consecutivamente y sin reemplazamiento, 2 bolas. Realiza un diagrama en árbol del experimento y calcula la probabilidad de que: a) La primera bola sea azul y la segunda roja. b) Las dos sean azules. c) Las dos sean del mismo color.

a) La primera bola sea azul y la segunda roja.

b) Las dos sean azules.

c) Las dos sean del mismo color

18.- Un jugador de fútbol, especialista en lanzar penaltis, mete 4 de cada 5 que tira. Para los próximos tres penaltis se consideran los siguientes sucesos: A = {mete sólo uno de ellos}, B = {mete dos de los tres} y C = {mete el primero}. Halla la probabilidad de los sucesos

.

.

,.

,.

C

B

y

C

A

B

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Ç

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Otra forma de hacer el ejercicio:

18.- Un jugador de fútbol, especialista en lanzar penaltis, mete 4 de cada 5 que tira. Para los próximos tres penaltis se consideran los siguientes sucesos: A = {mete sólo uno de ellos}, B = {mete dos de los tres} y C = {mete el primero}. Halla la probabilidad de los sucesos

.

.

,.

,.

C

B

y

C

A

B

A

Ç

Ç

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Todo lo anterior se podría haber simplificado bastante si utilizamos un diagrama de árbol como el siguiente:

MG = Mete Gol.

NMG = No Mete Gol.

JDF = Jugador de Futbol.

.

25

12

125

60

125

48

125

12

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(

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4

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5

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)

(

=

=

+

=

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=

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=

+

+

=

+

+

=

=

+

+

=

+

+

=

B

A

P

C

P

B

P

A

P

Esta forma de resolver el ejercicio es más práctica. En experimentos compuestos se ha de recordar que la probabilidad de un suceso elemental del mismo puede calcularse multiplicando las probabilidades de los sucesos elementales que conforman la experiencia compuesta. En el fondo el experimento lanzar sucesivamente tres penaltis es la experiencia compuesta de lanzar un penalti, luego otro y por fin el tercero. El uso de diagramas de árbol en este tipo de situaciones es fundamental para la correcta realización del ejercicio.

19.- En una clase infantil hay 6 niñas y 10 niños. Si se escoge a 3 alumnos al azar, halla la probabilidad de: a) Seleccionar 3 niños. b) Seleccionar 2 niños y una niña. c) Seleccionar, al menos, un niño.

Solución: Este ejercicio es similar al anterior. Observemos el siguiente diagrama:

20.- Tenemos dos urnas; una A con 4 bolas rojas y 6 blancas, y otra B con 7 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de la segunda urna. Calcula la probabilidad de que las 2 bolas extraídas sean del mismo color.

Solución: Obsérvese el siguiente diagrama. Hay que fijarse bien en las últimas ramificaciones: las probabilidades que aquí se contemplan proceden de la urna contraria a la de que parten, pues según las condiciones del problema la segunda bola que se saca procede de urna distinta a la primera.

21.- Una fábrica produce tres tipos diferentes de bolígrafos, A, B y C. El número total de unidades producidas de cada uno de ellos es el mismo (un tercio del total). Salen defectuosos, sin embargo, un 15 por mil de todos los del tipo A, un 3 por mil de todos los del tipo B y un 7 por mil de todos los del tipo C. En un control de calidad se detectan el 70% de todos los bolígrafos defectuosos del tipo A, el 80% de los del tipo B y el 90% de los del tipo C. Si se saca al azar uno de estos bolígrafos defectuosos que se han tirado, calcula la probabilidad de que sea del tipo A.

Solución: Llamemos A = {bolígrafo del tipo A}, B = {bolígrafo del tipo B}, C = {bolígrafo del tipo C}, D = {bolígrafo defectuoso} y T = {tirar un bolígrafo}. Observemos el siguiente diagrama:

Es importante en casos como este, hacer una reflexión acerca de la aplicación del teorema de Bayes. Obsérvese que el suceso

T

D

Ç

es la unión de los tres sucesos siguientes, incompatibles además dos a dos:

T

D

C

T

D

B

T

D

A

Ç

Ç

Ç

Ç

Ç

Ç

,.

,.

. Basta aplicar ahora en cada caso la probabilidad de la intersección de tres sucesos. Haciendo uso del diagrama en árbol la resolución del ejercicio es casi inmediata y además todo lo anterior adquiere sentido.

Esta forma de resolver el ejercicio es más práctica. En experimentos compuestos se ha de recordar que la probabilidad de un suceso elemental del mismo puede calcularse multiplicando las probabilidades de los sucesos elementales que conforman la experiencia compuesta. En el fondo el experimento lanzar sucesivamente tres penaltis es la experiencia compuesta de lanzar un penalti, luego otro y por fin el tercero. El uso de diagramas de árbol en este tipo de situaciones es fundamental para la correcta realización del ejercicio.

22.- Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4. El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre defectuosamente envasado?

Primeramente, Resolveremos el Problema Aplicando un Diagrama de Árbol.

B = Envasado Bueno

D = Envasado Defectuoso

P(Envasado Defectuoso) = P(F1D) + P(F2D) + P(F3D) + P(F4D)

P(Envasado Defectuoso) = 0.004+0.006+0.014+0.004 = 0.028 = 2.80%.

Llamando D = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según El Teorema de la Probabilidad Total y teniendo en cuenta las probabilidades, tenemos: 

         P(D) = P(F1) · P(D/F1) + P(F2) · P(D/F2) + P(F3) · P(D/F3) + P(F4) · P(D/F4) =                               = 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 =                               = 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028

23.- Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a)     Si se selecciona una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

b)      Si se toma, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.

c)    ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

Sea D = "la pieza es defectuosa" y ND = "la pieza no es defectuosa". 

a)       Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,

                     P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =                               = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038

b)     Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes, 

                                        

c) Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado.             Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

                                         

                                           

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A.

 23.- Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a)     Si se selecciona una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

b)      Si se toma, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.

c)    ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

a).- Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), se calcula la Sumatoria de la producción de las maquinas por el porcentaje de producción defectuoso de cada máquina, el resultado es la probabilidad buscada (Observe el Árbol).

[

]

%.

80

.

3

038

.

0

05

.

0

*

25

.

0

04

.

0

*

30

.

0

03

,

0

*

45

.

