Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ

Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ

Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ

Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Ι Σ Ι Α Κ

0

: ΔΠΜΣ Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων

Homework 1

5/16/2011

ΣΤΥΛΙΑΝΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΣΑΜ: 299

ΑΣΚΗΣΗ 1: ENVIRONMENTAL PROTECTION

Ο στόχος της Skillings είναι να μεγιστοποιήσει τα κέρδη. Το προϊόν παράγει κέρδος

$2,10=5,7-(1,5+1,6+0,5) ανά λίβρα. Την προσεχή περίοδο παραγωγής, μόνο 5000

λίβρες από την πρώτη ύλη Α και 7000 λίβρες από την πρώτη ύλη Β θα είναι

διαθέσιμες.

Ας είναι Χ1 = λίβρες πρωτογενούς προϊόντος

Χ2 = λίβρες δευτερογενούς προϊόντος Κ

Χ3 = λίβρες δευτερογενούς προϊόντος Μ

Χ4 = λίβρες υγρών αποβλήτων που διατίθενται για επεξεργασία

Τα κέρδη καθορίζονται από το ύψος της παραγωγής πρωτογενών και δευτερογενών

προϊόντων και την ποσότητα των επεξεργασμένων υγρών αποβλήτων. Ως εκ

τούτου:

ΜΑΧΙΜΙΖΕ 2.10Χ1 - 0.10Χ2 + 0.15Χ3 – 0.25Χ4

SUBJECT TO

(1) X1 - 0.5X2 - 0.5X3 - X4 = 0

(2) X1 + 0.5X2 <= 5000

(3) 2X1 + 0.5X3 <= 7000

Xi >= 0, i=1,2,3,4

END

Ο περιορισμός (1) αφορά την διαδικασία παραγωγής. Οι λίβρες των Κ και Μ που

παράχθηκαν και των υγρών αποβλήτων που επεξεργάστηκαν πρέπει να είναι ίσα με

το ποσό των υγρών αποβλήτων που παράχθηκαν από την παραγωγή του

πρωτογενούς προϊόντος. Οι περιορισμοί (2) και (3), αφορούν τις διαθέσιμες

ποσότητες των Α και Β, αντίστοιχα, την προσεχή περίοδο.

Δίπλα, δίνεται η βέλτιστη

λύση και οι τιμές που

πρέπει να πάρουν οι

μεταβλητές που ορίσαμε,

ώστε να επιτύχουμε την

μεγιστοποίηση των

1

κερδών της εταιρείας, και πιο κάτω η ανάλυση ευαισθησίας με τη βοήθεια του

προγράμματος LINDO.

Σύμφωνα με τα αποτελέσματα του LINDO η βέλτιστη μας λύση είναι $6550. Δηλαδή

η εταιρεία για να μεγιστοποίησει το κέρδος της θα πρέπει οι μεταβλητές να παρουν

τις ακόλουθες τιμές: Χ1=3500, Χ2=3000, Χ3=0, Χ4=2000

Επιλέον, παρατηρούμε ότι οι περιορισμοί μας είναι δεσμευτικοί δηλ.

χρησιμοποιήθηκαν όλες οι διαθέσιμες ποσότητες, και δεν έχουμε κανένα χαλαρό

περιορισμό. Παρατηρώντας τις δυικές τιμές που αντιστοιχούν στους περιορισμούς

(2) και (3), βλέπουμε ότι για κάθε μια επιπλέον λίβρα της ποσότητας του υλικού Α

που μπορει να εξασφαλίσει η εταιρεία, θα αυξάνει το κέρδος της κατά $0,05, και για

κάθε επιπλέον λίβρα της ποσότητας του υλικού Β θα αυξάνει το κέρδος της κατά

$0,90.

Όσο αφορά τους αντικειμενικούς μας συντελεστές έχουμε τα ακόλουθα:

C1= 2,10 και το εύρος αριστότητας του είναι [ 1.4 , ∞ )

C2= -0,10 και το εύρος αριστότητας του είναι [ -0.125 , 0.25 ]

C3= 0,15 και το εύρος αριστότητας του είναι ( - ∞ , 0.325 ]

C4= -0,25 και το εύρος αριστότητας του είναι [ -0.425 , -0.20 ]

Δηλαδή όσο οι αντικειμενικοί συντελεστές κυμαίνονται στα αντίστοιχα διαστήματά

τους, καμία αλλαγή δεν παρατηρείται στην βέλτιστη λύση.

ΜΑΧ 2.10Χ1+0.15Χ3– 0.25Χ4

SUBJECT TO

(1) X1 - 0.5X3 - X4 = 0

(2) X1 + <= 5000

(3) 2X1 + 0.5X3 <= 7000

Xi >= 0, i=1,3,4

2

END

Σύμφωνα με τα πιο πάνω αποτελέσματα θα πρέπει να παραχθούν 3.500 lbs

πρωτογενούς προϊόντος, καθόλου προϊόν Μ και 3.500 lbs απόβλητα τα οποία θα

πρέπει να διατεθούν για επεξεργασία. Το μέγιστο δυνατό κέρδος είναι $6475 οπότε

το κέρδος που παρέχει η σύσταση του λογιστή είναι μικρότερο κατά $75=6550-6475

από αυτό που μας δίνεται με την παραγωγή και του Κ δευτερογενούς προϊόντος.

Άρα διαφωνούμε με την σύσταση του λογιστή.

3

ΑΣΚΗΣΗ 2: PHOENIX COMPUTER

Ο στόχος της Phoenix Computer είναι να ικανοποιήσει τις ανάγκες σε προσωπικό

κατά το μήνα Μάιο μέχρι το Σεπτέμβριο με το χαμηλότερο δυνατό συνολικό κόστος.

Σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης, ο ετήσιος μισθός ενός υπαλλήλου είναι

$27.000, έτσι προκύπτει ότι ο μηνιαίος μισθός ενός υπαλλήλου είναι

$2.250=27.000/12. Το πρόγραμμα εκπαίδευσης είναι 3 μήνες για ένα νέο υπάλληλο

και κοστίζει $1.500. Το συνολικό κόστος για την πρόσληψη ενός νέου υπαλλήλου και

η εκπαίδευση αυτού ώστε να γίνει ειδικός για τα laptop είναι: 1.500+3(2.250)=8.250.

Το πρόγραμμα εκπαίδευσης είναι 2 μήνες για τους υφιστάμενους υπαλλήλους και

κοστίζει $1.000. το συνολικό κόστος για την εκπαίδευση ενός υφιστάμενου

υπαλλήλου είναι: 1.000+2(2.250)=5.500. Είναι ξεκάθαρο ότι 100 νέοι υπάλληλοι

επιβάλλεται να προσληφθούν είτε για να γίνουν ειδικοί στα laptop είτε για την

αντικατάσταση υφιστάμενων υπαλλήλων οι οποίοι θα ειδικευτούν στα laptop. Έτσι το

μηνιαίο κόστος της εταιρείας θα αυξηθεί κατά $225.000=100(2.250) από τον

Σεπτέμβρη. Το γραμμικό πρόγραμμα είναι ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης του

κόστους πρόσληψης και εκπαίδευσης κατά την περίοδο Φεβρουαρίου-Αυγούστου.

Ακολούθως ορίζουμε τις μεταβλητές που θα χρησιμοποιήσουμε:

Χ31 = # νέων υπαλλήλων για 3μηνο πρόγραμμα από το Φεβρουάριο

Χ32 = # νέων υπαλλήλων - || - από τον Μάρτιο

Χ33 = # νέων υπαλλήλων - || - από τον Απρίλιο

Χ34 = # νέων υπαλλήλων - || - από τον Μάιο

Χ35 = # νέων υπαλλήλων - || - από τον Ιούνιο

Χ21 = # υφιστάμενων υπαλ. που θα ξεκινήσουν το 2μηνο πρόγραμμα το Μάρτιο

Χ22 = # - || - - || - τον Απρίλιο

Χ23 = # - || - - || - το Μάιο

Χ24 = # - || - - || - τον Ιούνιο

Χ25 = # - || - - || - τον Ιούλιο

Χ11 = # εκπαιδευόμενων που ξεπερνούν τις ανάγκες για τον Μάιο

Χ12 = # - || - - || - τον Ιούνιο

Χ13 = # - || - - || - τον Ιούλιο

Χ14 = # - || - - || - τον Αύγουστο

Χ15 = # - || - - || - το Σεπτέμβριο

Επιβάλλεται να έχουμε 16 περιορισμούς. Οι πρώτοι 5 αφορούν τις ανάγκες για

ειδικευμένους στα laptop, από (6) - (10) αφορούν τον αριθμό των υφιστάμενων

4

υπαλλήλων οι οποίοι μπορεί να μπουν στο πρόγραμμα ενώ από (11) – (16)

αφορούν την χωρητικότητα του εκπαιδευτικού κέντρου. Ως εκ τούτου:

MINIMIZE 8250 (Χ31+Χ32+Χ33+Χ34+Χ35) + 5500 (Χ21+Χ22+Χ23+Χ24+Χ25) +

+ 2250 (Χ11+Χ12+Χ13+Χ14+Χ15)

SUBJECT TO

(1) X31 + Χ21 – Χ11 = 20

(2) X31 + X21 + Χ32 + Χ22 –Χ12 = 30

(3) Χ31 + Χ21 + Χ32 + Χ22 + Χ33 + Χ23 – Χ13 = 85

(4) Χ31 + Χ21 + Χ32 + Χ22 + Χ33 + Χ23 + Χ34 + Χ24 – Χ14 = 85

(5) Χ31 + Χ21 + Χ32 + Χ22 + Χ33 + Χ23 + Χ34 + Χ24 + Χ35 + Χ25 – Χ15 = 100

(6) Χ21 < 15

(7) Χ21 + Χ22 < 35

(8) Χ21 + Χ22 + Χ23 < 35

(9) Χ21 + Χ22 + Χ23 + Χ24 < 40

(10) Χ21+ Χ22 + Χ23 + Χ24 + Χ25 < 50

(11) Χ31 < 25

(12) Χ32 + Χ21 < 25

(13) Χ33 + Χ22 < 25

(14) Χ34 + Χ23 < 25

(15) Χ35 + Χ24 < 25

(16) Χ25 < 25

Xij >= 0, i=1,2,3 , j=1,2,3,4,5

END

Παρακάτω δίνεται η βέλτιστη λύση, δηλ. οι τιμές που πρέπει να πάρουν οι

μεταβλητές που ορίσαμε, ώστε να επιτύχουμε την ελαχιστοποίηση του κόστους της

εταιρείας με τη βοήθεια του προγράμματος LINDO.

Σύμφωνα με τα αποτελέσματα του LINDO το συνολικό ελάχιστο κόστος είναι

$698750. Δηλαδή η εταιρεία για να ελαχιστοποιήσει το κόστος της θα πρέπει οι

μεταβλητές να πάρουν τις ακόλουθες τιμές: Χ31=10, Χ32=15, Χ33= 25, Χ21=10,

Χ23=25, Χ25=15 και η Χ12=5. Δηλαδή θα προσλάβει 10 νέους υπαλλήλους για την

3-μηνη εκπαίδευση τον Φλεβάρη, 15 για τον Μάρτιο και 25 για τον Απρίλιο. Επίσης

10 υφιστάμενοι υπάλληλοι θα ξεκινήσουν 2-μηνη εκπαίδευση τον Μάρτιο, 25 τον

Μάιο και 15 τον Ιούλιο. Έτσι μόνο 5 εκπαιδευόμενοι θα ξεπερνούν τις ανάγκες μόνο

τον Ιούνιο.

