弾性波動デバイスPart 2: 高周波フィルタ
千葉大学大学院工学研究科
人工システム科学専攻電気電子系コース
橋本研也
平成22年4月3日版
•LCフィルタの設計
•••定定定KKK、、、誘導誘導誘導mmm型フィルタの設計型フィルタの設計型フィルタの設計
•••ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計
•••格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計
•••結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計
•••多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計
•••トランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタ
内容
•受動・リアクティブ素子による特性合成
•雑音・非線形性弱
•高Q共振子(弾性波、電磁波)の利用(インダクタは低Q)
•インピーダンス整合要
•どうやって素子毎に微妙なインピーダンスを調整?
高周波フィルタ≒受動フィルタ
同一もしくは整数倍のインピーダンスの利用
同時に作れば相対的な誤差少
C2
R0
R0
L1 L1 R0
R0C1 C1
L2
ESES
3エレメントT型LPF 3エレメントπ型LPF
C2
L1 L3
C2
L1
5エレメントT型LPF
C2
L1 L3
C3
L3
C2
L1
7エレメントT型LPF
C1 C3
L2
C1
L2
5エレメントπ型LPF
C1 C3
L2
C3
L4
7エレメントπ型LPF
C1
L2
C1
L1 L2
C2
L3=L2
C3=C1
L4=L1
C1C3
L2
C5=C3
L4
C7=C1
L6=L1I1 I2
V1 V2
I1 I2
V1 V2
76
5
4
3
2
1
11
11
11
11
1)(
sLsC
sLsC
sLsC
sLsY
++
++
++
=
76
5
4
3
2
1
11
11
11
11
1)(
sCsL
sCsL
sCsL
sCsZ
++
++
++
=
Y11もしくはZ11から回路定数を決定
回路構成法は一意でない
23
23
22
22
21
21
011222)(
sssk
sssk
sssksksZ
++
++
++=
と変形すれば、
L0L1 L2 L3
C1 C2 C3
s=jωここで
無損失、対称からS22=S11、S12=S21、|S11|2+|S21|2=1、S11S21
*+S11*S21=0
所望のS21を与えるS11は一意でない
221
211
221
211
011 )1(1
SSSSGY−+
+−= 2
212
11
21012 )1(
2SS
SGY−+
−=
221
211
221
211
011 )1(1
SSSSRZ−−
+−= 2
212
11
21012 )1(
2SS
SRZ−−
=
212
2111 1|| SSjS −±= −
所望のS21からY11もしくはZ11を決定
回路定数の決定
1||2 221
1*21
121
1*21
121
011−±−
+=
−−−
−−
SjSSSSGY
1||2 221
1*21
121
1*21
121
011−−
+=
−−−
−−
SjSSSSRZ
m
NH 20
2
)/(11)(ωω
ω+
=
大平坦特性 ω=0でn階微分まで零
-3
-2
-1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4N=9N=7N=5N=3
Relative frequency
-100-80-60-40-20
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4N=9N=7N=5N=3
Relative frequency
H(d
B)
H(d
B)
遮断特性に難、群遅延かなり平坦
N次バターワースフィルタN次バターワースフィルタ
)/1()/(1 )(2
1
20
∞
=
−=+ Π n
N
n
N ωωωω
}2/)12(exp{0)( Nnjn −=∞ πωω
NH 20
