La famille Bernoulli
Introduction :
Jacques
(Jacob I)1654-1705
Jean I
(Johann I)1667-1748
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Nicolas III1695-1726
Daniel
1700-1782
Jean II
(Johann II)1710-1790
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Jean III
(Johann III)1744-1807
Jacob II
1759-1789
La famille Bernoulli est une grande famille suisse de mathématicien, celle-ci à joué un grand rôle dans le domaine des mathématiques et la physique durant toute la seconde moitié du XVIIe siècle, et tout le long du XVIIIe siècle. Originaire d’Anvers, les aïeux de cette famille quittèrent le pays vers 1567 pour fuir les persécutions du pouvoir catholique. Les Bernoulli sont devenus une famille de mathématicien après que les enfants de Nicolas se
soient détournés de « l’entreprise familiale » du commerce d’épice auquel ils étaient destinés. Les Bernoulli ont brillé dans le domaine scientifique. On distingue trois personnes de cette famille qui ont eu un plus grand impact dans les mathématiques : Jacob I (Jacques), Johanne I (Jean), Daniel.
I. Jacob I Bernoulli et son frère Johanne Bernoulli
Jacob Bernoulli est l’ainé du regroupement de mathématiciens. Il obtient un diplôme en théologie et en philosophie (il termina ses études en 1676) pour satisfaire la volonté de ses parents. Cependant il se tourna très vite vers les mathématiques et l’astronomie malgré l’avis de son père. Il choisir donc la devise latine : «Invito patre sidera verso» que Fontenelle traduit par « je suis parmi les astres malgré mon père » (1707). Après ses études, il entreprend de 1676 à 1683 des voyages en France, en Angleterre, aux Pays-Bas; il en profite pour rencontrer de nombreux mathématiciens et commencer une riche correspondance. De retour à Bâle, il devient professeur à l'université en 1687, poste qu'il occupera jusqu'à la fin de ses jours. On peut d’ailleurs noter que dans son mémoire présenté en 1684 pour l’obtention de cette place il explique : « En vérité celui qui embrasse la carrière de mathématicien n’est pas celui qui sait copier les inventions des autres, les retenir et les réciter si l’occasion s’en présente, mais innove celui-là même qui sait inventer ou révolutionner à l’aide de la divine algèbre ce qui a été inventé par d’autres». Ce qui reflète bien son envie de découvrir de nouvelles choses mais aussi son intérêt pour les découvertes passées.
Jean Bernoulli, (Johann) est un grand mathématicien et physicien suisse. Son père souhaite qu'il reprenne le commerce familial d'épices, mais cela n'intéresse pas Jean et il se dirigea vers des études de médecine même si les mathématiques « suscitèrent en lui une excitation singulière » (Bernoulli, Gedenkbuch, 1922). C’est à partir des années 1680 que les deux frères vont travailler ensemble étant tout à l’université de Bâle (Jacob entant que professeur et Johanne étudiant en médecine). Jacob lui apprend beaucoup sur les mathématiques. Ils vont ainsi travailler ensemble (sur les travaux de Leibniz qui vient d'inventer le calcul infinitésimal) et résoudre des problèmes. Cependant une rivalité naquit, et les querelles entre les deux hommes arrêtèrent cette collaboration. Jean enseigna les mathématiques à Groningue 1695, puis à Bâle, après la mort de Jacques 1705, et devint associé des Académies de Paris, de Londres, de Berlin et de Saint-Pétersbourg. Jean a eu le prestige d’avoir été l’enseignant de Leonhard Euler, un grand mathématicien. Il devint membre de la Royal Society le 1er décembre 1712.
C’est d’ailleurs à partir de ce moment qu’il fera ses plus importantes avancés. Sa plus importante œuvre est « Ars conjectandi », publiée après sa mort par Nicolas III.
a Fonction exponentielle
Avant les frères Bernoulli :
C’est Neper (John Napier appelé en français Neper), (1550/1617), un mathématicien écossais qui introduit les logarithmes. Il introduit ceci pour simplifier les calculs du sinus, du cosinus, du produit et du quotient, mais il ne précise pas de base particulière pour ces logarithmes et les logarithmes les plus courants à cette époque sont ceux en base 10. Il crée ce terme en 1614 à partir des mots grecs logos pouvant signifier « rapport » et arithmos « nombre ». En effet Neper définit le logarithme comme le rapport de la distance à parcourir de deux mobiles, l’un se déplaçant à vitesse constante et l’autre à vitesse proportionnelle à la distance restant à parcourir. Le logarithme est alors le rapport de deux nombres.
