1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Тольяттинский государственный университет»

институт математики, физики и информационных технологий

кафедра «Алгебра и геометрия»

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

НА ПРОЦЕНТЫ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

Б А К А Л А В Р С К А Я Р А Б О Т А

Направление подготовки: 44.03.05 Педагогическое образование

Направленность (профиль): Математика и информатика

Студент Л.Н. Ахтямова __________

Научный

Руководитель:к.п.н., доцент кафедры

алгебры и геометрииИ.В. Антонова __________

Допустить к защите

Заведующий кафедрой: д.п.н., проф. Р.А.Утеева __________

«_____»___________2016 г.

Тольятти - 2016

2

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................. 3

ГЛАВА I. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ

ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ ....................................................................................... 6

§1. Исторические аспекты развития понятия процента в математике ............. 6

§2. Задачи на проценты в программе и учебниках математики

основной школы ...................................................................................................... 9

§3.Методические особенности обучения учащихся решению основных

видов задач на проценты в курсе алгебры основной школы .......................... 14

3.1. Ознакомление с понятием процента через решение задач ................. 14

3.2. Методика обучения решению задач на проценты в 5-6 классах ....... 17

3.3. Методика обучения учащихся решению задач на проценты

в 7-9 классах ..................................................................................................... 37

ВЫВОДЫ ПО ПЕРВОЙ ГЛАВЕ ......................................................................... 50

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ОБУЧЕНИЮ

УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ В КУРСЕ

АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ ................................................................. 51

§ 4. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач

на проценты в курсе математики основной школы ........................................... 51

§5. Анализ задач ОГЭ по теме исследования ..................................................... 55

§6. Наборы задач по обучению учащихся основной школы решению

задач на проценты ................................................................................................ 60

6.1. Наборы задач для 5-6 классов ................................................................. 60

6.2. Наборы задач для 7-9 классов ................................................................. 63

ВЫВОДЫ ПО ВТОРОЙ ГЛАВЕ ......................................................................... 67

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................... 68

ЛИТЕРАТУРА ..................................................................................................... 69

3

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. Математика занимает значительное ме-

сто не только на всех ступенях образования, но и в жизни [1, С. 42]. Поэтому

важнейшая задача школы – давать подрастающему поколению прочные зна-

ния основ наук, вырабатывать у них навыки и умения, применять их на прак-

тике. Одной из основных и главных задач школы является формирование у

учащихся прочных знаний по математике. В настоящее время все больше

требуются специалисты высокого уровня, которые бы непосредственно свя-

заны были бы с применением математики – это и сфера бизнеса, и банков-

ские «продукты», магазины и др.

Большое практическое значение имеет умение учащимися решать зада-

чи на проценты. Понятие процента широко используется как в реальной жиз-

ни, так и в различных областях науки.

В школьном курсе математики тема «Проценты» начинает изучаться в

5-6 классах, но так как данной теме отводится достаточно мало времени на

уроках, учащиеся не умеют решать задачи на проценты. Многие учащиеся

испытывают трудности, когда встречаются с понятием процента. Так, они не

владеют вопросами, связанными с инфляцией, ценообразованием, банков-

скими вкладами и кредитами. Поэтому к данной теме необходимо обращать-

ся постоянно, учитывая, что проценты тесно связаны с повседневной жизнью

и с ними постоянно приходится сталкиваться. Кроме того, при поступлении в

различные колледжи и высшие учебные заведения требуются знание понятия

процента. При сдаче ОГЭ необходимо уметь решать задачи на проценты

различных типов [29, С. 45].

Все вышесказанное определяет актуальность данного исследования.

Кроме того, актуальность темы исследования обусловлена

сложившимся к настоящему времени противоречием между необходимостью

обучения учащихся решению задач на проценты в курсе математики

основной школы в соответствии с требованиями ФГОС основного общего

образования и фактическим состоянием методики обучения их решения

4

учащихся основной школы.

Проблема исследования состоит в определении путей качественного

усвоения темы «Проценты» и выявлении методических особенностей обуче-

ния учащихся основной школы решению задач на проценты.

Объект исследования: процесс обучения математике в основной шко-

ле.

Предмет исследования: методические особенности обучения учащих-

ся решению задач на проценты в школьном курсе математики основной шко-

лы.

Цель исследования: разработать методические материалы по обуче-

нию учащихся основной школы решению задач на проценты и методические

рекомендации по их применению.

Задачи исследования:

1. Рассмотреть исторические аспекты развития понятия процента в ма-

тематике.

2. Представить анализ программы и школьных учебников по теме по

теме исследования.

3. Выявить методические особенности обучения решению задач на

проценты в курсе алгебры основной школы.

4. Рассмотреть опыт работы учителей математики по теме исследова-

ния.

5. Разработать методические материалы (карточки для устного счета,

самостоятельные и контрольные работы, наборы задач) по обучению уча-

щихся 5-6-х и 7-9-х классов решению задач на проценты и методические ре-

комендации по их применению.

Для решения задач были использованы следующие методы

исследования: анализ учебно-методической литературы, работ по истории

математики, школьных программ, учебников и учебных пособий, изучение

опыта работы отечественной школы.

5

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в нем:

рассмотрены исторические аспекты развития понятия процента в математи-

ке; выявлены методические особенности обучения решению задач на про-

центы в курсе алгебры основной школы.

Практическая значимость заключается в том, что в ней представле-

ны методические материалы по обучению учащихся основной школы реше-

нию задач на проценты и методические рекомендации по их применению,

которые могут быть использованы учителями математики и студентами

педагогических направлений подготовки при прохождения ими педагогиче-

ской практики.

На защиту выносятся: методические материалы (карточки для устного

счета, самостоятельные и контрольные работы, наборы задач) по обучению

учащихся 5-6-х и 7-9-х классов решению задач на проценты и методические

рекомендации по их применению.