2
)/(11)(ωω
ω+
=
ここで
Re(ω)
Im(ω)
|ω|=ω0
上反面の極のみを選択
∏=
∞−= N
nn
H
1
)( )/1(
1)(ωω
ω
少位相推移設計
極配置
NnLC nn 2
)12(sin2, π−=
))規格化インダクタンス
と規格化キャパシタンス
00 / RLω
00CRω
221
22121
221
221
221
011||1||21
||1SSSSj
SSGY−−
−
−−±
+=
)/1()/(2)/1(
)/1()/1(
10
1
11011
n
N
n
Nn
N
n
n
N
nn
N
n
jGY
ωωωωωω
ωωωω
+−±−
++−=
ΠΠ
ΠΠ
==
==
に代入すると
N:奇数(回路が対称から)}2/)12(exp{0
)( Nnjn −=∞ πωω
R0:特性インピーダンス
7エレメントΤ型バターワースLPF
R0=50Ω, f0=1MHz
数値がばらばら
)/1(/)/1()(1
0
1
0∞
==
−−= ΠΠ∞
n
N
nn
N
nsH ωωωω
ωL ⇔ 1/ωC の変換•LPFからHPFへ jω/ω0⇒ω0/jω
•LPFからBPFへ jω/ω0⇒jω/ω0+ω0/jω
ωL ⇔ ωL-1/ωC、
ωC ⇔ ωC-1/ωLの変換
•LPFからBEFへjω/ω0⇒1/(jω/ω0+ω0/jω)
ωL-1/ωC: LとCの直列
ωC-1/ωL: LとCの並列
ωL ⇔ ωL-1/ωC、
ωC ⇔ ωC-1/ωLの変換
原理的にはLPFの設計手法のみで全てOK
HPF, BPF, BEFの実現HPF, BPF, BEFの実現
L'2
C'1C'1
C'2
L'1
L'2
C'1L'1 C'1
C'2
L'1
L'2
C'1
L'1C'1
C2
L1L1
•LPFからHPFへ
•LPFからBPFへ
•LPFからBEFへ
22
11
/1'/1'
CLLC
cc
cc
ωωωω
==
1'' ,1'' 222011
20 == CLCL ωω
22020
11010
')/(1')(')/(1')(
CLCLCL
ccc
ccc
ωωωωωωωωωω
=+−+=+−+
22020
11010
/1')/(1')(/1')/(1')(
CCLLLC
ccc
ccc
ωωωωωωωωωω
=+−+=+−+
1'' ,1'' 222011
20 == CLCL ωω
•基準となるLPF (遮断周波数ωc)
C2 C4
L3 L5
C6L2
C3 C5
L6L4
L1 C1 L7 C7
7エレメントΤ型BPF
12
)12(sin2)1/(1)1(
2)12(sin2)1/(1)1(
2
00
00
=
−=Δ+−Δ+
−=Δ+−Δ+
nnc
ncnc
ncnc
CLN
nRLRC
NnRCRL
ω
πωω
πωω
特性インピーダンスR0
中心周波数fc
通過帯域fc/(1+Δ)↔fc(1+Δ) 12
)12(sin)2()1(2
2)12(sin
)2()1(2
2
0
0
=
−Δ+ΔΔ+
=
−Δ+ΔΔ+
=
nnc
nc
nc
CLN
nRC
Nn
RL
ω
πω
πω
直列腕
並列腕
R0=50Ω, Δ=1%, fc=100MHz
並列腕LのQが100 直列腕LのQが100LのQが無限
左肩下がり 右肩下がり
挿入損失の増加
Q-1ωcL1
中心周波数では?
)()(22
)}({)(2
6421
075311
0
1642
107531
10
021
CCCQRLLLLQG
CCCQGLLLLQRRS
cc
cc
+++++++≅
++++++++≅
−−
−−−
ωω
ωω
Q-1ωcL3 Q-1ωcL5 Q-1ωcL7
Q(ωcC6)-1Q(ωcC4)-1Q(ωcC2)-1
R0
ES R0
直列共振 Z=ωrL/Qr=1/ωrCQr
並列共振 Z=ωaLQa=Qa/ωaC
M
L2L1
M
L2-ML1-M
共通インダクタンスの影響共通インダクタンスの影響
誘導性結合は共通インダクタンスと等価
)()(
)()(
212
22
21
2
211
121
11
IIdtdM
dtdIML
dtdIL
dtdIMV
IIdtdM
dtdIML
dtdIM
dtdILV
++−=+=
++−=+=
零点の発生!
