HIDRAULICA UTN - Capítulo 01 a 09 - Version 2015

8/19/2019 HIDRAULICA UTN - Capítulo 01 a 09 - Version 2015

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Índice general

1. Propiedades de los fluidos 5

1.1. Definición de fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Concepto de part́ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Caracteŕısticas de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Gas perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Ecuacíon de Newton - Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6. Compresibilidad - Módulo de elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7. Tensión superficial - Capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8. Tensión de vapor de un ĺıquido - Cavitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2. Estática de los Fluidos 33

2.1. Caracteŕıstica de la presión en un fluido en reposo relativo . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2. Ecuacíon fundamental de la hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3. Manómetros. Presión absoluta y presión relativa o manométrica . . . . . . . . . . . . . 36

2.4. Fuerzas sobre superficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.1. Fuerzas sobre superficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.2. Fuerzas sobre superficies curvas sumergidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5. Flotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5.1. Empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5.2. Estabilidad de los cuerpos sumergidos y flotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6. Masas fluidas sometidas a aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3. Movimiento de Fluidos 75

3.1. Planteo del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2. Punto de vista euleriano - punto de vista lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3. Flujo permanente y no permanente, uni, bi y tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4. Derivada parcial, total y sustancial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5. Ecuaciones del movimiento de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5.1. Ecuacíon de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5.2. Ecuacíon de cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.5.2.1. Distribución de presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.5.2.2. Ecuación del momento de la cantidad de movimiento o momento cinético101

3.5.3. Ecuacíon de la enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.6. Factores de correccíon de la cantidad de movimiento y de la energı́a cinética . . . . . . 116

3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

1


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2 ÍNDICE GENERAL

4. Análisis Dimensional 153

4.1. Conceptos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.2. Teoŕıa de modelos - Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.2.1. Números adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.3. Análisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5. Flujo Potencial Irrotacional o Ideal 181

5.1. Planteo del problema. Planteo de las ecuaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.2. Circulacíon, vorticidad, irrotacionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.3. Función corriente, función potencial y función compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

5.3.1. Red de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.4. Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.5. Soluciones elementales para flujos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.5.1. Corriente uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.5.2. Fuente y sumidero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.5.3. Vórtice libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5.6. Superposición de flujos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.6.1. Fuente + Sumidero equidistantes del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.6.2. Doblete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.6.3. Cilindro sin rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.6.4. Cilindro con rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.6.5. Imágenes - El efecto de pared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.7. Perfil alar de envergadura infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.8. Perfil alar de envergadura finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6. Flujo Laminar 231

6.1. Planteo del problema y de las ecuaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.2. Condición de viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346.3. Ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.3.1. Estudio de los componentes del Tensor de Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . 2396.3.2. Analoǵıa entre el tensor de tensiones de un sólido y un fluido . . . . . . . . . . 243

6.4. Capa limite laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.4.1. Ecuaciones de Prandtl y solucíon de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.4.2. Ecuacíon de Von Karman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

7. Flujo Turbulento 267

7.1. Planteo del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2687.2. Repaso de algunas propiedades de las variables estadı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . 269

7.3. Ecuaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.3.1. Ecuacíon de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.3.2. Ecuacíon de Cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717.3.3. Hipótesis de Turbulencia. Viscosidad de remolino . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.3.4. Distribución de velocidades sobre una placa plana . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.3.5. Factor de Friccíon en una placa plana lisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

7.4. Separación de la capa ĺımite y flujos secundarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2857.5. Chorro libre turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

7.5.1. Dinámica del chorro plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.5.2. Implicancias matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2907.5.3. Chorros axilsimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

7.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298


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ÍNDICE GENERAL 3

8. Escurrimiento - Flujo incompresible 303

8.1. Planteo del problema y de las ecuaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3048.2. Ecuacíon de Darcy-Weisbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3078.3. Determinacion de las variables de que depende el factor de fricción . . . . . . . . . . . 3078.4. Ensayo de Reynolds, regimen laminar, crı́tico y turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . 3098.5. Determinación del factor de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

8.5.1. Determinacíon del factor de fricción en régimen laminar . . . . . . . . . . . . . 3108.5.2. Determinacíon del factor de fricción en régimen turbulento . . . . . . . . . . . 312

8.5.2.1. Concepto de rugosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3138.5.2.2. Factor de fricción para tubos totalmente lisos . . . . . . . . . . . . . . 3168.5.2.3. Factor de fricción para tubos totalmente rugosos . . . . . . . . . . . . 3188.5.2.4. Expresión de Colebrook-White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

8.6. Diagrama de Moody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3208.7. Fórmulas antiguas aplicadas al agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3228.8. Pérdida de carga localizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3238.9. Casos t́ıpicos en una cañeŕıa simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3268.10. Conductos de sección no circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

8.11. Longitud equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3338.12. Cañeŕıas con presiones negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388.13. Tuberı́as ramificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3428.14. Cañerı́as en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3448.15. Resolución de redes de cañeŕıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3468.16. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

9. Escurrimiento en Canales en Régimen Permanente 363

9.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3649.2. Flujo permanente y uniforme en un canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

9.2.1. Fórmula de Chezy - Fórmula de Darcy Weisbach . . . . . . . . . . . . . . . . . 3689.2.2. Fórmula de Manning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3699.2.3. Enerǵıa Especı́fica en un canal. Flujo subcrı́tico, crı́tico y supercrı́tico . . . . . 3729.2.4. Sección Hidráulica Óptima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3749.2.5. Resolución de casos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3789.2.6. Método de las secciones múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

