ESTADISTICA DESCRIPTIVA ED. 2014

7/25/2019 ESTADISTICA DESCRIPTIVA ED. 2014

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Captulo II:ANLISIS DESCRIPTIVO

Para completar el anlisis de los datos iniciados en la unidadanterior (mediante tablas y grficos), vamos a calcular unconjunto de medidas descriptivas (parmetros o estadsticos).

A. Distribuciones unidimensionales:

A.1. Datos categricosCuando se analizan datos categricos, calcularemos el modoocategora modalcomo medida representativa de los datos, quese define como la categora de la variable que ocurre con mayorfrecuencia.

Categora modal

Tabla 1. Lugar de residencia de los alumnosLugar de

residencia

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

Crdoba capital 55 0,50Crdoba interior 36 0,33Otras provincias 18 0,17

Total 109 1


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A.2. Datos numricos

Para el anlisis descriptivo de una variable numrica, las medidasque utilizaremos se pueden clasificar en tres grupos:

a. Medidas de posicin: permiten determinar la ubicacin de

los datos a lo largo del eje real. Podemos distinguir:a.1. Medidas de tendencia central

Modo

Media aritmtica

MedianaMedia geomtrica

a.2. Medidas de tendencia no central

Cuantiles (cuartiles, deciles, percentiles)


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b. Medidas de dispersin: se refieren a la dispersin oconcentracin de datos alrededor de las medidas de posicin.Podemos distinguir:

Recorrido

Recorrido intercuartlicoVarianza

Desviacin Estndar

Coeficiente de Variacin

Desviacin medianac. Medidas de forma: representan la deformacin horizontal(simetra) y vertical (curtosis) del conjunto de datos. Podemosdistinguir:

Medidas de Simetra

Medidas de Curtosis


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Medidas de posicin

Media aritmtica: tambin llamada promedio, es una de lasmedidas de tendencia central ms comunes. Notacin: M(x)

Frmula de clculo:

Datos no agrupados (serie simple)

Datos agrupados

1 1

N n

i i

i i

x x

xN n

1 1

k k

i i i i

i i

x n x n

xN n

Mediapoblacional

Mediamuestral


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Ejemplo

Retomemos el ejemplo de la Unidad 1.

1 119 5,95 .20

n

i

i

x

x pedidos telefn

1 ?

k

i i

i

x n

x

n


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Propiedades

1) La suma de los desvos entre los valores de la variable y lamedia, debidamente ponderados es igual a cero.

2) La suma de los cuadrados de los desvos de la variable conrespecto a la media, debidamente ponderados es un mnimo.

3) La media de una constante es igual a dicha constante.

1

0k

i

i

x M x

2

1

k

ii

x M x Mnimo

M c c


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4) La media de una constante por una variable es igual a laconstante por la media de la variable.

5) La media de una variable ms una constante es igual a la mediade la variable ms la constante.

6) La media de una muestra es igual a la media de las medias de las

submuestras, calculada con ponderaciones iguales a los tamaosde las submuestras.

M c.x c.M x

M x c M x c

1 1 2 2

1 2

h h

h

n M x n M x ... n M x M x

n

donde n n n ... n


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7) La media de una suma de variables que estn expresadas en lamisma unidad de medida es igual a la suma de las medias decada una de las variables.

Ejemplo:

Considere los siguientes datos

a) Calcule el peso promedio de los alumnos.

b) Calcule el nuevo peso promedio de los alumnos si:

1. realizan una dieta que les permite reducir el peso en 5 %

2. realizan una dieta que les permite aumentar 4 kg.

M x y z M x M y M z

Sexo

Peso

promedio

Nro.

Alumnos

Varn 72,73 41

Mujer 55,13 68


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Mediana:

Es el valor de la variable que divide a un conjunto de datosordenado en dos grupos iguales. Se encuentra ubicada en laposicin central de la distribucin de datos.

Notacin: Me(x)

Frmula de clculo:


1) Debemos ordenar los datos de menor a mayor.

2) Si n es impar

Si n es par

1

2( ) nMe x X

12 2

( )

2

n nX X

Me x


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Ejemplo

Retomemos el ejemplo

1) Ordenamos la serie

2) Como n=20 es par

Orden 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Nro. pedidos

telefnicos 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8

( ) ?Me x


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Datos agrupados

1) Debemos calcular las frecuencias acumuladas (supone haberordenado los datos de menor a mayor)

2) Ubicar la posicin donde se encuentra la mediana.

Volviendo al ejemplo

como n es par:

y Me(x)=?

Pedidos

telefnicos

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

absoluta

acumulada

4 3 35 4 7

6 6 13

7 5 18

8 2 20

Total 20

2

?n

X

12

?n

X


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Si consideramos una distribucin por intervalos, slo vamos aidentificar el intervalo que contiene la mediana.

Media o Mediana? Qu medida resulta ms adecuada?

La mediana, al no considerar en su clculo todos los valores de lavariable, no se encuentra distorsionada por la presencia devalores extremos (medida resistente o robusta).

Ejemplo:

se relevaron 7 empresas de servicios de una localidad y seregistr la cantidad de empleados.

5 2 100 4 3 3

Calcule la M(x) y la Me(x) elija la medida ms representativa


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Modo:

Es el valor de la variable que se repite mayor cantidad de veces,es decir el ms frecuente. En una distribucin pueden existir msde un valor que cumpla con la condicin.

Notacin: Mo(x)

Media geomtrica:

Se utiliza para promediar porcentajes, razones, ndices o tasas decrecimiento.