L1, L3間の
結合と等価L4, L6間の
結合と等価
20
22
)/(11)(
ωωεω
NTH
+=
チェビシェフフィルタ
等リップル特性、遮断特性急峻 (群遅延特性に難)
ε: リップルを決定するパラメータ
]2/)}(sinh)12(cos[{/ 110 Njnjsn
−−±−= επω
⎜⎜⎝
⎛
≥≤
=−
−
1||)coshcosh(1||)coscos(
)( 1
1
xxNxxN
xTNここでTN(x):チェビシェフ多項式
20
2
1)/(1)/1)(/1( ωε jsTssss Nnn
N
n−+=+−Π
=(N:奇数)
ここで
|x|<1で 大値1、 小値-1
-100-80-60-40-20
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-3
-2
-1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.2dB 0.2dB
N=9N=7N=5N=3
N=9N=7N=5N=3
Relative frequencyRelative frequency
S 21
(dB
)
S 21
(dB
)
18.3784.13611.7900.3
17.2374.25610.6590.2
15.7174.3659.1260.1
L2 (nH)C1 (pF)L1 (nH)リップル (dB)
N=3, R=50Ω, 1GHz)/1()/(2)/1(
)/1()/1(
10
1
11011
n
N
nNn
N
n
n
N
nn
N
n
ssjsTjss
ssssGY
+−−±−
++−=
ΠΠ
ΠΠ
==
==
ωε
に代入すると ⇒
この種の表はフィルタ設計データとして多くの書籍に掲載。係数決定のフリーソフトも多数存在
Za+
- Zc
Zb
eout ein Zd
能動フィルタ能動フィルタ
badcba
da
dcab
dcadcd
badcba
db
dcba
dcbdcd
ZZZZZZZZ
ZZZZZZZZZZK
ZZZZZZZZ
ZZZZZZZZZZH
+++=
++++++
=
+++=
++++++
=
−−−
−−−−
−−−
−−−−
))((})({})({)(
))((})({})({)(
111
1111
111
1111
K
G eoutein+ +
この場合G=1
GKGH
ee
in
out
−=
1
H
dabadcba
db
in
out
ZZZZZZZZZZ
GKGH
ee
−+++=
−=
))((1
帰還による誘導成分の実現
bd
dba
ac
ZZQ
sZZZ
ZZ
/2
//1
0
−=
=
=
ω1)/()/(
1
012
0 ++= − ωω sQse
e
in
outとすれば、
LC回路と同様の特性(Q>0.5実現可能)
eoutein H1 H2 H3
多段縦続による所望の周波数特性の実現
Qn-1=2cos{(2n-1)π/16} (n=1,2,3,4)
8次バターワースフィルタ
H4
注: RCだとQ=0.5が限界
GKG
sQssH
+=
++= − 11)/()/(
1)(0
120 ωω
1)}/(){/( 0
10
=+= −
GsQsK ωω +
-eout
RCein
dtdeCRe in
out −=
q=Cein
i=dq/dt
微分器
ここで、
-s/ω0
1/Q
+-
-s/ω0
+-
eout
ein
状態変数型フィルタの構成法一例
+-
C2
C1
eout
ein
iin(t)i2(t)
スイッチトキャパシタフィルタスイッチトキャパシタフィルタ
スイッチの高速切り替え
•スイッチ入力側の時C1上の電荷=einC1
•スイッチ出力側の時C2に流れ込む電荷=einC1
dteC
fCe inout ∫−=2
1
f:切り替え周波数
コンデンサが抵抗と同様な役割R=1/C1f
+
-ein eout
CR
ein/R
状態変数s-1の実現
CRによる積分器 dteCR
e inout ∫−=1
全通過フィルタ(APF)
∏ ++
=n n
n
jjH
αωαωω
*
)(
Re(ω)
Im(ω)
APFフィルタの極・
零点配置
1)( =ωH
[ ] [ ][ ]∑
∑+∠
+∠=∠
nn
nn
j
jH
αω
αωω
-
)( *
極と複素共役な零点のペア
位相のみが変化 ⇒ 遅延時間の増加
Re(ω)
Im(ω)少位相推移系
零点が全て上面に有り
例:Z=Y-1: Z、Yのどちらも伝達関数だから
全ての時間不変な連続フィルタは 少推移系+APFの積で表現可能!
•••LCLCLCフィルタの設計フィルタの設計フィルタの設計
•定K、誘導m型フィルタの設計
•••ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計
•••格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計
•••結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計
•••多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計
•••トランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタ
内容
2C
L 2L
2C
2L
2C
LV1 V2
I1 I2
C
R0
R0
L
ES R02=L/Cに設定
定K型フィルタ定K型フィルタ
C 2C
2L 2L 2LI1 I2
V2
反転させながら縦続
(伝送線路の等価回路)
2C C
殆ど同一数値の要素のみで実現
-100-80-60
-40-20
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -3
-2
-1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4N=9N=7N=5N=3
Relative frequency
H(d
B)
N=9N=7N=5N=3
Relative frequency
H(d
B)
バターワースフィルタと類似した特性
2C
L 2L
2C
2L
2C
LV1 V2
I1 I2
長さnλ/2の伝送線路と等価の時|H|=1
イメージパラメータ Zi, Zo & ϕイメージパラメータ Zi, Zo & ϕ
ϕ ZoZi ϕZi Zi ZiZo Zo
Zo
ϕ ϕϕ
3ϕ
Zi Zi Zi
Zi
ZoZo Zo
Zo
入出力反転を伴う縦続
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
−−
ϕξϕξϕξϕξ
coshsinhsinhcosh
1
11
i
i
ZZ
F
ここで ξ=(Zi/Zo)0.5
Zs
Zp
( )ps
sppoo
pssi
ZZ
YYYZY
ZZZZ
/sinh
)(
)(
1
1
−
−
=
+==
+=
ϕ
例えば
解析解析
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=
−
−
−
)even :(coshsinh
sinhcosh
)odd :(coshsinhsinhcosh
1
1
1
MMMZMZM
MMMZMZM
i
i
i
i
ϕϕϕϕϕξϕξϕξϕξ
F
R0 [Fo] [Fe] R0 eout
.