0

)

(

)

(

)

(

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=

+

+

=

+

+

=

å

CD

P

BD

P

AD

P

D

P

b)      Si se toma, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. Para ello se calcula la Sumatoria de la producción de las maquinas por el porcentaje de producción defectuoso de cada máquina (0.038), y se calcula el porcentaje de producción defectuoso de la máquina B (0.012), este resultado se divide entre el resultado de la producción total de las maquinas (0.038) y el resultado es la probabilidad buscada.

P (Si se toma, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. Para ello) = 0.012 /0.038 = 0.316 = 31.60%.

 c) ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? Para ello se Calcula P(A/D), P(B/D) y P(C/D), y la mayor probabilidad obtenida es el resultado buscado.  

P(A/D) = 0.0135 /0.038 = 0.355 = 35.50%.

P(B/D) = 0.0120 /0.038 = 0.316 = 31.60%.

P(C/D) = 0.0125 /0.038 = 0.329 = 32.90%.

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A.

Para concluir lo referente a un diagrama de árbol podemos aseverar que:

Un diagrama de árbol es una herramienta fundamental para determinar los posibles resultados de los experimentos en la Teoría Combinatoria, de Probabilidades y otras áreas.

En términos de calidad se utiliza para tener una visión de conjunto de los objetivos analizadas de las empresas y así alcanzar una determinada meta.

Es de gran utilidad para presentar conjuntos organizados de medidas con las que se pretende lograr un determinado objetivo.

COMBINATORIA Y EL DIAGRAMA DE ÁRBOL, EJERCICIOS RESUELTOS

Una permutación de un conjunto de elementos, es una disposición de dichos elementos teniendo en cuenta el orden. Una combinación de un conjunto de elementos, es una selección de dichos elementos sin tener en cuenta el orden.

La diferencia entre permutaciones y combinaciones, es que en las permutaciones importa el orden de los elementos, mientras que en las combinaciones no importa el orden en que se disponen los elementos (solo importa su presencia). Veamos algunos conceptos adicionales, ejemplos y ejercicios resueltos.

PERMUTACIONES

Una permutación de un conjunto de elementos, es una disposición de dichos elementos teniendo en cuenta el orden. El número de permutaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k” se calcula con la fórmula:

)!

(

!

k

n

n

P

n

k

-

=

Ejemplo 1:

Eduardo, Carlos y Sergio se han presentado a un concurso de pintura. El concurso otorga $200 al primer lugar y $100 al segundo. ¿De cuántas formas se pueden repartir los premios de primer y segundo lugar?

Solución:

En este caso, si importa el orden, ya que no es lo mismo quedar en primer lugar que en segundo, además, los premios son diferentes. Por ejemplo, un arreglo o disposición, es que Carlos ocupe el primer lugar y Sergio el segundo. Otro arreglo, sería que Sergio ocupe el primer lugar y Eduardo el segundo. El número total de arreglos o formas lo calculamos con la fórmula:

)

.

.

.

.

.(

2

);...

.

.

.

.(

3

dos

en

dos

de

Tomados

k

elementos

de

total

Número

n

=

=

...

..

6

1

6

!

1

1

*

2

*

3

)!

2

3

(

!

3

)!

(

!

3

2

Formas

P

k

n

n

P

n

k

=

=

=

-

=

-

=

COMBINACIONES

Una combinación de un conjunto de elementos, es una selección de dichos elementos sin tener en cuenta el orden. El número de combinaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k” se calcula con la fórmula:

1.- Un chef va a preparar una ensalada de verduras con tomate, zanahoria, papa y brócoli. ¿De cuántas formas se puede preparar la ensalada usando solo 2 ingredientes?

Solución:

En este caso, no importa el orden en que se tomen los ingredientes para la ensalada, pues da igual si es una ensalada de tomate con zanahoria, que una ensalada de zanahoria con tomate, ya que al final, el chef mezclará los dos ingredientes.

Un arreglo podría ser zanahoria y tomate, otro arreglo podría ser tomate y papa, otro arreglo podría ser papa y brócoli. El problema nos indica que solo se pueden usar 2 ingredientes en la ensalada. El número total de arreglos o formas lo calculamos con la fórmula:

...

..

6

2

*

2

2

*

3

*

4

!

2

!

2

1

*

2

*

3

*

4

!

2

)!

2

4

(

!

4

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(

!

)

..

..

..

..(

2

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.

.

.

,..(

4

4

2

Formas

C

k

n

n

C

endos

dos

de

Tomados

k

elementos

de

total

Número

n

n

k

=

=

=

-

=

-

=

=

=

TEORÍA COMBINATORIA. - Es la rama del Álgebra que se encarga del estudio y propiedades de los grupos que se pueden formar con un conjunto de elementos dado, diferenciándose entre sí por el número de elementos que entran en cada grupo, por la clase de esos elementos y por el orden de colocación de esos elementos.

La Teoría Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Existen variadas maneras de elaborar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos:

· Variaciones sin repetición.

· Variaciones con repetición.

· Permutaciones sin repetición.

· Permutaciones con repetición.

· Combinaciones sin repetición.

· Combinaciones con repetición.

Una vez que se averigüe de qué tipo son, se pueden realizar los cálculos combinatorios, para deducir cuántas agrupaciones de ese tipo hay.

PERMUTACIONES

Las permutaciones o, también llamadas, ordenaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que Influye el orden en que se Caloocan. Tomamos todos los elementos de que se disponen. Serán Permutaciones SIN repetición cuando todos los elementos de que disponemos son distintos. Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las variadas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.

El número de estas permutaciones serán:

!

n

p

n

=

COMBINACIONES: Una combinación de un conjunto de elementos, es una selección de dichos elementos sin tener en cuenta el orden. El número de combinaciones de “n” elementos tomados de “k” en “k” se calcula con la fórmula:

1.- Un chef va a preparar una ensalada de verduras con tomate, zanahoria, papa y brócoli. ¿De cuántas formas se puede preparar la ensalada usando solo 2 ingredientes?

Solución:

En este caso, no importa el orden en que se tomen los ingredientes para la ensalada, pues da igual si es una ensalada de tomate con zanahoria, que una ensalada de zanahoria con tomate, ya que al final, el chef mezclará los dos ingredientes.

...

..