9.3. Flujo permanente gradualmente (o uniformemente) variado . . . . . . . . . . . . . . . 3829.3.1. Ondas gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3829.3.2. Ecuacíon de la pendiente de la superficie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3859.3.3. Curvas de remanso y cáıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3869.3.4. Resolución del flujo uniformemente variado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

9.4. Flujo permanente bruscamente variado. Resalto hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . 3979.4.1. Alturas conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3989.4.2. Pérdida de energı́a a través del resalto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4009.4.3. Longitud del resalto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

9.5. Canales con Cambio de Pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4049.6. Cambio de Sección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4079.7. Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4089.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413


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4 ÍNDICE GENERAL


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Caṕıtulo 1

Propiedades de los fluidos

Contenidos

1.1. Definición de fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Concepto de partı́cula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Caracteŕısticas de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Gas perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Ecuacíon de Newton - Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6. Compresibilidad - Módulo de elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7. Tensión superficial - Capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8. Tensión de vapor de un ĺıquido - Cavitación . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Introducción

En este caṕıtulo definiremos lo que entendemos por fluidos, enunciaremos las principales hipótesis parael estudio de los mismos y definiremos las principales variables que intervienen en el mismo.

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6 CAP ́ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

1.1 Definición de fluido

La materia tal como la conocemos se puede manifestar en tres formas.

Sólidos: Son aquellos que mantienen su forma.

Ĺıquidos: Son aquellos que adoptan la forma del recipiente que los contienen, en particular cuandoel volumen del recipiente supera al volumen del ĺıquido se establecerá una superficie libre.

Gases: Son aquellos que ocupan totalmente el recipiente que los contiene, independientementedel volumen del mismo.

Figura 1.1

Los ĺıquidos y gases componen lo que se denomina fluidos y que constituyen el motivo de estapublicación.Se puede definir un fluido como una sustancia que cambia constantemente de forma en tanto esté so-metido a un esfuerzo de corte, por más pequeño que sea.En contraposición, un cuerpo elástico sufre un desplazamiento definido (o se rompe) cuando se losomete al esfuerzo de corte.Como se muestra en la figura 1.1 el sólido expuesto a un esfuerzo de corte se deforma de modo quedicha deformación queda caracterizada por el ángulo α que se mantiene constante mientras el esfuerzo

cortante se mantenga constante. En cambio el fluido se deforma constantemente cuando se expone adicho esfuerzo. Por lo tanto podemos decir que dicha deformación no está caracterizada por el ángulode deformación sino por la velocidad con que se deforma dicho ángulo. Volveremos sobre este conceptoen punto 1.5.

1.2 Concepto de part́ıcula

Los fluidos se componen de moléculas que se mueven (vibran, se trasladan) y chocan entre śı. Por lotanto si se quisiese realizar un estudio riguroso de un fluido habŕıa que analizar el comportamiento dedichas moléculas.Sin embargo en la mayor parte de los problemas técnicos estamos más interesados en el estudio de los

valores medios de las manifestaciones de un conjunto de moléculas, susceptibles de ser medidos talescomo temperatura, densidad, viscosidad, etc. Estas manifestaciones pueden suponerse establecidas enuna distribución continua de materia, llamada continum o continuo. Este concepto permite simplificarel análisis y el estudio de los fluidos y es la misma hipótesis utilizada para el estudio de los sólidos.Para que la hipótesis del continuo sea válida, es necesario que el recorrido libre medio de las moléculassea del mismo orden de magnitud que la distancia m ás pequeña que intervenga en el problema.El recorrido libre medio de las moléculas está relacionado con la cantidad de moléculas existentesen un volumen dado. Por ejemplo si en un cent́ımetro cúbico de fluido hay n moléculas el recorridolibre medio de las mismas será n−

13 cm. Por lo tanto, cuanto menor sea el número de moléculas por

unidad de volumen más impreciso será la hipótesis establecida. Es decir que la hipótesis del continuono será aplicable, por ejemplo en gases a muy bajas presiones. En la mayoŕıa de los casos que se debeafrontar en la práctica ingenieril (y en especial de la hidráulica) la hipótesis es válida. Vamos en lo


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1.3. CARACTER ́ISTICAS DE LOS FLUIDOS 7

que sigue a calcular cual es el recorrido libre de las moléculas de agua a 5 ◦C y el del aire a presiónatmosférica y 0 ◦C.Para ello recordamos que se define el Número de Avogadro como la cantidad de moléculas que hay en1 mol de materia, y que resulta ser igual a 6,022 × 1023 moĺeculas.Como 1mol de agua tiene una masa de 18 g = 0,018 kg y el agua tiene una densidad de 1000 kg/m3 elvolumen de 1 mol de agua será (ver punto 1.3).

ρ = m

∀ ⇒ ∀ = m

ρ =

0,018kg

1000 kg/m3 = 1,8 × 10−5 m3

Donde:ρ: Densidadm: Masa∀: Volumen

Por lo tanto en 1,8 × 10−5 m3 hay 6,022 × 1023 moléculas y en 1 m3 habrá:

No moléculas de agua en 1 m3 = 6,022 × 1023

1,8 × 10−5 = 3,346 × 1028

Entonces el recorrido libre de las moléculas X en metros será:

X agua a 5 ◦C = (3,346 × 1028)−13 = 3,1 × 10−10 m = 3,1 × 10−7 mm

Para el aire recordando que 1mol de un gas perfecto en condiciones normales de presi ón y temperatura(presión atmosférica y 0 ◦C) ocupa 22,4 l es decir 22,4 dm3 = 0,0224m3. Entonces podemos calcular lacantidad de moléculas en 1 m3.

