Guia Biometria Actuarial

8/18/2019 Guia Biometria Actuarial

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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Facultad de Ciencias Económicas

Biometría Actuarial

Guía de Trabajos Prácticos N° 1

Cátedra: Alberto A. Saenz.

Profesor: Daniel A. Sarto.

Autor: Pablo F. Nuñez.

Ayudantes

Soledad Benyakar,

:

Pablo Caviezel,

Alejandro Sorbello.



Biometría Actuarial 2

Índice

T.P. N° 1: Funciones Biométricas

......................................................................................... 3

T.P. N° 2: Introducción a los Modelos Biométricos ........................................................... 11

T.P. N° 3: Supuestos Fraccionarios

.................................................................................... 13

T.P. N° 4: Diagrama de Lexis

............................................................................................. 18

T.P. N° 5: Modelos de Decremento Múltiple ...................................................................... 21

T.P. N° 6: Modelos de Invalidez SIN Rehabilitación

.......................................................... 29

T.P. N° 7: Modelos de Invalidez CON Rehabilitación ........................................................ 34

T.P. N° 8: Tablas Selectas

................................................................................................... 38

Apéndice N° 1: Equivalencia de Notación .......................................................................... 40

Apéndice N° 2: Tabla de Mortalidad CSO-80 Masculina

.................................................. 41

Apéndice N° 3: Diagrama de Lexis ..................................................................................... 42

Apéndice N° 4: Resultados

.................................................................................................. 43

Trabajo Práctico N° 1 .............................................................................................................. 43


Trabajo Práctico N° 3

.............................................................................................................. 46Trabajo Práctico N° 4 .............................................................................................................. 47








T.P. N° 1: Funciones Biométricas

Ejercicio 1. Hallar los valores pedidos a partir de los datos dados:

a)

p(63;6) dado:• q(65;0;1) = 0,033.

• q(63;0;2) = 0,025.

• q(66;0;3) = 0,048.

b) p(41;5) dado:

• q(41;5;5) = 0,020685.

• q(46;0;5) = 0,021000.

c) q(42;5:10) dado:

• p(42;15) = 0,7.

•

p(47;3) = 0,9.

• p(42;8) = 0,81.

d) p(31;10) dado:

• p(31;20) = 0,95.

• q(31;10;15) = 0,0395.

• p(51;5) = 0,99.

e) q(37;0;5) dado:

• q(37;0;2) = 0,01.

• q(39;0;3) = 0,02.

f) q(30;15;55) si w=100:

• q(20;0;10) = 0,0125.

• q(20;0;25) = 0,0465.

Ejercicio 2. Obtener l(20), d(20), q(20;0;1), p(20;3), q(20;0;5), q(20;10;5), d(22;3;3), d(25;0;3) si se supone

lo siguiente:

a)

2x

l(x) 50 x 10.0002

= − − ⋅ +

b) l(x) CSO-1980 Hombres.

Ejercicio 3. Conociendo que:

• l(43) = 6.840.

• d(40;1;2) = 2.660.

• p(41;1) = 0,9.

• q(40;1;1) = 0,095.

Obtener:

a) Población existente con 40 años.

b) Total de fallecidos entre los 42 y 43 años.

c)

Probabilidad de que un persona con 40 llegue con vida a los 42 años.

d) Número esperado de personas con 40 años que alcanzan con vida los 43 y su varianza.




Ejercicio 4. Llenar el siguiente cuadro realizando las correspondientes deducciones:

Vida Media Abreviada Expresión Inicial Expresión Final

e(x;0;w-x)

e(x;0;n)

e(x;n;w-x-n)

e(x;n;m)

e(x;n;m-n)

Ejercicio 5. Dado el siguiente cuadro:

Edad (x) l(x) p(x;1) d(x;0;1)

50 1.250

51 5.000

52 4.750 0,9

53

54 3.420

Determinar el número esperado de fallecidos entre las edades 50 y 54 y su varianza.

Ejercicio 6. Siendo:

•

e(80;0;20) = 10.

• p(80;1) = 0,99.

Obtener e(81;0;19) si se sabe que nadie llega con vida a la edad 100.

Ejercicio 7. A partir de los siguientes datos:

• e(5;1;14) = 13,1.

• e(5;15;w-20) = 56.

• e(5;0;w-5) = 70.

Obtener e(5;0;1).

Ejercicio 8. Demostrar que la vida media completa calculada en el campo continuo si es resuelta por una

aproximación numérica “trapecios generalizados” es igual a la vida media completa en el

campo discreto.

• campo continuo: ec(x;0;w-x) =

w x

0

p(x; t)dt

−

∫ .

• campo discreto: ec(x;0;w-x) =w x

s 1

1 p(x;s)

2

−

=

+ ∑ .




Ejercicio 9. Si:

µ(x) = a (una constante) 0 < x < w

Hallar:

a)

q(20;2;3).

b) q(35;2;3).

c) ec(x;0;w-x).

Ejercicio 10. Demostrar que:

[ ] [ ]2

2

2

d d (x) (x) si l(x) 0

dx dxµ > µ >

Ejercicio 11.

Partiendo de la definición de ec(x;0;w-x) =

w x

0

t p( x; t ) (x t )dt

−

⋅ ⋅µ +∫ (campo continuo) completar

el siguiente cuadro:

Vida Media Completa Expresión Inicial Expresión Final

ec(x;0;w-x)

ec(x;0;n)

ec(x;n;w-x-n)

ec(x;n;m)

ec(x;n;m-n)

Ejercicio 12. Si µ(x+t) =1

100 x t− − para 0 ≤ t < 100-x, se pide:

a) ec(x;0;w-x)

b) q(x;0;n)

c) q(x;m;n)

d) varianza de la variable aleatoria del punto a).

e)

mediana

Ejercicio 13. Una persona de 35 años debe trabajar durante un año en un país que se encuentra en guerra, por

lo tanto, a su probabilidad normal de fallecimiento entre 35 y 36 años que es igual a 0,01 se

le agrega un riesgo nuevo que puede ser expresado como:

a) un aumento en 0,04 unidades en la tasa instantánea de mortalidad.

b) un aumento en 25% en la tasa instantánea de mortalidad.

Encontrar para cada caso la probabilidad de que dicha persona sobreviva entre los 35 y 36 años

teniendo en cuenta el riesgo nuevo.

c) en qué porcentaje debería aumentar la tasa instantánea de mortalidad para obtener una probabilidad

de sobrevivir entre los 35 y 36 años sea igual a 0,98.




Ejercicio 14. Considerando que:

emf(x;0;n) =

n

0

n

0

t l(x t) (x t)dt

l(x t) (x t)dt

⋅ + ⋅µ +

+ ⋅ µ +

∫

∫

Demostrar que:

a) emf(x;0;n) =T(x) T(x n) n l(x n)

d(x;0;n)

− + − ⋅ +

b) L(x) – l(x+1) = ( ) ( )emf x;0;1 d x⋅

Ejercicio 15. Probar que:

ec(x;n;m-n) = T(x n) T(x m)l(x)

+ − +

Ejercicio 16. Conociendo:

• p(66;1) = 0,97784.

• m(66;0;1) = 0,0224082.

Obtener ec(6;0;1).

Ejercicio 17. Sean:

• p(7;1) = 0,9996301.

• ec(7;0;1) = 0,99981725.

Obtener emf(7;0;1).


l(x) ≥ L(x) ≥ l(x+1) i(x;0;1) ≥ m(x;0;1) ≥ q(x;0;1)

Ejercicio 19. Dados los siguientes datos:

• ec(5;1;14) = 13,865.

• p(5;1) = 0,99963.

• ec(5;15;w-20) = 55,13518275.

• emf(5;0;1) = 0,50608.

Hallar emf(5;0;w-5).


i(x;0;t) =t

w x t− − para 0 ≤ t < w-x

Verificar que emf(x;0;1) = 0,5.





[ ] [ ]d

q(x;0;t) = p(x;t) (x t) (x)dx

⋅ µ + − µ

Ejercicio 22. Sabiendo que:

• emf(60;0;20) = 10.

• d(58;2;20) = 50.

• T(60) = 3000.

• T(80) = 1800.

Determinar i(60;0;20).

Ejercicio 23. Corroborar las leyes de congruencia del régimen financiero para el régimen biométrico:

a) i - d = i*d.

b) i/d = 1+i.

c) d/i = v = 1-d (v = factor de actualización financiero).


i(x;0;n) = i(x;0;n-1) * p-1

(x+n-1;1) + i(x+n-1;0;1):

Ejercicio 25. Supongamos una nueva tasa instantánea de mortalidad (µ’ (x)) que es igual al doble de la

anterior.

a) Demostrar que q’(x;0;1) ≥ q(x;0;1).

b) Demostrar que q’(x;0;1) = 2q(x;0;1) sólo cuando q(x;0;1) = 0.

Ejercicio 26. Considerando que:

p(x;t) =*−c t

e c > 0 t > 0

Se pide:

a) E[T(x)].

b) VAR[T(x)].

c) Mediana [T(x)].

Ejercicio 27. A partir de:

• emf(15;0;1) = 0,5.

• m(15;0;1) =2

99.

Encontrar ec(15;0;1).





•

d

dx− L(55) = 20.

• L(55) =110.

Hallar m(55;0;1).

Ejercicio 29. Dado:

•

d

dx− L(37) = 50.

•

d

dx− T(38) = 1500.

• L(37) = 1480.

Obtener ec(37;0;1).

Ejercicio 30.

Demostrar que:

µ(x+1) * p(x;1) > µ(x) es condición suficiente pero no necesaria para que m(x;0;1) sea creciente.

Ejercicio 31. Si:

•

d

dx− ec(57;0;1) = 0,01.

• p(57;1) = 0,98.

• ec(57;0;1) = 0,995.

Encontrar µ(57).


• T(x) = k*e-0,02*x

.

Encontrar una expresión para µ(x) sin k.

Ejercicio 33. Si µ(x) =

x

x

A C

1 B C

⋅

+ ⋅

Obtener el modo de la distribución de la variable aleatoria “edad al fallecimiento” para un recién nacido.

Ejercicio 34. Dado:

µ(x) =3 10

100 x 250 x−

− −

para 40 ≤ t < 100.

¿A qué edad tiene mayor probabilidad de fallecer un recién nacido teniendo en cuanta la mortalidad dada?

