Fiabilidad de Sistemas: Ordenacion y Clasificacion

Jose Marıa Ruiz Gomez

Murcia, 16 de marzo de 2015

Indice

1. Preliminares 31.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Variables aleatorias truncadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Medidas de fiabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Sistemas y tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Clases de envejecimiento y ordenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Comparaciones de sistemas 8

3. Mantenimiento y reparacion de sistemas 153.1. Polıticas de mantenimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Modelos de choque continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3. Modelos de choque discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4. Reparacion mınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. Redundancia 21

5. Agradecimientos 25

1

Sr. Presidente de la Academia

Autoridades

Sres. Academicos

Companeros, amigos, familiares, Sras y Sres.

Para mı es un gran honor y compromiso, cumplir con la mision que se me encomiendacomo Academico Numerario por orden de antiguedad, impartir la leccion correspondiente aesta solemne apertura del Curso Academico, segun establece el Art. 44 de los Estatutos.

Antes de comenzar esta leccion, deseo expresar mis excusas hacia la parte de esta dis-tinguida audiencia, que hoy ha querido estar presente en este acto, y cuya actividad seencuentra lejos de las matematicas, por si esta leccion le resultara algo arida. No obstante,intentare que sin perder el rigor cientıfico que el acto reclama, hacer una exposicion lo masgeneral posible. La eleccion de este tema, ha estado determinada por su relacion con algunaslıneas de investigacion de nuestro grupo, que hemos venido desarrollando desde hace algunosanos.

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1. Preliminares

En esta leccion, no vamos a exponer de forma exhaustiva todos los aspectos de la teorıade la fiabilidad, sino que, nos centraremos en algunos aspectos importantes de la misma, enlos que este grupo de investigacion ha trabajado durante los ultimos anos y sigue trabajando.

1.1. Introduccion

Fiabilidad es una palabra con diferentes connotaciones. En sentido coloquial, decimos quealguien o algo es fiable si podemos confiar en el o en ello. Cuando se aplica a un ser humano,usualmente se refiere a la aptitud de la persona para realizar ciertas tareas de acuerdo a unestandar especificado. Por extension, la palabra es aplicada a una componente o a todo elequipo, para indicar la aptitud de esta componente o equipo para realizar aquello para loque es requerido.

Podemos entender por fiabilidad, la probabilidad de que un dispositivo realice adecuada-mente su funcion prevista a lo largo del tiempo, cuando opera en el entorno para el que hasido disenado. Historicamente la teorıa de la fiabilidad ha estado limitada fundamentalmentea aplicaciones militares y aplicaciones aeroespaciales, en las cuales la consecuencia de un fallodel sistema tiene un fuerte impacto economico y/o de seguridad.

Podrıamos decir que las primeras tecnicas de fiabilidad surgen hace menos de 50 anos conel comienzo de la aeronautica y un libro basico, que represento un avance muy importanteen el estudio matematico de sistemas fiables es [5].

En sentido amplio, la Teorıa de la Fiabilidad, comprende un conjunto de teorıas y metodosmatematicos-estadısticos, procedimientos organizativos y practicas operativas, que medianteel estudio de las leyes de ocurrencia de fallos, tratan de investigar las causas por las cuales losdispositivos envejecen y fallan. Estudia leyes de las ocurrencias de estos fallos y da repuestas,entre otros, a distintos problemas de prevision, estimacion y optimizacion de la probabilidadde supervivencia, duracion media de vida y porcentaje de tiempo de buen funcionamiento deestos dispositivos. Logicamente, una mejor comprension de los aspectos anteriores, ayudaranen la identificacion de las mejoras que pueden introducirse, para optimizar su tiempo defuncionamiento o al menos, paliar las consecuencias adversas de la produccion de fallos.

1.2. Variables aleatorias truncadas

Un concepto importante para introducir algunas medidas de fiabilidad es el conceptode variable aleatoria truncada. Ası por ejemplo, si T representa el tiempo de vida de unaunidad o sistema, donde el termino unidad o sistema puede interpretarse de diversas formasdependiendo del contexto en que estemos trabajando (podra interpretarse tanto como lacomponente de una cierta maquinaria o como un ser vivo, pasando por una renta familiar,el tiempo de espera para recibir un servicio, la duracion de una llamada telefonica, etc.), sedefine:

a) Funcion de supervivencia como F (t) = P (T > t) y representa la probabilidad deque una unidad con tiempo de vida T funcione tras haber sobrevivido a la edad t.

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b) Funcion de distribucion como F (t) = P (T ≤ t) y representa la probabilidad de queuna unidad con tiempo de vida T tenga un tiempo de vida inferior a un edad t.

A partir de T puede definirse la variable aleatoria truncada por la izquierda como una nuevavariable TI(t) = (T |T > t), y que representa el tiempo de vida para una unidad que hasobrevivido un tiempo t.

Esta variable permite formular matematicamente el concepto de unidades que han sobre-vivido a un cierto tiempo t, en el estudio del tiempo de vida de una unidad o sistema.

Tiene tambien interes en el estudio de distribuciones de ingresos, es decir cuando Trepresenta los ingresos de una persona, familia o empresa ya que indica los ingresos superioresa t. Su importancia radica en que gran parte de los estudios economicos y mas en concretolos estudios de desigualdad de ingresos, se realizan en terminos de datos que proporcionanlas declaraciones de la renta, estando en general estos datos, truncados por la izquierda.Tambien es importante este concepto en los estudios de riqueza.

De forma analoga se define la variable aleatoria truncada por la derecha TD(t) = (T |T ≤t) y puede ser utilizada en los estudios de pobreza, basados en los ingresos inferiores a unacierta cantidad t, siendo tambien importante en distribuciones de tiempo de vida de unidadescon tiempo inferior a t. Otra variable aleatoria de interes es la variable vida residual adicionalen el tiempo t, definida por T (t) = (T − t|T > t), que representa el tiempo de vida adicionalque le resta a una unidad que ha sobrevivido a un tiempo t. Su funcion de supervivenciaviene dada por:

F t(x) = P [T > t+ x|T > t], para x ≥ 0.

1.3. Medidas de fiabilidad

A partir de las variables aleatorias truncadas, podemos definir algunas medidas de fiabi-lidad.

a) Funcion de medias truncadas por la izquierda m(t) = E(T |T > t) y que representael tiempo esperado para un unidad que esta funcionando a la edad t.

b) Funcion vida media residual eT (t) = E(T − t|T > t), y que representa el tiempo devida adicional esperado para una unidad que esta funcionando a la edad t.

c) Razon de fallo

Si consideramos la probabilidad P (t < T ≤ t+k|T > t),que representa la probabilidadde que una unidad que funciona a la edad t se rompa o fallezca en las siguientes kunidades de tiempo, se define la razon de fallo r(t), tambien conocida como funcion demuerte subita, como

r(t) = lımk→0+

P [t < T < t+ k|T > t]

k

y de forma cualitativa mide la probabilidad instantanea de fallo a la edad t.

Nuestro grupo de investigacion ha trabajado en la caracterizacion de estas medidas defiabilidad, obteniendo condiciones necesarias y suficientes sobre las mismas y caracterizando

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la funcion de supervivencia del modelo, tanto a partir de estas medidas, como de la funcion demedia doblemente truncada , estadısticos ordenados y valores record, ındice de concentraciontruncado y medidas sesgadas. [40-44], [65], [67], [71-73], [79], [81], [90-93] y [102].

1.4. Sistemas y tipos

Un sistema puede ser considerado como una coleccion de dos o mas componentes, en el quepara su funcionamiento es necesario que al menos funcione una de ellas. Por tanto, interesael estudio del comportamiento del sistema a traves del comportamiento de sus componentes,en distintos sentidos. Las componentes pueden ser independientes entre sı o pueden tenerinteracciones especıficas entre ellas, es decir tener algun tipo de dependencia. En general,cualquier sistema sera absolutamente fiable si algun suceso no deseable, llamado fallo, noocurriera en el funcionamiento del mismo y decimos que el sistema falla, cuando deja debrindarnos el servicio que debıa darnos o cuando aparecen efectos indeseables, segun lasespecificaciones de diseno con las que fue construido. Ademas antes o despues, todos lossistemas llegan a un instante en el que no pueden cumplir satisfactoriamente aquello para loque fueron disenados. El fallo del sistema tendra unas repercusiones que dependeran del tipode sistema, y del tipo de mision que este desempenando y del momento en que se produzcael fallo.