6

2

*

2

2

*

3

*

4

!

2

!

2

1

*

2

*

3

*

4

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2

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!

4

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(

!

)

..

..

..

..(

2

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.

.

.

,..(

4

4

2

Formas

C

k

n

n

C

endos

dos

de

Tomados

k

elementos

de

total

Número

n

n

k

=

=

=

-

=

-

=

=

=

TEORÍA COMBINATORIA. - Es la rama del Álgebra que se encarga del estudio y propiedades de los grupos que se pueden formar con un conjunto de elementos dado, diferenciándose entre sí por el número de elementos que entran en cada grupo, por la clase de esos elementos y por el orden de colocación de esos elementos.

PROBLEMAS DE COMBINATORIA Y PROBABILIDADES

Una urna contiene tres bolas blancas y seis bolas negras. Se extraen dos bolas al azar. Halla la probabilidad de que: a) Las dos bolas extraídas sean negras. b) Las dos bolas extraídas sean blancas. c) Una de las bolas sea blanca y la otra negra.

El número de resultados posibles al elegir 2 bolas a la vez de una urna que contiene 9 bolas es el de las combinaciones de orden 2 de las 9 bolas:

TEORÍA COMBINATORIA

HAMLET MATA MATA

FACTORIAL DE UN NÚMERO

El factorial de un número entero positivo se define como el producto de todos los números naturales anteriores o iguales a él. Se escribe n! y se lee "n factorial". Por definición el factorial de 0 es 1: 0! =1.

Por ejemplo, 5! = 5·4·3·2·1 = 120. Su utilidad consiste en que se utiliza en la mayoría de las formulas de la COMBINATORIA.

N! Esta es una notación matemática que recibe el nombre FACTORIAL y se define como el producto de todos los números consecutivos decrecientes que comienzan en 1 hasta n, entonces si n es entero positivo tenemos:

N! = n (n-1) (n-2) (n-3) ..................1.

6! = 6x5x4x3x2x1 =720. ¡En particular, 1! = 1; por definición, 0! = 1

(

)

Sumas

x

x

x

x

x

x

x

C

Lueg

.....

20

4

5

2

3

4

5

6

!

3

!.

3

!

3

4

5

6

!

3

6

!

3

!

6

,......

3

,

6

=

=

=

=

-

=

Sumasx

x

xxxxx

CLueg .....2045

23

456

!3!.3

!3456

!36!3

!6

,......

3,6

ALGUNAS OBSERVACIONES PARA CALCULAR VARIACIONES Y COMBINACIONES

Para diferenciar en la resolución de un problema y determinar si es una variación o una combinación se hace lo siguiente:

1.-Se forma un grupo cualquiera, según el enunciado del problema y con los mismos elementos de ese grupo se trata de formar otro grupo, si se consigue formar otro grupo diferente, el problema en cuestión es una variación, si por el contrario no se logra formar otro grupo, el problema es una combinación. Cuando en el grupo entran todos los elementos y los grupos difieran en el orden de colocación, son variaciones, de no ser así son combinaciones.

2.- Cuando una persona forma un grupo y otra persona que no haya visto la formación del mismo es capaz de decir en qué orden se colocaron los elementos, entonces se afirma que el grupo formado es una variación, si por el contrario no se puede decir el orden de colocación de los elementos que conforman el grupo, entonces, el mismo es una combinación.

1.- ¿Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse con las cifras 1,2,3,4,5 y 6? que sean diferentes?

Razonamiento: Se forma un número cualquiera de 3 cifras, ejemplo 154, con esos mismos elementos se forma otro número 541. Los dos números formados tienen los mismos elementos, aunque los números son diferentes, por tal razón es una variación, por influir el orden de colocación de sus elementos.

2.- Con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, ¿Cuántas sumas diferentes de 3 sumandos cada una pueden hacerse?

Razonamiento: Formamos una suma cualquiera con tres de las cifras dadas......-.1 + 2 + 3 = 6, con los mismos números formamos otra suma ... ...3 +2 +1 = 6, como las dos sumas son iguales, entonces el problema es una combinación, por no influir el orden de colocación de sus elementos.

En una mezcla de tres pinturas de diferentes colores, que dio un color determinado, es imposible decir en qué orden se echaron las tres pinturas, por lo tanto, es una combinación. En una bandera de tres colores se puede decir en qué orden están colocados los colores, por lo tanto, es una variación.

3.- Se tienen 4 pinturas de colores diferentes. ¿Cuantos colores pueden obtenerse mezclando los 4 colores en la misma proporción?

Razonamiento; se forma una mezcla con los 4 colores A + B + C+ D = Color.

Se forma otra mezcla con los 4 colores A +D + B + C = Color, se observa como las dos mezclas dan el mismo color puesto que no influye el orden de colocación de los elementos, entonces es una combinación.

Solución:

Elementos de que disponemos.........................m = 4.

Elementos que entran en el grupo......................n = 4. Luego,

(

)

mujeres

de

grupos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

C

..

..

...

70

2

3

4

5

6

7

8

!.

4

!.

4

!

4

5

6

7

8

!

4

8

!

4

!

8

4

,.

8

=

=

=

-

=

mujeresdegrupos

xx

xxxxxxx

C .......70

234

5678

!.4!.4

!45678

!48!4

!8

4,.8

4.- Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cuántos números de 3 cifras pueden hacerse, que sean diferentes?

Razonamiento:

Se forma un número de 3 cifras 123

Con los mismos elementos se forma otro número 321

Como los dos números formados son diferentes el problema es una Variación, por influir el orden de colocación de los elementos.

Solución:

Elementos de que se disponen m = 6.

Elementos que entran en la formación de cada número n = 3.

Entonces: V6 ,3 = 6.5.4 = 120 Números diferentes.

 4a.- ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5?

Solución

Notemos que en la pregunta se mencionan 3 cifras diferentes.

m = 5     n = 3

No entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

Por las características, se trata de una variación.

60

3

*

4

*

5

!

2

!

5

)!

3

5

(

!

5

5

3

=

=

=

-

=

V

 4b ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?

Solución

No entran todos los elementos

Sí importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de una variación.

1320

10

*

11

*

12

!

9

!

12

)!

3

12

(

!

12

12

3

=

=

=

-

=

V

5.- ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

Solución

No entran todos los elementos. Pues de los 7 se considerarán grupos de 3.