Ejercicio 35. Dado:

q(0;x;1) =2

3 xx 0,01

125 5000⋅ − + para x= 0,1,2… …, w-1.

Obtener el modo de la distribución de la variable aleatoria “edad al fallecimiento” para un recién nacido.




Ejercicio 36. Sean:

• Mediana [T(76)] = 10.

• q(77;0;9) = 49 .

•

d

dx−

[ln(L(76))] = 219 .

Calcular ec(76;0;1).

Ejercicio 37. Dado:

• emf (47;0;1) = 0,6.

• m(47;0;1) = 0,01.

Hallar ec(47;0;1) sin hacer supuestos adicionales.

Ejercicio 38. Obtener m(x;0;1), si:

•

( )( )1

d d p(x; t) ln T x t

dt dx

− ⋅ + = 1-

2t

w x−

para 0 ≤ t < 1.

Ejercicio 39. Si:

• p(x;t) =2

t1

w x

− −

para 0 ≤ t < w-x.

Obtener la varianza de la variable aleatoria “tiempo que media al fallecimiento” para una persona de 20

años si se sabe que le esperanza es igual a 30 (ambas inmediatas e ilimitadas).

Ejercicio 40. Si:

• q(77;8;1) = 0,54.

• E[T(75)] = 10,5.

• E[T(76)] = 10.

• E[T(77)] = 9,5.

Siendo T(x) la variable aleatoria tiempo que media al fallecimiento (tomada en forma abreviada, inmediata

e ilimitada) se pide obtener el modo de dicha variable para la edad 75.

Ejercicio 41.

La media de la variable aleatoria “cantidad de personas de edad x que llegan con vida a la edad

x+n” es igual a 80 y la probabilidad de que esto suceda es 0,07417315. ¿Cuál es la

probabilidad de que sobreviva una persona más que el modo de dicha variable.

Ejercicio 42. Responder a las siguientes preguntas conceptuales:

a) ¿Cuál es el dominio de la variable aleatoria asociada a ec(x;h;n)?.

b) Explique conceptualmente por qué e(x;0;n) =n

t 1

p(x; t)=

∑ .

c) ¿Cuál sería la expresión para el cálculo de la mediana de la variable aleatoria “cantidad de

personas de edad x que llegarán con vida a la edad x+1”?

d) Expresar emf(x;0;1) en forma discreta y abreviada.




Ejercicio 43. Hallar µ(65) sabiendo que:

•

d

dxec(65;10;5) = 0,048.

•

d

dnec(65;0;10) = 0,62.

•

d

dxec(65;0;10) = 0,0328.

• Mediana [T(65)] = 15.

• Edad Media al fallecimiento inmediata y limitada por 15 años para una persona de 65 años es

igual a 77,1.

Ejercicio 44. Una persona está expuesta a un riesgo extra que se mide sobre la tasa instantánea de mortalidad

sólo para las edades mayores a 25 y es igual ax 25

2000

−. La probabilidad de que una persona de

15 años, que no está expuesta al riesgo extra, fallezca en los próximos 50 años es 0,2. Calcular

esta misma probabilidad para una persona que sí está expuesta al riesgo extra.




T.P. N° 2: Introducción a los Modelos Biométricos

Nota: en todos los casos considere, la variable aleatoria, X = edad al fallecimiento para un recién nacido.

Ejercicio 1.

Completar el siguiente cuadro expresando las funciones de las filas en función únicamente de lasfunciones de cada columna.

f(x) S(x) F(x) µ(x)

f(x)

S(x)

F(x)

µ(x)

Ejercicio 2. Dado:

f(t) =

121 t

1200 100

− −

para 0 ≤ t ≤ 100.

Se pide hallar:

a) S (75).

b) µ (50).

c) F (64).

d) E [X].

e) VAR [X].

f) MED [X].

Ejercicio 3. Hallar el modo de la distribución de la variable aleatoria “Edad al fallecimiento para un recién

nacido” sabiendo que la tasa instantánea presenta la forma lineal bax

+.

Ejercicio 4. Se sabe que la probabilidad de que un recién nacido fallezca a partir de la edad “x” es igual a:

2a x b⋅ +

para 0 ≤ t ≤ w.

Hallar la mediana de la variable aleatoria “edad al fallecimiento para un recién nacido”, sabiendo que la

media es 60.

Ejercicio 5. Teniendo en cuenta que el tiempo que media al fallecimiento para una persona está distribuido

uniformemente entre 1 y 11 años ¿Cuál es la media y el desvío estándar de la variable

aleatoria tiempo que media al fallecimiento?.

Ejercicio 6. Se sabe que la variable aleatoria “edad al fallecimiento para un recién nacido” tiene una función

de densidad exponencial con parámetro igual a 0,0125; se pide:

a) µ (x).

b) f (18).

c) F (35).

d) E [X].

e) VAR [X].

f) MED [X].

Ejercicio 7. Hallar expresiones no condicionadas para las siguientes funciones truncadas inferiormente:

a) f (x / X > Y).

b) F (x / X > Y).

c) S (x / X > Y).

d) µ (x / X > Y).

e) E [X / X > Y].




Ejercicio 8. Obtener expresiones no condicionadas para las siguientes funciones truncadas superiormente:

a) f (x / X < z).

b) F (x / X < z).

c) S (x / X < z).

d) µ (x / X < z).

e) E [x / X < z].

Ejercicio 9. Expresar en forma no condicionada las siguientes funciones truncadas inferior y superiormente:

a) f (x / y < X < z).

b) F (x / y < X < z).

c) S (x / y < X < z).

d) µ (x / y < X < z).

e) E [x / y < X < z].

Ejercicio 10. Expresar en probabilidades condicionales, utilizando la variable aleatoria “X” edad al

fallecimiento, las siguientes expresiones:

a) F (x / X > y).

b) S (x / X > y).

c) F (x / X < z).

d) S (x / X < z).

e) F (x / y < X < z).

f) S (x / y < X < z).

Ejercicio 11.

Dado:

• Distribución exponencial de fallecidos.

• λ = 0,015.

Se pide hallar la mediana del tiempo que media al fallecimiento para un recién nacido que se sabe que

fallecerá entre los 7 y 14 años.

Ejercicio 12. Si:

F(x) =

2x

100

para 0 ≤ x ≤ 100.

Se pide hallar la media y varianza del tiempo que media al fallecimiento para una persona que se sabesobrevivió hasta la mediana.

Ejercicio 13. Hallar el modo de la distribución de la variable aleatoria “edad al fallecimiento no

condicionada”:

x

f (x) 1

S(x) 1 2000 1,08−=

+ ⋅

Ejercicio 14. Relacionar el valor esperado de la variable aleatoria “edad al fallecimiento truncada inferior y

superiormente” con una vida media completa de similares características y expresar una de

ellas en función de la otra.

Ejercicio 15. Se pide calcular E [X / 15 < X< k] sabiendo que:

• Probabilidad [x < X < k/ 15 < X< k] = α - βx2.

• Mediana [X /15 < X< k] = 60.




T.P. N° 3: Supuestos Fraccionarios

Ejercicio 1. Completar el siguiente cuadro realizando las deducciones correspondientes:

Función D.U.F. Balducci Exponencial

q (x;0;t)

d (x;0;t)

p (x;t)

p (x+t;1-t)

q (x+t;0;1-t)

l (x+t)

d (x+t;0;1-t)

q (x+t;0;1-s)

L (x)

µ (x+t)

ec (x;0;w-x)

m (x;0;1)

d (x+t;0;1-s)

Ejercicio 2. Conociendo que:

• q (x;0;1) =(x t)

1 t (x t)

µ ++ ⋅µ +

para 0 ≤ t ≤ 1.

• i (62;0;1) =1

99.

Obtener q (62,1;0;0,8).


•

µ (x+t) = i(x;0;1)1 t i(x;0;1)+ ⋅

para 0 ≤ t ≤ 1.

Determinar qué supuesto se ha realizado.

Ejercicio 4. Analizar la función µ (x+t) para 0 ≤ t ≤ 1, bajo los supuestos de D.U.F. y Balducci:

• Graficar para q (x;0;1) = 0,01.

Ejercicio 5. Si ln[p(42+t;1-t)] = 0,002.(t-1) para 0 ≤ t ≤ 1, calcular:

a) q (42;0;1).

b) q (42,75;0;0,15).

c) q (42+k;0;3

8 ) siendo 0 ≤ k < 5

8 .




Ejercicio 6. Demostrar que l (x+t), asumiendo la hipótesis de Balducci, es una fórmula de interpolación

lineal inversa:

• l (x+t) =( )

( )

1

t 11-t

l x 1 l(x)

−

+ +


• l (27+ 16

) = 500.

• l (27+t) =( )

3

2

k

1 t+ para 0 ≤ t ≤ 1.

Hallar l (27+ 56

) sin obtener el valor de k.

Ejercicio 8. Partiendo de:

•

1-p (63,2; 13

) = 0,6.q (63,1;0;

23

).

Encontrar C (constante) siendo:

• q (63+k;0;0,1) = C

para 0 ≤ k < 0,9.

Ejercicio 9. Sea:

• µ (12 + t) = 0,02 para 0 ≤ t ≤ 1.

Hallar emf (12;0;1).

Ejercicio 10. Dado:

• p (23;1) = 0,97.

•

d

dtµ (x+t) < 0 para 0 ≤ t ≤ 1.

Se pide: emf (23;0;1).

Ejercicio 11. Dado:

• q (63,8;0;0,6) = 34

.q (63,6;0;0,8).

• L(63) =l(63) 0,97 ln(0,97)

0,03

− ⋅ ⋅.

Obtener q (64;0;1) si se supone Balducci.

Ejercicio 12. Supongamos que µ (x+t) es una función lineal para 0 ≤ t ≤ 1.

• p (31;

15

) = ( ) 1

42 p 31;5

.

• p (31;1) = 0,3e− .

Hallar µ (31; 34

).




Ejercicio 13. Considerando los siguientes datos:

• q (33;0;

15

) = 0,2.

•

q (33+t;0;

15 - t) es lineal para 0 ≤ t ≤

15 .

Encontrar q (33;0;0,1).

Ejercicio 14. Sean:

• q (31+ 14

;0;

58

) = 0,02.

• q (31+t;0;

78

- t) es lineal para 0 ≤ t ≤ 78

.

Encontrar q (31;0;

18

).

