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FORMA DE ESTUDIOPRESENCIAL
DURACIN75 HORAS
TRAYECTO II
ESTADSTICADESCRIPTIVA
MATERIAL DIDCTICODE LA UNIDAD CURRICULAR
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MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARARELACIONES INTERIORES, JUSTICIA Y PAZ
MinistroMiguel Rodrguez Torres
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARALA EDUCACIN UNIVERSITARIA
MinistroPedro Calzadilla
AUTORIDADES UNIVERSIDAD NACIONALEXPERIMENTAL DE LA SEGURIDAD
RectoraSoraya Beatriz El Achkar Gousoub
Vicerrectora de Desarrollo AcadmicoAimara Aguilar
Vicerrector de Creacin Intelectualy Vinculacin Social
Edgar GavidiaSecretario
Frank Bermdez Sanabria
VICERRECTORADODE DESARROLLO ACADMICO
VicerrectoraAimara Aguilar
Director Nacional de Desarrollo CurricularPablo Fernndez Blanco
Coordinador Nacional del P NF PolicialJos Cardoso
Responsable del PNF PolicialYesenia Bermdez
UNIVERSIDAD NACIONALEXPERIMENTAL DE LA SEGURIDAD
Direccin: Calle La Lnea, zona industrial L, Catia.
Apartado postal: Caracas 1030 - Venezuela
WWW.UNES.EDU.VE
Coordinador Nacional de Imagen UNESOscar Vsquez
Diseadores curricularesMigdalys MarcanoYesenia BermdezMarcos Vsquez
Expertos en contenidoMigdalys Marcano
Marcos Vsquez
Correccin de estiloRomina Ochoa
Diseo grfico y diagramacinOscar Chanova
Caracas, octubre de 2011
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NDICE
PRESENTACIN
PROPSITO
OBJETIVOS ESPECIFICOS
RELACIN DE TEMAS DE LA UNIDAD CURRICULAR
ENCUENTROS DIDCTICOS
ENCUENTRO 1Nociones generales
ENCUENTRO 2
Tablas de frecuencia e histogramas
ENCUENTRO 3Medidas de tendencia central
ENCUENTRO 4Medidas de dispersin y posicin
REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS
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ESTADSTICA DESCRIPTIVATRAYECTO II PNF POLOCIAL
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PRESENTACIN
Acontinuacin, te presentamos el material didc-
tico de la unidad curricular Estadstica Descriptiva,
que ser tu gua en la realizacin de las activida-des, durante los encuentros didcticos con tus compa-
eros y compaeras de estudio y con el educador o la
educadora responsable del ambiente de aprendizaje.
El material te proporciona las instrucciones ne-
cesarias para el acompaamiento en cada una de las
actividades, ya sean de manera individual o colectiva.
Una de las sugerencias para el xito en tus actividades,
consiste en que te desenvuelvas utilizando tus propios
conocimientos, estrategias y herramientas, para luego
socializarlas.La estadstica es el rea de las matemticas que per-
mite recoger, organizar, resumir, presentar y analizar
datos sobre fenmenos y procesos; consiste no slo en
reunir y tabular los datos, sino, sobre todo, en el proceso
de interpretacin de esa informacin para obtener con-
clusiones y apoyar los procesos de toma de decisiones
basadas en esos anlisis. Su aplicacin es muy amplia,
por ejemplo, en la interpretacin de fenmenos fsicos,
meteorolgicos, biolgicos de las ciencias sociales y de
las organizaciones. Por tal razn, es una herramienta desuma importancia para el anlisis e interpretacin de di-
ferentes fenmenos y en ello su utilidad para la investi-
gacin penal.
Este material se desglosa en cuatro encuentros di-
dcticos donde encontrars diversos problemas y acti-
vidades prcticas que te permitirn ejercitar los saberes
estudiados en el ambiente de aprendizaje. La unidad
curricular Estadstica Descriptiva tiene un importante
contenido prctico, es por ello que se recomienda la rea-
lizacin de todos los problemas planteados, a fin de ga-
rantizar la comprensin de los temas propuestos.
Durante el desarrollo de este material surgirn dudas
y preguntas, por lo cual debes consultar a tu educadoro educadora, quienes te darn las respuestas y consejos
pertinentes, igualmente, se recomienda consultar otras
bibliografas aparte de este material, esto con la inten-
cin de profundizar en las temticas y desarrollar tu ca-
pacidad para la investigacin.
Debes realizar todas las lecturas y actividades propues-
tas en este material en el orden que han sido dispuestas
ya que esto garantizar la comprensin total de las mimas.
Para el desarrollo del material didctico se presentan
las siguientes actividades: Problemas estadsticos aplicados a la seguridad ciu-
dadana.
Ejercicios esttico-ldicos referidos a la temtica.
Lecturas en donde se describen las temticas a estudiar.
Estudio de casos vinculados a la temtica.
Es importante mantener una actitud favorable para
realizar todas las actividades; recordando que ello impli-
ca tener una buena disposicin y estado de nimo para
emprenderlas.
PROPSITOLa unidad curricular tiene como propsito que las y
los estudiantes describan y analicen mediante mtodosestadsticos diversas situaciones inherentes a la seguridadciudadana a fin de comprenderlas y planificar las accionesa realizar para su abordaje.
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TRAYECTO II
6 ESTADSTICADESCRIPTIVA
OBJETIVOS ESPECFICOSLas y los estudiantes:
Comprendern los aspectos generales referidos a la
estadstica descriptiva y su importancia como cienciaauxiliar dentro de la seguridad ciudadana.
Elaborarn cuadros y grficos estadsticos a fin de re-
presentar y resumir la informacin recogida en refe-
rencia a la seguridad ciudadana.
Realizarn estudios estadsticos basados en las medi-
das de tendencia central, de dispersin y de posicin,
a fin de comprender los sucesos relacionados con la
seguridad ciudadana y as analizarlos de forma eficaz
y efectiva.
Analizarn los resultados recogidos a partir del proce-
samiento de la informacin por medios estadsticos,
a fin de planificar acciones que permitan coadyuvar a
las funciones de los rganos de seguridad ciudadana.
RELACIN DE TEMAS DE LA UNIDAD CURRICULAR
Tema 1:Nociones generales.
Tema 2:Tablas de frecuencias e histogramas.
Tema 3:Medidas de tendencia central.
Tema 4:Medidas de dispersin.
Tema 5:Medidas de posicin.
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ESTADSTICADESCRIPTIVA
TRAYECTO II
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ENCUENTRO DIDCTICO 1
NOCIONES GENERALES
SABERLas y los estudiantes comprendern los aspectos
generales referidos a la estadstica con la finalidad
de aplicarlos en el estudio y anlisis de situaciones
inherentes a la seguridad ciudadana y a su vez
permita la planificacin acciones para evitar estos
sucesos.
ORIENTACIONES GENERALES PARAEL DESARROLLO DEL ENCUENTRO:
Estimados y estimadas estudiantes, el encuentro di-
dctico denominado Nociones Generales pretende que
nos apropiemos de los conceptos bsicos de la estads-
tica, identificando los tipos de estadstica y sus aplica-
ciones en la funcin de los rganos de seguridad ciu-dadana, definiendo variables, conociendo las tcnicas y
procedimientos para el tratamiento de datos; lo que per-
mitir pensar en nuestro quehacer profesional con una
perspectiva cientfica, rigorosa, basada en el tratamien-
to minucioso de los datos y de su descripcin. En este
encuentro se abordarn los siguientes saberes: Marco
conceptual de la estadstica descriptiva, estadstica infe-
rencial, poblacin, muestra, tipos de muestreo, muestreo
probabilstico, muestreo no probabilstico, muestreo ac-
cidental o no casual, muestreo intencional, tipos de da-
tos, variables cuantitativas, variables cualitativas.
Para desarrollar los saberes mencionados anterior-
mente, te ofrecemos unas actividades que consisten en:
1. Preguntas generadoras, a partir de las cuales activa-
rs tus saberes previos con respecto a la temtica que
se va a desarrollar, con el fin de partir de tu realidad,
condicin histrica y de la toma de conciencia crtica
en torno a ella.
2. Lectura Introduccin a la estadstica.
3. El planteamiento de un caso referido a la seguridad
ciudadana, en el que debers identificar variables, ti-
pos y subtipos, bien sean cualitativas o cuantitativas.
Seguidamente, proponemos realizar un muestreo en
alguna comunidad, empleando cualquier mtodo dis-
ponible para ello. Existen dos mtodos para seleccionar
muestras de poblaciones: el muestreo no aleatorio o de
juicio y el muestreo aleatorio. En las lecturas encontrars el
apoyo terico y metodolgico de estos tipos de muestreo.
Para culminar el encuentro, encontrars una activi-
dad final, donde debers utilizar todo lo aprendido; sta
consta de ejercicios con distintos niveles de complejidad.
Por ltimo, est una clave de respuestas que te permitir
evaluar tus avances.
ACTIVIDAD 1. ESTADSTICA ENNUESTRO QUEHACER LABORAL
A travs de este espacio, se promueve la reflexin y la
introspeccin sobre la aplicacin de la estadstica en la
funcin como funcionarios y funcionarias en seguridad
ciudadana. Para ello, se reflexionar sobre las nociones
de la estadstica como ciencia que describe situaciones
de nuestro quehacer laboral, a travs de las siguientes
preguntas generadoras:
1. Estando en el ejercicio de nuestras funciones: para
qu ser til consultar los datos estadsticos de la
zona o lugar en que laboramos?
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2. En cuanto a la informacin que diariamente se
suministra a travs de partes y reportes: qu utilidad
estadstica tendr? Explique.
3. El registro de poblacin demogrfica que existe
en un sector: cmo coadyuvar al desempeo de
nuestras funciones?
4. Llevar un registro estadstico de las actividades
que realizan los rganos de seguridad ciudadana de
qu manera puede repercutir en una mejora del des-
empeo de los mismos?
ACTIVIDAD 2. LECTURA:INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA
LEAMOS CON ATENCIN!
La estadstica es elrea de las matemti-
cas que permite reco-
ger, organizar, resumir,
presentar y analizar da-
tos sobre fenmenos y
procesos. La estadstica
consiste no slo en reunir y tabular los datos, sino so-
bre todo en el proceso de interpretacin de esa infor-
macin para obtener conclusiones y apoyar los proce-
sos de toma de decisiones basadas en esos anlisis.
