7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 1/54

1. Cubul2. Paralelipipedul dreptunghic3. Prisma triunghiulara4. Prisma patrulatera

5. Prisma hexagonala6. Piramida triunghiulara

7. Piramida patrulatera8. Piramida hexagonala9. runchiul de piramida triunghiulara1!. runchiul de piramida patrulatera11. runchiul de piramida hexagonala12. Cilindrul

13. Conul

14. runchiul de con15. "#era

1

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 2/54

Formule utile

diagonala ba$ei % l & '2diagonala cubului % l & '3

Desenarea corecta a unui cub

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna rigla sicreionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti #imai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*unghiuri sau segmente.

1 -esenea$a un patrat cu o latura* de exemplu* de 8 cm

2

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 3/54

2  -upa ce ai desenat patratul* din centrul acestuia mai desenea$a catre parteadreapta* inca un patrat cu latura egala cu latura primului patrat

3 /neste cu cate o linie )ar#urile celor doua patrate

4 0n cele din urma* sterge putin cate putin* cu guma* liniile care nu ar trebui sa se )adain spatiu. ei obtine in #inal urmatoarea #igura geometrica

3

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 4/54

Exercitii rezolvate

1. Calculea$a aria laterala* aria totala si )olumul unui cub cu latura de 3 cm.e$ol)are

 (ria laterala a cubului % 4 & l % 4 & 3 % 36 cm (ria totala a cubului % 6 & l % 6 & 3 % 54 cm

olumul cubului % l % 3 % 27 cm2. (#la )olumul si aria totala a unui cub care are suma muchiilor de 48 cm.e$ol)are"uma muchiilor unui cub % 12 & l % 48 cm. -eci latura )a #i de 4 cm.olumul cubului % l % 4 % 64 cm

 (ria totala a cubului % 6 & l % 6 & 4 % 96 cm

3. /n cub are diagonala de 2'3 cm. Calculea$a cat este aria laterala* aria totala acubului.e$ol)are-iagonala cubului % l & '3 % 2 & '3 cm. -eci latura cubului )a #i 2 cm.

 (ria laterala a cubului % 4 & l % 4 & 2 % 16 cm (ria totala a cubului % 6 & l % 6 & 2 % 24 cmolumul cubului % l % 2 % 8 cm

4. olumul unui cub este de 125 cm. "a se calcule$e aria ba$ei* aria laterala si ariatotala a cubului.e$ol)areolumul cubului % l % 125 cm. -e aici re$ulta ca latura cubului este de 5 cm.

 (ria ba$ei cubului % l % 5 % 25 cm (ria laterala a cubului % 4 & l % 4 & 5 % 1!! cm (ria totala a cubului % 6 & l % 6 & 5 % 15! cm

5. -aca aria totala a unui cub este 24 cm* sa se a#le cat este aria laterala si )olumulcubului.e$ol)are

 (ria totala a cubului % 6 & l % 24 cm* adica latura cubului este 2 cm. (ria laterala a cubului % 4 & l % 4 & 2 % 16 cmolumul cubului % l % 2 % 8 cm 

4

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 5/54

Formule utile

Desenarea corecta a unui paralelipiped

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna rigla sicreionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti #imai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*unghiuri sau segmente.

1 -esenea$a un dreptunghi cu lungimea si latimea* de exemplu* de 9 cm si 6 cm

2 -upa ce ai desenat dreptunghiul* din centrul acestuia mai desenea$a catre parteadreapta* inca un dreptunghi de dimensiuni egale cu primul

5

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 6/54

3 /neste cu cate o linie )ar#urile celor doua dreptunghiuri

4 0n cele din urma* sterge putin cate putin* cu guma* liniile care nu ar trebui sa se )adain spatiu. ei obtine in #inal urmatoarea #igura geometrica

6

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 7/54

Exercitii rezolvate

1. "a se a#le aria totala si )olumul unui paralelipiped dreptunghic cu l % 3 cm* % 4 cmsih % 5 cm.

e$ol)are (ria totala a paralelipipedului % 2 & h l & h & l % 24 & 5 3 & 5 4 & 3 % 94 cmolumul unui paralelipiped % & l & h % 4 & 3 & 5 % 6! cm

2. "a se calcule$e aria laterala* aria totala si diagonala unui paralelipiped dreptunghiccare are lungimea de 8 cm* aria ba$ei de 4! cm si )olumul de 24! cm.e$ol)are

 (ria ba$ei % & l % 8 & l % 4! cm* deci latimea este de 5 cm.olumul paralelipipedului % & l & h % 8 & 5 & h % 24! cm* de unde re$ulta ca h % 6 cm

 (ria laterala a paralelipipedului % 2 & h l & h % 28 & 6 5 & 6 % 156 cm (ria totala a paralelipipedului % 2 & h l & h & l % 28 & 6 5 & 6 8 & 5 % 236 cm-iagonala paralelipipedului % 'l h % '5 8 6 % 5'5cm

3. (#lati aria totala a unui paralelipiped dreptunghic daca se cunosc urmatoarele date l% 4 cm* (b % 24 cm si % 168 cm.e$ol)are

 (ria ba$ei % & l % & 4 % 24 cm* adica lungimea are 6 cmolumul paralelipipedului % & l & h % 6 & 4 & h % 168 cm* re$ulta ca h % 7 cm

 (ria totala a paralelipipedului % 2 & h l & h & l % 26 & 7 4 & 7 6 & 4 % 188 cm

4. Perimetrul ba$ei unui paralelipiped dreptunghic este de 4! de cm. -aca lungimeaeste cu 4 cm mai mare decat latimea si aria laterala este 4!! cm* sa se a#le )olumulparalelipipedului.e$ol)arePerimetrul ba$ei % 2 l % 4! de cm* cum % l 4* re$ulta ca l % 8 cm si % 12 cm

 (ria laterala % 2 & h l & h % 212 & h 8 & h % 4!! cm* deci inaltimea este de 1! cmolumul paralelipipedului % & l & h % 12 & 8 & 1! % 96! cm

5. /n paralelipiped dreptunghic are latimea de 3 cm* lungimea de 5 cm si )olumul de9! cm "a se a#le aria laterala si aria totala a paralelipipedului.e$ol)areolumul paralelipipedului % & l & h % 5 & 3 & h % 9! cm* deci h % 6 cm

 (ria ba$ei % & l % 5 & 3 % 15 cm (ria laterala % 2 & h l & h % 25 & 6 3 & 6 % 96 cm (ria totala a paralelipipedului % 2(b (l % 3! 96 % 126 cm

7

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 8/54

Formule utile

Desenarea corecta a unei prisme triunghiulare regulate

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna riglasi creionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti #imai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*unghiuri sau segmente.

