TP - Biometria Actuarial - Analisis de Tabla de Mortalidad

8/10/2019 TP - Biometria Actuarial - Analisis de Tabla de Mortalidad

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Trabajo Prctico

B iometra

Actuar ia l

Tablas de

MortalidadProfesora: Laura Lacasta

Alumno: Santiago Martnez

Registro: 847109


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Trabajo Prctico Biometra Actuarial Santiago Martnez - 847109

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1. Introduccin ............................................................................................................................................................ 3

1.1.Consigna y objetivo ................................................................................................................................................. 3

1.2. Marco Terico .................................................................................................................................................... 4

1.3. Alcance ............................................................................................................................................................... 4

2. Primera Parte .......................................................................................................................................................... 5

2.1. Eleccin de la ley ................................................................................................................................................ 5

2.2. Datos de tablas de mortalidad .......................................................................................................................... 5

2.3. Mtodologa de estimacin ............................................................................................................................... 5

2.4. Resultados de la estimacin .............................................................................................................................. 6

2.4.1. Segunda Ley de Makeham ........................................................................................................................... 6

2.4.1.1. CSO 80 Masculina ........................................................................................................................................ 6

2.4.1.2. Argentina1991........................................................................................................................................... 7

2.4.2. Ley de Lazarus ............................................................................................................................................... 7

2.4.2.1. CSO 80 Masculina .................................................................................................................................... 7

2.4.2.2. Argentina1991.......................................................................................................................................... 8

2.5. Anlisis de Resultados ....................................................................................................................................... 8

2.5.1. CSO 80 Masculina ........................................................................................................................................ 8

2.5.2. Argentina 1991 Masculina ........................................................................................................................... 13

2.6. Test de Chi-Cuadrado ....................................................................................................................................... 16

3. Segunda Parte ......................................................................................................................................................... 18

4. Conclusiones ........................................................................................................................................................... 19

5. Bibliografa ............................................................................................................................................................ 20

6.Anexo ...................................................................................................................................................................... 21


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1. In troducc in

1.1. Consigna y objetivo

El objetivo del presente trabajo es aproximar la mortalidad de dos tablas dadas mediante 2 leyes

distintas. Para dicho fin debern elegirse las leyes de mortalidad, estimar sus parmetros, obtener

resultados y realizar la comparacin.

Se solicita entonces:

1. Elegir una de las siguientes leyes de mortalidad y estimar los parmetros para aproximar las

mortalidades de las dos tablas a esa ley elegida:

GOMPERTZ

MAKEHAM

MAKEHAM II

Explicar qu tipo de datos son los provistos por las tablas de mortalidad (Completos o

Incompletos, Exactos o Agrupados) y aclarar el mtodo utilizado.

2. Repetir el experimento para la ley de:

LAZARUS

3. Graficar las curvas de mortalidad obtenidas y las originales, compararlas y analizar los

resultados teniendo en cuenta los siguientes puntos:

Qu ley de las escogidas es ms apropiada para cada tabla?

Qu limitaciones y ventajas tiene cada aproximacin calculada segn se observa

de los grficos y de las frmulas?

Utilizar el test de Chi cuadrado con un nivel de confianza del 95% para la ley de

Lazarus.

SEGUNDA PARTE

4. Para ayudar al anlisis comparativo, se desea responder a las siguientes preguntas, bajo el

supuesto de que las tablas de mortalidad expresan a poblaciones estacionarias:

a. Para los grupos : Menos de 15; entre 15 y 65; Mayores de 65


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i. Qu proporcin de la poblacin representara cada grupo?

ii. Cul sera la edad promedio al fallecimiento de cada grupo de personas?

iii. Cul es la cantidad de aos vividos por cada grupo de personas?

b. Cul es la edad promedio al fallecimiento del total de la poblacin?

5. Liste las dificultades con las que se enfrent al resolver este trabajo prctico.

1.2. Marco Terico

El mejor instrumento para medir la mortalidad en una poblacin es la tabla de mortalidad, que

consiste en la serie cronolgica que expresa la reduccin progresiva de un grupo inicial de

individuos, de la misma edad, por efecto de su fallecimiento. La existencia de tablas de mortalidad

se basa en la Ciencia Actuarial, en cuanto que modeliza la ocurrencia de un suceso: en este caso,

elfallecimiento de un individuo de edad x.

Las probabilidades bsicas de muerte y supervivencia se calculan, fcilmente, a partir de la ley de

mortalidad y de las correspondientes expresiones analticas de la funcin de supervivencia. El tipo

de funcin que se elija depende de los datos observados, as como de las hiptesis que se formule.

La ltima evidencia acerca de las caractersticas de una tabla de mortalidad es el objeto de estudio

del presente trabajo.

1.3. Alcance

En el presente trabajo se aproximar la mortalidad de las tablas CSO 80 Mascu l inay la tabla

Argent in a 1991 Mascul ina mediante la segunda ley de Makeham y la ley de Lazarus.


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Dnde

es la tasa instantnea de mortalidad observada en la tabla y,

es la tasa instantnea de mortalidad estimada mediante una ley.

Para obtener el error mnimo se trabajar con la herramienta de Solver de excel. El solver es una

herramienta que permite resolver y optimizar ecuaciones mediante mtodos numricos.