La estadstica se divide en dos reas: estadstica
descriptiva y estadstica inferencial.
a. Estadstica descriptiva: se dedica a los mtodos
de recoleccin, descripcin, visualizacin y resu-
men de datos originados a partir de los fenmenos
de estudio. Los datos pueden ser resumidos num-
rica o grficamente.
b. Estadstica inferencial:se dedica a la generacin
de los modelos, inferencias y predicciones asocia-
das a los fenmenos en cuestin teniendo en cuen-
ta la aleatoriedad de las observaciones.
En este momento nos interesa estudiar la estadsti-
ca descriptiva, como una herramienta que nos per-
mite conocer el comportamiento de una muestra
a partir de datos arrojados a travs de encuestas o
bases de datos.
Aplicada a la investigacin cientfica, tambin infie-
re cuando provee los medios matemticos para esta-
blecer si una hiptesis debe ser rechazada o no.
La estadstica puede aplicarse en diversas reas yciencias, entre algunas de ellas podemos mencionar la
fsica, qumica, biologa, medicina, astronoma, psico-
loga, sociologa, lingstica, demografa, etc.
Segn las ltimas estadsticas, de
cada tres nios que nacen en el
mundo, dos son chinos, excepto en
China que son los tres.
SABASQUE?
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ESTADSTICADESCRIPTIVA
TRAYECTO II
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Poblaciones y Muestra
Cuando se realiza un estudio de investigacin, se
pretende generalmente inferir o generalizar resultados
de una muestra a una poblacin. Se estudia en parti-
cular a un reducido nmero de individuos a los que
tenemos acceso con la idea de poder generalizar los
hallazgos en la poblacin de la cual esa muestra proce-
de. Este proceso de inferencia se efecta por medio de
mtodos estadsticos basados en la probabilidad.
La poblacinrepresenta el conjunto grande de in-
dividuos que deseamos estudiar y generalmente suele
ser inaccesible. Es, en definitiva, un colectivo homog-
neo que rene unas caractersticas determinadas.
La muestra es el conjunto menor de individuos
(subconjunto de la poblacin accesible y limitado so-
bre el que realizamos las mediciones o el experimento
con la idea de obtener conclusiones generalizables so-
bre la poblacin).
El individuoes cada uno de los componentes de la
poblacin y la muestra. La muestra debe ser represen-
tativa de la poblacin y con ello queremos decir que
cualquier individuo de la poblacin en estudio debe
haber tenido la misma probabilidad de ser elegido. Las
razones para estudiar muestras en lugar de poblacio-
nes son diversas y entre ellas podemos sealar:
Ahorrar tiempo. Estudiar a menos individuos es evi-
dente que lleva menos tiempo.
Como consecuencia del punto anterior, ahorrare-
mos costos.
Estudiar la totalidad de los pacientes o personas con
una caracterstica determinada en muchas ocasio-
nes puede ser una tarea inaccesible o imposible de
realizar.
Aumentar la calidad del estudio. Al disponer de mstiempo y recursos, las observaciones y mediciones
realizadas a un reducido nmero de individuos pue-
den ser ms exactas y plurales que si las tuvisemos
que realizar a una poblacin.
La seleccin de muestras especficas nos permitir
reducir la heterogeneidad de una poblacin al indi-
car los criterios de inclusin y/o exclusin.
Muestreo
Habitualmente, el investigador no trabaja con todos
los elementos de la poblacin que estudia sino slo
con una parte o fraccin de ella; a veces porque es muy
grande y no es fcil abarcarla en su totalidad. Por ello, se
elige una muestra representativa y los datos obtenidos
en ella se utilizan para realizar pronsticos en poblacio-
nes futuras de las mismas caractersticas.
Se conoce con el nombre de muestreo al proceso de
extraccin de una muestra a partir de la poblacin. El
proceso esencial del muestreo consiste en identificar la
poblacin que estar representada en el estudio.
La importancia del muestreo radica en que no es
necesario trabajar con la totalidad de los elementos de
una poblacin (N) para comprender con un nivel razo-
nable de exactitud la naturaleza del fenmeno estu-
diado.
Este conocimiento se puede obtener a partir de una
muestra que se considere representativa de aquella po-
blacin.
Tipo de muestreo
Existen dos mtodos para seleccionar muestras de
poblaciones; el muestreo no aleatorio o de juicio y el
muestreo aleatorio o de probabilidad.
Muestreo probabilstico
Conocido tambin como muestreo de seleccin
aleatoria; utiliza el azar como instrumento de seleccin,
pudindose calcular de antemano la probabilidad de
que cada elemento sea incluido en la muestra. Para
Marn Ibez (1985) este tipo de muestreo es el que
alcanza mayor rigor cientfico y se caracteriza porque
se cumple el principio de la equiprobabilidad, segn el
cual todos los elementos de la poblacin tienen la mis-ma probabilidad de salir elegidos en una muestra.
Muestreo aleatorio simple
Es la modalidad de muestreo ms conocida y que
alcanza mayor rigor cientfico. Garantiza la equiproba-
bilidad de eleccin de cualquier elemento y la inde-
pendencia de seleccin de cualquier otro. En este pro-
cedimiento se extraen al azar un nmero determinado
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de elementos, (n), del conjunto mayor (N) o poblacin,
procediendo segn la siguiente secuencia:
Definir la poblacin, confeccionar una lista de todos
los elementos, asignndoles nmeros consecutivos
desde 1 hasta n; La unidad de base de la muestra debe ser la misma;
Definir el tamao de la muestra y extraer al azar los
elementos.
La muestra quedar formada por los n elementos
obtenidos mediante sorteo de la poblacin. Los proce-
dimientos ms comunes de extraccin de los elemen-
tos en este tipo de muestreo son: las tablas de nmeros
aleatorios, incluidas en los manuales de estadstica; los
clsicos sistemas de lotera y otros procedimientos de
extraccin al azar, incluidos las aplicaciones informticas.
Muestreo estratificado
Este muestreo se utiliza cuando la poblacin est
constituida en estratos o conjuntos de la poblacin ho-
mogneos con respecto a la caracterstica que se estudia.
Dentro de cada estrato se puede aplicar el muestreo alea-
torio o sistemtico. Consiste en subdividir la poblacin
en subgrupos o estratos con arreglo a la/s caracterstica/s
que se consideren y en elegir la muestra de modo que es-
tn representados los diferentes estratos.Para la obtencin de la muestra estratificada se siguen
los siguientes pasos: a) se divide la poblacin en estratos;
b) de cada estrato se extrae una muestra por algn pro-
cedimiento de muestreo; c) el nmero de individuos de
cada estrato se puede decidir por paridad o proporciona-
lidad; y d) la suma de las muestras de cada estrato forman
la muestra total n. (Latorre, Rincn y Arnal, 2003).
Muestreo no probabilstico
En estas tcnicas no se utiliza el muestreo al azar
sino que la muestra se obtiene atendiendo al criterio o
criterios del investigador o bien por razones de econo-
ma, comodidad, etc. Consecuentemente, estas tcni-
cas no utilizan el criterio de equiprobabilidad, sino que
siguen otros criterios, procurando que la muestra obte-
nida sea lo ms representativa posible. Estas muestras,
al no utilizar el muestreo al azar, no tienen la garanta
de las muestras probabilsticas, pero en la prctica son
a menudo necesarias e inevitables, en opinin de Ker-
linger (1975). Dentro de este tipo de muestreo se suele
distinguir el muestreo accidental y el muestreo inten-
cional o deliberado.
Muestreo accidental o no casual
Este tipo de muestreo se caracteriza por utilizar las
muestras que tiene a su alcance. Se denominan acci-
dentales porque no responden a una planificacin pre-
via en cuanto a los sujetos a elegir. De hecho, toma las
muestras disponibles sin introducir seleccin o modifi-
cacin alguna. Por ejemplo, empresas, centros comple-
tos, cursos o grupos dentro de un nivel, etc.
Muestreo intencional o deliberado
En esta tcnica, el investigador selecciona de modo
directo los elementos de la muestra que desea partici-
pen en su estudio. Se eligen los individuos o elementos
que se estima que son representativos o tpicos de la
poblacin. Se sigue un criterio establecido por el exper-
to o investigador. Se suelen seleccionar los sujetos que
se estima que pueden facilitar la informacin necesaria.
Tipos de datos:
Los datos se dividen en dos tipos:
Variables cuantitativas
Variables cualitativas
Lo que estudiamos en cada individuo de la muestra
son las variables (edad, sexo, peso, talla, tensin arterial
sistlica, etc.). Los datos son los valores que toma la va-
riable en cada caso. Lo que vamos a realizar es medir, es
decir, asignar valores a las variables incluidas en el estu-
dio. Deberemos adems concretar la escala de medida
que aplicaremos a cada variable.
La naturaleza de las observaciones ser de gran im-
portancia a la hora de elegir el mtodo estadstico ms
apropiado para abordar su anlisis. Con este fin, clasi-
ficaremos las variables, a grandes rasgos, en dos tipos:
variables cuantitativas o variables cualitativas.
DatoVariable
Contenedor Contenido
=
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TRAYECTO II
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Variables cuantitativas:son las variables que pue-
den medirse, cuantificarse o expresarse numrica-
mente. Las variables cuantitativas pueden ser de
dos tipos:
1. Variables cuantitativas continuas, si admiten tomarcualquier valor dentro de un rango numrico de-
terminado. Suelen tomar valores reales (edad, peso,
talla).
2. Variables cuantitativas discretas, si no admiten todos
los valores intermedios en un rango. Suelen tomar
solamente valores enteros (nmero de hijos, nme-
ro de partos, nmero de hermanos, etc.).
Variables cualitativas:este tipo de variables repre-
sentan una cualidad o atributo que clasifica a cada
caso en una de varias categoras. La situacin mssencilla es aquella en la que se clasifica cada caso en
uno de dos grupos (hombre/mujer, enfermo/sano,
fumador/no fumador). Son datos dicotmicos o bi-
narios. Como resulta obvio, en muchas ocasiones
este tipo de clasificacin no es suficiente y se requie-
re de un mayor nmero de categoras (color de losojos, grupo sanguneo, profesin, etc.).
En el proceso de medicin de estas variables, se
pueden utilizar dos escalas:
1. Escalas nominales:sta es una forma de observaro medir en la que los datos se ajustan por catego-
ras que no mantienen una relacin de orden entre
s (color de los ojos, sexo, profesin, presencia o au-
sencia de un factor de riesgo o enfermedad, etc.).