e1
i1
e2 e3
i2 i3 iM+1
[Fe][Fo] or
[Fo]#1 #2 #3 #M
eM+1
ein
反復を伴う縦続接続
Mjn /πϕ =
R0Ein
R0e1
i1 i2
e2F21
F12F11
F22
の時|S21|=1⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++
+++=
+++=
−−
)even :(sinh)//(cosh2
2
)odd :(sinh)//(cosh)(
2
2
00
0011
120210221121
MMZRRZM
MMZRRZM
FGFRFFS
ii
ii
ϕϕ
ϕξξϕξξ
C
R0
R0
L
ES( )
LCCLK
j
KZ
KZ
c
c
co
ci
/1,/
/sin
)/(1/
)/(1
1
2
2
==
=
−=
−=
−
ω
ωωϕ
ωω
ωω
ω<ωcの時:ϕは純虚数、Zi、Zoは実数⇒通過域
ϕ=jnπ/Μ ⇒ ω/ωc=sin(nπ/Μ)
ω>ωcの時:ϕは実数、Zi、Zoは純虚数⇒阻止域
無損失周波数
C
R0
R0
L
ES
定Kフィルタの場合、R0
2=L/Cに設定
誘導m型フィルタ誘導m型フィルタ
mC
mL
mC
mL
(m-1-m)L
(m-1-m)C
直列共振による零点発生
並列共振による零点発生
R02=L/C、
0≤m≤1に設定
急峻な肩特性と帯域外抑圧の劣化
-3
-2
-1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-100-80-60-40-20
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4Relative frequency
H(d
B)
m=0.9m=0.8m=0.7m=0.6
Relative frequency
H(d
B)
m=1
mC
mL 2L
2C
2L mL
mC
(m-1-m)L
C
(m-1-m)L
C 誘導m型フィルタと定Kフィルタの
組み合わせ
•••LCLCLCフィルタの設計フィルタの設計フィルタの設計
•••定定定KKK、、、誘導誘導誘導mmm型フィルタの設計型フィルタの設計型フィルタの設計
•ラダー型フィルタの設計
•••格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計
•••結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計
•••多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計
•••トランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタ
内容
ラダー型フィルタラダー型フィルタ
• 同一基板に多くの共振子作成
• 超低損失
• 高耐電力性
• 中庸な帯域外抑圧
回路構成(定K型フィルタの共振子版)
R. Ruby, et al., IEEE Microwave Symp. (2004) pp.931-934
ラダー型FBARフィルタラダー型ラダー型FBARFBARフィルタフィルタ
By Agilent
ωr ωa
ω
Inse
rtion
Los
s (dB
)
Frequency ωInse
rtion
Los
s (dB
)
Frequency
ωr ωa
並列接続直列接続
YsYp
Ys
Yp Yp
ω
Inse
rtion
Los
s (dB
)
Frequency
sp
p s
ωr
ωa=ωr
ωa
π型構成
両側に零点発生!
