Facultad de Ciencias Económicas y Jurídicas - Contador Público nacional 131 Estadística - Curso 2011 UNIDAD 9 ESTADISTICA INFERENCIAL INTRODUCCION A LA TEORIA DEL MUESTREO ESTIMACIONES Y PRUEBAS DE HIPOTESIS (1) A. Temas a cubrir • Muestreo: Revisión del concepto • Muestreo Simple al Azar o Irrestricto • Números Aleatorios. Extracción de un muestra. El marco de Muestreo • Estimadores por el método Simple al Azar: Estimadores Puntuales: Media Aritmética; Porcentaje; Varianza y Totales • El Teorema Central del Límite • Estimadores por Intervalo de Confianza. Error de los estimadores. • Contrastación de Hipótesis B. Bibliografía sugerida • “DISTRIBUCION EN EL MUESTREO; SHAO. Apunte n° 6. CUADERNILLO DE APUNTES Nº 3 – 2010. • “ELEMENTOS DE MUESTREO - MUESTREO IRRESTRICTO ALEATORIO; SCHEAFFER, MENDENHALL, OT”, de Scheaffer, Mendenhall y Ott., G.E. Iberoamérica; 1987. Apunte n° 7. CUADERNILLO DE APUNTES Nº 3 – 2010. • “PRUEBAS DE SIGNIFICACION; STEVENSON. Apunte n° 8. CUADERNILLO DE APUNTES Nº 3 – 2010. • Resto de bibliografía indicada en Unidad 1. C. Actividad áulica principal Actividad 1. Muestreo. Hacia una estimación puntual. Muestreo Simple al Azar. Estimadores puntuales básicos. Recordemos como extraer un muestra aleatoria por el Método Simple al Azar (ó Irrestricto) 1º) Primero: Contemos con un marco adecuado de muestreo. 2º) Segundo: Numeremos la Población. 3º) Tercero: Contemos con un instrumento adecuado de selección. 4º) Cuarto: elijamos uno a uno los elementos de la muestra. /
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Facultad de Ciencias Económicas y Jurídicas - Contador Público nacional 131 Estadística - Curso 2011
UNIDAD 9
ESTADISTICA INFERENCIAL INTRODUCCION A LA TEORIA DEL MUESTREO ESTIMACIONES Y PRUEBAS DE HIPOTESIS (1)
A. Temas a cubrir
• Muestreo: Revisión del concepto • Muestreo Simple al Azar o Irrestricto • Números Aleatorios. Extracción de un muestra. El marco de Muestreo • Estimadores por el método Simple al Azar: Estimadores Puntuales: Media Aritmética;
Porcentaje; Varianza y Totales • El Teorema Central del Límite • Estimadores por Intervalo de Confianza. Error de los estimadores. • Contrastación de Hipótesis
B. Bibliografía sugerida
• “DISTRIBUCION EN EL MUESTREO; SHAO. Apunte n° 6. CUADERNILLO DE APUNTES Nº 3 – 2010.
• “ELEMENTOS DE MUESTREO - MUESTREO IRRESTRICTO ALEATORIO; SCHEAFFER, MENDENHALL, OT”, de Scheaffer, Mendenhall y Ott., G.E. Iberoamérica; 1987. Apunte n° 7. CUADERNILLO DE APUNTES Nº 3 – 2010.
• “PRUEBAS DE SIGNIFICACION; STEVENSON. Apunte n° 8. CUADERNILLO DE APUNTES Nº 3 – 2010.
• Resto de bibliografía indicada en Unidad 1.
C. Actividad áulica principal
Actividad 1. Muestreo. Hacia una estimación puntual. Muestreo Simple al Azar. Estimadores puntuales básicos. Recordemos como extraer un muestra aleatoria por el Método Simple al Azar (ó Irrestricto) 1º) Primero: Contemos con un marco adecuado de muestreo. 2º) Segundo: Numeremos la Población. 3º) Tercero: Contemos con un instrumento adecuado de selección. 4º) Cuarto: elijamos uno a uno los elementos de la muestra. /
Facultad de Ciencias Económicas y Jurídicas - Contador Público nacional 132 Estadística - Curso 2011 En esta página se presenta el marco de encuesta de un nuevo barrio de un conglomerado urbano, con una variada constitución de viviendas por manzana (xi). Las manzanas están numeradas y algunas de ellas tienen un *, que indica que la misma cuenta con un cajero automático (yi). En página siguiente aparece una tabla de números aleatorios, que nos permitirá reemplazar el “bolillero” o “cajita con papeles numerados”. La misma presenta números pre-obtenidos aleatoriamente.