Es importnate mencionar que para determinarse la tasa instantnea de mortalidad de la tabla es

necesario realizar un supuesto acerca de su comportamiento. A efectos del presente trabajo sedeterminar que la mortalidad se comporta de manera uniforme (supuesto D.U.F.) obteniendose

como:

2.4. Resultados de la estimacin

2.4.1. Segunda Ley de Makeham

La ley a minimizar se comporta de la siguiente forma:

Cabe mencionar que los parmetros de la misma tienen la siguiente restriccin:

2.4.1.1. CSO 80 Masculina

Usando el solver se obtuvieron los siguientes parmetros y error mnimo cuadrtico. En el Anexo seincluye tabla de mortalidad con las estimaciones obtenidas.


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7

2.4.1.2. Argentina1991


2.4.2. Ley de Lazarus

La ley a minimizar se comporta de la siguiente forma:

Cabe mencionar que los parmetros de la misma tienen la siguiente restriccin:

2.4.2.1. CSO 80 MasculinaUsando el solver se obtuvieron los siguientes parmetros y error mnimo cuadrtico. En el Anexo seincluye tabla de mortalidad con las estimaciones obtenidas.

A= 0.000000000010

B= 0.000000004000

C= 1.217998093284

H= 0.000257392706

Error 0.744284027106

A= 0.000000000010

B= 0.000000004000C= 1.214999692074

H= 0.000394997437

Error 1.443895265329

A= 0.000029380288301

B= 0.000000001795252

C= 1.228445447899120

H= 0.000000000000100

G= 0.000000000000152

Error 0.733692014


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8

2.4.2.2. Argentina1991


2.5. Anlisis de Resultados

A fines de analizar las estimaciones obtenidas se grafica la mortalidad por rangos de edad ya que

la bibliografa y mejores prctica recomiendan que la mortalidad debera aproximarse por rangos deedad mediante distitnas leyes. A efecto del anlisis se ha realizado la siguiente segmentacin:

0-5 aos

6-55 aos

56-75 aos

76-99 aos

2.5.1. CSO 80 Masculina

A= 0.0172664882495566B= 0.0000000017952518

C= 1.2254895462178300

H= 0.0000000000001000

G= 0.0000000000001516

Error 1.439591046117

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0.0035

0.004

0.0045

0-5 Aos

Observada Makeham II Lazarus


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El comportamiento de la la tasa instantnea de mortalidad refleja la tendencia esperada. Es decir seobserva un alta mortalidad en el primer tramo de vidafenmeno de mortalidad infantily luegoesta decrece.

Las 2 leyes usadas para aproximar la mortalidad no son buenas en este aspecto. La segunda ley de

Makeham observa un comportamiento lineal dnde la mortalidad aumenta de manera directa con elpaso del tiempo sin poder reflejar el fenmeno de la mortalidad infantil. Por otro lado, la ley deLazarus muestra un comportamiento tambin lineal pero menos intenso y menos sensible al pasodel tiempo. Es por ellos que las estimaciones de la tasa instantnea de mortalidad difieren en mayorcuanta con la observada. Ante esta evidencia, si bien se establece la falencia de ambas leyes, seopta por la segunda ley de Makeham.

En el tramo de edad comprendida desde la infancia hasta la edad adulta se observa un fenmenodigno de mencionar. La tasa instantnea de mortalidad observada se ubica en el medio de ambasleyes. Es decir si se decide estimar por la segunda ley de Makeham se est incurriendo en una

sobreestimacin del parmetro. En cambio si se opta por la ley de Lazarus se tiene unasubestimacin.

Adems, ambas leyes fallan al estimar la forma de la curva. La tasa observada posee uncomportamiento un tanto irregular con un crecimiento no lineal. Se observa un aumento de la tasaen las edades ente 11 y 20 aos para luego decrecer y finalmente aumentar de manera casi lienal.La ley d Makeham presenta un comportamiento lineal y estrictamente creciente mientras que la leyde Lazarus tambin tiene un comportamiento lineal y creciente pero con menor intensidad ypendiente.

Ante esta evidencia resulta indistinto optar por una ya que ninguna refleja el comportamiento de lacurva y mediante una se sobreestima y por otra se subestima.

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

6-55 Aos



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En los primeros tramos de la edad adulta el comportamiento de las estimaciones comienza aasemejarse al comportamiento de las observaciones. Las tres curvas poseen un comportamientocreciente con pendiente no lineal. La pendiente mas acentuada se ve en la tasa observada.

Dado que el comportamiento es smil y los valores estimados por la segunda ley de Makeham estnms cercanos a los observados se opta por la segunda ley de Makeham.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

6-55 Aos


56-75 Aos


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11

La ltima etapa de vida arroja la estimacin de mayor precisin contra los valores observados. Lanica diferencia que puede marcarse es que en las observaciones la mortalidad aumenta de maneracasi exponencial en los ltimos aos y las leyes no reflejan ese fenmeno.

Resulta indistinto para este tramo elegir una u otra ley.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

76-99 Aos



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El anlisis de la tabla en su totalidad, por la influencia de la escala en el eje de ordenadas, arroja unresultado espurio. Las curvas parecen realizar un buen ajuste pero se ha visto en el anlisisprecedente que es acertado llegar a esa conclusin.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tabla Completa



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2.5.2. Argentina 1991 Masculina

Para la tabla de Argentina 1991 las estimaciones obtenidas por ambas leyes tienen uncomportamiento similar y fallan en reflejar la mortalidad infantil. En este caso la ley de Lazarus arroja

valores mayores a la segunda ley de Makeham. El hecho de que la estimacin por Lazarus seencuentra por arriba de la estimacin por Makeham II y la tasa observada para la tabla de Argentina1991 y por debajo en la tabla CSO 80 resulta llamativo. Debera revisarse reestimando losparmetros con herramientas ms potentes.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0-5 Aos



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14

Nuevamente ambas leyes fallan en relfejar el comportamiento de la curva observada. Sin embargo

se ve una marcada diferencia entre la Ley de Makeham y la de Lazarus. La ley de makeham relfeja

un comportamiento lineal y creciente mientras que las estimaciones de Lazarus arrojan un

comportamiento lineal.