En 1661, Huygens est capable de faire le rapprochement entre l'aire sous l'hyperbole et les fonctions logarithmes. Comme e est le réel tel que l'aire sous l'hyperbole entre 1 et e vaille 1, il est probable que ce nombre fut remarqué à cette époque sans toutefois que l'on parle pour lui de la base du logarithme naturel.
Les frères Bernoulli :
C’est avec Bernoulli que l’on voit apparaître « e » comme nombre remarquable en 1683, époque a laquelle il s’intéresse aux calculs d’intérêt ce qui l'amène à étudier la limite de (1+1/n)n et a trouver 2 < e < 3.Cependant personne à ce moment ne fait le rapprochement entre ce nombre et les logarithmes naturels.
En mai 1694 Jean prévient Leibniz qu’il vient de découvrir une nouvelle variété de courbes, « percutantes », par exemple y=ax et xx = y, il élève l’exposant x aux valeurs variables. Jean va développer le calcul exponentiel. Il publie en 1697.
Avant même de prendre vraiment conscience de la notion de fonction, Leibniz et Bernoulli ont réalisé l’inversion de la fonction logarithme en passant de y = log(x) à x = ay
Le mot fonction apparaît dans la correspondance entre Leibniz et Jean Bernoulli en juillet-août 1698, rendu public en 1718.
On peut donc établir vers 1700 que la fonction exponentielle, est l’inverse de la fonction logarithmique vers 1700.
Les acteurs qui ont suivis
C’est en 1761 que e fut appelé nombre exponentiel par Euler (élève de Jean).
b Calcul infinitésimal
« Le génie de l’un et la profondeur de l’autre portèrent les plus beaux fruits par l’impulsion que leurs solutions donnèrent aux idées d’Euler et de Lagrange » (Ernst Mach, 1904).
Le calcul infinitésimal à été formulé par Leibniz (aussi découvert par Newton vers la même période), c’est ensuite que les deux frères y attachent une grande importance et en la développant, multiplient ses utilisations en se l’appropriant à Bales vers 1680/1690. Le calcul devient avec eux un outil analytique. Analyse infinitésimale (ou calcul infinitésimal), est la branche de l'analyse constituée par le calcul différentiel et le calcul intégral, fondée sur l'étude des infiniment petits et des limites.
Avant les frères Bernoulli :
Déjà en 230 av.J.C. Archimède calcul le volume d’une pyramide ou d’une sphère en empilant des tranches donc on peut comprendre l’utilité de pouvoir décomposer un élément en plein d’éléments infiniment petits.
C’est Newton qui découvre le calcul infinitésimal (dû à ses travaux en physique) en « premier » mais Leibniz (qui le découvre parallèlement) publie en ses résultats avant lui. Ce sont donc les notations de Leibniz qui ont été adoptées : le symbole ∫ pour les intégrales et df/dx pour les dérivées.
C’est dans les années 1660 et 1670, que Newton et Leibniz démontrent le théorème fondamental stipulant qu’intégration et dérivation sont des opérations inverses. On utilise ainsi les éléments infinitésimales décrient par Newton comme une quantité variable qui tend à disparaître.
Rôles des frères dans l’avancé du calcul :
Anthony : intégral
Le terme intégral
Jacob, en 1696, introduit le terme d’intégral qui provient du latin integer « entier, total » (une intégrale étant le rassemblement d’une infinité de termes infinitésimaux). Leibniz aurait préféré la nomination du terme calcul « sommatoire » cependant le signe d’intégration est toujours ∫.
La règle de l’Hospital
On reconnaît l’action de Johanne Bernoulli sur une grande règle :
Guillaume de L'Hospital, était un élève de Jean Bernoulli. Jean lui enseigna le calcul différentiel. L'Hospital est le premier à écrire un traité sur cet outil, le livre Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696) publié de façon anonyme. C'est dans ce livre qu'apparait la célèbre règle de L'Hospital, qui permet parfois de lever des formes
indéterminées du type 0/0 et . Après la mort de celui-ci Johanne Bernoulli déclare que ces
résultats sont les siens et que c’est à la suite d’un arrangement financier que celui-ci aurait pu publier ses découvertes.