2. Escalas ordinales: en las escalas utilizadas, existe
un cierto orden o jerarqua entre las categoras (ni-
veles jerrquicos, rangos, etc.).
ACTIVIDAD 3. RECONOCIENDO VARIABLES
Realizar un estudio estadstico de situaciones del quehacer como funcionario o funcionaria de los rganos de
seguridad ciudadana, nos lleva a escoger diversas variables en las cuales se resuman las mismas; como por ejemplo:
edad, altura, peso o sexo. Este proceso de seleccin de variables permite, mediante un diagnstico estadstico, com-
prender el origen de la situacin y adems, nos permite plantearnos algunas soluciones. En funcin de desarrollar la
siguiente actividad:
1.Realiza con atencin la lectura del caso titulado Incendio en establecimiento penitenciario.
Incendio en establecimiento penitenciario
El da de hoy 30 de octubre de 2012, siendo aproximada-
mente las 16:00 horas, se recibi una llamada telefnica pro-
veniente del Director del establecimiento penitenciario La
Rotunda, informando que en las instalaciones del centro de
reclusin ubicado en la Calle 4, Urbanizacin El Pial del esta-
do Tchira, se ha producido un incendio.
En forma inmediata, se destaca el tren de alarma con todo
su personal a bordo, integrado por las unidades:
Bomba (primera mquina) con capacidad de 3000 litros de
agua; Cisterna (segunda mquina) con capacidad de 6000 li-
tros de agua; un vehculo de Rescate; una unidad Ambulancia
y un camin tipo Escalera.
Una vez aparcadas las unidades en el lugar de los aconteci-
mientos, se percibe en el edificio principal una amplia colum-
na de humo gris de importantes proporciones, proveniente de
un incendio con llamas de aproximadamente ocho metros (8
m) de altura que se origina en el pabelln nmero dos (2).
Al instante se despliegan los equipos de trabajo con los
materiales necesarios para el acceso a los ambientes siniestra-
dos y dar inicio al desalojo y posterior extincin del incendio.
El equipo de custodios y custodias se encargan del desalojo
de los privados de libertad, mientras los funcionarios y funcio-
narias de bomberos con la ayuda de la Polica Nacional Boliva-
riana buscan controlar la situacin. Debido a la gran magnituddel siniestro se hizo necesaria la participacin del equipo de
proteccin civil, pues el edificio estaba a punto de colapsar.
Gracias a la intervencin inmediata de los rganos de se-
guridad ciudadana se pudo controlar la situacin con pocos
heridos y ninguna baja humana. El CICPC tambin se hizo
presente en el sitio a fin de realizar las investigaciones para
conocer la causa del suceso.
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2. Identifica en la lectura al menos 10 variables esta-
dsticas.
3. Clasifica las variables identificadas en cualitativas o
cuantitativas y justifcalas.
ACTIVIDAD 4.EL MUESTREO ENNUESTRO QUEHACER DIARIO
El muestreo constituye una herramienta primordial
para el estudio estadstico de diversas situaciones; es la
primera fase del mismo y de su correcta realizacin de-
penden los resultados del anlisis.
Esta actividad invita a realizar un muestreo estadsti-
co en nuestras comunidades, tomando en consideracin
para ello, lo siguiente:
1. Seleccionar una muestra de al menos 20 personas del
contexto.
2. Recolectar datos de 7 variables (datos personales) delas personas que hacen vida en la comunidad (ejem-
plo: edad, sexo, telfono, fecha de nacimiento, etc.).
3. Con los datos recolectados, reflexionar sobre lo si-
guiente:
Qu ventajas tienen los mismos en estudios es-
tadsticos futuros para los rganos de seguridad
ciudadana?
Cmo estos estudios impactan en la percepcin
de seguridad por parte de la ciudadana?
ACTIVIDAD FINAL DEL ENCUENTRO
Con el fin de sistematizar los saberes abordados a tra-
vs de las actividades planteadas en el encuentro didc-
tico, cerraremos con una actividad final donde se podr
valorar tu proceso de aprendizaje. En esta seccin, estn
una serie de planteamientos referidos a las nociones b-
sicas de estadstica, a los cuales se dar respuesta clara y
coherente. Para ello:
Responder todas las preguntas planteadas en el or-
den que se te presentan.
Socializar las reflexiones y comentarios con los demscompaeras y compaeros de ambiente en los en-
cuentros presenciales.
Sistematicemos la experiencia para establecer rela-
ciones entre los saberes abordados y nuestro contex-
to laboral.
1. Identificar: cules de las siguientes variables son
cualitativas y cules cuantitativas? Responda en los
espacios seleccionados justificando su respuesta:
Mujer y hombre.
Edades de los funcionarios y funcionarias en una
estacin policial.
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TRAYECTO II
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Colores de un grupo de automviles resguardados en
un depsito.
Nacionalidad de un grupo de personas.
Cantidad de armas asignadas a una polica.
Nmero de personas que conforman una determinada
direccin.
Tipos de drogas incautadas.
Color de los ojos de los detenidos en un procedimiento.
Prdidas materiales en un desastre.
Clasificacin de los privados de libertad.
2. Identificar: cules de las siguientes variables cuan-
titativas son continuas y cules de estas son discretas?
Justifica tu respuesta:
Nmero de personas en tu rea de servicio.
Salario de las y los oficiales policiales en Bolvares.
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TRAYECTO II
14 ESTADSTICADESCRIPTIVA
Edades de jvenes transgresores del informe estads-
tico mensual.
Velocidad de algn automvil al pasar un punto de
control.
Talla de zapato de tus compaeros de trabajo.
Cantidad de camiones de bombero que estn
asignados en una determinada zona.
Medidas de distancia en la planimetra de algn acci-dente de trnsito.
Nmero de evidencias que se observan en el sitio del
suceso.
Aos de servicio de los y las supervisores policiales.
Intensidad de un sismo.
Clave de correccin:
1.
1.1. Cualitativa. La variable sexo toma valores no numricos
(hombre o mujer) con lo cual la variable es cualitativa.
1.2. Cuantitativa. La variable edad toma valores numri-
cos (10, 11, 12, 13, 14) con lo cual la variable es
cuantitativa.
1.3. Cualitativa. La variable colores toma valores no nu-
mricos (rojo, azul, blanco, etc.) con lo cual la varia-ble es cualitativa.
1.4. Cualitativa. La variable nacionalidad toma valores no
numricos (venezolano, cubano, chino, etc.) con lo
cual la variable es cualitativa.
1.5. Cuantitativa. La variable cantidad toma valores nu-mricos (10, 20, 30, 40, 50) con lo cual la variablees cuantitativa.
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TRAYECTO II
16 ESTADSTICADESCRIPTIVA
ORIENTACIONES GENERALES PARAEL DESARROLLO DEL ENCUENTRO:
Estimados y estimadas estudiantes, en el encuen-
tro didctico Tablas de frecuencias e histogramas debes
aprender tcnicas y herramientas para el ordenamiento
de los datos estadsticos recogidos en un determinado
contexto social, la manera de agruparlos, las diversas dis-
posiciones de los datos en intervalos, la frecuencia con
las que esos datos se presentan y finalmente las diferen-
tes formas de representarlas grficamente. Se abordarn
los siguientes saberes: Recorrido de una variable, inter-valos, tipos de intervalos, tablas de datos estadsticos, ti-
pos de tablas, frecuencia, frecuencia absoluta, frecuencia
relativa, frecuencia absoluta acumulada, frecuencia rela-
tiva acumulada, histogramas y grficos circulares.
El uso adecuado de los datos, su ordenamiento y agru-
pacin de manera efectiva permite comunicar informar y
dar rdenes de manera precisa, mantiene una correcta
informacin hacia los supervisores, de manera oportuna,
activa y promueve la comunicacin asertiva, estimula la
participacin preventiva que involucre directamente alas comunidades. Este encuentro procura desarrollar en
cada funcionario y funcionaria estas habilidades, a travs
de los saberes mencionados.
Se presentan a continuacin, las actividades a desa-
rrollar, que debers desarrollar con el fin de sintetizar la
teora y la prctica, con miras a mejorar la funcin de los
rganos de seguridad ciudadana, dentro de las cuales
tenemos:
TABLAS DE FRECUENCIA E HISTOGRAMAS
ENCUENTRO DIDCTICO 2
SABERLas y los estudiantes construirn cuadros de datos y
grficos estadsticos a partir de la recoleccin de datos
estadsticos que les permitan representar sucesos
referidos a la seguridad ciudadana, a fin de tomar las
medidas pertinentes para su prevencin.
1. Recoleccin de muestras para construir una tabla de
datos. Este ejercicio permitir consolidar la tcnica
para obtener datos confiables.
2. Construccin de una tabla de frecuencia y un histogra-
ma. Organizan los datos en clases, es decir, en grupos
de valores que describan una caracterstica de los da-
tos. Para ello, utiliza la metodologa para construir clases
(frecuencia absoluta y frecuencia relativa) que se pro-pone en la lectura Tablas de frecuencia e histogramas
y su aplicacin en los rganos de seguridad ciudadana.
Para culminar el encuentro, hallars una actividad fi-
nal donde debers utilizar todo lo aprendido; consta de
ejercicios con distintos niveles de complejidad. Para con-
cluir encontraras una clave de respuestas que te permiti-
r evaluar tus avances.
ACTIVIDAD 1. CMO PRESENTAR DATOSESTADSTICOS
Realizar un estudio de al-
gn problema lleva a reco-
lectar un conjunto de datos
que representen a nuestra
poblacin. Agrupar los da-
tos en una tabla nos permi-
te acceder a los mismos con
mayor facilidad.
La presentacin de datos estadsticos constituye en susdiferentes modalidades uno de los aspectos de ms uso en
la estadstica descriptiva. A partir de all se puede visualizar
a travs de los diferentes medios escritos y televisivos de
comunicacin masiva la presentacin de los datos estads-
ticos sobre el comportamiento de las principales variables
econmicas y sociales, nacionales e internacionales.
1. Presentacin escrita: esta forma de presentacin de in-
formaciones se usa cuando una serie de datos inclu-
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ESTADSTICADESCRIPTIVA
TRAYECTO II
17
ye pocos valores, por lo cual resulta ms apropiada la
palabra escrita como forma de plasmar el comporta-
miento de los datos; mediante la forma escrita, se re-
salta la importancia de las informaciones principales.
