Cours de Geometrie Differentielle

7/27/2019 Cours de Geometrie Differentielle

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Universit Hassan II - Mohammedia

Facult des Sciences Ben M'sik

Casablanca

Cours de Gomtrie Diffrentielle

DESA Gomtrie Diffrentielle et

Applications

2001 - 2003 ; 2003 - 2005

Par : Azzouz AWANE

UFR de Gomtrie Diffrentielle

et Applications


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GEOMETRIE DIFFERENTIELLEDESA : 2001-2003; 2003-2005

A. AWANE


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ii


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Table des Matires

Introduction vii

1 lments du calcul tensoriel 11.1 Dualit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Espace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Orthogonalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Produits tensoriels despaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Combinaisons linaires formelles . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Proprit fondamentale des produits tensoriels . . . . 91.2.3 Proprits du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . 121.2.4 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.5 Contraction dun tenseur mixte . . . . . . . . . . . . . 241.3 Formes extrieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.1 Lalgbre des tenseurs contravariants . . . . . . . . . . 251.3.2 Lalgbre gradue

VE . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.3.3 Le produit intrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3.4 Drivations. Antidrivations . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.5 Sur la structure de lalgbre associative

VE . . . . . 34

1.3.6 Les idaux gradus deV

E . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.7 Systme linaire associ une pforme extrieure . . 351.3.8 Espace associ et rang dune pforme extrieure . . . 361.3.9 Lespace A() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3.10 Formes monmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 Espaces vectoriels symplectiques 412.1 tude des 2formes extrieures . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 Orthogonalit symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

iii


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iv TABLE DES MATIRES

2.3 Classification des 2

formes extrieures . . . . . . . . . . . . . 44

2.4 Espaces vectoriels symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4.3 Sous espaces dun espace vectoriel symplectique . . . . 492.4.4 Endomorphisme adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5 Les groupes Sp (E, ) et Sp (1, n : E) . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Varits diffrentiables 573.1 Varits diffrentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2 Exemples de varits diffrentiables . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.1 Lespace Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.2 Surface rgulire de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.3 La sphre Sn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.4 Espace projectif rel RP(n) . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Fonctions diffrentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3.2 Fonctions plateau. Partition de lunit . . . . . . . . . 673.3.3 Sous varits dune varit diffrentiable . . . . . . . 693.3.4 Premire approche des groupes et algbres de Lie . . . 733.3.5 Quelques procds de construction de varits. . . . . 81

3.4 Espace tangent. Fibr tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.4.1 Germe dune application . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.4.2 Vecteurs tangents une varit . . . . . . . . . . . . . 823.4.3 Application tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.4.4 Vecteur tangent une courbe . . . . . . . . . . . . . . 893.4.5 Application cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.4.6 Fibr tangent et fibr cotangent . . . . . . . . . . . . . 923.4.7 Drive de Lie dun champ de vecteurs . . . . . . . . . 1053.4.8 Image dun champ de vecteurs par un morphisme . . . 108

4 Formes diffrentielles 1134.1 Lespace fibr p (TM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2 Formes diffrentielles de degr p . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.3 Image rciproque dune forme extrieure . . . . . . . . . . . . 1164.4 Produit intrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.5 Diffrentiation extrieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.6 Lemme de Poincar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.7 Drive de Lie dune pforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.8 Intgrale dune forme diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . 124


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TABLE DES MATIRES v

4.8.1 Varit orientable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.8.2 Intgrale dune n-forme diffrentielle. . . . . . . . . . . 1254.8.3 Intgrale dune n-forme diffrentielle. . . . . . . . . . . 125

5 Distributions. Notion de feuilletage 1295.1 Varits riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.1.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.1.2 Distance godsique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.2 Drivation covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.2.1 Courbure. Torsion dune connexion . . . . . . . . . . . 1425.2.2 Transport parallle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.3 Espaces vectoriels symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.3.1 tude des 2formes extrieures . . . . . . . . . . . . . 1425.3.2 Orthogonalit symplectique . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.4 Classification des 2formes extrieures . . . . . . . . . . . . . 1455.4.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4.2 Sous espaces dun espace vectoriel symplectique . . . . 1495.4.3 Endomorphisme adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.5 Les groupes Sp (E, ) et Sp (1, n : E) . . . . . . . . . . . . . . 1525.6 VARITS SYMPLECTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.6.1 Structures symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.6.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.6.3 Forme de Liouville sur un fibr cotangent TB . . . . 155

5.6.4 Sous varits dune varit symplectique . . . . . . . . 1565.6.5 Systmes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.6.6 Crochet de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.6.7 Varits de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.6.8 Proprits des varits de Poisson . . . . . . . . . . . 1665.6.9 Quotient dune varit symplectique ou de Poisson . . 168

6 Espaces fibrs 1756.1 Espace fibr localement trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.2 Fibr vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.3 Fibr diffrentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.4 Espaces fibrs principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.4.1 Homomorphisme de fibrs principaux . . . . . . . . . 1786.4.2 Fibr trivialisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.4.3 Espace vertical et connexion . . . . . . . . . . . . . . 179

6.5 Varits complexes et presque complexes . . . . . . . . . . . . 1846.5.1 Varits complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184


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6.5.2 Varits presque complexes . . . . . . . . . . . . . . . 189

6.6 Gomtrie des Gstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.6.1 Espaces de repres. Gstructures. . . . . . . . . . . . 1916.6.2 Gstructures dfinies par un tenseur . . . . . . . . . . 1926.6.3 Gstructures quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.6.4 Connexions adaptes une Gstructure . . . . . . . . 1956.6.5 Tenseur de structure dune Gstructure . . . . . . . . 196


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Introduction

La gomtrie diffrentielle est une continuit du calcul infinitsimal, ellepermet dtudier grce aux techniques du calcul diffrentiel une nouvelle

famille despaces topologiques appeles varits diffrentiables, permet-tant la rnovation de la vieille gomtrie des courbes et des surfaces de R3

la Gauss-Darboux, et en la plaant selon un esprit actuel dans un cadrecontemporain.

Le calcul diffrentiel permet dtudier lvolution dun phnomne auvoisinage dun instant donn (sa vitesse, son acclration) lorsque celui cidcrit une portion dun espace dans lequel on a une structure despace vec-toriel norm.

Notre but est de montrer quon peut faire de lanalyse mathmatiqueen dehors des espaces qui nadmettent pas de structure despace vectoriel

norm.Empiriquement, nous pouvons mesurer des portions de la terre, nousnous dplaons entre les villes, les pays, on peut dcrire presque toutes lesrgions du globe terrestre dune manire adquate, en utilisant un petit livre,appel atlas, form dun ensemble de cartes, qui sont des ouverts du planR2. Ici, chaque point du globe peut tre reprsent dans une carte. Ensinspirant de la cartographie, on dfinit une varit diffrentiable de dimen-sion n (n N) par un atlas qui est un ensemble douverts de Rn appelscartes. H.Poincar a saisi limportance du concept dune varit diffren-tiable, il sest arrt sur les changements de cartes dun atlas. Cest Whitney(en 1944) qui a rgl dfinitivement ce problme; cest dans les changements

de cartes o rside la notion de varit diffrentiable.Pour se dplacer entre divers villes de notre plante terre, on choisit assez

souvent les chemins les plus courts (godsiques), ces trajectoires ne sont pasdes droites. La formulation gomtrique de ces notions a conduit introduiredes mtriques sur des varits diffrentiables (varits riemanniennes), et parla suite, des modles non euclidiens :


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viii

(1) Modle de Riemann. La sphre S2 (munie de la mtrique induite

par le produit scalaire habituel de lespaceR3) admet pour godsiquesles grands cercles, et il est clair que tous les grands cercles se coupent.Si nous appelons droites parallles, des godsiques qui ne se rencon-trent pas, on voit que le cinquime postulat dEuclide tombe en dfaut;ici, par un point extrieur une droite, il ne passe aucune parallle cette droite.

(2) Modle de Lobatchevski : le demi-plan de Poincar est dfini par :

P = {(x, y) | y > 0}

muni de la mtrique ds2 = y2 dx2 + dy2 . Ici, les godsiques sont(a) les demi droites dquation x = cte,

(b) les demi-cercles centrs sur laxe Ox.

Ainsi, par deux points distincts du demi-plan de Poincar, passe unegodsique et une seule, savoir :

(a) la parallle laxe Oy si ces deux points ont mme abscisse,

(b) le demi cercle passant par ces deux points et centr lintersectionde laxe Ox et la mdiatrice du segment joignant les deux points.

On dduit donc le rsultat suivant :

Par un point extrieur une godsique passe une infinit de godsiquesne rencontrant pas .

Ici aussi, le cinquime postulat tombe en dfaut, et on aboutit unmodle de gomtrie non euclidienne.


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ix

Nous constatons ici la cohabitation entre gomtries euclidienne et non

euclidienne; en effet, la gomtrie euclidienne coexiste avec divers dificesgomtriques : gomtrie diffrentielle, gomtrie algbrique, gomtrie pro-jective, etc...

La gomtrie diffrentielle utilise un arsenal trs riche et vari de mth-odes mathmatiques faisant de cette branche des mathmatiques, un car-refour des mathmatiques, ncessitant lutilisation de nombreuses thoriesstructures (calcul diffrentiel, intgration, algbre linaire, topologie gnraleet algbrique, etc,...), comme elle conduit des directions importantes enmathmatiques et aussi des applications en physique :

1. Les groupes et algbres de Lie sont trs importants en mathmatiques

en raison de leurs applications fondamentales la gomtrie, la m-canique, lanalyse, etc,...

2. La gomtrie symplectique traite des objets qui issus de la mcanique

(a) La gomtrie symplectique donne le formalisme gomtrique de lamcanique hamiltonienne classique, il sagit en fait dune gomtriede lespace de phase (fibr tangent T M, dune varit diffren-tiable M, muni de la forme de Liouville); les quations de Hamil-ton proviennent de la dualit entre les fibrs des repres et descorepres. elle permet de calculer aussi prcisment que possibleles trajectoires de plantes.

(b) La gomtrie symplectique est utilise en optique gomtrique,en mcanique quantique etc,...

3. Le problme cosmologique : Lunivers (espace-temps) est une varitdiffrentiable de dimension 4. Le problme cosmologique consiste dterminer la forme globale de cette varit, ainsi que les structuresdiverses exprimant la distribution et lvolution de lnergie.

Dans sa thorie de la relativit gnrale, A.Einstein reprsente le po-tentiel gravitationnel, donc les distributions des masses, par une mtriquelocale despace temps. La gomtrie locale de lespace-temps (en parti-culier les godsiques, donc les rayons lumineux qui sont des godsiquesparticulires) est ainsi dtermin par la distribution de masses, les kijde la connexion associe reprsentant la magnitude de la force gravi-tationnelle.