Бакалаврская работа состоит из введения, двух глав, заключения и

списка литературы.

Во введении сформулированы основные характеристики исследова-

ния: актуальность, противоречие, проблема, объект, предмет, цель, задачи и

методы исследования.

Глава I посвящена методическим основам обучения учащихся реше-

нию задач на проценты. Представлены исторические аспекты развития поня-

тия процента. Выявлены методические особенности обучения решению задач

на проценты в курсе алгебры основной школы.

В Главе II представлены методические материалы по обучению уча-

щихся 5-6-х и 7-9-х классов решению задач на проценты в курсе алгебры ос-

новной школы и методические рекомендации по их применению Приведен

анализ задач ОГЭ по теме исследования.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы про-

ведённого исследования.

Список литературы содержит 31 наименование.

6

ГЛАВА I. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ

В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

§1. Исторические аспекты развития понятия процента в математике

Проценты – одно из математических понятий, которые часто встреча-

ются в повседневной жизни. Слово «процент» происходит от латинских слов

pro centum, что буквально переводится «за сотню», или «со ста» [28,С.3].

Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выра-

жают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность

упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея

выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная прак-

тическими представлениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые

пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах

вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составлен-

ные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро опреде-

лить сумму процентных денег[2,С. 337].

Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли

проценты, применив так называемое тройное правило, то есть пользуясь

пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с приме-

нением процентов.

Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в

Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил долж-

ник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был уста-

новить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как

некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От

римлян проценты перешли к другим народам ».

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особо

много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время при-

ходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, то

7

есть сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы

и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабаты-

вали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы

» [24, С. 58].

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году

Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен

замечательным разнообразием научных открытий в том числе – особой запи-

си десятичных дробей.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и

убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денеж-

ных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встреча-

ются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Нынче процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого

(принимаемого за единицу).

Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия,

что знак % происходит от итальянского pro cento (сто), которое в процентных

расчетах часто сокращенно писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокра-

щения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник со-

временный знак процента. Развитие процента представлено ниже в виде

Схемы 1.

В учебнике Н.Я. Виленкина описана другая версия возникновения это-

го знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опе-

чатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована

книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик

вместо cto напечатал %.

В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные

доли, так называемые «промилле» (от латинского promille – «с тысячи»), обо-

значаемые, по аналогии процентов. Изобретение математических знаков и

символов значительно облегчило изучение математики и способствовало

дальнейшему ее развитию [2, С. 337].

8

Схема 1

Развитие понятия знака процента

В математике также говорили о предметах о некоторой заданной сово-

купности – деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах пита-

ния, то процент, разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно

говорят, что она «принимается за 100%».

Если речь идет о проценте от данного числа, то это число принимает-

ся за 100%. Например, 1% зарплаты – это сотая часть зарплаты; 100% зарпла-

ты – это 100 сотых частей зарплаты. Т.е. вся зарплата. Подоходный налог с

зарплаты берется в размере 13%, т. е. 13 сотых от зарплаты. Надпись «60%»

хлопка на этикетке обозначает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т. е.

более чем на половину состоит их чистого хлопка. 3,2 жира в молоке означа-

ет, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в

каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира) [11, С. 25].

Как известно из практики, с помощью процентов часто показывают из-

менение той или иной конкретной величины. Такая форма является нагляд-

ной числовой характеристикой изменения, характеризующей значимость

Pro cento

(Италия, 1684 г.)

Cento

(Италия, 1684 г.)

Cto

(Италия 1684 г.)

c/o

(Италия 1684 г.)

%

(Франция, 1685 г.)

9

произошедшего изменения. Например, уровень подростковой преступности

повысился на 3%, в этом ничего страшного нет – быть может, эта цифра от-

ражает только естественные колебания уровня. Но если он повысился на

30%, то это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения

причин такого явления и принятия, соответствующих мер [11, С. 26].

Таким образом, рассмотрев исторические аспекты развития понятия

«процента» отметим, что процентные расчеты впервые появились в древно-

сти у вавилонян, ими были созданы таблицы для расчета процентов. В Ин-

дии математики для расчета процентов применяли тройное правило, так же

расчетами процентов занимались в Древнем Риме и в Европе в средние века.

§2. Задачи на проценты в программе и учебниках

математики основной школы

В федеральном государственном образовательном стандарте основ-

ного общего образования [31] отмечается, что учащиеся должны уметь:

создавать, применять и преобразовывать знаки и символы, модели и

схемы для решения учебных и познавательных задач.

применять изученные понятия, результаты, методы для решения за-

дач практического характера и задач из смежных дисциплин с использовани-

ем при необходимости справочных материалов и компьютера.

Согласно Примерной программы основного общего образования по

математике учащиеся основной школы должны уметь:

переходить от одной формы записи чисел к другой, представлять

проценты в виде дроби и дробь в виде процентов;

решать текстовые задачи, включая задачи на проценты;

решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретиро-

вать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формули-

ровки задач;

создавать модель условия задачи, в которой даны значения двух из

трёх взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;

10

осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение

строится от условия к требованию и наоборот от требования к условию;

составлять план решения задачи;

выделять этапы решения задачи;

интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать

полученное решение задачи;

решать задачи на нахождение части числа и числа по его части;

находить процент от числа, число по его проценту, находить про-

центное отношение двух чисел, находить процентное снижение или про-

центное повышение величины [27].

Представим анализ учебников математики 5-х классов по теме иссле-

дования (Таблица 1).

Таблица 1

Учебники математики, 5 класс

Н.Я. Виленкин,

В.И. Жохов

Г.К. Муравин,

О.В. Муравина

Г.В.

Дорофеев,

И.Ф.