2. Presentacin tabular: cuando los datos estadsticos sepresentan a travs de un conjunto de filas y de colum-
nas que responden a un ordenamiento lgico; es de
gran peso e importancia para el usuario ya que cons-
tituye la forma ms exacta de presentar las informa-
ciones.
Ejemplo:
3. Presentacin grfica: proporciona al lector o usuario
mayor rapidez en la comprensin de los datos, unagrfica es una expresin artstica usada para repre-
sentar un conjunto de datos.
1 2 2 3 5 6 6 7
7 7 10 13 13 14 16 16
20 21 21 21 25 25 27 27
28 29 30 31 32 32 33 36
Ejemplo:
Conociendo esto, realiza la siguiente actividad:
Toma una muestra de al menos 10 personas.
Recolecta datos de al menos 5 variables (datos perso-
nales) de personas que conozcas (edad, sexo, nmero
de hijos, etc.)
Con los datos recolectados elabora una tabla en la cual
se representen los mismos.
Despus de realizar la actividad anterior, responde:
1.Qu ventajas tiene la elaboracin de esta tabla de
datos?
ACTIVIDAD 2. LECTURA: TABLAS DEFRECUENCIA E HISTOGRAMAS
LEAMOS CON ATENCIN!
As como las grficas de barras, los histogramas se
usan para resaltar la diferencia entre las clases que se
han agrupado los datos. Por tanto, para construir cual-
quiera de los dos tipos de grficas, se necesita primero
agrupar los datos en una tabla la cual se conoce como
una tabla de frecuencia.
Es por eso, que invitamos a explorar la siguientelectura, para adentrarnos un poco ms y de forma de-
tallada en conceptualizaciones sobre estadstica.
La elaboracin de tablas representa una parte fun-
damental en el estudio de las estadsticas. El construir
una buena tabla de datos puede ser la diferencia entre
obtener un anlisis acertado de la poblacin que se
quiere estudiar o no.
Algunos conceptos necesarios para realizar estas
tablas son:
Recorrido de una variable:tambin conocido como
rango. Es la diferencia que existe entre la variable de ma-
yor valor y la de menor valor en la muestra, es decir:
Intervalos: es un subconjunto de los nmeros reales
comprendido entre dos puntos dados a y b. Los puntos
a y b son conocidos como extremos o lmites inferior y
superior, respectivamente.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,55
Categora 1 Categora 2 Categora 3 Categora 4
Serie 1
Serie2
Serie3
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TRAYECTO II
18 ESTADSTICADESCRIPTIVA
El tamao de un intervalo (a,b) se calcula de la si-
guiente forma:
Es sencillo elaborar cuadros estadsticos, sin embargo,
no es simplemente colocar los datos en una tabla; es ne-
cesario analizar los datos que se poseen para as realizar
una adecuada tabla que permita comprender de forma
rpida y correcta los datos.
No existe una nica forma de elaborar tablas. Nos po-
demos guiar por los siguientes tipos:
a. Tabla tipo I:cuando el tamao de la muestra y el re-
corrido de la variable son pequeos, por ejemplo el
nmero de nios de cinco (5) familias. Estas se agru-
paran as:
b. Tabla tipo II: cuando el tamao de la muestra esgrande y el recorrido de la variable es pequeo, por lo
que hay valores de la variable que se repiten.
Ejemplo: Las edades de adolescentes con problemas de
drogadiccin en un sector especfico.
Datos de las edades: 12, 15, 13, 16, 12, 13, 16, 17, 17,
12, 17, 15, 15, 14, 12, 17, 16, 17, 13, 15, 15, 16, 17, 17.
Tabla (a):
Intervalos abiertos: es un intervalo que no contiene
a los extremos, este se denota (a,b). Formalmente, los in-
tervalos abiertos se definen de la siguiente manera:
Grficamente el intervalo (a,b) se representa de la si-
guiente forma:
Intervalos cerrados: es un intervalo que contiene a
los extremos, este se denota [a,b]. Formalmente, los in-
tervalos cerrados se definen de la siguiente forma:
Grficamente el intervalo [a,b] se representa de la si-
guiente forma:
Intervalos semi-abiertos: es un intervalo que no
contiene uno de sus extremos, este se denota [a,b) si no
contiene el extremo b o (a,b] si no contiene el extremo a.
Formalmente, los intervalos semi-abiertos se definen de
la siguiente forma:
O tambin:
Grficamente los intervalos [a,b) y (a,b] se representan
de la siguiente forma:
Observa que un intervalo de la forma contienesolo al punto pero un intervalo de la forma , nocontiene ningn punto: lo ves?
, = { < < }
, = { < < }
, = { }
, = { < }
=
Familia Nmero de miembros menores deedad
Vsquez 0
Bermdez 1
Marcano 3
Tras 8
Celis 2
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ESTADSTICADESCRIPTIVA
TRAYECTO II
19
Edades N de jvenes
12 4
13 3
14 1
15 5
16 4
17 7
Total de datos: 24
Tabla tipo III: se utilizan cuando el tamao de la
muestra y el recorrido de la variable son grandes, por lo
que ser necesario agrupar en intervalos los valores de
la variable.
Ejemplo: En los ltimos cinco (5) aos se han ana-
lizado los datos correspondientes a las denuncias de
violencia basados en gnero de diferentes sectores de
todo el territorio nacional y estos son los resultados sin
ningn orden especfico:
11 700 16 500 13 300 10 000 11 900 10 450 14 750 12 220 9 500 10 420
18 000 13 400 12 100 15 500 9 300 8 750 14 420 13 480 5 330 9 870
7 450 14 850 12 140 11 320 17 450 10 020 7 550 8 320 9 450 9 980
8 790 12 340 14 450 12 330 9 350 5 750 6 340 7 350 5 340 6 420
7 850 6 435 8 450 13 400 10 500 8 750 5 320 12 340 11 150 8 770
Para crear una tabla de datos a partir de esta infor-
macin necesitamos conocer el tamao del intervalo o
amplitud, para ello nos fijamos un nmero de intervalos
conveniente que normalmente oscila entre los 10 y los
12 intervalos aunque este depende del tamao de la
muestra, tambin es posible calcularlo a partir de la si-
guiente ecuacin:
En donde n es el nmero de observaciones y c es el
nmero de intervalos, luego calculamos el tamao de la
siguiente forma:
Para el ejemplo tomaremos un nmero de intervalos
igual a 10 y calcularemos el tamao de los intervalos del
ejemplo anterior:
2!=
=
=
De esta forma conocemos que cada intervalo debe
tener un tamao 1 268, con lo cual nuestra tabla de da-
tos queda as:
=18
0005
320
10 = 1
268
Intervalo N de regiones
[5 072, 6 340) 4
[6 340, 7 608) 6
[7 608, 8 876) 7[8 876, 10 144) 8
[10 144, 11 412) 5
[11 412, 12 680) 8
[12 680, 13 948) 4
[13 948, 15 216) 4
[15216, 16484) 1
[16 484, 17 752) 2
[17 752, 19 020) 1
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TRAYECTO II
20 ESTADSTICADESCRIPTIVA
Algunos datos importantes para elaborar este cuadro
son:
Colocar pocos intervalos puede generar perdida de
informacin.
Cada intervalo debe estar cerrado a la izquierda yabierto a la derecha.
Frecuencia
Se conoce como frecuencia al nmero de veces que
se repite un determinado dato.
En estadstica se conocen cuatro tipos de frecuencia:
1. Frecuencia absoluta: es el nmero de veces que se
repite un determinado dato. La suma total de la fre-
cuencia absoluta debe ser igual al total de la muestra
estudiada (N). Esta se representa con las letras fi, enalgunos textos se representa con las letras n
i.
2. Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuen-
cia absoluta y el total de la muestra (N). Esta se repre-
senta con las letras hi, en algunos textos se represen-
ta con las letras fi. La frecuencia relativa es mayor o
igual a cero y menor o igual a 1. La suma total de las
frecuencias absolutas es igual a 1.
Al multiplicar la frecuencia relativa por 100 obtene-
mos el porcentaje del total de datos. Este se represen-
ta con las letras pi.
3. Frecuencia absoluta acumulada: es la suma de la
frecuencia absoluta de un determinado dato con to-dos los anteriores. Esta se representa con las letras F
i.
La ltima frecuencia absoluta debe ser igual al tama-
o de la muestra.
4. Frecuencia relativa acumulada: es el cociente en-
tre la frecuencia absoluta acumulada y el total de la
muestra. Esta se representa con las letras Hi.
Al multiplicar la frecuencia relativa acumulada por
100 obtenemos el porcentaje acumulado del total de la
muestra. Este se representa con las letras Pi.
Ejemplo: Tomemos los datos de la tabla (a) y veamos
las definiciones antes estudiadas.
AyudaSi te parece que la nomenclatura te confunde o sete olvida, te invitamos a revisar la simbologa de
toda la unidad curricular al final de este material.
Histograma
Primeramente se debe recordar algunas nociones
bsicas de lo que son los planos cartesianos. El pla-no cartesiano est formado por dos rectas numricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se
cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje
de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las
ordenadas o de las yes (y); el punto donde se cortan re-
cibe el nombre de origen.
El plano cartesiano sirve para graficar puntos, rec-
tas, funciones o figuras geomtricas de manera precisa.
Edades(xi) fi
hi
pi
Fi
Hi
Pi
12 4 0,17 17% 4 0,17 17%
13 3 0,13 13% 7 0,29 29%
14 1 0,04 4% 8 0,33 33%
15 5 0,2 20% 13 0,54 54%
16 4 0,17 17% 17 0,7 70%
17 7 0,29 29% 24 1 100%
Suma total 24 1 100%
En nuestro caso nos interesa graficar puntos p(x,y) en
el plano cartesiano, para ello debemos ubicarnos en elcentro del plano y trasladarnos a la derecha o izquierda
x veces, recordemos que a la izquierda estn los n-
meros negativos y a la derecha los positivos; luego nos
trasladamos hacia arriba o hacia abajo y veces, recor-
dando que hacia arriba estn los positivos y hacia abajo
los negativos. Grafiquemos los siguientes puntos:
A(3,10), B(4,9), C(5,6), D(6,8), E(7,0), F(8,7), G(9,4),
H(10,2)
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TRAYECTO II
21
Es una representacin grfica de una variable que nos
permite describir un conjunto de datos. Comnmente
en el histograma el eje de las x representa las variables,
mientras que el eje de las y representa las frecuencias.