4. La covariance des lois de la physique : Les lois et grandeurs physiquessont covariantes par le groupe de relativit. Plus le groupe est gros,


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x

plus les conditions de covariance sont restrictives, plus les lois et grandeurs

physiques sont dtermines par la gomtrie de lespace.En mcanique quantique, les tats dun systme physique sont reprsen-ts par les vecteurs dun espace vectoriel et les grandeurs physiquespar des oprateurs linaires sur cet espace o opre naturellement legroupe de relativit (ventuellement grossi de toutes les symtries dusystme). Une particule lmentaire est un systme physique irr-ductible, donc est associ une reprsentation irrductible du groupede relativit. Les paramtres servant classer ces reprsentations ir-rductibles doivent donc classer les particules qui apparaissent ainsicomme des proprits gomtriques de lUnivers.

Les particules lmentaires sont classes par divers nombres quan-tiques. On ignore naturellement si les catalogues actuels de particuleset de nombres quantiques sont complets. On na pas encore trouv nonplus un groupe de Lie tel que les paramtres classant ses reprsenta-tions irrductibles correspondent exactement aux nombres quantiquesconnus.

On voit donc que la gomtrie diffrentielle constitue un domaine trsriche et trs vaste, et comme elle reste la matire la plus nglige des pro-grammes marocains, puisquon ne trouve pas de trace de la gomtrie dessurfaces, ni celle des courbes algbriques, ni des groupes de transformations,

ni gomtrie projective, etc,...On se propose dans ce cours, qui est enrichi par des exposs, de comblerles lacunes du programme denseignement marocain qui concernent cettediscipline dune part, et dautre part, de donner les lments de base etoutils ncessaire pour ltude la gomtrie diffrentielle, et particulirementles gomtrie symplectique et multi-symplectique, les systmes dynamiqueset certaines applications.

Azzouz AwaneCasablanca le 8 janvier 2002


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Chapitre 1

lments du calcul tensoriel

1.1 Dualit

1.1.1 Espace dual

Soit E un espace vectoriel sur K.On appelle forme linaire sur E, ou covecteur de E, toute applica-

tion linaire de E valeurs dans le corps K, lespace LK (E,K) des formeslinaires sur E est appel dual de lespace E, et est not E.

On appelle forme bilinaire canonique, lapplication bilinaire

(x, ) 7 hx, i = (x),de E E dans K, et le scalaire hx, i = (x) est appel produit scalairedu vecteur x E par le covecteur .

Pour tout Kespace vectoriel E, on a :

1. Le noyau dune forme linaire non nulle sur E est un hyperplan de E,cest--dire un sous espace vectoriel de E de codimension 1.

2. Pour tout hyperplan Hde Eet pour tout vecteur e de Enappartenantpas H, il existe une forme linaire unique sur E nulle sur H, telleque (e) = 1, en particulier on a Im = K.

3. Deux formes linaires 1 et 2 sur E ayant le mme noyau si et seule-ment si elle sont proportionnelles, cest--dire, il existe K (0)telle que 1 = 2.

tant donn deux espaces vectoriels E et F sur K, alors pour toutebase (ei)iI de lespace vectoriel E et pour toute famille quelconque (fi)iI

1


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2 CHAPITRE 1. LMENTS DU CALCUL TENSORIEL

dlments de F, indexe par I, il existe une application linaire unique de

E dans F, telle queu(ei) = fi pour tout i I.

Cette application est injective (resp. surjective, resp. bijective) si et seule-ment si, la famille (fi)iI est libre (resp. gnratrice, resp. base) de F.

En particulier, pour F = K, alors pour toute famille de scalaires (i)iI ,indexe par I, il existe une forme linaire unique sur E, telle que

hei, i = i pour tout i I,autrement dit, si x =

PiI x

iei E, o

xi

iIest une famille presque nulle

de scalaires on a :

hx, i = XiI

xi

i,

de plus lapplication (i)iI 7 , de KI dans E, o est lunique formelinaire sur E telle que

hei, i = i pour tout i I,est un isomorphisme de KI sur E. Ici KI est lespace vectoriel de toutes lesapplications de I valeurs dans K.

Soient maintenant un hyperplan H de E et une forme linaire sur Ede noyau H, (ei)iI une base de E. Pour tout i I, on pose hei, i = i.Alors un lment x = PiI xiei de E est dans H si et seulement si :

hx, i =XiI

xii = 0,

o

xi

iIest une famille presque nulle de scalaires; ce qui montre que

lhyperplan H de Eest dfini dans une base donne par une relation linaire.Dsignons parK(I) lensemble des familles presque nulles

i

iIdlments

de K. K(I) est un sous espace vectoriel de lespace KI de toutes les famillesi

iIdlments de K.

Le fait que (ei)iI est une base de Eest quivalent dire que lapplication

x 7 i (x)iIde E dans K(I), o

i (x)

iI

est la famille de scalaires presque tous nulstelle que x =

PiI

i (x) ei, est un isomorphisme. On a donc :

1. E est isomorphe K(I).


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1.1. DUALIT 3

2. E est isomorphe KI.

3. E est de dimension finie si et seulement si E est de dimension finie,et dans ce cas on a dimK E = dimK E..

Proposition 1.1 SoientE un espace vectoriel surK et(ei)iI est une basedeE. Pour toutj I, on dsigne par ej lunique forme linaire sur E telleque pour tout i I on a :

-ei, e

j

= ji =

1 si i = j0 si i 6= j.

ej est appele j

eme forme coordonne. On a :

1. La famille

ei

iIest libre dans E.

2. La famille

ei

iIest une base de E si seulement siE est de dimen-

sionfinie.

Soient E un espace vectoriel de dimension finie n sur K et (ei)1in estune base de E. Le systme

ei1in

des formes linaires sur E telle quepour tout i (i = 1, . . . , n) , on a :

-ei, ej

= ji ,

qui est une base de E, est appele base dualede la base (ei)1in . Lapplication

ei 7 ei

de Edans E, est un isomorphisme despaces vectoriels, qui nest pas canon-ique. il dpend en fait de la base choisie. Considrons par exemple lanouvelle base (vi) de E dfinie par v1 = ae1, vi = ei, i 6= 1, a 6= 0.Lisomorphisme f de E dans E donn par f(vi) = vi o

vi

est la baseduale de (vi) , ne concide pas avec lisomorphisme ei 7 ei, ds que a2 6= 1.

1.1.2 OrthogonalitSoit E un espace vectoriel sur K et E son espace dual.

1. Deux lments x E et E sont dits orthogonaux si :

hx, i = 0.


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2. Deux parties A

E et B

E sont dits orthogonaux si :

hx, i = 0

pour tous x A et B.3. Soit A E. On appelle annulateur de A, que lon note Ann (A) ,

lensemble :

Ann (A) = { E | hx, i = 0, pour tout x A} .

Ann (A) est un sous espace vectoriel de E et lon a :

Ann (A) = Ann (V ect (A)) .

4. Soit B E. On appelle orthogonal de B, que lon note B, lensembleB = {x E | hx, ui = 0, pour tout u B} .

B est un sous espace vectoriel de E et lon a :

B = (V ect (B)) .

Soient E un espace vectoriel sur K, (ei)iI une base de E et J une partie

de I. Alors pour quun lment x soit dans lorthogonal ej | j J deej | j J , il est ncessaire et suffisant que -x, ej = 0 pour tout j J,si et seulement si les coordonnes xj (j J)de x sont nulles, ce qui estquivalent dire que x V ect (ei | i I J) , ainsi,

ej | j I = V ect (ei | i I J) .Supposons que I J soit fini. Pour quune forme linaire sur E soit

dans lannulateur Ann {ej | j J} de la partie {ej | j J} , il faut et il suffit,hej, i = 0 pour tout j J.

Considrons la forme linaire

= XiIJ

hei, i ei,

cette forme linaire est nulle, et par consquent

=X

iIJ

hei, i ei V ect ei | i I J .


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1.1. DUALIT 5

Soit maintenant

V ect e

i | i

I

J . Il existe des scalaires (i)iIJtelle que = PiIJ iei, et donc, pour tout j J,

hej, i =X

iIJ

i-

ej, ei

=X

iIJ

iij = 0,

donc Ann {ej | j J} , on a doncAnn {ej | j J} = V ect

ei | i I J .

On dduit, que si E est un espace vectoriel sur K de dimension finie, alorspour tout sous espace vectoriel F de E et pour tout sous espace vectoriel G

de E

, on a1. dimK (Ann (F)) = dimK E dimK F,2. dimK G = dimK E dimK G.

Et pour tout sous espace vectoriel F de E, on a :

(E/F) ' Ann (F) .

En particulier si Ede dimension finie, alors dimK (E/F) = dimk (Ann (F)) =dimK E dimK F.

De mme on a :E/Ann (F) ' F.

Dfinition 1.1 SoitE un espace vectoriel surK etE son espace dual. Onappelle bidual de E, le dual(E) deE, on le noteE.

Considrons lapplication

E : E E,telle que pour tout x E, E (x) =

ex est la forme linaire sur E, donne

par :

ex () = hx, iquel que soit E, est un homomorphisme injectif de Kespaces vecto-riels.

Exercice 1.1 Montrer que E est un isomorphisme si et seulement si Eest de dimensionfinie.


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1.1.3 Transposition

Soient E et F deux espaces vectoriels sur K. toute application linaireu : E F, on peut associer une unique application linaire tu : F E,appele transpose de u, dfinie par :

tu () = u,cest--dire, pour tous x E et F, on a :

-x,t u ()

= hu (x) , i .

Exemple 1.1 Soient F un sous espace vectoriel de E, i : x 7 x de F

dans E linjection canonique de F dans E et p : x 7 x = x + F deE surE/F, la surjection canonique. Alors

1. t () = i = |F est la restriction de la forme linaire au sousespace vectoriel F, pour tout E,

2. tp : (E/F) E telle quetp () (x) = (x + F)

o x = x + F est la classe modulo F du vecteur x.

Proposition 1.2 Dans les hypothses et notations ci dessus on a :

1. Lapplication u 7 tu de LK (E, F) valeurs dans LK (F, E) estKlinaire.

2. tidE = idE

3. Soit G un troisime espace vectoriel sur K, u LK (E, F) et v LK (F, G) , alors

t (v u) = tu tv4. Siu GLK (E) , alors tu GLK (E) et lon a :

tu1 = t u1 .De mme on a :

Proposition 1.3 SoientEetF deux espaces vectoriels surK etu LK (E, F).On a les relations suivantes :


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1.2. PRODUITS TENSORIELS DESPACES VECTORIELS 7

1. Imt u = Ann (ker u) ,

2. kert u = Ann (Im u) ,

3. le rang detu estfini si et seulement si, le rang deu estfini et lon a :

rg

tu

= rg (u)

Proposition 1.4 SoientEetF deux espaces vectoriels surK etu LK (E, F) .Alors le diagramme suivant

EE

E

u ttuF

F F

est commutatif :ttu E = F u,

ici ttu = t

tu

.