1 -esenea$a un triunghi oarecare cu )ar#ul in os* asemanator cu cel din #iguraurmatoare

2 -upa ce ai desenat triunghiul* din #iecare )ar# al acestuia trasea$a )ertical cate odreapta de aceeasi dimensiune inaltimea prismei. (i gria sa nu #ie prea mare. (r trebui sa obtii un re$ultat asemanator cu cel din #igura de mai os

8

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 9/54

3 /neste )ar#urile dreptelor pe care le,ai trasat la pasul 2

4 0n cele din urma* sterge putin cate putin* cu guma* linia care nu ar trebui sa se )adain spatiu. ei obtine in #inal urmatoarea #igura geometrica

Exercitii rezolvate

1. "a se calcule$e aria laterala si )olumul unei prisme triunghiulare care are l % 6 cm sih % 7 cm.e$ol)are

 (ria laterala % Pb & h % 18 & 7 % 126 cm (ria ba$ei % l & '3:4 % 9'3 cmolumul unei prisme triunghiulare % (b & h % 63'3 cm

2. -aca )olumul unei prisme triunghiulare este 36 cm si latura prismei este 4 cm* sase a#le aria laterala si aria totala a prismei.e$ol)are

9

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 10/54

 (ria ba$ei % l & '3:4 % 4'3 cmolumul prismei % (b & h % 4'3 & h % 36 cm* de unde re$ulta ca h % 3'3 cm

 (ria laterala a prismei % Pb & h % 12 & 3'3 % 36'3 cm (ria totala a prismei % (l 2(b % 36'3 8'3 % 44'3 cm

3. + prisma triunghiulara regulata are aria ba$ei 16'3 cm. -aca inaltimea prismei este umatate din latura prismei* sa se a#le cat este aria totala si )olumul prismei.e$ol)are

 (ria ba$ei prismei triunghiulare % l & '3:4 % 16'3 cm* deci latura prismei este de 8 cm.0naltimea prismei este umatate din latura* adica 4 cm

 (ria laterala a prismei % Pb & h % 24 & 4 % 96 cm (ria totala a prismei % (l 2(b % 96 cm 32'3 cmolumul unei prisme triunghiulare % (b & h % 64'3 cm

4. "tiind ca latura unei prisme triunghiulare regulate este de 3 cm si aria laterala de 45cm* sa se a#le )olumul acestei prisme.

e$ol)are (ria laterala % Pb & h % 9 & h % 45 cm* adica h % 5 cm (ria ba$ei prismei triunghiulare % l & '3:4 % 9'3:4 cmolumul prismei triunghiulare % (b & h % 9'3:4 & 5 % 45'3:4 cm

5. Perimetrul unei prisme triunghiulare regulate este de 15 cm* iar inaltimea acesteiprisme are 7 cm. "a se a#le aria totala si )olumul prismei.e$ol)arePerimetrul prismei triunghiulare % 3 & l % 15 cm* deci latura prismei are 5 cm

 (ria laterala a prismei % Pb & h % 15 & 7 % 1!5 cm (ria ba$ei prismei triunghiulare % l & '3:4 % 25'3:4 cm (ria totala a prismei % (l 2(b % 1!5 cm 5!'3:4 cmolumul prismei % (b & h % 25'3:4 & 7 % 175'3:4 cm 

10

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 11/54

Formule utile

Desenarea corecta a unei prisme patrulatere regulate

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna riglasi creionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti #imai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*unghiuri sau segmente.

1 -esenea$a un paralelogram asemanator cu cel din #igura urmatoare

11

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 12/54

2 -upa ce ai desenat paralelogramul* din #iecare )ar# al acestuia trasea$a )ertical cateo dreapta de aceeasi dimensiune inaltimea prismei. (i gria sa nu #ie prea mare. (r trebui sa obtii un re$ultat asemanator cu cel din #igura urmatoare

3 /neste )ar#urile dreptelor pe care le,ai trasat la pasul 2

12

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 13/54

4 0n cele din urma* sterge putin cate putin* cu guma* liniile care nu ar trebui sa se )adain spatiu. ei obtine in #inal urmatoarea #igura geometrica

Exercitii rezolvate

1. "a se calcule$e* aria laterala* aria totala si )olumul unei prisme patrulatere regulatecu latura ba$ei de 4 cm si inaltimea de 7 cm.e$ol)arePerimetrul ba$ei % 4 & l % 4 & 4 % 16 cm

 (ria laterala a prismei % Pb & h % 16 & 7 % 112 cm (ria ba$ei unei prisme patrulatere % l % 4 % 16 cm (ria totala a prismei % (l 2(b % 112 32 % 144 cmolumul prismei % (b & h % 16 & 7 % 112 cm

2. Calculati )olumul unei prisme patrulatere regulate cu aria ba$ei de 25 cm si arialaterala de 16! cm.e$ol)are

 (ria ba$ei % l % 25 cm* adica latura este de 5 cmPerimetrul ba$ei % 4 & l % 4 & 5 % 2! cm

 (ria laterala a prismei % Pb & h % 2! & h % 16! cm* deci h % 8 cm

olumul prismei % (b & h % 25 & 8 % 2!! cm

3. + prisma patrulatera are latura ba$ei de 6 cm si )olumul de 432 cm. Calculati arialaterala si aria totala a prismei.e$ol)are

 (ria ba$ei % l % 6 % 36 cmolumul prismei % (b & h % 36 & h % 432 cm* de unde re$ulta ca h % 12 cmPerimetrul ba$ei % 4 & l % 4 & 6 % 24 cm

13

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 14/54

 (ria laterala a prismei % Pb & h % 24& 12 % 288 cm (ria totala a prismei % (l 2(b % 288 72 % 36! cm

4. -iagonala unei #ete laterale a unei prisme patrulatere regulate este de 13 cm. ;tiindca aria ba$ei este de 25 cm sa se calcule$e* )olumul si aria totala.

e$ol)are (ria ba$ei % l % 25 cm* deci l % 5 cm-iagonala unei #ete laterale % 'l h Pitagora % '5 h % 13 cm* re$ulta ca h %12 cmPerimetrul ba$ei % 4 & l % 4 & 5 % 2! cm

 (ria laterala a prismei % Pb & h % 2! & 12 % 24! cm (ria totala a prismei % (l 2(b % 24! 5! % 29! cmolumul prismei % (b & h % 25 & 12 % 3!! cm

5. -aca )olumul unei prisme patrulatere regulate este de 128 cm si inaltimea de 8 cm*sa se calcule$e aria laterala si aria totala.

e$ol)areolumul prismei % (b & h % (b & 8 % 128 cm* de unde re$ulta ca (b % 16 cm (ria ba$ei % l % 16 cm* deci l % 4 cmPerimetrul ba$ei % 4 & l % 4 & 4 % 16 cm

 (ria laterala a prismei % Pb & h % 16 & 8 % 128 cm (ria totala a prismei % (l 2(b % 128 32 % 16! cm 

14

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 15/54

Formule utile

Desenarea corecta a unei prisme hexagonale regulate

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna rigla sicreionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti #imai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*unghiuri sau segmente.