Normalmente se usan para grandes volmenes de da-tos y que se encuentran agrupados en clases. Se pueden
usar tanto para variables continuas como discretas.
Ejemplo: Realicemos un histograma a partir del si-
guiente grfico:
En el grfico se puede apreciar datos como la moda,
que es el dato que ms se repite o que presenta mayor
frecuencia, en el grfico sera el dato 17 y se traduce
como que el mayor nmero de personas con problemas
de drogadiccin tienen 17 aos. Adems a simple vista
podemos observar cierta dispersin de los datos. Otras
formas de graficar son las siguientes:
ACTIVIDAD 3. INTERPRETANDO DATOSESTADSTICOS
Hemos avanzado hasta conocer que el histograma es
aquella representacin grfica de estadsticas de diferen-tes tipos. La utilidad del histograma tiene que ver con la
posibilidad de establecer de manera visual, ordenada y
fcilmente comprensible todos los datos numricos es-
tadsticos que pueden tornarse difciles de entender. Hay
muchos tipos de histogramas y cada uno se ajusta a dife-
rentes necesidades como tambin a diferentes tipos de
informacin.
Es entonces que este espacio intenta promover un
dilogo donde confluyan ideas y experiencias persona-
les de manera participativa y dinmica.
Para ello, partiendo de los datos estadsticos recolec-
tados, internalizar sobre cmo se interpretan y vinculan
con situaciones de nuestro quehacer laboral, a travs de
la siguiente pregunta generadora:
1. Qu informacin til proporciona el histograma
de un estudio relacionado a los rganos de seguridad
ciudadana?
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TRAYECTO II
22 ESTADSTICADESCRIPTIVA
ACTIVIDAD4. CONSTRUYENDO UNA TABLA DE FRECUENCIA Y SUHISTOGRAMA
Las tablas de frecuencia son elementos que nos ayudan a representar un gran conjunto de datos estadsticos de
manera sencilla, y nos permite realizar clculos de forma ms dinmica. Otra forma de representar dichos datos es
mediante los histogramas, herramienta que nos ayuda a visualizar los datos mediante el uso de barras. En este senti-
do, realicemos la siguiente actividad:
1. A partir de la lectura antes realizada, construye una tabla de frecuencia, utilizando datos estadsticos refe-
ridos a alguna de las siguientes situaciones: robo de vehculos por zona, incendios en una zona durante un
determinado perodo de tiempo, cantidad de emergencias con materiales peligrosos, incidentes con armas
blancas en un determinado penal, hurtos de pertenencias, entre otros. Esta tabla debe contener una muestra
de tamao 30 y los siguientes tipos de frecuencia: frecuencia relativa, absoluta, relativa acumulada y absoluta
acumulada.
2. Tomando como referencia la tabla antes elaborada, realiza su representacin grfica en forma de histograma.
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TRAYECTO II
23
ACTIVIDAD FINAL DEL ENCUENTRO
Con el fin de sistematizar los saberes abordados a
travs de las actividades planteadas en el encuentro
didctico, cerraremos con una actividad final donde se
podr valorar el proceso de aprendizaje. En esta sec-
cin, estn una serie de planteamientos referidos a ta-
blas de frecuencia e histogramas, a los cuales se dar
respuesta clara y coherente. Para ello:
Responder todas las preguntas planteadas en el or-
den que se te presentan.
Socializar tus reflexiones y comentarios con tus de-
ms compaeras y compaeros de ambiente en los
encuentros presenciales.
Sistematizar la experiencia para establecer relacio-
nes entre los saberes abordados y nuestro contexto
laboral.
1. Realiza una tabla de frecuencias que permita
analizar de mejor forma la informacin arrojada por
una encuesta que se realiz en la ciudad de Caracas.
Dicha encuesta est dirigida a conocer la cantidad de
personas que habitan en una misma casa. Los datos
arrojados por la encuesta fueron los siguientes:
5 3 6 8 7 9 4 4 6 2 3 6 7 4 8
6 8 4 7 3 3 7 5 6 8 9 10 8 7 9
8 5 6 4 3 5 4 7 2 3 2 4 7 9 10
3 5 7 8 3 2 6 7 5 3 4 6 7 3 4
Posteriormente elabora un histograma que resuma los datos recogidos.
Tabla de frecuencia:
Histograma:
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TRAYECTO II
24 ESTADSTICADESCRIPTIVA
Histograma:
Grfico circular:
2. Se te ha pedido ayuda en un estudio para determinar la frecuencia en la que se cometen delitos individuales o
grupales. Los datos de los ltimos 15 das en una determinada zona de Caracas se presentan en la siguiente tabla:
Tipo de delito Individual Grupal
ltimos15das
Hurtos a personas 9 3Homicidio 15 11
Robo a transporte pblico 1 9
Robo a microempresas 4 17
Apropiacin indebida 5 2
Violacin 13 6
Secuestro 1 7
Extorsin 9 4
Con base en estos datos, responde las siguientes
preguntas:
a. Cmo se delinque con mayor frecuencia: individual ocolectivamente? Qu dato estadstico nos lo indica?
b. Qu delito se comete mayormente y con qu fre-
cuencia? Qu dato estadstico nos lo indica?
c. Cul ser la cantidad estimada de delitos para dentro
de 4 aos?
d. Elabora un histograma con los datos presentados.
e. Elabora un grfico circular que describa los datos re-
cogidos.
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TRAYECTO II
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Clave de respuestas
1. La tabla de frecuencia que resume los datos es la siguiente:
N de personas f i
hi
pi
Fi
Hi
Pi
2 4 0,06666667 6,66666667 4 0,06666667 6,66666667
3 10 0,16666667 16,6666667 14 0,23333333 23,3333333
4 9 0,15 15 23 0,38333333 38,3333333
5 6 0,1 10 29 0,48333333 48,3333333
6 8 0,13333333 13,3333333 37 0,61666667 61,6666667
7 10 0,16666667 16,6666667 47 0,78333333 78,3333333
8 7 0,11666667 11,6666667 54 0,9 90
9 4 0,06666667 6,66666667 58 0,96666667 96,6666667
0 2 0,03333333 3,33333333 60 1 100
Recordemos que la frecuencia absoluta es el nmero
de veces que se repite un dato, la frecuencia relativa es
el cociente entre la absoluta y el tamao de la muestra N
y los pison los porcentajes (producto de las frecuencias
relativas con 100)
El histograma es el siguiente:
a. Individual el homicidio y grupal el robo a microem-
presas, el dato estadstico consultado es la frecuencia
relativa de los datos.
b. El delito que mayormente se comete es el homicidio,
con una frecuencia de 26; el dato estadstico consul-
tado es la suma de las frecuencias relativas de los ho-
micidios.
c. Conocemos que el nmero de delitos durante los 15
das estudiados es 116 (suma de las frecuencias), el
ao posee 12 meses, con lo cual por ao se comete-
ran un estimado de 116 x 24 = 2 784, luego por cua-
tro aos dara un total estimado de 11 136 delitos.
d.Histogram
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e.
Individual Grupal
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TRAYECTO II
27
ORIENTACIONES GENERALES PARAEL DESARROLLO DEL ENCUENTRO:
Estimados y estimadas estudiantes, al incursionar en
el estudio de fenmenos sociales se debe describir gru-
pos de observaciones y comportamiento de diferentes
variables. Esta descripcin coadyuva a la comprensin
de la dinmica social con relacin a la funcin como
funcionario y funcionaria de los rganos de seguridad
ciudadana en el ejercicio profesional. Este encuentropretende la construccin de saberes referentes a las me-
didas de tendencia central: media, mediana y moda y la
comparacin entre ellas, con el fin de evaluar situaciones
para decidir niveles de actuacin precisa y clara, reportar
a sus superiores cifras que reflejen resumidamente los ni-
veles de violencia, comportamientos delictivos, factores
crimingenos, entre otros.
Asimismo, el uso de medidas de tendencia central
nos permite describir en forma resumida la realidad de
los grupos medianos, unidades de trabajo e institucionesque estn bajo nuestra supervisin. Este conocimiento
preciso permite promover actividades para mejorar el
desempeo de las y los supervisados, coordinar acciones
con otras instituciones y la comunidad, promover y esti-
mular las buenas prcticas; en funcin de los resultados
que reflejen aquellas medidas.
Para construir slidamente las nociones sobre las me-
didas de tendencia central, sugerimos construir un mapa
ENCUENTRO DIDCTICO 3
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
SABERLas y los estudiantes desarrollarn habilidades para
la elaboracin de estudios estadsticos aplicando
las medidas de tendencia central en problemas
vinculados a la seguridad ciudadana con lo cual se
puedan planificar acciones que permitan su abordaje
y resolucin.
mental, donde se represente grficamente las nociones
generales sobre esas medidas.
Realiza la lectura Estudio de las medidas de tendencia
central. Esto permitir conocer y reforzar los aspectos
metodolgicos, tcnicos y tericos necesarios para com-
prender su utilidad, especialmente relacionndolo con
las funciones de las funcionarias y funcionarios de los r-
ganos de seguridad ciudadana.
Asimismo, dentro de las actividades se proponen al-gunos datos que se utilizarn para calcular media arit-
mtica, moda y mediana en datos agrupados y datos no
agrupados.
Para culminar el encuentro, est una actividad final
donde se utilizar utilizar todo lo aprendido, consta de
ejercicios con distintos niveles de complejidad. Por lti-
mo, se presentan las claves de respuestas que permitir
evaluar los avances.
ACTIVIDAD 1. LECTURA: MEDIDAS DETENDENCIA CENTRAL
LEAMOS CON ATENCIN!
Una vez que se han recogido los valores que toman
las variables de nuestro estudio (datos), procederemos
al anlisis descriptivo de los mismos. Para variables ca-
tegricas, como el sexo, se quiere conocer el nmero
de casos en cada una de las categoras, reflejando ha-
bitualmente el porcentaje que representan del total, y
expresndolo en una tabla de frecuencias.
Las medidas de centralizacin o medidas de tenden-
cia central vienen a responder a la primera pregunta.
Las medidas de tendencia central corresponden a
valores que generalmente se ubican en la parte cen-
tral de un conjunto de datos. Ellas permiten analizar los
datos en torno a un valor central). Entre stas estn la
media aritmtica, la moda y la mediana.