No importa el orden. Es una mezcla, así que rojo, azul y amarillo dan el mismo color que amarillo, azul y rojo.

No se repiten los elementos. Como se toman 3 colores del arcoíris se entiende que tienen que ser diferentes.

Por las características, se trata de una combinación

35

2

*

3

*

4

4

*

5

*

6

*

7

!

4

!

3

!

3

*

4

*

5

*

6

*

7

)!

3

7

(

!

3

!

7

7

3

=

=

=

-

=

C

5a.- Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

1) Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer; 2) Una mujer determinada debe pertenecer al comité;3) Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

Solución

No entran todos los elementos; No importa el orden; No se repiten los elementos.

Por las características, trabajaremos con combinaciones

1 Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

.

350

35

*

10

!

4

!

3

!

7

*

!

3

!

2

!

5

*

7

3

5

2

=

=

=

C

C

2 Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

.

150

15

*

10

*

6

2

5

2

=

=

C

C

3 Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

.

105

35

*

3

*

7

3

3

2

=

=

C

C

 5b.- Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?

Solución

Consideramos las sumas formadas por 1 moneda, 2 monedas, 3 monedas, 4 monedas o 5 monedas

No entran todos los elementos (Sí, en el caso de que se usen las 5 monedas)

No importa el orden

No se repiten los elementos

Por las características, se trata de combinaciones.

.

31

1

5

10

10

5

5

5

5

4

5

3

5

2

5

1

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

C

C

C

C

C

5b.- Con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cuántas sumas diferentes de 3 sumandos cada una pueden hacerse? Es una Combinación por no influir el orden de colocación de los elementos.

Solución

Elementos de que se disponen m = 6;

Elementos que entran en la formación de cada suma n = 3

5c.- Quince estudiantes de la Escuela de Administración de la UGMA Sede El Tigre deben ubicarse en tres Residencias diferentes de la ciudad de El Tigre. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ubicarse en las residencias, si por lo menos, ha de haber 4 estudiantes en cada residencia?

SOLUCIÓN: Este es un problema de combinación, Como son 15 estudiantes para ser repartidos en 3 residencias con la condición de que por lo menos ha de haber 4 estudiantes en cada residencia. Las diferentes ubicaciones serán:

Residencias y Ubicación de los Estudiantes

A

B

C

(

)

.

bres

hom

..

de

..

grupos

..

20

2

x

3

4

x

5

x

6

!

3

!.

3

!

3

x

4

x

5

x

6

!

3

6

!

3

!

6

C

3

,.

6

=

=

=

-

=

.breshom..de..grupos..20

2x3

4x5x6

!3!.3

!3x4x5x6

!36!3

!6

C

3,.6

4 4 7 A) [C(15,4)xC(11,4)xC(7,7)]3

å

=

=

-

£

=

r

r

n

r

r

n

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r

n

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q

p

C

P

.

.

,.........

)

,

(

2

rr

nr

rnn

rn

nrqpCP ..,.........

),(2

4 5 6 B) [C(15,4)xC(11,5)xC(6,6)]3

5 5 5 C) [C (15,5) xC (10,5) xC (5,5)]3

Estas son las diferentes formas como pueden ser ubicados los estudiantes de acuerdo a las condiciones dadas y con esos datos se forman las combinaciones respectivas, las cuales irán multiplicadas por 3 ya que cada estudiante puede ubicarse en cualquiera de las residencias; esto se hace con cada una de las diferentes posiciones y al final el resultado de cada posición se suma y ese es el resultado buscado (A+B+C = R). Recuerde que hay varias formas de resolver el problema y esta es una de ellas. Tiene que hacer los diferentes cálculos. Cada una de esas posiciones se tendrá que multiplicar por 3 ya que un estudiante puede ser ubicada en cualquiera de las 3 residencias. A continuación, se presenta el resumen de los cálculos y el resultado buscado.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

.

..

..

513508

.

5

2270260

890

.

891

.

1

350

.

351

.

1

648

.

648

3

630

.

630

3

450

.

450

3

216

3003

3

462

1365

3

330

1365

3

5

,

10

5

,

15

3

5

,

11

4

,

15

3

4

,

11

4

,

15

3

1

5

,

5

...;

216

5

,

10

....;

3003

5

,

15

......;

5

,

5

5

,

10

5

,

15

3

1

6

,

6

...;

462

5

,

11

....;

1365

4

,

15

......;

6

,

6

5

,

11

4

,

15

3

1

7

,

7

...;

330

4

,

11

....;

1365

4

,

15

......;

7

,

7

4

,

11

4

,

15

3

diferentes

Formas

RESULTADO

x

x

x

xC

C

xC

xC

C

RESULTADO

C

C

C

xC

xC

C

C

C

C

xC

xC

C

C

C

C

xC

xC

C

=

+

+

®

+

+

=

+

+

®

+

+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

5c.- Nueve estudiantes de la Escuela de Ingeniería de la UGMA Sede El Tigre deben ubicarse en tres Residencias diferentes de la ciudad de El Tigre. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ubicarse en las residencias, si por lo menos, ha de haber 2 estudiantes en cada residencia?

SOLUCIÓN: Este es un problema de combinación, Como son 9 estudiantes para ser repartidos en 3 residencias con la condición de que por lo menos ha de haber 2 estudiantes en cada residencia. Las diferentes ubicaciones serán:

Residencias y Ubicación de los Estudiantes

A B C Residencias

(

)

color

C

......

1

!

0

!

4

!

4

!

4

4

!

4

!

4

4

,

4

=

=

-

=

2 2 5 A) [C (9,2) xC (7,2) xC (5,5)]3

(

)

Sumas

x

x

x

x

x

x

x

C

Lueg

.....

20

4

5

2

3

4

5

6

!

3

!.

3

!

3

4

5

6

!

3

6

!

3

!

6

,......

3

,

6

=

=

=

=

-

=

2 3 4 B) [C (9,2) xC (7,3) xC (4,4)]3

(

)

mujeres

de

grupos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

C

..

..

...

70

2

3

4

5

6

7

8

!.

4

!.

4

!

4

5

6

7

8

!

4

8

!

4

!

8

4

,.