Шарыгина

Количество часов и тема

Проценты. Основные задачи на

проценты [2, С. 327] 6 часов

Процентные расчеты [19, С. 135]

6 часов -

Последовательность вводимых понятий

понятие процента

запись процента в виде десятич-ной дроби

запись десятичной дроби в виде процента

запись обыкновенных дробей в виде процентов

понятие процента

правило чтения процентов

нахождение процента от числа

нахождение числа по его процен-ту

нахождение процентного соотно-шения

-

Определение понятия процента

Процентом называют одну сотую

часть.

Процент означает сотую долю целого -

Цель

Сформировать у учащихся умения

решать основные виды задач на

проценты[10,С.26]

Научить учащихся находить процент

от числа, число по его проценту и

процентное соотношение, а также

сформировать у учащихся умения

решать простейшие задачи на про-

центы

-

11

В учебнике математике Н.Я. Виленкина c понятием процента ученики

знакомятся в 5 классе. По программе этому понятию отводится шесть часов.

За пять уроков нужно дать определение понятия процента, научить записы-

вать проценты в виде обыкновенных и десятичных дробей, наглядно пред-

ставить число процентов на рисунке как часть целого, научить решать про-

стейшие задачи на проценты, а на шестой урок провести контрольную рабо-

ту.

В учебнике рассматриваются 3 типа задач:

1тип: вычисление процента от числа;

2 тип: вычисления числа по его процентам;

3 тип: какой процент составляет одно число от другого [2, С. 327].

Все эти задачи решаются нахождением числа, соответствующего 1%,

после умножением или делением на число процентов. На этом этапе

большинство учеников хорошо справляются с поставленной задачей.

По учебнику под редакцией Г.В, Дорофеева и И.Ф. Шарыгина в 5

классе проценты не изучаются.

В учебнике Г. К. Муравина и О.В. Муравиной в 5 классе внимание

уделяется задачам на проценты, которые имеют разный сюжет: сборка

урожая; вычисление заработной платы; определение количества учащихся,

посещающих разные кружки, студии и секции; определение количества

монет и марок в собранной коллекции. Также есть задачи на деление фруктов

на части [19, С. 135].

Представим анализ учебников математики 6-х классов по теме иссле-

дования (Таблица 2).

В 6 классе в учебнике Н.Я. Виленкина школьники встречаются с

понятием проценты при решении задач на пропорции.

В учебнике Г.К. Муравина ученики рассматривают задачи, где

процентная база по ходу решения изменяется с задачами на «сложные

проценты»[20,С. 173].

В учебнике под редакцией Г. В. Дорофеева на тему проценты отводится

12

пять часов. Изучив тему «Нахождение дроби от числа», ученики вместе с

учителем, решают задачу на нахождение процента от числа по новому

правилу: здесь процент переводится в десятичную или обыкновенную дробь

и умножается на число [7, С. 250].

После изучения темы «Нахождение числа по его дроби» так же

рассматривают задачу на нахождение числа по его проценту, которая

решается переводом процентов в обыкновенную или десятичную дробь и

делением числа на полученную дробь.

Таблица 2

Учебники математики, 6 класс

Н.Я. Виленкин,

В.И. Жохов

Г.К. Муравин,

О.В. Муравина

Г. В. Дорофеев

И. Ф. Шарыгина

Количество часов и тема

Пропорции.

Задачи на пропорции

3 часа

Решение задач на процен-

ты[20, С.173]

2 часа

Что такое процент[7, С. 250]

5 часов

Последовательность вводимых понятий

Пропорция Процентное содержание

Понятие процента.

Нахождения процента вели-

чины

Основные понятия

Пропорция – это равенство

двух отношений

Процентным содержани-

ем вещества в сплаве

называется отношение

массы этого вещества к

массе всего сплава, выра-

женное в процентах.

Процентное содержание в

растворе называется кон-

центрацией

Процентом от некоторой

величины называется одна

сотая ее часть

Цель

Сформировать понятие про-

порции и умение решать зада-

чи на пропорции с помощью

процентов[10,c.29]

Сформировать понятие

процентного содержания и

научить решать более

сложные задачи на про-

центы.

Познакомить учащихся с

понятием процента, сформи-

ровать часто встречающиеся

обороты речи со словом

«процент» [10,c.39]

В теме «Отношения» ученики анализируют задачу на процентное

отношение, где частное двух чисел умножается на 100% [7, С. 250].

Представим анализ учебников алгебры 7-9-х классов по теме исследо-

вания (Таблица 3).

13

В учебнике алгебры 7 класса Ю.Н. Макарычева и др. проценты

встречаются при решении задач с помощью линейных уравнений[14, С.194].

По учебнику алгебры 7 класса под редакцией Г.В. Дорофеева рассмат-

ривается тема «Задачи на проценты», где ученики решают задачи с более

сложными процентами на нахождение процента от величины и на нахожде-

ние величины от процента [8, С.121].

Таблица 3

Учебники алгебры, 7 класс

Ю.Н. Макарычев

Н.Г. Миндюк

Г.К. Муравин,

К.С. Муравин

Г.В. Дорофеев

И.Ф. Шарыгина

Количество часов, класс и тема

Решение задач с помощью

линейных уравнений[14,

С.194]

3 часа

Математическая модель тексто-

вой задачи[21, С.30]

4 часа

Задачи на процен-

ты[8,С. 121]

3 часа

Последовательность вводимых понятий

понятие «линейное урав-нение с двумя переменны-

ми»

алгоритм решения систем систем двух линейных урав-

нений с двумя переменными

задачи на смеси и сплавы нахождение про-цента от величины

нахождение вели-чины от процента

Основная цель

Выработать умение решать

системы линейных уравне-

ний и применять их при ре-

шении задач, в том числе

задач на проценты [10,

С.82]

Сформировать умение составлять

математическую модель тексто-

вой задачи, научить решать зада-

чи на сплавы и смеси [10, С. 93]

Научить учащихся

пользоваться эквива-

лентными представ-

лениями чисел в ходе

решения задач, обес-

печить дальнейшее

развитие вычисли-

тельных навыков и

умений решать задачи

на проценты [10,

С.104]

В 8-9 классах задачи на проценты рассматриваются в разделе «ПОВТОРЕНИЕ» и в

заданиях ОГЭ.