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TRAYECTO II
28 ESTADSTICADESCRIPTIVA
Media
La mediano es ms que la suma de todos los valores
de una variable dividida entre el nmero total de datos
de los que se dispone.
Ejemplo 3.1: se realiz una redada en la cual se detu-vieron 10 personas con las siguientes edades: 15, 16, 19,
20, 22, 24, 26, 33, 40, 41. A partir de estos datos calcule-
mos la media:
De esta forma tenemos que la media de edad es 23.
Ms formalmente, si denotamos por (X1, X2,..., Xn) los
n datos que tenemos recogidos de la variable en cues-
tin, el valor medio vendr dado por:
Para datos agrupados la media se calcula de la si-
guiente forma:
En donde fies la frecuencia absoluta, n es la suma de
las frecuencias absolutas, m el nmero de clases y Xiel
punto medio de cada clase.
=15+ 16+ 19+ 20+ 22+ 24+ 33+ 40+ 41
10 = 23
= =!
!
!!!
= =!!
!
!
Mediana
Otra medida de tendencia central que se utiliza habi-
tualmente es la mediana. Es la observacin equidistante
de los extremos.
La mediana del ejemplo anterior sera el valor que
deja a la mitad de los datos por encima de dicho valor y
a la otra mitad por debajo. Los datos deben estar orde-
nados. Para el clculo de la mediana tenemos que tomar
en consideracin si el nmero de datos es par o impar.
Si el nmero de datos es impar, la mediana es igual al
dato central de la misma, si el nmero de datos es par,
la mediana es igual a la media de las dos puntaciones
centrales.
En el ejemplo anterior tenemos 10 datos con lo cual la
mediana es igual a:
Si la media y la mediana son iguales, la distribucin
de la variable es simtrica. La media es muy sensible a la
variacin de las puntuaciones. Sin embargo, la mediana
es menos sensible a dichos cambios.
Si tenemos datos agrupados, la mediana se encuen-
tra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega
hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es
decir, tenemos que buscar el intervalo en donde se en-
cuentre el valor N/2 (semi-suma de las frecuencias abso-
lutas). La mediana se calcula de la siguiente forma:
Lies el lmite inferior de la clase donde se encuentra la
mediana, Fi-1
es la frecuencia acumulada anterior a la cla-
Mediana
=22+ 24
2 = 23
= ! +
2 !!!
!!
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TRAYECTO II
29
se mediana y aies la amplitud de la clase. Un dato impor-
tante es que la mediana es independiente de la amplitud
de los intervalos.
Veamos un ejemplo: Tomemos los datos del ejemplo
de la tabla tipo III, referida en el estudio didctico 2. Cal-culemos la mediana a partir de esa tabla.
Realicemos ahora una tabla de frecuencia:
Analizando el valor calculado (N/2) concluimos que el
intervalo de la mediana es [8 876, 10 144), con lo cual el Li
= 8 876, el Fi-1
=17 y fi= 8. Veamos la ecuacin:
Moda
Por ltimo, otra medida de tendencia central, no tanusual como las anteriores, es la moda, siendo ste el
valor de la variable que presenta una mayor frecuencia
dentro de un conjunto de datos. Puede haber ms de
una moda, si todos los datos tienen la misma frecuencia
decimos que no tenemos moda.
Con el ejemplo de la tabla tipo II la moda es igual a 17,
pues es el valor que posee mayor frecuencia.
2 =
50
2 = 25
Intervalo f i
Fi
[5 072, 6 340) 4 4
[6 340, 7 608) 6 10
[7 608, 8 876) 7 17[8 876, 10 144) 8 25
[10 144, 11 412) 5 30
[11 412, 12 680) 8 38
[12 680, 13 948) 4 42
[13 948, 15 216) 4 46
[15216, 16484) 1 47
[16 484, 17 752) 2 49
[17 752, 19 020) 1 50
= 8876+25 17
8 1268 = 10144
Para datos agrupados la moda se calcula con la si-
guiente ecuacin:
En donde Lies el lmite inferior de la clase modal (Cla-
se con mayor frecuencia), fi es la frecuencia de la clase
modal, fi-1
es la frecuencia de la clase anterior a la clase
modal, fi+1
es la frecuencia de la clase siguiente a la clase
modal y aies la amplitud de la clase.
Comparacin entre las medidas de tendenciacentral
La media es la medida ms comn de tendencia cen-
tral. Se presta para mayor manipulacin e interpretacinalgebraica. Desafortunadamente, la media se ve afecta-
da por valores extremos, o valores atpicos, y a diferencia
de la mediana, puede ser sesgada por las observaciones
que estn muy por encima o muy por debajo de sta.
La moda tambin es menos afectada por unas pocas
observaciones atpicas. Sin embargo si no hay moda o si
el conjunto de datos es bimodal, su uso puede ser con-
fuso.
Esto no implica que una medida sea necesariamente
mejor que otras. La medida que se seleccione dependede la naturaleza de los datos o de la forma como se utili-
cen los datos.
ACTIVIDAD 2. CONOCIENDO LASMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las estadsticas permiten observar el comporta-
miento de una variable, con lo cual se puede describir
y hasta predecir sus acciones posteriores. Unas de las
herramientas ms sencillas con las cuales se puede des-cribir estas variables son las medidas de tendencia cen-
tral. En este sentido, te invitamos a realizar la siguiente
actividad:
1. Elabora un mapa mental en donde describas las
medidas de tendencia central (media, moda y media-
na). Utiliza las palabras o imgenes que te vengan a la
mente, no es necesario leer ningn contenido previo.
= ! + ! !!!
! !!! + (! !!!)!
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TRAYECTO II
30 ESTADSTICADESCRIPTIVA
2. El mapa debe tener al menos 8 palabras o imgenes
relacionadas con cada una de las medidas de tenden-
cia central.
3. Posteriormente realiza una breve reflexin (mximo
5 lneas) acerca de lo que se entiende sobre las me-
didas de tendencia central, utilizando como base el
mapa elaborado.
ACTIVIDAD 3. CALCULANDO LASMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central son muy utilizadas
en distintos mbitos porque nos permite resumir el com-
portamiento de una variable, sin embargo, el resultado
del clculo de estas medidas requiere de una interpre-
tacin contextualizada en funcin de la temtica que se
aborda, para obtener una correcta descripcin. Por ello,
desarrollemos la siguiente actividad:
Realiza los siguientes problemas vinculados a tu
funcin:
1. Se desea estudiar las denuncias por robo de auto-
mviles en Venezuela, para el cual slo se conoce el
porcentaje de robo por da de la semana y el total de
robos semanal en promedio. Los porcentajes son los
siguientes: lunes 13%, martes 10%, mircoles 17%,
jueves 19%, viernes 18%, sbado 14%, domingo 9%. Eltotal de denuncias de robos semanales es de 110 por
semana. Utilizando estos datos realiza lo siguiente:
a. Elabora un cuadro con las frecuencias semanales utili-
zando los porcentajes dados.
b. Elabora un histograma con los porcentajes dados.
c. Realiza una grfica circular con los porcentajes diarios.
d. Calcula la media, mediana y moda de la muestra. In-
terpreta los resultados.
2. La direccin de proteccin civil y administracin de
desastres est interesada en conocer el promedio de
vctimas de sucesos adversos a travs del tiempo a fin
de estudiarlos y as conseguir abordarlos de la mejor
forma posible. Para ello tenemos la siguiente tabla en
la cual se nos presentan un conjunto de sucesos y sus
nmero de vctimas:
Realiza un estudio de las medidas de tendencia cen-
tral y realiza un grfico circular que represente los datos
de la tabla.
3. Se han presentado diversos accidentes con armas
de fuego de disparos involuntarios entre las y los ofi-
ciales de una la estacin policial A. Se desea conocer
las razones de estos incidentes por lo cual se te solicita
realizar un anlisis de los incidentes de este tipo
ocurridos en los ltimos 6 meses desde el punto de
vista estadstico. Los datos registrados se presentan a
continuacin:
Suceso adverso Nmero de vctimas
1982. Tacoa: explosin de gas en los depsitos de combustible. 62
1987. El Limn: desastre natural. 100
1993. Tormenta Brett. 184
1997. Terremoto de Cariaco, estado Sucre. 71
2004. Macuto y Margarita: intensas precipitaciones ocasionadas por el Huracn
Ivn.14
2005. Tragedia del Mocotes: vaguada y deslizamientos producidos
por intensas lluvias.70
2008: Fuertes lluvias en todo el territorio nacional. 14
2009. Derrame txico en Clarines, estado Anzotegui. 13
2012: Explosin en la refinera de Amuay, estado Falcn 55
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ESTADSTICADESCRIPTIVA
TRAYECTO II
31
Oficial N de disparos Hora del suceso Lugar del suceso Razn manifestada
Vsquez 1 7 am Estacin policial Descuido
Gmez 1 5pm Estacin policial Mal manejo
Daz 2 10am Estacin policial Descuido
Garca 1 8am Fuera de la estacin Desconocida
Mendoza 1 1 pm Fuera de la estacin Mal manejo
Quintero 1 8pm Estacin policial Mal manejo
Martnez 1 10am Estacin policial Mal manejo
Utilizando estos datos realiza lo siguiente:a. Elabora un grfico circular que represente los porcen-
tajes de frecuencia de cada una de las variables invo-lucradas, para ello en el caso de las horas, elabora unaclase en donde se pueda apreciar de mejor forma losresultados (Clases de 4 horas o clases por la maana,
tarde y noche, etc.)
b. Calcula la media, mediana y moda de las variables encaso de ser variables cuantitativas y slo la moda enlas variables cualitativas. Analiza los resultados.