Proposition 1.5 Soit E un espace vectoriel surK, F un sous espace vec-toriel de E etG un sous espace vectoriel de E. Alors :

1. (AnnF) = F

2. dim F estfinie si et seulement si dim AnnF estfinie et lon a :

codim F = dim AnnF,

3. dim G estfinie si et seulement si dim G estfinie et lon a :

G = Ann

G

,

1.2 Produits tensoriels despaces vectorielsLes rsultats des deux paragraphes qui vont suivre, restent valables en rem-plaant un espace vectoriel sur un corps commutatifK par un module surun anneau commutatif A et un espace vectoriel de dimension finie par unmodule libre de type fini.


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1.2.1 Combinaisons linaires formelles

Soient K un corps commutatif et X un ensemble. Rappelons que K(X) estlensemble des familles presque nulles (x)xX des lments de K, autrementdit,

K(X)

est lensembles des applications

u : X K

telles que{x X | u(x) 6= 0}

soient finis.Lensemble K(X) est un sous espace vectoriel de KX form de toutes les

applications u : X K.Pour tout x X, on considre llment x de K(X) dfini par :

x (y) =

1 si x = y0 sinon.

La famille (x)xX est une base de K(X) et pour tout u K(X), on a :

u = XxX u(x)x. (1.1)Soit f : X G une application de X dans un espace vectoriel G sur K. Ilexiste une application linaire unique

ef : K(X) Gtelle que ef(x) = f(x) .

Gnralement, on identifie llment x de la base de lespace vectorielK(X) llment x correspondant de X et on remplace les expressions (1.1)

par :u =

XxX

u(x)x.

Dfinition 1.2 Les lments deK(X) sont appels combinaisons linairesformelles deX coefficients dansK.


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1.2.2 Proprit fondamentale des produits tensoriels

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K. Onconsidre lespace

C(E, F) = K(EF)

des combinaisons linaires formelles de E F coefficients dans K. Comptetenu des notations du paragraphe prcdent o on identifie chaque lment(x, y) de E F lapplication (x,y), cet espace admet pour base lensemble

{(x, y) tels que x E et y F} .Soit N le sous espace vectoriel de C(E, F) = K(EF) engendr par leslments de la forme :

x + 0x0, y (x, y) 0 x0, y

et x,y + 0y0

(x, y) 0 x, y0o , 0, , 0 K, x, x0 E et y, y0 F.

On appelle produit tensoriel des espaces vectoriels E et F, lespace vec-toriel quotient

C(E, F) /N

que lon dsigne par

E F.Pour tout (x, y) E F, on dsigne par

x yllment de

E F = C(E, F) /Nreprsent par llment (x, y) de E F. On a :

Proposition 1.6 Lapplication (x, y) 7 x y, deE F dans E F estbilinaire et les produits x y engendrent lespace vectoriel E F.

Dmonstration. Pour tous , 0, , 0 K, x, x0 E et y, y0 F on ax + 0x0, y

(x, y) 0 x0, y Net

x,y + 0y0 (x, y) 0 x, y0 N,


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donc les classes dquivalence de ces lments sont nulles, soitx + 0x0 y x y 0x0 y = 0et

x y + 0y0 x y 0x y0 = 0.par consquent lapplication p : (x, y) 7 x y, de E F dans E F estbilinaire.

Soit u un lment de E F avec u C(E, F) . On a

u =X

(x,y)EF

u(x, y) (x, y) ,

donc la classe u de u modulo N scrit :

u =X

(x,y)EF

u(x, y)x y,

et la proposition est dmontre.

Proposition 1.7 (Proprit fondamentale du produit tensoriel). Soitf une application de E F dans un espace vectoriel H surK. Alors lesproprits suivantes sont quivalentes :

1. f est bilinaire.

2. Il existe une application linaire unique

f : E F Htelle quef(x, y) = f(x y)

E Ff H

E F % f

Dmonstration. Il existe une application linaire unique ef : C(E, F) H telle que

ef(x, y) =

ef

(x,y)

= f(x, y).

Supposons que f est bilinaire. Pour tous x, x0

E, y

F et , 0

K on aefx + 0x0, y (x, y) 0 (x0, y) = efx + 0x0, y ef(x, y) 0 ef(x0, y)

= f

x + 0x0, y f(x, y) 0f(x0, y) = 0,

de mme on a : efx,y + 0y0 (x, y) 0 x, y0 = 0


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quels que soient x

E , y , y0

F et , 0

K, par consquent on a :

kerp = N ker ef .Il rsulte quil existe une application linaire unique1

f : E F = C(E, F) /N Htelle que f(x y) = f(x, y) pour tout (x, y) E F, do (1) = (2) .

La rciproque est immdiate.

Proposition 1.8 Soient a1, . . . , ar des vecteurs quelconques de E. Alorspour tous b1, . . . , br F indpendants dans F, la relation

rXi=1

ai bi = 0

entrane a1 = . . . = ar = 0.

Dmonstration. Supposons quil existe i (i = 1, . . . , r) tel que ai ne soitpas nul. Considrons la forme linaire ai sur E telle que ai (ai) = 1 et pourtout j (j = 1, . . . , r) , on considre la forme linaire bj sur F dfinie par

bj (bk) = jk =

1 si j = k0 sinon.

Soit f : E F K, la forme bilinaire sur E F dfi

nie par :f(x, y) = ai (x) bi(y)

pour tous (x, y) E F. Il existe une forme linaire unique ef sur E Ftelle que

f(x y) = f(x, y) = ai (x) bi(y),en particulier on a :

0 = f

rX

j=1

aj bj =

rXj=1

f(aj bj) =rX

j=1

ai (aj ) bi (bj) = 1,

ce qui est absurde, par consquent a1 = . . . = ar = 0.1 Ici on utilise le rsultat suivant : tant donn trois espaces vectoriels E, F et G, et

tant donn deux applications linaires u : E F et v : E G avec v surjective.Alors les proprits suivantes sont quivalentes :

1. kerv keru2. Il existe une application linaire unique :: G F telle que u = v


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Corollaire 1.1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur K, (ai)iI une

base de E et(bj)jJ une base deF, alors

(ai bj)(i,j)IJest une base de E F.

En particulier si E et F sont de dimension finie, alors dim E F =(dim E) (dim F) .

1.2.3 Proprits du produit tensoriel

Soit E un espace vectoriel sur K. Tout lment de lespace EK scrit :

nXi=1

xi ai =nX

i=1

(aixi 1) = nXi=1

aixi! 1

avec xi E et ai K, et par consquent, tout lment de EK scrit :

x 1 avec x E.

La proprit fondamentale du produit tensoriel montre que lapplicationbilinaire b : (x, a) 7 ax de EK dans E, induit une application linaire

b : EK E

telle que b (x a) = ax.Lapplication linaire x 7 x 1 de E dans E K et lapplication

linaire b sont inverses lune de lautre, ainsi les espaces vectoriels EK etE sont isomorphes :

EK ' E.tant donn trois espaces vectoriels E, F et H sur K, alors toute

application linaire f de Edans lespace des applications linaires de F dansH (f LK (E, LK (F, H)) , associons lapplication bilinaire ef de E F valeurs dans H (

ef L(2)K (E, F; H)), dfinie par :

ef(x, y) = f(x) (y) .Inversement, toute application bilinaire b de EF dans H(b L(2)K (E, F; H))on associe lapplication linaire b LK (E, LK (F, H)) dfinie par :

b (x) = b (x, .)


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pour tout x

E, o b (x, .) est lapplication linaire y 7

b (x, y) de F dans

H.Il est clair que les applications : f 7 ef et : b 7 b sont linaires

et sont inverses lune de lautre, par consquent

LK (E, LK (F, H)) ' L(2)K (E, F; H))

La proprit fondamentale du produit tensoriel montre qu toute appli-cation bilinaire b : E F H, on peut associer une application linaireunique

b : E F Htelle que b (x

y) = b (x, y)

La correspondance b 7 b, de L(2)K (E, F; H)) dans LK (E F; H)) dfinitbien un isomorphisme :

L(2)K (E, F; H)) LK (E F; H)).

Proposition 1.9 Il existe un isomorphisme et un seul de EF surFEappliquant x y sur y x.

Dmonstration. Soit h : E F FE lapplication bilinaire dfiniepar :

h(x, y) = y

x,

pour tous x E et y F. Il existe une application linaire unique eh deE F dans FE telle que

eh(x y) = y x.De mme, il existe une application linaire unique eg de F E dans E Ftelle que eg(y x) = x y,pour tous x E et y F. Et, donc,

eh eg = idFE et eg eh = idEF.Donc il existe un isomorphisme unique eh de E F sur FE telle que

eh(x y) = y x.pour tous x E et y F.


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Proposition 1.10 SoientE, F etG trois espaces vectoriels surK. Alors, il

existe un isomorphisme unique de(E F)G surE(FG) , appliquant(x y) z sur x (y z) , pour tous x E, y F et z G.

Dmonstration. Soit x E. Lapplication

x : F G (E F)G

dfinie parx(y, z) = (x y) z,

est bilinaire, donc il existe une application linaire et une seule

ex : FG (E F)Gtelle que ex (y z) = (x y) z.Lapplication

: E (FG) (E F)Gdfinie par

(x, u) = ex (u)est bilinaire, donc il existe une application linaire unique

: E (FG) (E F)Gtelle que

(x (y z)) = (x y) z.De mme, il existe une application linaire unique

: (E F)G E (FG)

telle que ((x y) z) = x (y z) .

Comme on a

= id(EF)G et

= idE(FG), on dduit que est

un isomorphisme de (E F)G sur E (FG) , appliquant (x y) zsur x (y z) , pour tous x E, y F et z G.

Dfinissons maintenant le produit tensoriel de plusieurs espaces vecto-riels.

tant donn n espaces vectoriels E1, . . . , E n sur un mme corps commu-tatifK. On dnote par C(E1, . . . , E n) le Kespace vectoriel engendr par


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lensemble E1 . . . En et par N(E1, . . . , E n) le sous espace vectoriel de

C(E1, . . . , E n) engendr par les lments de la forme :x1, . . . , xi + x

0i, . . . , xn

(x1, . . . , xi, . . . , xn) x1, . . . , x0i, . . . , xnpour tous xi, x0i Ei et , K.

On appelle produit tensoriel des espaces vectoriels E1, . . . , E n, lespacevectoriel quotient

C(E1, . . . , E n)

N(E1, . . . , E n)

que lon dsigne par E1. . .En et pour tout (x1, . . . , xn) E1. . .En, ondsigne par x1. . .xn la classe de (x1, . . . , xn) . Il est clair que lapplication(x1, . . . , xn) 7 x1. . .xn, de E1. . .En dans E1. . .En est nlinaireet les produits x1 . . . xn engendrent lespace vectoriel E1 . . .En.