Ante esta evidencia resulta conveninte optar por la segunda ley de Makeham.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

6-55 Aos



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15

Las conclusiones obtenidad son las mismas que para la tabla CSO 80. Se opta entonces por la

segunda ley de Makeham.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

56-75 Aos


0

0.5

1

1.5

2

2.5

76-99 Aos



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Las conclusiones obtenidad son las mismas que para la tabla CSO 80. Resulta indistinto optar por

una u otra ley

2.6. Test de Chi-Cuadrado

El test de bondad de ajuste de chi-cuadrado mide la discrepancia entre una distribucin observada yotra terica (bondad de ajuste), indicando en qu medida las diferencias existentes entre ambas.

La hiptesis nula establece que una funcin de distribucin observada en una muestra esconsistente con una funcin de distribucin terica.

Cuanto mayor ser el valor del estadstico mas chances de rechazar la hiptesis. Los grados delibertad del test vienen dados por el nmero de intervalos (si son datos agrupados)/datos menos los

parmetros estimados menos uno.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Toda la Tabla


Es importante mencionar que los parmetros mediante los cuales se realiza la estimacin delas tasas de mortalidad fueron estimados con la herramienta Solver. Esta herramienta norealiza una estimacin perfecta de los parmetros (como se ha visto los errores cuadrticosnunca son cero). Este hecho puede estar desvirtuando de manera sensible los resultados yanlisis realizados.


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Para nuestro anlisis se obtuvieron las funciones de densidad de distribucin de la mortalidadobservada y de la mortalidad terica aproximada por la ley de Lazarus.

Si el estadstico obtenido es menor al valor que acumula el x% de la distribucin (regin sombreadaen amarillo) la chi cuadrado (chi-cuadrado crtico) no hay evidencias para rechazar la hiptesis nula.En caso de que sea mayor la evidencia es suficiente para rechazar la hiptesis nula.

Los resultados obtenidos para nuestro estudio fueron los siguientes:

En ambos casos no se rechaza la hiptesis nula. Ergo, se puede decir que con una confianza del95% no hay evidencia para rechazar la hiptesis que establece que la distribucin de la funcin demortalidad observada en las tablas CSO 80 y Argentina 1991 es consistente con la mortalidadobtenida a partir de la ley de Lazarus para dicha tabla.

Estadstico # Datos Parmetros Chi-cuadrado Test

CSO 80 15.06 100 5 72.6398 Acepto

Arg 1991 1.72 100 5 72.6398 Acepto

Confianza 95%
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/Distribuci%C3%B3n_Chi-cuadrado_03.svg


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3. Segunda Parte

Una interpretacin alternativa de una tabla de mortalidad es aquella que est asociada con elconcepto de una poblacin estacionaria.

Una poblacin estacionaria se puede definir como aquella en la cual el nmero total y la distribucinde la edad no cambian con el tiempo. Tal poblacin hipottica podra obtenerse si el nmero denacimiento por ao permaneciera constante (usualmente se asume 100.000) por un largo perodo detiempo y si cada cohorte de nacimientos ha experimentado las mismas tasas de mortalidadobservadas a lo largo de la vida.

Se incluye a continuacin los resultados obtenidos para la tabla CS0 80.

4) i) a)

Menores de 15 21% Menores de 15 21%

Entre 15 y 65 66% Entre 15 y 65 62%

Mayores de 65 14% Mayores de 65 18%

i) b)

Menores de 15 72.48 Menores de 15 77.37

Entre 15 y 65 75.40 Entre 15 y 65 79.71

Mayores de 65 84.61 Mayores de 65 87.27

i) c)

Menores de 15 10,379,874.96 Menores de 15 10,404,951.43

Entre 15 y 65 180,811,602.96 Entre 15 y 65 186,654,472.16

Mayores de 65 72,026,691.78 Mayores de 65 101,757,076.52

ii)

76.09 80.62

MujeresHombres

Edad Media al fallecimiento

Hombres

Edad Media al fallecimiento

Mujeres

% de la poblacin que representan % de la poblacin que representan

Edad Media al fallecimiento Edad Media al fallecimiento

Aos vividos Aos vividos

Hombres Mujeres

Hombres Mujeres


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4. Conc lus iones

Dado el anlisis realizado acerca de la estimacin de la tasa instantnea de mortalidad medianteleyes de mortalidad puede decirse que no resulta correcto estimar la mortalidad mediante una nica

ley.

Se recomienda es que se usen distintas leyes por tramos de edad que logren captar de modo ms

certero el verdadero comportamiento de la mortalidad.

Ambas leyes analizadas, segunda ley de Makeham y Lazarus, tienen bsicamente el mismo

problema. La estimacin de la mortalidad en las edades ms bajas no es buena pero en edades

adultas refleja el crecimiento de la mortalidad que se observa. Sin embargo las leyes fallan

nuevamente en explicar el incremento de la mortalidad en los ltimos aos de la tabla.

Es importante que se haga una distincin en las edades medias entre ambas leyes. Del anlisis

realizado resulta entonces ms acertado optar por la ley de Makeham II cuyos valores estimados de

la tasa instantnea de mortalidad se encuentran ms cercanos a los observados.

