Fórmulas estatística - medidas - central e dispersão

Mário Ferreira Neto Professor Especialista em Matemática e Estatística – UFLA/MG

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

EQUAÇÕES E FÓRMULAS ALGÉBRICAS DAS MEDIDAS

DE TENDÊNCIA CENTRAL E DE DISPERSÃO

1- ELEMENTOS DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA

1.1- Frequência absoluta ou simples

nfi

→ Somatório

if → Frequência absoluta ou simples

n→ Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra

1.2- Frequência acumulada simples

kk ffffF ...321

kF → Frequência acumulada simples

1f → Frequência na primeira ordem

2f → Frequência na segunda ordem

kf → Frequência na última ordem

1.3- Frequência relativa

i

iri

f

ff

rif → Frequência relativa


→ Somatório


1.4- Frequência acumulada relativa

i

iri

f

FF

riF → Frequência acumulada relativa

if → Frequência acumulada

→ Somatório

1.5- Frequência relativa (percentual)

100.%

i

iri

f

ff

rif → Frequência relativa em porcentagem


→ Somatório

1.6- Frequência acumulada relativa

100.%

i

iri

F

FF

riF → Frequência acumulada relativa em porcentagem

if → Frequência acumulada

→ Somatório

2- AMOSTRA

2.1- Dados brutos (não agrupados) ou dados em rol


2.1.1- Número de classes (K)

K = 5 se n ≤ 25

nK se n > 25 ou K = 1 + 3,32 log(n) → Regra de Sturges

K → Número de classes


2.1.2- Amplitude de classe

K

MenorMaiorh

h→ Amplitude da classe

Maior → Maior número do rol ou da série

Menor → Menor número do rol ou da série

K → Número de classes

2.1.3- Média aritmética simples

n

xx

i

x → Média aritmética

ix → Valor genérico da observação ou da frequência (rol ou série)


2.1.4- Média geométrica simples

nng xxxxx ..... 321

gx → Média geométrica

1x → Valor dado qualquer do rol ou da série (primeiro)

2x → Valor dado qualquer do rol ou da série (segundo)

nx → Valor dado qualquer (último valor do rol ou da série)



2.1.5- Média harmônica simples

n

h

xxx

nx

1...

11

21

hx → Média harmônica

1x → Valor dado qualquer do rol ou da série (primeiro)

2x → Valor dado qualquer do rol ou da série (segundo)

nx → Valor dado qualquer (último valor do rol ou da série)


2.1.6- Média ponderada simples

1

.

c

xcx

ii

p

px → Média ponderada

ix → Valor genérico da observação ou da frequência (rol ou série)

ic → Valor do peso da variável

2.1.7- Desvio em relação à média

xxd ii

id → Desvio

ix → Valor genérico da observação ou frequência


2.1.8- Desvio médio simples

n

xxDM

i


DM → Desvio médio




→ Somatório

2.1.9- Mediana

2

1

nM d Quando for ímpar (A mediana divide o rol ou a série em

duas partes iguais - ordem central do rol ou da série).

dM → Mediana

n→ Quantidade de dados do rol ou da série ou a frequência da

amostra ou tamanho da amostra

2

nM d e 1

2

nM d Quando for par (A medida divide o rol ou a

série em duas partes iguais - duas ordens centrais do rol ou da

série). A mediana será a média aritmética entre os termos da ordem.

dM → Mediana


2.1.10- Moda

oM Valor com maior número de repetições (classe modal). A moda é

o valor que estiver na ordem ou na classe modal (valor modal).

oM → Moda

Observações:


Série amodal → não tem valor modal

Série unimodal → um valor modal

Série bimodal → dois valores modais

Série trimodal → três valores modais

Série polimodal → quatro ou mais valores modais

2.1.11- Quartis

1Q → Mediana da primeira metade dos elementos da série

2Q → Mediana de todos os elementos da série

3Q → Mediana da segunda metade dos elementos da série

Observações: Nos quartis a série é dividida em quatro partes iguais

com o mesmo número de elementos, de tal forma que cada intervalo

do quartil contenha 25% dos elementos coletados: 1º quartil separa

os primeiros 25% dos elementos da serie; 2º quartil separa os

primeiros 50% dos elementos da serie; 3º quartil separa os primeiros

75% dos elementos da serie.