Proposition 1.11 (Proprit fondamentale du produit tensoriel).Soit f une application de E1 . . . En dans un espace vectoriel H surK.Alors les proprits suivantes sont quivalentes :

1. f estnlinaire.2. Il existe une application linaire unique

f : E1

. . .

En

H

telle quef(x1 . . . xn) = f(x1, . . . , xn) .

E1 . . . Enf

H

E1 . . .En % f

Ceci conduit ltude de lalgbre tensoriel :

T(E) = KEEEEEEEEEEEEE+ ...

Proposition 1.12 tant donn trois espaces vectoriels E1, E2 et E3 surK, il existe un isomorphisme despaces vectoriels f : E1 E2 E3 (E1 E2)E3 tel que

f (x1

x2

x3

) = (x1

x2

)

x3

Dmonstration. Lapplication trilinaire (x1, x2, x3) 7 (x1 x2) x3, deE1 E2 E3 valeurs dans (E1 E2)E3, induit une application linairef : E1 E2 E3 (E1 E2)E3 telle que

f (x1 x2 x3) = (x1 x2) x3.


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Inversement, tout lment x3

E3 fix, correspond une application bil-

inairebx3 : E1 E2 E1 E2 E3

telle que bx3 (x1, x2) = x1 x2 x3, qui induit son tour une applicationlinaire

bx3 : E1 E2 E1 E2 E3telle que bx3 (x1 x2) = x1 x2 x3.

On dfinit ensuite lapplication bilinaire

b : E1 E2 E3 E1 E2 E3

donne par :

b (u, x3) = bx3 (u) , avec u E1 E2 et x3 E3.

Il en rsulte quil existe une application linaire

g : (E1 E2)E3 E1 E2 E3

telle queg (u x3) = b (u, x3) ,

et, donc, g ((x1 x2) x3) = x1 x2 x3.Les applications linaires f et g sont inverses lune de lautre, donc ellesdfinissent un isomorphisme.

Remarque 1.1 Dans la pratique, on confond (x y) z et x (y z)quon crit x y z, et on dsigne par E F G lespace engendr parx y z, ox E, y F etz G.

Et, on dfinit le produit tensoriel

E1

E2

. . .

Ek

des espaces vectoriels E1, . . . , E k surK par :

E1 E2 . . .Ek = E1 (E2 . . .Ek) ,

et on confond aussi x1 x2 . . . xk avec x1 (x2 . . . xk) .


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Soient E,F,G et H quatre espaces vectoriels sur le corps K.

tout couple (u, v) dans lequel u LK (E, F) et v LK (G, H) , asso-cions lapplication bilinaire

(x, y) 7 u (x) v (y)

de E G valeurs dans FH.La proprit fondamentale du produit tensoriel montre quil existe une

application linaire unique

u v : EG FH

telle que u v (x y) = u (x) v (y) 2.De plus lapplication (u, v) 7 u v, de LK (E, F) LK (G, H) valeursdans LK (EG, FH) , est bilinaire, donc il existe une application linaireunique

T : LK (E, F) LK (G, H) LK (EG, FH)associant au produit tensoriel uv des vecteurs u et v, lapplication linaireu v : EG FH. On a :

Proposition 1.13 Dans les hypothses et notations ci-dessus, lapplication

linaire T : LK (E, F) LK (G, H) LK (EG, FH) (1.2)est injective.

Si de plus les espaces E,F,G et H sont de dimensionfinie, alors T estun isomorphisme.

Dmonstration. Supposons quil existe LK (E, F) LK (G, H) nonnul tel que T() = 0.

Par consquent, il existe u1, . . . , un LK (E, F) linairement indpen-dants, et v1, . . . , vn LK (G, H) linairement indpendants tels que

= u1 v1 + . . . + un vn,2 la notation classique uv peut prter une confusion, car elle possde deux significations

diffrentes :1. u v est le produit tensoriel du vecteur u LK (E, F) par le vecteur v LK (G,H) ,2. u v : EG FH est une application linaire, dfinie par la proprit universelle

du produit tensoriel..


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et, donc,

T() =nX

i=1

T(ui vi) = nXi=1

ui vi = 0,

par consquent on a :

nXi=1

ui vi (x, y) =nX

i=1

ui (x) vi (y) = 0 (1.3)

pour tout (x, y) E G. Choisissons a E tel que u1 (a) 6= 0.Soit p 1 le nombre maximal de vecteurs indpendants dans lensemble

{u1 (a) , . . . , un (a)} .

On peut supposer que u1 (a) , . . . , up (a) sont linairement indpendants. Ona donc

uj (a) =

pXi=1

ij ui (a) pour j = p + 1, . . . , n ,

et la relation (1.3) donne

n

Pi=1

ui vi (a, y) =n

Pi=1

ui (a) vi (y)

=

pPi=1

ui (a) vi (y) +nP

j=p+1uj (a) vj (y)

=pP

i=1ui (a) vi (y) +

nPj=p+1

pP

i=1jiui (a)

vj (y)

=pP

i=1ui (a)

vi (y) +

nPj=p+1

jivj (y)

!= 0

pour tout y G, par consquent

vi (y) +n

Xj=p+1jivj (y) = 0 pour tout y G.

On dduit que les vi sont linairement dpendants, ce qui est absurde, doncT est injective.

Si de plus les espaces E,F,G et H sont de dimension finie, alors lesespaces LK (E, F)LK (G, H) et LK (EG, FH) ont mme dimension,donc T est un isomorphisme.


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Lorsque F = H = K, et E et F sont de dimension finie, il existe un

isomorphisme canonique

E G (EG) . (1.4)Et, lorsque F = G = K, et E et H sont de dimension finie, il existe unisomorphisme canonique

E H LK (E, H) , (1.5)faisant correspondre au tenseur x de E H, lapplication linaire u :E H dfinie par :

u (y) = hy, i x.

Rciproquement, cherchons dterminer le tenseur de EH associ uneapplication linaire fixe u LK (E, H) .

Soient (ei)1ip une base de E,

ei1ip

sa base duale, (fj)1jq unebase de H, et soient u LK (E, H) et t (u) le tenseur de E H associ u. crivons3

u (ei) = aji fj

ett (u) = ji e

i fj.On a donc

t (u) (ek) = ji ei fj (ek) =

ji-

ek, ei fj = ji ikfj = jkfj = u (ek) = ajkfj,par consquent jk = a

jk, do :

t (u) = aji ei fj = ei aji fj = ei u (ei) .

On montre facilement que si (e0i)1ip une autre base de E alors t (u) =e0i u(e0i).

Proposition 1.14 SoientEetF deux espaces vectoriels surK etL(2)K (E, F;K)lespace des formes bilinaires de E F dansK. Alors il existe un uniquehomomorphisme injectif

J : E F L(2)K (E, F;K)3 Convention dEinstein : Sauf mention du contraire, chaque fois que dans un

monme figure deux fois le mme indice, une fois comme indice supreur et une foiscomme indice infrieur, on doit sommer tous les monmes obtenus en donnant cet indicetoutes les valeurs possibles.


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appliquant llment

x ysur la forme bilinaire Jx,y surE F dfinie par :

Jx,y(, ) = hx, i hy, i .

Et si de plusE etF sont de dimensionfinie, J est un isomorphisme.

Dmonstration. Soit J lapplication

(x, y) 7 Jx,y

de E F dans L (E

, F

;K) , dfi

nie par :Jx,y(, ) = hx, i hy, i ,

est bilinaire, donc il existe une application linaire unique

J : E F L (E, F;K)

telle queJ(x y) = Jx,y

pour tous x E et y F.Montrons que lapplication J est injective. Soit (ei)iI une base de E et

(fj)jJ une base de F.

Soit t un tenseur de E F tel que J(t) = 0. Par rapport la base(ei fj)(i,j)IJ de lespace vectoriel E F, le vecteur t scrit :

t = ijei fj,

o

ij

est une famille presque nulle de scalaires. On a donc

J(t) = ijJ(ei fj) = ij Jei,fjpar consquent, on a

0 = J(t)

ek, fl

= ijJei,fj

ek, fl

= ijD

ei, ekED

fj, flE

= kl

pour tout (k, l) I J, o pour tout i I, ei est lunique forme linairesur lespace vectoriel E telle que

-eu, e

i

= iu quel que soit u I et fjest lunique forme linaire sur lespace vectoriel F telle que

-fv, f

j

= jv


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quel que soit v

J. On a donc montr que t est le tenseur nul, par suite

lapplication J est injective.Si E et F sont de dimension finie p et q respectivement, alors

dim E F = dim LK (E, F;K) = pq,et lapplication Jest un isomorphisme.

La proposition prcdente montre que si les espaces vectoriels E et Fsont de dimension finie, le produit tensoriel E F des espaces vectoriels Eet F sidentifie lespace L(2)K (E

, F;K) des formes bilinaires sur E F

E F = L(2)K (E, F;K)

et le produit tensoriel x y des vecteurs x et y la forme bilinaire dfiniesur E F par :

x y (, ) = hx, i hy, i .Plus gnralement, le produit tensoriel E1 . . . En des espaces vec-toriels E1, . . . , E n de dimension p1, . . . pn (pi N) sidentifie lespaceL(n)K (E

1 , . . . , E

n;K) des formes nlinaires sur E1 . . . En :

E1 . . .En = L(n)K (E1 , . . . , E n;K)

et le produit tensoriel x1

. . .

xn des vecteurs x1, . . . , xn la forme

nlinaire dfinie sur E1 . . . En par :x1 . . . xn

1, . . . , n

=-

x1, 1

. . . hxn, ni .

Pour tout k = 1, . . . , n , on dnote par (ek,i)1ipk une base de Ek, alorsla famille

(e1,i1 . . . en,in)1i1p1,...,1inpnest une base de E1 . . .En, en particulier

dim(E1 . . .En) = p1p2 . . . pn.

Rappelons que tout espace vectoriel E de dimension finie sidentifie sonbidual E grce lisomorphisme E : E E, dfinie par :

E (x) () = hx, i ,

pour tout x E et E.


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On voit ici, que le produit tensoriel E

F des espaces vectoriels E et

F sidentifie lespace L(2)K (E, F;K) des formes bilinaires sur E F

E F = L(2)K (E, F;K)

et le produit tensoriel des covecteurs et la forme bilinaire dfiniesur E F par :

(x, y) = hx, i hy, i .Et plus gnralement, le produit tensoriel E1. . .En des espaces vectorielsE1 , . . . , E

n de dimension finie sidentifie lespace L

(n)K (E1, . . . , E n;K) des

formes nlinaires sur E1 . . . EnE1 . . .En = L(n)K (E1, . . . , E n;K)

et le produit tensoriel 1 . . . n des covecteurs 1, . . . , n la formenlinaire dfinie sur E1 . . . En par :

1 . . . n (x1, . . . , xn) =-

x1, 1

. . . hxn, ni .