Ante la evidencia que:

Ambas leyes fallan en reflejar fenmeno de mortalidad infantil,

La segunda Ley de Makeham estima mejor en edades intermedias y

Ambas leyes reflejan el aumento de mortalidad en edades adultas y ambas fallan en reflejar

el aceleramiento de dicho crecimiento en los ltimo aos de la tabla,

Se recomienda optar por la segunda Ley de Makeham frente a la de Lazarus. Sin embargo, como se

mencion con anterioridad, se recomienda no aproximar todas las edades de una tabla con una ley

sino que debe buscarse para distintos tramos que leyes estiman de manera ms exacta.

Las conclusiones del test de hiptesis merecen ser analizadas en un prrafo aparte ya que se han

encontrado dificultades al momento de la realizacin del test. La dificultad radica en la obtencin de

la funcin de densidad de mortalidad terica (aquella aproximada por la Ley de Lazarus). Se cree

que los errores incurrido al obtenerla pueden estar ensuciando al test.


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5. B ib l iog rafa

Bowers, Newton L. Jr. y otros, Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, 1997.

Klugman, Stuart A. y otros, Loss Models,Wiley series in probability and statistics, 2004.


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6. Anexo

CSO 80 Masculina - MAKEHAM IIx l(x) p(x) q(x) (x+1/2) (x+1/2) [(x+1/2) - (x+1/2)]^2

0 100,000 0.996 0.0041800 0.0041888 0.000128700777 0.000016484036

1 99,582 0.999 0.0010700 0.0010706 0.000386094446 0.000000468511

2 99,475 0.999 0.0009900 0.0009905 0.000643488324 0.000000120410

3 99,377 0.999 0.0009800 0.0009805 0.000900882457 0.000000006336

4 99,280 0.999 0.0009500 0.0009505 0.001158276902 0.000000043191

5 99,185 0.999 0.0009000 0.0009004 0.001415671725 0.000000265500

6 99,096 0.999 0.0008600 0.0008604 0.001673067011 0.000000660476

7 99,011 0.999 0.0008000 0.0008003 0.001930462859 0.000001277223

8 98,932 0.999 0.0007600 0.0007603 0.002187859392 0.000002037957

9 98,856 0.999 0.0007400 0.0007403 0.002445256759 0.000002906967

10 98,783 0.999 0.0007300 0.0007303 0.002702655142 0.000003890317

11 98,711 0.999 0.0007700 0.0007703 0.002960054763 0.000004795041

12 98,635 0.999 0.0008500 0.0008504 0.003217455891 0.000005603136

13 98,551 0.999 0.0009900 0.0009905 0.003474858856 0.000006172087

14 98,454 0.999 0.0011500 0.0011507 0.003732264057 0.000006664671

15 98,340 0.999 0.0013300 0.0013309 0.003989671982 0.000007069148

16 98,210 0.998 0.0015100 0.0015111 0.004247083224 0.000007485380

17 98,061 0.998 0.0016700 0.0016714 0.004504498508 0.000008026472

18 97,898 0.998 0.0017800 0.0017816 0.004761918714 0.000008882385

19 97,723 0.998 0.0018600 0.0018617 0.005019344914 0.000009970523

20 97,542 0.998 0.0019000 0.0019018 0.005276778416 0.000011390434

21 97,356 0.998 0.0019100 0.0019118 0.005534220812 0.000013121746

22 97,170 0.998 0.0018900 0.0018918 0.005791674040 0.000015209113

23 96,987 0.998 0.0018600 0.0018617 0.006049140462 0.000017534395

24 96,806 0.998 0.0018200 0.0018217 0.006306622953 0.000020114913

25 96,630 0.998 0.0017700 0.0017716 0.006564125018 0.000022968604

26 96,459 0.998 0.0017300 0.0017315 0.006821650923 0.000025909659

27 96,292 0.998 0.0017100 0.0017115 0.007079205865 0.000028812660

28 96,128 0.998 0.0017000 0.0017014 0.007336796174 0.000031757169

29 95,964 0.998 0.0017100 0.0017115 0.007594429561 0.000034609292

30 95,800 0.998 0.0017300 0.0017315 0.007852115415 0.000037461961

31 95,634 0.998 0.0017800 0.0017816 0.008109865175 0.000040047122

32 95,464 0.998 0.0018300 0.0018317 0.008367692772 0.00004271951533 95,289 0.998 0.0019100 0.0019118 0.008625615175 0.000045074968

34 95,107 0.998 0.0020000 0.0020020 0.008883653051 0.000047357121

35 94,917 0.998 0.0021100 0.0021122 0.009141831572 0.000049415321

36 94,717 0.998 0.0022400 0.0022425 0.009400181400 0.000051232237

37 94,505 0.998 0.0024000 0.0024029 0.009658739878 0.000052647452

38 94,278 0.997 0.0025800 0.0025833 0.009917552493 0.000053790783

39 94,035 0.997 0.0027900 0.0027939 0.010176674645 0.000054505399

40 93,772 0.997 0.0030200 0.0030246 0.010436173814 0.000054931914

41 93,489 0.997 0.0032900 0.0032954 0.010696132187 0.000054770527

42 93,182 0.996 0.0035600 0.0035663 0.010956649870 0.000054616560

43 92,850 0.996 0.0038700 0.0038775 0.011217848793 0.00005388067744 92,490 0.996 0.0041900 0.0041988 0.011479877464 0.000053014140