No moléculas de aire en 1 m3 = 6,022 × 1023

0, 0224 = 2,688 × 1025

Y por lo tanto el recorrido libre será:

X aire a p.a.t.m. y 0 ◦C = (2,688 × 1025)−13 = 3,34 × 10−9 m = 3,34 × 10−6 mm

Como se puede observar estos valores son mucho más pequeños que cualquier part́ıcula que podamosimaginar en un problema de ingenieŕıa habitual.

1.3 Densidad, volumen espećıfico, peso espećıfico, den-

sidad relativa, presión, temperatura

La densidad ρ de un fluido se define como la masa por unidad de volumen. La densidad de un fluidopuede variar punto a punto por lo tanto es conveniente definir:

ρ = ĺım∆∀→0

∆m

∆∀Donde m es la masa y ∀ el volumen. ∆∀ es un infinit́esimo de orden superior al cubo del recorridolibre de las moléculas.

En el sistema M, K, S (metro, kilogramo, segundo), la unidad de masa es el kilogramo ( kg), en tantoque la unidad de dimensión es el metro (m), por lo tanto en el sistema M, K, S la unidad de densidades:

[ρ] = kg

m3


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Algunos valores tı́picos de densidad son:

ρagua a 5 ◦C = 1000 kg

m3

ρaire a patm y 15◦

C = 1,225

kg

m3

La densidad de los fluidos vaŕıa con la presión y la temperatura.Es común decir que la densidad del agua es 1, cosa que es cierta si agregamos las unidades:


dm3

Ya que 1 dm3 = 11 la densidad del agua también puede establecerse como:


l

En hidráulica es común despreciar la variación de la densidad del agua con la temperatura y en general

se adopta:ρagua = 1000

kg

m3 = 1

kg

dm3 = 1

kg

l

En los gases en cambio la variación de la densidad con la presión es muy importante y como veremosmás adelante cuando se duplica la presión absoluta la densidad se reduce a la mitad.El volumen espećıfico v es la inversa de la densidad:

v = 1

ρ

Obviamente las unidades del volumen espećıfico en el sistema M, K, S serán las inversas de lacorrespondiente a la densidad.El peso especı́fico γ es el peso por unidad de volumen o sea:

γ = ρ · gDonde g es la aceleración de la gravedad. Por lo tanto al igual que la aceleracíon de la gravedad, elpeso espećıfico depende del lugar en que se mida (no aśı la densidad).Las unidades del peso espećıfico en el sistema M, K, S serán:

[γ ] = [ρ] · [g] = kgm3

· ms2

Y recordando que por definición una fuerza de 1 N es aquella que aplicada a 1 kg masa le produce unaaceleración de 1 m/s2 resulta:

[γ ] = N

m3

Entonces el peso especı́fico del agua expresado en unidades M, K, S será:

γ agua = ρagua · gγ agua = 1000

kg

m3 · 9,807 m

s2

γ agua = 9807 N

m3

Si recordamos que por definición una fuerza de 1 kg es aquella que aplicada a una masa de 1 kg leproduce una aceleración de 9,8m/s2, el peso espećıfico del agua se puede poner:

γ agua = 1000 k g

m3


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1.3. CARACTER ́ISTICAS DE LOS FLUIDOS 9

La unidad k g pertenece al denominado “sistema técnico” de unidades. El sistema técnico es ampliamenteutilizado en nuestro paı́s en la industria y tiene la gran ventaja que en la tierra el módulo de la masay del peso son coincidentes. Sin embargo se debe advertir que mientras la masa mide la cantidad demateria, y es independiente del lugar donde se la mida, el peso mide la fuerza a que dicha cantidadde materia dará lugar cuando es expuesta a un campo gravitatorio. Matemáticamente la masa esexpresada por un escalar (o campo escalar), mientras que el peso es expresado por un vector (o campovectorial).En esta publicación utilizaremos cualquiera de los dos sistemas a fin que el lector se familiarice conambos y tenga el elemento más idóneo para utilizar cuando lo requiera.La densidad relativa de un fluido se define como el cociente entre la densidad del fluido y la densidadde otro admitido como patrón. Para los ĺıquidos el fluido patrón es el agua y para los gases el aire, porlo tanto:

ρr = ρ

ρaguapara ĺıquidos

ρr = ρa patm y 15 ◦Cρaire a patm y 15 ◦C

para gases

Donde:ρr: Densidad relativa.ρ: Densidad del fluido.

De la misma forma se define el peso espećıfico relativo:

γ r = γ

γ aguapara ĺıquidos

γ r = γ a patm y 15 ◦Cγ aire a patm y 15 ◦C

para gases

Y como la relación entre pesos espećıficos y densidades es la aceleración de la gravedad g es evidenteque las densidades relativas y los pesos especı́ficos relativos de una sustancia son coincidentes.

Ejemplo 1.1

Obtener el valor de las densidades y pesos espećıficos de un barro de densidad relativa 1,3 y del gasdomiciliario que tiene un peso espećıfico relativo de 0,6 a presión atmosférica y temperatura de 15 ◦C.