1.2.4 Tenseurs

Soit E un espace vectoriel de dimension finie p. pour tout n N, on dsignepar Tn (E) lespace E . . .E (nfois) :

Tn0 (E) = En = E . . .E (n fois)avec la convention

T00 (E) = K et T10 (E) = E.

Les lments de Tn0 (E) sont appels tenseurs nfois contravariants et lespaceTn (E) est appel i ieme puissance tensorielle de E.

Et, pour chaque entier naturel m,on dnote par T0m (E) lespace (E)m =

E . . . E (mfois) avec la convention T01 (E) = E. Les lments deT0n (E) sont appels tenseurs nfois covariants.

Et enfin pour tout couple (n, m) dentiers naturels, on dfinit

Tnm (E) = (E)m En

Les lments de Tnm (E) sont appels tenseurs mixtes nfois contravariantset mfois covariants. Les relations (1.4) et (1.5) permettent lidentificationsuivante

Tnm (E) = LK

Em, En

,


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et les relations (1.2) et (1.5) nous permettent de voir quil existe un isomor-

phisme canoniqueTnm (E) Tn

0

m0 (E) Tn+n0

m+m0 (E) , (1.6a)

tel que pour tous u = 1 . . . m x1 . . . xn Tnm (E) et v =1 . . . m0 y1 . . . yn0 , le produit tensoriel u v sidentifie :

u v = 1 . . . m 1 . . . m0 x1 . . . xn y1 . . . yn0 .On tend la dfinition des isomorphismes (1.6a) au cas o n = m = n0 =m0 = 0, en considrant les applications linaires correspondant aux applica-tions bilinaires (, x) 7 x et (, x) 7 x. Il est clair que pour troistenseurs quelconques t1, t2 et t3 on a :

(t1 t2) t3 = t1 (t2 t3) .De nouveau la relation (1.4) permet de voir quon a un isomorphisme

(Tnm (E)) Tmn (E)

grce auquel on a :-

1 . . . m x1 . . . xn, y1 . . . ym 1 . . . n

=Y -

yj, jY -

xi, i

.

Dsignons par (ei)1ip une base de E et par

ei

1ip

sa base duale,alors la famille

ej1...jmi1...in

1j1,...,jmp, 1i1,...,inp

avecej1...jmi1...in = e

j1 . . . ejm ei1 . . . einest une base de Tnm (E) forme de p

n+m lments, et chaque tenseur nfoiscontravariant et mfois covariant scrit sous la forme :

t = ti1...inj1...jmej1 . . . ejm ei1 . . . ein = ti1...inj1...jmej1...jmi1...in .

Les scalaires ti1...inj1...jm sont appels composantes du tenseur t par rapport

la base (ei)1ip Dsignons par e(0)i 1ip une autre base de E, pare(0)i

1ip

sa base duale, P =

aij

1i,jp

la matrice de passage de la base

(ei)1ip la base

e(0)i

1ip

:

e0i = aji ej.


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et on dnote par Q = bij1i,jp la matrice de passage de la base e

i

1ip la base e(0)i1ip

. La relation ej = aji e(0)i montre que les matrices P et

Q sont inverses lune de lautre.

Soient

t(0)i1...inj1...jm

1j1,...,jmp, 1i1,...,inp

les composantes du tenseur t par

rapport la base

e(0)i

1ip

.

Les composantes ti1...inj1...jm et t(0)i1...inj1...jm

sont lies par :

t(0)i01...i

0n

j01...j0m

= aj1j01

. . . ajmj0mbi01i1

. . . bi0nin

ti1...inj1...jm (1.7)

et

ti1...inj1...jm = ai1i01 . . . aini0nbj

0

1j1 . . . bj

0m

jmt(0)i0

1...i0

nj01...j

0m

. (1.8)

Le formules ci dessus sont appeles lois de transformations dun tenseurnfois contravariant et mfois covariant. Inversement on a :

Thorme 1.1 Pour quun systme de pn+m quantits attach une base(ei)1ip de lespace vectoriel E puisse tre considre comme des com-posantes dun tenseurnfois contravariant etmfois covariant, il faut et ilsuffit que, dans un changement de base, ce systme se transforme selon leslois (1.7) et (1.8).

1.2.5 Contraction dun tenseur mixtePour tout couple (i, j) dentiers naturels avec 1 i m et 1 j n, onconsidre lapplication

ij : E . . . E E . . . E Tn1m1 (E)

dfinie par :

ij(1, . . . , m, x1, . . . , xn) =

-xj,

i

1. . .bi. . .mx1. . .bxj. . .xn,o laccent circonflexe signifie quil faut omettre le facteur correspondant.

Lapplication i

j est (n + m)linaire, donc elle induit une applicationlinaire uniqueCij : T

nm (E) Tn1m1 (E)

telle que

Cij (1. . .mx1. . .xn) =

-xj ,

i

1. . .bi. . .mx1. . .bxj. . .xn


36/214

Cette application est appele oprateur de contraction dindice (i, j).

Prenons par exemple n = m = 1 et considrons loprateur de contrac-tion dindice (1, 1) :

C11 : T11 (E) = E

E T00 (E) = K.

videmment on a :C11 ( x) = hx, i .

Rappelons que les lments x de E E correspondent canoniquementaux endomorphismes y 7 hy, i x de E, et que, inversement, tout endo-morphisme u de E est associ au tenseur t (u) = ei u (ei) .

On appelle trace dun endomorphisme u de lespace vectoriel E, la valeur

de loprateur de contraction C11 (t (u)) appliqu au tenseur t(u) correspon-dant u, on a donc :

T r (u) = C11 (t (u)) =-

u (ei) , ei

= aii,

o

aij

1i,jp

est la matrice de u dans la base (ei)1ip .

On vrifie aussitt que lon a :

T r (u v) = T r (v u) .

1.3 Formes extrieuresSauf mention explicite du contraire, on suppose dans ce chapitre que K estle corps R des nombres rels et les espaces vectoriels considrs sont rels dedimension finie.

1.3.1 Lalgbre des tenseurs contravariants

Soit E un espace vectoriel sur le corps R des nombres rels.On appelle algbre des tenseurs contravariants, la sous algbre de lalgbre

tensoriel T(E) , donne par :

C(E) = KEEEEEE+ ..= C0(E)C1(E)C2(E) ...

avec Cp(E) = EE . . .E (pfois).Un lment de Cp(E) est appel tenseur pcontravariant et C(E) est

appel algbre des tenseurs contravariants de E. Dune manire similaire,


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on peut dfinir la sous algbre C(E) de T(E). Cest lalgbre des tenseurs

covariants de E.Il existe un couplage naturel de Cp(E) avec (Cp(E)), il est dfini par

la forme bilinaire sur C(E) C(E) par :

hv, i =

0 si v Cp(E) et Cq(E) avec p 6= qP

vi1...ipi1...ip si p = q avec v =P

vi1...ipei1...ip et =P

j1...jpej1...jq .

Une forme extrieure de degr p (ou p-forme extrieure) sur E est untenseur pfois covariant sur E anti-symtrique cest dire un lment delespace T0p (E) = (E

)p satisfaisant :

(x1, , xi, . . . , xj, . . . , xp) = (x1, , xj, . . . , xi, . . . , xp)pour tous x1, , xi, . . . , xj , . . . , xm E, ce qui est quivalent dire que est alterne, cela veut dire (x1, . . . , xi, . . . , xj, . . . , xp) = 0 ds quil existeun couple dentiers naturels (i, j) avec 1 i < j m tels que xi = xj.

On en dduit que(x1, , xp) = 0

si les vecteurs x1, , xi, . . . , xj, . . . , xp linairement dpendants sur E, ainsi,toutep-forme extrieure sur Eest identiquement nulle ds quep est suprieurstrictement dim E.

Notons par Vp (E) = Vp (E) lensemble des p-formes extrieures sur E.Il est naturellement muni dune structure despace vectoriel rel et la sommedirecte ^

E =nM

p=0p

(E) ,

iciV

0 E = R etV

1 E = E, est appele algbre extrieure de E.

Le groupe symtrique Sp opre sur lespace vectoriel produit Ep = EE . . . E par :

(x1, . . . , xp) = x(1), . . . , x(p) .Proposition 1.15 On a :

(x1, . . . , xp) = ( (x1, . . . , xp))

pour tous , Sp et(x1, . . . , xp) Ep..


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1.3. FORMES EXTRIEURES 27

En effet on a :

( (x1, . . . , xp)) = x(1), . . . , x(p) = (y1, . . . , yp)

avec yi = x(i) pour tout i = 1, . . . , p , par consquent on a :

( (x1, . . . , xp)) =

x((1)), . . . , x((p))

=

x()(1), . . . , x()(p)

,

do( (x1, . . . , xp)) = (x1, . . . , xp) .

On dduit que le groupe symtrique Sp opre sur T0p (E) par :

t = t .Il rsulte aussitt que lon a :

( ) t = (t)pour tous , Sp et t T0p (E) .Dfinition 1.3 (Oprateurs dantisymtrisation). On appelle opra-teur dantisymtrisation, lapplication linaireA : T0p (E) T0p (E) dfiniepar :

A(t) =1

p!

XSp

()t.

o () est la signature de la permutation , () vaut 1 si est une per-mutation paire et elle vaut1 si elle est impaire.Proposition 1.16 Pour tout tenseur pfois covariantt, on a:

1. A(t) Vp (E)2. t Vp (E) t = ()t pour tout Sp,3. Sit Vp (E) alorsA(t) = t,4. A (A(t)) = A(t).

Dmonstration. Les dmonstrations des assertions 2,3 et 4 sont laisses ausoins du lecteur. Pour toute permutation Sp, on a :

A(t) =

1

p!

XSp

()t

= 1

p!

XSp

() ( ) t = 1p!

XSp

()() ( ) t,


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do

A(t) = ()

1

p!

XSp

( ) ( ) t = ()

1

p!

XSp

()t

= ()A (t) ,

ce qui montre la premireassertion.

Dfinition 1.4 (Image rciproque dune forme extrieure). SoientE et F deux espaces vectoriels de dimension finie surK et u : E Fune application linaire. Alors pour toutepforme extrieure sur lespacevectoriel F, on peut associer une p

forme extrieure sur E, note u et

appele image rciproque de par lapplication linaireu, cette pforme estdfinie par :

u (x1, . . . , xp) = (u(x1), . . . , u(xp))

pour tous x1, . . . , xp E.

Dfinition 1.5 (Produit extrieur). Soient Vp (E) et Vq (E) .On appelle produit extrieur de la pforme extrieure par la qformeextrieure , la (p + q)forme extrieure sur E dfinie par :

= (p + q)!p!q!

A ( ) .

On voit clairement que (, ) 7 de Vp (E) Vq (E) valeursdans

Vp+q (E) est une application bilinaire.

Et, sans peine, on dmontre qutant donn deux espaces vectoriels E, Fet une application linaire u : E F, alors

u ( ) = u u

pour tout (, ) Vp (F) Vq (F) .Proposition 1.17 Quels que soient

Vp(E) et

Vq(E) , on a :

= (1)pq .