22/29


22

45 92,103 0.995 0.0045500 0.0045604 0.011742916766 0.000051588908

46 91,684 0.995 0.0049200 0.0049321 0.012007187016 0.000050056389

47 91,233 0.995 0.0053200 0.0053342 0.012272956557 0.000048146496

48 90,747 0.994 0.0057400 0.0057565 0.012540552232 0.000046023077

49 90,227 0.994 0.0062100 0.0062293 0.012810372135 0.000043309956

50 89,666 0.993 0.0067100 0.0067326 0.013082901144 0.00004032647951 89,065 0.993 0.0073000 0.0073267 0.013358729837 0.000036384870

52 88,414 0.992 0.0079600 0.0079918 0.013638577541 0.000031886013

53 87,711 0.991 0.0087100 0.0087481 0.013923320392 0.000026782927

54 86,947 0.990 0.0095600 0.0096059 0.014214025522 0.000021234671

55 86,115 0.990 0.0104700 0.0105251 0.014511992697 0.000015895322

56 85,214 0.989 0.0114600 0.0115260 0.014818805028 0.000010842274

57 84,237 0.988 0.0124900 0.0125685 0.015136390744 0.000006594113

58 83,185 0.986 0.0135900 0.0136830 0.015467098422 0.000003183093

59 82,055 0.985 0.0147700 0.0148799 0.015813788623 0.000000872170

60 80,843 0.984 0.0160800 0.0162103 0.016179945509 0.000000000923

61 79,543 0.982 0.0175400 0.0176952 0.016569812778 0.00000126646762 78,148 0.981 0.0191900 0.0193759 0.016988559249 0.000005699453

63 76,648 0.979 0.0210600 0.0212841 0.017442480534 0.000014758208

64 75,034 0.977 0.0231400 0.0234109 0.017939244674 0.000029938615

65 73,297 0.975 0.0254200 0.0257472 0.018488191330 0.000052693897

66 71,434 0.972 0.0278500 0.0282433 0.019100696191 0.000083586981

67 69,445 0.970 0.0304400 0.0309105 0.019790614825 0.000123650894

68 67,331 0.967 0.0331900 0.0337501 0.020574823287 0.000173587459

69 65,096 0.964 0.0361700 0.0368362 0.021473876580 0.000236000439

70 62,742 0.960 0.0395100 0.0403062 0.022512810656 0.000316606483

71 60,263 0.957 0.0433000 0.0442582 0.023722119262 0.000421730194

72 57,653 0.952 0.0476500 0.0488130 0.025138943718 0.000560459472

73 54,906 0.947 0.0526400 0.0540629 0.026808522086 0.000742803104

74 52,016 0.942 0.0581900 0.0599338 0.028785954235 0.000970186622

75 48,989 0.936 0.0641900 0.0663185 0.031138351703 0.001237642271

76 45,844 0.929 0.0705300 0.0731082 0.033947456214 0.001533560661

77 42,611 0.923 0.0771200 0.0802130 0.037312829034 0.001840425854

78 39,325 0.916 0.0839000 0.0875737 0.041355735592 0.002136101847

79 36,026 0.909 0.0910500 0.0953928 0.046223876953 0.002417578586

80 32,745 0.901 0.0988400 0.1039786 0.052097152729 0.002691687017

81 29,509 0.893 0.1074800 0.1135840 0.059194680307 0.002958198575

82 26,337 0.883 0.1172500 0.1245519 0.067783344244 0.003222663512

83 23,249 0.872 0.1282600 0.1370489 0.078188209424 0.003464586676

84 20,267 0.860 0.1402500 0.1508267 0.090805204256 0.003602582835

85 17,425 0.847 0.1529500 0.1656154 0.106116568784 0.003540115776

86 14,760 0.834 0.1660900 0.1811321 0.124709670466 0.003183492431

87 12,308 0.820 0.1795500 0.1972589 0.147299921745 0.002495901457

88 10,098 0.807 0.1932700 0.2139445 0.174758693609 0.001535529744

89 8,147 0.793 0.2072900 0.2312588 0.208147314265 0.000534141718

90 6,458 0.778 0.2217700 0.2494278 0.248758479442 0.000000447992

91 5,026 0.763 0.2369800 0.2688342 0.298166690075 0.000860397346

92 3,835 0.747 0.2534500 0.2902293 0.358289685299 0.004632214793

93 2,863 0.728 0.2721100 0.3149622 0.431463267726 0.013572503603

94 2,084 0.704 0.2959000 0.3472801 0.520532440481 0.030016377226

95 1,467 0.670 0.3299600 0.3951522 0.628962411948 0.05466720963696 983 0.615 0.3845500 0.4760903 0.760973799331 0.081158634691


23/29


23

97 605 0.520 0.4802000 0.6319253 0.921707306336 0.083973638248

98 315 0.342 0.6579800 0.9805815 1.117424300275 0.018725948853

99 108 0.000 1.0000000 2.0000000 1.355751114598 0.415056626342

Argentina 1991 Masculina - MAKEHAM IIx l(x) p(x) q(x) (x+1/2) (x+1/2) [(x+1/2) - (x+1/2)]^2

0 100,000 0.973 0.0273300 0.0277086 0.000197503137 0.000756862571

1 97,267 0.998 0.0022300 0.0022325 0.000592501522 0.000002689560

2 97,050 0.999 0.0010200 0.0010205 0.000987500110 0.000000001090

3 96,951 0.999 0.0007000 0.0007002 0.001382498946 0.000000465470

4 96,883 0.999 0.0005100 0.0005101 0.001777498083 0.000001606222

5 96,834 1.000 0.0004000 0.0004001 0.002172497585 0.000003141464

6 96,795 1.000 0.0003800 0.0003801 0.002567497532 0.000004784830

7 96,758 1.000 0.0003600 0.0003601 0.002962498018 0.000006772659

8 96,723 1.000 0.0003600 0.0003601 0.003357499160 0.000008984613

9 96,689 1.000 0.0003500 0.0003501 0.003752501098 0.00001157659710 96,655 1.000 0.0003500 0.0003501 0.004147504004 0.000014420571