8

=

=

=

-

=

3 3 3 C) [C (15,5) xC (10,5) xC (5,5)]3

Estas son las diferentes formas como pueden ser ubicados los estudiantes de acuerdo a las condiciones dadas y con esos datos se forman las combinaciones respectivas, las cuales irán multiplicadas por 3 ya que cada estudiante puede ubicarse en cualquiera de las residencias; esto se hace con cada una de las diferentes posiciones y al final el resultado de cada posición se suma y ese es el resultado buscado (A+B+C = R). Recuerde que hay varias formas de resolver el problema y esta es una de ellas. Tiene que hacer los diferentes cálculos. Cada una de esas posiciones se tendrá que multiplicar por 3 ya que un estudiante puede ser ubicada en cualquiera de las 3 residencias. A continuación, se presenta el resumen de los cálculos y el resultado buscado.

A) [C (9,2) xC (7,2) xC (5,5)]3 =3(36+21) = 171

B) [C (9,2) xC (7,3) xC (4,4)]3 = 3(36+35) = 213

C) [C (15,5) xC (10,5) xC (5,5)]3 =3(84+20) = 312

Resultado = A+B+C = 171+213+312 = 696, Entonces, los Estudiantes se pueden ubicar en las 3 Residencias de 696 formas diferente.

PROBLEMAS DE FORMACIÓN DE NÚMEROS. - Cuando en un problema de combinatoria se dice que uno o más elementos estarán fijos en un problema, entonces al componente m y n de las variaciones o combinaciones se les restará el número de elementos que se tomen como fijos. De la misma, cuando se nos dan varios números incluyendo el cero para formar números de dos o más dígitos, los números que se inician con cero de la forma siguiente: 0X,0XX, 0XXX, o cualquiera otra cantidad con esas características, no forman números de 2,3 o más cifras, ya que el cero a la izquierda no tiene ningún valor, por lo tanto estos números son de 1, de 2, 3 o más cifras según sea el caso y se tendrá que calcular cuántos son y posteriormente restársele al total de números de 2, 3 más cifras solicitadas para ello determinaremos el valor de m-1 = m1 y n-1 = n1, por Ejemplo con la cantidad 12304 cuantos Números de 3 cifras se pueden formar, como m = 5 y n =3,

5

3

V

pero como hay un cero en la cantidad dada al resultado se le debe restar el resultado de la variación

4

2

V

que son las cantidades que se iniciaran con cero, por lo que la variación a calcular será :

48

12

60

4

2

5

3

=

-

=

-

V

V

, esta es la cantidad de números de 3 cifras que se pueden formar con los números 12304.

1.- Con los números 1, 2, 9, 7 y 5, calcular cuántos números de 3 cifras empiezan con 5.

Razonamiento como el problema es de formación de números es importante el orden, por lo tanto, es una variación. Se dice que el número 5 tiene que iniciar los números de 3 cifras entonces tendrá la forma 5XX y como hay un número fijo entonces m =5-1 = 4 y n =3-1 = 2 luego la variación es:

V4, 2 = 4x3 =12, este es el número de cifras que se inician con 5.

2.- Con las cifras del número 876321, calcular cuántos números de 4 cifras pueden formarse con la condición de que empiecen en 8 y terminen en 1.

Razonamiento: este es un problema de formación de números por lo tanto es importante el orden, en consecuencia, es una variación. Los números de 4 cifras tendrán las siguientes formas generales: 8XX1 esto indica que habrá 2 números fijos por lo tanto m =6-2 = 4 y n = 4-2 = 2 y la solución se expresa así V4, 2 = 4x3 = 12, se pueden formar 12 números de 4 cifras que empiecen en 8 y terminen en 1.

3.- Con las cifras del número 98753. Calcular en cuántos números de 3 cifras intervienen el número 8.

Razonamiento: este es un problema de formación de números por lo tanto es importa el orden, en consecuencia, es una variación. La forma general de un número de 3 cifras es XXX y las diferentes posiciones que puede ocupar el 8 son: 8XX, X8X y XX8 como se observa el número 8 estará fijo y por lo tanto m = 5-1 = 4 y n =3-1 = 2, luego la variación es: V4,2 = 4x3 = 12, pero como el número 8 aparece en tres posiciones, entonces el resultado es: 3V4,2 =3x12 = 36 que es el número de veces donde aparece el número 8.

4.-Con los números 8,5, 7, 9, 1 y 0. Calcule cuántos números de 3 cifras pueden formarse.

Razonamiento: como es una formación de números es importante el orden de los elementos, es en consecuencia una variación y la solución es la siguiente: como m = 6 y n = 3 se tiene que V6,3 = 6x5x4 el valor de V6,3 =120. La forma general de un número de 3 cifras es XXX, pero en nuestro caso el cero iniciará algunos números y eso no serán de 3 cifras por lo tanto se le tendrán que restar al total de 120, puesto que los números que se inician con cero tienen la forma siguiente: 0XX, entonces habrá un número fijo y por lo tanto el valor de m = 6-1 = 5 y el n = 3-1 =2 luego los números que no son de 3 cifras son las siguientes: V5,2 = 5x4 = 20, entonces el resultado final será: V6,3-V5,2 = 120-20 = 100.

5.- Con las cifras del número 98764. Calcule cuántos números pares de 4 cifras se pueden formar.

Razonamiento: como es una formación de números influye el orden, por tal razón es una variación. Los números pares son aquellos que terminan en cero o cualquier número par; la forma general de un número de cuatro cifras es XXXX en nuestro caso la forma de los números será: XXX8, XXX6 y XXX4 como se puede observar hay un número fijo, entonces m = 5-1 = 4 y n = 4-1 = 3, en consecuencia, la variación total será:.3V4,3 =3x4x3x2 =72 número pares de 4 cifras que se pueden formar.

6.- Con las cifras del número 80342. Calcule cuántos números pares de 3 cifras se pueden formar.