Ejercicio 15.

A partir de los siguientes datos:

• L (64) = 950.

• d (64) = 100.

• D.U.F. para 0 ≤ t ≤ 1.

Hallar q (64;0;1) sin obtener l (64).

Ejercicio 16. Si:

• i (x;0;t) =c t

1 c t

⋅− ⋅

para 0 ≤ t ≤ 1.

Calcular µ (x+ 12

) en función de c.

Ejercicio 17. Dados:

• Suponiendo D.U.F. para 0 ≤ t ≤ 1.

• m (50;0;1) = 0, 2

.

Calcular q (50,2;0; 0,5).


•

l (30) = 500.

• d (30) = 50.

Calcular d (30,25;0;

13

) si:

a) Suponemos D.U.F. para 0 ≤ t ≤ 1.

b) Suponemos Balducci para 0 ≤ t ≤ 1.

c) Suponemos µ constante para 0 ≤ t ≤ 1.




Ejercicio 19. Se tiene:

• q (40;0;

14

) = 0,01.

Hallar q (40+ 57

;0; 14

) para 0 ≤ t ≤ 1, suponiendo:

a)

D.U.F..

b) Balducci.

c) µ constante.

Ejercicio 20. Suponiendo q(x;0;1) = 0,01, demostrar que q Balducci (x;0;t) ≥ q D.U.F. (x;0;t) para 0 ≤ t ≤ 1.

Ejercicio 21. Si:

• q (41;0;1) = 0,02.

Hallar el valor de t que hace que la diferencia entre q(x;0;t) suponiendo Balducci y D.U.F. sea máxima

para 0 ≤ t ≤ 1.


•

d

dt− l (44+t) = 100.

• m (44;0;1) = 0,02.

Encontrar, para 0 ≤ t ≤ 1, l (44) suponiendo D.U.F..

Ejercicio 23. Si:

• p (23;1) = 0,98.

• q (23+t;0;1-t) = 0,001.

Hallar el valor de t suponiendo D.U.F. (0 ≤ t ≤ 1).

Ejercicio 24. Dados:

• q (12+ t2

;0;1-t) = 0,002.

• p (12;1) = 0,97.

Calcular el valor de t suponiendo D.U.F. (0 ≤ t ≤ 1).


• q (37+ s3

;0; 1- s2

) = 0,0015.

• µ (37+t) p(37+t;1-t) = 0,011. (0 ≤ t ≤ 1)

Se pide el valor de s suponiendo Balducci.


• µ (37,4) = 0,0015.

Obtener:

a)

q (37,4;0;0,5) si se supone D.U.F..

b) q (37,3;0;0,1) si se supone Balducci.




Ejercicio 27. Deducir una expresión compacta para L(x) sabiendo que se tiene una tabla de mortalidad con

edades cada medio año; aplique distribución uniforme cuando lo considere necesario.

Ejercicio 28. Se sabe que:

• l (x) varía en forma exponencial con un exponente lineal.

•

m (x;0;3) = 0,03.

Hallar q(x;0;3).

Ejercicio 29. Demostrar que q (x;h;t) no es función de h bajo la hipótesis D.U.F. para todo h+t entre 0 y1.


• p (31;

45

) = 0,95.

• q (31;

25

;

35

) = 0,0395.

• q (31+

45

;0; 15

) = 0,01.

Hallar ec (31;0;1) con la mayor exactitud posible aplicando distribución uniforme de fallecidos cuando

lo considere necesario.




T.P. N° 4: Diagrama de Lexis

Ejercicio 1. Se tienen los siguientes datos:

a)

Edad al 1/1/97 34+

3

4 y fallece el 1/7/98.

b) Edad al 1/1/97 34+ 3

4 y egresa el 1/1/99.

c) Edad al 1/1/97 35+ 12 y se va el 1/10/98.

d) Edad al 1/1/97 35+ 12 y fallece el 1/10/99.

e) Ingresa el 1/7/98 con 35+ 12 y fallece el 1/10/98.

f) Ingresa el 1/7/98 con 36+ 14 y fallece el 1/10/99.

g)

Ingresa el 1/7/98 con 36 y egresa el 1/7/99.

h) Ingresa el 1/1/99 con 36+ 3

4 y muere el 1/10/99.

Graficar en un Diagrama de Lexis.

Ejercicio 2. En una compañía de seguros se desea analizar el período que va desde el 1/1/96 al 1/1/98 y las

edades en cuestión son 41 y 42 años, por otro lado, se poseen los siguientes datos de los

asegurados:

a) 100 personas el 1/1/97 con 40 + 23 .

b) 50 personas el 1/1/96 con 41 + 13 (mueren todos el día de su cumpleaños a la misma edad).

c) 50 personas el 1/1/96 con 42 + 13 .

Ingresos:

d) 10 personas el 1/7/96 con 41.

e) 30 personas el 1/5/96 con 41 + 23 .

f) 10 personas el 1/9/97 con 41 + 23 .

g) 20 personas el 1/5/96 con 42 + 13 .

h) 20 personas el 1/9/97 con 41.

Egresos:

i) 5 personas el 1/7/97 con 42.

j) 10 personas el 1/1/97 con 42 + 13 .

Fallecimientos:

k) 50 personas el 1/9/97 con 43.

l) 10 personas el 1/9/97 con 41 + 13 .




m) 20 personas el 1/5/97 con 42 + 23 .

n) 50 personas el 1/5/97 con 43 + 23 .

o) 20 personas el 1/5/97 con 43 + 13 .

Existentes al 1/1/98:

p) 20 personas con 41 + 13 .

q) 90 personas con 41 + 23 .

r) 10 personas con 42.

s) 5 personas con 42 + 12 .

Se pide:

a) Detallar el comportamiento de cada asegurado de acuerdo a los datos que se poseen.

Ejemplo: 20 personas con 41 años ingresaron el 1/9/97 y llegaron con vida al 1/1/98 con 41 + 13 .

b) ¿Cuánta gente asegurada (con vida) existe al 1/9/97?

Ejercicio 3. Dados:

• V (1;40;1/1/98;1/1/99) = 34.638.

• M (3;39;40;1/1/98;1/1/99) = 100.

• V (2;1/1/98;39;40) = 34.678.

• V (2;1/1/97;38;39) = 34.900.

• V (2;1/1/98;38;39) = 27.850.

• V (2;1/1/99;38;39) = 24.800.

• V (1;38;1/1/97;1/1/98) = 28.000.

• E (39;40; 1/1/97;1/1/98;1/1/57;1/1/58) = 48.

• E (38;39; 1/1/96;1/1/97;1/1/57;1/1/58) = 100.

• E (38;39; 1/1/98;1/1/99;1/1/60;1/1/61) = 200.

Se pide:

a) M (1;38;39;1/1/58;1/1/59).

b) M (2;1/1/59;1/1/60;1/1/98;1/1/99).

c) V (2; 1/1/99;39;40).

d) q (38;39;1/1/58;1/1/59).

e) q (38;39;1/1/59;1/1/60).

f) q (39;40;1/1/58;1/1/59).

g) ¿Cuál es la probabilidad de que un integrante de V (1;38;1/1/96;1/1/97) llegue con vida a los 40años?




Ejercicio 4. Sean los siguientes datos:

Cumpleaños:

a) 5.000 cumplen 50 años en 1996.

b)

4.000 cumplen 50 años en 1998.

c) 4.415 cumplen 51 años en 1998.

Censos:

d) 1/1/99: 3.960 entre 50 y 51 años.

e) 1/1/98: 4.863 entre 51 y 52 años.

Defunciones:

Entre 50 y 51:

f) entre 1/1/98 y 1/1/99 fallecieron 40 que nacieron entre 1/1/47 y 1/1/48.

g) entre 1/1/97 y 1/1/98 fallecieron 45 que nacieron entre 1/1/46 y 1/1/47.

h) entre 1/1/96 y 1/1/97 fallecieron 50 que nacieron entre 1/1/45 y 1/1/46.

Entre 51 y 52:

i) entre 1/1/98 y 1/1/99 fallecieron 48 que nacieron entre 1/1/47 y 1/1/48.

j) entre 1/1/97 y 1/1/98 fallecieron 28 que nacieron entre 1/1/45 y 1/1/46.

Se pide:

a) población que cumple 52 años durante 1998.

b) cantidad de defunciones entre las edades 51 y 52 durante 1998.

c) q (51;52;1/1/46;1/1/47).




T.P. N° 5: Modelos de Decremento Múltiple

Ejercicio 1. Sean las siguientes probabilidades independientes:

x q’(x;0;1;1) q’(x;0;1;2)

50 0,10 0,15

51 0,20 0,05

52 0,25 0,20

Se pide completar la siguiente tabla de decremento múltiple usando el método de las tasas centrales.

Detallar los supuestos que se van utilizando.

x l (x;T) q (x;0;1;1) q (x;0;1;2) d (x;1) d (x;2) d (x;T)

50 1.000.000

51

52

53

Ejercicio 2. Dado:

x µ(x;1) µ(x;2) µ(x;3)32 0,01 0,05 0,02

33 0,02 0,07 0,05

Completar la siguiente tabla de decremento múltiple si se supone:

µ(x+t;k) = µ(x;k) para 0 ≤ t ≤ 1.

x l (x;T) q (1) q (2) q (3) d (x;1) d (x;2) d (x;3) d (x;T)

32 1.000.000

3334

Nota: q (k) = q (x;0;1;k).

Ejercicio 3. A partir de los siguientes datos:

x m’(x;0;1;1) m’(x;0;1;2) m’(x;0;1;3)

28 299

249

697

29 2199

239

219

Hallar q (x;0;1;k) para k=1,2,3; x=28,29; si se supone D.U.F. en T.D.U. asociada a T.D.M..




Ejercicio 4. Si q’ (k) = q’ (x;0;1;k), q (k) = q (x;0;1;k) y sabemos que:

• q’ (1) + q’ (2) + q’ (3) = 0,06.

• q’ (1) . q’ (2) + q’ (1) . q’ (3) + q’ (2) . q’ (3) = 0,0011.

• q’ (1) . q’ (2) . q’ (3) = 0,000006.

• q (1) + q (2) = 0,0295.

Se pide encontrar q (3) sin hacer supuestos (k = 1, 2, 3).

Ejercicio 5. Si:

• m (x;0;1;T) = 0,3.