1 -esenea$a un hexagon asemanator cu cel din #igura urmatoare

15

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 16/54

2 -upa ce ai desenat hexagonul* din #iecare )ar# al acestuia trasea$a )ertical cate odreapta de aceeasi dimensiune inaltimea prismei. (i gria sa nu #ie prea mare. (r trebui sa obtii un re$ultat asemanator cu cel din #igura de mai os

3 /neste )ar#urile dreptelor pe care le,ai trasat la pasul 2

16

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 17/54

4 0n cele din urma* sterge putin cate putin* cu guma* liniile care nu ar trebui sa se )adain spatiu. ei obtine in #inal urmatoarea #igura geometrica

Exercitii rezolvate

1. 0ntr,o prisma hexagonala latura este de 3 cm* iar inaltimea de 5 cm. "a se a#le arialaterala* aria totala si )olumul prismei.e$ol)are

17

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 18/54

Perimetrul ba$ei unei prisme hexagonale % 6 & l % 6 & 3 % 18 cm (ria laterala a prismei % Pb & h % 18 & 5 % 9! cm (ria ba$ei % 3l & '3:2 % 27'3:2 cm (ria totala a prismei % (l 2(b % 9! cm 27'3 cmolumul prismei hexagonale % (b & h % 27'3:2 & 5 % 135'3:2 cm

2. -aca aria ba$ei unei prisme hexagonale regulate este 54'3 cm si )olumul este 324cm*sa se a#le aria totala a prismei.e$ol)are

 (ria ba$ei % 3l & '3:2 % 54'3 cm* deci latura prismei este de 6 cmolumul prismei hexagonale % (b & h % 54'3 & h % 324 cm* deci inaltimea este de 3'3cmPerimetrul ba$ei unei prisme hexagonale % 6 & l % 6 & 6 % 36 cm

 (ria laterala a prismei % Pb & h % 36 & 3'3 % 1!8'3 cm (ria totala a prismei % (l 2(b % 1!8'3 1!8'3 % 216'3 cm

3. "a se a#le )olumul unei prisme hexagonale regulate cu inaltimea de 5 cm si arialaterala de 12! cm.e$ol)are

 (ria laterala a prismei % Pb & h % Pb & 5 % 12! cm* de unde re$ulta ca Pb % 24 cmPerimetrul ba$ei unei prisme hexagonale % 6 & l % 24 cm* deci latura este de 4 cm

 (ria ba$ei % 3l & '3:2 % 24'3 cmolumul prismei hexagonale % (b & h % 24'3 & 5 % 12!'3 cm

4. Perimetrul unei prisme hexagonale regulate este 18 cm* iar aria laterala a prismeieste162'3 cm. Calculati )olumul acestei prisme.e$ol)arePerimetrul ba$ei unei prisme hexagonale % 6 & l % 18 cm* deci l % 3 cm

 (ria laterala a prismei % Pb & h % 18 & h % 162'3 cm* deci h % 3'3 cm (ria ba$ei % 3l & '3:2 % 27'3:2 cmolumul prismei hexagonale % (b & h % 27'3:2 & 3'3 % 243:2 cm

5. + prisma hexagonala regulata are )olumul de 6!'3 cm* iar latura de 2 cm. "a sea#learia laterala si aria totala.e$ol)are

 (ria ba$ei % 3l & '3:2 % 6'3 cmolumul prismei hexagonale % (b & h % 6'3 & h % 6!'3 cm* deci inaltimea este de 1! cmPerimetrul ba$ei unei prisme hexagonale % 6 & l % 12 cm

18

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 19/54

 (ria laterala a prismei % Pb & h % 12 & 1! % 12! cm (ria totala a prismei % (l 2(b % 12! cm 12'3 cm

Formule utile

apotema piramidei (ap) este inaltimea unuia dintre triunghiurile care #ormea$a o #atalaterala a piramidei

Desenarea corecta a unei piramide triunghiulare regulate (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna riglasi creionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti #imai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*unghiuri sau segmente.

1 -esenea$a un triunghi oarecare* asemanator cu cel din #igura urmatoare

19

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 20/54

2 -upa ce ai desenat triunghiul* din punctul de intersectie al medianelor acestuiatrasea$a cu linie punctata doua dintre medianele triunghiului pentru a )edea punctullor de intersectie trasea$a )ertical o linie punctata inaltimea piramidei. (i gria sa nu#ie prea mare. (r trebui sa obtii un re$ultat asemanator cu cel din #igura de mai os

3 /neste )ar#urile triunghiului cu )ar#ul dreptei pe care ai trasat,o la pasul 2

20

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 21/54

4 (cum sterge medianele triunghiului* pe care le,ai trasat. 0n cele din urma* stergeputin cate putin* cu guma* liniile care nu ar trebui sa se )ada in spatiu. ei obtine in#inal urmatoarea #igura geometrica

Exercitii rezolvate

1. 0ntr,o piramida triunghiulara regulata se stie ca (b % 9'3 cm si ap % 5 cm. "a sea#le aria laterala a piramidei.

21

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 22/54

e$ol)are (ria ba$ei unei piramide triunghiulare % l'3:4 % 9'3 cm* deci latura are 6 cmPerimetrul ba$ei % 3l % 18 cm

 (ria laterala % Pb & ap : 2 % 18 & 5 : 2 % 45 cm

2. Perimetrul ba$ei unei piramide triunghiulare regulate este de 18'3 cm* inaltimeaeste de 4 cmiar apotema piramidei este de 5 cm. "a se a#le aria laterala* aria totala si )olumulpiramidei.e$ol)are

 (ria laterala % Pb & ap : 2 % 18'3 & 5 : 2 % 45'3 cm (ria ba$ei % l'3:4 % 27'3 cm (ria totala % (ria ba$ei (ria laterala % 27'3 45'3 % 72'3 cmolumul piramidei % (b & h : 3 % 27'3 & 4 : 3 % 36'3 cm

3. -aca )olumul unei piramide triunghiulare regulate este de 3'3 cm* inaltimea are 1

cm siapotema piramidei este de 2 cm* sa se a#le aria laterala.e$ol)areolumul piramidei % (b & h : 3 % (b & 1 : 3 % 3'3 cm* de unde re$ulta ca (b % 9'3 cm

 (ria ba$ei % l'3:4 % 9'3 cm* deci latura este de 6 cmPerimetrul ba$ei % 3 & l % 3 & 6 % 18 cm

 (ria laterala % Pb & ap : 2 % 18 & 2 : 2 % 18 cm

4. "tiind ca aria ba$ei este de 36'3 cm* apotema este de 4 cm si inaltimea este de 2cm* sa sea#le aria totala si )olumul.e$ol)are

 (ria ba$ei % l'3:4 % 36'3 cm* deci latura este de 12 cmPerimetrul ba$ei % 3 & l % 3 & 12 % 36 cm

 (ria laterala % Pb & ap : 2 % 36 & 4 : 2 % 72 cm (ria totala % (b (l % 36'3 cm 72 cmolumul piramidei % (b & h : 3 % 36'3 & 2 : 3 % 24'3 cm

5. "a se calcule$e aria totala a unei piramide triunghiulare regulate* daca apotema are4 cm siaria ba$ei este 27'3 cm.e$ol)are

 (ria ba$ei % l'3:4 % 27'3 cm* deci latura este de 6'3 cmPerimetrul ba$ei % 3 & l % 3 & 6'3 % 18'3 cm

 (ria laterala % Pb & ap : 2 % 18'3 & 4 : 2 % 36'3 cm (ria totala % (ria ba$ei (ria laterala % 27'3 36'3 % 63'3 cm 

22

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 23/54

Formule utile

apotema piramidei (ap) este inaltimea unuia dintre triunghiurile care #ormea$a o #atalaterala a piramidei

Desenarea corecta a unei piramide patrulatere regulate

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna riglasi creionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti #imai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*unghiuri sau segmente.