Todos los fallos tienen algo en comun, que son aleatorios, pues:a) Los procesos no se atienen a las condiciones estrictas de funcionamiento establecidas

en el diseno.b) El funcionamiento de procesos considerados analogos no es siempre el mismo. Por

tanto, hay que asumir un cierto grado de incertidumbre en las predicciones y se trata portanto de un problema estocastico o aleatorio y para la investigacion de las causas por lasque los dispositivos envejecen y fallan se aplican principios cientıficos y matematicos. Elobjetivo estriba en que una mayor comprension de los fallos de los dispositivos ayudara enla identificacion de las mejoras que pueden introducirse en los disenos de los productos paraaumentar su vida o, al menos, para limitar las consecuencias adversas de los fallos.

Desde un punto de vista determinista, se llama sistema a un conjunto de elementos quellamaremos componentes, donde el estado del sistema es

φ =

{1 si el sistema funciona0 si el sistema ha fallado.

Consideramos la situacion en que el sistema esta formado por n componentes. Sea s =(s1, s2, · · · , sn) el vector de estados de las componentes, es decir:

si =

{1 si la componente i funciona0 si la componente i ha fallado

, i = 1, . . . , n.

Suponemos que φ=φ(s1, s2, .., sn) (funcion de estructura del sistema).Dentro de los posibles sistemas que se pueden considerar estan los sistemas coherentes,

y se dice que un sistema, con funcion de estructura φ, es coherente si:a) Dado i = 1, ..., n, entonces φ depende de si, es decir, φ(s1, ..., 1i, .., sn) 6= φ(s1, ..., 0i, .., sn).

(la componente i-esima es relevante)

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b) φ es creciente.Algunos ejemplos de interes de este tipo de sistemas son los siguientes:a) Sistemas en serie: Se dice que un sistema de n componentes es un sistema en serie,

si el sistema funciona solo cuando funcionan todas sus componentes, es decir

φ(s) =

{1 si si = 1, ∀i = 1, ..., n0 en caso contrario

=n∏i=1

si = mın{si}

b) Sistemas en paralelo: Se dice que un sistema de n componentes es un sistema enparalelo, si el sistema funciona siempre que al menos una de las componentes funcione, esdecir

φ(s) =

{0 si si = 0, ∀i = 1, ..., n1 en caso contrario

= 1−n∏i=1

(1− si) = max{si}

c) Sistemas k de n: Se dice que un sistema de n componentes es un sistema k de n, siel sistema funciona si al menos k de las n componentes estan funcionando, es decir

φ(s) =

{1 si

∑ni=1 si ≥ k

0 si∑n

i=1 si < k

El concepto de estructura de un sistema ha sido introducido en el contexto de ser in-variante respecto del tiempo, es decir, para un instante fijo del mismo. No obstante, lascomponentes de un sistema, ası como el propio sistema, sufren modificaciones con el pa-so del tiempo, es decir, el envejecimiento de las componentes y del sistema pueden alterarsu estado de funcionamiento y de fallo,en este caso aleatorio y no determinista. Por ello,sean T1, ..., Tn variables aleatorias que representan el tiempo de vida de las n componentesde un sistema, supongamos que son independientes con funciones de supervivencia F i(t),i = 1, 2, ...n. Si denotemos por τ el tiempo de vida aleatorio del sistema, entonces su funcionde supervivencia del sistema viene dada por

F τ (t) = P (τ > t) = h(F 1(t), ..., F n(t)).

1.5. Clases de envejecimiento y ordenes

Con el paso del tiempo las componentes del sistema (coches, televisores, computadoras,plantas industriales,...), no pueden cumplir satisfactoriamente aquello para lo que fuerondisenadas, ya que estan sujetas a desgaste o envejecimiento, es decir, a un deterioro gradualde sus caracterısticas de funcionamiento perfecto, y por tanto, a un aumento creciente de laprobabilidad de fallo de las mismas. El estudio del envejecimiento de un sistema, en general,pretende formalizar en terminos de la teorıa de la probabilidad, como es la evolucion delfuncionamiento en el tiempo del mismo, entendiendo por envejecimiento, ”el que una unidado sistema mas viejo tenga una vida restante mas corta, que una mas joven, en algun sentidoestadıstico o probabilıstico”[32].

a) ¿Como modelizamos de forma adecuada estas propiedades de envejecimiento?La teorıa de la fiabilidad responde a esta cuestion, introduciendo distintas nociones de

envejecimiento, ası como, diferentes clases que permiten estudiar el envejecimiento positivo

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de una unidad o sistema (es decir, el efecto adverso de la edad sobre la vida residual),junto con el correspondiente dual de envejecimiento negativo. Tambien distintos ordenes,que permitiran por un lado, comparar sistemas y disenar sistemas mejores, es decir, masfiables en algun sentido, y por otro lado, determinar el comportamiento del sistema a partirdel comportamiento de sus componentes.

Sea T una variable aleatoria continua, con extremo inferior del soporte 0, se dice que

a) T pertenece a la clase razon de fallo creciente (decreciente) y se dice que T es IFR(DFR) si

F Tt(x) ≥ (≤)F Tt′(x), para todo x ≥ 0 y 0 ≤ t < t′.

Se tienes entonces que T es IFR (DFR) si la razon de fallo r(t) es creciente (decreciente),es decir, si las probabilidades de fallo instantaneo aumentan (disminuyen) con el pasodel tiempo.

b) T pertenece a la clase nueva mejor (peor) que usada y se dice que T es NBU (NWU)si

F T (x) ≥ (≤) F Tt(x), para todo x ≥ 0 y t ≥ 0.

Tenemos entonces que T es NBU(NWU), si el tiempo de vida que le queda a unaunidad que esta funcionando despues de t unidades de tiempo, tiene una supervivenciamenor (mayor) que una unidad nueva.

c) T pertenece a la clase vida media residual decreciente (creciente) y se dice que T esDMRL (IMRL) si

eT (t) es decreciente (creciente) en t ≥ 0,

donde eT (t) = E[Tt].

Tenemos entonces que T es DMRL (IMRL), si le promedio de tiempo de funcionamientoadicional va decreciendo (creciendo) con el paso del tiempo.

d) T pertenece a la clase nueva mejor (peor) que usada en promedio y se dice que Tes NBUE (NWUE) si se verifica que

E[T ] = eT (0) ≥ (≤) eT (t) para todo t ≥ 0.

Tenemos entonces que T es NBUE(NWUE), si el promedio de tiempo de vida que lequeda a una unidad que esta funcionando despues de t unidades de tiempo, tiene unpromedio de vida menor (mayor) que el de una unidad nueva.

A continuacion definimos algunos ordenes estocasticos:Sean X e Y dos variables aleatorias:

a) X es menor que Y en el orden estocastico y se escribe X ≤st Y , si

FX(t) ≤ F Y (t), ∀t ∈ R.

El orden estocastico indica que la probabilidad de sobrevivir t unidades de tiempo essiempre menor para la unidad con tiempo de vida X que para la unidad con tiempode vida Y , para cualquier valor de t.

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b) X es menor que Y en el orden razon de fallo y se escribe X ≤fr Y , si

F Y (t)

FX(t), es creciente en t ∈ R.

En este caso la unidad con tiempo de vida Y siempre tiene una probabilidad de falloinstantaneo menor que la unidad con tiempo de vida X.

c) X es menor que Y en el orden cociente de verosimilitudes y se escribe X ≤lr Y , si

fY (t)

fX(t), es creciente en t ∈ R,

siendo f y g las funciones de densidad de X e Y , respectivamente. En el orden lrtenemos que la unidad con tiempo de vida Y siempre tiene una supervivencia mayoren cualquier intervalo de tiempo que la unidad con tiempo de vida X.

Aunque en la leccion aparecen otras definiciones de ordenes y clases de envejecimiento,el resto de las utilizadas pueden verse en el texto de Shaked y Shanthikumar[95].

Ademas de los conceptos de envejecimiento positivo y negativo, tiene gran importancia lapropiedad de no envejecimiento, es decir, si el paso del tiempo no tiene ningun efecto sobreel tiempo de vida que le resta a una unidad o sistema. En este sentido se ha demostrado que,en el caso continuo, la distribucion exponencial es la unica que pertenece simultaneamentea una clase de envejecimiento y su dual (IFR y DFR); mientras que en el caso discreto esla distribucion geometrica. Esta propiedad que tienen estas distribuciones se conoce con lapropiedad de falta de memoria, equivalente a:

P [T > t+ x|T > t] = P [T > x], para x ≥ 0.

2. Comparaciones de sistemas

Como se ha indicado previamente, el envejecimiento o fallo del sistema depende delenvejecimiento de las componentes. Una cuestion importante es analizar el modelo de enve-jecimiento del sistema a partir del comportamiento del envejecimiento de sus componentes,ya que ello nos permitirıa controlar y mejorar la vida util del mismo.