Razonamiento: es una variación por ser una formación de número en donde importa el orden de colocación de los elementos. La forma general de los números pares de 3 cifras en este caso es: XX0, XX2, XX4 y XX8, como se puede notar hay un elemento fijo, luego m = 5-1 = 4 y n = 3-1 = 2 entonces la variación es: V4,2 = 4x3 =12 pero como hay 4 formas de las cifras terminar en número par habrá que multiplicar el resultado por 4, así: 4V4,2 = 4x12 = 48 pero los números que se inician con cero de la forma siguiente: 0X2,0X4 y 0X8 no forman números de 3 cifras ya que el cero a la izquierda no tiene ningún valor, por lo tanto estos números son de 2 cifras y se tendrá que calcular cuántos son y posteriormente restársele al total de 48 para ello determinaremos el valor de m =5-2 = 3 y n = 3-2 = 1 y la variación será : 3V3,1 =3x3 = 9 este es el número de cifras que se tendrá que restársele al total de 48 de la forma siguiente: 4V4,2-3V3,1 = 48-9 = 39 es la cantidad de números pares de 3 cifras que se pueden formar.

8.- En una reunión hay 8 mujeres y 6 hombres. Calcule cuántos grupos pueden formarse, en los que estén presente 4 mujeres y 3 hombres.

Razonamiento: como en este problema no influye el orden de colocación de cada una de sus integrantes, es por lo tanto una combinación. El grupo tendrá la forma general siguiente:

(

)

.

bres

hom

..

de

..

grupos

..

20

2

x

3

4

x

5

x

6

!

3

!.

3

!

3

x

4

x

5

x

6

!

3

6

!

3

!

6

C

3

,.

6

=

=

=

-

=

MMMMHHH, para su solución primero se dejan los hombres fijos y se calcula el grupo que se puede formar con las mujeres de la forma siguiente:

Si se dejan las mujeres fijas se puede calcular el grupo que se forma con los hombres de la siguiente manera:

Luego el resultado final de este problema será la multiplicación del grupo de mujeres por la del grupo de hombres así:

C8,4xC6,3 = 70x20 = 1400, son los grupos que se pueden formar en los que estén presentes 4 mujeres y 3 hombres.

9.-Encuentre los diferentes grupos que se pueden hacer con 4 cifras y 4 letras con la condición de que, en todos, letras y números vayan alternados y en cada grupo entren las letras y todos los números.

Razonamiento: como este problema es una formación de letras con número y el orden de colocación es importante, es entonces una variación, en la que hay 2 clases de elementos para formar cada grupo.

La forma general del grupo es: A1B2C3D4 y 1A2B3C4D. Dejando las letras fijas los números 1, 2, 3 y4 pueden variar de 4 en 4, es decir m = 4 y n = 4 y, por lo tanto:

V4,4 = 4x3x2x1 = 24; si ahora se dejan fijos los números las letras se pueden calcular así:

V4, 4 = 4x3x2x1 = 24 teniendo los 2 grupos el de letras y el de números se pueden multiplicar entre sí de la siguiente manera: V4,4 x V4,4 = 24x24 = 576.

Como en este problema se puede empezar por las letras o por los números entonces él número 576 se tiene que multiplicar por 2 que son la forma como puede empezar cualquiera de los grupos que se formen, así tenemos: 576x2 = 1.152 que es la cantidad de grupos que se pueden hacer de acuerdo con las condiciones dadas en el problema.

TEORÍA DE PROBABILIDADES

La teoría de probabilidades es muy extensa y sus aplicaciones han adquirido mucha importancia en la administración pública y empresarial. Las probabilidades son de gran importancia en la estadística. Para iniciar el estudio de las probabilidades es necesario definir una serie de términos básicos para su mejor comprensión.

Experimento Determinístico. - Es aquel experimento en el que es posible predecir el resultado final de ese proceso aun sin haberlo realizado. Ej. Cuando los químicos combinan oxigeno más hidrógeno el resultado es agua; este experimento no es necesario realizarlo para conocer el resultado.

Experimento Aleatorio. - Es aquel que puede dar lugar a más de un resultado, por lo que, no se puede predecir uno de ellos en una prueba en particular. Ej. Los experimentos relacionados con juego de envite y azar, no se pueden predecir los resultados de los ganadores del 5 y 6 en un domingo cualquiera ó el resultado del Kino puesto que en estos casos puede haber múltiples resultados.

Espacio Maestral. - Es el conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio; generalmente se le designa con la letra S o E. Ej. El espacio muestral al lanzar un dado es:

S = {1, 2 3 ,4 ,5 ,6} esto es así puesto que un dado tiene 6 caras numeradas de 1 al 6 y cualquiera de estas puede salir. El espacio muestral de lanzar una moneda es: S = {c, s}, esto es así puesto que al lanzar una moneda puede salir una cara ó un sello.

Sucesos ó Eventos. - Es todo aquel resultado o grupo de resultados que pueden dar origen un experimento aleatorio. También se puede decir que es un subconjunto del espacio muestral. Ej. El espacio muestral de lanzar un dado está formado por varios eventos: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6}. Los eventos pueden ser simples ó compuestos.

Eventos Simples. - Son aquellos eventos cuyas características son las de estar constituidos por un solo elemento; por lo tanto, no se pueden descomponer en otros elementos. Ej. Al lanzar un dado se pueden obtener 6 eventos simples que serían el 1, 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente. Los eventos simples son mutuamente excluyentes.

Eventos Mutuamente Excluyentes. - Son aquellos eventos que no pueden ocurrir simultáneamente al realizar una sola vez un experimento. Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si y solo si, su intersección es el conjunto vacío, es decir A(B = Ø. Ej. El resultado obtenido al lanzar un dado, si sale una cara con un 3, no puede salir otro número en este mismo lanzamiento.

Eventos Compuestos. - Son aquellos eventos que se pueden descomponer en una combinación de eventos. Ej. Obtener un número par al lanzar un dado, el espacio muestral de este evento es:

E = {2, 4, 6}, este es el evento par del lanzamiento de un dado, pero este evento se puede descomponer en 3 eventos simples a saber {2}, {4}: y (6(.

Eventos Imposibles. - Son aquellos sucesos que nunca ocurren. Ej. Obtener un 7 al lanzar un dado normal, esto es imposible por cuanto un dado normal tiene solamente 6 caras por lo tanto este resultado es el conjunto vacío, {Ø}.

Eventos Seguros. - Son aquellos sucesos constituidos por todos los eventos simples del espacio muestral. Ej. Al lanzar un dado sacar cualquiera de sus caras.

Eventos Exhaustivos.- Dos eventos A y B son colectivamente exhaustivos si su unión es la totalidad del espacio muestral, es decir, A(B = E.