rrr
raa
QjjQjjCjY
/)/(1)/(/)/(1)/(
2
2
0 ωωωωωωωωω
++++
=
共振器Yp, Ysのモデル共振器Yp, Ysのモデル
1. ZsとZpのγとQrは同一
2. ωrs=ωa
p
仮定 RCL
C0
Zs
Zp
( )sp
sppoo
pssi
YY
YYYZY
ZZZZ
/sinh
)(
)(
1
1
−
−
=
+==
+=
ϕ
-1<Yp/Ys<0 (Ys、Ypのどちらか一方が誘導性)の時通過域
Rel
ativ
e ad
mitt
ance
ω
Yp Ys
ωrp
ωap=ωr
s
ωas
-1<Yp/Ys<0 (Ys、Ypのどちらか一方が誘導性)の時通過域
零点
零点
Ysを大きめに選ぶと広帯域
共振周波数付近(ϕ≈0)で
)(22
)//(22
11
0021
ηη
ωω
++≅
++≅
−−
=
NrM
ZRRZNS
pssr ここで
psCCR 000ωη =
損失 少条件 η=1
γ/rQM = (FOM)
sp CCr 00 /=
1121 1
1−=
=+
≅NrM
S sr
ηωω
NrM-1«1であれば、低損失
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++
+++=−−
)even :(sinh)//(cosh2
2
)odd :(sinh)//(cosh)(
2
00
0011
21
NNZRRZN
NNZRRZNS
ii
ii
ϕϕ
ϕξξϕξξ
22
22
11
)1)(1(1
)1)(1(11
)1)(1(112
rr
rrsr
+≅
++≅
++−−
+++≅
γγγ
γγγγωδω
通過帯域幅
帯域外抑圧
( )11
)cosh(1
221+
=≅rTN
SN
ϕ
η=1の時、帯域外では
TN(x)=cosh(Ncosh-1x):
チェビシェフ多項式
sp CCr 00 /=ここで
ここで
Nは挿入損失と帯域外抑圧に影響
rは挿入損失、帯域外抑圧、通過帯域幅に影響
32.5
21.5
10.5
0.96 0.98 1 1.02 1.04
Inse
rtion
loss
in d
B
Relative frequency
r=0.4r=0.6r=0.8r=1.0
0
r=(C0p/C0
s)0.5による周波数特性の変化
r=(C0p/C0
s)0.5による周波数特性の変化
50403020
100
0.80.850.90.95 1 1.051.11.151.2
Inse
rtion
loss
in d
B
Relative frequency
r=0.4r=0.6r=0.8r=1.0
rの増加 ⇒
•帯域外抑圧の向上
•帯域幅の減少
"ひげ"=多段縦続の影響
2
1.5
1
0.5
0
0.96 0.98 1 1.02 1.04
Inse
rtion
loss
in d
B
Relative frequency
ωrsとωa
pの差の影響ωrsとωa
pの差の影響
適当なずれによる帯域幅の拡大
急峻な遮断特性
ラダー型フィルタの設計
• 通過帯域幅はγによって制限
• 損失 小条件よりωr2C0
pC0sR0
2≈1と設定
• 周波数差ωrs-ωa
pより広帯域化
• NrM-1で損失が決定
• 小さなr= C0p/C0
sにより挿入損失と帯域幅は
改善されるが帯域外抑圧は悪化
• 大きなNにより帯域外抑圧は改善されるが、
挿入損失は増加
• ILはYsの動抵抗に敏感
• 肩特性はQに敏感
•••LCLCLCフィルタの設計フィルタの設計フィルタの設計
•••定定定KKK、、、誘導誘導誘導mmm型フィルタの設計型フィルタの設計型フィルタの設計
•••ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計
•格子型フィルタの設計
•••結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計
•••多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計
•••トランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタ
内容
R0
ein
R0 eoutYe
Yo
Yo
格子(Lattice)フィルタ格子(Lattice)フィルタ 共振子
平衡入出力
1:-1Ye/2
Yo/2等価な回路
但し不平衡入出力
1:-1Ye Ye Yo Yo
Yo-Ye Yo-Ye Ye-Yo Ye-Yo
変形された等価回路
2段縦続のラダー型フィルタと等価
直列腕の共振周波数
並列腕の反共振周波数
Ye=∞, Yo=0もしくはYo=∞, Ye=0
Yoの共振周波数
Yeの反共振周波数
Yeの共振周波数
Yoの反共振周波数
もしくは
共振条件
)1)(1()(
00
021 RYRY
YYRSoe
eo
++−
=
1)()(
12
1
21 +++−
≅ −
−
= MMMMS o
r ηηη
ωω
共振周波数で
ここでM=Qr/γ, η=ωC0R0
損失 少条件 η=1 MMS o
r +−
≅= 1
121 ωωこの時
-40-35-30-25-20-15-10-50
0.9 0.95 1 1.05 1.1-25-20-15-10-505
10152025
Relative frequency
S 21
(dB
)
Rel
ativ
e ad
mitt
ance
(dB
)
Ye
Yo
S21
良好な帯域外抑圧
周波数特性周波数特性
-25
-20
-15
-10
-5
0
0.96 0.98 1 1.02 1.04-4
-3
-2
-1
0
Relative frequency
S 21
(dB
)
S 21
(dB
)
Δ=0Δ=0.2%Δ=0.4%Δ=0.6%
ωro>ωa
eと設定により広帯域化
r=1r=0.95r=0.9r=0.8r=0.85-50
-40
-30
-20
-10
0
0.9 0.95 1 1.05 1.1Relative frequency
S 21
(dB
)C0
o>C0eと設計により良好な遮断特性
通過域周辺に零点発生
Rel
ativ
e ad
mitt
ance
ω
Ye Yo