5

6

ΑΣΚΗΣΗ 3: TEXTILE MILL SCHEDULING

Ας είναι Χ11 = γιάρδες από το ύφασμα 1 του Dobbie αργαλειού

Χ21 = γιάρδες από το ύφασμα 2 του Dobbie αργαλειού

Χ31 = γιάρδες από το ύφασμα 3 του Dobbie αργαλειού

Χ41 = γιάρδες από το ύφασμα 4 του Dobbie αργαλειού

Χ51 = γιάρδες από το ύφασμα 5 του Dobbie αργαλειού

Χ32 = γιάρδες από το ύφασμα 3 του Regular αργαλειού

Χ42 = γιάρδες από το ύφασμα 4 του Regular αργαλειού

Χ52 = γιάρδες από το ύφασμα 5 του Regular αργαλειού

Χ1C = γιάρδες από το ύφασμα 1 που αγοράζονται

X2C = γιάρδες από το ύφασμα 2 που αγοράζονται

X3C = γιάρδες από το ύφασμα 3 που αγοράζονται

X4C = γιάρδες από το ύφασμα 4 που αγοράζονται

X5C = γιάρδες από το ύφασμα 5 που αγοράζονται

Στόχος της εταιρείας είναι να μεγιστοποιήσει το κέρδος της, δηλαδή πόσες υάρδες

από κάθε είδος υφάσματος και είδος αργαλειού, θα φτιαχτούν αλλά και πόσες θα

αγοραστούν, υπό τους περιορισμούς της ζήτησης αλλά και των ωρών λειτουργίας

των αργαλειών. Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης των Χ11, Χ21, Χ31,

Χ32, Χ41, Χ42, Χ51, Χ52 αφορούν το κέρδος, το οποίο προκύπτει από την αφαίρεση

της αντίστοιχης στήλης κέρδους με την στήλη του κόστους για κάθε ύφασμα, οι

συντελεστές των X1C, X2C, X3C, X4C, X5C προκύπτουν από την αφαίρεση της

στήλης του κέρδους με την στήλη της τιμής αγοράς από άλλες εταιρείες.Έτσι έχουμε:

ΜΑΧΙΜΙΖΕ 0.33Χ11 + 0.31Χ21 + 0.61(Χ31+Χ32) + 0.73(Χ41+Χ42) +

+ 0.20(Χ51+Χ52) + 0.19Χ1C + 0.16X2C + 0.5X3C + 0.54X4C + 0X5C

SUBJECT TO

(1) 0.216X11 + 0.216X21 + 0.191X31 + 0.191X41 + 0.24X51 <= 5760

(2) 0.191X32 + 0.191X42 + 0.24X52 <= 21600

(3) X11 + X1C = 16500

(4) X21 + X2C = 22000

(5) X31 + X32 + X3C = 62000

(6) X41 + X42 + X4C = 7500

(7) Χ51 + X52 + X5C = 62000

Xij >= 0

END

7

Ο περιορισμός (1) αφορά τις ώρες λειτουργίας των Dobbie αργαλειών, ο (2) αφορά

τις ώρες λειτουργίας των Regular αργαλειών, και οι (3)-(7) αφορούν την ζήτηση του

κάθε υφάσματος(1,2,3,4 και 5) αντίστοιχα.

Παρακάτω δίνεται η βέλτιστη λύση και οι τιμές που πρέπει να πάρουν οι μεταβλητές

που ορίσαμε, ώστε να επιτύχουμε την μεγιστοποίηση του κέρδους της εταιρείας,

καθώς και η ανάλυση ευαισθησίας με τη βοήθεια του προγράμματος LINDO.

8

Ύφασμ

α

Αργαλειoί RegularΑργαλειοί

DobbieΑγοράστηκαν από αλλού

1 4666 11833

2 22000

3 27683 34316

4 7500

5 62000

Έτσι προκύπτει ότι το προβλεπόμενο κέρδος είναι: $62528,49.

Παρατηρώ ότι και επτά περιορισμοί είναι δεσμευτικοί αφού οι περιθώριες τιμές τους

είναι μηδενικές. Συνεπώς θα χρησιμοποιηθούν όλες οι ώρες εργασίας των

αργαλειών. Ένας επιπρόσθετος αργαλειός Dobbie θα επιφέρει στην επιχείρηση

κέρδος. Αυτό το αντιλαμβανόμαστε από την δυική τιμή του πρώτου περιορισμού που

είναι $0,648148 ανά ώρα λειτουργίας. Δηλαδή σε ένα μήνα η εταιρεία θα έχει κέρδος

$466,66. Όμως για να είμαστε σίγουροι ότι η βέλτιστη λύση παραμένει βέλτιστη θα

πρέπει να δούμε το εύρος εφικτότητας του περιορισμού μας. Αυτό είναι το διάστημα

[4752,8316]. Οι ώρες λειτουργίας των Dobbie αργαλειών θα ανέρχονται στις:

6480=30(μέρες μήνα)*24(ώρες ημέρας)*9(αργαλειοί Dobbie), που αυτή η τιμή

περιέχεται στο πιο πάνω διάστημα. Άρα η βέλτιστη μας λύση παραμένει βέλτιστη.

Όσο αφορά τους αντικειμενικούς συντελεστές τις συνάρτησης μας έχουμε τα εξής:

C1=0.33 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.314 , 0.34]

C2=0.31 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.3 , + ∞]

C3=0.61 και το εύρος αριστότητας του είναι [- ∞ , 0.624]

C4=0.61 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.5 , 0.624]

C5=0.73 και το εύρος αριστότητας του είναι [- ∞ , 0.7438]

C6=0.73 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.7126 , + ∞]

C7=0.20 και το εύρος αριστότητας του είναι [- ∞ , 0.217]

C8=0.20 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.1826 , + ∞]

C9=0.19 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.18 , 0.2056]

C10=0.16 και το εύρος αριστότητας του είναι [- ∞ , 0.17]

C11=0.50 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.4862 , 0.61]

C12=0.54 και το εύρος αριστότητας του είναι [- ∞ , 0.62]

C13=0.0 και το εύρος αριστότητας του είναι [- ∞ , 0.06178]

9

Δηλαδή όσο η τιμή για κάθε ένα αντικειμενικό συντελεστή βρίσκεται εντός των ορίων του εύρους αριστότητας, η υπάρχουσα βέλτιστη λύση παραμένει η ίδια. Τιμές των αντικειμενικών συντελεστών, διαφορετικές από τις καταγραφόμενες αλλά μέσα στο εύρος αριστότητάς τους, μεταβάλλλουν μόνο την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.