4. La direccin nacional de bomberos est interesadoen conocer las medidas de tendencia central para elnmero de servicios realizados por estados. Los datosson presentados a continuacin, debes calcular lamedia, mediana y moda:
Estados de Venezuela Total de servicios atendidospor cuerpos de bomberos
Amazonas 3 000
Anzotegui 20 816
Apure 4 000
Aragua 10 533
Barinas 1 000Bolvar 7 666
Carabobo 6 500Cojedes 11 030
Distrito Capital 103 215
Falcn 14 963
Gurico 4 000
Lara
6 000
Mrida 18 320
Miranda 118 517
Monagas 10 877
Nueva Esparta 5 000
Portuguesa 3 924
Sucre 5 000
Tchira 5 500
Trujillo 11 699
Vargas 4 500
Yaracuy 7 000Zulia 175 932
5. Se desea conocer el comportamiento delictivo en
una determinada zona, para lo cual se posee un cierto
nmero de casos de diversos delitos. Se realiza el es-
tudio de estos casos dividindolos por horarios y por
el clima que se tena en ese momento, se seleccion
una muestra con la misma cantidad de das para cadaestacin climatolgica y se agruparon los datos en la
siguiente tabla:
Das lluviosos
Horas Nmero de delitos
12am-3am 243
3am-6am 102
6am-9am 105
9am-12pm 56
12pm-3pm 43
3pm-6pm 99
6pm-9pm 121
9pm-12am 208
Das soleados
Horas Nmero de delitos
12am-3am 2 156
3am-6am 1 245
6am-9am 1 134
9am-12pm 820
12pm-3pm 906
3pm-6pm 1 243
6pm-9pm 1 564
9pm-12am 2 322
Utilizando estos datos responda lo siguiente:
a. Cul es el promedio de delitos para los das lluviosos
y para los das soleados? Cmo se traducen estos
datos en la vida real?
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TRAYECTO II
32 ESTADSTICADESCRIPTIVA
Institucin educativa Trimestre N de privados de libertad
UNEFA
1ero 10
2do 8
3ro 9
4to 13
INCES
1ero 15
2do 18
3ro 19
4to 23
Misin Sucre
1ero 22
2do 203ro 18
4to 26
Estudios musicales
1ero 32
2do 35
3ro 37
4to 41
Sector Delitos contra la propiedad Delitos contra la persona
El Valle 34 543
Coche 54 372
El Hatillo 177 101
Catia 89 769
Altamira 132 53
San Agustn 39 438
Prados del este 172 45
Petare 42 655
Las Mercedes 145 23Cumbres de Curumo 122 18
El Guarataro 10 375
Propatria 13 402
b. Elabora un histograma que refleje los datos presenta-
dos en la tabla, y responde: Qu se puede apreciar en
el grafico? En qu intervalo se encuentra la moda de
cada variable? Calcule la moda.
6. Una compaa est interesada en el nmero de
privados de libertad que estudian en el centro peni-
tenciario de Carabobo. Los datos de este recinto son
los siguiente:
Realiza un estudio de las medidas de tendencia cen-
tral por instituciones y por trimestres, luego describe tus
conclusiones.
7. Se realiz un estudio estadstico utilizando los
datos delictivos que se presentaron en un perodo de
tiempo divididos por sectores en la ciudad capital. Los
datos son los siguientes:
Utilizando estos datos realiza lo siguiente:
a. Organiza los datos en dos grandes grupos de acuerdo
con el comportamiento delictivo que predomina en
cada sector y calcula e interpreta el promedio de cada
uno de ellos.
b. Realiza dos grficos circulares con los porcentajes
de delitos de los dos grandes grupos elaborados
en el primer tem, compara los mismos y refleja tus
conclusiones.
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ESTADSTICADESCRIPTIVA
TRAYECTO II
33
fuego). Se conoce que este tipo de robos se realizacuando la unidad lleva un alto nmero de personaspero no excesivo. Para realizar este anlisis se presen-tan los siguientes datos:
Los datos de la tabla corresponden a 7 camionetas y
al promedio de pasajeros que la abordan. Calcula el pro-
medio de la afluencia de pasajeros en cada horario para
posteriormente calcular una media general del mismo.
Con los promedios de cada horario elabora un grfico de
histograma e identifica la moda en el mismo, interpreta
estos resultados. En qu horario son ms propensas las
camionetas de ser abordadas por delincuentes armados?
ACTIVIDAD 4. INTERPRETANDO LAREALIDAD
Estimadas y estimados estudiantes, en la actividad
titulada Calculando la medida de tendencia central se
resolvieron los problemas estadsticos contextuali-
zados en el ejercicio de la funcin de los rganos de
seguridad ciudadana; en este apartado proponemos
determinar algunas medidas de tendencia central vin-
culadas a tus funciones en las comunidades en donde
prestas tus servicios como funcionario o funcionaria de
seguridad ciudadana. Para llevar a cabo esta actividad:
Realiza un estudio estadstico en donde recojas da-
tos de una muestra de al menos 15 datos, en los
cuales se estudien 3 variables tanto cualitativas
como cuantitativas (por ejemplo, dos cualitativas y
una cuantitativa).
Elabora una tabla de frecuencia y su representacin
grfica.
Calcula las medidas de tendencia central e inter-
preta los resultados.
ACTIVIDAD FINAL DEL ENCUENTRO
Con el fin de sistematizar los saberes abordados atravs de las actividades planteadas en el encuentro di-dctico, cerraremos con una actividad donde se podrvalorar el proceso de aprendizaje. En esta seccin estuna serie de planteamientos referidos a las medidas detendencia central, a los cuales se dar respuesta clara ycoherente. Para ello:
Responde todas las preguntas planteadas en el ordenque se te presentan.
Socializa tus reflexiones y comentarios con tus demscompaeras y compaeros de ambiente en los en-
cuentros presenciales.
Sistematicemos la experiencia para establecer rela-ciones entre los saberes abordados y nuestro contex-to laboral.
1. Se quiere estudiar la afluencia de pasajeros de unalnea de camionetas que labora en Caracas con elfin de conocer el momento en el cual se realiza ma-yor cantidad de robos a mano armada (con arma de
Horas A B C D E F G
5:00am a8:00am
155 122 189 143 100 121 117
8:00am a11:00am
206 203 188 127 145 180 192
11:00am a2:00pm
88 67 78 45 39 67 58
2:00pm a5:00pm
105 89 97 68 79 102 110
5:00pm a8:00pm
307 224 267 289 301 206 224
8:00pm a
12:00pm89 70 35 46 78 11 46
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TRAYECTO II
34 ESTADSTICADESCRIPTIVA
Histograma:
2. A continuacin se presentan los datos del nmero
de infracciones de trnsito registradas en un conocido
cruce, esto con la intencin de disminuir los acciden-
tes en el mismo, los datos se presentan durante los
doce meses del ao anterior:
Calcula las medidas de tendencia central (media,
moda si la hay y mediana) e indica cul representa mejor
los datos.
ENE FEB MAR ABR MAY JUN
321 412 326 375 398 306
JUL AGO SEPT OCT NOV DIC
299 2354 487 378 384 455
Claves de respuestas
1. El promedio es igual a la media, la cual se calcula de la
siguiente forma:
EL tamao de la muestra es 7. As los promedios son:
Entre 5 am y 8 am
Entre 8 am y 11 am
Entre 11 am y 2 pm
Entre 2 pm y 5 pm
Entre 5pm y 8 pm
Entre 8pm y 12 pm
Media general:
Histograma:
= =!
!
!!!
=1 + 122+ 189+ 143+ 100+ 121+ 117
7= 135,28
=206+ 203+ 188+ 127+ 14 + 180+ 192
7= 177,28
=88+ 67+ 78+ 4 + 39+ 67+ 8
7= 63,14
=10 + 89+ 97+ 68+ 79+ 102+ 110
7= 92,85
=307+ 224+ 267+ 289+ 301+ 206+ 226
7
= 260
=89+ 70+ 3 + 46+ 78+ 11+ 46
7= 53,57
=13 ,28 + 177,28+ 63,14+ 92,8 + 260+ 3, 7
6= 130,35
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ESTADSTICADESCRIPTIVA
TRAYECTO II
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No hay moda pues no existe dato que se repita.
El dato ms propenso es entre las 5pm y las 8pm como se puede ver en el grfico (es decir, tiene mayor frecuencia).
2. Calculemos la media:
No existe moda pues no existe dato que se repita.
Calculemos la mediana, para ello primero organicemos los datos de menor a mayor:
=
321+ 412+ 326+ 37 + 398+ 306+ 299+ 23 4+ 487+ 378+ 384+ 4
12= 541,25
La mediana describe mejor los datos pues la media se ve afectada por un dato atpico (2 354) y los datos no
tienen moda.
299 306 321 326 375 378 384 398 412 455 487 2354
:378+ 384
2= 381
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TRAYECTO II
36 ESTADSTICADESCRIPTIVA
ORIENTACIONES GENERALES PARAEL DESARROLLO DEL ENCUENTRO:
Estimados y estimadas estudiantes, el encuentro cua-
tro invita a conocer las medidas de dispersin y las me-
didas de posicin. Considerando que a la funcin de los
rganos de seguridad ciudadana estn asociados al co-
nocimiento sobre cmo se comporta una determinada
variable, es necesario estudiar cul podra ser su varia-
bilidad, en funcin de las posibles acciones que pudiera
asumir la y el funcionario en diferentes circunstancias.
Estas medidas de dispersin nos dan una idea del acerca-miento o alejamiento con respecto a una medida de ten-
dencia central. Este tipo de resultados, nos dan muestra
de cmo se comporta un hecho social; para nuestras fun-
ciones, estaran referidas a delitos, niveles de violencia,
situaciones de desastres naturales, incendios, conflictos
sociales, factores crimingenos, entre otros. Asimismo,
en este encuentro tendrs la oportunidad de conocer las
medidas de posicin. Estas permiten conocer otros pun-
tos caractersticos de la distribucin que no son los valo-
res centrales. El uso de las medidas de posicin precisanlos datos en un conjunto ms especfico, lo cual permite
describir con mayor precisin una realidad determinada.
Para desarrollar este encuentro realiza la lectura Las
medidas de dispersin y medidas de posicin, la cual te
permitir verificar que una vez agrupados los datos en
distribuciones de frecuencias, se calculan unos valores
que sintetizan la informacin. Estudiars dos grandes
secciones: Medidas posicin: situacin de los valores al-
rededor de los cuales fluctan los dems y las medidas
de dispersin: grado de desviacin de los datos respecto
de las medidas de tendencia central.
Seguidamente, presentamos una serie de ejercicios
de aplicacin para clculo de medidas de dispersin y
posicin.
Para culminar esta la actividad se deber utilizar todo
lo aprendido en los ejercicios que se presentan con dis-
tintos niveles de complejidad. Al final, estn las claves derespuestas que permitir evaluar los avances.