Marco de encuesta de un nuevo barrio de un conglomerado urbano, con una variada constitución de viviendas por manzana (xi). Las manzanas están numeradas y algunas de
ellas tienen un * , que indica que la misma cuenta con un cajero automático (yi).
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Tabla de “números aleatorios”, que nos permitirá reemplazar el “bolillero” o “cajita con
papeles numerados”, para extraer una muestra al azar. La misma presenta números obtenidos aleatoriamente.
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Actividad 1. Por grupo: Saquen una muestra de 10 elementos, eligiéndolos a partir de la tabla
de números aleatorios. Sea a partir de.......º fila, .......º columna a elección, dos primeros dígitos, y continuando hacia ......…; de ser necesario continúe por la ......º fila, ......º columna , dos primeros dígitos, y también continuando ….
2. Ahora, investiguen cuantas viviendas tienen las manzanas por Uds. seleccionadas.
3. a. Estimen la Media Aritmética (puntualmente) (Promedio de Viviendas por
Manzana). b. Estimen la varianza (por la fórmula de trabajo).
c. Registremos los resultados d. Analicemos los resultados Después de analizar las páginas siguientes, referidas al Teorema Central del Límite: e. Estimen el error de estimación de la Media f. Estimen la Media Aritmética (por intervalo de confianza, al 95 %) – y nuevamente:
g. Registremos los resultados h. Analicemos los resultados
Grupo Media Aritmética
Varianza Error de la media
Intervalo Conf. al 95%
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Actividad 2. El Teorema Central del Límite.
Mostramos a continuación la distribución del estadístico “media aritmética
muestral”, aplicado a distinto tipo de poblaciones. Cada una de las distribuciones muestrales ilustradas se ha obtenido con el
uso de la computadora para seleccionar 500 diferentes muestras a partir de sus respectivas distribuciones continuas diferentes respondiendo a los siguientes cuatro modelos: Normal; Uniforme; en forma de U y Poissoniana
(El primer gráfico en cada columna corresponde a la variable original)
Normal Uniforme
Vemos que a medida que el tamaño de muestra aumenta la distribución del estimador tiende a una distribución Normal, no importa cual ha sido el modelo original de la variable, ni siquiera en el caso del anterior extremo modelo Uniforme o del a continuación modelo en forma de U.
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U ó V Poissoniano
El Teorema Central del Limite establece que, independiente de la
distribución de la variable original, la distribución de la media muestral es Normal, si el tamaño de muestra es suficiente grande (considerándose mayor o igual a 30), con media igual a la media de la variable y varianza n veces mas chica.
µ (media muestral) = µ
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δ2 (media muestral) = δ2/n Retomando: Es decir, vamos a establecer ya no un ESTIMADOR PUNTUAL de la Media
Aritmética, sino un ESTIMADOR POR INTERVALO DE CONFIANZA. El Teorema Central del Límite me provee el valor estimado del ERROR DE ESTIMACION DE LA MEDIA: El Desvío Standard dividido entre la raíz cuadrada del tamaño de muestra.
Con la mejor estimación de la media y de su error de estimación,
podemos, por medio de la Distribución Normal, efectuar una ESTIMACION CONFIDENCIAL. Sea a un 95 % de confianza o un 5 % de riesgo.
Interpretemos Sea ahora a un 99 % de confianza o un 1 % de riesgo. Interpretemos
Actividad 3. Muestreo. Acerca de los Estimadores Por Intervalos.
Pero debemos reflexionar acerca de: “Teóricamente, en realidad, lo que tendremos serán, tras muchas muestras de n elementos una cantidad de intervalos como se ve en la figura a continuación”:
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Entonces esperamos que de todos los intervalos calculados
β % contenga a la verdadera media poblacional
α % no contenga a la verdadera media poblacional
¡Pero por supuesto, lo que haremos lógicamente es tener solo una muestra y a
partir de allí un solo intervalo, pero el concepto del Teorema Central del Límite, nos permitirá
hacer la expresión para un solo intervalo! (De la manera que lo hemos realizado).
Actividad 4. Conceptualización final de la “estimación confidencial” de
un Parámetro desconocido a partir de una muestra aleatoria.
1. Debemos trabajar con una muestra aleatoria o probabilística. Podemos recordar que ésta es la que: 1º) debe permitir que todos los integrantes de la población estén representados y 2º) que exista un mecanismo de elección de los elementos que garantice lo indicado en 1º). En consecuencia, solo así, habrá la posibilidad de estimar el valor del error del estimador (o estadístico)
2. Se estimará (por medio de un estadístico) el Parámetro a estudiar (por ejemplo una Media Aritmética)
3. Se estimará el valor del error del estimador. Este estará en función de: 1º) el tamaño de la muestra; 2º) la variabilidad de los datos; 3º) el método de muestreo elegido (simple, estratificado…).