Règle de l’Hospital :
Si f et g tendent toutes les deux vers 0 en a, ou vers , et si le rapport admet une limite
finie à alors :
Quelques problèmes résolus grâce au calcul infinitésimal:
Le calcul infinitésimal à permis de résoudre plusieurs problème, nous exposerons ici les plus connus.
Dans les Lectiones calculi differentialis (1691/1692) Johanne résout des problèmes déjà traité mais cette fois-ci avec cette méthode de calcul.
La courbe élastique
C’est en 1691 que Jacob proposa le problème de la courbe élastique dans un article. Ce n’est que trois ans plus tard, après que personne ne répondit à son défit, qu’il donna la solution (en 1694). La courbe élastique est celle que l’on obtient lorsque l’on plie une baguette jusqu’à ce que les tangents aux extrémités soient perpendiculaires à une droite parallèle à la baguette non pliée.
L’équation cartésienne lui correspondant est :
L’équation de cette courbe étant :
Ainsi la longueur de la longueur de l’arc élastique (trouvée en 1691) est :
l 2
Il existe une courbe d’équation plus simple et eyant la même valeur..La lemniscate. En effet la longueur d’une de ses deux boucles est donnée par l’intégrale précédente.
La lemniscate :
La lemniscate tire son nom d’un mot grec qui signifie petit ruban. Elle fut étudiée par les deux frères de façon indépendante. C’est en 1694 que ceux-ci la découvre, c’est Jacob qui publie en premier un article sur la lemniscate, un mois après Jean j’en en publie un autre. Les publications sur ce même problème engendrèrent une violente dispute entre les deux frères pour savoir à qui reviendrait le mérite. La dispute fut très violente et Jean ne voulu pu retourner à Bâle tant que son frère y vivrait encore. On peut voir que c’est surtout Jacques qui apparaît comme l’auteur de cette étude. Jacques Bernoulli découvre la lemniscate en partant de la courbe élastique (expliquée au paragraphe précédent).
Equation polaire : r2 a
2 cos 2
En coordonnées cartésiennes :
L'ensemble des points M tel que l’on ait les foyers F1 et F2 vérifient la propriété :
Le problème de la chaînette.
Galilée avait déjà considéré cette courbe, formée par une chaîne ou une corde attachée par ses deux extrémités à deux points fixes, et avait suggéré que c'était une parabole. Or ce n'est pas le cas. Johann réussit à en donner une solution, publiée en 1691 presque
simultanément avec Leibniz et Huygens (qui l’ont démontré indépendamment) sous l’impulsion d’un défi lancé par Jacques Bernoulli.
En 1718 il explique sa découverte et on peut voir la rivalité flagrante entre les deux hommes. « Les efforts de mon frère furent sans succès [...] pour moi je fus plus heureux, car je trouvai l'adresse (je le dis sans me vanter, pourquoi cacherais-je la vérité ?) de le résoudre pleinement et de le réduire à la rectification de la parabole (…) le lendemain, tout rempli de joie, je courus chez mon frère, qui luttait encore misérablement avec ce nœud gordien sans rien avancer, soupçonnant toujours comme Galilée que la chaînette était une parabole »
La relation entre la longueur 2l, la flèche h et la largeur 2d est
donné par :
D’où en éliminant , la relation
soit
Après les frères Bernoulli :
Après eux c’est Euler et Lagrange qui vont étendre ce calcul. Le fait que les frères Bernoulli aient développé ce calcul, beaucoup d’autres mathématiciens ont pu utiliser cette méthode et de nos jours elle reste un outil de calcul très utilisé.
Bien qu’ils aient travaillé ensemble sur beaucoup de points il reste des travaux qu’ils ont explorés seuls.
c Divergence de la série harmonique : Avant Jean Bernoulli
La démonstration de la divergence de la suite harmonique fut démontrée par Nicolas Oresme
(1323-1382). La suite harmonique est , elle diverge très lentement mais on montre que sa
limite est selon la démonstration :
Jean Bernoulli
Jean Bernoulli fut l’un des mathématiciens qui étudia cette suite et redémontra sa divergence par l’absurde.