23

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 24/54

1 -esenea$a un paralelogram asemanator cu cel din #igura urmatoare

2 -upa ce ai desenat paralelogramul* din centrul acestuia trasea$a cu linie punctatadiagonalele paralelogramului pentru a a#la centrul acestuia trasea$a )ertical o liniepunctata inaltimea piramidei. (i gria sa nu #ie prea mare. (r trebui sa obtii un re$ultatasemanator cu cel din #igura alaturata

3 /neste )ar#urile paralelogramului cu )ar#ul dreptei pe care ai trasat,o la pasul 2

24

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 25/54

4 (cum sterge diagonalele paralelogramului* pe care le,ai trasat. 0n cele din urma*sterge putin cate putin* cu guma* liniile care nu ar trebui sa se )ada in spatiu. eiobtine in #inal urmatoarea #igura geometrica

Exercitii rezolvate

1. "tiind ca apotema unei piramide patrulatere regulate este 3 cm* inaltimea este 3'3:2cm si aria laterala este egala cu 18 cm* sa se a#le )olumul piramidei.

25

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 26/54

e$ol)are (ria laterala a piramidei % Pb & ap : 2 % 18 cm* deci Pb % 12 cmPerimetrul ba$ei piramidei patrulatere % 4 & l % 12 cm* deci latura are 3 cm

 (ria ba$ei piramidei patrulatere % l % 3 % 9 cmolumul piramidei % (b & h : 3 % 9 & 3'3:2 : 3 % 9'3 : 2 cm

2. "a se calcule$e aria ba$ei* aria laterala si )olumul unei piramide patrulatereregulate* daca se cunosc urmatoarele date l % 6 cm* ap % 5 cm si h % 4 cm.e$ol)are

 (ria ba$ei piramidei patrulatere % l % 6 % 36 cmPerimetrul ba$ei piramidei patrulatere % 4 & l % 24 cm

 (ria laterala a piramidei % Pb & ap : 2 % 24 & 5 : 2 % 6! cmolumul piramidei % (b & h : 3 % 36 & 4 : 3 % 48 cm

3. 0ntr,o piramida patrulatera regulata se cunosc urmatoarele date inaltimea este de12 cm* perimetrul ba$ei este de 4! cm* iar apotema are 13 cm. "a se a#le aria totala si

)olumul piramidei.e$ol)arePerimetrul ba$ei piramidei patrulatere % 4 & l % 4! cm* de unde re$ulta ca latura are 1!cm

 (ria ba$ei piramidei patrulatere % l % 1! % 1!! cm (ria laterala a piramidei % Pb & ap : 2 % 4! & 13 : 2 % 26! cm (ria totala % (ria ba$ei (ria laterala % 1!! cm 26! cm % 36! cmolumul piramidei % (b & h : 3 % 1!! & 12 : 3 % 4!! cm

4. "a se a#le aria totala si )olumul unei piramide patrulatere regulate cu aria ba$ei 36cm*apotema 6 cm si inaltimea 3'3 cm.e$ol)are

 (ria ba$ei piramidei patrulatere % l % 36 cm* deci l % 6 cmPerimetrul ba$ei piramidei patrulatere % 4 & l % 4 & 6 % 24 cm

 (ria laterala a piramidei % Pb & ap : 2 % 24 & 6 : 2 % 72 cm (ria totala % (ria ba$ei (ria laterala % 36 cm 72 cm % 1!8 cmolumul piramidei % (b & h : 3 % 36 & 3'3 % 1!8'3 cm

5. -aca latura ba$ei unei piramide patrulatere regulate are 8 cm* apotema 5 cm* iarinaltimea 3 cm* sa se calcule$e aria ba$ei* aria laterala* aria totala si )olumul piramidei.e$ol)are

 (ria ba$ei piramidei patrulatere % l % 64 cmPerimetrul ba$ei piramidei patrulatere % 4 & 8 % 32 cm

 (ria laterala a piramidei % Pb & ap : 2 % 32 & 5 : 2 % 8! cm (ria totala % (ria ba$ei (ria laterala % 64 cm 8! cm % 144 cmolumul piramidei % (b & h : 3 % 64 & 3 : 3 % 64 cm

26

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 27/54

Formule utile

apotema piramidei (ap) este inaltimea unuia dintre triunghiurile care #ormea$a o #atalaterala a piramidei

Desenarea corecta a unei piramide hexagonale regulate

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna riglasi creionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti#i mai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*

27

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 28/54

unghiuri sau segmente.

1 -esenea$a un hexagon asemanator cu cel din #igura urmatoare

2 -upa ce ai desenat hexagonul* din centrul acestuia trasea$a cu linie punctata douadintre diagonalele hexagonului pentru a a#la centrul acestuia trasea$a )ertical o liniepunctata inaltimea piramidei. (i gria sa nu #ie prea mare. (r trebui sa obtii unre$ultat asemanator cu cel din #igura alaturata

3 /neste )ar#urile hexagonului cu )ar#ul dreptei pe care ai trasat,o la pasul 2

28

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 29/54

4 "terge diagonalele hexagonului* pe care le,ai trasat. in cele din urma* sterge putincate putin* cu guma* liniile care nu ar trebui sa se )ada in spatiu. ei obtine in #inalurmatoarea #igura geometrica

Exercitii rezolvate

1. "a se a#le aria totala si )olumul unei piramide hexagonale regulate care areurmatoarele dimensiuni l % 4 cm* h % 2 cm si ap % 4 cm.e$ol)are

 (ria ba$ei unei piramide hexagonale % 3l'3 : 2 % 3 & 4'3 : 2 % 24'3 cm

29

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 30/54

Perimetrul ba$ei piramidei hexagonale % 6 & l % 24cm (ria laterala a piramidei % Pb & ap : 2 % 24 & 4 : 2 % 48 cm (ria totala % (ria ba$ei (ria laterala % 24'3 cm 48 cmolumul piramidei % (b & h : 3 % 24'3 & 2 : 3 % 16'3 cm

2. "tiind ca aria ba$ei unei piramide hexagonale regulate este de 48'3 cm si caapotema piramidei are 5 cm* sa se a#le aria laterala a piramidei.e$ol)are

 (ria ba$ei unei piramide hexagonale % 3l'3 : 2 % 48'3 cm* deci l % 4'2 cmPerimetrul ba$ei piramidei hexagonale % 6 & l % 24'2 cm