En este sentido la primera cuestion que interesa estudiar, son las condiciones bajo lascuales, una determinada propiedad de las componentes de un sistema se puede extrapolar alpropio sistema (propiedades de clausura),informando ası, sobre como es el efecto del paso deltiempo en el funcionamiento o rendimiento del sistema, sabiendo como es el envejecimientode sus componentes.

Existe una amplia literatura dedicada al estudio de la clausura de clases de envejeci-miento, la clase y NBU y sus dual [35]; resultados de preservacion de las clases DMRL yNBUE, para sistemas en serie y paralelo con componentes independientes e identicamentedistribuidas [2] y la clase DFR [68].

Para la preservacion de la clase razon de verosimilitud creciente (decreciente) ILR(DLR),bajo la formacion de determinados sistemas coherentes [47], se tiene:

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Teorema 2.1. Sea h(p) la funcion de fiabilidad de un sistema coherente τ con componentesi.i.d. Supongamos que existe a ∈ [0, 1] tal que

1.ph′′(p)

h′(p)es decreciente y positiva para todo p ∈ [0, a].

2.(1− p)h′′(p)

h′(p)es decreciente y negativa para todo p ∈ (a, 1].

Si X ∈ ILR, entonces τ ∈ ILR.

Mediante un ejemplo se puede probar que la clase IFR no es cerrada bajo la formacionde cualquier sistema coherente con componentes i.i.d, aunque si lo es, bajo la formacion desistemas k-out-of n.

Para sistemas en serie y componentes independientes pero no necesariamente identica-mente distribuidas, se obtiene la preservacion de las clases, razon de fallo creciente de ordendos, IFR(2) y nueva mejor que usada en orden 2, NBU(2) [45]:

Teorema 2.2. Sean X1, ..., Xn los tiempos de vida de n componentes independientes.

1. Si Xi ∈ IFR(2) para todo i = 1, ..., n, entonces mıni=1,...,n {Xi} ∈ IFR(2), y si Xi ∈DFR(2) para todo i = 1, ..., n, entonces mıni=1,...,n {Xi} ∈ DFR(2).

2. Si Xi ∈ NBU(2) para todo i = 1, ..., n, entonces mıni=1,...,n {Xi} ∈ NBU(2), y siXi ∈ NWU(2) para todo i = 1, ..., n, entonces mıni=1,...,n {Xi} ∈ NWU(2).

Mediante un contraejemplo, se prueba que la clase DMRL no se preserva bajo la formacionde sistemas en serie con componentes independientes e identicamente distribuidas.

Podemos concluir que es posible controlar el envejecimiento del sistema a partir delenvejecimiento de sus componentes.

Una cuestion tambien importante es el estudio del problema inverso, es decir, si conoce-mos las propiedades del envejecimiento del sistema, ¿ es posible conocer las propiedades deenvejecimiento de las componentes?

Los primeros resultados en este sentido [64], estudian la preservacion de los ordenes rightspread y TTT- transformada y las clases de envejecimiento negativas IMRL y NWUC parasistemas en serie y paralelo.

Completamos los resultados anteriores [13], con la preservacion inversa del orden es-tocastico convexo creciente para sistemas en serie y, con el orden concavo creciente parasistemas en paralelo. Por ejemplo, para el orden convexo creciente, se tiene:

Teorema 2.3. Sean T1, . . . , Tn variables aleatorias independientes e identicamente distri-buidas con funcion de distribucion F y sean S1, . . . , Sn variables aleatorias independientes eidenticamente distribuidas con funcion de distribucion G.Si mın{T1, . . . , Tn} ≤icx mın{S1, . . . , Sn}, entonces F ≤icx G.

En el caso de preservacion inversa de clases de envejecimiento, completamos para sistemasen paralelo, la preservacion de las clases IMRL, DFR y NWUE y, para sistemas en serie, lapreservacion de las clases: razon de fallo creciente(decreciente) en promedio IFRA (DFRA)y nueva mejor(peor) que usada en ordenacion convexa NBUC [13]. Por ejemplo, para el casode la clase IMRL en sistemas en paralelo se tiene:

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Teorema 2.4. Sean T1, . . . , Tn n variables aleatorias independientes e identicamente distri-buidas con funcion de distribucion F. Si el sistema en paralelo τ1,n es IMRL, entonces F esIMRL.

Otra cuestion de interes para determinar el comportamiento de los sistemas, es estudiarlas distintas ordenaciones estocasticas entre los tiempos de vida de los mismos, mediantela ordenacion de sus componentes. Ello proporciona nuevamente: a) informacion acerca delcomportamiento del sistema a partir del comportamiento de sus componentes; b) permiteelegir aquel sistema cuyo proceso de envejecimiento se adapte mejor a unas determinadascaracterısticas, que son las que nos interesa estudiar; y c) disenar sistemas mejores, es decir,mas fiables en algun sentido.

En este contexto, la mayorıa de resultados estan orientados a estudiar la preservacion deuna determinada ordenacion bajo la formacion de sistemas en paralelo, sistemas en serie osistemas k-out-of-n con la misma estructura y componentes independientes e identicamentedistribuidas.

Por ejemplo, para el orden dispersivo [6], para los ordenes estocastico, razon de fallo yen razon de verosimilitud [98], y, en [31],[34] y [37] se obtienen la preservacion de los ordenesconvexo, en razon de verosimilitud y razon de fallo.

Existe tambien una amplia literatura relacionada con el estudio de condiciones sobre lafuncion de fiabilidad de un sistema coherente, que aseguren la preservacion de un determinadoorden, particularizando despues al modelo menos general de los sistemas k-out-of-n. Porejemplo, [66] y [68], prueban la preservacion del orden razon de verosimilitud y condicionessuficientes para comparar, en los ordenes en razon de fallo y en razon de fallo inverso.

Posteriormente, se han estudiado comparaciones estocasticas entre los tiempos de vidade sistemas con distinta estructura k-out-of-n formados a partir de un mismo conjunto decomponentes independientes, [50] y [69], entre otros.

Entonces, una cuestion importante a estudiar, es la comparacion entre los tiempos devida de dos sistemas coherentes con distinta estructura a partir de la ordenacion de suscomponentes. Este nuevo enfoque permite, en primer lugar extender la mayorıa de los resul-tados mencionados anteriormente, en segundo lugar, establecer nuevas comparaciones entresistemas de tipo k-out-of-n con distinta estructura, y por ultimo, disenar sistemas ’mejores’o mas fiables en distintos sentidos. Consideramos:

1. Comparacion de dos sistemas coherentes formados a partir de un mismo conjunto decomponentes de tiempos de vida T = (T1, . . . , Tn).

2. Comparacion de dos sistemas coherentes formados a partir de dos conjuntos de com-ponentes con tiempos de vida T = (T1, . . . , Tn) y S = (S1, . . . , Sn), tanto en el caso decomponentes independientes e identicamente distribuidas, como en el caso mas general decomponentes independientes no identicamente distribuidas.

Por ejemplo, para el caso de dos sistemas con distinta estructura y formados a partir deun mismo conjunto de componentes, obtenemos resultados de preservacion para los ordenesestocasticos, en razon de fallo, en razon de fallo inverso y en razon de verosimilitud[10]. Porejemplo, con relacion al orden razon de fallo inverso, se tiene:

Teorema 2.5. Sean T1, T2, ..., Tm los tiempos de vida de m componentes independientes,n ≤ m, y sean h1(p|n|), h2(p|m|) las funciones de fiabilidad de dos sistemas coherentes con

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n y m componentes, respectivamente. Si

1

1− h1(p|n|)∂h1∂pi

(p|n|) ≤1

1− h2(p|m|)∂h2∂pi

(p|m|) para todo i = 1, ..., n

entonces h1(X|n|) ≤rh h2(X|m|).

Para el caso de dos sistemas coherentes con distinta estructura y formados a partir dedos conjuntos de componentes, se tiene por ejemplo, la preservacion del orden en razon defallo.

Teorema 2.6. Sean T = (T1, ..., Tn) e U = (U1, ..., Um) los tiempos de vida de dos conjuntosde componentes independientes, n ≥ m y sean h1(p|n|), h2(p|m|) las funciones de fiabilidadde dos sistemas coherentes con n y m componentes, respectivamente. Supongamos que severifica la desigualdad

1

h1(p|n|) ∂h1∂pi

(p|n|)≥ 1

h2(p|m|

) ∂h2∂pi

(p|m|

)para todo i = 1, ...,m

y que

n∑i=1

pih1(p|n|)

∂h1∂pi

(p|n|) om∑i=1

pih2(p|m|)

∂h2∂pi

(p|m|) es decreciente en cada pi.

Si Ti ≤fr Uj para todo i, j = 1, ...,m, entonces h1(T) ≤fr h2(U).