Nicolas : Démo de Bernoulli
Après Jean Bernoulli
Euler étudia la série harmonique et il en apparut la constante d’Euler :
.
En effet la série harmonique diverge, tout comme la suite de terme général ln(n). Cette constante montre que les deux expressions sont liées.
d Probabilités
Avant Jacques Bernoulli
Les jeux de hasard sont à l’origine des probabilités. Celles-ci naissent en 1654 dans des lettres entre Pascal et Fermat à propos de deux problèmes posés par le Chevalier de Méré. Le premier problème expose le fait que la probabilité d’obtenir 6 en quatre lancés de dés est
supérieure à alors que la probabilité d’obtenir un double 6 en 24 coups y est inférieure. Le
second problème parle d’un problème de points obtenus au cours d’un jeu.
Avant même que la publication de cette correspondance apparaisse Huygens définis les concepts fondamentaux dans son traité De Ratiociniis in Aleae Ludo (publié en 1657).
Jacques Bernoulli
Jacques introduit une loi qui porte son nom « Loi de Bernoulli » :
Soit une expérience aléatoire ayant deux issus possible : succès (de probabilité p) ou échec (probabilité q = 1 - p), on effectue l’expérience plusieurs fois de manière indépendante. L’espérance vaut p et la variance pq.
On peut représenter l’épreuve par un arbre probabiliste.
Estelle : Exemple d’application exercice
Les grands acteurs qui ont suivis :
Quelques années plus tard Laplace écrit Théorie Analytique des Probabilités qui parait en 1812.
C’est vers 1830, grâce aux travaux de Kolmogorov que le calcul des probabilités devient une discipline appart entière.
e Décomposition en éléments simples (Jean)
Jean établit en 1701 la méthode de décomposition des fractions rationnelles en éléments simples qui permet de calculer certaines primitives et intégrales.
Un élément simple est une fraction rationnelle de la forme : F= , .
Q est un polynôme unitaire irréductible, d(A) < d(Q).
Considérons F= , La partie entière E associé à cette fraction est le quotient de la division
euclidienne de P par Q.
Les formules suivantes ont été établies :Polynôme irréductible unitaire Elément simple
P=
P=
P= ,
Supposons que F= avec et ,…, irréductibles. Notons E la partie
entière de la division euclidienne de .
Cette écriture est unique.Pour calculer les coefficients, on ne réduit pas, en général, au même dénominateur. On peut tout d’abord étudier la parité de la fraction pour trouver des relations entre les coefficients (en tenant compte de l’unicité de la décomposition en élément simple). Pour un pôle de
multiplicité k, on calcule le coefficient du terme en multipliant la fraction par
, puis on simplifie l’expression obtenue avant de prendre sa valeur pour .
On peut ensuite, en multipliant par , puis en faisant tendre vers .
Enfin on peut prendre des valeurs particulières de différentes des pôles.
Cotes s’intéressera à ces décompositions et se penchera particulièrement sur le calcul des intégrales à partir d’éléments simples.
f Inégalité de Bernoulli :
Travaux de Jacques :
Si a>-1, a non-nul, et b>1, alors on a :
(1+a)b>1+ab
Nicolas : démonstration
II. Daniel Bernoulli
Né à Groningue, aux Pays-Bas, en 1700 fils de Jean Bernoulli, il retourne à Bâle, a cinq ans quand son père vient d’obtenir la chaire de mathématiques (après la mort de son oncle Jacques en 1705). Son père ne veut que Daniel étudie les mathématiques (comme son père auparavant) et Daniel entre à l’université de Bâle à 13ans pour étudier la philosophie et la logique. Il obtient une maitrise en 1716 mais attiré par les mathématiques il apprend beaucoup avec son frère Nicolas II. Son père, déterminé à ce que Daniel n’étudie pas les mathématiques, le pousse dans des études de médecine.
Il l’étudie en 1718 à Heidelberg puis à Strasbourg en 1719, pour terminer son doctorat à Bâle en 1720. Parallèlement Daniel apprend la physique tel que l’énergie cinétique grâce à son père. Il écrit d’ailleurs sa thèse sur les mécanismes de respiration en y appliquant mathématiques et physique (comme son père à la médecine). Daniel poste sa candidature pour deux postes à Bâle (en anatomie/botanique et l’autre en logique) mais il ne les obtient pas car la sélection finale est faite par tirage au sort.