Notacin y frmula de clculo:

datos no agrupados datos agrupados

1

( )n

ni

i

Mg x x

1

( ) ik

nn

i

i

Mg x x


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Ejemplo:

Las tasas de inters anual ofrecidas para Plazos Fijos por tresinstituciones bancarias de la ciudad son:

21,00 % 18,75 % 17,50 %

Obtenga la tasa de inters promedio.

Otra aplicacin:

Las ventas mensuales de una empresa durante el 1 semestrefueron:

Mes Ventas1 7.000$2 10.000$3 11.000$4 11.000$5 13.000$6 14.000$

Calcule el promedio de las ventasmensuales y la tasa promedio mensualde crecimiento de las ventas.


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Propiedad:

El logaritmo de la media geomtrica es igual a la media aritmticadel logaritmo de la variable.

( ) lnLn Mg x M x


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Medidas de posicin de tendencia no central:

Dentro de estas medidas se encuentran los cuartiles, los deciles ypercentiles.

Cuartiles:

Son los valores de la variable que dividen el conjunto de datosordenados en cuatro subconjuntos iguales. Notacin: Q1,Q2y Q3

Frmula de clculo:Seguiremos el mismo procedimiento que el utilizado para elclculo de la mediana. Para calcular las posiciones donde seencuentran los cuartiles, tanto para n par como impar haremos:

Posicin Q1 Posicin Q3 14n

3 1

4

n


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Ejemplo

Con estas medidas, el mnimo, mediana y mximo, construiremos

el Diagrama de Caja y Brazos.

1 20 15,25 5

4 4

n

3 1 3 20 115,75 16

4 4

n

Orden 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Nro. pedidos

telefnicos 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8

1 5 5Q X pedidos

3 16 7Q X pedidos


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Medidas de dispersin

Recorrido:

Recorrido intercuartlico:

Varianza: es el promedio de la variable desvo (respecto de lamedia aritmtica) elevada al cuadrado. Notacin: Var(x)

Frmula de clculo:


2 22 21 1

1

N n

i i

i i

x x x

SN n

Varianza

poblacional

Varianza

muestral

( ) (1)nR X X

3 1RI Q Q


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Otra frmula de clculo:

Ejemplo

Retomemos el ejemplo.

2

221

( )

( ) = ( ) - ( )

n

i

i

x M x

Var X M x M x

n


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2 22 2( ) ( ) - ( ) 36,85 5,95 1,4475Var X M x M x pedidos

2

2 21( ) 36,85

k

i i

i

x n

M x pedidosn

1( ) 5,95

k

i i

i

x n

M x pedidosn


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Propiedades

1) La varianza de una variable es siempre no negativa.

2) La varianza de una constante es igual a cero.

3) La varianza de una constante por una variable es igual alcuadrado de la constante por la varianza de la variable.

4)

La varianza de una constante ms una variable es igual a lavarianza de la variable.

5) La varianza de una suma (diferencia) de variables es igual a lasuma de las varianzas de las variables slo si son independientes.

0Var(x)

0Var c

2Var c.x c .Var( x )

Var x c Var ( x )

Var x y Var ( x ) Var ( y )


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Desviacin Estndar:

Coeficiente de Variacin:

Se trata de una medida de dispersin relativa (no tiene unidad demedida).

Desviacin Mediana:

( ) ( )DS x Var x

( )( ) .100

( )

DS xCV x

M x

1

( )

( )

n

i

i

x Me x

DMe xn


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Consideremos el Ejercicio 2 de las notas de ctedra (Unidad 1).

( ) 1,4475 1,2031DS x pedidos

1,2031( ) .100 20,22%

5,95

CV x

( ) 0,95DMe x pedidos


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Medidas de forma

Medidas de Simetra:

Una primera inspeccin de la simetra de la distribucin lapodemos realizar comparando las medidas de posicin (media,mediana y modo)


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Coeficiente de Pearson:

Est basada en la relacin entre las medidas de posicin.

P = 0 simetra

P < 0 asimetra izquierda o negativaP > 0 asimetra derecha o positiva

Coeficiente de Asimetra de Fisher:

Utiliza en su clculo momentos centrados de la variable. Losmomentos centrados son promedios de potencias de la variable

desvo (respecto de la media).

3 ( ) ( )

( )

M x Me xP

DS x

1

( )n

r

i

ir

x M x

mn

0 1 2? ? ?m m m


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Coeficiente de Asimetra de Fisher :

g1= 0 simetra

g1< 0 asimetra izquierda o negativa

g1> 0 asimetra derecha o positiva

Consideremos el Ejercicio 2 de las notas de ctedra (Unidad 1).

3

1 3( )

mg

DS x

3 ( ) ( ) 3 5,95 60,125

( ) 1,2031

M x Me xP

DS x

3

1 3 3

0,132750,0762

1,2031( )

mg

DS x

udiant il Vers in Estudiant il Vers in Estud iant il Vers in Estudiant il

ersin Estudiantil Versin Estudiantil Versin Estudiantil Versin




ersin Estudiantil Versin Estudiantil Versin Estudiantil Versinudiant il Vers in Estudiant il Vers in Estud iant il Vers in Estudiant il












0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

nro. pedidos telefnicos

0

1

2

3

4

5

6

frecuencia

absolu

ta


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Medidas de Curtosis:

Coeficiente de Curtosis de Fisher:

Considera la distribucin Normal (la estudiaremos en la Unidad 5)como referencia. Utiliza en su clculo momentos centrados.

g2= 0 normal o mesocrticag2< 0 platicrtica

g2> 0 leptocrtica

Ejemplo:

4

2 43

( )

mg

DS x

2 4

4,40173 0,899

1,2031g


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29/33



30/33



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