2.1.12- Variância

1

2

2

n

xxs

i

2s → Variância




→ Somatório


2.1.13- Desvio-padrão

2ss

s→ Desvio-padrão

2s → Variância

2.2- Dados agrupados sem intervalos de classes

2.2-1. Média aritmética simples

n

fxx

ii . ou

i

ii

f

fxx

. Observação: nfi





→ Somatório

2.2-2. Mediana

2

1

nM d Quando for ímpar (A mediana divide o rol ou a série em

duas partes iguais, mas a ordem central do rol ou da série).

dM → Mediana

n→ Quantidade de dados do rol ou da série ou a frequência da

amostra ou tamanho da amostra

2

nM d e 1

2

nM d Quando for par (A medida divide o rol ou a

série em duas partes iguais - duas ordens centrais do rol ou da

série). A mediana será a média aritmética entre os termos da ordem.


dM → Mediana


2.2-3. Moda

oM Valor com maior número de repetições ou maior frequência

(classe modal). A moda é o valor que estiver na ordem ou na classe.

oM → Moda

Observação: 1º- Localizar a classe modal (classe que contém o maior

valor de frequência); 2º- Verificar o valor da variável contido na

classe modal.

2.2-4. Quartis

1Q → k = 1

2Q → k = 2

3Q → k = 3

kQ → É o valor da variável que corresponde à classe desse quartil

considerado.

1º- Calcular a posição do quartil para estabelecer em que classe se

localiza o quartil considerado

4

.nkQk

kQ → É o valor da variável que corresponde à classe desse quartil

considerado.

k → Número do quartil considerado



Observação: 1º- Localizar esse valor na coluna da frequência

acumulada para conhecer qual é a classe que corresponde a essa

posição (classe do quartil k); 2º- Verificar na coluna da variável em

estudo qual o valor da variável localizada na classe do quartil

considerado.

2.2-5. Variância

1

2

2

2

n

n

xx

s

i

i

2s → Variância




→ Somatório

2.2-6. Desvio-padrão

2ss

s→ Desvio-padrão

2s → Variância

2.3- Dados agrupados com intervalos de classes

2.3.1- Amplitude de classe

ii lLh ou k

Rh

h→ Amplitude da classe h→ Amplitude da classe

iL → Limite superior da classe R→ Amplitude


il → Limite inferior da classe k → Número de classes

2.3.2- Amplitude total da distribuição

mínmáx lLAT

AT → Amplitude total da distribuição

máxL → Limite superior da distribuição

mínl → Limite inferior da distribuição

2.3.3- Amplitude amostral

mínmáx xxAA

AA→ Amplitude amostral

máxx → Limite máximo da amostra

mínx → Limite mínimo da amostra

2.3.4- Ponto médio de classe

2

ii LlPM

PM → Ponto Médio

il → Limite inferior da classe

iL → Limite superior da classe

2.3.5- Média aritmética ponderada

i

ii

f

fxx

.

x → Média aritmética ponderada

ix → Valor do ponto médio do intervalo de classe



→ Somatório

2.3.6- Ponto médio de classe

2

supinf Llxi


infl → Limite inferior da classe

supL → Limite superior da classe

2.3.7- Desvio em relação à média

xxd ii

id → Desvio



2.3.8- Desvio médio simples

n

xxDM

i

DM → Desvio médio




→ Somatório

2.3.9- Desvio médio absoluto


n

xxDM

i

A

Observação: O desvio médio, em geral, é

aproximadamente igual a 0,8 vezes o desvio-padrão.