De igual forma se obtiene la preservacion para los otros ordenes.Estudiamos tambien comparaciones en ordenaciones mas generales que las anteriores, las

ordenaciones proporcionales y ordenaciones trasladadas, introducidas en [9] y [96]. El interesprincipal de estas ordenaciones reside en los siguientes tres aspectos: primero, su utilidadpara establecer desigualdades estocasticas, segundo, que en general son mas fuertes y facilesde verificar que las ordenaciones usuales, tercero, que sirven para caracterizar distintas clasesde envejecimiento y determinar que sistema es mas fiable.

El estudio del envejecimiento de un sistema esta ıntimamente relacionado con los es-tadısticos ordenados X(r, n) y los valores record, ya que dentro del campo de la fiabilidad, elr-esimo estadıstico ordenado representa el tiempo de vida de un sistema (n-r-1)-out-of-n (elsistema funciona si y, solo si, al menos n-r-1 de sus componentes funcionan), mientras que losvalores record pueden aplicarse en modelos de choque y procesos de Poisson no homogeneos.Con el objetivo de comparar la fiabilidad de diferentes sistemas y ciertos procesos de enveje-cimiento, en la literatura pueden encontrarse trabajos basados en ordenaciones estocasticasde estadısticos ordenados y valores record,[8],[11], [29], [58],[85] y [98].

Tambien, los espaciamientos de estos modelos Er:n = X(r, n) −X(r − 1, n) tienen graninteres en el contexto de tiempo de vida de sistemas, ya que representan el tiempo quetranscurre entre el (r − 1)-esimo fallo y el siguiente para un sistema con n componentes, obien, el tiempo de vida adicional que se gana al considerar un determinado sistema (n− r)-out-of-n en lugar de un sistema (n−r+1)-out-of-n, mientras que los espaciamientos de valoresrecord se pueden interpretar, bien como los tiempos de espera entre dos fallos consecutivos de

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las componentes de un sistema, como los tiempos de espera entre dos choques consecutivosde un sistema sujeto a choques, o bien, como la diferencia de intensidad de dichos choques[54] y [61].

Una primera extension de los modelos anteriores son los estadısticos ordenados genera-lizados introducidos en [57]. Este modelo incluye a su vez otras formas de ordenacion devariables aleatorias, tales como los estadısticos ordenados con tamano muestral no entero,estadısticos ordenados secuenciales, k-esimos valores record, el modelo record de Pfeifer y kn-record procedentes de distribuciones no identicas. Estos modelos tambien tienen su aplica-cion en Fiabilidad. Por ejemplo, los estadısticos ordenados secuenciales aportan un caractermas realista en el estudio de tiempos de vida de un sistema (n− r− 1)-out-of-n, englobandoa los estadısticos ordenados, puesto que incluyen ciertas dependencias o interacciones entrelas componentes del sistema producidas por los fallos de las mismas, ya que si alguna com-ponente del sistema falla, este fallo puede tener influencia sobre las distribuciones del tiempode vida del resto de componentes. Del mismo modo, los distintos valores record mencionados,son determinadas generalizaciones de los valores record, y por consiguiente, aportan mayorflexibilidad en su aplicacion a modelos de choque y procesos. Sobre estadısticos ordenadosgeneralizados [3], [4], [7], [48], [51] y [53] , entre otros.

Definicion 1. Sean n ∈ N, k ≥ 1, m1, . . . ,mn−1 ∈ R, Mr =∑n−1

j=r mj, 1 ≤ r ≤ n − 1,parametros tales que γr = k + n − r + Mr ≥ 1, para todo r ∈ 1, . . . , n− 1, y sea m =(m1, . . . ,mn−1), si n ≥ 2 (m ∈ R arbitrario, si n = 1). Llamaremos estadısticos ordenadosgeneralizados uniformes al vector aleatorio (U(1,n,m,k), . . . , U(n,n,m,k)) con funcion de densidadconjunta

h(u1, . . . , un) = k

(n−1∏j=1

γj

)(n−1∏j=1

(1− uj)mj

)(1− un)k−1,

para todo 0 ≤ u1 ≤ · · · ≤ un ≤ 1. Llamaremos estadısticos ordenados generalizadosbasados en una funcion de distribucion F al vector aleatorio

(X(1,n,m,k), . . . , X(n,n,m,k)) ≡(F−1(U(1,n,m,k)), . . . , F

−1(U(n,n,m,k))).

Sobre este modelo de estadısticos ordenados generalizados, tanto para el caso de parame-tros iguales como para el caso de parametros distintos, nuestro grupo ha estudiado [19],[46]:

a) Comparaciones estocasticas basadas en una misma funcion de distribucion, correspon-diente al orden en razon de verosimilitud, obteniendo:

Teorema 2.7. Si F ≤st G, entonces X(r,n,m,k) ≤st Y(r,n,m,k).

b) Comparaciones basadas en dos distribuciones distintas, para los ordenes: estocasticos,razon de fallo y razon de verosimilitud. Por ejemplo para el orden razon de verosimilitud condistintos parametros, se tiene:

Teorema 2.8. Si F ≤fr G, entonces X(r1,n1,m,k1) ≤fr Y(r2,n2,m′,k2)para todo r2 ≥ r1, γr1 ≥ γ′r2

y m ≥ m′ ≥ −1.

c) Comparaciones entre espaciamientos basados en dos distribuciones, para los orde-nes: estocastico, razon de fallo, razon de fallo inverso y razon de verosimilitud, cuando las

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poblaciones estan ordenadas y una de ellas pertenece alguna clase de envejecimiento noparametrico.

Nuestros resultados extienden algunos de los indicados anteriormente para estadısticosordenados, valores record y estadısticos ordenados generalizados y permiten obtener com-paraciones entre espaciamientos de distintos modelos de variables ordenadas, es decir, entreestadısticos ordenados y estadısticos ordenados secuenciales, entre valores record y valoresrecord de Pfeifer, etc.

Sin embargo, no son muchos los trabajos dedicados al estudio de comparaciones estocasti-cas multivariantes de sistemas cuyas componentes son estadısticos ordenados. Por ejemplo,en [6] y[61] se establecen comparaciones entre vectores de espaciamientos procedentes de dospoblaciones distintas, el primero de ellos en el orden estocastico multivariante y el segundoen el orden en razon de verosimilitud. Dentro de este tema en [28], se estudia la comparacionde sistemas para distintos ordenes, por ejemplo, para la comparacion de sistemas en el ordenestocastico,se tiene:

Teorema 2.9. Sean T1, ..., Tn e U1, ..., Un los tiempos de vida de dos conjuntos de componen-tes cualesquiera. Si (T1, ..., Tn) ≤st (U1, ..., Un), entonces (T(1), ..., T(n)) ≤ST (U(1), ..., U(n)).

Para poder comparar en otros ordenes como, el orden razon de fallo y razon de verosi-militud, es necesario definir una version dinamica en el tiempo de las mismas y utilizar elconcepto de historia [94].

Dentro de este topico hemos estudiado:a) Nuevos resultados sobre comparaciones estocasticas entre vectores aleatorios de es-

tadısticos ordenados procedentes de dos poblaciones, para los ordenes multivariantes: razonde fallo, razon de verosimilitud y dispersivo [28]. Por ejemplo, para el orden razon de vero-similitud se tiene:

Teorema 2.10. Sean T = (T(1), ..., T(n)) e U = (U(1), ..., U(n)) los tiempos de vida de es-tadısticos ordenados procedentes de dos muestras aleatorias simples de T e U , respectiva-mente. Entonces, T ≤lr U si y solo si

T ≤lr U

para todo n ≥ 1.

b) Propiedades multivariantes de envejecimiento del sistema, las cuales describen el com-portamiento de dicho sistema desde un punto de vista dinamico. En concreto definimos ycaracterizamos las extensiones de las clases univariantes IFR y ILR, a traves del conceptode vida media residual dada una historia.

Por ejemplo para la clase multivariante de razon de fallo creciente, MIFR , se tiene:

Definicion 2. Sea T un vector de tiempos de vida aleatorio no negativo. Se dice que X escreciente en razon de fallo multivariante, X es MIFR, si

[(X− te)+|ht] ≤fr X

para toda historia ht, t ≥ 0.

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Teorema 2.11. Sea T = (T(1), ..., T(n)) el vector de tiempos de vida de estadısticos ordenadosprocedente de una muestra aleatoria simple de T . Entonces, T es IFR si, y solo si, T esMIFR, para todo n ≥ 1.