 (ria laterala a piramidei % Pb & ap : 2 % 24'2 & 5 : 2 % 6!'2 cm

3. -aca )olumul unei piramide hexagonale regulate are 48'3 cm* inaltimea piramideiare 3 cmiar apotema piramidei este egala cu latura ba$ei* sa se calcule$e aria totala.e$ol)are

olumul piramidei % (b & h : 3 % (b & 3 : 3 % 48'3 cm* de unde re$ulta ca (b% 48'3cm (ria ba$ei unei piramide hexagonale % 3l'3 : 2 % 48'3 cm* deci l % 4'2 cmPerimetrul ba$ei piramidei hexagonale % 6 & l % 6 & 4'2 % 24'2 cm

 (ria laterala a piramidei % Pb & ap : 2 % 24'2 & 4'2 : 2 % 96 cm (ria totala % (ria ba$ei (ria laterala % 48'3 cm 96 cm

4. (ria laterala a unei piramide hexagonale are 192 cm* inaltimea are 4 cm* iarapotema este egala cu latura ba$ei. Cunoscand aceste date sa se calcule$e )olumulpiramidei.e$ol)are

 (ria laterala a piramidei % Pb & ap : 2 % 6 & l & l : 2 % 3l % 192 cm* deci l % 8 cm (ria ba$ei unei piramide hexagonale % 3l'3 : 2 % 3 & 8'3 % 192'3 cmolumul piramidei % (b & h : 3 % 192'3 & 4 : 3 % 256'3 cm

5. 0ntr,o piramida hexagonala regulata* latura ba$ei are aceeasi dimensiune cuinaltimeapiramidei si anume 1! cm* iar apotema piramidei are 5'7 cm. "a se calcule$e arialaterala si)olumul piramidei.e$ol)arePerimetrul ba$ei piramidei hexagonale % 6 & l % 6! cm

 (ria laterala a piramidei % Pb & ap : 2 % 6! & 5'7 : 2 % 15!'7 cm (ria ba$ei unei piramide hexagonale % 3l'3 : 2 % 15!'3 cmolumul piramidei % (b & h : 3 % 15!'3 & 2! : 3 % 1!!!'3 cm  

30

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 31/54

Formule utile

apotema trunchiului de piramida (at) este o inaltime in una dintre #etele laterale aletrunchiului

Desenarea corecta a unui trunchi de piramida triunghiulara

31

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 32/54

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna riglasi creionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti#i mai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*unghiuri sau segmente.

1 <olosind notiunile in)atate pana acum* desenea$a o piramida triunghiulara regulata*asemanatoare cu cea din #igura urmatoare

2 -upa ce ai desenat piramida triunghiulara regulata* trasea$a pe #iecare #ata lateralaa acestei piramide cate o dreapta paralela cu ba$a piramidei* ast#el incat sa re$ulte untriunghi mai mic* in partea de sus a piramidei. (r trebui sa obtii un re$ultat asemanator cu cel din #igura de mai os

32

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 33/54

3 "terge inaltimea si partea de sus a piramidei* tot ce este deasupra triunghiului micobtinut la pasul 2. ei obtine in #inal urmatoarea #igura geometrica

Exercitii rezolvate

1. /n trunchi de piramida triunghiulara regulata are h % 9 cm* latura ba$ei mari 8 cm*iar latura ba$ei mici 4 cm. "a se a#le )olumul trunchiului de piramida.

e$ol)are (ria ba$ei mici a unui trunchi de piramida triunghiulara % l'3 : 4 % 4'3 cm (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara % '3 : 4 % 16'3 cmolumul unui trunchi de piramida triunghiulara % h:3 & (b (= '(b & (= % 84'3cm

2. "a se calcule$e aria totala si )olumul unui trunchi de piramida triunghiulara daca secunoscurmatoarele date l % 12 cm* % 18 cm* h % '13 si at % 4 cm.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de piramida triunghiulara % l'3 : 4 % 36'3 cm

 (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara % '3 : 4 % 81'3 cmPerimetrul ba$ei mici a unui trunchi de piramida triunghiulara % 3 & l % 36 cmPerimetrul ba$ei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara % 3 & % 54 cm

 (ria laterala a unui trunchi de piramida triunghiulara % Pb P= & at : 2 % 18! cm (ria totala a unui trunchi de piramida % (b (= (l % 117'3 cm 18! cmolumul unui trunchi de piramida triunghiulara % h:3 & (b (= '(b & (= % 57'39cm

33

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 34/54

3. "tiind ca )olumul unui trunchi de piramida triunghiulara este de 38'2 : 3 cm* iarlaturileba$elor trunchiului au 4 cm si 6 cm* sa se a#le inaltimea trunchiului.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de piramida triunghiulara % l'3 : 4 % 4'3 cm

 (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara % '3 : 4 % 9'3 cmolumul unui trunchi de piramida triunghiulara % h:3 & (b (= '(b & (=% 38'2 : 3cm % h:3 & 4'3 9'3 6'3 % h:3 & 19'3 % 38'2 : 3 cm* de unde re$ulta h % 2'6 : 3cm

4. Calculea$a aria totala a unui trunchi de piramida triunghiulara regulata care arelaturile de 3 cm* respecti) 9 cm* iar apotema de 2 cm.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de piramida triunghiulara % l'3 : 4 % 9'3 : 4 cm (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara % '3 : 4 % 81'3 : 4 cm

Perimetrul ba$ei mici a unui trunchi de piramida triunghiulara % 3 & l % 9 cmPerimetrul ba$ei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara % 3 & % 27 cm (ria laterala a unui trunchi de piramida % Pb P= & at : 2 % 36 cm (ria totala a unui trunchi de piramida % (b (= (l % 45'3 : 2 cm 36 cm

5. -aca aria ba$ei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara este de 81'3 : 4 cm*aria ba$ei mici este de 9'3 cm* apotema are 2 cm* iar inaltimea '13 : 2 cm. "a sea#le ariatotala si )olumul trunchiului de piramida.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de piramida triunghiulara % l'3 : 4 % 9'3 cm* deci l % 6cm

 (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara % '3 : 4 % 81'3 : 4 cm* %9 cmPerimetrul ba$ei mici a unui trunchi de piramida triunghiulara % 3 & l % 18 cmPerimetrul ba$ei mari a unui trunchi de piramida triunghiulara % 3 & % 27 cm

 (ria laterala a unui trunchi de piramida % Pb P= & at : 2 % 45 cm (ria totala a unui trunchi de piramida % (b (= (l % 117'3 : 4 cm 45 cmolumul unui trunchi de piramida % h:3 & (b (= '(b & (= % 171'39 : 24 cm

34

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 35/54

Formule utile

apotema trunchiului de piramida (at) este o inaltime in una dintre #etele laterale aletrunchiului

35

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 36/54

Desenarea corecta a unui trunchi de piramida patrulatera

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeaunarigla si creionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai maripentru a,ti #i mai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)ersepuncte* unghiuri sau segmente.