Το αντίστοιχο μοντέλο ελαχιστοποίησης του συνολικού κόστους θα είναιΜINIMIZE 0.66Χ11 + 0.55Χ21 + 0.49(Χ31+Χ32) + 0.51(Χ41+Χ42) +

+ 0.5(Χ51+Χ52) + 0.8Χ1C + 0.7X2C + 0.6X3C + 0.7X4C + 0.7X5C

Οι περιορισμοί παραμένουν ίδιοι.

Εφόσον η ζήτηση για τα υφάσματα είναι σταθερή, τόσο η μεγιστοποίηση του

κέρδους όσο και η ελαχιστοποίηση του κόστους θα προσφέρουν την ίδια βέλτιστη

λύση. Ωστόσο, η ερμηνεία του εύρους των αντικειμενικών συντελεστών διαφέρουν

για τα δύο μοντέλα. Στην περίπτωση της μεγιστοποίησης του κέρδους, οι

συντελεστές συνεισφέρουν στο συνολικό κέρδος. Έτσι, η πληροφορία από το κάθε

εύρος δείχνει πώς η τιμή ανά μονάδα και το κόστος ανά μονάδα μπορεί να ποικίλλει

ταυτόχρονα. Δηλαδή, εφόσον η μεταβολή στην τιμή ανά μονάδα και το κόστος ανά

μονάδα διατηρεί την συνεισφορά στο συνολικό κέρδος εντός του εύρους των τιμών,

η λύση θα παραμείνει βέλτιστη. Στο μοντέλο ελαχιστοποίησης του κόστους, οι

συντελεστές είναι κόστοι ανά μονάδα. Έτσι, οι πληροφορίες από το κάθε εύρος

10

δείχνουν πως αν η τιμή ανά μονάδα παραμένει σταθερή, πόσο το κόστος ανά

μονάδα μπορεί να ποικίλλει και εξακολουθούν να διατηρούν τα ίδια βέλτιστη λύση.

ΑΣΚΗΣΗ 4: WORKFORCE SCHEDULING

Ας είναι tij = # των προσωρινών υπαλλήλων που προσλήφθηκαν υπό την επιλογή i,

i=1,2,3 , τον μήνα j, j=1,2,3,4,5,6 (Γενάρης, Φλεβάρης, Μάρτιος, Απρίλιος, Μάιος,

Ιούνιος αντίστοιχα)

Ο ακόλουθος πίνακας απεικονίζει της μεταβλητές που θα χρησιμοποιήσουμε:

Γενάρης Φλεβάρης Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος

Επιλογή 1 t11 t12 t13 t14 t15 t16

Επιλογή 2 t21 t22 t23 t24 t25

Επιλογή 3 t31 t23 t33 t34

Όσο αφορά το κόστος θα είναι για την Επιλογή 1 $2875=2000+875, για την Επιλογή

2 $5675=4800+875 και για την Επιλογή 3 $8375=7500+875

Στόχος της εταιρεία είναι να ελαχιστοποιήσει το συνολικό κόστος, καθορίζοντας το

αριθμό τον προσωρινών υπαλλήλων που πρέπει να προσλάβει κάθε μήνα υπό την

κάθε μια επιλογή σύμβασης. Έτσι για κάθε ένα από τους μήνες απαιτείται και ένας

περιορισμός. Ως εκ τούτου:

MINIMIZE 2875(t11+t12+t13+t14+t15+t16) + 5675 (t21+t22+t23+t24+t25) +

+ 8375 (t31+t32+t33+t34)

SUBJECT TO

(1) t11 + t21 + t31 = 10

(2) t21 + t31 + t12 + t22 + t32 = 23

(3) t31 + t22 + t32 + t13 + t23 + t33 = 19

(4) t32 + t23 + t33 + t14 + t24 + t34 = 26

(5) t33 + t24 + t34 + t15 + t25 = 20

(6) t34 + t25 + t16 = 14

tij >= 0

END

Για τον περιορισμό (1) χρειάζονται 10 επιπλέον υπάλληλοι το Γενάρη, για τον

περιορισμό (2) χρειάζονται 23 επιπλέον υπάλληλοι τον Φλεβάρη. Όμως, προσωρινοί

υπάλληλοι που προσλήφθηκαν υπό τις επιλογές 2 και 3 τον Γενάρη θα είναι επίσης

διαθέσιμοι για να ικανοποιήσουν τις ανάγκες του Φλεβάρη. Έτσι προκύπτει ο

11

περιορισμός (2), καθώς με το ίδιο σκεπτικό προκύπτουν και οι περιορισμοί (3),(4),(5)

και (6) για τον Μάρτιο, Απρίλιο, Μάιο και Ιούνιο, αντίστοιχα. Παρακάτω δίνεται η

βέλτιστη λύση και οι τιμές που πρέπει να πάρουν οι μεταβλητές που ορίσαμε, ώστε

να επιτύχουμε την ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους της εταιρείας, καθώς και

η ανάλυση ευαισθησίας με τη βοήθεια του προγράμματος LINDO.

12

Σύμφωνα με τους υπολογισμούς στο πρόγραμμα LINDO το συνολικό κόστος είναι

$313.525

Γενάρης Φλεβάρης Μάρτιος Απρίλιος Μάιος Ιούνιος

Επιλογή 1 0 4 0 0 3 0

Επιλογή 2 0 0 0 3 0

Επιλογή 3 10 9 0 14

Επειδή η τιμή του αντικειμενικού συντελεστή t21 είναι 0 και το κόστος ευκαιρίας του

είναι 0, το πρόβλημα εκτός από την παραπάνω λύση υπάρχει και εναλλακτική.