Daniel part à Venise, il travaille sur les mathématiques et publie ses premiers travaux en 1724 Mathematical exercises avec Goldbach (dans lequel on a ses travaux en physique mais aussi en mathématiques tel que la probabilité et les équations différentielles de Riccati). Il obtient le prix de l’Académie de Paris grâce à des travaux en physique. Sa publication lui vaut de prendre la présidence de mathématiques à Saint-Pétersbourg. Son frère en obtient une aussi et c’est en 1725 qu’ils y sont réunis. Nicolas II meurt d’une fièvre quelques mois après ce qui affecte Daniel.
Euler (élève de son père) part travailler avec Daniel en 1727 ce qui va porter ses fruits en physique et en mathématiques. Il travailla pendant cette période sur la probabilité et l’économie politique. Daniel et son père se présentent au Grand prix d’académie de Paris et ils
sont déclarés tout les deux vainqueurs. Son père furieux que son fils soit arrivé à sa hauteur l’interdit de remettre les pieds chez lui, ce qui reflètent les rivalités dans la famille Bernoulli. On peut d’ailleurs citer le fait que lors de la publication d’Hydrodynamica en 1738, son père écrit Hydraulica un an plus tard anti daté de 7ans pour récolter les fruits du travail de Daniel ce qui montre la jalousie excessive de son père. Daniel continue de travailler sur le domaine de la physique, il remporte en tout 10 fois le grand prix de l’Académie de Paris (ancre marine, théorie des marées, essais sur le magnétisme, force sur les navires..). Il meurt en 1782 à Bâle.
a Problème de Riccati, équation différentielle.
Avant Daniel :
Jacopo Fresco Riccati est un physicien Italien. Dans le cadre de ses recherches il cherche à résoudre des équations différentielles du second ordre en 1920, parmi une d’entre elle on a : y' = q0 + q1 y + q2 y2, équation qui ne fut résolu que partiellement par Riccati.
Role de Daniel : En 1924, Daniel résout l’équation lorsque l’on connaît une solution particulière y1:On pose y = y1 + u et on remplace y dans l’équation de Riccati soit :
y1’ + u’ = q0 + q1 (y1 + u) + q2 (y1 + u) 2
et comme y1 est solution de l’équation on a:
et
Or ce qui est une équation de Jacques Bernoulli que l’on résout en posant par changement de variable u = 1/z ce qui ramène l’équation du second degré à une équation linéaire :
D’où la solution générale :
Avec z solution de l’équation obtenue avant.
Après Daniel :
Le fils de Riccati, Vicenzo, reprend le travail de son père et développe une méthode de résolution par tractoire.
Liouville prouve en 1841 qu'en dehors du cas avec h entier naturel,
l’équation n’est pas solvable par quadratures.
b Statistiques et probabilités :
Estelle + Chloé ( j’ai quelques citations je pense..)
III. Les autres membres de la famille
a Jean II
Jean II Bernoulli est un des fils de Jean Bernoulli. Diplômé en droit en 1727 (docteur en jurisprudence), il est professeur d'éloquence juridique à l'Université de Bâle. Il travaille sur les travaux mathématiques de son père mais mène également ses propres travaux. Jean II est un grand spécialiste de la chaleur et de la lumière. L’ensemble de ses travaux lui valent de recevoir quatre fois le Grand Prix de l'Académie des Sciences de Paris. Il reprend le poste de son père à l'université de Bâle quand il celui-ci décède.
b Nicolas III
Nicolas III Bernoulli est un des fils de Jean Bernoulli. Après des études brillantes de droit et de médecine entreprises dès l'âge de 13 ans
à l'Université de Bâle, il assiste son père dans sa correspondance. Il publie l’œuvre de son oncle Jacques « Ars conjectandi » en 1713 .On lui doit notamment des lettres parmi les plus célèbres défendant Leibniz face à Newton. En 1725, il obtient un poste à l'Université de Saint-Pétersbourg. Il meurt d’une fièvre, 8 mois après son arrivée, ce qui brise une carrière qui s'annonçait prometteuse. Il aura travaillé sur la géométrie des courbes, les équations différentielles, et les probabilités. Il énonce le paradoxe de Saint-Pétersbourg en probabilité.