В учебнике алгебры 7 класса Г.К. Муравина и др. приводятся задачи на

смеси и сплавы, ученики учатся составлять математическую модель к тексто-

вой задаче[18, С.30].

В 8-9 классах задачи на проценты рассматриваются в разделе

повторения, в который включены и задачи на проценты. Также ученики

14

сталкиваются с более сложными задачами на проценты при решении заданий

ОГЭ.

Таким образом, проанализировав учебники, мы можем сказать, что

решение текстовых задач на проценты предусмотрено в 5-6 классах, а в 7-9

классах на данную тему отдана незначительная часть времени, что может

сказаться при сдаче учащимися ОГЭ.

§3. Методические особенности обучения учащихся решению

основных видов задач на проценты в курсе алгебры основной школы

3.1. Ознакомление с понятием процента через решение задач

Л.В. Виноградова пишет, что процент - есть частный случай

десятичной дроби, это дробь. Поэтому на проценты распространяется теория

десятичных дробей. Проценты получили особое значение сначала при

коммерческих расчетах, например при вычислении прибыли и убытка с

капитала или капитала по принесенной им прибыли. В дальнейшем область

применения процентов расширилась. Проценты стали применяться и в науке

(физике, технике, химии, медицине и др.), и в жизненной практике [4, С.26].

Так, Ю.М. Колягин отмечает, что велика также роль процентов в по-

вседневной жизни, очень часто приходится решать задачу типа «Товар стоит

а рублей, потом его цену снизили на 𝑝 %, затем еще на 𝑏 %. Сколько стал

стоить товар? Решение даже этой простейшей задачи на проценты у многих

вызывает затруднение [17, С.330].

Основной вопрос темы «Проценты» — это приложение теории дробей

к решению задач, никакие новые теоретические вопросы в эту тему не

входят. Благодаря различному их применению проценты занимали

неодинаковое положение в программах и учебниках школ; давались

различные определения процента и в связи с этим разные способы решения

задачи на проценты. В дореволюционных учебниках понятие процента

связывалось с коммерческими расчетами, например: «Если кто-нибудь

занимает деньги, то он платит за это лицу, которое дало эти деньги,

15

определенное количество рублей с 100, эта плата и показывает количество

или таксу процентов (pro centum — на сто)». Дальше. «Заметим, что слово

«процент» употребляется не только при денежных расчетах, но и вообще для

выражения прибыли или убыли на каждую сотню каких-нибудь предметов».

«Из предыдущего следует, что один процент с какого-нибудь числа есть

сотая часть числа» В связи с определением процента как прибыли или убыли

со ста применялось тройное правило при решении задач на проценты, то есть

эти задачи решались при помощи пропорций или приведения к единице.

Г.В. Дорофеев отмечает, что в ряде задач, где требуется сравнить

дроби, находят их приближенные выражения в сотых долях. Сотые доли

получают особое значение. Напоминается, что наиболее употребительные

доли единицы получили особые названия: одну вторую называют половиной,

одну третью долю — третью, одну четвертую — четвертью. Поэтому и сотая

доля получила особое название «процент» и особое обозначение %. Полезно

рассказать о происхождении слова «процент». Следует сказать, что в

некоторых вопросах дроби выражают не в сотых, а в тысячных долях.

Тысячные доли в этих случаях тоже получили особое название «промилле» и

обозначаются %. Например, в тысячных долях выражают пробу драгоценных

металлов: в сплаве золота 825-й пробы содержится чистого золота по весу

0,825 всего сплава или 825%. Так как числа, выраженные в процентах- это

дроби с знаменателем сто, никаких новых правил действий над числами,

выраженными в процентах, не вводится и задачи на проценты решаются так

же, как задачи на дроби [10, С.19].

В теории и методике обучения математике выделяют три типа задач

на проценты:

нахождение числа от процента;

нахождение процента от числа;

нахождение процентного соотношения.

Решение двух видов задач на проценты в V классе проводилось после

изучения всех действий над десятичными дробями и помогает закреплению

16

умножения и деления на десятичную дробь. В курсе VI класса все сведения,

полученные учениками о процентах, приводятся в систему, рассматриваются

три вида задач на проценты, более сложные случаи применения процентов,

например: а) задается дробное число процентов, б) находят проценты от

процентов. Задачи полезно использовать не только для закрепления понятия

«проценты», но и для повторения соответствующих задач на дроби[17,С.123]

Ю.М. Колягин отмечает, что прежде чем приступить к решению задач

на проценты, следует провести упражнение на запись процентов в виде

дробей. Перед решением задач на нахождение процентного отношения двух

чисел следует дать упражнения на выражение различных чисел в процентах.

В основу системы этих упражнений можно положить следующие случаи:

1)число процентов, получающееся в результате,— целое число процентов;

2)число процентов— конечная десятичная дробь; 3)число процентов —

обыкновенная дробь, не выражающаяся конечной десятичной дробью;

4)приближенное выражение в процентах с заданной точностью.

В настоящее время тема «Проценты» изучается в курсе математики 5-6

классов.

По мнению В.С. Крамора, для усвоения данной темы школьникам

необходимо иметь достаточный уровень развития абстрактного мышления,

но в возрасте 10-11 лет абстрактное мышление еще недостаточно развито,

поэтому учащиеся 5, 6 классов усваивают проценты с трудом. В последую-

щих классах в действующих учебниках алгебры проценты встречаются

крайне редко, и каждый раз вызывают большие затруднения у школьников.