Para el barro (al que consideraremos como lı́quido) la densidad resulta:

ρbarro = ρrbarro · ρagua = 1, 3 · 1000 kg

m3 = 1300

kg3

m3

En tanto que el peso espećıfico expresado en el sistema M, K, S

γ barro = γ rbarro · γ agua = 1, 3 · 9807 N

m3 = 12749

N

m3

O en el sistema técnico:

γ barro = 1, 3 · 1000 k gm3

= 1300 k g

m3

Para el gas domiciliario (compuesto principalmente por metano) la densidad será:

ρgas = ρrgas · ρaire = 0, 6 · 1,225 kg

m3 = 0,735

kg

m3

En tanto que el peso espećıfico en el sistema M, K, S:

γ gas = γ rgas · γ aire = 0, 6 · 1,225 kg

m3 · 9,807 m

s2 = 7,208

N

m3


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En el sistema técnico:

γ gas = γ rgas · γ gas = 0, 6 · 1,225 k g

m3 = 0,735

k g

m3

Se define como presión en un punto a la relación:

p = ĺım∆A→0

f n∆A

Donde f n es la fuerza normal al área A como se muestra en la figura 1.2.

Figura 1.2

Las unidades de presión serán entonces:

[ p] = [F ]

[A]

En el sistema M, K, S:

[ p] = N

m2 que se conoce como Pascal [Pa]

Y en el sistema técnico:

[ p] =

k g

m2

En general en la industria tanto el Pa como el k g/m2 resultan muy pequeños y da lugar a módulosmuy grandes, por lo tanto es común la utilización del Kilopascal [kPa], Bares [bar] y del Megapascal[MPa] en el sistema M, K, S y del k g/cm2 en el sistema técnico. En particular esta última unidad es lamás comúnmente utilizada, las relaciones entre ellas son:

1 MPa = 106 Pa

1 kPa = 103 Pa

1 bar = 105 Pa

1 k g

cm2 = 104

k g

m2

1 k gm2

= 9,8 Pa

En la que sigue no denominaremos al N/m2 Pascal sino que lo dejaremos expresado como N/m2.

Ejemplo 1.2

Determinar la presión ejercida por una fuerza expresada en Newtons cuyas componentes son 10̆i; 8˘ j;20k̆ y que actúa sobre una superficie de 0,5 m2 ubicada en el plano x, y .

Como la fuerza está concentrada y no vaŕıa con la superficie:

p = f n

A


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1.4. GAS PERFECTO 11

La componente normal al plano x, y tiene versor k̆ y por lo tanto la presión será:

p = 20 N

0,5 m2 = 40

N

m2

Los fluidos pueden soportar esfuerzos de compresión importantes, sin embargo prácticamente no puedensoportar esfuerzos de tracción. Por lo tanto la presión es la tensión normal que actúa en un fluido y essiempre de compresión. Si bien en mecánica del sólido las tensiones de compresión son negativas, enla mecánica de los fluidos la presión (que es una tensión de compresión) será positiva. Dado que losfluidos no soportan esfuerzos de tracción las presiones negativas no tienen significado f́ısico.A nivel molecular la presión en el seno de un fluido es la manifestaci ón macroscópica de los choquesintermoleculares, por lo tanto cuando se reduce el volumen de una determinada masa de fluido tambiénse reduce el recorrido libre de las moléculas y por lo tanto aumenta la cantidad de choques y por lotanto la presión (como se verá en el punto 1.6). Obviamente si la presión en el seno de un fluido es lamanifestación del número de choques moleculares, la mı́nima expresión es que no haya ningún choque.

Desde este punto de vista tampoco pueden existir presiones negativas.Dado que la presión en el seno de un fluido es la misma en cualquier direcci ón y sentido, matemáticamentela presión es representada por un escalar (o campo escalar).En el capı́tulo 2 veremos que también se puede expresar la presión como una columna de lı́quidos dedeterminado peso especı́fico.La temperatura en un punto de un fluido es la expresión macroscópica del estado de vibración de lasmoléculas. Cuanto mayor es el estado de vibración mayor será la temperatura.Las unidades de la temperatura en el sistema métrico decimal es el grado cent́ıgrado ◦C, que es unaescala propuesta por Celsius basada en la temperatura de ebullición del agua a presión atmosférica(100 ◦C) y el punto de congelación del agua (0 ◦C).La temperatura absoluta, en cambio, toma el cero como aquella temperatura para la cual no existevibración de las moléculas. Este punto se produce a −273,16 ◦C. La temperatura absoluta se expresa engrados Kelvin (kelvin) y la relación entre temperatura absoluta y la temperatura en grados cent́ıgrados

viene dada por:T [K] = 273, 16 + T [◦C]

Ejemplo 1.3

Si la temperatura ambiente es de 17 ◦C ¿Cual será la temperatura absoluta?

T [K] = 273 + 17 = 290 K (1.1)

Donde se ha redondeado la constante.

1.4 Gas perfecto

Se conoce como gas perfecto a aquel que cumple con la siguiente ecuación de estado:

p · ∀ = m · R · T (1.2)

Donde: p: Presión absoluta.∀: Volumen del gas.m: Masa del gas.


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R: Constante del gas.T : Temperatura absoluta del gas.

Los gases más comunes a presión y temperatura cercanas a la atmosf́erica cumplen bastante bien conesta condición.Recordando que m/∀ = ρ. La anterior la podemos rescribir:

p = ρ · R · T (1.3)La constante del gas R es igual a una constante universal para todos los gases dividido la masamolecular del gas (recordar que el peso molecular o masa molecular es la suma de las masas o pesosatómicos de los elementos que lo componen). Es decir:

R = RM

M (1.4)

Reemplazando en la ecuación (1.3):

p · ∀ = mM

· RM · T

Además como m/M = n donde n es el número de moles. p · ∀ = n · RM · T

Si queremos encontrar la constante universal de los gases recordando que 1mol de gas a presiónatmosférica y una temperatura de 0 ◦C ocupa un volumen de 22,4 l y reemplazamos en la anteriorecuación:

n = 1 mol

T = 273 K

∀ = 0,0224 m3

p = patm = 101 293 N

m2 ver capı́tulo 2

RM = p · ∀n · T

RM = 101293N/m2 · 0,0224m3

1mol · 273KRM = 8,311

J

molK

Ejemplo 1.4

Determinar la densidad del aire a 196 000 N/m2 (2 k g/cm2) y una temperatura de 60 ◦C.