• p’ (x;1;2) = 0,9.

Obtener q’ (x;0;1;1) si, para k = 1, 2, se supone:

a) D.U.F. en T.D.M..

b) D.U.F. en T.D.U. asociada a T.D.M..

Ejercicio 6. Dados:

• m’ (x;0;1;1) = 2199

.

• m’ (x;0;1;2) = 299

. k = 1, 2, 3.

• q (x;0;1;3) = 0,029552.

Calcular q’ (x;0;1;3) si se supone D.U.F. en T.D.U. asociada a T.D.M..

Ejercicio 7. Sean:

•

q’ (x;0;1;1) = 0,01.

• m’ (x;0;1;2) = 0,019602. k = 1, 2, 3.

• q (x;0;1;3) = 0,029552.

Se pide calcular q (x;0;1;1) utilizando el método de las tasas centrales sin tener en cuenta el ajuste.


• l (42;T) = 10.000.

• q (42;0;1;2) = q (44;0;1;1) .

• q (42;2;1;T) = 0,1995. k = 1, 2.

•

q (44;0;1;2) = q (42;0;1;1) .• q (43;1;1;T) = 0,285.

Hallar l (45;T).

Ejercicio 9. Se conoce que:

• p (32;6;T) = 0,285.

• l (32;T) = 1.000.000.

• µ (32 + t;T) = 0,06187540372 para 0 ≤ t ≤ 1.

• q (32;1;1;T) = 0,141.

• q (34;2;1;T) = 0,18.

• q (34;2;2;T) = 0,45.

Se pide l (37;T).




Ejercicio 10. Si:

x q (x;0;1;1) q (x;0;1;2)

29 0,01 0,05

30 0,02 0,06

Hallar q’ (x;0;1;k) para k = 1, 2 y x = 29, 30, suponiendo D.U.F. en T.D.M..


• µ (x;1) =1

100 x− para 0 ≤ x ≤ 100; k = 1, 2.

• p’ (0;x;2) = xe− .

Verificar que:

a) q (x;0;1;1) =1

1 e

100 x

−−−

.

b) q (x;0;1;2) =1

99 x e (98 x)

100 x

−− − −−

.

Ejercicio 12. Sean:

• q’ (x;0;1;4) = 0,02.

• q (x;0;1;4) = 0,018.

Si se supone que se aplicó el método de las tasas centrales, hallar q (x;0;1;T), la cual representa la suma

de las q (x;0;1;k) no ajustadas todavía.

Ejercicio 13. Demostrar que bajo el supuesto de D.U.F. en T.D.U. asociada a T.D.M.:

m m

k 1k 1

1 p '(x;1; k) q(x; 0;1; k)==

− = ∑∏ .

Hallar el desarrollo para m = 3.

Ejercicio 14. Dado:

• q’ (x;0;1;3) = 0,02.

• q (x;0;1;T) = 0,09.

Suponiendo que se aplicó el método de las tasas centrales, calcular q (x;0;1;3) sin tener en cuenta el

ajuste final.

Ejercicio 15. Si se sabe:

• m (x;0;1;T) = 0,1.

• q (x;0;1;3) = 0,02.

Suponiendo D.U.F. en T.D.M. calcular q’ (x;0;1;3).




Ejercicio 16. La probabilidad de que una persona de edad x sea eliminada por la causa k entre las edades x y

x+1 es igual a 0,03, y la probabilidad de ser eliminado por cualquier causa que no sea k es

0,08 para la misma persona e igual plazo.

Responder:

¿Cuál es la probabilidad independiente de ser eliminado por la causa k, si se trabajó con el método delas tasas centrales, sin realizar el ajuste final?

Ejercicio 17. Sea:

• µ (27,1;1) = 0,01.

• µ (27,2;2) = 0,03.

k = 1, 2, 3.

• µ (27,3;3) = 0,05.

Hallar q (27;0;1;T) suponiendo D.U.F. en T.D.U. asociada a T.D.M..

Ejercicio 18.

Si se sabe que:

• µ (31,1;3) = 0,01.

• µ (31,2;2) = 0,03.

k = 1, 2, 3.

• µ (31,3;3) = 0,05.

Suponiendo D.U.F. en T.D.M., calcular q (31;0;1;T).

Ejercicio 19. Dado que:

• q (27;1;1;1) = 0,0279.

• l (27;T) = 10.000.

• 10 q (28;0;1;1) + q (28;0;1;2) + 10 q (28;0;1;3) = 0,6.

• q (27;0;1;1) = q (27;0;1;3).

• 30 q (27;0;1;1) + 10 q (27;0;1;2) + 20 q (27;0;1;3) = 1.

• 2 [ q (28;0;1;2) + q (28;0;1;3) ] = 0,24.

• q (27;0;1;T) = 0,5 [ q (28;0;1;T) – 0,01 ].

• q (28;0;1;1) = 0,03.

Se pide sin hacer supuestos:

a) l (29;T).

b) d (28;0;1;3).

c) d (27;0;1;2).

Ejercicio 20. Si:

• m’ (x;0;1;1) + m’ (x;0;1;2) = 0,03.

• m’ (x;0;1;1) . m’ (x;0;1;2) = 0,0002. k = 1, 2, 3.

• q (x;0;1;3) = 0,04.

Suponiendo D.U.F. en T.D.U. asociada a T.D.M., calcular q (x;0;1;T).





• m’ (x;0;1;1) = 0,02.

• m (x;0;1;2) = 0,035.

• µ (x+0,1;3) = 0,045.

Si se supone que µ(x+t;k) = µ(x;k) para 0 ≤ t ≤ 1, calcular q (x;0;1;T).

Ejercicio 22. Demostrar que bajo el supuesto de D.U.F. en T.D.M.:

m m

k 1k 1

1 p '(x;1; k) q(x; 0;1; k)==

− = ∑∏ .

Ejercicio 23. Si se sabe que:

• µ (37+t;1) = 0,01.

• µ (37+t;2) = 0,02.

j = 1, 2, 3; t ≥ 0.

• µ (37+t;3) = 0,03.

Se pide:

a) f (2;2).

b) h (2).

c) g (5).

d) f (t;j).

e) h (j).

f) g (t).

Ejercicio 24. Si tenemos que:

• µ (x+t;j) = j

44 t− para j = 1, 2, 3 y 0 ≤ t ≤ 44.

Obtener:

a) h ( j / T = t).

b) g ( t / J = j).

Ejercicio 25.

Sea:

• µ (x+t;j) = j 322 − para j = 1… 25.

Se pide, hallar ec (x;0;w-x;T).





• f (t;1) =10 t

90

−

• f (t;2) =10 t

270

−

• f (t;3) =10 t

540

− 0 ≤ t ≤ 10.

• f (t;4) =10 t

900

− j = 1, 2, ….., m.

• f (t;5) =10 t

1350

−

Se pide:

a) h (j).

b) Cantidad de causas de eliminación que existen.

Ejercicio 27. Dadas las siguientes probabilidades de eliminación de una T.D.M.:

x Jubilación Fallecimiento Renuncia

45 0,05 0,04 0,15

46 0,10 0,06 0,10

47 0,15 0,08 0,05

48 0,90 0,10 0

Calcular:

a) Número esperado de renuncias y su varianza durante los cuatro años, l (45) = 1.000.

b) Justificar práctica y teóricamente por qué la varianza del número de personas que no renunciarán

será igual a la calculada en el punto a).


x Fallecimiento Invalidez Enfermedad

37 0,05 0,10 0,01

38 0,10 0,09 0,05

39 0,15 0,08 0,10

40 0,20 0,07 0,15

Responder:

a) Cantidad esperada de personas que no serán eliminadas por ninguna causa durante los cuatro años, y

su varianza. Sabiendo que l (37) = 1.000.

b) Cantidad de gente que se espera que no sea eliminada por las causas de invalidez y de enfermedaddurante los cuatro años, calcular también su varianza.

c)

Si se sabe que una persona de 37 años será eliminada por alguna causa durante el corriente año,¿qué probabilidad tiene de ser eliminada por la causa fallecimiento durante el mismo año?




Ejercicio 29. Dada la tabla del ejercicio anterior, se pide:

a) Sabiendo que una persona de 37 años fallecerá entre los 37 y 41 años, hallar la probabilidad de que

esto ocurra entre los 39 y 40.

b) Teniendo en cuenta el punto a), hallar la edad esperada al fallecimiento y su varianza (tomando la

variable aleatoria en forma abreviada.

Ejercicio 30.

Dada la siguiente tabla de decremento múltiple:

x Invalidez Fallecimiento Retiro

35 0,01 0,05 0,02

36 0,02 0,10 0,04

37 0,03 0,15 0,06

38 0,04 0,20 0,08

a) Sabiendo que l (35) = 10, ¿Cuál es la probabilidad de que 6 personas fallezcan entre los 36 y los 38

años?.

b)

Sabiendo que una persona de 35 será eliminada entre los 36 y los 38 años, ¿Cuál es la probabilidadque sea por invalidez?.

c) Se sabe que un asegurado de 35 años no se retirará y que no sobrevivirá a todas las causas más de 4

años. ¿A qué edad se espera que dicha persona sea eliminada, y cuál es su varianza (abreviada)?.

d) Sabiendo que una persona de 35 será eliminada por invalidez, entre los 35 y los 38 años. Hallar la

media, mediana, modo y varianza de la variable aleatoria tiempo que media a la invalidez

(condicionada) tomada en forma abreviada.

Ejercicio 31. Si:

• µ (36,1;1) = 0,01.

• q (36;0;1;2) = 0,03.

Obtener m (36;0;1;T) si se supone D.U.F. en T.D.U..


• ec (41;0;1;T) = 0,98.

• µ (41,1;1) = 0,01.

Obtener µ (41,5;2) si se supone distribución uniforme de eliminados en la tabla de decremento única

asociada a la tabla de decremento múltiple correspondiente (k = 1, 2).

Ejercicio 33. Para el ejercicio 24), hallar la esperanza matemática de la variable aleatoria condicionada“tiempo que media a la eliminación”, sabiendo que una persona será eliminada por una causa

“j”.

Ejercicio 34. Demostrar que bajo el método del puente de las tasas centrales se cumple:

a) q (x;0;1;j) =( )

( )

1q '(x;0;1; j) 1 q x;0;1;T2

11 q ' x;0;1; j2

⋅ −

−

.

b) q’ (x;0;1;j) =( ) ( )

q(x;0;1; j)

11 q x;0;1;T q x;0;1; j2

− −

.