Это особенно становится заметным при организации повторения в процессе

подготовки к итоговой аттестации за курс девятого класса: даже стандартные

задачи, взятые из «Экзаменационного сборника» вызывают затруднения у

большинства учащихся [11, С. 69].

В основном с задачами на проценты учащиеся сталкиваются на уроках

химии и решают их с помощью пропорций, поэтому учащиеся не видят уни-

версальность процентов и не могут решать простейшие задачи на проценты,

17

встречающиеся в другой сфере деятельности человека.

Ю.М. Колягин утверждает, что задачи на проценты в действующих

учебниках алгебры встречаются редко, и каждый раз вызывают большие за-

труднения у школьников. Это особенно становится заметным при организа-

ции повторения в процессе подготовки к итоговой аттестации за курс девято-

го и одиннадцатого класса [17, С. 48].

3.2. Методика обучения решению задач на проценты в 5-6 классах

В данном параграфе рассмотрим различные подходы к обучению ре-

шения задач на проценты в школьных учебниках для общеобразовательных

классов и классов с углубленным изучением математики.

В учебнике «Математика 5» Г.К. Муравина, О.В. Муравиной перед тем

как ввести понятие процента учащимся напоминают, что некоторые доли вы-

ражают довольно большие части целого. А в тех случаях, когда нужны ма-

ленькие части, обычно используют проценты. После чего, предложено опре-

деление понятия процента: слово процент происходит от латинских слов pro

centum (на сто) и означает сотую долю целого. Проценты обозначают с по-

мощью специального знака «%»[19, С. 135].

После определения понятия приводятся примеры.

Пример 1. 1% - это 0,01 часть целого.

Пример 2. 12,5% - это 0,125 целого.

На понятие процента предлагаются следующие виды задач:

№1.Верно ли, что: 1) 1% от 1м равен 1см; 2) 1а равен 1% от 1 га.

№2.Какое число отличается от других:

1% от 34; 0,01∙34; 0,1∙34;1

100∙ 34.

Также в учебнике приводится правило чтения процентов: в слове

«процент» ударение ставится на второй слог во всех падежах в единственном

и множественном числе.

Слово «процент» читается в том же падеже, что и числительное.

18

После правила чтения процентов авторы указывают, что при сравнении

двух величин за 100% принимается та, с которой проводится сравнение. Во

всех задачах на проценты сначала следует понять, какая величина принима-

ется за 100%.

После чего рассматриваются задачи на рассмотрения процента от чис-

ла:

№ 3. Найдите:1)1% от 435;2) 2% от 111;3) 5% от 125.

№4.Найдите число, зная что:1% его равен: а) 3; б) 40; в)2,4; г)0,07 .

Так же в учебнике «Математика 5» Г.К. Муравина, О.В. Муравиной в

конце параграфа предложены задачи на смекалку на нахождение процента от

числа(№840,№842) и числа по его проценту(№841, №843):

№840. Что больше: 15,5% от 49 или 49% от 15,5?

№841. Найдите наименьшее натуральное число, 20% которого больше,

чем 1,2.

№842. Мультфильм «Шрек» смотрели все 30 учеников класса. При

этом «Шрек -1» посмотрели 90% учеников, а «Шрек - 2» - 70%.

Сколько учеников видели обе части мультфильма – и «Шрек - 1», и

«Шрек - 2»?

№843.Из пунктов A и Bодновременно навстречу друг другу вышли

Миша и Маша. Кто из них пройдет к моменту встречи большее расстояние,

если шаг Маши на 30% короче шага Миши, а Миша сделает на 30% меньше

шагов, чем Маша [19, C.137].

Кроме того, в данном учебнике после изучения темы «Процентные

расчеты» предложены контрольные задачи, на основные виды задач на про-

центы:

1. Найдите 1% от числа : а) 3457; б) 2,45.

2. Из молока получают 12% творога. Сколько творога можно получить

из 25 кг молока? Сколько нужно взять молока, чтобы получить 1 кг творога?

3. С понедельника по пятницу чайник «Tefal» в магазине стоит 860 р., а

в субботу его цена составляет 817 р. На сколько процентов магазин снижает

19

цену на чайник по субботам?

В учебнике Н.Я. Виленкина и В.И.Жохова «Математика 5» сначала

вводится определение понятия «Процента».

Определение: Процентом называют одну сотую часть. Для краткости

слово «процент» после числа заменяют знаком %[2, С.327].

Далее рассматривается задача на нахождение процента от числа:

Задача 1. Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32%

составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона

выпустила фабрика?

Авторы приводят решение данной задачи.

Решение. Так как 1200 костюмов – это 100% выпуска, то, чтобы найти

1% выпуска, надо 1200 разделить на 100 . Получим, что 1200: 100 = 12 ,

значит 1% выпуска равен 12 костюмам. Чтобы найти, чему равны 32%

выпуска, надо умножить 12 на 32 . Так как 12 ∙ 32 = 384 , то фабрика

выпустила 384 костюма нового фасона.

После этого разбирается задача на нахождение числа по его проценту.

Эта задача также, рассматривается с решением.

Задача 2. За контрольную работу по математике отметку «5» получили

12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

Решение. Сначала узнаем, чему равен 1% всех учеников. Для этого

разделим 12 на 30.

Так как 12:30=0,4, то 1% равен 0,4. Чтобы узнать чему равны 100%

учащихся, надо умножить 0,4 на 100. Так как 0,4 ∙100=40, то в классе 40

учеников.

Также авторы приводят задачу на нахождение процентного

соотношения.

Задача 3. Из 1800 га колхозного поля 558 га засажено картофелем.

Какой процент поля засажен картофелем?

Как и в предыдущих задачах, авторы рассматривают решение данной

задачи.