ACTIVIDAD 1. LECTURA: MEDIDAS DEDISPERSIN
En nuestro esfuerzo por describir un conjunto de n-
meros hemos visto que es de utilidad ubicar el centro
del conjunto de datos. Pero identificar una medida de
tendencia central rara vez es suficiente. Una descripcin
ms completa del conjunto de datos puede obtenerse si
se mide qu tan dispersos estn los datos alrededor de
dicho punto central. Esto es precisamente lo que hacen
las medidas de dispersin: indican cunto se desvan las
observaciones alrededor de su media.
Veamos los siguientes conjuntos:
Los tres tienen una media de cinco. Se debe por tan-
to concluir que los conjuntos de datos son similares? Cla-ro que no. Sin embargo, si se informa slo sus medias,
sin ver las observaciones, se puede concluir que hay si-
militud. Una imprecisin ms notoria de los conjuntos
de datos resultara si se compara el grado en el cual se
dispersaron las observaciones individuales en cada con-
junto de datos o se expandieron alrededor de la media
cinco. Las observaciones en el primer conjunto de datos
estn muy dispersas por encima y por debajo de la me-
Conjunto de datos A Conjunto de datos B Conjunto de datos C
0,5,10 4,5,6 5,5,5
MEDIDAS DE DISPERSIN Y POSICIN
ENCUENTRO DIDCTICO 4
SABERLas y los estudiantes desarrollarn habilidades para
la elaboracin de estudios estadsticos aplicando las
medidas de dispersin en problemas vinculados a la
seguridad ciudadana con lo cual se puedan planificar
acciones que permitan su abordaje y resolucin.
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ESTADSTICADESCRIPTIVA
TRAYECTO II
37
dia, mientras que aquellas del segundo grupo de datos
estn comparativamente cerca de sta. El tercer conjun-
to de datos no tiene dispersin, todas las observaciones
son iguales a la media. Sabiendo esto, sera poco proba-
ble asumir de manera errnea cualquier similitud en losconjuntos de datos simplemente con base en su media.
En este sentido, las medidas de dispersin son muy tiles
e informativas.
El rango
La medida de dispersin ms simple (y menos til) es
el rango o recorrido. El rango es simplemente la diferen-
cia entre la observacin ms alta y la ms baja. Su ventaja
es que es fcil de calcular. Su desventaja es que consi-
dera slo dos de los cientos de observaciones que hay
en un conjunto de datos. El resto de las observaciones
se ignoran. Si tenemos una muestra (x1,,x
n) ordenada
de menor a mayor, el rango viene dado por la siguiente
ecuacin:
Si los datos no estn ordenados, el rango viene dado por:
Veamos un ejemplo:Se realiz un estudio basado en los aos de servicio
que poseen los oficiales en determinada divisin y estos
son los resultados arrojados:
13 10 1 2 4 14 11 7 4 5
Se desea calcular el rango a partir de estos datos con
lo cual debemos primero ordenar los datos de menor a
mayor:
Una vez ordenados calculemos el rango:
Varianza
La varianza es una medida estadstica que mide la
dispersin de los valores respecto a un valor central (la
media). Es la media de los cuadrados de las diferencias
= ! !
= max!!!!!
! min!!!!!
!
= 14 1 = 13
entre cada valor de la variable y la media de la muestra o
poblacin. Comnmente se denota S2 2. Formalmente
la varianza para una poblacin X=(x1,,x
n) se calcula de
la siguiente forma:
Esta varianza es utilizada cuando se posee los datos
de una poblacin.
Ejemplo: Tomando los datos del ejemplo anterior, cal-
culemos la varianza. Primero calculemos la media:
Una vez calculamos la media, podemos hallar la varianza:
En algunos casos se suele trabajar con la varianza cen-
trada, que se utiliza para cuando se poseen muestras de
la poblacin. Esta viene dada por la siguiente expresin:
La varianza puede ser en algunas ocasiones difcil de
interpretar: por ejemplo en el caso antes estudiado qu
significa tener una varianza tan grande en comparacin
con los datos. Para evitar este problema definimos otra
medida de dispersin: la desviacin tpicao desviacin
estndar. Esta se halla con la raz cuadrada positiva de la
varianza. Comnmente se representa con las letras S .
Formalmente esta se calcula de la siguiente forma:
Ejemplo: Calculemos la desviacin tpica para la po-
blacin anterior:
!
!=
(!
)!!!!!
=1+ 2+ 4+ 4+ 5+ 7+ 10+ 11+ 13+ 14
10 = 7,1
!
!=
1 7,1 !+ 2 7,1
!+ 4 7,1
!+ 4 7,1
!+ 5 7,1
!
10
+
7 7,1 ! + 10 7,1 ! + 11 7,1 ! + 13 7,1 ! + (14 7,1)!
10 = 19,29
!!= (
!
)
!!
!!!
1
= !
!
= 19.29 = 4.39
1 2 4 4 5 7 10 11 13 14
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TRAYECTO II
38 ESTADSTICADESCRIPTIVA
Covarianza
La covarianza entre dos conjuntos de datos es un re-
sumen estadstico que permite conocer si las variables
estn relacionadas entre s. Si tenemos dos grupos de
variables X e Y, la covarianza viene dada por la siguienteexpresin:
Interpretacin de la covarianza
Si la covarianza es positiva, hay una dependencia di-
recta o positiva entre las variables; es decir, a grandes
valores de X le corresponden grandes valores de Y.
Si la covarianza es negativa, hay una dependencia in-versa o negativa entre las variables; es decir, a gran-
des valores de X le corresponden pequeos valores
de Y.
Si la covarianza es 0, decimos que no hay relacin li-
neal entre las variables.
Medidas de posicin
Como extensin de la idea de mediana (que divide
los datos en dos partes iguales) podramos pensar en
aquellos valores que dividen a los datos en cuatro par-tes iguales aproximadamente, representados por Q
1, Q
2y
Q3, los cuales se llaman primero, segundo y tercer cuartil,
respectivamente, claramente Q2es la mediana.
Si denotamos por Q1= x
0.25, Q
2= x
0.50, Q
3= x
0.75la no-
tacin nos dice el significado de cada uno de ellos. As,
x0,25
es un valor tal que aproximadamente el 25% de las
observaciones estn a su izquierda, similarmente para
los otros casos.
Anlogamente, los valores que dividen los datos en
diez partes iguales se llaman deciles:
En algunas aplicaciones, especialmente cuando hay
una gran cantidad de datos, es preferible usar percenti-
les (divisin de datos en cien partes iguales). El percentil
Pp o percentil psimo es el centil de p% y representa
un nmero tomado entre las observaciones, ordenadas
de menor a mayor tal que p% de la muestra est a la iz-
!" =! (! )
!
!!!
! = !,!" ,! = !,!" , ,! = !,!"
quierda y el (100 p)% est a la derecha. Para hallar Pp
procedemos de manera anloga al caso de la mediana.
En primer lugar buscamos la clase donde se encuen-
tra con p= 1,.., 99, en la tabla de las frecuencias acumula-
das. Luego aplicamos la siguiente ecuacin:
En donde Lies el lmite inferior de la clase donde
se encuentra el percentil, N es la suma de las frecuencias
absolutas, Fi-1
es la frecuencia absoluta acumulada ante-
rior a la clase media y aies la amplitud de la clase.
Ejemplo: La Universidad Nacional Experimental de la
Seguridad realiz una evaluacin para determinar el gra-
do de avance de sus estudiantes en una escala del 1 al100, arrojando la siguiente tabla de frecuencia:
Clases Frecuencia (f i) Frecuencia absoluta (F
i)
[0,10) 189 189
[10,20) 213 402
[20,30) 335 737
[30,40) 315 1 052
[40,50) 343 1 395
[50,60) 460 1 855
[60,70) 585 2 440
[70,80) 351 2 791
[80,90) 274 3 065
[90,100) 203 3 268
Se va a realizar una premiacin a las y los estudian-
tes por mrito, a partir de los resultados de la evaluacin,
slo se tomar en cuenta 20% de la poblacin. Para ello
calculemos el percentil 80-simo ya que a la izquierda deste se refleja 80% de los datos y a su derecha 20% de
ellos.
Primeramente calculamos la ubicacin del percentil,
para ello resolvamos la siguiente ecuacin:
! = ! +
100 !!!
!!
100 =
803
268
100 = 2614,4
7/25/2019 Md Estadistica Descriptiva
39/44
ESTADSTICADESCRIPTIVA
TRAYECTO II
39
Con esta informacin conocemos que el percentil se
encuentra en la clase [70,80), el Lies 70, el F
i-1es igual a 2
440, el fies igual a 351 y a
ivale 10. Una vez hallados los
datos, calculemos el percentil:
De esta forma sabemos que los y las estudiantes
con calificacin por encima de 74 968 son los candi-
datos a recibir la premiacin.
Simbologa
La simbologa utilizada en este programa es la siguiente:
Smbolo Descripcin
Pertenece
Nmeros reales
x,y z Variables
a,b c Constantes
max Mximo valor de un conjunto
min Mnimo valor de un conjunto
Sumatoria
: Tal que
< Menor que
> Mayor que
Menor o igual que
Mayor o igual que
Media
Li
Lmite inferior de un intervalo
fi
Frecuencia absoluta
Fi
Frecuencia absoluta acumulada
hi
Frecuencia relativa
Hi
Frecuencia relativa absoluta
pi
Porcentaje de los datos
Pi
Porcentaje acumulado de los datos
ai
Amplitud de la clase o tamao del
intervalo
Varianza
S Desviacin tpica
ACTIVIDAD 2. APLICANDO LASESTADSTICAS
Te invitamos a resolver los siguientes problemas en
los cuales debers utilizar todos los saberes abordados
en estos cuatro encuentros. Recuerda que puedes revisar
las lecturas previas si tienes alguna duda. Los problemas
son los siguientes:
Con el siguiente cuadro de datos correspondientes al
nmero de personas con problemas de drogadiccin
a partir de la edad en una zona del pas, completa losrecuadros con la respectiva informacin,
Posteriormente elabora un grfico de histograma e
interpreta el resultado obtenido. Realiza un grfico
circular que contenga los porcentajes de cada inter-
valo de edades. Calcula las medidas de tendencia
central y la desviacin tpica de la muestra y elabora
un resumen de los resultados encontrados. Calcula el
percentil 60 e interprtalo.
Se desea conocer el patrn de comportamiento de
los violadores (en caso de existir algn patrn). Para
ello se realiza un estudio de 10 personas v