Ejercicio 35. Dado que:

a) ( )

q(x;0;1;1)

ec x;0;1;T= 0,01 y que µ (x+t;1) es constante entre x y x+1.

b) q’ (x;0;1;2) = 0,02 y se distribuye uniformemente entre las edades x y x+1.

Hallar q (x;0;1;2).

Ejercicio 36. En un modelo con 2 causas de eliminación se sabe que:

a) q’ (x;0;1;1) = 0,2 Los decrementos ocurren en sólo 2 momentos al año: dos tercios de los

mismos ocurren en t = 0,25, y el restante tercio en t = 0,8.

b) q’ (x;0;1;2) = 0,1 Se supone distribución uniforme en tabla de decremento única asociada

a una tabla de decremento múltiple.

Hallar q (x;0;1;1).

Ejercicio 37.

Dado un modelo con 3 causas de eliminación en el cual:

• µ (x+t;j) = j/150.

Se pide, hallar la media y varianza de la variable aleatoria tiempo que media a la eliminación, sabiendo

que la persona será eliminada por la causa 3.

Ejercicio 38. En un modelo con 2 causas de eliminación se sabe que:

a) q’ (x;0;1;1) = 0,2 Se supone distribución uniforme en tabla de decremento única asociada

a una tabla de decremento múltiple.

b) q’ (x;0;1;2) = 0,25 Un sexto de los decrementos ocurren en t = 0,1; la mitad de los

decrementos se distribuye uniformemente entre t = 13 y t = 2 3 , y por

último, los decrementos restantes se producen en t = 0,8.

Hallar q (x;0;1;2).

Ejercicio 39. En un modelo con dos causas de eliminación se sabe que:

• m (x;0;1;T) = 0,03.

• la causa de eliminación “1” se distribuye uniformemente en la T.D.U..

• µ (x+t;2) = 0,01 para todo t entre 0 y 1.

Se pide, hallar q (x;0;1;2).




T.P. N° 6: Modelos de Invalidez SIN Rehabilitación

Ejercicio 1. Sean las siguientes probabilidades independientes:

x q’(x;0;1;a) r’(x;0;1) q’(x;0;1;i)

30 0,01 0,001 0,10

31 0,02 0,002 0,15

32 0,03 0,003 0,20

Completar la siguiente tabla utilizando D.U.E..

x l (x;aa) l (x;i) i (x;x+1) d (x;aa) d (x;ai) d (x;ii) d (x;T)

30 1.000.000 1.000

31

32

33

Ejercicio 2. Dado:

• q (30+t;0;1;aa) = 0,10 + t . 0,05.

• q (30+t;0;1;i) = 0,15 + t . 0,05. t = 0, 1, 2, 3.

•

r (30+t;0;1) = 0,005 + t.

0,001.

Se pide:

a) Hallar las matrices de transición para las edades 30, 31, 32 y 33.

b) Utilizando las matrices obtenidas en el punto anterior determinar cantidad de defunciones entre los

30 y los 34 años, y la población activa e inválida a los 34 años si se sabe que a los 30 años había

1.000.000 de activos y 1.000 inválidos.


• q (35+t;0;1;aa) = 0,2.

• r (35+t;0;1) = 0,05. t = 0, 1, 2, 3, 4.

• q (35+t;0;1;i) = 0,2.

• con 40 años existen 56.313,5147095 personas activas.

• con 40 años existen 45.494,6343472 personas inválidas.

• entre los 30 y 40 años fallecieron entre los 35 y 40 años.

Calcular la cantidad de gente que falleció entre los 35 y los 40 años.

Ejercicio 4. Se sabe que el 80% de la población total es activa; por otro lado, que si una persona a la edad x

era activa, la probabilidad de llegar con vida en cualquier estado hasta la edad x+1 es igual a

0,9, y por último que la probabilidad independiente de fallecer de una persona inválida es

igual a 0,15.

Calcular cuál es la probabilidad de que una persona sobreviva entre x y x+1 sin tener en cuenta el estadooriginal y final de la persona.





q (x;0;1;i) > q (x;0;1) > q (x;0;1;a)

Sabiendo que q (x;0;1;i) > q (x;0;1;a).

Ejercicio 6.

Si:

• µa (x+t) = 0,01.

• µ r (x+t) = 0,005. para 0 ≤ t ≤ 1.

• µ i (x+t) = 0,02.

Obtener:

a) q (x;0;1;ai) sin hacer supuestos adicionales.

b) q (x;0;1;aa).

c) r (x;0;1)

Ejercicio 7. Sean:

• p (31;1;ai) = 0,00730213.

• q (31;0;1;i) = 0,12.

• q (30;0;1;aa) = 0,02991.

• q (30;0;1;ai) = 0,00031105.

• p (30;1;aa) = 0,96418.

Hallar el valor de p (30;2;ai).

Ejercicio 8.

Sabiendo que:

• l (38;ai) = 4.736,8421.

• l (38;aa) = 945.000.

• l (37;aa) = 1.000.000.

• l (39;aa) = 872.235.

• q (38;0;1;i) = 0,13.

• q (39;0;1;i) = 0,16.

• p (37;3;ai) = 0,0157993.

Se pide calcular p (38;1;ai).

Ejercicio 9. Si:

• q (x;0;1;ai) = 0,0004054.

• p (x;1;aa) = 0,895.

• q (x;0;1;aa) = 0,1.

• q (x+1;0;1;ai) = 0,000666.

• q (x+1;0;1;i) = 0,2.

Obtener q (x;0;2;ai).





p (x;1;ai) =l(x 1;i) l(x;i) p(x;1;i)

l(x;aa)

+ − ⋅.

Ejercicio 11. Se tienen los siguientes datos:

a) De la cantidad de personas que originalmente eran inválidos a los 35 años, fallecieron 300 entre los

35 y los 45 años.

b) Existen 500.000 personas activas con 35 años.

c) La probabilidad de que un activo de 35 años se invalide y finalmente fallezca entre los 35 y los 45

años es igual a 0,005.

Hallar el número de personas que fallecieron inválidas entre los 35 y los 45 años.

Ejercicio 12.

Dado:

x Activos r’(x;0;1) q’(x;0;1;i)

38 1.000.000 1.000 0

39 ? 45.244,4

205.755,5

40 ? 69.528,8

?

• p (38;1;ai) = p (39;1;ai).

• p (38;1;i) = p (39;1;i).

Se pide:

a) l (39;ai).

b) l (39;ii).

c) q (38;0;1;i).

Ejercicio 13. Tomando los datos del ejercicio 1, calcular:

a) número esperado de activos que se invalidan entre las edades 30 y 33.

b) su varianza.

Ejercicio 14. Si:

• q (40;0;4;ai) = 0,0075498.

• q (40;0;4;i) = 0,467247.

• l (40;aa) = 1.000.000.

• l (44;aa) = 690.791,803.

• l (44;i) = 21.067,6066.

• l (40;i) = 1.000.

Obtener ( )3

t 0

d 40 t, 40 t 1; aa

=

+ + +∑ .




Ejercicio 15. Dadas estas condiciones:

1) Simetría en el cálculo.

2) q (x;0;1;aa) + r (x;0;1) = 1- [1- r’ (x;0;1) ] [1- q’ (x;0;1;a) ].

3) Si q’ (x;0;1;a) = q (x;0;1;i) => q’ (x;0;1;a) = q (x;0;1;i) = q (x;0;1).

Verificar el siguiente cuadro haciendo las demostraciones correspondientes.

Condición

Método

1° Condición

Activos

2° Condición

Activos

3° Condición

D.U.E. Balducci

D.U.E. en T.D.U. Se Cumple Se Cumple Se Cumple No Se Cumple

Determinantes Se Cumple No Se Cumple No Se Cumple Se Cumple

µ Constante Se Cumple Se Cumple Se Cumple Sin Supuestos

Tasas Centrales Se Cumple No Se Cumple Se Cumple No Se Cumple

Los métodos de determinantes y tasas centrales están tomados sin el ajuste final que se les realiza a las

probabilidades dependientes.


• q’ (48;0;1;a) = 0,01.

• r’ (48;0;1) = 0,001.

• q (49;0;1;aa) + r (49;0;1) = 0,02.

•

l (x;aa) = 10.000.

Las tasas instantáneas de eliminación de la población de activos son constantes entre los 48 y los 49:

a) ¿Cuál es la probabilidad de no fallecer como activo entre los 48 y los 49 años?.

b) ¿Cuál será la población esperada de activos a los 50 años? ¿y su varianza?.

Ejercicio 17. Completar con ≥, ≤, = y justificar.

a) p (x;1;ai) …….. r (x;0;1).

b) q (x;0;1;ai) + p (x;1;ai) q (x+1;0;w-x-1;i) …….. r (x;0;1) - p (x;1;ai) p (x+1;w-x-1;i).

c) q (x;0;n;ai) ……..( )

n 1

t 0

d x t;0;1;ai

l(x;aa)

−

=+∑

.

d) l (x;i) p (x;n;i) …….. l (x+n;ii).

e) q (x;0;n;ai) …….. ( ) ( ) ( ) ( )n n s

s 1 t 1

p x; s 1; aa q x s 1; 0;1; ai p x s 1;1; ai q x s; t 1;1; i−

= =

− ⋅ + − + + − ⋅ + −

∑ ∑ .

f) 1- q (x;n-1;1;ai) …….. p (x;n;aa) + q (x;0;n;aa) + p (x;n;ai).

g) q (x;0;w-x; i) …….. q (x;0;w-x;ai) + p (x;w-x;ai).

h) l (x;i) q (x;n-1;1;i) …….. d (x+n-1,x+n,ii).




Ejercicio 18. Sean:

• q’ (x;0;1;a) = 0,1.

• m’ (x;0;1;i) = 0,2.

•

l (x;aa) = 10.000.• l (x;i) = 100.

• La tasa central de mortalidad de ser eliminado por cualquier causa de la población de activos

entre x y x+1 es 0,3.

Calcular el número esperado de sobrevivientes inválidos a la edad x+1 y su varianza. Suponga

distribución uniforme de eliminados en las tablas de decremento únicas de ambas poblaciones.

Ejercicio 19. Dado que la:

• probabilidad de que una persona de edad x activa no fallezca inválida entre las edades x+n-1 yx+n es igual a 0,99.