11 96,621 1.000 0.0003800 0.0003801 0.004542508087 0.000017325872

12 96,584 1.000 0.0004000 0.0004001 0.004937513598 0.000020588304

13 96,546 1.000 0.0005000 0.0005001 0.005332520845 0.000023352049

14 96,497 0.999 0.0006000 0.0006002 0.005727530202 0.000026289720

15 96,439 0.999 0.0007300 0.0007303 0.006122542121 0.000029076636

16 96,369 0.999 0.0008700 0.0008704 0.006517557154 0.000031890625

17 96,285 0.999 0.0010200 0.0010205 0.006912575970 0.000034716318

18 96,187 0.999 0.0011500 0.0011507 0.007307599383 0.000037907882

19 96,076 0.999 0.0012600 0.0012608 0.007702628381 0.000041497226

20 95,955 0.999 0.0013400 0.0013409 0.008097664165 0.000045653884

21 95,827 0.999 0.0014300 0.0014310 0.008492708193 0.000049867395

22 95,690 0.999 0.0014500 0.0014511 0.008887762239 0.000055304659

23 95,551 0.999 0.0015000 0.0015011 0.009282828455 0.000060554896

24 95,408 0.998 0.0015100 0.0015111 0.009677909460 0.000066696109

25 95,264 0.998 0.0015100 0.0015111 0.010073008431 0.000073305575

26 95,120 0.998 0.0015500 0.0015512 0.010468129232 0.000079511588

27 94,972 0.998 0.0015500 0.0015512 0.010863276556 0.000086714729

28 94,825 0.998 0.0015700 0.0015712 0.011258456106 0.000093842283

29 94,676 0.998 0.0016100 0.0016113 0.011653674811 0.000100849350

30 94,524 0.998 0.0016400 0.0016413 0.012048941088 0.000108318038

31 94,369 0.998 0.0016800 0.0016814 0.012444265165 0.000115839000

32 94,210 0.998 0.0017600 0.0017616 0.012839659471 0.000122724506

33 94,044 0.998 0.0018400 0.0018417 0.013235139103 0.000129810583

34 93,871 0.998 0.0019400 0.0019419 0.013630722407 0.000136628952

35 93,689 0.998 0.0021100 0.0021122 0.014026431673 0.000141948240

36 93,492 0.998 0.0023000 0.0023026 0.014422293981 0.000146885818

37 93,277 0.998 0.0024700 0.0024731 0.014818342237 0.000152406136

38 93,046 0.997 0.0027000 0.0027036 0.015214616418 0.000156524283

39 92,795 0.997 0.0030000 0.0030045 0.015611165099 0.000158927834

40 92,517 0.997 0.0032300 0.0032352 0.016008047298 0.000163144992

41 92,218 0.996 0.0035400 0.0035463 0.016405334719 0.000165355368

42 91,891 0.996 0.0039300 0.0039377 0.016803114487 0.000165517921

43 91,530 0.996 0.0042900 0.0042992 0.017201492454 0.00016646858744 91,137 0.995 0.0047100 0.0047211 0.017600597235 0.000165880979


24/29


24

45 90,708 0.995 0.0052400 0.0052538 0.018000585094 0.000162481426

46 90,233 0.994 0.0058200 0.0058370 0.018401645892 0.000157870688

47 89,708 0.994 0.0063800 0.0064004 0.018804010311 0.000153849119

48 89,135 0.993 0.0070200 0.0070447 0.019207958629 0.000147944204

49 88,510 0.992 0.0078200 0.0078507 0.019613831384 0.000138371349

50 87,818 0.991 0.0085600 0.0085968 0.020022042329 0.00013053629351 87,066 0.991 0.0094500 0.0094949 0.020433094174 0.000119644896

52 86,243 0.990 0.0104100 0.0104645 0.020847597711 0.000107809392

53 85,345 0.989 0.0114600 0.0115260 0.021266295055 0.000094872486

54 84,367 0.988 0.0124000 0.0124774 0.021690087871 0.000084874362

55 83,321 0.986 0.0136000 0.0136931 0.022120071685 0.000071013630

56 82,188 0.985 0.0148400 0.0149509 0.022557577560 0.000057860997

57 80,968 0.984 0.0160600 0.0161900 0.023004222735 0.000046433553

58 79,668 0.983 0.0174000 0.0175527 0.023461972159 0.000034919396

59 78,282 0.981 0.0189400 0.0191211 0.023933213240 0.000023156659

60 76,799 0.980 0.0203300 0.0205388 0.024420846682 0.000015070468

61 75,238 0.978 0.0216900 0.0219278 0.024928396836 0.00000900353962 73,606 0.977 0.0234900 0.0237692 0.025460145789 0.000002859403