ADM → Desvio médio




→ Somatório

2.3.10- Mediana

Critérios para determinação da mediana:

1º- 2

if

ou 2

n

→ Somatório



2º- A menor frequência acumulada que superar o valor da frequência

acumulada da classe mediana

3º-

i

ant

i

df

hFf

lM

.2

inf

ou Md

Mdant

Mddf

hFn

lM

.2

dM → Mediana

infl → Limite inferior do intervalo de classe mediana

if → Frequência absoluta ou simples da classe mediana

antF → Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana

h→ Amplitude do intervalo de classe mediana


→ Somatório

dM → Mediana

Mdl → Limite inferior da classe que contém a mediana

n→ Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra ou

número de elementos do conjunto de dados

Mdf → Frequência absoluta ou simples da classe que contém a

mediana

antF → Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana ou

soma das frequências simples anteriores à classe que contém a

medida

Mdh → Amplitude do intervalo da classe que contém a mediana

2.3.11- Moda

hdd

dlM o .

21

1inf

Mo→ Moda

infl → Limite inferior da classe modal

1d → Frequência absoluta ou simples menos frequência absoluta ou

simples anterior à classe modal (diferença entre a frequência da

classe modal e a da classe imediatamente anterior)

2d → Frequência absoluta ou simples menos frequência absoluta ou

simples posterior à classe modal (diferença entre a frequência da

classe modal e a da classe imediatamente posterior - seguinte)

h→ Amplitude de intervalo da classe modal

Observação: 1º- Localizar a classe modal (classe que contém o maior

valor de frequência); 2º- A moda é um valor contido no intervalo de


classe modal; 3º - Cálculo da moda pela Regra de Czuber com base

nos valores da classe modal.

MoMoMo lLh

Moh → Amplitude de intervalo da classe modal

MoL → Limite Superior da classe modal

Mol → Limite inferior da classe modal

antMo ffd 1

1d → Diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da

classe anterior à classe modal

Mof → Frequência da classe modal

antf → Frequência da classe anterior à classe modal

postMo ffd 2

2d → Diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da

classe posterior à classe modal

Mof → Frequência da classe modal

postf → Frequência da classe posterior à classe modal

Observação: Moda bruta é o valor do ponto médio da classe modal.

2.3.12- Quartis

Qk

Qk

ant

Qkk hf

Fnk

lQ .4

.

kQ → Quartil

k → Quartil considerado

Qkl → Limite inferior do intervalo de classe do quartil considerado


n→ Quantidade de frequência da amostra ou tamanho da amostra ou

número de elementos do conjunto de dados

Qkf → Frequência absoluta ou simples da classe do quartil considerado

antF → Frequência acumulada da classe anterior à classe do quartil

considerado

Qkh → Amplitude do intervalo de classe do quartil considerado

QkQkQk lLh

Qkh → Amplitude do intervalo de classe do quartil considerado

QkL → Limite Superior da classe do quartil considerado

Qkl → Limite inferior da classe do quartil considerado

2.3.13- Relação empírica entre média, mediana e moda

do MxMx 3


Mo→ Moda

dM → Mediana

2.3.14- Amplitude total

mínmáx xxR

R→ Amplitude total

máxx → Limite máximo e mínx → Limite mínimo

2.3.15- Variância

1

..

2

2

2

n

n

fxfx

s

ii

ii

2s → Variância





→ Somatório

2.3.16- Desvio-padrão

2ss

s→ Desvio-padrão

2s → Variância

2.3.17- Erro padrão

n

ssx

xs → Erro padrão

s→ Desvio-padrão


2.3.18- Relação empírica entre o desvio-padrão e a amplitude

3

R<s<

6

R

R→ Amplitude

s→ Desvio-padrão

2.3.19- Coeficiente de variação

100.x

sCV Observação: CV é dado em percentual


CV → Coeficiente de variação

s→ Desvio-padrão


Análise do coeficiente de variação

CV≥ 30% → Dispersão alta (elevada, intensa)

15%<CV<30% → Dispersão média (central, mediana)

CV≤ 15% → Dispersão baixa (mínima, pequena)