•

probabilidad de que una persona de edad x activa no fallezca en los próximos n años es igual a0,8.

• probabilidad de que una persona de edad x activa no se invalide, ni sobreviva como activa en

los próximos n años es igual a 0,18.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona de edad x activa muera inválida en los próximos n-1 años?.

Ejercicio 20. Sabiendo que una persona activa de edad 40 fallecerá como inválida en los próximos 10 años;

se pide, calcular la probabilidad de que esto no suceda en el mismo año en que la persona se

invalida.

• q (x;0;1;aa) = 0,01.

•

q (x;0;1;i) = 0,04.

• r (x;0;1) = 0,02.

• p (x;1;ai) = 0,0196.

• constantes para toda edad x entre 40 y 49 años (ambos inclusive).

Ejercicio 21. Dada la siguiente información:

• µ r (x+t) = 0,1 para 0 ≤ t ≤ 1.

• q’ (x;0;t;a) = t.0,2 para 0 ≤ t ≤ 1.

• m (x;0;1;i) = 0, 2

.

•

l (x;aa) = 5.• l (x;i) = 2.

• Se supone D.U.F. en la población de inválidos entre x y x+1.

a) Hallar la probabilidad de que existan 3 personas vivas con edad x+1 entre las 2 poblaciones.

b) Hallar la probabilidad de que existan 2 personas inválidas vivas con edad x+1.

Ejercicio 22. Explicar en qué difieren los términos de la desigualdad y completar para que se cumpla la

igualdad.

1- q (x;h;n;aa) - q (x;h;n+1;ai) ≠ q (x;0;h;aa) + q (x;0;h;aa) + q (x;0;h;ai) + p (x;h+n;ai) p (x+h+n;1;i) + p

(x;h+n;aa).




T.P. N° 7: Modelos de Invalidez CON Rehabilitación

Ejercicio 1. Dadas las siguientes probabilidades independientes:

x Q’(x;0;1;a) R’(x;0;1;a) Q’(x;0;1;i) R’(x;0;1;i)

55 0,02 0,005 0,15 0,10

56 0,04 0,007 0,18 0,15

57 0,03 0,009 0,21 0,20

Completar la siguiente tabla suponiendo D.U.E..

x L (x;a) L (x;i) I (x;x+1) B (x;x+1) D (x;aa) D (x;ai) D (x;ii) D (x;ia)

55 1.000.000 1.000

56

57

58

Ejercicio 2. Dado:

• Q (37+t;0;1;aa) = 0,05 + t . 0,02.

• Q (37+t;0;1;ii) = 0,10 + t . 0,02. t = 0, 1, 2.

•

R (37+t;0;1;a) = 0,01 + t.

0,01.• R (37+t;0;1;i) = 0,15 + t . 0,01.

Obtener:

a) matrices de transición para las edades 37, 38 y 39.

b) cantidad de activos e inválidos a los 40 años.

c) cantidad de fallecidos activos entre los 37 y los 40 años.

d) cantidad de fallecidos inválidos entre los 37 y los 40 años.

Tener en cuenta que a los 37 años existían 1.000.000 de activos y 1.000 inválidos (usar D.U.E.).

Ejercicio 3. Si:

• Q (40+t;0;1;aa) = 0,1.

• Q (40+t;0;1;ii) = 0,26. t = 0, 1, 2, 3, 4.

• R (40+t;0;1;a) = 0,13.

• R (40+t;0;1;i) = 0,05.

• con 45 años existen 185.783,804 activos y 124.021,6824 inválidos.

• entre los 38 y los 45 años fallecieron 375.619,6981 activos.

• entre los 38 y los 45 años fallecieron 315.574,8155 inválidos.

• emplear D.U.E..

Calcular el número de activos e inválidos que fallecieron entre los 38 y los 40 años.




Ejercicio 4. Dados:

• A la edad x la población de inválidos es el 70% de la población total.

• La probabilidad de fallecer entre las edades x y x+1 para una persona que a la edad x era activa

y luego fallece en cualquiera de los 2 estados es igual a 0,02.

• La probabilidad de fallecer entre las edades x y x+1 para una persona que a la edad x era

inválida y luego fallece en cualquiera de los 2 estados es igual a 0,05.

Hallar la probabilidad de fallecer en esta población independientemente del estado inicial y final de la

persona.


Q (x;0;1;ii) + Q (x;0;1;ia) > q (x;0;1) > Q (x;0;1;aa) + Q (x;0;1;ai)

Sabiendo que Q (x;0;1;ii) + Q (x;0;1;ia) > Q (x;0;1;aa) + Q (x;0;1;ai).


• Q (45;0;1;ai) = 0,00057473.

• L (45;a) = 1.000.000.

• L (46;a) = 940.146,134.

• Q (46;0;1;ai) = 0,00140555.

• Q (46;0;1;ii) = 0,12.

• P (45;1;ai) = 0,00942527.

• L (46;ia) = 146,134.

Encontrar el número de personas que eran activas a los 45 años y fallecieron inválidas entre los 45 y 47

años.

Ejercicio 7. Si:

x P (x;1;aa) P (x;1;ai) P (x;1;ia) P (x;1;ii)

45 0,97 0,00942527

46 0,91 0,02809172 0,14528602 0,74

47 0,85 0,16079959

Calcular la probabilidad de que una persona activa de 45 años se encuentre viva y activa a los 48 años.


• A la edad x existen 300.000 activos y 1.000 inválidos.

• d a (x+t) = 10.000 - t.500.

• d i (x+t) = 30.000 - t.1.500.

En cuánto tiempo se extinguirá la población total si:

a) d a: es la cantidad de personas que fallecen activas entre las edades x+t y x+t+1.

d i: es la cantidad de personas que fallecen inválidas entre las edades x+t y x+t+1.

t = 0, 1, 2, …..

b)

d a: es la cantidad de personas que fallecen activas al momento x+t.d i: es la cantidad de personas que fallecen inválidas al momento x+t.

t ≥ 0.





• R (x;0;1;a) = 0,01.

• L (x;a) = 100.000.

• B (x,x+1) = 200.

Calcular el valor que tomaría r (x;0;1) en un modelo de invalidez sin rehabilitación equivalentesabiendo que:

• L (x;a) = l (x;aa).

• L (x;i) = l (x;i).

• Q’ (x;0;1;a) = q’ (x;0;1;a).

• Q’ (x;0;1;i) = q’ (x;0;1;i).

• L (x+1;a) = l (x+1;aa).

• Se supone D.U.E. en ambos modelos.

Ejercicio 10. En un modelo de invalidez sin rehabilitación se tiene:

•

q’ (x;0;1;a) = 0,15.

• r’ (x;0;1) = 0,01.

• la población de inválidos es la mitad que la de activos.

Calcular el valor que tomaría R (x;0;1;i) en un modelo de invalidez con rehabilitación equivalente

sabiendo que R’ (x;0;1;a) = 0,02 y que:

• L (x;a) = l (x;aa).

• L (x;i) = l (x;i).

• Q’ (x;0;1;a) = q’ (x;0;1;a).

• Q’ (x;0;1;i) = q’ (x;0;1;i).

• L (x+1;a) = l (x+1;aa).

•

Se supone D.U.E. en ambos modelos.

Ejercicio 11. Dadas estas condiciones:

1) Simetría en el cálculo.

2) Q (x;0;1;aa) + R (x;0;1;a) = 1- [1- R’ (x;0;1;a) ] [1- Q’ (x;0;1;a) ].

Q (x;0;1;ii) + R (x;0;1;i) = 1- [1- R’ (x;0;1;i) ] [1- Q’ (x;0;1;i) ].

3) Si Q’ (x;0;1;a) = Q’ (x;0;1;i) => Q’ (x;0;1;a) = Q’ (x;0;1;i) = q (x;0;1).

Verificar el siguiente cuadro haciendo las demostraciones correspondientes.

Condición

Método

1° Condición

Activos

2° Condición

Activos

3° Condición

D.U.E. Balducci

D.U.E. en T.D.U. Se Cumple Se Cumple Se Cumple No Se Cumple

Determinantes Se Cumple No Se Cumple No Se Cumple Se Cumple

µ Constante Se Cumple Se Cumple Se Cumple Sin Supuestos

Tasas Centrales Se Cumple No Se Cumple Se Cumple No Se Cumple




En el caso del método de la µ Constante no es necesario hacer supuestos adicionales para el

cumplimiento de la 3° condición.

Los métodos de Determinantes y Tasas Centrales están tomados sin el ajuste final que se les realiza a

las probabilidades dependientes.

La 1° y 2° condición deben demostrarse para los grupos de activos e inválidos.


• la tasa central de eliminación por cualquier causa entre las edades x y x+1 en la población de

activos es igual a 0,3.

• Q’ (x;0;1;a) = 0,1.

• uRI

(x+0,02) = 0,02 (asociada a la rehabilitación).

• uI (x+0,03) = 0,05.

• L (x;a) = 10.000.

• L (x;i) = 100.

Hallar el número esperado de activos con edad x+1 y su varianza suponiendo distribución uniforme de

eliminación en tabla de decremento única en ambas poblaciones.

Ejercicio 13. Completar con ≥, ≤, = y justificar.

a) Q (x;0;1;ai) …….. ( ) ( ) ( )1

RA

0

P x; t; aa x t Q x t; 0;1 t;ii dt⋅µ + ⋅ + −∫ .

b) Q (x;0;n;ai) + P (x;n;ai) …….. R (x;0;n;a).

Ejercicio 14.

Teniendo en cuenta lo siguiente:

• P (x;1;aa) = 0,9.

• P (x;1;ai) = 0,05.

• P (x;1;ii) = 0,5.

• P (x;1;ia) = 0,3.

• L (x;aa) = 100.000.

• L (x;ii) = 100.

Se pide hallar la varianza de la variable aleatoria “cantidad de personas inválidas que habrá con edad

x+15”, teniendo en cuenta la composición de la población de activos e inválidos con edad x, ysuponiendo que las tasas instantáneas de eliminación de ambas poblaciones se mantienen constantes

entre x y x+15.




T.P. N° 8: Tablas Selectas

Ejercicio 1. Completar la siguiente tabla:

x l(x;0) l(x+1;1) l(x+2)

58 10.000

59 9.000

60 7.200

61 5.400

Se sabe que:

• Los que ingresaron hace menos de un año tienen el 70% de probabilidad de fallecer en un año

respecto a los que están en la empresa hace más de 2 años.