ΕπιλογήΑριθμός

προσληφθέντων

Κόστος

Σύμβασης

Κόστος

Εκπαίδευσης

Συνολικό

Κόστος

1 7 $14.000 $6.125 $20.125

2 3 $14.400 $2.625 $17.025

3 33 $247.500 $28.875 $276.375

Σύνολο $275.900 $37.625 $313.525

Με χαμηλότερο κόστος εκπαίδευσης, το κόστος ανά υπάλληλο για κάθε μια επιλογή είναι ως ακολούθως:

Επιλογή Κόστος Κόστος Εκπαίδευσης Συνολικό Κόστος

1 $2.000 $700 $2.700

2 $4.800 $700 $5.500

3 $7.500 $700 $8.200

MINIMIZE 2700(t11+t12+t13+t14+t15+t16) + 5500 (t21+t22+t23+t24+t25) +

+ 8200 (t31+t32+t33+t34)

SUBJECT TO

(1) t11 + t21 + t31 = 10

(2) t21 + t31 + t12 + t22 + t32 = 23

(3) t31 + t22 + t32 + t13 + t23 + t33 = 19

(4) t32 + t23 + t33 + t14 + t24 + t34 = 26

(5) t33 + t24 + t34 + t15 + t25 = 20

(6) t34 + t25 + t16 = 14

tij >= 0

END

13

Επιλύοντας αυτό το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού με αυτά τα νέα κόστοι,

συμπεραίνουμε ότι η εταιρεία πρέπει να προσλάβει μόνο προσωρινούς υπαλλήλους

με μηνιαία σύμβαση ειδικά για να καλύψει τις μηνιαίες ανάγκες των υπαλλήλων.

Έτσι, το μηνιαίο χρονοδιάγραμμα προσωρινής πρόσληψης θα είναι το ακόλουθο: 10 – Γενάρη ,23 – Φλεβάρη,19 – Μάρτιο,26 – Απρίλιο,20 – Μάιο και 14 - ΙούνιοΤο συνολικό κόστος για αυτή την στρατηγική είναι $302.400.Και εδώ καταλήγουμε πως όσο μειώνεται το κόστος εκπαίδευσης, αυτή θα παραμένει ως η βέλτιστη στρατηγική πρόσληψης για την εταιρεία.

Προσλαμβάνοντας 10 υπαλλήλους πλήρους απασχόλησης από τις αρχές Ιανουαρίου, θα μειώσει τον αριθμό των προσωρινών υπαλλήλων που χρειάζονται κάθε μήνα κατά 10. Χρησιμοποιώντας το ίδιο γραμμικό μοντέλο με τα νέα δεξιά μέλη μειωμένα κατά 10, έχουμε τα ακόλουθα:

MINIMIZE 2875(t11+t12+t13+t14+t15+t16) + 5675 (t21+t22+t23+t24+t25) +

+ 8375 (t31+t32+t33+t34)

SUBJECT TO

(1) t11 + t21 + t31 = 0

(2) t21 + t31 + t12 + t22 + t32 = 13

(3) t31 + t22 + t32 + t13 + t23 + t33 = 9

(4) t32 + t23 + t33 + t14 + t24 + t34 = 16

(5) t33 + t24 + t34 + t15 + t25 = 10

(6) t34 + t25 + t16 = 4

tij >= 0

END

14

Από εδώ βλέπουμε ότι το συνολικό κόστος για την πρόσληψη των προσωρινών

υπαλλήλων (7 για την επιλογή 1 τον Φλεβάρη, 3 για την επιλογή 2 τον Απρίλιο και

13 για την επιλογή 3 τους μήνες Μάρτιο, Απρίλιο και Μάιο) είναι $146.025.

Όσο αφορά τους υπάλληλους πλήρους απασχόλησης θα έχουμε:

Κόστος εκπαίδευσης: 10($875) = $8.750

Μισθός: 10(6)(168)($16.50) = $166.320

Συνολικό κόστος: $146.025+$8.750+$166.320 = $321.095

Οπότε προσλαμβάνοντας 10 υπαλλήλους πλήρους απασχόλησης είναι

$321,095 - $313,525 = $7,570 πιο ακριβό από το να χρησιμοποιηθούν προσωρινοί

υπάλληλοι. Έτσι η δική μου σύσταση με βάση τα αποτελέσματα για την εταιρεία θα

ήταν να μην προσλάβει αυτούς τους υπαλλήλους πλήρους απασχόλησης. Η εταιρεία

Davis πρέπει να συνεχίσει τις συμβάσεις με την εταιρεία WorkForce.

15

ΑΣΚΗΣΗ 5: ΑΕΡΟΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΧΨΖΑς είναι:

Χi = χιλιάδες λίτρα καυσίμων που αγοράζονται από την i πόλη, όπου i=1,2,3,4

(Αθήνα, Λονδίνο, Παρίσι, Ρώμη αντίστοιχα) και

Yi = χιλιάδες λίτρα καυσίμων που απομένουν στις δεξαμενές από την i πόλη,

i=1,2,3,4

Η εταιρεία επιδιώκει να ελαχιστοποιήσει το κόστος αγοράς των καυσίμων για τον

συγκεκριμένο κύκλο πτήσεων. Για να βρούμε τους περιορισμούς (9) – (12) κάναμε

τους ακόλουθους υπολογισμούς:

(1) 12 + 0.05(Χ1-24) = Χ1-Υ1

12 + 0.05Χ1 – 1.2 = Χ1-Υ1

-0.95Χ1 + Υ1 = - 10.8

(2) 7 + 0.05(Χ2-Υ1-15) = Χ2+Υ1-Υ2

7 + 0.05Χ2 + 0.05Υ1 – 0.75 = Χ2+Υ1-Υ2

-0.95Χ2 -0.95Υ1 + Υ2 = - 6.25

(3) 3 + 0.05(Χ3+Υ2-9) = Χ3+Υ2-Υ3

3 + 0.05Χ3 + 0.05Υ2 – 0.45 = Χ3+Υ2-Υ3

-0.95Χ3 - 0.95Υ2 + Υ3 = - 2.55

(4) 5 + 0.05(Χ4+Υ3-11) = Χ4+Υ3+Υ4

5 + 0.05Χ4 + 0.05Υ3 – 0.55 = Χ4+Υ3+Υ4

-0.95Χ4 – 0.95Υ3 + Υ4 = - 4.45

Οπότε το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού που προκύπτει είναι το εξής:

MINIMIZE 1.15Χ1 + 1.25Χ2 + 1.10Χ3 + 1.18Χ4

SUBJECT TO

(1) X1 >= 24

(2) X2 + Y1 >= 15

(3) X3 + Y2 >= 9

(4) X4 + Y3 >= 11

(5) X1 <= 36

(6) X2 + Y1 <= 23

(7) X3 + Y2 <= 17

(8) X4 + Y3 <= 20

(9) -0.95X1 + Y1 = -10.8

(10) -0.95X2 - 0.95Y1 + Y2 = -6.25

16

(11) -0.95X3 - 0.95Y2 + Y3 = -2.55

(12) -0.95X4 - 0.95Y3 + Y4 = -4.45

Xi >= 0 , i=1,2,3,4

Yi >= 0 , i=1,2,3,4

END

Οι περιορισμοί (1) – (4) αναφέρονται στην ελάχιστη απαιτούμενη ποσότητα

καυσίμων, οι περιορισμοί (5) – (8) αναφέρονται στην μέγιστη επιτρεπόμενη

ποσότητα καυσίμων και οι περιορισμοί (9) – (12) αναφέρονται στην ποσότητα των

καυσίμων που θα καταναλώσει σε κάθε διαδρομή.

Παρακάτω δίνεται η βέλτιστη λύση, οι τιμές που πρέπει να πάρουν οι μεταβλητές

που ορίσαμε, ώστε να επιτύχουμε την ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους της

εταιρείας, καθώς και η ανάλυση ευαισθησίας με τη βοήθεια του προγράμματος

LINDO.

Σύμφωνα με τα διπλανά

αποτελέσματα το συνολικό

κόστος αγοράς των καυσίμων

για την εταιρεία είναι €38.121.

Η βέλτιστη λύση είναι:

Χ1=27.158 χιλιάδες λίτρα θα

αγοράσει από την Αθήνα

Χ3=6.263 χιλιάδες λίτρα θα

αγοράσει από το Λονδίνο

Υ1=15 χιλιάδες λίτρα απόθεμα

στις δεξαμενές από διαδρομή

Αθήνα-Λονδίνο

Υ2=8 χιλιάδες λίτρα απόθεμα

στις δεξαμενές από διαδρομή

Λονδίνο-Παρίσι

Υ3=11 χιλιάδες λίτρα απόθεμα στις δεξαμενές από διαδρομή Παρίσι-Ρώμη

Υ4=6 χιλιάδες λίτρα απόθεμα στις δεξαμενές από διαδρομή Ρώμη-Αθήνα

Έτσι ολοκληρώνεται ο κύκλος πτήσεων.

Όταν το αεροπλάνο φτάσει στην Αθήνα ένας νέος κύκλος πτήσεων ολοκληρώνεται

και ξεκινάει ένας νέος. Στην Αθήνα θα αγοραστούν Χ1 χιλιάδες λίτρα καυσίμων αλλά

17

θα έχουν απομείνει από το προηγούμενο δρομολόγιο Ρώμη-Αθήνα Υ4=6. Στην

περίπτωση αυτή οι μεταβλητές και η αντικειμενική συνάρτηση παραμένουν ίδια.

Υπάρχουν όμως διαφοροποιήσεις στους περιορισμούς. Οπότε το γραμμικό μας

μοντέλο τροποποιείται ως ακολούθως:

MINIMIZE 1.15Χ1 + 1.25Χ2 + 1.10Χ3 + 1.18Χ4

SUBJECT TO

(1) X1 >= 18

(2) X2 + Y1 >= 15

(3) X3 + Y2 >= 9

(4) X4 + Y3 >= 11

(5) X1 <= 30

(6) X2 + Y1 <= 23

(7) X3 + Y2 <= 17

(8) X4 + Y3 <= 20

(9) -0.95X1 + Y1 = -5.1

(10) -0.95X2 - 0.95Y1 + Y2 = -6.25

(11) -0.95X3 - 0.95Y2 + Y3 = -2.55

(12) -0.95X4 - 0.95Y3 + Y4 = -4.45

Xi >= 0 , i=1,2,3,4

Yi >= 0 , i=1,2,3,4

END

Σύμφωνα με τα διπλανά

αποτελέσματα, τα καύσιμα που

θα αγοραστούν από την Αθήνα

θα είναι Χ1=21.158 χιλιάδες

λίτρα και είναι φυσικά μικρότερη

από αυτή που θα αγόραζε αν οι

δεξαμενές ήταν άδειες. Οι

υπόλοιπες τιμές παραμένουν

ίδιες. Η βέλτιστη αυτή λύση

οδηγεί σε συνολικό ελάχιστο

κόστος των 31.221€.