4. Entonces se procederá a establecer una expresión como la siguiente:
Pr { a1 ≤ µ ≤ a2 } = β % Donde:
1º) a1 y a2 son valores mínimos y máximos de un intervalo, en el cual esperamos
se encuentre nuestro verdadero Parámetro.
2º) µ es nuestro Parámetro a estimar (en este caso una Media Aritmética).
3º) β % es el porcentaje de confianza con el cual hacemos nuestra estimación
(digamos 68%, 95%, 99%).
Teniendo en cuenta lo indicado en los puntos 1. a 4., la expresión quedaría redactada de la siguiente manera:
_ _ _ _ Pr { x - z x ŝ(x) ≤ µ ≤ x + z x ŝ (x) } = β % Donde:
_ 1º) x es la mejor estimación del parámetro µ
_ 2º) ŝ(x) es la mejor estimación del “error de estimación” (debido a que estamos
trabajando con una muestra. Está en función de lo indicado en el punto 3.
3º) z es un valor que surge de la Distribución Normal y que está relacionado con
β% (y que toma valores aproximados como: 1 para un 68%; 2 para 95%; 3 para 99%…,)
Pero aún subsistirá un riesgo de que nos equivoquemos (y que nuestro parámetro no esté incluido en dicho intervalo): α % ( 1 - β %: 34%; 5%; 1% - respectivamente )
Podemos recordar, de acuerdo a los resultados de lo realizado en la actividad
3, las siguientes reflexiones: /
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a) Tuvimos varias muestras diferentes. Cada una con una media diferente y una varianza diferente
•••• hubo valores de “Media Aritmética” altos, intermedios y bajos;
•••• lo mismo podemos decir de las varianzas;
b) …….. c) ¿pudimos comprobar con los intervalos construidos, lo graficado y analizado
previamente?
d) ¿Qué piensan Uds. que sucedería si aumentamos el grado de confianza, con
el que estamos trabajando ó lo que es lo mismo, disminuimos, el riesgo? Para ello, antes de completar este análisis recordemos con otro/s ejercicio/s la
construcción de Estimadores Confidenciales.
Ejercicio 1: Muestra grande y varianza conocida Supongamos que un determinado grupo socioeconómico, tiene un
determinado monto en gasto de vestimenta por familia y de una muestra simple al azar, de 60 elementos se obtiene un gasto medio de $ 280. La varianza es conocida, por estudios anteriores, por alguna valorización de expertos, … e igual a 2.025 (o el desvío estandard conocido de 45), podríamos estimar que nuestro verdadero y desconocido parámetro poblacional con un 95% de confianza estará comprendido entre los siguientes valores: _ _ _ _ Pr { x - z δ(x) ≤ µ ≤ x + z δ (x) } = β % Pr { 280 - 1,96 x 45/√60 ≤ µ ≤ 280 + 1,96 x 45/√60 } = 95 % Pr { 280 - 1,96 x 5,8 ≤ µ ≤ 280 + 1,96 x 5,80 } = 95 %
Pr { 268,63 ≤ µ ≤ 291,37 } = 95 %
Ejercicio 2: Muestra grande y varianza desconocida Es lógico que si no conocemos la media poblacional, tampoco
conocemos la varianza poblacional. Si extraemos entonces, una muestra aleatoria o probabilística, de 60
elementos y de ellos se obtiene que la media aritmética muestral (estimación) es igual a 280 y un desvío (también estimación) de 40, podríamos estimar que nuestro verdadero y desconocido parámetro poblacional con un 95% de confianza estará comprendido entre los siguientes valores: _ _ _ _ Pr { x - z ŝ(x) ≤ µ ≤ x + z ŝ (x) } = β % Pr { 280 - 1,96 x 40/√60 ≤ µ ≤ 280 + 1,96 x 40/√60 } = 95 % Pr { 280 - 1,96 x 5,16 ≤ µ ≤ 280 + 1,96 x 5,16 } = 95 %
Pr { 269,88 ≤ µ ≤ 290,12 } = 95 % Pero podemos querer nuestra estimación con una confianza del 99 %
Pr { 280 - 2,58 x 5,16 ≤ µ ≤ 280 + 2,58 x 5,16 } = 99 %
Pr { 266,7 ≤ µ ≤ 293,3 } = 99 % Retomando el concepto empezado a analizar anteriormente, intentemos
continuar con el pensamiento de que sucede si se aumenta el grado de confianza, de 95 a 99%: …………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………….