Observemos que si el vector aleatorio de estadısticos ordenados representa la sucesionde fallos que se producen en un sistema con n componentes, algunos de nuestros resultadosdescriben el efecto del paso del tiempo sobre la probabilidad de fallo de las componentes.Por ejemplo el Teorema 2.10 muestra que, dados dos sistemas con n componentes, si los dostipos de componentes estan ordenados en razon de verosimilitud, entonces la probabilidadde que ocurra un fallo en el instante t es mayor para un sistema que en el otro.

Dentro de la Inferencia Estadıstica, a partir de estos resultados, se puede establecer com-paraciones estocasticas entre transformaciones crecientes de vectores de estadısticos ordena-dos procedentes de dos poblaciones. Algunos ejemplos de estas transformaciones crecientesson, la funcion de supervivencia empırica, la media, la mediana muestral y las medias recor-tadas. Otro estadıstico importante en Fiabilidad que se obtiene mediante una transformacioncreciente del vector de estadısticos ordenados es la TTT-transformada.

Hasta ahora hemos hablado de sistemas con componentes independientes, sin embrago,en la practica, las componentes de un sistema suelen tener alguna dependencia estructuralya que comparten el mismo entorno y, en muchos sistemas, el fallo de una unidad afecta aotras unidades. A partir del concepto de signatura de un sistema, iniciamos el estudio decomparacion de sistemas con componentes dependientes [74], obteniendo la comparacion dedos sistemas con componentes dependientes en los ordenes estocastico, razon de fallo y razonde verosimilitud. Otras comparaciones de sistemas con componentes dependientes [70] y [80],entre otros. Como hemos visto un sistema esta constituido por varias componentes y puederepresentarse como una caracterıstica multidimensional cuya distribucion de probabilidadconjunta esta dada por un modelo multivariante, que suele determinarse a traves de carac-terısticas unidimensionales de sus componentes. Hemos construidos sistemas coherentes concomponentes dependientes utilizando los procedimientos de

a) especificacion marginal, que permite obtener modelos multivariantes a partir de susdistribuciones marginales, y

b) especificacion condicional, donde la construccion de modelos multivariantes esta ba-sada en la resolucion de ciertas ecuaciones funcionales, construidas a traves de distri-buciones condicionadas especificadas.

Los sistemas construidos [75-78],tienen:

1) Distribucion conjunta normal.

2) Componentes cuyo tiempo de vida es exponencial y tienen distribucion conjuntabivariante exponencial de Gumbel tipo I.

3) Componentes cuyo tiempo de vida, cuando conocemos el fallo de la otra componentees exponencial, lo que equivale a suponer que la distribucion conjunta es un modelocon condicionadas exponenciales, y

4) Componentes con distribucion conjunta de tipo Pareto.

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3. Mantenimiento y reparacion de sistemas

3.1. Polıticas de mantenimiento

La palabra mantenimiento se emplea para designar las tecnicas utilizadas para asegurarel correcto y continuo funcionamiento de los sistemas, siendo su objetivo reducir la incidencianegativa de los fallos, bien disminuyendo su numero o reduciendo sus consecuencias. Existen,entre otros mantenimientos:

a) Mantenimiento Correctivo o por Fallos : se realiza cuando el equipo es incapaz deseguir operando porque las componentes estan fallando o han fallado.

b) Mantenimiento Preventivo: es un mantenimiento totalmente planeado que implicala reparacion o reemplazo de componentes a intervalos fijos, efectuandose para hacerfrente a fallos potenciales.

Para el mantenimiento preventivo se consideran dos polıticas de sustituciones, segun el tipode reparacion que se realiza:

a) Reparacion por edad, la unidad es reemplazada por una nueva cuando se produce unfallo, o en un instante de tiempo prefijado de antemano y, que corresponde en general,al de una edad predeterminada.

b) Reparacion por bloques, la unidad se reemplaza por una nueva cuando falla eninstantes de tiempo espaciados uniformemente T, 2T,3T,.. independientemente de laedad. Los valores optimos de los tiempos de la polıtica pueden ser determinados, porejemplo, analizando los modelos apropiados de costes.

Mientras que dos sustituciones importantes no planeadas son:

c) Renovacion, la unidad es reemplazada por una nueva, cuando se produce un fallo.

d) Reparacion mınima, la unidad es reparada dejandola como se encontraba antes delfallo y, la probabilidad de fallo solo depende del tiempo de funcionamiento del sistemay no del numero de fallos previos.

En general, consideramos sistema de componentes, y el proceso de fallos sucesivos y lasreparaciones de estos fallos. Por ejemplo podemos pensar en un sistema de iluminacion,en el que cuando se funde una bombilla o foco (fallo del sistema), es reemplazada por otra(reparacion del sistema). En este contexto el numero de fallos en el intervalo [0, t), N(t), es unproceso de conteo, que puede especificarse a partir de los tiempos aleatorios T (n), en que seproduce el fallo n-esimo, y tambien mediante los tiempos entre fallos U(n) = T (n)−T (n−1).

El caso mas sencillo es aquel en que el proceso de conteo es un proceso de Poissonhomogeneo, que queda caracterizado por que los tiempos entre llegadas son independientescon distribucion exponencial y el mismo parametro. Las extensiones naturales son los Procesode renovacion, en los cuales los tiempos entre fallos U(n), son independientes e identicamentedistribuidos y los Procesos de Poisson no homogeneos, donde el parametro depende deltiempo, y se llama intensidad del proceso.

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Estos modelos se pueden reescribir en terminos del tipo de reparacion que se realiza. Porejemplo, el proceso de renovacion se puede entender como un modelo de reparacion completa,donde la unidad que ha fallado se reemplaza por una unidad nueva con la misma distribucionque la anterior. En estos procesos hay dos funciones fundamentales la funcion de renovacionM(t), que es el numero de reparaciones hasta el instante t y la vida residual S(t), que es eltiempo que queda hasta la siguiente reparacion en dicho instante t. Sobre estas funciones haydistintos trabajos que relacionan la ordenacion en distintos tiempos de las vidas residuales,con propiedades de la funcion de renovacion y con la clase a la que pertenecen los tiemposde funcionamiento de la unidad que se reemplaza. Estos trabajos son de interes puesto quepermiten obtener acotaciones sobre el tiempo que queda hasta la siguiente reparacion enun determinado instante. Nuestro grupo ha colaborado estudiando la ordenacion entre ladistribucion de los tiempos entre renovaciones y los tiempos de vida residuales hasta elsiguiente fallo, considerando los ordenes creciente convexo, creciente concavo y Laplace y, apartir de propiedades de clasificacion de la distribucion de los tiempos entre renovaciones[21].

Para el caso de proceso de Poisson no-homogeneo la reparacion que se realiza es lasiguiente. Suponemos una componente con tiempo de vida aleatorio Y , que se pone enfuncionamiento en el tiempo 0. Si falla en el tiempo T (1) se reemplaza por una unidad conla misma distribucion que la anterior pero con tiempo de vida T (1). El proceso se repitecada vez que una unidad falla. En general este proceso se corresponde con el de concepto dereparacion mınima con unidades igualmente distribuidas, En este caso el interes se centraprincipalmente en la estructura de los tiempos en que se producen los fallos T (n) y de lostiempos entre fallos U(n). En concreto los trabajos realizados tratan sobre la clasificacion yordenacion de estos tiempos T (n) y U(n), dando condiciones sobre los distintos elementos quecaracterizan el proceso de reparacion de mınima. La mayorıa de artıculos sobre el tema, [33],[49], [60-61], estudian el problema desde el punto de vista univariante, mientras que en [12]y [26], se afrontan este estudio de forma mas general desde un punto de vista multivariante.

De la interpretacion anterior es obvio que los procesos de Poisson no homogeneos se pue-den generalizar considerando que el reemplazamiento no se produce con unidades igualmentedistribuidas. La extension del proceso de Poisson no homogeneo, se conoce como proceso deconteo por relevo. En este caso los tiempos en los que se producen los fallos, T (n), se mo-delizan de la siguiente forma. Sea Y (n), n = 1, 2 . . ., una sucesion de variables aleatorias nonegativas, que representan el tiempo de vida de la unidad n-esima que reemplaza en el falloa la n− 1- esima, entonces T (1) = Y (1) y T (n) = (Y (n)|Y (n) > T (n− 1)). El estudio de lacomparacion entre procesos de este tipo puede verse en [12] y [18]. En concreto en [18], en elcontexto de clasificacion y ordenacion de tiempos en los que se produce la reparacion, se hanclasificado de forma multivariante las clases MIFR y multivariante postividad total de orden2, MPF2, para los vectores de los tiempos en que se producen las primeras n reparaciones,a partir de la intensidad con que se producen los fallos del sistema.