63 71,877 0.975 0.0252700 0.0255934 0.026021296277 0.000000183119

64 70,060 0.973 0.0268200 0.0271845 0.026618169620 0.000000320781

65 68,181 0.971 0.0291000 0.0295297 0.027258446220 0.000005158396

66 66,197 0.968 0.0315700 0.0320763 0.027951457765 0.000017014528

67 64,107 0.966 0.0344000 0.0350020 0.028708542251 0.000039608051

68 61,902 0.963 0.0373000 0.0380089 0.029543475342 0.000071662828

69 59,593 0.959 0.0410300 0.0418894 0.030472994463 0.000130333407

70 57,148 0.955 0.0447800 0.0458056 0.031517435581 0.000204151274

71 54,589 0.951 0.0486400 0.0498524 0.032701506891 0.000294153499

72 51,934 0.947 0.0526600 0.0540840 0.034055228841 0.000401152979

73 49,199 0.943 0.0571500 0.0588311 0.035615076266 0.000538983695

74 46,387 0.939 0.0609900 0.0629084 0.037425366079 0.000649384579

75 43,558 0.934 0.0658400 0.0680812 0.039539943318 0.000814605287

76 40,690 0.928 0.0722800 0.0749901 0.042024229685 0.001086751493

77 37,749 0.992 0.0078700 0.0079011 0.044957712529 0.001373193215

78 37,452 0.914 0.0861200 0.0899952 0.048436968954 0.001727085987

79 34,227 0.905 0.0954300 0.1002116 0.052579340111 0.002268831831

80 30,960 0.894 0.1059400 0.1118655 0.057527395464 0.002952631387

81 27,680 0.885 0.1146900 0.1216670 0.063454356868 0.003388711094

82 24,506 0.877 0.1226000 0.1306062 0.070570688821 0.003604257494

83 21,501 0.865 0.1347200 0.1444502 0.079132105625 0.004266448616

84 18,605 0.853 0.1471300 0.1588131 0.089449300078 0.004811334598

85 15,867 0.842 0.1584000 0.1720243 0.101899763836 0.004917454313

86 13,354 0.826 0.1736200 0.1901247 0.116942149139 0.005355689791

87 11,035 0.814 0.1862800 0.2054121 0.135133718324 0.004939048295

88 8,980 0.802 0.1982300 0.2200392 0.157151544955 0.003954855106

89 7,200 0.789 0.2114900 0.2364985 0.183818273204 0.002775210287

90 5,677 0.776 0.2238200 0.2520240 0.216133415489 0.001288134529

91 4,406 0.763 0.2372900 0.2692332 0.255311379086 0.000193816245

92 3,361 0.752 0.2480000 0.2831050 0.302827668466 0.000388982751

93 2,527 0.741 0.2594800 0.2981638 0.360475021104 0.003882692369

94 1,872 0.728 0.2715800 0.3142523 0.430431612481 0.013497627320

95 1,363 0.715 0.2851500 0.3325655 0.515343925135 0.03340794154196 975 0.704 0.2961300 0.3475969 0.618427434535 0.073349156185


25/29


26/29


26

45 92,103 0.995 0.0045500 0.0045604 0.000050264481 0.000020341096

46 91,684 0.995 0.0049200 0.0049321 0.000055035380 0.000023786082

47 91,233 0.995 0.0053200 0.0053342 0.000060896169 0.000027807617

48 90,747 0.994 0.0057400 0.0057565 0.000068095828 0.000032358183

49 90,227 0.994 0.0062100 0.0062293 0.000076940217 0.000037852049

50 89,666 0.993 0.0067100 0.0067326 0.000087805066 0.00004415313851 89,065 0.993 0.0073000 0.0073267 0.000101151940 0.000052209161

52 88,414 0.992 0.0079600 0.0079918 0.000117547848 0.000062003963

53 87,711 0.991 0.0087100 0.0087481 0.000137689325 0.000074139137

54 86,947 0.990 0.0095600 0.0096059 0.000162432032 0.000089179395

55 86,115 0.990 0.0104700 0.0105251 0.000192827097 0.000106755840

56 85,214 0.989 0.0114600 0.0115260 0.000230165776 0.000127596870

57 84,237 0.988 0.0124900 0.0125685 0.000276034307 0.000151104472

58 83,185 0.986 0.0135900 0.0136830 0.000332381295 0.000178238374

59 82,055 0.985 0.0147700 0.0148799 0.000401600495 0.000209620808

60 80,843 0.984 0.0160800 0.0162103 0.000486632507 0.000247234696

61 79,543 0.982 0.0175400 0.0176952 0.000591089695 0.00029255013762 78,148 0.981 0.0191900 0.0193759 0.000719409652 0.000348065075