ωro
ωao=ωr
e
ωae
ω0−
ω0+
Ye=Yoとなる周波数で零点発生
)1)(1()(
00
021 RYRY
YYRSoe
eo
++−
=
•••LCLCLCフィルタの設計フィルタの設計フィルタの設計
•••定定定KKK、、、誘導誘導誘導mmm型フィルタの設計型フィルタの設計型フィルタの設計
•••ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計
•••格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計
•結合共振子フィルタの設計
•••多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計
•••トランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタ
内容
回路の変形(Δ-Y変換)回路の変形(Δ-Y変換)
Y1
Yt
Y2 Zt
Z1 Z2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
1
2
1
2
1
VV
YYYYYY
II
tt
tt⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
1
2
1
2
1
II
ZZZZZZ
VV
tt
tt
V2
I1 I2
V1 V2
I1 I2
V1
221
12
221
21
221
))((
))((
))((
ttt
ttt
ttt
tt
YYYYYYZ
YYYYYYZ
YYYYYYZ
−++=
−++=
−++=
一方が他方の逆行列
L L
C C
結合共振子によるフィルタの実現結合共振子によるフィルタの実現
容量結合を持つ共振回路
L LC' C'
C C
L L
M
誘導結合を持つ共振回路
C C
L-M L-M
M
K
C" C'=C+2KC"=2(C-1-C'-1)-1
Si
Electrodes
スタック型共振子フィルタスタック型共振子フィルタ
基本共振に対する等価回路
•優れた帯域外抑圧•中庸な挿入損失
R0 C0
CmLm Rm
C0 R0E0
両端の電極を並列接続すると容量
位相反転して並列接続すると1-port共振子
Z
縦続されたスタック型共振子フィルタ
第1段 第2段
R0 C0
CmLm Rm
C0E0
C0
CmLm Rm
C0 R0
下部電極加工いらず
From TFR Technologies
スタック型共振子フィルタの周波数
特性例
C0
CmLm Rm
C0
i1
e1 e2
i2
mmm CjRLjZZY
ZCjY
ωω
ω
/1
112
1011
++=−=
+=−
−ここで
伝達関数
}2)1(){1(2
001
00021 +++
= − RCjZRRCjS
ωω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2
1
1112
1211
2
1
ee
YYYY
ii
理想的なRm=0の場合,
となる周波数ω0で
000
00021 1
1RCjRCjS
ωω
+−
= 1|| 21 =S (無損失)
Z
)1/(2)1(2 00001
0 RCjRCjZR ωω −=++ −
2000
2000
)(12
RCRCjZ
ωω
+=
}])(/{2/)([)( 20
2000
200
021 CGGRLjCjG
GSm ωωωω +++−+
≈
2000
2000
0 )(12)(2
RCRCjRLjZ m ω
ωωω+
++−≈ と置くと
12/})(1{1
02
00021
0 ++≈
= RRCRS
m ωωω
100
21 11
11
0 −= +=
+≈
MRCS
mωωω
1000 =RCω損失 少条件γ
ωω
γ
/
1/
0
0
0
QMR
LRC
Q
CC
m
m
mm
m
=
==
=
少損失はMが支配
]1/)(2[1
100
21 ++−≈ −Mjj
Sωωωγ
000 GC =ω の時
]1[1
21
121 −+≈
MSの時]2/)1(1[ 11
0−−
± +±== Mγωωω
-3dB 比帯域幅
)1( 11
0
−−−+ +=− Mγ
ωωω
1
021
0
−−+=
≈−
• γω
ωωωω
S
比帯域幅はMとγが支配
γ
ωω
γ
/
1/
0
0
0
QMR
LRC
Q
CC
m
m
mm
m
=
==
=
結合共振子(スタック型)フィルタの応答結合共振子(スタック型)フィルタの応答
-100
-80
-60
-40
-20
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
R0=50 Ω
R0=0.5 Ω
Frequency [GHz]
|S21
| [dB
]
ZnO (L=1.6 μm, S=160×160 μm2)2GHz付近でZ整合となるようSを調整
スタック型フィルタの縦続
R0 C0
CmLm Rm
C0EinR0C0
CmLm Rm
C0 C0
CmLm Rm
C0· · ··
R0
Ein
R0· · · ·
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
−
θθθθ
θθθθ
NNjRNjRN
jRjR
e
e
N
e
eN
cossinsincos
cossinsincos
1
1F
mmm
e
e
CjRLjZZCjCjjR
ZjRZCj
ωωωωθ
θωθ
/1)2(sin
sin1cos
001
0
++=+=
=+=
−
ここで
帯域幅拡大
急峻な遷移帯域特性
-40-35-30-25-20-15-10-5
1.9 1.92 1.94 1.96 1.98 2 2.02Frequency [GHz]
|S21
| [d
B]
N=1N=2N=3N=4
ZnO (L=1.6 μm, S=160×160 μm2)
0
•••LCLCLCフィルタの設計フィルタの設計フィルタの設計
•••定定定KKK、、、誘導誘導誘導mmm型フィルタの設計型フィルタの設計型フィルタの設計
•••ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計