Dmonstration. Soit p,q la permutation1 . . . q q + 1 . . . q +p

p + 1 . . . p + q 1 . . . p

.


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On a

(p,q) = (1)pq .Pour tous x1, . . . , xp, xp+1, . . . , xp+q E, on a :

(x1, . . . , xp, xp+1, . . . , xp+q) = (x1, . . . , xp) (xp+1, . . . , xp+q)

et

p,q ( ) (x1, . . . , xp, xp+1, . . . , xp+q) = (xp+1, . . . , xp+q, x1, . . . , xp)= (x1, . . . , xp) (xp+1, . . . , xp+q) ,

par consquent on a :

p,q ( ) = .Le produit extrieur est donn par :

= (p+q)!p!q! A ( )= 1p!q!

PSp+q

() ( )= 1p!q!

PSp+q

(p,q) ( p,q) ( p,q) ( )= (p,q) = (1)pq .

Proposition 1.18 Quels que soient T0p (E) et T0q (E) , on a :

A ((A) ) = A ( ) = A (A) .Dmonstration. On a :

(A) = 1

p!

XSp

()

= 1

p!

XSp

() [() ] .

On identifie le groupe Sp au sous groupe Hp,q de Sp+q form des permuta-tions du type :

1 . . . p p + 1 . . . p + q (1) . . . (p) p + 1 . . . p + q avec Sp. On a donc

(A) = 1p!

XHp,q

() ( ) ,


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par suite

A ((A) ) = 1(p+q)!PSp+q ()((A) )= 1(p+q)!

PSp+q

()

1p!

PHp,q

() ( )

= 1p!

PHp,q

1

(p+q)!

PSp+q

()() ( ) ( )

= 1p!P

Hp,qA ( ) = A ( ) .

De mme on aA (A ()) = A ( ) .

Et la proposition est dmontre.

Proposition 1.19 pour tous Vp (E) , Vq (E) et Vr (E) on a :( ) = ( )

Dmonstration. On a :

( ) = (p + q+ r)!(p + q)!r!

A (( ) ) = (p + q+ r)!p!q!r!

A ( ) ,

de mme on a :

( ) = (p + q+ r)!p!q!r!

A ( ) ,

et la proposition est dmontre.Soient maintenant 1, 2, , p des formes linaires de E. On a

12 p = p!A 1 2 p = XSp

()

1 2 p ,et, donc, pour tous x1, x2, . . . , xm E, on a :

12 m(x1, x2, . . . , xm) = det

-x1, 1

-x1, 2

hx1, mi-

x2, 1 -

x2, 2

hx2, mi...

......

...-xm, 1 -xm, 2 hx2, mi

Le produit extrieur des formes est appel produit de Grassmann de cesformes.Le fait que 12 m soit unepforme extrieure rsulte des propritsdu dterminant.


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Proposition 1.20 Pour quep covecteurs1, 2, . . . , p deEsoient linaire-

ment dpendantes dans E, il est ncessaire et suffisant que le produit deGrassmann 1 2 p soit nul.Dmonstration. Supposons que les formes linaires 1, 2, , , p soientlinaire -ment indpendantes et considrons les vecteurs X1, , Xp vrifianti(Xj) = ij . La matrice (i(Xj)) concide avec la matrice identit. Il sensuit que 1 2 p(X1, , Xp) = 1 do 1 2 p 6= 0.Rciproquement, si f1, , fp sont des formes linaires sur E linairementdpendantes dans E, alors pour tout p-uple de vecteurs (X1, , Xp), lamatrice (fi(Xj )) est de rang strictement infrieur p et son dterminant estnul.

Proposition 1.21 Le produit extrieur munit lespace vectoriel^E =

nM0

p(E)

dune structure dalgbre associative, unitaire non commutative.

La non commutativit du produit extrieur se dduit de la formule suivante

= (1)pq ,pour tous Vp E , Vq E.Proposition 1.22 Soit{e1, , en} une base de E. Alors lesp-formes

ei1 eipavec 1 i1 < i2 < < ip n constituent une base de lespace vectorielV

p E. Ainsi,

dimp

E =

n

p

=

n!

p!(np)! et dim^

E = 2n.

Dmonstration. Toute pforme extrieure sur E scrit : = ai1...ipe

i1 eip ,par consquent,

= A = ai1...ipA ei1 eip = ai1...ipp! ei1 eip ,ce qui montre que lensemble

{ei1 eip}1i1


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1.3.2 Lalgbre gradue VE

Nous venons de voir que lespace vectoriel gradu VE = Ln0 Vp E estmuni dune structure dalgbre associative non commutative de dimension2n. Chaque lment de

VE scrit sous la forme

= 0 + 1 + + n , p p

E

avecV

0 E = R. Lapforme extrieure p est appele composante homognede degr p de.

1.3.3 Le produit intrieur

Dfinition 1.6 Soit Vp E unepforme extrieure surE , p 1 et soitX un vecteur de E. Le produit intrieur de X par est la (p 1)formeextrieure, note i(X) (ouXc), dfinie par

i(X)(X1, , Xp1) = (X, X1, , Xp).

Lapplication i(X) : 7 i(X) est une application linaire deVp E dansVp1 E. On peut tendre cette application en un endomorphisme de

VE

en posant i(X) = 0 si = a R, et i(X) = Pni=1 i(X)i, o =0 + + n est la dcomposition en composantes homognes de .

Proposition 1.23 Soient X etY deux vecteurs deE. On a alors :1. i(X+ Y) = i(X) + i(Y) ,2. i(aX) = ai(X) , a R ,3. i(X)i(Y) + i(Y)i(X) = 0,4. i(X)i(X) = 0.

Ces identits se dmontrent sans difficult.

Proposition 1.24 Soient (respectivement ) une pforme (respective-ment une qforme) extrieure sur E. Pour tout vecteur X E, on a :

i(X)( ) = (i(X)) + (1)p (i(X)).

Dmonstration. Considrons p + q vecteurs indpendants {e1, , ep+q} etsupposons que X = e1. On a

i(X)( )(e2, , ep+q) = ( )(e1, , ep+q)


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=1

p!q! XsSp+q (s)(es(1), , es(p))(es(p+1), , es(p+q)).Lensemble des permutations Sp+q est runion disjointe du sous ensembleS1 constitu des permutations dont la primage de 1 est infrieure ou gale p et du sous ensemble S2 des permutations dont la primage de 1 eststrictement suprieure p. On a :

1

p!q!

XsS1

(s)(es(1), , es(p))(es(p+1), , es(p+q)) = (i(X))

et

1

p!q!

XsS2

(s)(es(1), , es(p))(es(p+1), , es(p+q)) = (1)p (i(X)).

Do le rsultat.

1.3.4 Drivations. Antidrivations

Dfinition 1.7 Un endomorphisme linaire h de

VE est une drivation

deVE sil vrifie :1. pour toutepforme extrieure surE, h() est une forme dont le degrest de mme parit que ,2. h( ) = h() + h(), pour tous , VE.Dfinition 1.8 Un endomorphisme linaire h de

VE est une antidriva-

tion de degrq Z deVE sil vrifie :1. h(

Vp E)

Vp+q E

2. (1)deg() = (1)deg(h())+1 pour tout de degr deg() donn,3. h( ) = h() + (1)p h() pour tous

Vp E,

VE.

La deuxime condition implique que le degr dune antidrivation est nces-sairement impair.

Exemple 1.2 Le produit intrieur par un vecteur X E est une antidri-vation de degr1.


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1.3.5 Sur la structure de lalgbre associative VE

Muni du produit extrieur, lespace vectoriel VE est une algbre associa-tive, unitaire, non commutative de dimension 2n, o n est la dimension de E.Ces algbres jouent un rle important dans ltude de la varit de toutes lesalgbres associatives que lon peut construire sur lespace E. Nous nallonspas dvelopper cet aspect dans ce cours. Nous pouvons toutefois dcrire enpetite dimension la structure de cette algbre associative.

1. n = 1. LalgbreV

E est de dimension 2. Une base est donne par{1, e1} avec 1

V0 E = R et e1 E = V1 E :1 1 = 1 , 1 e1 = e1 1 = e1 , e1 e1 = 0.

2. n = 2. Si {e1, e2} est une base de E, une base deV

E est donnepar {1, e1, e2, e3 = e1 e2} et le produit est donn par :

1 ei = ei 1 = ei , i = 1, 2, 3

e1 e2 = e2 e1 = e3,les autres produits tant nuls.

Notons que toutes ces algbres associatives sont des algbres de Clif-ford attaches une forme quadratique nulle. Bien que la structure de cesalgbres na que peu dintrt ici, les idaux gradus vont jouer un rleimportant dans la dtermination des invariants des formes extrieures.

1.3.6 Les idaux gradus deVE

Un idal I deV

E est une sous algbre vrifiant

I ,

pour tous I et VE. Cet idal I est dit gradu sil admet ladcomposition vectorielle suivante :

I = I0 I1 In ,

avec Ik = IV

k E.


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Exemple 1.3 Considrons la sous algbre^i

E ^

i+1E

^n

E.

Cest un idal gradu deV

E. Cet idal est non commutatif (cest--direI I 6= 0) ce qui montre que lalgbreVE nest pas une algbre simple.Soit I un idal gradu de

VE. Tout lment I admet une dcomposi-

tion = 0 + 1 + + n , p

^pE

en composantes homognes. Comme I est gradu, cette dcomposition estaussi la dcomposition associe la graduation de I.

Lemme 1.1 SiI0 6= {0}, alorsI =V

E.

Dmonstration. En effetV0 E I = I0. Comme I est un idal, I0 6= {0}

implique I0 = R. Il sen suit que toute 1-forme linaire sur E est dans I.Comme toutes ces formes engendrent

VE, on a donc

VE = I.

1.3.7 Systme linaire associ une p

forme extrieure

Soit une pforme extrieure sur E. A partir dune base {e1, e2, , en}de E, on peut dfinir des formes linaires i1i2ip1 par :

i1i2ip1(X) = (X, ei1 , ei2, , eip1)

pour tout X E.

Dfinition 1.9 On appelle systme linaire associ la pforme et labase {e1, e2, , en} le systme linaire

{i1i2ip1 = 0

avec 1 i1 < i2 < < ip1 n.

Ce systme dpend videmment de la base choisie e1, e2, , en. Il permettoutefois de construire un objet intrinsque associ la forme .


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1.3.8 Espace associ et rang dune p

forme extrieure

Soit A() le sous espace de V1 E = E engendr par les formes linaires{i1i2ip1}.

Proposition 1.25 LespaceA() ne dpend pas du choix de la base choisie.Il est appel le sous espace associ et sa dimension r() est le rang de.