18

Όσο αφόρα τον περιορισμό Χ1<=30 είναι χαλαρός με περιθώρια τιμή 8.842. Το εύρος εφικτότητας αυτού του περιορισμού είναι [22.16 , + ∞). Όσο αυτή η τιμή κυμαίνεται σ’ αυτό το διάστημα, θα έχουμε την ίδια άριστη λύση. Η δυική τιμή που αφορά αυτό τον περιορισμό είναι 0. Άρα δεν συνεισφέρει στο συνολικό κόστος

19

ΑΣΚΗΣΗ 6: WALLASIDIS JUICE COMPANY

Έχουμε ένα πρόβλημα μεταφοράς ακατέργαστου συμπυκνωμένου χυμού ο οποίος

πρέπει να μεταφερθεί από τους αμπελώνες στα εργοστάσια σε διάφορες πόλεις

όπου θα επεξεργαστεί ώστε να παρασκευαστούν νέα προϊόντα. Το κόστος

μεταφοράς του χυμού από τους αμπελώνες προς τις πόλεις καθώς και το κόστος

επεξεργασίας του χυμού από τα εργοστάσια για την παραγωγή νέων προϊόντων

ποικίλει. Συνεπώς καλούμαστε να βρούμε το ελάχιστο κόστος μεταφοράς και

επεξεργασίας και ταυτόχρονα να ικανοποιήσουμε τη ζήτηση αλλά και τους

περιορισμούς. Ας είναι:

Χ1, Χ2, Χ3, Χ4 οι ποσότητες χυμού (σε τόνους) που στέλνονται από τον αμπελώνα

Α σε Κρήτη, Ηλεία, Αττική και Μακεδονία αντίστοιχα.

Χ5, Χ6, Χ7, Χ8 οι ποσότητες που στέλνονται από τον αμπελώνα Β σε Κρήτη, Ηλεία,

Αττική και Μακεδονία αντίστοιχα.

Χ9, Χ10, Χ11, Χ12 οι ποσότητες που στέλνονται από τον αμπελώνα Γ σε Κρήτη,

Ηλεία, Αττική και Μακεδονία αντίστοιχα.

Επίσης ας είναι:

Χ13, Χ14, 15, Χ16 οι ποσότητες εμφιαλωμένου χυμού που θα παραχθούν σε Κρήτη,

Ηλεία, Αττική και Μακεδονία αντίστοιχα.

Χ17, Χ18, Χ19, Χ20 οι ποσότητες κατεψυγμένου χυμού που θα παραχθούν σε

Κρήτη, Ηλεία, Αττική και Μακεδονία αντίστοιχα.

Χ21, Χ22, Χ23, Χ24 οι ποσότητες ζελέ που θα παραχθούν σε Κρήτη, Ηλεία, Αττική

και Μακεδονία αντίστοιχα.

Έτσι, η αντικειμενική μας συνάρτηση και οι περιορισμοί έχουν ως ακολούθως:

MINIMIZE 850X1+720X2+910X3+750X4+970X5+790X6+1050X7+880X8+900X9+ +830X10+780X11+820X12+2100X13+2350X14+2200X15+1900X16+4100X17+ +4300X18+3950X19+3900X20+2600X21+2300X22+ 2500X23+2800X24SUBJECT TO (1) X13 + X14 + X15 + X16 >= 1200

(2) X17 + X18 + X19 + X20 >= 900

(3) X21 + X22 + X23 + X24 >= 700

(4) X1 + X2 + X3 + X4 <= 1400

(5) X5 + X6 + X7 + X8 <= 1100

(6) X9 + X10 + X11 + X12 <= 1700

(7) X1 + X5 + X9 <= 1200

(8) X2 + X6 + X10 <= 1100

20

(9) X3 + X7 + X11 <= 1400

(10) X4 + X8 + X12 <= 1400

(11) X13 + 2X17 + 1.5X21 <= X1 + X5 + X9

(12) X14 + 2X18 + 1.5X22 <= X2 + X6 + X10

(13) X15 + 2X19 + 1.5X23 <= X3 + X7 + X11

(14) X16 + 2X20 + 1.5X24 <= X4 + X8 + X12

Xi>=0, i=1,…,24ENDΟι περιορισμοί (1),(2) και (3) είναι οι περιορισμοί ζήτησης, οι περιορισμοί (4),(5) και

(6) είναι οι περιορισμοί μεταφοράς από τους αμπελώνες, οι περιορισμοί (7)-(10) είναι

οι περιορισμοί συγκέντρωσης των ποσοτήτων στα εργοστάσια και οι περιορισμοί

(11)-(14) είναι οι περιορισμοί για την παραγωγή των προϊόντων σε συνδυασμό με

την συγκέντρωση των προϊόντων στα εργοστάσια.

Στα δεξιά, δίνεται η βέλτιστη

λύση, οι τιμές που πρέπει να

πάρουν οι μεταβλητές που

ορίσαμε, ώστε να επιτύχουμε

την ελαχιστοποίηση του κόστους

μεταφοράς και επεξεργασίας,

καθώς και πιο κάτω η ανάλυση

ευαισθησίας με τη βοήθεια του

προγράμματος LINDO.

Έτσι καταλήγουμε ότι το

ελάχιστο κόστος που μπορούμε

να επιτύχουμε είναι 10606000€.

Για να εξηγήσουμε καλύτερα τα

αποτελέσματα που βρήκαμε,

στον παρακάτω πίνακα

παραθέτουμε τα αποτελέσματα

για τις ποσότητες που θα

μεταφερθούν και τις ποσότητες

των προϊόντων που θα

παραχθούν στα αντίστοιχα

εργοστάσια.