1 <olosind notiunile in)atate pana acum* desenea$a o piramida patrulatera regulata*asemanatoare cu cea din #igura urmatoare

2 -upa ce ai desenat piramida patrulatera regulata* trasea$a pe #iecare #ata lateralaa acestei piramide cate o dreapta paralela cu ba$a piramidei* ast#el incat sa re$ulte

un paralelogram mai mic* in partea de sus a piramidei. (r trebui sa obtii un re$ultatasemanator cu cel din #igura de mai os

36

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 37/54

3  "terge inaltimea si partea de sus a piramidei* tot ce este deasupraparalelogramului mic obtinut la pasul 2. ei obtine in #inal urmatoarea #igurageometrica

Exercitii rezolvate

1. /n trunchi de piramida patrulatera regulata are lungimile ba$elor de 4 cm*respecti) 8 cm*inaltimea de 4'2 cm* iar apotema de 6 cm. "a se a#le aria totala si

37

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 38/54

)olumul trunchiului de piramida.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de piramida patrulatera % l % 4 % 16 cm (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida patrulatera % % 8 % 64 cmPerimetrul ba$ei mici a unui trunchi de piramida patrulatera % 4l % 16 cm

Perimetrul ba$ei mari a unui trunchi de piramida patrulatera % 4 % 32 cm (ria laterala a unui trunchi de piramida % Pb P= & at : 2 % 144 cmolumul unui trunchi de piramida % h:3 & (b (= '(b & (= % 448'2 : 3 cm

2. "tiind ca aria ba$ei mari este de 1!! cm* iar aria ba$ei mici de 64 cm* sa sedetermine cat este aria laterala a unui trunchi de piramida patrulatera daca apotematrunchiului are 5 cm.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de piramida patrulatera % l % 64 cm* deci l % 8 cm (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida patrulatera % % 1!! cm* deci % 1! cmPerimetrul ba$ei mici a unui trunchi de piramida patrulatera % 4l % 32 cm

Perimetrul ba$ei mari a unui trunchi de piramida patrulatera % 4 % 4! cm (ria laterala a unui trunchi de piramida % Pb P= & at : 2 % 18! cm

3. olumul unui trunchi de piramida patrulatera regulata are 111! cm. -aca laturaba$ei mici are 9 cm* iar inaltimea este de 1! cm sa se a#le aria ba$ei mari atrunchiului.e$ol)areolumul unui trunchi de piramida % h:3 & (b (= '(b & (= % 111! cm% 1!:3 & 81 9& % 111! cm% 9& 81 % 333% 9& , 252 % !* din re$ol)area ecuatiei de gradul al 00,lea re$ulta % 12cm

 (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida patrulatera % % 12 % 144 cm

4. (ria laterala a unui trunchi de piramida patrulatera regulata are 32! cm* aria totalaare 592 cm* iar apotema trunchiului este de 8 cm. "a se calcule$e laturile celor douaba$e.e$ol)are

 (ria laterala a unui trunchi de piramida % Pb P= & at : 2 % Pb P= & 4 % 32! cmre$ulta ca Pb P= % 8! cm* adica 4l 4 % 8! cm* deci l % 2! cm.

 (ria totala a unui trunchi de piramida % (b (= (l % (b (= 32! cm % 592 cm*re$ulta ca (b (= % 272 cm* adica l % 272 cm-in cele doua relatii* prin incercari* obtinem % 16 cm si l % 4 cm.

5. 0ntr,un trunchi de piramida patrulatera se cunosc urmatoarele date l % 4 cm* %1! cm* at % 5 cm* iar h % 4 cm. "a se calcule$e aria totala si )olumul trunchiului depiramida.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de piramida patrulatera % l % 4 % 16 cm (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida patrulatera % % 1! % 1!! cmPerimetrul ba$ei mici a unui trunchi de piramida patrulatera % 4l % 16 cm

38

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 39/54

Perimetrul ba$ei mari a unui trunchi de piramida patrulatera % 4 % 4! cm (ria laterala a unui trunchi de piramida % Pb P= & at : 2 % 14! cm (ria totala a unui trunchi de piramida % (b (= (l % 16 1!! 14! % 256 cmolumul unui trunchi de piramida % h:3 & (b (= '(b & (= % 2!8 cm 

Formule utile

39

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 40/54

apotema trunchiului de piramida (at) este o inaltime in una dintre #etele laterale aletrunchiului

Desenarea corecta a unui trunchi de piramida hexagonala

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna rigla sicreionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti #imai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*unghiuri sau segmente.

1 <olosind notiunile in)atate pana acum* desenea$a o piramida hexagonala regulata*

asemanatoare cu cea din #igura urmatoare

2 -upa ce ai desenat piramida hexagonala regulata* trasea$a pe #iecare #ata laterala aacestei piramide cate o dreapta paralela cu ba$a piramidei* ast#el incat sa re$ulte unhexagon mai mic* in partea de sus a piramidei. (r trebui sa obtii un re$ultat asemanator cu cel din #igura de mai os

40

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 41/54

3 "terge inaltimea si partea de sus a piramidei* tot ce este deasupra hexagonului micobtinut la pasul 2. ei obtine in #inal urmatoarea #igura geometrica

Exercitii rezolvate

1. 0ntr,un trunchi de piramida hexagonala regulata se cunosc urmatoarele date l % 2cm* % 4 cm* at % 3 cm si h % '6 cm. "a se calcule$e aria totala si )olumul trunchiului depiramida.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de piramida hexagonala % 3l'3 : 2 % 6'3 cm (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida hexagonala % 3'3 : 2 % 24'3 cmPerimetrul ba$ei mici a unui trunchi de piramida hexagonala % 6 & l % 12 cmPerimetrul ba$ei mari a unui trunchi de piramida hexagonala % 6 & % 24 cm

 (ria laterala a unui trunchi de piramida % Pb P= & at : 2 % 54 cm (ria totala a unui tr. de piramida % (b (= (l % 6'3 24'3 54 % 3!'3 cm 54cmolumul unui trunchi de piramida % h:3 & (b (= '(b & (= % 84'3 cm

2. "tiind ca inaltimea unui trunchi de piramida hexagonala este de 1! cm* latura ba$ei

mici de 3 cm si latura ba$ei mari de 9 cm* sa se a#le cat este )olumul trunchiului depiramida.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de piramida hexagonala % 3l'3 : 2 % 27'3 : 2 cm (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida hexagonala % 3'3 : 2 % 243'3 : 2 cmolumul unui trunchi de piramida % h:3 & (b (= '(b & (= % 585'3 cm

41

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 42/54

3. "a se determine aria totala si )olumul unui trunchi de piramida hexagonala cu ariaba$eimici egala cu 27'3 : 2 cm* aria ba$ei mari egala cu 54'3 cm* apotema trunchiului'91 : 2 cm* iar inaltimea 4 cm.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de piramida hexagonala % 3l'3 : 2 % 27'3 : 2 cm* l % 3cm