2.3.20- Momentos de uma distribuição de frequências

2.3.19.1- Dados em ordem ou rol ou série

n

xM

t

i

t

Observação: momento de ordem t de um conjunto

de dados

tM → Momento de ordem t



n

axM

t

ia

t

Observação: momento de ordem t em

relação a uma constante a

a

tM → Momento de ordem t em relação a constante a


a→ Constante


n

xxM

t

i

t

Observação: momento de ordem t centrado

em relação à média






2.3.19.2- Dados agrupados em classes de frequências

n

fxM

i

t

i

t

. Observação: momento de ordem t de um

conjunto de dados





n

faxM

i

t

ia

t

. Observação: momento de ordem t em

relação a uma constante a

a

tM → Momento de ordem t em relação a constante a


a→ Constante



n

fxxM

i

t

i

t

. Observação: momento de ordem t

centrado em relação à média







2.3.19.3- Momentos em ordens

xM 1 e 01 m

1M → Momento de ordem 1


2

2 .1

sn

nm

2m → Momento de ordem 2

2s → Variância


2.3.19.4- Momentos centrados de 3ª e 4ª ordem em rol ou

série

3

23

3 2.3 xn

xx

n

xm

ii




4

2

2

34

4 3.6.4 xn

xx

n

xx

n

xm

iii





2.3.19.5- Momentos centrados de 3ª e 4ª ordem em classes

3

23

3 2.

.3.

xn

fxx

n

fxm

iiii





4

2

2

34

4 3.

.6.

.4.

xn

fxx

n

fxx

n

fxm

iiiiii





422

4 .240

2

2

.h

shm

Observação: Correção de Sheppard

(subtração) para dados agrupados em classes


h→ Amplitude da classe

2s → Variância

2.3.21- Escore padronizado

s

xxz i

i

Observação: xxi afastamento do valor da

observação em relação a media com a divisão pelo Desvio-padrão

como unidade de medida

iz → Escore padronizado




s→ Desvio-padrão

z>1 → Anormal

z<1 → Normal

2.3.22- Assimetria

s

mxAS d

3

Observação: assimetria situa-se entre -3 e 3

AS → Assimetria


dM → Mediana

s→ Desvio-padrão

Análise da assimetria

AS > 1 → Assimetria Moderada

AS > 0 → Assimetria positiva

AS < 0 → Assimetria negativa

2.3.23- Medidas de assimetria (coeficiente de assimetria)

3

33

s

ma Observação: momento de 3ª ordem dividido pelo cubo do

desvio-padrão (indica o sentido da assimetria)

3a → Coeficiente de assimetria de ordem 3


s→ Desvio-padrão

2.3.24- Índice de assimetria de Pearson

x

o

s

mxA


A→ Coeficiente de assimetria de ordem 3


Mo→ Moda

s→ Desvio-padrão


|A| < 0,15 → praticamente a distribuição é simétrica

0,15 < |A| < 1 → Assimetria moderada

|A| > 1 → Assimetria forte

2.3.25- Medidas de achatamento ou curtose

22

44

s

ma

4a → Coeficiente de curtose


2s → Variância

Observação: Coeficiente de curtose é o quociente do momento de 4ª

ordem pelo quadrado da variância


Adimensional < 3 para as distribuições platicúrticas

Adimensional = 3 para as distribuições mesocúrticas

Adimensional > 3 para as distribuições leptocúrticas

Observação: Distribuição normal é mesocúrtica; Distribuições

achatadas: platicúrtica e leptocúrtica.

Coeficiente de excesso: 34 a para fixar o zero como referência

mesocúrtica.

Observação especial: Os tamanhos da população e da amostra

permitem estabelecer duas relações importantes:


Fração de amostragem = N

n

n→ Tamanho da amostra

N → Tamanho da população

Fator de expansão ou Intervalo de Seleção = n

N

N → Tamanho da população

n→ Tamanho da amostra

Date post:	01-Jul-2015
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Fórmulas estatística - medidas - central e dispersão

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