La masa molecular del aire es 29 g/mol

De la ecuación ecuaciones (1.3) y (1.4):

p = ρ · RM M

· T ⇒ ρ = p · M RM · T

Recordando que T es la temperatura absoluta (273 + 60 = 333 K) y que la masa molecular es la masade 1 mol, o sea:

M = 29 g

mol = 0,029

kg

mol

ρ = 196000N/m2 · 0,029 kg/mol

8,311 N m/(mol K) · 333K = 2,054 kg

m3


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1.5. ECUACI ́ON DE NEWTON - VISCOSIDAD 13

A medida que los gases se aproximan al punto cŕıtico el comportamiento de los mismos se aparta de laecuación de estado. Para los gases reales la ecuación de estado se puede escribir:

p = Z · ρ · RM M

· T

Donde Z es el coeficiente de compresibilidad (que no se debe confundir con el módulo de elasticidadque veremos en el punto 1.6).Obviamente para los gases ideales Z = 1. El apartamiento de Z respecto a la unidad indica cuanto seaparta el gas del comportamiento ideal.El coeficiente de compresibilidad es función del gas en estudio, de la presión y la temperatura a la queestá sometido.En este libro sólo estudiaremos el movimiento de gases ideales.

1.5 Ecuación de Newton - ViscosidadSea un fluido entre dos placas planas como muestra la figura 1.3:La placa inferior es fija en tanto la superior se mueve con velocidad V por efecto de la fuerza F .

Figura 1.3

Admitamos que el movimiento del fluido entre ambos es tal que las capas de fluido escurren unas sobreotras en forma ordenada como si se tratara de las hojas de una resma de papel que se deslizan unassobre otras (a este régimen se lo conoce como régimen laminar).

De la observación de la experiencia surgen las siguientes conclusiones:

La capa de fluido adyacente a la pared fija no se mueve.

La capa de fluido adyacente a la pared móvil se mueve con una velocidad igual a la de la placa.

Concluimos que cuando un fluido se encuentra en contacto con un ĺımite sólido la capa de fluidoadyacente al mismo se “adhiere” a él tomando por lo tanto la velocidad del ĺımite sólido.Además se puede apreciar que la fuerza requerida para mantener al ĺıquido en movimiento es direc-tamente proporcional al área y a la velocidad de la placa e inversamente proporcional a la distanciaentre las placas:

F ≈ A · V L

Pero V /L es la velocidad angular con que se deforma el fluido, si el perfil no fuese lineal seŕıa:

F ≈ A · ∂ V ∂n

Donde n es la dirección normal al movimiento del fluido. Y siendo:

F

A = τ


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Donde τ es la tensión de corte. Resulta:

τ ≈ ∂V ∂n

La constante de proporcionalidad de la ecuación anterior es la viscosidad absoluta o viscosidad dinámica:

τ = −µ · ∂V ∂n

(1.5)

Donde el signo menos indica que la tensión de corte se opone a la velocidad del fluido.

Esta ecuación se conoce como la ecuación de Newton de la viscosidad.

No todos los fluidos obedecen a esta ley. Algunos (generalmente muy viscosos) como los lodos, laspastas, la tinta de imprenta, los poĺımeros y la sangre no responden a la ecuacíon anterior. Los fluidosmás comunes como el agua y el aire śı lo hacen. A los fluidos que cumplen con esta Ley se los denominaNewtonianos. Si representamos la tensión de corte en función de la variación de velocidad según ladirección normal tendremos la clasificacíon que se muestra en la figura 1.4.

Figura 1.4

De lo expuesto surge que la viscosidad es una propiedad de los fluidos que se opone al deslizamientoentre las capas del mismo. Se debe hacer notar que si la viscosidad fuese nula seŕıa imposible frenar oacelerar un fluido pues no habrı́a posibilidad de transferir cantidad de movimiento entre las distintascapas del mismo.

Esta capacidad de transferencia de cantidad de movimiento que caracteriza a la viscosidad puede serexplicada si se examina las causas ı́ntimas (a nivel molecular) que dan origen a la viscosidad.

La capacidad de un fluido de transferir cantidad de movimiento en régimen laminar se asocia a dosfenómenos:

Las fuerzas de cohesión entre moléculas.

La transferencia de cantidad de movimiento que se pone en juego en los choques intermoleculares.

Esto explica a su vez el diferente comportamiento de la viscosidad en los l ı́quidos y en los gases alaumentar la temperatura.

En efecto, en el caso de los lı́quidos las fuerzas de cohesión intermoleculares son las dominantes. Dichasfuerzas disminuyen al aumentar la temperatura como consecuencia de la mayor actividad vibratoria delas moléculas. Por lo tanto al aumentar la temperatura disminuye la viscosidad de los ĺıquidos.

En cambio en los gases las fuerzas de cohesión son pequeñas y los intercambios de cantidad demovimiento entre moléculas los predominantes. Al aumentar la temperatura aumenta el estado demovilidad de las moléculas y por lo tanto la cantidad de choques (transferencia de cantidad demovimiento) entre moléculas. Esto explica el hecho que al aumentar la temperatura aumenta laviscosidad de los gases.