 (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida hexagonala % 3'3 : 2 % 54'3 cm* % 6 cmPerimetrul ba$ei mici a unui trunchi de piramida hexagonala % 6 & l % 18 cmPerimetrul ba$ei mari a unui trunchi de piramida hexagonala % 6 & % 36 cm

 (ria laterala a unui trunchi de piramida % Pb P= & at : 2 % 27'91 : 2 cm (ria totala a unui tr. de piramida % (b (= (l % 135'3 : 2 cm 27'91 : 2 cmolumul unui trunchi de piramida % h:3 & (b (= '(b & (= % 126'3 cm

4. -aca latura ba$ei mici a unui trunchi de piramida hexagonala are 5 cm* latura ba$eimari are 1! cm* iar apotema este de 6 cm* sa se determine aria totala a trunchiului depiramida.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de piramida hexagonala % 3l'3 : 2 % 75'3 : 2 cm (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida hexagonala % 3'3 : 2 % 15!'3 cmPerimetrul ba$ei mici a unui trunchi de piramida hexagonala % 6 & l % 3! cmPerimetrul ba$ei mari a unui trunchi de piramida hexagonala % 6 & % 6! cm

 (ria laterala a unui trunchi de piramida % Pb P= & at : 2 % 27! cm (ria totala a unui trunchi de piramida % (b (= (l % 375'3 : 2 cm 27! cm

5. "a se a#le inaltimea unui trunchi de piramida hexagonala* daca latura ba$ei mici este4 cm* latura ba$ei mari este de 12 cm* iar )olumul are 936 cm.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de piramida hexagonala % 3l'3 : 2 % 24'3 cm (ria ba$ei mari a unui trunchi de piramida hexagonala % 3'3 : 2 % 216'3 cmolumul unui tr. de piramida % h:3 & (b (= '(b & (= % 936 cm* deci h % 3'3 cm

Formule utile

42

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 43/54

Desenarea corecta a unui cilindru

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna rigla sicreionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti #imai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*unghiuri sau segmente.

1 -esenea$a un dreptunghi asemanator cu cel din #igura urmatoare. rasea$a latimiledreptunghiului cu linii punctate

43

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 44/54

2 -upa ce ai desenat dreptunghiul* pune )ar#ul compasului in milocul uneia dintre liniilepunctate latimile dreptunghiului pe care l,ai desenat la pasul 1 si )ar#ul creionului inunul dintre capetele liniei. (poi trasea$a un cerc in urul liniei punctate desenea$a uno)al in locul cercului pentru ca asa se )ede in spatiu )e$i #igura. epeta desenul sipentru cealalta linie punctata. (r trebui sa obtii un re$ultat asemanator cu cel din #igura

de mai os

3 "terge putin cate putin* cu guma* linia care nu ar trebui sa se )ada in spatiu. eiobtine in #inal urmatoarea #igura geometrica

Exercitii rezolvate

1. a$a unui cilindru circular drept este de 5 cm* iar generatoarea de 1! cm. "a se a#learia si )olumul cilindrului.

44

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 45/54

e$ol)are (ria ba$ei unui cilindru % > % 25> cm (ria laterala a unui cilindru % 2> & ? % 1!!> cm (ria totala a unui cilindru % 2(b (l % 5!> cm 1!!> cm % 15!> cmolumul unui cilindru %> & h % 25!> cm

2. olumul unui cilindru circular drept este de 128> cm* iar ra$a de 4 cm. "a secalcule$e aria totala.e$ol)areolumul unui cilindru %> & h % 128> cm* % 4 cm* de unde re$ulta ca h % ? % 8 cm

 (ria ba$ei unui cilindru %> % 16> cm (ria laterala a unui cilindru % 2> & ? % 64> cm (ria totala a unui cilindru % 2(b (l % 32> cm 64> cm % 96> cm

3. "tiind ca aria laterala a unui cilindru circular drept este de 42> cm* iar )olumul estede 6!> cm* sa se a#le ra$a si generatoarea cilindrului.e$ol)are

 (ria laterala a unui cilindru % 2> & ? % 42> cm* de unde re$ulta ca & ? % 21> cmolumul unui cilindru % > & h % > & ? % > & & ? % > & 21 % 63> cm-in relatiile de mai sus re$ulta ca % 3 cm si ? % h % 7 cm.

4. (ria ba$ei unui cilindru circular drept este 36> cm. -aca aria totala are 216> cm* sase calcule$e )olumul cilindrului.e$ol)are

 (ria ba$ei unui cilindru % > % 36> cm* re$ulta ca % 6 cm (ria totala a unui cilindru % 2(b (l % 72> cm (l % 216> cm* deci (l % 144> cm (ria laterala a unui cilindru % 2> & ? % 144> cm* re$ulta ? % h % 12 cmolumul unui cilindru % > & h % 36> & 12 % 432> cm

5. a$a si generatoarea unui cilindru circular drept sunt egale cu 9 cm. "a se calcule$earia totala si )olumul cilindrului.e$ol)are

 (ria ba$ei unui cilindru % > % 81> cm (ria laterala a unui cilindru % 2> & ? % 162> cm (ria totala a unui cilindru % 2(b (l % 162> cm 162> cm % 324> cmolumul unui cilindru % > & h % 729> cm

45

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 46/54

Formule utile

Desenarea corecta a unui con circular drept

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna rigla sicreionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti #imai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*unghiuri sau segmente.

1 -esenea$a un triunghi isoscel* asemanator cu cel din #igura urmatoare. rasea$aba$a triunghiului cu linie punctata

46

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 47/54

2 -upa ce ai desenat triunghiul* pune )ar#ul compasului in milocul liniei punctate ba$atriunghiului pe care l,ai desenat la pasul 1 si )ar#ul creionului in unul dintre capeteleliniei. (poi trasea$a un cerc in urul liniei punctate desenea$a un o)al in locul cercului

pentru ca asa se )ede in spatiu )e$i #igura. (r trebui sa obtii un re$ultat asemanator cucel din #igura de mai os

3 "terge putin cate putin* cu guma* linia care nu ar trebui sa se )ada in spatiu. eiobtine in #inal urmatoarea #igura geometrica

47

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 48/54

Exercitii rezolvate

1. "a se a#le aria totala si )olumul unui con circular drept cu ra$a de 5 cm* generatoareade1! cm* iar inaltimea de 5'3 cm.e$ol)are

 (ria ba$ei unui con % > % 25> cm (ria laterala a unui con % > & ? % 5!> cm (ria totala a unui con % (b (l % 25> cm 5!> cm % 75> cmolumul unui con % > & h % 125'3 > cm

2. -aca aria ba$ei unui con circular drept are 64> cm si generatoare are 11 cm* sa secalcule$e aria totala a conului.e$ol)are

 (ria ba$ei unui con % > % 64> cm* deci % 8 cm (ria laterala a unui con % > & ? % 88> cm (ria totala a unui con % (b (l % 64> cm 88> cm % 152> cm