20

Решение. Картофелем засажено 558

1800 всего поля. Обратим дробь

558

1800в

десятичную. Для этого разделим 558 на 1800. Получаем 0,31. Значит,

картофелем засажена 31 сотая всего поля. Каждая сотая равна 1% поля,

поэтому картофелем засажен31% всего поля.

После авторы учебника вводят теоретические сведения, которые

ученики должны знать наизусть:

1) Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, нужно ее умножить

на 100 [2, С. 328].

Пример 1.0,982=0,982∙100%=98,2%;

2)Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, нужно разделить

число процентов на 100.

Пример 2.38% =38:100=0,38.

После введения теоретических сведений, рассматривается правило

чтения процентов: Ударение в слове процент в единственном и

множественном числе во всех падежах сохраняется на втором слоге.

Пример 3.Сто один проце́нт; не более восемнадцати проце́нтов.

Так же в учебнике «Математика» для 5 классов Н.Я. Виленкиным и

В.И. Жоховым после изучения темы «Проценты» предложены вопросы для

самопроверки:

1. Что называют процентом?

2. Как называют 1% от центнера, метра, гектара?

3. Как обратить десятичную дробь в проценты?

4. Как перевести проценты в десятичную дробь?

После чего, ученикам предложены задачи по пройденной теме «Про-

центы» вида:

№ 1. Запишите в виде десятичной дроби:

1%; 6%;45%;123%;2,5%;0,4.

№2. Запишите в процентах десятичные дроби:

0,87; 0,07; 1,45; 0,035; 2,672; 0,907.

21

№3. Запишите обыкновенные дроби1

2;

1

4;

3

4;

2

5;

17

50в виде десятичных, а

потом в виде процентов.

В учебнике Н.Я. Виленкина и В.И. Жохова «Математика 6» проценты

встречаются при изучении темы «Отношения и пропорции».

Прежде чем ввести определение понятия отношения, автор рассматри-

вает задачу:

Задача 1.От куска меди длиной 5 м отрезали 2 м. Какую часть куска

материи отрезали?

Решение. Сначала находится, какую часть всего куска материи состав-

ляет 1 м. так как в куске 5 м, то 1 м составляет 1

5куска. Значит, 2 м составляют

2

5 всего куска материи. Тот же ответ можно получить, разделив 2 на 5. Дей-

ствительно, 2:5 =2

5. Ответ можно также записать в виде десятичной дроби или

в процентах: 2

5= 0,4 = 40%.

Ответ: 40%

После чего Н.Я. Виленкина и В.И. Жохова вводит определение понятия

отношения: Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отно-

шение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую

часть первое число составляет от второго [3,C. 117].

Если значение двух величин выражены одной и той же единицей изме-

рения, то их отношение называют также отношением этих вели-

чин(отношением длин, отношением масс, отношением площадей и т. д.).

Далее авторы рассматривают вторую задачу с решением.

Задача 2. Длина железной дороги 360 км. Электрифицировано 240 км

этой дороги. Какая часть дороги электрифицирована? Во сколько раз вся до-

рога длиннее ее электрифицированной части?

Решение. Чтобы найти, какая часть электрифицирована, берется отно-

шение 240:360. Записывается это отношение в виде дроби и сокращается на

22

120. Получится 360: 240 =360

240=

3

2= 1

1

2= 1,5. Значит, вся дорога в 1,5 длин-

нее ее электрифицированной части.

Ответ: 1,5 .

Авторы пишут, что числа 2

3 и

3

2взаимно обратные, поэтому и отноше-

ния 2 к 3 и 3 к 2 называются взаимно обратными.

Также авторы отмечают: еслизначения двух величин выражены разны-

ми единицами измерения, то для нахождения отношения этих величин надо

предварительно перейти к одной единице измерения[3,C. 118].

Для примера авторы приводят задачу с решением.

Задача 3.Масса станка 9,6 ц., а масса электромотора 36 кг. Найдите от-

ношение массы электромотора к массе станка.

Решение.Масса станка выражается в килограммах. Получается 9,6 ц =

960 кг. Значит, отношение электромотора к массе станка равно 36

960=

3

80=

0,0375.

Итак, масса электромотора составляет 0,0375 массы станка.

Этот ответ можно выразить в процентах 0,0375 = 3,75 %.

Значит, масса электромотора составляет 3,75 % массы станка.

Ответ: 3,75 %.

Кроме того, в учебнике Н.Я. Виленкина рассмотрены разные способы

использования термина отношение в речи.

Отношение 25 : 27 можно читать:

отношение числа двадцать пять к числу двадцать семь;

отношение чисел двадцать пять и двадцать семь;

отношение двадцати пяти к двадцати семи.

После изучения темы авторами приведены вопросы для самопроверки

вида:

1. Что называют отношением двух чисел?

2. Что показывают отношение двух чисел?

3. Как узнать, какую часть число 𝑎 составляет от числа 𝑏?

23

4. Как узнать, сколько процентов одно число составляет от другого?

Кроме того, в учебнике Н.Я. Виленкина и В.И. Жохова после темы

«Отношения» изучается тема «Пропорции».

Перед тем как ввести определение понятия пропорции авторы рас-

сматривают пример: отношения 3,6 : 1,2 и 6,3 : 2,1 равны, так как после вы-

числения значения частных равны 3. Поэтому пишется равенство 3,6 : 1,2 =

6,3 : 2,1, или 3,6

1,2=

6,3

2,1.

После чего вводится определение понятия пропорции: равенство двух

отношений называют пропорцией[3, C.123].

Пропорция с помощью букв записывается в виде: 𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑 или 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑.

Эти записи читаются так: «Отношение 𝑎 к 𝑏 равно отношению 𝑐 к 𝑑 » или

«𝑎 так относится к 𝑏, как 𝑐 относится к 𝑑 ».