•••格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計
•••結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計
•多重結合モードフィルタの設計
•••トランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタトランスバーサル型フィルタ
内容
横結合型ダブルモードFBARフィルタ
Si
Electrodes
1:-1Rin C0
a CmLm Rma a
s CmLm Rms s
C0 RoutEin
等価回路
両端の電極を並列接続すると1-port共振子
位相反転して並列接続すると別の1-port共振子
単結晶水晶基板を利用した共振子
(TOYOCOM TF2-D0AD6)
•水晶基板のエッチ
ング → 高Q•優れた温度安定
性
•FBARでは困難?
対称と斜対称共振
2Ye=2(Yme+jωC0) 2Yo=2(Ymo+jωC0)
ダブルモードフィルタの等価回路
Yme, Ymo:動アドミタンスjωC0:静電容量
1:-1C0C0
Yme/2
Ymo/2
変形された等価回路
Yoの共振周波数
Yeの反共振周波数
2段のラダー型フィルタと等価
1:-1Ye Ye Yo Yo
Yo-Ye Yo-Ye Ye-Yo Ye-Yo
Yeの共振周波数
Yoの反共振周波数
もしくは
複数個一致させることにより広帯域化
Ye(もしくはYo)における共振周波数とYo(もしくはYe)における共振周波数を一致
ωro ωa
o
ωre ωa
eω
ωωr
o ωao
ω
DMSフィルタ設計原理
多くの共振を利用するほど広帯域
ZnO (L=1.6 μm, S=220×220 μm2)
多重共振フィルタの特性多重共振フィルタの特性
Si
入力出力
結合層 R=2GRayls (非常にhard), 0.18λ
どの様にして実現?-30-25
-20
-15
-10
-5
0
0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15
Under-coupling
Over-coupling
Critical-coupling
Frequency [GHz]
|S21
| [dB
]
結合フィルタの縦続接続
結合フィルタの縦続接続
ZnO (L=1.6 μm, S=220×220 μm2)
結合材料2 GRayls, 0.18 λ-100-80-60-40-20
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
N=1N=2N=3
Frequency [GHz]
|S21
| [dB
]
-100-80-60-40-20
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
N=1N=2N=3
Frequency [GHz]
|S21
| [dB
] ZnO (L=1.6 μm, S=160×160 μm2)
結合材料1 MRayls, 0.1 λ非常にsoft
非常にhard
多重モードフィルタの設計
• YeとYoのγにより帯域幅限定
• 損失 小条件よりωrC0R0≈1• 多くの極と零点を一致させるとその分広帯域、肩特性急峻
• 若干ずらすとより広帯域
• ずらし過ぎるとディップ発生
• 縦続接続により特性改善
• M-1で損失が決定
• ILはYeとYoの動抵抗に敏感
•••LCLCLCフィルタの設計フィルタの設計フィルタの設計
•••定定定KKK、、、誘導誘導誘導mmm型フィルタの設計型フィルタの設計型フィルタの設計
•••ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計ラダー型フィルタの設計
•••格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計格子型フィルタの設計
•••結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計結合共振子フィルタの設計
•••多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計多重結合モードフィルタの設計
•トランスバーサル型フィルタ
内容
Vout
Vin
圧電基板
Interdigital Transducers (IDT)
SAW
• ホトリソグラフィによる大量生産
• 低損失、小形、低価格• VHF-UHF帯での動作
弾性表面波(SAW)フィルタ弾性表面波(SAW)フィルタ
電極パターンの重み付けがインパルス応答波形
周波数特性とインパルス応答の関係
∫∞
∞−
−=+
dtjftthfH )2exp()()( π ∫∞
∞−
+=+
dfjftfHth )2exp()()( π
-0.2-0.15-0.1
-0.050
0.050.1
0.150.2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100
Rel
ativ
e am
plitu
de
Electrode number
-0.15-0.1
-0.050
0.050.1
0.15
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100
Rel
ativ
e am
plitu
de
Electrode number
(a) 線形位相設計 (b) 小位相推移設計
振幅特性と位相特性を独立制御
∫
∫∫∞+
+∞
∞−
−−=
−+−=
0
)2cos()()2exp(2
)2exp()()2exp()()(
dtftTthjfT
dtjftthdtjftthfHT
T
ππ
ππ
左右対称なインパルス応答は線形位相
∫+∞
∞−
−= ξξξ dfWHfH dw )()()(たたみこみ積分(Convolution)
∫−
=+=c
c
f
fcc tffdfjftth
+
)2(sinc2)2exp()( ππ
t
w(t)t
t
hd(t)w(t)
hd(t) 打ち切りの影響は?