63 76,648 0.979 0.0210600 0.0212841 0.000877043719 0.000416448836

64 75,034 0.977 0.0231400 0.0234109 0.001070688571 0.000499083424

65 73,297 0.975 0.0254200 0.0257472 0.001308570708 0.000597248924

66 71,434 0.972 0.0278500 0.0282433 0.001600795937 0.000709822372

67 69,445 0.970 0.0304400 0.0309105 0.001959778689 0.000838141784

68 67,331 0.967 0.0331900 0.0337501 0.002400769416 0.000982779438

69 65,096 0.964 0.0361700 0.0368362 0.002942502467 0.001148781537

70 62,742 0.960 0.0395100 0.0403062 0.003607991968 0.001346762140

71 60,263 0.957 0.0433000 0.0442582 0.004425509516 0.001586642419

72 57,653 0.952 0.0476500 0.0488130 0.005429785227 0.001882100633

73 54,906 0.947 0.0526400 0.0540629 0.006663483151 0.002246708177

74 52,016 0.942 0.0581900 0.0599338 0.008179013751 0.002678555118

75 48,989 0.936 0.0641900 0.0663185 0.010040760418 0.003167183072

76 45,844 0.929 0.0705300 0.0731082 0.012327814636 0.003694250290

77 42,611 0.923 0.0771200 0.0802130 0.015137335979 0.004234843845

78 39,325 0.916 0.0839000 0.0875737 0.018588679684 0.004758935435

79 36,026 0.909 0.0910500 0.0953928 0.022828467147 0.005265575898

80 32,745 0.901 0.0988400 0.1039786 0.028036814756 0.005767158327

81 29,509 0.893 0.1074800 0.1135840 0.034434985667 0.006264567166

82 26,337 0.883 0.1172500 0.1245519 0.042294789598 0.006766224372

83 23,249 0.872 0.1282600 0.1370489 0.051950129959 0.007241809020

84 20,267 0.860 0.1402500 0.1508267 0.063811188872 0.007571703357

85 17,425 0.847 0.1529500 0.1656154 0.078381852702 0.007609698899

86 14,760 0.834 0.1660900 0.1811321 0.096281118357 0.007199691907

87 12,308 0.820 0.1795500 0.1972589 0.118269389771 0.006239345807

88 10,098 0.807 0.1932700 0.2139445 0.145280781697 0.004714710279

89 8,147 0.793 0.2072900 0.2312588 0.178462803149 0.002787419442

90 6,458 0.778 0.2217700 0.2494278 0.219225106355 0.000912202812

91 5,026 0.763 0.2369800 0.2688342 0.269299372174 0.000000216423

92 3,835 0.747 0.2534500 0.2902293 0.330812876076 0.001647025900

93 2,863 0.728 0.2721100 0.3149622 0.406378859929 0.008357009496

94 2,084 0.704 0.2959000 0.3472801 0.499207548809 0.023081952984

95 1,467 0.670 0.3299600 0.3951522 0.613242529098 0.04756338644696 983 0.615 0.3845500 0.4760903 0.753328281536 0.076860924195


27/29


27

97 605 0.520 0.4802000 0.6319253 0.925415986433 0.086136810422

98 315 0.342 0.6579800 0.9805815 1.136816344154 0.024409322949

99 108 0.000 1.0000000 2.0000000 1.396510151280 0.364199997508

Argentina 1991 Masculina - LAZARUSx l(x) p(x) q(x) (x+1/2) (x+1/2) [(x+1/2) - (x+1/2)]^2

0 100,000 0.973 0.0273300 0.0277086 0.017266490237 0.000109038461

1 97,267 0.998 0.0022300 0.0022325 0.017266490685 0.000226021200

2 97,050 0.999 0.0010200 0.0010205 0.017266491234 0.000263931566

3 96,951 0.999 0.0007000 0.0007002 0.017266491907 0.000274440534

4 96,883 0.999 0.0005100 0.0005101 0.017266492732 0.000280775689

5 96,834 1.000 0.0004000 0.0004001 0.017266493743 0.000284475912

6 96,795 1.000 0.0003800 0.0003801 0.017266494981 0.000285151274

7 96,758 1.000 0.0003600 0.0003601 0.017266496499 0.000285827432

8 96,723 1.000 0.0003600 0.0003601 0.017266498360 0.000285827495

9 96,689 1.000 0.0003500 0.0003501 0.017266500639 0.000286165921

10 96,655 1.000 0.0003500 0.0003501 0.017266503433 0.000286166016

11 96,621 1.000 0.0003800 0.0003801 0.017266506857 0.000285151675

12 96,584 1.000 0.0004000 0.0004001 0.017266511053 0.000284476496

13 96,546 1.000 0.0005000 0.0005001 0.017266516195 0.000281111873

14 96,497 0.999 0.0006000 0.0006002 0.017266522496 0.000277766970

15 96,439 0.999 0.0007300 0.0007303 0.017266530218 0.000273448016

16 96,369 0.999 0.0008700 0.0008704 0.017266539682 0.000268834098

17 96,285 0.999 0.0010200 0.0010205 0.017266551279 0.000263933517

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20 95,955 0.999 0.0013400 0.0013409 0.017266604253 0.000253628107

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23 95,551 0.999 0.0015000 0.0015011 0.017266701751 0.000248553384

24 95,408 0.998 0.0015100 0.0015111 0.017266749894 0.000248239214

25 95,264 0.998 0.0015100 0.0015111 0.017266808892 0.000248241074

26 95,120 0.998 0.0015500 0.0015512 0.017266881193 0.000246982567

27 94,972 0.998 0.0015500 0.0015512 0.017266969798 0.000246985352

28 94,825 0.998 0.0015700 0.0015712 0.017267078382 0.000246359549

29 94,676 0.998 0.0016100 0.0016113 0.017267211450 0.000245107654

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34 93,871 0.998 0.0019400 0.0019419 0.017268487223 0.000234904778

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37 93,277 0.998 0.0024700 0.0024731 0.017270167300 0.000218954555

38 93,046 0.997 0.0027000 0.0027036 0.017270996888 0.000212207597

39 92,795 0.997 0.0030000 0.0030045 0.017272013539 0.000203561750

40 92,517 0.997 0.0032300 0.0032352 0.017273259433 0.000197066414

41 92,218 0.996 0.0035400 0.0035463 0.017274786265 0.000188471969

42 91,891 0.996 0.0039300 0.0039377 0.017276657380 0.000177926779

43 91,530 0.996 0.0042900 0.0042992 0.017278950413 0.00016847335444 91,137 0.995 0.0047100 0.0047211 0.017281760500 0.000157769734


28/29


28

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50 87,818 0.991 0.0085600 0.0085968 0.017318220422 0.00007606327451 87,066 0.991 0.0094500 0.0094949 0.017329885486 0.000061387574

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29/29


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TP - Biometria Actuarial - Analisis de Tabla de Mortalidad

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