В пропорции 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 числа 𝑎 и 𝑑 – крайние члены, а числа 𝑏 и 𝑐средние

члены пропорции. Все члены пропорции должны быть отличны от нуля.

В пропорции 3,6

1,2=

6,3

2,1 находится произведение крайних и произведение

средних членов, 3,6 ∙ 2,1 = 7,56, 6,3 ∙ 1,2 = 7.56 , получается 7,56 =

7,56.значит 3,6 ∙ 2,1 = 6,3 ∙ 1,2.

Далее авторы вводят утверждение: в верной пропорции произведение

крайних членов равно произведению средних.

Так же авторами вводится обратное утверждение: если произведение

крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция

верна.

После утверждений вводится основное свойство пропорции.

Пропорция 20: 16 = 5: 4 верна, так как 20 ∙ 4 = 16 ∙ 5 = 80.

Поменяв местами в этой пропорции средние члены, получится новая

пропорция 20 ∶ 5 = 16 ∶ 4. Она тоже верна, так как при такой перестановке

произведение крайних и произведение средних членов не изменилось. Эти

24

произведения не изменятся, если в пропорции 20 ∶ 5 = 16 ∶ 4 поменять ме-

стами крайние члены.

Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние

члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.

Используя основное свойство пропорции, можно найти неизвестный

член пропорции, если все остальные члены известны [3, C.124]

После рассмотрения основного свойства пропорции авторы рассматри-

вают примеры.

Пример 1.Найти в пропорции 0,5 ∶ 𝑎 = 2 ∶ 13 неизвестный средний

член 𝑎.

Решение. Используя основное свойство пропорции, получится 𝑎 ∙ 2 =

0,5 ∙ 13. Отсюда 𝑎 =0,5∙13

2, 𝑎 = 3,25.

Пример 2.Решите уравнение: 8,75

33

4

=𝑥

0,75 .

Решение. Используя основное свойство пропорции, получится

8,75 ∙ 0,75 = 33

4𝑥

𝑥 =8,75 ∙ 0,75

33

4

𝑥 =8,75

5

𝑥 = 1,75.

После изучения темы «Пропорции» авторы приводят задачи для за-

крепления данной темы.

П.В. Лещев в своей статье «Изучение процентных вычислений в связи с

обыкновенными дробями» пишет, что процент – частный вид дробей, а их

изучение в школьном курсе является приложением теории дробей к решению

задач. При изучении каждого из разделов темы «Проценты» он рассматрива-

ет задачи на проценты как задачи на дроби со знаменателем 100 и изучает их

с учащимися параллельно изучению умножения и деления обыкновенных

25

дробей (нахождение дроби от числа, нахождение числа по его дроби и

нахождения отношений двух чисел) [13,C.78].

В данной статье он описывает свой опыт изучения процентов в связи с

изучением обыкновенных дробей.

Приступая к выяснению понятия «Процент» прежде всего он сообщает

учащимся, что проценты имеют широкое практическое применение, напри-

мер, при определении посещаемости и успеваемости в школе, при выполне-

нии производственных планов на заводе и в сельском хозяйстве, при денеж-

ных расчетах в госбанке, сберкассе и т.д.

Затем на конкретных понятиях и задачах, а также при помощи нагляд-

ных пособий приступает к выяснению понятия процента.

П.В. Лещев рассуждает, что наиболее употребительные доли единицы

получили особые названия, например: одну вторую называем половиной, од-

ну третью долю – третью, одну четвертую – четвертью, точно так же и сотая

доля получила название процент.

Сотая часть какого-нибудь числа и называется процентом этого числа.

Далее, на квадрате или на круге, а также на метре, изображенных на

Рис.1, поясняет, что одна часть круга или одна клетка квадрата составляет 1

100

часть, а следовательно, 1% каждой из данных фигур; 5 таких частей круга

или 5 клеток квадрата составляют5

100, или 5 %; 25 секторов или 25 клеток –

25% и т.д.Точно так же сантиметр составляет 1

100 или 1%, от метра, 5 см -

5

100

метра, или 5%; 25 см - 25

100 метра, или 25%.

Найдите: а) 1%, 30 %, 45 % от рубля; б) 1%, 55%, 80% от ара.

Далее следуют упражнения:

А. В чтении чисел, обозначающих проценты:

«Прочитайте: 15%, 201

2 %, 72%, 95% ».

Б. В записи названного учителем числа процентов.

«Запишите: 17%, 101

2 %, 62%, 87%».

26

Затем учащимся предлагается найти заданное число процентов

В. В решении простейших задач, связанных с понятием о проценте,

например:

Рабочий получил 600 руб. зарплаты, из которых 6 рублей он издержал

на гостинцы для дочки. Какую часть и сколько процентов полученных денег

рабочий издержал на гостинцы?

Учащиеся из данной задачи устанавливают, что 6 руб. от 600 руб. со-

ставляют 1

100 часть, а следовательно, 1% числа 600.

С понятием о проценте тесно связано понятие о числе, составляющем

100%. Чтобы ознакомить учащихся с этим понятием, автор прибегает к тому

же кругу или квадрату, на котором можно показать, что если 1 клетка квад-

рата составляет 1% его, то весь квадрат имеет 100 таких клеток, или 100%;

половина квадрата – это 50%, а весь квадрат содержит 2 раза по 50%, или

100%. Аналогично 1

100 , или 1%, от числа 200 составляет число 2, но в числе

200 по 2 содержится 100 раз, значит, число 200 составляет 100% [13, C. 79].

Рис.1.

27

Автор отмечает, что после проведения такого вида работы учащимся

становится ясно, что, то число, от которого находится или найден один или

несколько процентов, принимается за 100%.

С понятием процента числа также связана и замена числа процентов

дробью и обратно.