周波数領域では?
•負の時間に応答有り ⇒ 全体的に遅延
•インパルス応答長が無限 ⇒ 打ち切り?
フーリエ変換による設計結果フーリエ変換による設計結果
-120-100-80-60-40-20
0
0 2 4 6 8 10
rectangularHammingBlackmannBlackmann-Harris
Relative frequency
Am
plitu
de in
dB
00.20.40.60.8
1
-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.20.40.60.8 1
Wei
ght
Relative position
HammingBlackmann
Blackmann-Harris
ハミング関数: w(t)=0.54+0.46cos(2πt/T)
ブラックマン関数:w(t)=0.42+0.5cos(2πt/T) +0.08cos(4πt/T)ブラックマン・ハリス関数:w(t)=0.35875+0.48829cos(2πt/T)
+0.14128cos(4πt/T)+0.01168cos(6πt/T)
窓関数窓関数
hd(t)を有限時間で打ち切るための関数:w(t)
帯域外抑圧と帯域幅はトレードオフ
-45-40-35-30-25-20-15-10-505
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 -1-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.81
Tran
sfer
func
tion
in d
B
Relative Frequency
Tran
sfer
func
tion
in d
B-70-65-60-55-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50
5
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.81
-1Tran
sfer
func
tion
in d
B
Relative frequency
Tran
sfer
func
tion
in d
B
矩形窓関数
大きなリップル発生
ハミング窓関数
リップル抑圧しかし遷移域幅拡大
ギブスの現象
-70-60-50-40-30-20-10
0
0 0.5 1 1.5 2-0.04-0.03-0.02-0.01
00.010.020.030.040.05
Relative frequency
Tran
sfer
func
tion
in d
B
Tran
sfer
func
tion
in d
B
-0.05
レメッツ交換法による設計結果レメッツ交換法による設計結果
ミニマックス 適化 ⇒等リップル特性
手法提案の論文に設計プログラムが添付
⇒ 世界中に普及
許容リップルと も狭い遷移帯域幅で必要なタップ数を推定可能
デジタル(Finite-Impulse-Response; FIR)フィルタ
a0
τ τ τ τein
+ + + + eout
a1 a2 a3 a4
∑−
=
−=1
0)()(
N
ninnout nteate τ
デジタルシグナルプロセッサ(DSP)による処理
τ: 1clk遅延
∑−
=
−=1
0)(
N
n
nn zazH τ
ADC DACDSPein eout
(Infinite-Impulse-Response; IIR)フィルタ
+ + + + eouta0
ττττ
ein
b1b2b3b4
∑=
−+=N
noutninout ntebteate
10 )()()( τ
τ: 1clk遅延
∑=
−−= N
n
nn zb
azH
1
0
1)(
τ
・少ないタップで良好な遮断特性可能(ただし 少位相推移系)
・係数によっては発振(安定条件:全ての極|がZ|<1)
・FIRと組み合わせて、少ないタップで、位相特性、周波数特性
共に良好なフィルタ実現
低域通過フィルタ(LPF)ω
|H(ω
)|
高域通過フィルタ(HPF)ω
|H(ω
)|
帯域通過フィルタ(BPF)ω
|H(ω
)|
帯域除去フィルタ(BLF)ω
|H(ω
)|