Paradoxe de Saint-Pétersbourg
Nicolas Bernoulli met en évidence ce paradoxe dans une lettre en 1713. Celui-ci met en jeu l’espérance mathématique. Soit le jeu suivant :On lance en l'air une pièce de monnaie. Si face apparaît, la banque paie 2 ducats joueur, et on arrête le jeu. Sinon, on relance la pièce. Si face apparaît, la banque paie 4 ducats, et on arrête le jeu...et ainsi de suite. Enfaite la fois où face apparaît le jeu s’arrête et la banque donne 2 n
ducats au joueur avec n le nombre de lancé qu’il a fallu pour obtenir face. Le problème et de savoir quelle doit être la mise du joueur pour que le jeu soit équitable entre le joueur et la banque. Pour que le jeu soit équitable le joueur doit mettre autant que ce qu’il peut espérer
gagner en moyenne. La probabilité que face apparaisse au n ième lancé et de n, avec un gain
de 2n ducats. L'espérance totale s'obtient en sommant l'espérance de tous les cas possibles. On somme une infinité de termes qui valent tous 1 : la somme est bien sûr infinie. Il faudrait donc miser une infinité d'euros pour que le jeu soit équitable, ce qui est bien sûr impossible d’où le paradoxe car si la mise de départ était 10000 ducats par exemple personne ne voudrais jouer alors que l’espérance au jeu est très élevée.
c Johann III
Johann (III) Bernoulli fut le fils de Jean (II) Bernoulli. Il a certainement été considéré comme un prodige quand un enfant à une connaissance encyclopédique, et, comme beaucoup d'autres membres de sa famille extraordinairement talentueux, il a étudié le droit et a pris un intérêt dans les mathématiques. À l'âge de quatorze ans au début il a obtenu son diplôme avec le degré de maîtrise de droit. Il a été nommé à une chaire à l'Académie de Berlin à l'âge de seulement 19.
Frederick II lui a demandé de relancer l'observatoire astronomique de l'Académie, mais ce n'était pas une tâche pour laquelle Johann (III) a été particulièrement bien adaptée. Son état de santé n'a jamais été particulièrement bonne et de ses qualités d'observation astronomique sont relativement pauvres. Johann (III) Bernoulli a écrit un certain nombre d'ouvrages sur l'astronomie, l'établissement de rapports sur des observations astronomiques et les calculs, mais elles sont de peu d'importance. Curieusement ses plus importantes contributions ont été les comptes de ses voyages en Allemagne, qui devait avoir un impact historique.javascript:win1('../Glossary/probability_theory',350,200)
Dans le domaine des mathématiques, il a travaillé sur la probabilité, la fréquence des décimales et la théorie des équations. Comme dans ses travaux astronomiques il y avait peu d'importance durable. Il n'a, toutefois, de publier l'Leipzig Journal de mathématiques pures et appliquées entre 1776 et 1789. Il était bien conscient de la fameuse ligne de mathématiques à partir de laquelle il a été descendu et il s'occupait de la richesse des mathématiques écrits qui ont passé entre les membres de la famille. Il a vendu les lettres à l'Académie de Stockholm où ils sont restés oubliés jusqu'à 1877. À cette époque, lorsque ces trésors ont été examinés, 2.800 lettres écrites par Johann (III) Bernoulli lui-même ont été trouvées dans la collection.
d Jacob II
Jacob (II) Bernoulli est l'un des fils de Johann (II) Bernoulli. Il obtient un diplôme en droit, mais se dirige vite vers les mathématiques et la physique mathématique. Après la mort de son oncle Daniel il postule pour la place laissée libre à Bâle. Il présente alors des travaux en mathématiques de la physique mais il ne sera pas pris car le tirage au sort ne le choisit pas.Plus tard il reçoit une offre de place de Saint-Pétersbourg. Là-bas il commence à y écrire des œuvres importantes en physique sur des thèmes comme l'élasticité et l'hydrostatique qu'il présente à l’Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg.
Jacob (II) épouse une petite-fille d'Euler à Saint-Pétersbourg mais il meurt jeune, noyé dans le Neva à 29ans alors qu’il savait nager.