Ознакомление учащихся с заменой числа процентов и дроби процента-

ми имеет целью углубить понятие о проценте, как о доле единицы. При этом

используется тот же квадрат (или круг) , на котором можно показать, что

50% числа составляют 1

2 его и, наоборот,

1

2 числа – это 50%.

Таким учащиеся убеждаются в том, что число процентов можно заме-

нить долями единицы, а последние – процентами. Затем учащимся дается са-

мостоятельная работа.

Пользуясь квадратом (или кругом), найти:

а) сколько процентов составляют 1

2,

1

4,

1

5 квадрата (или круга)?

б) Какую часть единицы составляют: 40% , 60%, 75% и 80%.

Затем П.В. Лещев рассматривает вид задач на проценты: «Нахождение

процентов данного числа». Он пишет, что при решении устных и некоторых

письменных задач этого вида, как и при решении подобных задач на нахож-

дение дроби числа, бывает проще разделить данное число на знаменатель

дроби и результат умножить на числитель дроби. В задачах на нахождение

процентов числа эти два этапа сводятся к следующему:

а) нахождение сначала 1% числа;

б) потом нескольких процентов числа.

С задачами на нахождение одного процента числа учащиеся уже встре-

чались при знакомстве с понятием о проценте, напоминает автор статьи, и

поэтому рассмотрение этого вопроса сводится к повторению задач и приме-

ров такого вида:

а) найдите 1

100 от чисел: 500, 750.

б) найдите 1% от чисел: 400, 450.

28

в) Задача. В нашей школе 200 учащихся, 1% которых на занятиях сего-

дня отсутствует. Сколько и какая часть всех учащихся отсутствует в школе?

П.В. Лещев пишет, что этих примеров достаточно для следующего вы-

вода: чтобы найти 1% числа, надо данное число разделить на 100 или умно-

жить на 1

100 .

Далее рассматривается нахождение нескольких процентов числа. В ка-

честве пособий для наглядного представления решения примеров и задач при

объяснении этого вида процентных вычислений автором используется метр,

квадрат или круг, ученический учебник; например:

- Посмотрите, сколько страниц имеет ваш учебник по арифметике?(224

стр.).

- Перелистав 25% страниц учебника, вы найдете задач № 263. На какой

странице значится указанная задача?

- Запишем условие задачи:

Найти: 25% от 224 страницы.

- В этой задаче следует найти не 1%, а несколько процентов от числа, и

чтобы найти номер требуемой страницы, не смотря нВ учебник, найдем сна-

чала 1% искомого числа страниц учебника.

- Как найти 1% от 224 страниц? (Надо 224 страницы разделить на 100,

получится 26

25 стр.)

- Если 1% от 224 страниц учебника составляет 26

25 страницы, то как

найти, сколько страниц составляет 25% числа страниц учебника? (26

25 стра-

ницы умножить на 25).

- Почему? (Потому, что 25% составляет число больше 1% в 25 раз).

Запись решения:

1% от 224 стр. = 224:100=26

25 стр.

25% от 224 стр. = 26

25∙ 25 = 56 стр.

Ответ: задача №263 находится на 56-й странице учебника.

29

Далее рассматриваются устные упражнения.

1) В классе 36 учащихся, из них 25% отличников. Сколько в классе от-

личников?

Какую часть числа составляют 25%?

Сколько учащихся в классе?

Какую часть из них составляют отличники?

Как найти четверть 36?

Аналогично решается еще задача.

2) За день коровы колхозной фермы дали 480 л молока, 75 % которого

сдали на сепараторный пункт. Сколько литров молока сдали на сепараторный

пункт?

После этого, записав на доске ряд примеров, предлагается учащимся

вычислить устно.

1) 50% от 236; 𝑥 = 236:2=118;

2) 10% от 160; 𝑥 = 160: 10 = 16;

3) 20% от 105; 𝑥 =105: 5= 21;

4) 40% от 125; 𝑥 =125: 5∙2=50;

5) 60% от 150; 𝑥 =150:5∙ 2=90.

На основе решения рассмотренных задач и примеров делается вывод:

а) Чтобы вычислить 50% , 25%, 10%, 20%, 5% числа, надо данное число

соответственно разделить на 2, на 4, на 10, на 20.

б) Вычислить 75%, 40%, 60%, 80% числа – значит найти: 3

4,

2

5,

3

5,

4

5 его.

Далее приводятся более сложные задачи на проценты. Рассмотрим од-

ну из них

Задача. Сберегательная касса выплачивает вкладчику 2% годового

дохода. Сколько выплатит сберкасса процентных денег вкладчику за 9 меся-

цев, если в вклад составляет 1600 руб.?

Как узнать, сколько процентных денег выплатила сберкасса вкладчику

за год? (Надо найти 2% от 1600 руб.).

30

Запишем условие и решение первой части задачи:

1600 руб. – 100%

𝑥 = 1600 ∙ 2

100= 32 руб.

Сколько времени был вклад в сберкассе?(9 месяцев).

Какая это часть года?(3

4).

Как узнать сколько выплатит сберкасса процентных денег за 3

4 года?

(Надо найти 3

4 от 32 руб.)

Запишем условие и решение второй части задачи:

32 руб. – за 1 год,

𝑥 руб. −за 3

4 года

𝑥 =32∙3

4=24 руб.

Формула решения задачи:

𝑥 =1600 ∙ 2

1000∙

3

4(руб. ).

Затем П.В. Лещев рассматривает тему «Нахождение числа по данному

его проценту ».

Этот вид процентных вычислений усваивается учащимися труднее,

чем предыдущий. Автор практикует следующий порядок изучения этого во-

проса [13, C.80].

Сущность вопроса П.В. Лещев выясняет с помощью наглядного приме-

ра, на прямоугольнике, состоящем из 200см2, часть которого видна, а другая

закрыта бумагой.

По черте