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Las unidades de la viscosidad dinámica en el sistema M, K, S pueden deducirse de la ecuación deNewton:

[µ] = [τ ]

∆V ∆n =

N

m2

m/s

m

= N s

m2 =

kg

m s

En el sistema técnico:

[µ] = k g s

m2 = 9,81

kg

m s

Las unidades en el sistema M, K, S dan valores muy pequeños por lo cual es muy usado en la prácticael sistema c, g, s, la unidad en este sistema se conoce como “poise”.

P = dyns

cm2 =

g

cm s

Donde recordamos que la dina se define como la fuerza que es necesario aplicar a un gramo masa paraproducir una aceleración de 1 cm/s2.

Es muy común encontrar la viscosidad expresada en centipoises que es la centésima parte del poise.La viscosidad del agua a 20 ◦C es de 1,002 cP.Se conoce como viscosidad cinemática ν a la relación:

ν = µ

ρ

Por lo tanto las unidades de la viscosidad cinem ática en el sistema M, K, S serán:

[ν ] = [ν ]

[ρ] =

kg

m skg

m3

= m2

s

Nuevamente estas unidades son muy grandes para las viscosidades cinem áticas usuales por lo cual seemplea el sistema c, g, s. En este sistema la unidad se conoce como stoke:

St = cm2

s

Es muy común expresar la viscosidad cinemática en centistokes que es la centésima parte del stoke.La viscosidad cinemática del agua a 20 ◦C es aproximadamente 1 cSt.

Ejemplo 1.5

A fin de determinar la viscosidad dinámica y cinemática de un fluido, se lo vuelca en un aparatociĺındrico como se muestra en la figura 1.5. Si el par que se mide en el eje es de 0,1 N m cuando lafrecuencia es de 600RPM (revoluciones por minuto), el radio del cilindro es de 5 cm y la longitud es

de 20cm, en tanto que el huelgo es de 0,2 mm, determinar las viscosidades dinámica y cinemática delfluido si la densidad relativa del mismo es de 0,8.La fricción del fluido en el espacio anular se opone al movimiento del cilindro. Como la velocidad derotación se mantiene constante debe haber un equilibrio entre el par aplicado y el par que produce lastensiones de corte:

M eje = M fricción

Las tensiones de corte que se oponen al movimiento son las que actúan sobre las paredes laterales y lasbases del cilindro.Admitimos que el movimiento es laminar, y por lo tanto las tensiones de corte vienen dadas por laecuación de Newton (ecuación (1.5)):

τ = −µ · ∂ V ∂n


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Figura 1.5

Estas tensiones multiplicadas por el área en que actúan nos darán las fuerzas actuantes, y si estas lasmultiplicamos por la distancia al eje obtendremos los momentos debidos a la fricción.El momento total será la suma de los momentos ejercidos sobre el área lateral y las dos bases y como

las bases son ambas iguales podremos poner:

M fricción = M ́area lateral + 2M base

Puesto que la tensión de corte es la misma en cualquier punto del área lateral (figura 1.6) el momentosobre ésta será:

M ́area lateral = τ · Alateral · R = τ · 2π · R · L · R (1.6)En cambio sobre la base la tensión de corte vaŕıa porque vaŕıa la velocidad con el radio y tambiénvaŕıa el brazo de palanca desde 0 hasta R.

Figura 1.6

Como la tensión de corte y el brazo de palanca solo vaŕıan con el radio, si planteamos la ecuación demomento para un área diferencial como la mostrada en la figura 1.7:

dM base

= τ ·

2π·

r·

dr·

r

y

M base =

R̂

0

τ · 2π · r2 · dr (1.7)

La tensión de corte como dijimos viene dada por:

τ = −µ · ∂ V dn

(1.8)

Donde ∂V/∂n es la variación de la velocidad en la dirección normal a ésta. Como el espacio anulares muy pequeño supondremos que la distribución de velocidades tiene una distribución lineal (en el


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Figura 1.7

capı́tulo 6 veremos que en realidad es parabólica. En este caṕıtulo siempre haremos la suposición dedistribución lineal).

Volviendo a la pared lateral, como la velocidad del fluido sobre la superficie s ólida tiene la velocidad deésta, resulta el perfil de velocidades mostrado en la figura 1.8. Entonces:

∂V

∂n =

V tange

La velocidad tangencial viene dada por:

V tang = ω · R

Donde ω es la velocidad angular, y como:

ω = 2π · f 60

Donde f es la frecuencia en RPM (que es nuestro dato).

Figura 1.8

Sobre la base la distribución de velocidades será:

∂V

∂n =

V tang|re

= 2π · f · r

60 · e (1.9)


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Figura 1.9

Reemplazando las ecuaciones (1.8) y (1.9) en ecuación (1.7):

M base = −µ ·R̂

0

4π2 · f · r360e

· dr

M base = −µ · 4π2 · f

60e · R

4

4

Y el momento total:

M fricción = −µ · 4π4 · f

60e · R3 · L − 2 · µ · π

2

60e · f · R4

Como el momento en el eje es entregado al fluido, es negativo y por lo tanto:

M eje = µ · π2 · f

60e · R3 · (4L + 2R)

De donde podemos despejar µ.

µ = 60M eje · e

π2 · f · R3 · (4L + 2R)Expresamos todos los valores en el sistema M, K, S.