Por ejemplo, se obtiene el siguiente resultado:

Teorema 3.1. Sean Tn, n ≥ 1, los tiempos de llegada de un proceso de nacimiento purono homogeneo con intensidades {rn, n ≥ 1}. Si rn es creciente para todo n ≥ 1, entoncesTn = (T1, T2, ..., Tn) es MIFR.

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Comparamos polıticas de reemplazamiento programadas (edad y bloques) con una polıti-ca no planeada de proceso de renovacion, tanto para la clase nueva mejor que usada en pro-medio, NBUE y nueva mejor que usada en el orden convexo, NBUC [22] y [24]. Por ejemplopara la clase NBUE se tiene:

Teorema 3.2. Sea N un proceso de renovacion con distribucion de tiempos entre llegadas Fy NA,T una polıtica de reemplazamiento por edad con tiempo de reemplazamiento planeado T .Sean Ti y TiA los tiempos del i-esimo fallo bajo N y NA,T , respectivamente, para i = 1, 2, ....Entonces F ∈ NBUE sı, y solo sı, E[Ti] ≤ E[TiA], para todo i = 1, 2, ... y para todo T ≥ 0.

El resultado anterior indica, que en el caso en que tengamos una unidad con tiempode vida NBUE, el promedio de tiempo entre fallos es mayor si se procede a una polıticade reemplazamiento por edad, que si solamente se somete a una polıtica de renovacion.Resultados similares se obtienen para la comparacion de la polıtica por bloques y renovaciony para la clase NBUC.

3.2. Modelos de choque continuos

En el caso de sistemas reparables, es posible considerar una variante conocida comomodelos de choque, en la cual la reparacion puede ser infructuosa de forma aleatoria, lo queproduce que el sistema no pueda ser puesto mas en funcionamiento.

En teorıa de fiabilidad de sistemas se habla de modelo de choque, cuando se tiene unsistema o mecanismo ( que puede ser una maquina, un ser vivo, un proceso de produccionindustria, etc.) sometido a choques. Se entiende por choque cualquier cambio o variacion queproduce un efecto negativo o positivo sobre el tiempo de vida del sistema y que llegan en eltiempo, segun un proceso estocastico N(t), de forma que el sistema es capaz de sobrevivir aun numero aleatorio de choques, con probabilidades de resistencia P k, k = 0, 1, . . ., y si seexcede dicha resistencia se produce el fallo del sistema. Los distintos modelos de choque seobtienen al especificar N(t) y P k.

El estudio de modelos de choque tiene aplicaciones en la teorıa de fiabilidad de sistemasy en otros contextos como, analisis de supervivencia, teorıa de colas, control de inventarios,ası como en distintos campos de la economıa. El siguiente cuadro muestra las equivalenciasde conceptos entre algunos ambitos de aplicacion:

Fiabilidad de Control de Analisis de BiometrıaSistemas Inventarios RiesgosChoques Demandas Reclamaciones Choques

Fallo del sistema Falta de stock Quiebra FallecimientoSupervivencia Suficiente stock Atencion de todas las Supervivencia

hasta t en [0, t] reclamaciones en [0, t] hasta t

Hay dos elementos basicos que caracterizan un modelo de choque y son:1) el proceso estocastico {N(t), t ≥ 0}, que gobierna la llegada de los choques y que

representa el numero de choques producidos hasta el instante de tiempo t, y que se considera

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en general un proceso de conteo. Ademas, si s < t, N(t) − N(s) representa el numero dechoques producidos en el intervalo (s, t] .y

2) las probabilidades de resistencia a k choques P k, k = 0, 1, ... del sistema.Los distintos modelos de choque se obtienen al especificar N(t) y P k.Dentro de los modelos de choque interesa estudiar en primer lugar su clasificacion, que

permitira obtener condiciones sobre el modelo para que el tiempo de vida del sistema per-tenezca a alguna de las clases de envejecimiento de interes. Las condiciones requeridas porel modelo de choque se refieren tanto a condiciones sobre el proceso N(t), que determinala llegada de los choques, como a las condiciones sobre las probabilidades de resistencia achoques, representadas por P k. En las tres ultimas decadas, el estudio de modelos de choqueha cobrado gran importancia y son muchos los trabajos que se han publicado en esta lıneade investigacion, iniciada con los trabajos [1] y [36], donde se obtienen los primeros resul-tados de preservacion sobre las clases IFR, NBU, DMRL, NBUE, IFRA y sus duales. En[55] se prueba un resultado similar para la clase armonica nueva mejor (peor) que usada enesperanza HNBUE (HNWUE) y en esta lınea en [38], se extienden estos resultados para lasclases NBUC, IFR(2), NBU(2) y sus duales.

En el caso de modelos de nacimiento puro, se estudian en [56] las clases HNBUE, IFRAy DMRL y en [84] obtiene resultados sobre la clase HNBUE.

En [20] se obtienen resultados para la preservacion de la clase NBULt en modelos dechoque de Poisson y nacimiento puro.

En segundo lugar, la ordenacion estocastica de modelos de choque permite comparar laevolucion en el tiempo de dos sistemas para poder elegir aquel cuyo proceso de envejecimientose adapte mejor a unas determinadas caracterısticas. Para el caso de modelo de choque dePoisson homogeneo, [89] y [97] entre otros, estudian las ordenaciones lr, fr, st, icx y mr.

Para modelos mas generales, correspondientes al caso en que la llegada de los choques esun proceso de conteo general determinado a partir de los tiempos entre llegadas y tiempos dellegada, [59-60] estudia los ordenes lr, icx y mr, en [82] se estudia la preservacion del ordenfr y en [39] se obtiene la de los ordenes mr e icx.

3.3. Modelos de choque discretos

Hasta ahora hemos centrado el estudio en investigar como evoluciona en el tiempo unsistema, es decir, hemos estudiado una variable aleatoria continua que representa la edad otiempo de vida del sistema. Vamos a extender el estudio anterior al caso de modelos discretos.

Consideramos dos modelos discretos:a) El modelo de choque discreto, introducido por nuestro grupo de investigacion, como

una version discreta del modelo de choque continuo.b) El modelo de reparacion mınima discreto, introducido en [83].En ambos modelos se tiene un sistema que realiza operaciones y esta sometido a choques

que llegan segun algun proceso estocastico en tiempo discreto, de forma que las operacionespueden ser de dos tipos: con exito o sin exito, en cuyo caso se dice que se ha producidoun fallo. Cada fallo es reparado de forma inmediata para que el sistema pase a realizar lasiguiente operacion, hasta que se produce el fallo final y el sistema deja de funcionar. Eneste sentido tambien se puede hablar de dos tipos de fallos: reparable (si es reparado y el

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sistema sigue funcionando) o no reparable (si no puede ser reparado y el sistema deja defuncionar) En el modelo de choque discreto, interesa considerar el numero de operaciones conexito realizadas por el sistema hasta que deja de funcionar. Si interpretamos cada operacioncon exito como una unidad nueva producida por el sistema, este modelo cuenta el numerode unidades producidas por dicho sistema hasta que se para. En el modelo de reparacionmınima discreto, interesa obtener el numero de operaciones abordadas por el sistema (secompleten o no) hasta que se produce un fallo.

En el contexto del modelo de choque, estamos interesados en estudiar la variable aleatoriadiscreta M que cuenta el numero de unidades producidas por el sistema antes del fallo noreparable y vamos a suponer que el sistema al menos produce una unidad, luego M ≥ 1,es decir, M = 1, 2, 3, ... Los choques que causan los fallos del sistema llegan segun algunproceso estocastico en tiempo discreto N = {N(m), m = 1, 2, ...}, donde N(m) representael numero de fallos hasta la unidad m− esima y el sistema tiene una resistencia a k choquesrepresentada por P k, k = 0, 1, ... , de forma que el proceso de llegada de los choques N y lasprobabilidades de resistencia a choques P k son independientes.

Dentro de este modelo en tiempo discreto, el caso mas sencillo es aquel en que las pro-babilidades de fallo son constantes, que puede considerarse como una version discreta delproceso de Poisson homogeneo del caso continuo. Este modelo puede ser generalizado al casoen que las probabilidades de fallo dependen del numero de fallos producidos, dando lugar ala version discreta del proceso de nacimiento puro.

Hemos desarrollado dos nuevos modelos que son el modelo discreto de Poisson homogeneoy el modelo discreto de nacimiento puro.

Para definir el primero de ellos, consideramos que los tiempos entre llegadas son variablesaleatorias geometricas con el mismo parametro. Para este modelo se obtiene la preservacionde las clases: frecuencia de Polya de orden 2,PF2, IFR, DMRL, NBU, NBUE, IFRA, HNBUE,nueva mejor que usada de orden 2, NBU(2), NBUC, nueva mejor que usada en el ordenLaplace, NBULt y sus duales[25]. Por ejemplo, para la clase IFR(DFR) se tiene:

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Teorema 3.3. Sea M el numero de unidades producidas de un modelo discreto de Poissonhomogeneo de parametro α, con 0 < α < 1 y β = 1− α y con distribucion de probabilidadesde resistencia a choques P. Si P es IFR (DFR), entonces M es IFR (DFR).