• Los que ingresaron hace más de un año y menos de 2 años tienen el 80% de probabilidad de

fallecer en un año respecto a los que están en la empresa hace más de 2 años.

Ejercicio 2. Usando la tabla del ejercicio anterior, calcular:

a) q (60;1;1;1).

b) q (60;1;1;0).

c) q (61;2;0).


l (x;0) ≥ l (x+1;1) ≥ l (x+2;2) ≥ …………. ≥ l (x+n-1;n-1) ≥ l (x+n)

Recordar que los multiplicadores de acuerdo a la antigüedad están siempre entre 0 y 1 (0 < k i < 1).


• l (63;0) = 98.851,67306.

• l (63) = 100.000.

• d (64;0;1) = 6.000.

• l (65) = 90.000.

• l (65;1) = 89.303,00097.

•

l (66) = 82.000.

Se pide:

a) Hallar los 2 valores que multiplican a las q (x;0;1) y dan como resultado la probabilidad de fallecer

en el mismo período teniendo menos de un año de antigüedad, o entre 1 y 2 años de antigüedad.

b) Calcular l (63;1).

c) Obtener l (64;0).




Ejercicio 5. Si:

• 0 ≤ t ≤ 2.

• q (48;0;2;0) = 0,089545.

• l (50) = 90.000.

•

l (50;1) = 88.687,1182.• l (51) = 82.000.

• l (51;1) = 80.374,21555.

• l (52) = 72.000.

• l (53) = 61.000.

• Para hallar la probabilidad de fallecer en un año para una persona que tiene entre 1 y 2 años de

antigüedad en la empresa se multiplica la probabilidad normal por 0,92 (k 1 = 0,92).

Encontrar el valor de l (48;0).

Ejercicio 6. Si:

• p (30;1;0) = 0,9.

• p (31;1;1) = 0,81.

• p (32;1;2) = 0,729.

• p (33;1;3) = 0,6561.

• l (30;0) = 100.000.

• l (30+n) = 304,354272.

Se pide hallar el valor de n que es la antigüedad a partir de la cual se utiliza la tabla final.




Apéndice N° 1: Equivalencia de Notación

Notación usada por la Cátedra International Actuarial Notation (IAN)

q (x;0;1) q xq (x;0;n) n xq

q (x;n;m) xn mq

q (x;n;1) xn q

p (x;1) px

p (x;n) n x p

l (x+t) lx+t

d (x;0;1) d x

d (x;0;n) n xd µ(x) µ(x)

ec (x;0;w-x)xe

ο

e (x;0;w-x) ex

ec (x;0;n)x:ne

ο

e (x;0;n) x:ne

emf (x;0;1) a (x)

L (x) Lx

m (x;0;1) mx

m (x;0;n) n xm

T (x) Tx

L (x) L (x)

f (t;j) f T,J (t;j)

g (t) f T (t)

h (j) f J (j)

G (t) FT (t)

q (x;0;n;T)(T )

n xq

q (x;0;n;j) ( j)

n xq

p (x;n;T) (T )

n x p

µ(x;j) µ (j)(x)

p’ (x;n;j) ( j)

n x p '

q’ (x;0;n;j) ( j)

n xq '

m (x;0;1;T) (T )

xm

m’ (x;0;1;j) ( j)

xm '




Apéndice N° 2: Tabla de Mortalidad CSO-80 Masculina

x l(x) d(x) p(x;t)

0 10.000.000 41.800 0,9958200

1 9.958.200 10.655 0,9989300

2 9.947.545 9.848 0,9990100

3 9.937.697 9.739 0,9990200

4 9.927.958 9.432 0,9990500

5 9.918.526 8.927 0,9991000

6 9.909.599 8.423 0,9991500

7 9.901.176 7.921 0,9992000

8 9.893.255 7.519 0,9992400

9 9.885.736 7.315 0,9992600

10 9.878.421 7.211 0,9992700

11 9.871.210 7.601 0,9992300

12 9.863.609 8.384 0,9991500

13 9.855.225 9.757 0,999010014 9.845.468 11.322 0,9988500

15 9.834.146 13.079 0,9986700

16 9.821.067 14.830 0,9984900

17 9.806.237 16.376 0,9983300

18 9.789.861 17.426 0,9982200

19 9.772.435 18.177 0,9981400

20 9.754.258 18.533 0,9981000

21 9.735.725 18.595 0,9980900

22 9.717.130 18.365 0,9981100

23 9.698.765 18.040 0,9981400

24 9.680.725 17.619 0,998180025 9.663.106 17.104 0,9982300

26 9.646.002 16.688 0,9982700

27 9.629.314 16.466 0,9982900

28 9.612.848 16.342 0,9983000

29 9.596.506 16.410 0,9982900

30 9.580.096 16.574 0,9982700

31 9.563.522 17.023 0,9982200

32 9.546.499 17.470 0,9981700

33 9.529.029 18.200 0,9980900

34 9.510.829 19.022 0,9980000

35 9.491.807 20.028 0,9978900

36 9.471.779 21.217 0,9977600

37 9.450.562 22.681 0,9976000

38 9.427.881 24.324 0,9974200

39 9.403.557 26.236 0,9972100

40 9.377.321 28.320 0,9969799

41 9.349.001 30.758 0,9967100

42 9.318.243 33.173 0,9964400

43 9.285.070 35.933 0,9961300

44 9.249.137 38.754 0,9958100

45 9.210.383 41.907 0,9954500

46 9.168.476 45.109 0,9950800

47 9.123.367 48.536 0,9946800

48 9.074.831 52.090 0,9942599

49 9.022.741 56.031 0,9937900

x l(x) d(x) p(x;t)

50 8.966.710 60.167 0,9932900

51 8.906.543 65.018 0,9927000

52 8.841.525 70.379 0,9920399

53 8.771.146 76.397 0,9912900

54 8.694.749 83.122 0,9904400

55 8.611.627 90.164 0,9895300

56 8.521.463 97.656 0,9885400

57 8.423.807 105.213 0,9875100

58 8.318.594 113.050 0,9864100

59 8.205.544 121.196 0,9852300

60 8.084.348 129.996 0,9839200

61 7.954.352 139.519 0,9824600

62 7.814.833 149.967 0,9808100

63 7.664.866 161.422 0,978940064 7.503.444 173.630 0,9768600

65 7.329.814 186.324 0,9745800

66 7.143.490 198.946 0,9721500

67 6.944.544 211.392 0,9695600

68 6.733.152 223.473 0,9668100

69 6.509.679 235.455 0,9638300

70 6.274.224 247.895 0,9604899

71 6.026.329 260.940 0,9567000

72 5.765.389 274.721 0,9523500

73 5.490.668 289.029 0,9473600

74 5.201.639 302.683 0,941810175 4.898.956 314.464 0,9358100

76 4.584.492 323.344 0,9294700

77 4.261.148 328.620 0,9228799

78 3.932.528 329.939 0,9161000

79 3.602.589 328.016 0,9089499

80 3.274.573 323.659 0,9011599

81 2.950.914 317.164 0,8925201

82 2.633.750 308.807 0,8827501

83 2.324.943 298.197 0,8717401

84 2.026.746 284.251 0,8597501

85 1.742.495 266.515 0,8470498

86 1.475.980 245.146 0,8339097

87 1.230.834 220.996 0,8204502

88 1.009.838 195.171 0,8067304

89 814.667 168.872 0,7927104

90 645.795 143.218 0,7782299

91 502.577 119.101 0,7630194

92 383.476 97.192 0,7465500

93 286.284 77.901 0,7278891

94 208.383 61.661 0,7040977

95 146.722 48.412 0,6700427

96 98.310 37.805 0,6154511

97 60.505 29.054 0,5198083

98 31.451 20.694 0,3420241

99 10.757 10.757 0,0000000




Apéndice N° 3: Diagrama de Lexis




Apéndice N° 4: Resultados


Ejercicio 1.

a) p(63;6) = 0,8975694.

b) p(41;5) = 0,985.

c) q(42;5;10) = 0,2.

d) p(31;10) = 0,98.

e) q(37;0;5) = 0,0298.

f) q(30;15;55) = 0,96556962.

Ejercicio 2.

a) l(20) = 8.800, d(20) = 70,5, q(20;0;1) = 0,0080113636, p(20;3) = 0,975625,

q(20;0;5) = 0,041193, q(20;10;5) = 0,046875, d(22;3;3) = 229,5, d(25;0;3) = 229,5.

b) l(20) = 9.754.258, d(20) = 18.533, q(20;0;1) = 0,0019, p(20;3) = 0,9943108,

q(20;0;5) = 0,0093448, q(20;10;5) = 0,0090513, d(22;3;3) = 50.258, d(25;0;3) = 50.258.

Ejercicio 3.

a) l(40) = 10.000.

b) d(42;0;1) = 1.710.

c) p(40;2) = 0,855.

d) Esperanza = 6.840, Varianza: 2.161,44.

Ejercicio 4. ---------------

Ejercicio 5. Esperanza = 2.830, Varianza: 1.548,576.

Ejercicio 6.

e(81;0;19) = 9,101010101010.

Ejercicio 7. e(5;0;1) = 0,9.

Ejercicio 8. ---------------

Ejercicio 9.

a) 2 5a a

e e− −−

b)

2 5a ae e

− −−

c) 1a

Ejercicio 10. ---------------

Ejercicio 11. ---------------

Ejercicio 12.

a)

100

2

x−

.

b) 100

n

x− .

c) 100

n

x− .

d)

( )2

100

12

x−

.

e)

100

2

x−

.

Ejercicio 13.

a)

p(35;1) = 0,95118154. b)

p(35;1) = 0,98751566. c)

Aumento = 101,015245%.

Ejercicio 14. ---------------




Ejercicio 15. ---------------

Ejercicio 16. ec(6;0;1) = 0,9889236975.

Ejercicio 17. emf(7;0;1) = 0,505947553.

Ejercicio 18. ---------------

Ejercicio 19. emf(5;0;w-5) = 70.

Ejercicio 20. ---------------

Ejercicio 21. ---------------

Ejercicio 22. i(60;0;20) = 1,4285714.