Dmonstration. Soit {e01, e02, , e

0n} une autre base de Eet notons (

0i1i2ip1

)

le systme associ correspondant. Si e0i = aji ej, alors

0i1

i2ip

1

(X) = (X, e0i1

, e0i2

, , e0ip1

)

=X

aj1i1 ajp1ip1

j1j2jp1(X),

ce qui montre que lespace engendr par les formes linaires i1i2ip1 con-cide avec lespace engendr par les formes 0i1i2ip1.

Remarque 1.2 1. La construction de lespaceA() montre que cet espaceest le plus petit sous espace de E tel que la pforme se dcompose enun produit dlments de ce sous espace. En dautres termes, A() con-tient le minimum de formes linaires ncessaires pour crire . Ainsi, si{1, 2, , r} est une base de A(), alors

= X1i1


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Dmonstration. Soit {1, 2, , r}, r = r(), une base de A(). La

forme scrit :

=X

1i1


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1.4 Exercices

Exercice 1.2 En utilisant la proprit fondamentale du produit tensoriel,montrer que siE, F etG sont des espaces vectoriels sur un corps commutatifK, alors il y a un isomorphisme unique

(E F)G = (EG) (FG)qui transforme(x y) z en(x z) (y z) .

Exercice 1.3 Soient E,F,E0 etF0 des espaces vectoriels surK; u etv desapplications linaires

u : E E0

etv : F F0

.

1. Montrer quil existe une application linaire unique

u v : E F E0 F0

telle que(u v) (x y) = u(x) v(y)

quels que soient x E ety F.2. On suppose que ces espaces vectoriels sont de dimensionfinies p,q,p0

et q0 respectivement. Soient (eij )1ip,1jq et e0i0j01i0p0,1j0q0deux bases deEF etE0F0 respectivement. Calculer la matrice deu v par rapport ces bases.

3. Dfinir partir de la question prcdente, le produit tensoriel A Bde deux matrices A et B, et calculer ce produit dans le cas o A M (2 2,K) etB M (3 3,K) .

4. Soient E,F,E0, F0 et E0, F0 des espaces vectoriels surK; u, u0 et v, v0

des applications linaires

u : E E0 , u0 : E0 E.

etv : F F0 , v0 : F0 F.

Montrer que u0 u v0 v = u0 v0 (u v)


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Chapitre 2

Espaces vectoriels

symplectiques2.1 tude des 2formes extrieuresSoient E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatifK et une 2forme extrieure sur lespace vectoriel E ( V2 (E)).

Rappelons que lespace associ est le sous espace vectoriel

A () = {x E | i(x) = 0} ,

o i(x) est le produit intrieur du vecteur x par la 2forme extrieure .Rappelons aussi que le rang de la 2forme est la codimension de lespaceA () .

Par rapport une base donne B = {e1, . . . , en} de E. La matrice

A = ( (ei, ej ))1i,jn

est appele matrice de la 2forme extrieure par rapport la base B, eton crit

A = M[,B] .

On a donc,

(x, y) =t

XAY

o X et Y sont les matrices colonnes associes au vecteurs x et y par rapport la base B

On appelle discriminant de par rapport la base B, le dterminant

disB () = det A.


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42 CHAPITRE 2. ESPACES VECTORIELS SYMPLECTIQUES

Par rapport une autre base B0 de E, on a

(x, y) = tX0A0Y0

o X0 et Y0 sont les matrices colonnes associes au vecteurs x et y parrapport B0.

Soit P la matrice de passage de la base B la base B0. Les relationsX = P X0 et Y = P Y0 donnent

A0 = tPAP,

ce qui montre que les discriminants disB () et disB0 () sont lis par larelation :

disB0 () = (det P)2 disB () .

Rappelons aussi que le produit intrieur donne naissance une applica-tion linaire b : E E dfinie par :

b (x) = i (x) ,

si cette application linaire est injective (et donc, un isomorphisme despacesvectoriels), on dira que la 2forme extrieure est non dgnre. Et dansce cas on a :

rg = dim E.

2.2 Orthogonalit symplectique

Deux vecteurs x et y de E sont orthogonaux par rapport la 2formeextrieure (ou tout simplement orthogonaux sil ny a pas de confusion craindre), et on crit x y , si

(x, y) = 0.

Deux sous-espaces vectoriels L et M de E sont dits orthogonaux parrapport (ou tout simplement orthogonaux), et on crit L M, six y pour tout (x, y) L M.

Lorthogonal symplectique dune partie non vide A de E est le sous-espace vectoriel de E dfini par :

A = {x E | (x, y) = 0 , y A}.Deux sous-espaces vectoriels L et M de E sont dits supplmentaires or-thogonaux si E = LM et L = M.

On dduit que pour toutes parties non vides A et B de E, on a lesproprits suivantes :


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2.2. ORTHOGONALIT SYMPLECTIQUE 43

1. A

B =

B

A ,

2. AAEt pour deux sous espaces vectoriels quelconques H, K de E, on a :

1. (HK) = H + K,2. (H+ K) = H K. .

Proposition 2.1 Supposons que la2forme extrieure est non dgnre.Alors

1. E = {0}.

2. pour tout sous espace vectoriel H deE on a :

(a) H = H,(b) dim H = dim E dim H.

Dmonstration. La premire proprit rsulte de la relation E = ker b.En ce qui concerne la premire partie de la seconde, on sait que H

H dune part, et dautre part, pour lautre inclusion, il suffit de montrerque pour quun lment h0 H soit dans H, il faut et il suffit que (h0) = 0 pour tout appartenant lannulateur Ann (H) de H. Soit donc Ann (H) . La dualit x 7 i (x) de E sur E, montre quil existex E tel que

= i (x) ,or la relation Ann (H) entrane que (y) = i(x)(y) = (x, y) = 0, quelque soit y H, par suite x H, et, donc,

(h0) = (x, h0) = 0.

On a donc montr que (h0) = 0 pour tout Ann (H) , par suite h0 H,ce qui montre H = H

Pour montrer la proprit 2.(b), nous rappelons la relation suivante :

dim(AnnH) = dim E dim H,donc il suffit de montrer que

dim(AnnH) = dim H,

or lisomorphisme b : x 7 i (x) de Esur E, transforme H sur Ann (H):

b

H

= Ann (H) ,

do dim H = dim (AnnH) = dim E dim H.


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2.3 Classification des 2

formes extrieures

Soient E un espace vectoriel de dimension n sur un corps commutatif et V2 E, une forme extrieure sur E non nulle.

Il existe deux vecteurs u1, v1 E tels que (u1, v1) = ne soit pas nul.Posons e1 = 1u1 et e01 = v1, on a donc

e1, e01

= 1

et la matrice S par rapport la base B1 = (e1, e01) de la restriction H1 de au sous espace vectoriel H1 = V ect (e1, e01) est :

S = M(H1,B1) = 0 11 0 .Dsignons par H2 = H1 . On a :

E = H1 H2.

En effet, tout lment x H1 H2 scrit ncessairement sous la forme :

x = e1 + 0e01

avec de plus

(x, e1) = x, e01 = 0,par suite = 0 = 0, ce qui montre que le vecteur x est nul, cest dire quelon a H1 H2 = (0) .

Soit maintenant x un vecteur quelconque de E. crivons

y = x + (x, e1) e01

x, e01

e1.

On vrifie aisment que

(y, e1) = 0 et

y, e01

= 0,

ce qui montre que le vecteur y H1 = H2, et, donc x H1 + H2, et lasomme est directe.

Si la restriction de au sous espace H2 est nulle, on arrte le processusqui consiste :

1. il existe des vecteurs indpendant e1 et e01 tels que (e1, e01) = 1,


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2.3. CLASSIFICATION DES2FORMES EXTRIEURES 45

2. si dim E est strictement suprieur 2, lespace E est somme directe

E = H1 K,

avec H1 = V ect (e1, e01) et est nulle sur le sous espace K qui est iciH2.

Si est non nulle sur H2, le mme raisonnement permet de voir quonpeut trouver deux vecteurs e2, e02 H2 tels que (e2, e02) = 1, et dans ces con-ditions la matrice par rapport la base (e2, e02) de la restriction de au sousespace vectoriel V ect (e2, e02) vaut S. Un raisonnement par rcurrence sur ladimension de E, permet de montrer quil existe 2p vecteurs indpendants

e1, e01, e2, e

02, . . . , ep, e

0p

tels que :(e1, e

01) = . . . = (ep, e

0p) = 1,

et lespace E scrit :

E = H1 H2 . . .Hp K

avec Hi = V ect (ei, e0i) . et est nulle sur le sous espace K dans le cas o ladimension de E est strictement suprieure 2p..

Compltons le systme e1, e01, e2, e02, . . . , ep, e0p en une base

B =

e1, e01, e2, e

02, . . . , ep, e

0p, w2p+1, . . . , wn

de E, et la matrice de par rapport cette base scrit :

M(,B) =

S1. . .

Sp0

. .. 0

(2.1)

avec

S1 = . . . = Sp = S =

0 11 0

.


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Dsignons 1, 01, . . . , p, 0p, 2p+1, . . . , n la base duale de B,cest dire

i (ej) = ij,

i e0j = 0 et i (wj) = 00i (ej) = 0, 0i

e0j

= ij et

0i (wj) = 0

i (ej) = 0, i

e0j

= 0 et i (wj ) = ij.

Thorme 2.1 Dans les hypothses et notations ci-dessus, les propritssuivantes sont quivalentes :

1. Il existe2p formes linaires indpendantes1, 01, . . . p0p sur lespace

E telles que : = 1 01 + . . . + p 0p.

2. La forme extrieure est de rang 2p :

rg = 2p.

Corollaire 2.1 Soit A M(n,K) une matrice antisymtrique dordre 2p.Alors il existe une matrice P dordre n inversible telle que tP AP est lamatrice 5.3.

Corollaire 2.2 Dans les hypothses et notations ci-dessus, les propritssuivantes sont quivalentes :

1. La2

forme extrieure est non dgnre

2. rg = dim E = 2p ( est de rang maximum).

Dfinition 2.1 Deux formes extrieures1 et2 sur un espaces vectorielEseront dites quivalentes, et on crit 1 2, sil existe un automorphismeu deE tel que 1 = u2.

Il est clair que dfinit une relation dquivalence sur lensemble V2 E.Soient B0 une base quelconque de E, A (resp. B (resp. U)) la matrice

de 1 (resp. 2 (resp. u)) dans cette base.On a donc,

1(x, y) =tXAY et 2(x, y) = tX BY

pour tous x, y E, comme au dbut du chapitre, on dsigne par X et Yles matrices colonnes des vecteurs x et y dans la base B0. Et la relation1 = u2 donne

A = tUBU.

On a donc montr la :


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2.3. CLASSIFICATION DES2FORMES EXTRIEURES 47

Proposition 2.2 Deux 2

formes extrieures 1 et2 sur un espace vecto-

riel E de dimension n sont quivalentes si et seulement si, leurs matricesrespectives A etB par rapport une base donne vrifient :

A = tU BU

oU est une matrice inversible dordre n.