3. "tiind ca inaltimea unui con circular drept este de 12 cm* )olumul de 3!!> cm si arialaterala de 65> cm* sa se determine cat este aria totala a conului.e$ol)areolumul unui con %> & h % 3!!> cm* % 25 cm* deci % 5 cm

 (ria ba$ei unui con % > % 25> cm (ria totala a unui con % (b (l % 25> cm 65> cm % 9!> cm

4. 0ntr,un con circular drept ra$a este egala cu inaltimea* a)and 6 cm #iecare. "tiind cageneratoarea are 6'2 cm sa se calcule$e aria totala si )olumul.e$ol)are

 (ria ba$ei unui con % > % 36> cm (ria laterala a unui con % > & ? % 36'2 > cm (ria totala a unui con % (b (l % 36> cm 36'2 > cmolumul unui con % > & h % 216> cm

5. /n con circular drept are ra$a de 6 cm* inaltimea de 8 cm si generatoarea de 1! cm."a se calcule$e aria ba$ei* aria laterala* aria totala si )olumul.

e$ol)are (ria ba$ei unui con % > % 36> cm (ria laterala a unui con % > & ? % 6!> cm (ria totala a unui con % (b (l % 36> cm 6!> cm % 96> cmolumul unui con % > & h % 288> cm

48

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 49/54

Formule utile

Desenarea corecta a unui trunchi de con

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna riglasi creionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti #imai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*unghiuri sau segmente.

1 -esenea$a un trape$ isoscel* asemanator cu cel din #igura urmatoare. rasea$aba$ele trape$ului cu linii punctate

2 -upa ce ai desenat trape$ul* pune )ar#ul compasului in milocul uneia dintre liniilepunctate ba$ele trape$ului pe care l,ai desenat la pasul 1 si )ar#ul creionului in unuldintre capetele liniei. (poi trasea$a un cerc in urul liniei punctate desenea$a un o)al

49

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 50/54

in locul cercului pentru ca asa se )ede in spatiu )e$i #igura. epeta desenul si pentrucealalta linie punctata. (r trebui sa obtii un re$ultat asemanator cu cel din #igura de mai

 os

3 "terge putin cate putin* cu guma* linia care nu ar trebui sa se )ada in spatiu. eiobtine in #inal urmatoarea #igura geometrica

Exercitii rezolvate

50

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 51/54

1. 0ntr,un trunchi de con circular drept se cunosc urmatoarele date % 8 cm* r % 5 cm*h % 4 cm si ? % 5 cm. "a se a#le aria totala si )olumul trunchiului de con.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de con % >r % 25> cm (ria ba$ei mari a unui trunchi de con % > % 64> cm

 (ria laterala a unui trunchi de con % >? & r % 65> cm (ria totala a unui trunchi de con % (b (= (l % 154> cmolumul unui trunchi de con % >h & r & r : 3 % 172> cm

2. -aca ra$a ba$ei mici a unui trunchi de con circular drept este 12 cm* ra$a ba$ei mariare 15 cm* iar inaltimea are 1! cm* sa se a#le )olumul trunchiului de con.e$ol)areolumul unui trunchi de con % >h & r & r : 3 % 183!> cm

3. "tiind ca aria ba$ei mici a unui trunchi de con circular drept este de 36> cm* ariaba$ei mari este de 64> cm* iar generatoarea are 1! cm* sa se calcule$e aria totala a

trunchiuluide con.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de con % >r % 36> cm* deci r % 6 cm (ria ba$ei mari a unui trunchi de con % > % 64> cm* deci % 8 cm (ria laterala a unui trunchi de con % >? & r % 14!> cm (ria totala a unui trunchi de con % (b (= (l % 24!> cm

4. "a se a#le inaltimea unui trunchi de con circular drept daca )olumul acestuia este de1468> cm* ra$a ba$ei mici de 9 cm si ra$a ba$ei mari de 13 cm.e$ol)areolumul unui trunchi de con % >h & r & r : 3 % 1468> cm* deci h % 12 cm

5. "a se calcule$e aria totala si )olumul unui trunchi de con circular drept cu ariile celor douaba$e de 25> cm si respecti) 49> cm* generatoarea de 1! cm* iar inaltimea de 2'13cm.e$ol)are

 (ria ba$ei mici a unui trunchi de con % >r % 25> cm* deci r % 5 cm (ria ba$ei mari a unui trunchi de con % > % 49> cm* deci % 7 cm (ria laterala a unui trunchi de con % >? & r % 12!> cm (ria totala a unui trunchi de con % (b (= (l % 194> cmolumul unui trunchi de con % >h & r & r : 3 % 218'13 > : 3 cm  

51

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 52/54

Formule utile

Desenarea corecta a unei sfere

 (tunci cand )rei sa desene$i o #igura geometrica* #oloseste intotdeauna riglasi creionul. +bisnuieste,te sa #aci #igurile geometrice cat mai mari pentru a,ti #imai usor atunci cand )a trebui sa urmaresti in cadrul lor di)erse puncte*unghiuri sau segmente.

1 -esenea$a un cerc desenea$a un o)al in locul cercului pentru ca asa se )ede inspatiu )e$i #igura* asemanator cu cel din #igura urmatoare

2  0n continuare* pune )ar#ul compasului in milocul cercului pe care l,ai desenat lapasul 1 si )ar#ul creionului in unul dintre capetele liniei. (poi trasea$a un cerc in urulmilocului primului cerc de data aceasta nu mai desena un o)al* ci un cerc deoarece

52

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 53/54

este un desen in plan* nu in spatiu. (r trebui sa obtii un re$ultat asemanator cu cel din#igura urmatoare

3 "terge putin cate putin* cu guma* liniile care nu ar trebui sa se )ada in spatiu. eiobtine in #inal urmatoarea #igura geometrica

Exercitii rezolvate

1. "a se a#le )olumul si aria s#erei cu ra$a de 4 cm.e$ol)are (ria unei s#ere % 4> % 64> cmolumul unei s#ere % 4> : 3 % 256> : 3 cm

2. + s#era are )olumul de 288> cm. "a se a#le aria s#erei.e$ol)areolumul unei s#ere % 4> : 3 % 288> cm* deci % 6 cm

53

7/17/2019 Geometrie clasa 8

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-clasa-8 54/54

 (ria unei s#ere % 4> % 144> cm

3. "tiind ca aria unei s#ere este 324> cm* sa se calcule$e )olumul s#erei.e$ol)are

 (ria unei s#ere % 4> % 324> cm* de unde re$ulta ca % 9 cm.

olumul unei s#ere % 4> : 3 % 972> cm4. -aca ra$a unei s#ere este de 3'3 cm* sa se a#le aria si )olumul s#erei.e$ol)are

 (ria unei s#ere % 4> % 1!8> cmolumul unei s#ere % 4> : 3 % 1!8'3 > cm

5. "a se calcule$e aria unei s#ere cu )olumul de 36> cm.e$ol)areolumul unei s#ere % 4> : 3 % 36> cm* deci % 3 cm

 (ria unei s#ere % 4> % 36> cm