Ejercicio 23. ---------------

Ejercicio 24. ---------------

Ejercicio 25. ---------------

Ejercicio 26.

a) 1c .

b) 2

1c .

c)

( )ln 2

c

.

Ejercicio 27. ec(15;0;1) = 0,99.

Ejercicio 28. m(55;0;1) = 0,18181818.

Ejercicio 29. ec(37;0;1) = 0,954838709.

Ejercicio 30. ---------------

Ejercicio 31. µ (57) = 0,0100502512.

Ejercicio 32. µ (x) = 0,02.

Ejercicio 33. Modo =

( )( ) ( )

( )

ln ln ln

ln

−C A

C .

Ejercicio 34. x = 77,2105358.

Ejercicio 35. Modo = 60.

Ejercicio 36. ec (76;0;1) = 0,95.




Ejercicio 37. ec (47;0;1 ) =

250

251.

Ejercicio 38. 1

1w-x-

3

.

Ejercicio 39. x = 450.

Ejercicio 40. Modo = 10.

Ejercicio 41. x = 0,0732574321.

Ejercicio 42.

a) Dominio = (0,n).

b) ---------------

c)

0, 5= ( )

tl(x)-k k

k=1

l(x)

p 1-pk

⋅ ⋅ ∑ siendo t la mediana.

d) 0.

Ejercicio 43. µ (65) = 0,048.

Ejercicio 44. p (15;50) = 0,46374396.


Ejercicio 1. ---------------

Ejercicio 2.

a) 0,5.

b) 0,01.

c) 0,4.

d) 66,66666.

e) 888,88888.

f) 75.

Ejercicio 3. b -a

b.

Ejercicio 4. 45 2⋅

Ejercicio 5.

6 y

5

3 .

Ejercicio 6.

a) 0,0125.

b) 0,00998145.

c) 0,354351.

d) 80.

e) 6.400.

f) 55,45177.

Ejercicio 7. ---------------

Ejercicio 8. ---------------

Ejercicio 9. ---------------




Ejercicio 10. ---------------

Ejercicio 11. 10,408167.

Ejercicio 12. 15,4822 y 70,7822.

Ejercicio 13. 65,441507.

Ejercicio 14. ---------------

Ejercicio 15. 57,200231.


Ejercicio 1. ---------------

Ejercicio 2. 8999

.

Ejercicio 3. Balducci.

Ejercicio 4. ---------------

Ejercicio 5.

a) 0,001998001. b) 0,000299955. c) 0,000749718.

Ejercicio 6. ---------------

Ejercicio 7. 202,479338845.

Ejercicio 8. 0,1145325067.

Ejercicio 9. 299600

.

Ejercicio 10. 0,4949236223.

Ejercicio 11. 3103

.

Ejercicio 12. 0,45.

Ejercicio 13. 19

.

Ejercicio 14. 0,00409836065.

Ejercicio 15. 0,1.




Ejercicio 16. c

1-0,5 c⋅.

Ejercicio 17. 548

.

Ejercicio 18.

a) 16,6

. b) 16,9212691. c) 16,8067343.

Ejercicio 19.

a) 0,0102941176. b) 7720

. c) 0,01.

Ejercicio 20. ---------------

Ejercicio 21.

0,497474683.

Ejercicio 22. 5.050.

Ejercicio 23. 950999

.

Ejercicio 24. 2.8002.997

.

Ejercicio 25. 1,728136795.

Ejercicio 26.

a) 0,00075. b) 0,00015.

Ejercicio 27.

a) ( ) ( ) [ ]31 1 1 1 12 2 2 2 4 4

1 1( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )2 2

+ + + + + + = + + + l x l x l x l x l x l x

Ejercicio 28. 0,086068814.

Ejercicio 29. ---------------

Ejercicio 30. 0,97105.


Ejercicio 1. ---------------

Ejercicio 2.

b) 160.

Ejercicio 3.




a) 250.

b) 260.

c) 27.590.

d) 1140

.

e) 0,0125.

f) 11234.750

.

g) 0,989657142857.

Ejercicio 4.

a) 4.831. b) 80.

c) 74

4.905 .


Ejercicio 1.

x l (x;T) q (x;0;1;1) q (x;0;1;2) d (x;1) d (x;2) d (x;T)

50 1.000.000 0,0925 0,1425 92.500 142.500 235.000

51 765.000 0,1950 0,0450 149.175 34.425 183.600

52 581.400 0,2250 0,1749 130.815 101.687 232.502

53 348.898

Ejercicio 2.

x l (x;T) q (1) q (2) q (3) d (x;1) d (x;2) d (x;3) d (x;T)

32 1.000.000 0,0096 0,048 0,019 961,04 4.805,22 1.922,09 7.688,36

33 92.312,6 0,0186 0,065 0,046 1.722,82 6.029,87 4.307,05 12.059,7

34 80.251,8

Ejercicio 3.

x q (x;0;1;1) q (x;0;1;2) q (x;0;1;3)

28 0,019016 0,038416 0,058216

29 0,009266 0,047266 0,097016


Ejercicio 5.

a) 0,1787439. b) 0,1778846.

Ejercicio 6. 0,03.

Ejercicio 7. 0,00975423.

Ejercicio 8. 4.655.





Ejercicio 10.

x q’ (x;0;1;1) q’ (x;0;1;2)

29 0,010259 0,050256

30 0,026296 0,060620

Ejercicio 11. ---------------


Ejercicio 13. ---------------

Ejercicio 14.

1919.900 .

Ejercicio 15. 0,0207981.


Ejercicio 17. 0,0868278.

Ejercicio 18. 0,08806262.

Ejercicio 19.

a) 7.905. b) 186. c) 500.

Ejercicio 20. 0,0689565.

Ejercicio 21. 0,0951625.

Ejercicio 22. ---------------

Ejercicio 23.

a) 0,0177384.

b) 13

.

c) 0,044449.

d) -t 0,060,01 j e ⋅⋅ ⋅ .

e)

j6 .

f) -t 0,06

0,06 e ⋅⋅ .

Ejercicio 24.

a) j

6. b) ( )

5

6

644 t

44− .

Ejercicio 25. 64.




Ejercicio 26.

a) ( )

50

45j j 1⋅ +

.b) 9.

Ejercicio 27.

a) 254,12 y 189,54.

Ejercicio 28.

a) 248,08224 y

186,53744.

b) 563,38784 y

245,98198.

c) 0,3125.

Ejercicio 29.

a) 0,303705. b) 38,68775 y 1,074523.

Ejercicio 30.

a) 0,006678.

b)

0,125.

c) 36,80145 y 1,051363.

d)

1,255583 ; 1; 2; 0,5779751356.

Ejercicio 31. 0,0406512083323753.

Ejercicio 32. 0,03067455428.

Ejercicio 33. 447

.

Ejercicio 34.

Ejercicio 35. 0,0199003325.

Ejercicio 36.

0,19133333.

Ejercicio 37. 25.

Ejercicio 38. 0,22333333.

Ejercicio 39. 0,00985181.


Ejercicio 1.

x l (x;aa) l (x;i) i (x;x+1) d (x;aa) d (x;ai) d (x;ii)

30 1.000.000 1.000 995 9.995 52,3684 100

31 989.010 1.842,6 1.958,24 19.760,41 158,776 276,394

32 967.291,3 3.365,7 2.858,34 28.975,21 317,594 673,14

33 935.457,7 5.233,3




Ejercicio 2.

a) --------------- b) 444.470,12; 11.911,78; 544.618,08.

Ejercicio 3. 216.157,8295.

Ejercicio 4.

0,89.

Ejercicio 5. ---------------

Ejercicio 6.

a) 0,0000494205. b) 0,009925373. c) 0,004962686.

Ejercicio 7. 0,0119676437.

Ejercicio 8. 0,0065131275.

Ejercicio 9. 0,00192039.

Ejercicio 10. ---------------


Ejercicio 12.

a) 44.444,4444. b) 800. c) 0,2.

Ejercicio 13.

a) 5.811,58. b) 5.777,81.

Ejercicio 14. 281.123,5434.

Ejercicio 15. ---------------

Ejercicio 16.

a) 0,99000499246. b) 9.692,298 y 298,233947.

Ejercicio 17.

a) ≤.

b) =.

c) ≥.

d) ≤.

e) =.

f) ≥.

g) ≥.

h) ≤.

Ejercicio 18. 1.602,7316 y 1.304,4717.

Ejercicio 19. 0,01.

Ejercicio 20.

0,893168.




Ejercicio 21.

a) 0,028672. b) 0,5213269.

Ejercicio 22. Al lado derecho se le debe restar p (x;h+n;aa) q (x+h+n;0;1;ai).


Ejercicio 1.

x L (x;a) L (x;i) I (x;x+1) B (x;x+1) D (x;aa) D (x;ai) D (x;ii) D (x;ia)

55 1.000.000 1.000 4.950 92,5 19.950 407,351 142,5 0,93444

56 975.191,5 5.313,7 6.689,84 725,313 38.871,1 661,63 884,722 14,8023

57 930.341,1 9.731,7 8.121,876 1.741,991 55.569,2 952,846 1.839,30 53,87603

58 868.338 13.319

Ejercicio 2.

a) ---------------

b) 758.264,4755 y 40.680,91.

c) 148.214,91.

d) 8.839,69.

Ejercicio 3. 177.378,5076 y 64.457,2227.

Ejercicio 4. 0,041.

Ejercicio 5.

---------------

Ejercicio 6. 3.026,9794.

Ejercicio 7. 0,7569621.

Ejercicio 8.

a) 10,0501. b) 9,579851.

Ejercicio 9. 0,008.


Ejercicio 11. ---------------

Ejercicio 12. 7.400,8851 y 1.926,274043.

Ejercicio 13.

a) ≥. b) ≤.

Ejercicio 14.

3.713,54432.





Ejercicio 1.

x l(x;0) l(x+1;1) l(x+2)

58 10.000

59 9.782,60 9.000

60 9.216,58 8.571,42 7.200

61 7.848,83 6.750 5.400

Ejercicio 2.

a) 0,184.

b)

0,1488.c) 0,688.

Ejercicio 3. ---------------

Ejercicio 4.

a) 0,85 y 0,92.

b) 99.667,7740864.

c) 94.313,4003644.

Ejercicio 5.

98.371,8105739.

Ejercicio 6. n = 10.

Date post:	07-Jul-2018
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Guia Biometria Actuarial

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