Eventos Dependientes. - Son aquellos sucesos en los que el conocimiento de la verificación de uno de ellos altera la probabilidad de verificación del otro. Se dice que dos o más eventos son dependientes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos afecta la probabilidad de la ocurrencia de alguno de los otros eventos. Ej. Consideremos la probabilidad de obtener 2 cartas de basto al sacar sucesivamente 2 cartas de una baraja de 40 cartas. Al sacar la primera carta la probabilidad de obtener basto es de 10/40 y al no sustituirla quedaran en el paquete 39 cartas de las cuales 9 son de basto, en la segunda extracción la probabilidad de obtener basto es de 9/39, en este caso la segunda extracción depende de la primera que tenía como probabilidad 10/40 y la segunda extracción tendrá ahora 9/39 como se puede observar la probabilidad de la segunda extracción es afectada por la primera.

Eventos Independientes. - Se dice que dos ó más eventos son independientes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos no afecta la probabilidad de la ocurrencia de ninguno de los otros sucesos. Ej. el evento de obtener simultáneamente un 2 al lanzar un dado y sello al tirar una moneda, está compuesto de 2 sucesos independientes, puesto que la ocurrencia de un 2 en el dado no afecta la probabilidad de la aparición de sello en la moneda y viceversa.

Eventos complementarios - Dos eventos A y Ā son complementarios si y solo si, se cumple que: P(A) + P(Ā) = P(S), es decir, son eventos mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral, entonces tenemos, P(A) + P(Ā) = P(S), pero P(S) = 1, entonces,

P(A)+ P(Ā) = 1 P(A) = 1- P(Ā), donde P(Ā), se lee probabilidad de A complemento.

Eventos no Mutuamente Excluyentes. - Son aquellos eventos que pueden verificarse simultáneamente. A estos eventos también se les llaman Sucesos Compatibles.

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADES

1.-TEOREMA DE LA SUMA O DE LA “O “

Para su mejor estudio el teorema de la suma se divide en dos casos:

A.- Para sucesos Incompatibles (aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente o al mismo tiempo) o Excluyentes; el teorema se enuncia así:

“Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de obtener al menos uno de ellos, esto es P (A o B) es igual a la probabilidad de A, o sea, P(A), más la probabilidad de B, es decir, P(B) “, simbólicamente así:

P (A o B) = P (A) + P(B).

Este teorema se puede generalizar para A, B, C, .................N, que se excluyan mutuamente y tienen P1, P2, P3, Pn, probabilidades de ocurrir, así:

P(A o B o C o N) = P(A) + P ( B ) + P(C) +.....................+ P(N) . Ej.:

1.- Se saca al azar una carta de una baraja de 40 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un As o un Rey?

Solución: la probabilidad de sacar un as es 4/ 40 y la probabilidad de sacar un rey es 4 /40, luego la probabilidad buscada se encontrará así: si se llama P(A)= 4 / 40 obtener un as y probabilidad de obtener un rey se le denominará B, entonces P(B) = 4 / 40, entonces:

P(A o B) = P(A) + P (B), luego P(A o B) = 4 /40 + 4 / 40 = 8 / 40 = 1 / 5 = 0.2 = 20.0 %.

B.- Si los eventos son Compatibles (aquellos que pueden verificarse simultáneamente, es decir cuando hay eventos que son comunes o que hay intersección entre los sucesos) o no Mutuamente Excluyentes. El teorema se enuncia así:

“Sean A y B dos eventos compatibles, es decir eventos que tienen por lo menos un suceso simple en común; la probabilidad de obtener al menos uno de ellos, esto es P(A o B) es igual a la probabilidad del evento A, es decir, P(A), más la probabilidad de B, o sea P(B) menos la probabilidad de la intersección de ambos eventos, es decir P(A(B)”. Simbólicamente se puede expresar así: P(A o B) = P(A) + P (B) ( P(A(B). Ej.

2.- Se lanza una moneda y un dado al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara en la moneda y un dos en el dado?

Solución: Si llamamos A, el evento de obtener una cara en la moneda y B, al suceso de obtener un 2 en el dado; el espacio muestral de una moneda es 2, (cara y sello) mientras que el espacio muestra de un dado es seis, (1, 2, 3, 4, 5, 6). El espacio muestral de ambos eventos será la multiplicación de sus espacios muéstrales, es decir, 2x6 = 12. El gráfico nos indica el espacio muestral de ambos eventos:

S

1 S

2 S

3 S

4 S

5 S

6 S

C

1 C

2 C

3 C

4 C

5 C

6 C

1

2

3

4

5

6

 La probabilidad de obtener cara en una moneda es de 1/2. La probabilidad de obtener un 6 en un dado (asumiendo que es un dado de 6 caras) es de 1/6. Para obtener la probabilidad combinada, basta con multiplicar ambas: 1/2 * 1/6 = 1/12. O bien, 8.33% de probabilidad. 

O también así:

Eventos de A = (1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C(, P(A) = 6 / 12 =1/2; el evento B = ((C, 2S (, luego P(B) = 2 / 12 = 1/6.

Ahora se aplica el teorema de la propiedad conjunta, tenemos:

P(A(B) = P(A) * P(B),

P(A(B) = 1/2 *1/6 = 1/12 = 0.083333 = 8.33 %, por lo tanto, esa es la probabilidad buscada.

2.- Se lanza una moneda y un dado al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara en la moneda y un número par en el dado?

¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara en la moneda o un par en el dado? Para Ello se suman las probabilidades de los tres eventos realizados a la derecha del diagrama de árbol así: 1/12 + 1/12 +1/12 = 3/12 = 1/4 = 0.25 = 25.0%

PROBABILIDAD CONDICIONADA. - La probabilidad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ha ocurrido algún otro evento A, se denomina PROBABILIDAD CONDICIONADA y se designa como P (B/A). Él símbolo P (B/A) se lee como la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ocurrió A o sencillamente probabilidad de B dado A Las probabilidades condicionadas están relacionadas a probabilidades asociadas a los eventos definidos en subpoblaciones o espacios muéstrales reducidos.

Se dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento dado es condicionada, si esta se afecta por la ocurrencia de otro evento presente.