Proposition 2.3 Soit une 2forme extrieure de rang 2p sur un espacevectorielE de dimensionn, alors elle est quivalentes la forme extrieure

0 = 1 01 + . . . + p 0p.

o(1

, 01

, . . . , p

, 0p

, 2p+1

, . . . , n

) est une basefixe de lespace dualE

,et dans ces conditions, il existe une matrice Q dordre n inversible telle que:

tQM(,B) Q =

S1. . .

Sp0

. . .0

avec

S1 = . . . = Sp = S =

0 11 0

.

On dsigne par A la matrice de la 2forme extrieure dans la base B(A = M(,B) , si A est de rang maximum 2n, le dterminant de la matriceQ est appel Pfaffien de A et est not P f(A) :

P f(A) = det Q.

Par convention, le Pfaffien de A est nul, si le rang de la 2forme extrieure est infrieure strictement la dimension de E (rg < dim E) : P f(A) = 0.

On dduit le :

Corollaire 2.3 Deux 2formes extrieures1 et2 sur un espace vectorielE de dimensionfinie sont quivalentes si et seulement si, elles ont le mmerang :

rg1 = rg2


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2.4 Espaces vectoriels symplectiques

2.4.1 Dfinitions

Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur K. Une forme symplec-tique sur E est une 2forme extrieure non dgnre. Un espace vectorielsymplectique, est un couple (E, ) dans lequel E est un espace vectoriel dedimension paire 2n, et est une forme symplectique.

Soit (E, ) un espace vectoriel symplectique de dimension 2n. La base

B =

e1, e01, e2, e

02, . . . , en, e

0n

de E, dans laquelle la matrice de scrit :

M(,B) =

S 0 0...

. . . . . .0 . . . S

avec

S =

0 11 0

.

est appel base symplectique de E.

Dans la base duale n1,

01, . . . , n, 0no de la base symplectique de E,la 2forme extrieure scrit : = 1 01 + . . . + n 0n

Proposition 2.4 SoitE un espace vectoriel de dimensionfinie et V2 Eune 2forme extrieure sur E. Alors les proprits suivantes sont quiva-lentes :

1. rg = 2p,

2. p 6= 0 et p+1 = 0

Dmonstration. Cette proposition rsulte de la relation suivante :

p = p!1 01 . . . p 0p = p!

pour = 1 01 + . . . + p 0p.


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2.4. ESPACES VECTORIELS SYMPLECTIQUES 49

2.4.2 Exemples

1. Dans le cas o la 2forme extrieure est quelconque (non ncessaire-ment non dgnre). on dfinit une 2forme extrieure sur lespacevectoriel quotient E = E

A() , par :

(x + A () , y + A ()) = (x, y)

pour tous x, y E.La 2forme extrieure est non dgnre, et par consquent elledfinit une structure symplectique sur lespace vectoriel E.

2. On dfinit galemnt une structure symplectique naturelle sur le produit

de deux espaces vectoriels symplectiques comme suit :Soient (E1, 1) et (E2, 2) deux espaces vectoriels symplectiques,

p1 : E1 E2 E1 et p2 : E1 E2 E2les projections canoniques. Considrons la 2forme extrieure V

2 (E1 E2) dfinie par :

= p11 +p22.

On vrifie aisment que la 2forme extrieure = p11 +p22 dfinitune structure symplectique sur lespace vectoriel produit E1 E 2.

2.4.3 Sous espaces dun espace vectoriel symplectique

Soient (E, ) un espace vectoriel symplectique et H un sous espace vectorielde E.

Dsignons par H la restriction de au sous espace H. videmment ona :

A (H) = {x H | i (x) H = 0} = HH,par consquent on a :

rg(H) = dim H dim

HH

,

et si la 2forme est non dgnre, alors cette relation montre quon aaussi A (H) = H H puisque H = H, et comme on a dim H =dim E dim H, on dduit la relation :

rg(H) rg(H) = 2dim H dim E.Donnons ici les dfinitions suivantes :


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1. On dit que Hest un sous espace vectoriel symplectique (ou non isotrope)

si, (H, H) est un espace vectoriel symplectique.2. On dit que H est isotrope si HH 6= (0) .3. On dit que H est totalement isotrope si H H.4. On dit que H est cosotrope si H H.5. On dit que Hest lagrangien si Hest un sous espace totalement isotrope

maximal (ici la relation dordre considre est linclusion).

On dduit la

Proposition 2.5 On a les proprits suivantes :

1. H est un sous espace symplectique si et seulement si, HH = (0) , .siet seulement siH est non dgnre, si et seulement si, E = HH.

2. H est un sous espace isotrope si et seulement si, H est dgnre.

3. H est un sous espace totalement isotrope si et seulement si, H estnulle.

Dfinition 2.2 Soit E un espace vectoriel de dimension paire 2n. On ap-pelle polarisation relle un couple (, L) dans lequel est une forme sym-plectique et L est un sous espace lagrangien.

Proposition 2.6 Soit L un sous espace vectoriel deE. les proprits suiv-antes sont quivalentes :

1. L est lagrangien,

2. L = L

Dmonstration. Si L est contenu strictement dans L , alors il existe unlment a de EL tel que (a, y) = 0 pour tout y L. Soit L0 = LKa .On a videmment L L0 . Soit z = x + a L0 , avec x L et K .On a

(z, z

0

) = (x + a,x

0

+

0

a) = (x, x

0

) + (x, a) +

0

(a, x

0

) = 0pour tous z0 = x0 + 0a appartenant L0 (x0 L et 0 K), et, donc,z L0 . Do L0 L0 , ceci contredit le fait que L est un sous-espacetotalement isotrope maximal, ce qui montre 1 = 2. Limplication 2 = 1est immdiate.

Il rsulte aussitt de lgalit dim L = dim E dim L, le


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2.4. ESPACES VECTORIELS SYMPLECTIQUES 51

Corollaire 2.4 Pour quun sous espace totalement isotrope L de E soit

lagrangien, il est ncessaire et suffisant que dim L = n = 12 dim E.

On sait que lisomorphisme b : x 7 i (x) , de E sur E, transformeL sur Ann (L) , et si L est lagrangien, alors b (L) = b

L

= Ann (L) ,et on particulier dim(Ann (L)) = n = 12 dim E

Proposition 2.7 Soit (, L) une polarisation relle surE. Alors toute base1, . . . , n de lannulateur Ann (L) de L, peut tre complte en une base1, . . . , n, 01, . . . , 0n deE telle que :

= 1 01 + . . . + n 0n.

Dmonstration. Soient 1, . . . , n une base de lannulateur Ann (L) , quelon complte en une base 1, . . . , n, 1, . . . , n de E, {u1, . . . , un , v1, . . . , vn}la base de E dont la base duale est 1, . . . , n, 1, . . . , n.

Il est clair que le sous espace L est dfini par les quations 1 = 0, . . . , n =0, et dans ces notations on a L = V ect (v1, . . . , vn) .

La 2forme scrit : =

X1ii aijj +

Pni=1 bij

j

.

La famille

1, . . . , n, 01, . . . , 0n

est une base de E dans laquelle la2-forme scrit

=nX

i=1

i 0i,

Et la proposition est dmontre.

2.4.4 Endomorphisme adjoint

Soient E un espace vectoriel de dimension 2n muni dune structure sym-plectique . Rappelons que lapplication b : x 7 i (x) dfinit un isomor-phisme de E sur son espace dual E.


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Soit u un endomorphisme de E.

Pour chaque t E, il existe un unique t0 E tel que (tu b)(t) =b(t0), la correspondance t 7 t0 permet de dfinir une application de Edans lui mme, note uT , telle que pour tous t et x appartenant E, onait :

(t, u(x)) = (uT(t), x).

On dduit que pour tous u, v End(E) on a les proprits suivantes :1. (t, u(x)) = (uT(t), x) pour tous t, x E,2. lapplication uT est linaire,3. (u + v)T = uT + vT , (u)T = uT,4. (u v)T = vT uT , uT T = u , (idE)T = idE ,5. si u

GL(E) alors uT

GL(E) et lon a (uT)1 = (u1)T.

Lendomorphisme uT est appel endomorphisme adjoint de u .

2.5 Les groupes Sp (E, ) et Sp (1, n : E)

Soit Eun espace vectoriel de dimension 2n sur un corps commutatifK, munidune structure symplectique .

On sait quil existe une base e1, e01, . . . , en, e0n de E telle que, par rapport

sa base duale e1, e01, . . . , en, e0n, la 2forme extrieure scrit : = e1 e01 + . . . + en e0n,

Un endomorphisme u de E est dit symplectique sil conserve la structuresymplectique , cest dire que lon a :

u = ,

et, donc,un = (u)n = n.

On dduit alors la relation suivante :

ue1 ue01 . . . uen ue0n = e1 e01 . . . en e0n,par consquent on a det u = 1, ce qui montre que u est inversible, on a donc

montr la :Proposition 2.8 Si un endomorphisme u dun espace vectoriel symplec-tique(E, ) conserve la forme symplectique , alorsu est inversible, de plusson endomorphisme adjoint est donn par :

uT = u1.


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2.5. LES GROUPESSP (E, ) ETSP (1, N : E) 53

Dmonstration. Le premier point est dmontr, quant au second, on a :

(x, y) = (u(x), u(y)) =

uT (u(x)) , y

,

pour tous x, y E, donc uT u = idE, par suite uT = u1.On dit quun automorphisme u de E est symplectique, sil laisse invari-

ante la 2forme extrieure , autrement dit, pour tous x, y E, on ait(u(x), u(y)) = (x, y).

Les automorphismes de E qui conservent la forme symplectique formentun sous groupe du groupe linaire GL (E) , appel groupe symplectique de(E, ) et est not Sp(E, ).

Pour simplifier les calculs, on ordonne la base symplectique comme suit:

Bs =

e1, e2, . . . , en, e01, e

02, . . . e

0n

,

et dans ces notations on a :

M(,Bs) = J =

0 InIn 0

.

Pa suite, si U dsigne la matrice dun automorphisme symplectique u parrapport la base Bs, alors on a :

t

UJU = J.Notons par Sp (n,K) le groupe des matrices des automorphismes symplec-tiques de E par .rapport la base Bs. Ainsi, une matrice carre

A CB D

,

avec A,B,Cet D sont des matrices n n coefficients dans le corps K, estdans le groupe Sp (n,K) , si et seulement si,

1. tAD tBC = In,

2. tAB et tCD sont des matrices symtriques.

Soit maintenant (, L) une polarisation relle sur E, cest dire, uneforme symplectique et L est un sous espace lagrangien. On sait quil ex-iste une base Bs = ( e1, . . . en, e01, . . . , e

0n) de E telle que si on dnote par

e1, . . . , en, e01, . . . , e0n, sa base duale, on a :


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(a) le sous espace L est engendr par les vecteurs e1, . . . en.

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Cours de Geometrie Differentielle

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