En cuanto a ordenacion en modelos discretos de Poisson homogeneo, consideramos dos sis-temas que realizan alguna operacion con probabilidad de fallo α y una probabilidad β = 1−α,de que produzca una unidad nueva, comun para ambos. Sin embargo, cada sistema tiene unaprobabilidad de resistencia a choques distinta representadas por Pk y Qk, respectivamente.

Obtenemos resultados de preservacion para los ordenes:razon de fallo, razon de falloinverso, razon de verosimilitud,estocastico, creciente convexo, vida media residual y Laplace.Por ejemplo, para el orden estocastico se tiene:

Teorema 3.4. Sean M y N el numero de unidades producidas de un modelo discreto dePoisson homogeneo de parametro α, con 0 < α < 1 y β = 1 − α y con distribucionesde probabilidades de resistencia a choques P y Q, respectivamente. Si P ≤st Q, entoncesM ≤st N.

Este resultado permite comparar las producciones de los dos sistemas representados porlas variables M y N. Extendemos el modelo discreto de Poisson homogeneo al caso en quela probabilidad de un nuevo fallo del sistema entre los fallos j y j + 1- esimo dependedel numero actual j de fallos del sistema (αj en lugar de α). Por tanto en este caso, lostiempos entre llegada Uj+1 son variables aleatorias independientes geometricas de parametroαj con 0 < αj < 1, es decir, si se han producido j fallos sobre el sistema, entonces hayuna probabilidad αj de que se produzca un nuevo fallo y una probabilidad βj = 1 − αj deque se produzca una nueva unidad. Para este modelo , se ha obtenido la preservacion de lasclases de envejecimiento: PF2, IFR, IFRA, DMRL, NBUE, HNBUE, DRLLt, NBULt y susduales[25].

3.4. Reparacion mınima

Comenzamos describiendo en que consisten el modelo de reparacion mınima discreto,introducido en [83]. Estos modelos se aplican cuando tenemos una unidad o componente deun sistema que realiza secuencialmente una serie de operaciones O1, O2, O3, ..., y asociadocon cada operacion Oi hay una probabilidad ri de fallo del sistema durante la ejecucion de lamisma. Las operaciones son realizadas secuencialmente hasta que tiene lugar el primer fallo,por ejemplo, en la operacion Oi1 , es decir, X1 = i1, donde X1 se interpreta como el numero deoperacion en la que se produce el fallo primero [86-87]. Despues del fallo del sistema, la unidades repuesta o sustituida inmediatamente por otra similar que sigue funcionando, pasando arealizar la operacion Oi1+1. Supongamos que el sistema vuelve a fallar por segunda vez enla operacion Oi2 , es decir, X2 = i2, donde X2 se interpreta como el numero de operacionen la que se produce el fallo segundo. De nuevo, la unidad es repuesta pasando a realizar laoperacion Oi2+1 y ası sucesivamente.

Observamos que en este modelo cuando el sistema falla realizando una operacion Oi,entonces es reparado inmediatamente pasando a la operacion siguiente Oi+1, de manera quedicha operacion Oi es olvidada y quedara sin completar. Este modelo puede ser razonableen algunas situaciones, por ejemplo si el sistema es un contador electrico que es comprobado

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solo al final de cada mes y se encuentra defectuoso al final del mes i, entonces es repuesto porotro contador que esta dispuesto a trabajar en el mes i+ 1 y en adelante. Sin embargo, estemodelo puede no resultar adecuado cuando se requiere que todas las operaciones hayan de serperfectamente realizadas consecutivamente. Definimos Zj, como el numero de operacionesno realizadas con exito hasta la prueba j−esima y sea

Xn ≡ mın {j : Zj = n} , n = 1, 2, ...,

entonces, Xn cuenta el numero de operacion en que se produce el n− esimo fallo.Si definimos los valores Yn = Xn − Xn−1, para n = 1, 2, ..., entonces las variables Yn

juegan el papel de los tiempos entrellegadas del proceso N ={N(m), m = 1, 2, ...

}cuyos

tiempos de llegada son las variables Xn que cuentan el numero de operaciones abordadashasta el fallo n.

En [83] se estudian propiedades de logconcavidad de tiempos entrellegadas y tiempos dellegada en este modelo.

Para el caso de dos modelos de reparacion mınima discreta y, para distintos ordenesmultivariantes, se obtiene la preservacion entre las distribuciones subyacentes y los tiemposde llegada y entre llegada. Por ejemplo, para el orden en razon de fallo multivariante de losn primeros tiempos de llegada de los dos modelos[23] , se tiene:

Teorema 3.5. Sean dos modelos de reparacion mınima discretos, con distribuciones subya-centes L y K, respectivamente. Entonces L ≤fr K si, y solo si,

(X1, ..., Xn) ≤fr (U1, ..., Un), para todo n ≥ 1.

y para los tiempos entre llegadas, se tiene para el orden en razon de verosimilitud multi-variante, que :

Teorema 3.6. Sean dos modelos de reparacion mınima discretos, con distribuciones subya-centes L y K, respectivamente. Si L ≤fr K y zi/si es creciente en i ≥ 1, entonces

(X1, ..., Xn) ≤lr (U1, ..., Un), para todo n ≥ 1.

Las ordenaciones multivariantes anteriores permiten obtener resultados sobre la clasifi-cacion multivariante de los vectores de tiempos de llegada y entrellegada:

Teorema 3.7. Sea un modelo de reparacion mınima discreto, con distribucion subyacenteL. Se tiene que

a) (X1, ..., Xn) es MTP2.b) Si L tiene funcion puntual de probabilidad logarıtmico convexa y si es lo-garıtmico

convexa en i, entonces (Y1, ..., Yn) es MTP2.

4. Redundancia

Se entiende por redundancia la existencia en un sistema de un numero adicional decomponentes, con el objetivo que puedan ponerse en funcionamiento alguna de ellas, si falla

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alguna de las componentes iniciales. Por tanto, puede existir mas de una componente pararealizar una funcion dada.

Este concepto puede tener connotacion negativa asociada con lo superfluo o lo innecesario,aunque tambien puede tener sentido positivo cuando la redundancia permite resolver unproblema de fallo en el sistema. Con la redundancia se persigue mejorar la fiabilidad, ya queaumentando el numero de componentes, prevenimos el efecto del fallo de alguna de ellas.Por ejemplo, en los aviones numerosas componentes se encuentran duplicadas y lo mismo ensistemas cuyo fallo represente un problema de importancia.

Entonces un problema importante en Teorıa de la Fiabilidad, es estudiar donde ubicaruna componente redundante en el sistema con el fin de obtener, una configuracion optimadel mismo que permita aumentar su fiabilidad.

Esta ubicacion puede hacerse, principalmente, de dos formas distintas:

a) redundancia activa, que corresponde al caso en que las dos componentes se colocanen paralelo y por tanto trabajan simultaneamente, un ejemplo de redundancia activa setiene en un avion trimotor, cuya despegue esta asegurado aunque falle uno cualquierade ellos, pero no mas de uno.

b) redundancia en espera, que corresponde al caso en que existe una componenteprimaria, que es la unica que realiza la funcion mientras no hay averıas y la componenteredundante permanece en espera hasta que se produce el fallo. Por tanto, la redundanciaactiva lleva al estudio del maximo de las componentes, mientras que la redundancia enespera supone la convolucion o suma de dichas variables.

Para ilustrar este problema consideramos el caso en que tenemos dos componentes contiempos de vida aleatorios T1 y T2, que forman un sistema en serie. Consideremos ahorauna componente adicional con tiempo de vida S que puede ser puesta en redundancia activacon cualquiera de las dos componentes anteriores. Esto darıa lugar a dos sistemas, U1 =mın{max(T1, S), T2} y U2 = mın{T1,max(T2, S)},

����

����

����

T1

S

T2

U1 :

22

����

����

����

T2

S

T1

U2 :

y el problema esta en decidir cual de estos sistemas es mejor en algun sentido probabilıstico,es decir, con cual de las dos componentes serıa preferible hacer la redundancia activa.

Este problema ha sido estudiado de forma intensa en la decada de los 90 para sistemascon componentes independientes,[30], [88], [99] y ha recobrado nuevo interes con las publica-ciones [101-102]. Como puede verse en estos trabajos, las condiciones que permiten decidiren que componente es mejor colocar la componente redundante, se obtiene en terminos delas ordenaciones estocasticas de las componentes del sistema. En estos resultados tambiense considera el orden en preferencia que definimos a continuacion.