Definición. - Sean A y B dos eventos asociados a un experimento aleatorio. La probabilidad que ocurra el evento B, dado que ocurrió el suceso A se llama probabilidad condicionada del suceso B, esta se simboliza por P (B/A) y se calcula mediante la fórmula:

(

)

(

)

(

)

,

A

P

B

A

P

A

B

P

Ç

=

Si P(A) = 0, entonces P (B/A), no está definida.

El conjunto P(A(B), se le denomina probabilidad conjunta de los eventos A y B. El conjunto A(B se define como la intersección de A y B, es decir, los eventos comunes entre A y B.

(

)

(

)

(

)

,

A

P

B

A

P

A

B

P

Ç

=

Entonces, P(A(B) = P(A) P(B/A).

Si P (B/A) ( P(B), se dice que el evento B es dependiente del evento A.

Sí P(B/A) = P(B), se dice que el suceso B es independiente del suceso A, luego:

P(A(B) = P(A) P (B), esta fórmula recibe el nombre de la Probabilidad Compuesta. Ej.

3.- Un curso de matemáticas avanzada está formado por 10 administradores, 30 ingenieros y 10 economistas. Al finalizar el curso 3 administradores, 10 ingenieros y 5 economistas aprueban el curso con 20 puntos. Se seleccionó al azar un participante del mismo y se detectó que la calificación obtenida en el curso había sido de 20 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que ese participante sea un ingeniero?

Solución: si llamamos A al evento en que un participante obtuvo una calificación de 20 puntos; si denominamos como B el evento de seleccionar un ingeniero y si llamamos A(B, los eventos comunes entre A y B, tenemos los siguientes sucesos:

El total de participantes en este caso será el espacio muestral, que en el problema planteado es de 50, por lo tanto, los diferentes eventos serán:

A = (3 admist., 10 ing. 5 econ., (, Luego P(A) = 18 / 50.

B = (10 ing. con 20 ptos., 20 ing., con menos de 20 ptos.( .

A(B = (10 ing. con 20 puntos( , luego P(A(B) = 10 / 50.

(

)

(

)

(

)

,

9

5

18

10

50

18

50

10

=

=

=

Ç

=

A

P

B

A

P

A

B

P

Por lo tanto 5/9 = 0.5556 = 55.56 %, es la probabilidad de extraer un ingeniero con 20 puntos.

Este problema se puede resolver también aplicando una tabla o matriz de doble entrada donde se observan todos los eventos:

ADMINIST.

INGENIERO

ECONOMISTA

TOTAL

Aprobaron Con

20 puntos.

3

10

5

18

No Aprobaron

Con 20 puntos

7

20

5

32

TOTAL

10

30

10

50

En la tabla se observa que el espacio muestral de 50 se redujo a 18, que vienen a ser los casos posibles de acuerdo con el planteamiento del problema; por otro lado los ingenieros que aprobaron con 20 en este caso son 10, que vendrían a ser los casos favorables, por lo tanto la probabilidad buscada será el cociente que resulta de dividir los casos favorables (CF) entre los casos posibles (CP), así:

.%.

56

.

55

5556

.

0

9

5

18

10

=

=

=

=

=

CP

CF

P

4.- Se lanza un dado y se obtiene un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3?

Solución: Sea A, el evento de obtener un número par, y sea B el evento de obtener un número múltiplo de 3, entonces el evento común entre los sucesos A y B será A(B. El espacio muestral del lanzamiento de un dado es 6, ahora bien, los diferentes eventos del problema serán:

A = (2, 4,6(, entonces P(A) = 3/6

B = (3, 6(.

A(B = (6(, luego P(A(B) = 1/6

(

)

(

)

(

)

.%.

33

.

33

3333

.

0

3

1

6

3

6

1

=

=

=

=

Ç

=

A

P

B

A

P

A

B

P

Este problema también se puede resolver aplicando una tabla o matriz de doble entrada, en donde se observan todos los eventos del problema planteado, observemos la siguiente tabla:

Números Múltiplos

De 3

Números no

Múltiplos de 3

TOTAL

Eventos que

Son pares

6

2, 4

3

Eventos que

No son pares

3

1, 5

3

TOTAL

2

4

6

Solución: En esta tabla se observa que los eventos pares en total son 3, por lo tanto, el espacio muestra original que era 6 se redujo a 3. En la fila de los eventos que son pares se observan los que cumplen con la condición de ser múltiplo de 3, por lo tanto, es un solo caso favorable, de la misma forma se observa que solo hay 3 casos posibles de números pares, luego la probabilidad buscada será el cociente que resulta de:

.%,

33

.

33

3333

.

0

3

1

=

=

=

=

CP

CF

P

esta es la probabilidad buscada.

4.- Se lanza un dado y se obtiene un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de 3?

Solución: En el diagrama de árbol se observan que los eventos pares son 3, por lo tanto, el espacio muestral original que era 6 se redujo a 3. En la fila de los eventos que son pares se encuentra el 6 que cumplen con la condición de ser múltiplo de 3, por lo tanto, es un solo caso favorable, luego la probabilidad buscada será el cociente que resulta de dividir los casos favorables (1 caso) entre los casos posibles (3 Casos)

%.

33

.

33

3333

.

0

3

1

.

.

.

)

3

.

.

.

.

.

(

=

=

=

°

=

posibles

casos

de

n

ables

Casosfavor

de

multiplo

un

de

ad

probabilid

P

PROBABILIDAD PRODUCTO. - Se conoce como probabilidad producto de 2 eventos A y B en el espacio muestral E, la probabilidad de que los 2 sucesos se den simultáneamente.

La probabilidad de ocurrencia simultanea de 2 o más eventos reciben el nombre de probabilidad conjunta. En la probabilidad producto es muy importante el uso de la letra “Y”, esta letra es característica en la gran mayoría de los problemas relacionados con la probabilidad producto, ya que esta se utiliza muy a menudo en el enunciado del problema. La probabilidad conjunta se designa así: P(A(B) = P(AB)= P(A y B), cualquiera de estos términos significa lo mismo.

La fórmula de la probabilidad conjunta se obtiene de la fórmula de la probabilidad condicional, si esta, se multiplica por P(A), así:

EMBED Equation.3

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

A

B

P

A

P

B

A

P

A

P

A

P