µ = 60 · 0,1 N m · 0,0002 mπ2 · 60/s · 0, 053 · (4 · 0, 2 + 2 · 0, 05)m4

µ = 1,801 × 10−3 N sm2

= 1,801 × 10−2 dynsm2

= 1,801 × 10−2 P = 1,801cP

Y donde:

ν = µ

ρ donde ρ = ρrfluido · ρagua = 0, 8 · 1000

kg

m3 = 800

kg

m3

O sea:

ν = 1,801 × 10−3 Ns/m2

800 kg/m3 = 2,25 × 10−6 m

2

s = 2,25 × 10−2 cm

2

s = 2,25 × 10−2 St = 2,25cSt

1.6 Compresibilidad - Módulo de elasticidad

La compresibilidad de los fluidos está asociada a su mayor o menor capacidad de variar su volumencuando se lo somete a un esfuerzo de compresíon. En general los ĺıquidos son poco compresibles ylos gases muy compresibles. Sin embargo veremos más adelante que cuando un fluido se encuentraen movimiento los efectos de compresibilidad podrán despreciarse o no, no solo por la caracterı́sticadel fluido, sino también por el tipo de movimiento. Por ejemplo para los lı́quidos sometidos a bruscasvariaciones de presión puede ser necesario tener en cuenta la compresibilidad. En cambio si la variacíon


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1.7. TENSI ́ON SUPERFICIAL - CAPILARIDAD 19

de presión en un gas es muy pequeña se lo puede tratar como incompresible (es el caso del cálculo deconductos de aire acondicionado y ventilación).La caracterización de la compresibilidad de un fluido se realiza mediante el coeficiente de elasticidad:

K = d p

d∀∀

El rećıproco del módulo de elasticidad se denomina compresibilidad.Esta expresión muestra la relación que existe entre la presión aplicada a un fluido y la variación devolumen con respecto al volumen inicial del mismo. El signo menos indica que cuando la presiónaumenta el volumen disminuye y viceversa.Cuanto más incompresible es el fluido mayor será el valor de K .Puesto que d∀/∀ es adimensional, las unidades del módulo de compresibilidad son las mismas que lasunidades de presíon ya vistas.El módulo de elasticidad de los fluidos vaŕıa con la presión y la temperatura.Los gases obviamente tienen factores de elasticidad mucho menores que los ĺıquidos, puesto que los gasesse deforman mucho más que los l ı́quidos para una misma variación de presión. Como para los gases

además es posible encontrar ecuaciones anaĺıticas que relacionen la evolución del gas con la variaciónde presión y volumen, como se verá al tratar flujo compresible, el coeficiente de compresibilidad sereserva para los ĺıquidos.En particular para el agua a 10 ◦C y presiones entre 25 y 50 k g/cm2, el coeficiente de elasticidadvale aproximadamente 21000 k g/cm2, en tanto que para la misma temperatura y presiones entre 0 y25 k g/cm2 el coeficiente de elasticidad es de 20 700 k g/cm2.

Ejemplo 1.6

Se va a probar la resistencia mecánica de una cañeŕıa mediante una prueba de presión con agua. Paraello se la requiere presurizar a 50 k g/cm2. Si para llenar completamente la cañerı́a a presión atmosféricase utilizaron 2000m3 de agua, y considerando que no hay dilatación de la cañerı́a debido a la presión,calcular el agua a agregar para alcanzar la presión requerida. Considerar que el factor de elasticidad es

de 21000k g/cm2.Esta es una prueba común en la práctica ingenieril, pero no se puede dejar de considerar la deformaciónelástica de la cañeŕıa como haremos aqúı por cuestiones de alcance y claridad.Inicialmente los 2000 m3 de agua se encuentran a presión atmosférica, y finalmente se comprimirán a50 kg/cm2, por lo tanto, el ∆ p es de 50 k g/cm2 y el volumen inicial de 2000 m3.Como el coeficiente de elasticidad lo consideramos constante podemos poner:

K = ∆ p

∆∀∀

Y por lo tanto despejando la variación de volumen:

∆∀ = ∆ p

· ∀K = 50 k g/cm2

·2000m3

21000k g/cm2 = 4,76 m3

= 4760 lagua

El volumen a agregar por la dilatación de la cañeŕıa depende del material, el diámetro y el espesor, yse puede calcular analı́ticamente. Este volumen se debe adicionar al anterior para obtener el total aagregar.

1.7 Tensión superficial - Capilaridad

Consideremos un fluido en equilibrio como se muestra en la figura 1.10. Una part́ıcula en el seno delĺıquido estará sometida a fuerzas de cohesión que serán las mismas en todas las direcciones dando


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Figura 1.10

por lo tanto una resultante nula. En cambio una part́ıcula de fluido en la superficie estará sometidaa diferentes fuerzas de cohesión debido a la diferencia de cohesión entre l ı́quido y aire dando comoresultado una fuerza neta dirigida hacia el seno del ĺıquido. Por lo tanto si se quiere “arrancar” unapartı́cula de la superficie habrá que vencer esta fuerza de cohesión. O sea que la superficie de contactoentre ĺıquido y gas forman una pelı́cula, capa o lámina que se encuentra tensionada y que da lugar alnombre con que se conoce este fenómeno f́ısico. Esto se puede observar también colocando una aguja

de coser pequeña sobre la superficie del ĺıquido en reposo. La aguja es soportada sobre la misma comose muestra en la figura 1.11.