Definicion 3. Sean X e Y dos variables aleatorias, se dice X es menor que Y en el ordenpreferencia, denotado por X ≤pr Y si,

P (X > Y ) ≤ P (Y > X).

Nosotros estudiamos, en primer lugar, el caso de sistemas en serie y paralelo con doscomponentes dependientes y, para los dos tipos de redundancia, activa y en espera [14].

Consideramos, en primer lugar, el caso de dos componentes dependientes con tiemposde vida T1 y T2, en sistemas serie y una componente adicional en redundancia en activocon tiempo de vida S, esto da lugar a dos sistemas U1 = mın{max(T1, S), T2} y U2 =mın{T1,max(T2, S)}.Se tiene: a) Para redundancia activa:

Teorema 4.1. Sean T1, T2 y S variables aleatorias, se tiene

a) Si (T1|S = x) ≤st:j (T2|S = x) para todo x, entonces U2 ≤pr U1.

b) Si (T1|S = x) ≤lr:j (T2|S = x) para todo x, entonces U2 ≤st U1.

Que indica que es preferible hacer redundancia en la componente mas debil segun elcriterio de ordenacion conjunta considerado.

b) Para redundancia en espera:

Teorema 4.2. Sean T1, T2 y S variables aleatorias, se tiene

a) Si (T1|S = x) ≤st:j (T2|S = x) para todo x, entonces V2 ≤pr V1.

b) Si (T1|S = x) ≤hr:j (T2|S = x) para todo x, entonces V2 ≤st V1.

23

Que indica que es preferible hacer redundancia en la componente mas debil segun elcriterio de ordenacion conjunta considerado.

Para sistemas en paralelo, observamos que la redundancia activa no tiene sentido, puesda lugar a dos sistemas iguales.Consideramos entonces el caso de redundancia en espera.Tenemos dos componentes con tiempos de vida T1 y T2, y una componente con tiempo devida S para redundancia en espera, lo que da lugar a los sistemas W1 = max{T1 + S, T2} yW2 = max{T1, T2 + S}.

Para este caso se tiene:

Teorema 4.3. Sean T1, T2 y S variables aleatorias, y sean W1 y W2 los tiempos de vida dedos sistemas como los descritos anteriormente, se tiene

a) Si (T1|S = x) ≤st:j (T2|S = x) para todo x, entonces W1 ≤pr W2.

b) Si (T1|S = x) ≤rh:j (T2|S = x) para todo x, entonces W1 ≤st W2.

Que indica que es preferible hacer redundancia en la componente mas fuerte segun elcriterio de ordenacion conjunta considerado.

Estos resultados anteriores no son meramente teoricos, pues hay multitud de distribu-ciones multivariantes conocidas, que pueden representar los tiempos de vida del sistema yque verifican las hipotesis exigidas en los teoremas anteriores, como son las distribuciones deDirichlet, Normal, Pareto, Marshall-Olkin, Exponencial trivariante de Freund, Exponencialde Marshall-Olkin, Exponencial de Moran-Downton. De nuestros resultados se obtienen losobtenidos por otros autores en el caso de independencia entre las componentes del sistema.

Estos resultados han sido los primero publicados en la literatura, sobre el estudio dela redundancia de sistemas cuando las componentes son dependientes y es el inicio de unimportante campo de estudio, como puede verse en [63] y Mathematical Reviews 2796015(2012f:62209)

Nos planteamos la extension de estos resultados al caso de sistemas con n-componentesT1, . . . , Tn, con (n > 2). En consecuencia, consideramos el caso en el que disponga de unamisma componente con tiempo de vida S para redundancia activa y en espera con cualquierade las n componentes que forman el sistema.

Los ordenes conjuntos en el caso n-dimensional, no habıan sido definidos ni estudiadosde forma explıcita en la literatura, salvo el orden en razon de verosimilitud conjunto (lr:j)que fue introducido en [97]. Desarrollamos versiones multivariantes de los ordenes conjuntosestocastico, razon de fallo y razon de fallo inverso y caracterizamos las mismas.

Posteriormente estudiamos el reparto de componentes redundantes en sistemas en seriey paralelo con n componentes y en sistemas k-out-of-n, para los ordenes conjuntos st, fr, rfy lr tanto en redundancia activa como en redundancia en espera.[15].

Por ejemplo, para sistemas en serie y redundancia activa, es decir consideramos el caso den componentes con tiempos de vida T1, . . . , Tn, y una componente adicional para redundanciaactiva con tiempo de vida S, lo que da lugar a n sistemas:

U(n)1 = mın{max(T1, S), T2, . . . , Tn}

U(n)2 = mın{T1,max(T2, S), . . . , Tn}

24

...

U (n)n = mın{T1, T2, . . . ,max(Tn, S)}.

obtenemos:

Teorema 4.4. Sean T1, . . . , Tn y S variables aleatorias, se tiene

a) Si T1(x) ≤st:j · · · ≤st:j Tn(x) para todo x, entonces U(n)1 ≥pr · · · ≥pr U (n)

n .

b) Si T1(x) ≤lr:j · · · ≤lr:j Tn(x) para todo x, entonces U(n)1 ≥st · · · ≥st U (n)

n .

Entonces para sistemas en serie es preferible hacer redundancia en la componente masdebil segun el criterio de ordenacion conjunta considerado.

Obtenemos tambien que:

a) Para sistemas en paralelo, es preferible hacer redundancia en la componente masfuerte, segun el criterio de ordenacion razon de fallo inverso conjunto.

b) Para el caso de sistemas k-out-of-n y redundancia activa, se obtiene que es preferiblehacer redundancia en la componente mas debil, segun el criterio de ordenacion cocientede verosimilitud conjunto.

c) Para el caso de redundancia en espera, se prueba que es preferible hacer redundanciaen la componente que es mas debil, segun el criterio de ordenacion razon de falloconjunto y mas fuerte segun el de razon de fallo inverso conjunto.

Tras esta exposicion, observamos que un problema importante es poder caracterizar losdistintos tipos de ordenes. Nuestro grupo de investigacion, esta tambien dedicado actual-mente a dicho estudio, habiendo alcanzado ya resultados en los ordenes vida media residualy TTT-transformada [16-17].

5. Agradecimientos

Para finalizar esta leccion, quiero expresar mi agradecimiento a todas aquellas personasa las que considero debo mi carrera universitaria. En primer lugar, mostrar mi profundocarino y agradecimiento a mi maestro, el profesor D. Procopio Zoroa, catedratico jubiladode nuestra universidad, el me inculco el carino por la docencia y la investigacion. Inicio laslıneas de investigacion sobre los temas: a)Distribuciones truncadas, continuada por nuestrogrupo de investigacion y b) Teorıa de juegos, continuada por el equipo de investigacion dela profesora Noemı Zoroa. Lıneas de investigacion que dieron y siguen dando resultadosde interes. Fue mi director de tesina de licenciatura, de tesis doctoral, y co-dirigı con elvarias tesis doctorales. Aparte de la importancia que ha tenido siempre su ayuda, lo quemas valoro es que todavıa cuento con su amistad y su carino. Gracias D. Procopio. Miagradecimiento a todos las personas que han participado en nuestro grupo de investigacion,que con su trabajo y ayuda, han contribuido a aumentar mi saber docente e investigador. Anuestros becarios Marıa del Carmen Ruiz, Carlo Jose Sandoval, Helena Martınez, Jose Angel

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Mercader, Jose Francisco Pinar, Julio Mulero y Carolina Martınez. Algunos de ellos, fueroncontratados en distintas universidades, otros tuvieron que optar por la ensenanza secundariay el paro. A mis companeros, Jose Candel, Josefa Marın, Antonio Guillamon y ManoloFranco, Por ultimo, y por ello no menos importante, a Jorge Navarro y Felix Belzunce, quecomo suele ocurrir a veces, para el progreso de la ciencia, en algunos casos el discıpulo superaal maestro. Para mi, ha sido una enorme satisfaccion haber colaborado en la formacion detodos ellos. Agradecimiento a mi mujer, porque siempre he contado con su ayuda en todos losaspectos de mi vida, a mis hijos y a mi familia. Tambien a los companeros de departamentoy a todos los investigadores con los que hemos colaborado. Tambien deseo expresar miagradecimiento a los distintos Ministerios que nos han concedido Proyectos Nacionales y ala Fundacion Seneca de la Region de Murcia, que han hecho posible con su financiacion,el desarrollo de nuestra investigacion.En relacion a la preparacion de esta memoria, deseoexpresar mi agradecimiento al profesor Felix Belzunce por su ayuda.

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