21

Αμπελώνας Εργοστάσιο/ποσότητες Προϊόντα

Α Μακεδονία 1400 τόνοι(Χ4)Φυσ.Χυμός 1200 τόνοι(Χ16)Κατεψ.Χυμός 100 τόνοι (Χ20)

Β Ηλεία 1100 τόνοι (Χ6)Κατεψ.Χυμός 25 τόνοι(Χ18)

Ζελέ 700 τόνοι(Χ22)

ΓΚρήτη 150 τόνοι(Χ9) Κατεψ.Χυμός 75 τόνοι(Χ17)

Αττική 1400 τόνοι(Χ11) Κατεψ.Χυμός 700 τόνοι(Χ19)

Αυτό που αξίζει να αναφέρουμε εδώ είναι ότι οι περιορισμοί (6) και (7) (οι

αντίστοιχοι (7) και (8) στο LINDO) έχουν πλεόνασμα. Στον περιορισμό (6) έχουμε

πλεόνασμα 150 μονάδες (τόνους) και στον (7) , 1050 μονάδες. Αυτό σημαίνει ότι ο

αμπελώνας Γ έχει 150 τόνους τους οποίους δε στέλνει πουθενά και αντίστοιχα το

εργοστάσιο της Κρήτης από τους 1200 τόνους που μπορεί να δεχτεί, δέχεται μόλις

150. Έτσι η επιχείρηση θα μπορούσε να παράγει επιπλέον ποσότητα προϊόντων

από αυτή που παράγει τώρα. Ωστόσο, αυτό δε θα έπρεπε να μας προβληματίζει,

καθώς τα στοιχεία που μας δίνονται έχουν απλά να κάνουν με την ελαχιστοποίηση

του κόστους και την ικανοποίηση της ζήτησης.

Απαιτείται να σχολιάσουμε τους δύο τουλάχιστον αντικειμενικούς συντελεστές που

παρουσιάζουν ενδιαφέρον. Είναι της μεταβλητής Χ2, καθώς ομοίως και της Χ12. Η

μεταβλητή Χ2 παρουσιάζει ενδιαφέρον καθώς πέρα από το περιορισμένο εύρος

τιμών που μπορεί να μεταβληθεί χωρίς να αλλάξει η βέλτιστη απόφαση, έχει

22

κόστος ευκαιρίας 0 (μηδέν) όπως και η Χ12 και για το λόγο αυτό συμμετέχουν και

οι 2 σε μια άλλη λύση του μοντέλου μας, στην εναλλακτική του.

Όσο λοιπόν το κόστος της Χ2 κινείται στο διάστημα 720-740, η βέλτιστη απόφαση

δεν αλλάζει αλλά εγκαταλείπουμε την εναλλακτική της. Αν το κόστος μειωθεί από

720 τότε θα δούμε ότι μετέχει πλέον ενεργά στην τιμή της αντικειμενικής

συνάρτησης.

Η μεταβλητή Χ24, που μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε, είναι αυτή με το

μεγαλύτερο κόστος ευκαιρίας (reduced cost). Αν το κόστος για την παραγωγή ενός

τόνου ζελέ στη Μακεδονία μεταβάλλεται από 2000€ και επιπλέον, η απόφασή μας

δεν αλλάζει και η μεταβλητή δεν συμμετέχει. Για να συμφέρει λοιπόν στην

επιχείρηση να συμπεριλάβει τη μεταβλητή πρέπει να μειωθεί το κόστος κατά 800€,

ενώ αν για οποιοδήποτε άλλο λόγο θελήσει να τη συμπεριλάβει, θα έχει αύξηση

του συνολικού κόστους κατά 800€ ανά μονάδα.

Απαιτείται επίσης σχολιασμός για τα δεξιά μέλη που παρουσιάζουν ενδιαφέρον.

Όσο αφορά την δυική τιμή του πρώτου περιορισμού είναι -2900 για το διάστημα

[1050 , 1350]. Αυτό σημαίνει ότι αν η επιχείρηση έπρεπε για κάποιο λόγο να

μειώσει την ποσότητα που θα προμηθεύεται από τον συγκεκριμένο αμπελώνα, θα

είχε αύξηση του συνολικού κόστους κατά 2900€ για κάθε μονάδα που θα μείωνε.

Αντιθέτως αν είχαμε τη δυνατότητα να προμηθευτούμε περισσότερες μονάδες

προϊόντος από το συγκεκριμένο αμπελώνα, το κόστος θα ήταν κατά 2900€

λιγότερο. Μεταβάλλοντας το δεξιό μέλος κατά 1 μονάδα και πραγματοποιώντας εκ

νέου ανάλυση ευαισθησίας, μπορούμε να το διαπιστώσουμε ότι η δυική τιμή

παραμένει ίδια, αλλά αυξάνεται το συνολικό κόστος κατά 2900€

Ο 7ος περιορισμός αναφέρεται στις μονάδες προϊόντος που μπορεί να

“φιλοξενήσει” το εργοστάσιο της Κρήτης, οι οποίες δεν πρέπει να ξεπερνούν τις

23

1200. Η επιχείρηση παρόλα αυτά χρησιμοποιεί μόλις 150 μονάδες κι επομένως ο

περιορισμός αυτός δεν είναι δεσμευτικός, εφόσον η επάρκεια του εργοστασίου

μπορεί να “εξυπηρετήσει” από 150 μονάδες και επιπλέον (κάτω από τις 150

μονάδες, το πρόβλημα είναι αδύνατο). Απ' τη μια πλευρά το πλεόνασμα του 7ου

περιορισμού σε συνδυασμό με αυτό του 6ου (απ'τις 1700 μονάδες που μπορεί να

διαθέσει ο αμπελώνας Γ, διαθέτει τις 1550) δίνει στην επιχείρηση το πλεονέκτημα

να κινείται πιο ευέλικτα σε πιθανή αύξηση της ζήτησης.

Από την άλλη πλευρά όμως και με τα συγκεκριμένα στοιχεία, η επιχείρηση θα

έπρεπε να αποφασίσει κατά πόσο θέλει να συνεχίσει να παρέχει τον εξοπλισμό

και γενικά τους πόρους, ώστε να συντηρεί ένα εργοστάσιο με τέτοια

δυναμικότητα., όταν μάλιστα, όπως αναφέραμε και προηγουμένως, θα είχε

σημαντικό όφελος αν μπορούσε να εκμεταλλευτεί καλύτερα τα εργοστάσια σε

Αττική και Μακεδονία καθώς είδαμε πως και τα 2 θα μπορούσαν να μειώσουν

σημαντικά το συνολικό κόστος για την παραγωγή των προϊόντων.

24