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Bien pero ello nos lleva a que aumenta el intervalo, por lo tanto aumenta el
margen de error (o disminuye la precisión), Hagamos un alto en este momento y analicemos los nuevos conceptos
introducidos: � Intervalo de confianza (podemos agregarle “bilateral”) � Límites de confianza inferior y superior � Coeficiente de confianza (β % ó (1 – α) %) � Precisión (= margen de error) la mitad del intervalo confidencial
Es decir estos conceptos están íntimamente relacionados. Es muy interesarlo tenerlos en cuenta:
n ; Intervalo = 2M (M = Margen de Error) ; β ; δ • Aumento β; Se mantiene n y δ ���� aumenta 2M • Si la varianza es mayor ; Se mantiene β y n ���� aumenta 2M
(Recordar la varianza es mayor no menor; no es que la aumentamos o disminuimos)
• Aumento n; Se mantiene β y δ ���� disminuye 2M
SOLO SI AUMENTAMOS n mejoramos nuestra estimación. (Por el momento) Por lo tanto si el tamaño de muestra hubiera sido de 120 (en lugar de 60, y los
resultados hubieran sido los establecidos anteriormente), nuestras estimaciones serían:
con una confianza del 95 %
Pr { 280 - 1,96 x 40/√120 ≤ µ ≤ 280 + 1,96 x 40/√120 } = 95 % Pr { 280 - 1,96 x 3,65 ≤ µ ≤ 280 + 1,96 x 3,65 } = 95 %
Actividad 5. Otras estimaciones Vamos a tomar alguna de las muestras de 30 elementos, elegidas a partir de la tabla de números aleatorios en la Actividad 1 y con ella trabajaremos otros estimadores, además de la Media Aritmética. 1. Volvamos a estimar la Media Aritmética (Promedio de Viviendas por Manzana).
Recordemos las fórmulas para el Parámetro y para el Estimador.
2. Estimemos el Total Poblacional – de variable (a través de la Media Aritmética) (Total de
Viviendas del Barrio). Analicemos las fórmulas para el Parámetro, para el Estimador y para el error de
estimación.
3. Estimemos el Porcentaje de Manzanas con Cajero Automático. Recordemos las fórmulas para el Parámetro, para el Estimador y para el error de
estimación. � Xi toma valores 1 ó 0
4. Estimemos el Total de manzanas con cajero automático – total de frecuencias (a través
del Porcentaje).
Analicemos las fórmulas para el Parámetro, para el Estimador y para el error de estimación. � Xi toma valores 1 ó 0
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Actividad 6. Conceptualización preliminar de “Pruebas de Hipótesis”.
La otra posibilidad que nos permite el muestreo es definir si una hipótesis (ó supuesto) que nos planteamos acerca de un Parámetro de una Población, es cierto o no, con cierto grado de confianza y por supuesto, también en consecuencia, de riesgo.
Supongamos que en el ejemplo anteriormente trabajado de las viviendas por manzanas:
1. Hubiéramos tenido como parámetro anterior (conocido), que sería nuestra
hipótesis (denominada “Hipótesis nula"), que la verdadera media poblacional de la zona era de ……….. (viviendas por manzanas).
2. Luego ocurrieron cambios: aparición de nuevas manzanas, nuevas
construcciones, edificaciones en manzanas existentes, demoliciones, etc. El resultado quedó expresado en el plano con el que Uds. trabajaron. La Hipótesis postula que la situación de las viviendas medias, a pesar de los cambios no ha variado: µ = ………. De no ser así la Municipalidad desearía construir espacios verdes, y comodidades para un Salón de usos múltiples.
3. ¿Cuáles de las estimaciones por Uds. efectuadas le permite aceptar la hipótesis como cierta? ¿Por qué? Analicemos todo lo que consideremos necesario.
4. Supongamos, entonces, que de la decisión de ……………………… la hipótesis, la
Municipalidad, decidiera impulsar un proyecto de construir espacios verdes, y comodidades para un Salón de usos Múltiples, para uso de una mayor cantidad de habitantes.
Entonces, antes de haberse tomado la decisión, podrían ocurrir 4 situaciones:
a) Dos decisiones correctas: 1. que aceptáramos la hipótesis y esta fuera cierta, ocurre cuando 2. que rechazáramos la hipótesis y esta fuera falsa, ocurre cuando
y, b) Dos decisiones incorrectas: 3. que aceptáramos la hipótesis y esta fuera falsa, ocurre cuando
y la consecuencia sería
4. que rechazáramos la hipótesis y esta fuera cierta, ocurre cuando
y la consecuencia sería
Por supuesto, de las situaciones b, se desprende que lógicamente, habrá dos riesgos posibles, acerca de los cuales consideraremos de cuál será peor la consecuencia de incurrir en él. De dichas consideraciones, serán las decisiones que tomemos en cuanto a tamaño de muestra, método de muestreo, etc.
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Cuadro Resumen para: Decisiones correctas y errores en Pruebas de Hipótesis