Figura 1.11

Como se puede observar en la figura la fuerza que genera la tensi ón superficial y que equilibra al peso

se distribuye en todo el contorno de la interfase entre la aguja y el agua (es decir sobre una lı́nea).Analicemos lo siguiente. Sea un aro que está colocado sobre un lı́quido como se muestra en la figura 1.12:

Figura 1.12

Si queremos sacar el aro y observamos atentamente, justo cuando la generatriz inferior va a salir delagua debido a las fuerzas de atracción entre ĺıquido y sólido se forma un menisco debajo del aro, y esnecesario un incremento de la fuerza, adicional al peso, para lograr separar el aro del lı́quido. Esto senota cuando se trata de extraer un balde de agua de un recipiente cuando el fondo del balde ya va asalir de la superficie.

Se define la tensión superficial como la relación entre la fuerza F y la lı́nea de interfase. En el caso delaro será:

σ = F

2π

·R


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Y en general:

σ = F

L

Es decir que la tensión superficial en el sistema MKS tendrá unidades de N/m en tanto que en el

sistema técnico será de k g/m.La tensión superficial del agua en contacto con el aire a temperatura ambiente vale 0,073N/m para lainterfaz mercurio-aire:

σ = 0,514 N

m

Puesto que la tensión superficial se manifiesta siempre que se produce una interfaz podemos encontraruna ecuación general para la misma como mostraremos en lo que sigue:Aislemos un elemento diferencial de la superficie deformada de la capa de interfaz, como se muestra enla figura 1.13.

Figura 1.13

Si cortamos la superficie por los planos que contienen los radios de curvatura de la superficie R1 y R2planteamos el equilibrio de fuerzas (figura 1.14).

Figura 1.14

Como se puede apreciar las componentes horizontales de las fuerzas debidas a la tensi ón superficial secompensan y por lo tanto solo hay componente según la dirección normal a la superficie, las que debenequilibrar la diferencia de presiones en la interfaz:

2s · ds · sen α + 2s · dn · sen β = ( p1 − p2) · dn · ds

Y siendo:

sen α ≈ dn2 · R2 sen β ≈

ds

2 · R12σ

2R2+

2σ

2R1= p1 − p2


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Y por lo tanto:

∆ p = σ ·

1

R1+

1

R2

(1.10)

Que es aplicable a cualquier caso de tensión superficial, veremos a continuación algunos casos especiales.

Sea una gota de forma esférica como se muestra en la figura 1.15.

Figura 1.15

Si se “corta” la gota a la mitad, y se ponen en evidencia las fuerzas que actúan sobre ella de forma tal

de mantener el equilibrio roto al aislar la mitad del cuerpo, se advierte que la tensión superficial debeser equilibrada por una presión interna superior a la presión externa.Si aplicamos la ecuación (1.10), siendo R1 = R2 = R (radio de la gota), podemos rescribir:

∆ p = 2σ

R

Ejemplo 1.7

Cuando se destapa una botella de agua gasificada se observa que se producen peque ñas burbujas. Estose debe a la reducción de presión en el fluido. Suponiendo que el fluido es agua a 0 ◦C calcular ladiferencia de presión entre el interior y el exterior de la burbuja si el di ámetro de la misma es de 1 mm.

La tensión superficial del agua a 0 ◦C es de 0,075 N/m (figura 1.16)

Figura 1.16

∆P = 2 · 0, 0750, 001

2

Nm2

∆P = 300 N

m2

Si consideramos ahora un tubo de vidrio de pequeño diámetro sumergido en agua como se muestra enla figura 1.17.

Vemos que se produce un ascenso de ĺıquido respecto a la superficie libre. A dicho ascenso lo denomi-namos ascenso capilar.


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Figura 1.17

Este ascenso se debe a que las fuerzas de cohesión entre el agua y el vidrio son superiores que lasfuerzas de cohesión entre las partı́culas de ĺıquido entre śı. De estos ĺıquidos se dice, desde el punto devista de la tensión superficial que “mojan”.Si en cambio de agua el ĺıquido en el recipiente fuese mercurio ocurriŕıa lo que se muestra en lafigura 1.18.

Figura 1.18

Es decir que se produce un descenso capilar debido a que las fuerzas de cohesi ón del ĺıquido son mayoresque las fuerzas de cohesión entre éste y el vidrio. De estos fluidos se dice que “no mo jan”.Si queremos calcular el ascenso capilar, poniendo en evidencia las fuerzas que actúan, como se muestraen la figura 1.19.

Figura 1.19

Planteando la ecuación ecuación (1.10) y teniendo en cuenta que la superficie es un casquete esférico:

p1 − p2 = 2 · σR

Donde, por la ley fundamental de la hidroestática (ver capı́tulo 2), la p2 será:

p2 = p1 − γ · ∆h y R = rsen α

Reemplazando:

∆h = 2σ · sen αγ · r

Donde ∆h se toma hasta la mitad del menisco.


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Ejemplo 1.8

¿Cuál será el ascenso capilar aproximado del agua en contacto con el aire, (tensi ón superficial 0,073N/m)en un tubo limpio de vidrio de 5 mm de diámetro?. En el caso de tener mercurio (ρr = 13, 56,σ = 0,514 N/m y ángulo de contacto α = 50◦), ¿cuál seŕıa el descenso capilar?.

No se da el ángulo de contacto con el agua porque es usual tomarlo como 90◦ (es decir la superficie delagua se hace tangente a la superficie del tubo). Entonces reemplazando en la ecuaci ón hallada.

∆hagua = 2 · 0, 073 Nm

· sen 90◦

9800 N/m3 · 0,0025m = 5,96 × 10−3 m = 5,96mm

∆hmercurio = 2 · 0, 514 Nm

· sen(−50◦)

13, 56 · 9800 N/m3 · 0,0025m = −2,37 × 10−3 m = −2,37mm

Donde hemos tomado el ángulo de contacto negativo porque el menisco se forma hacia abajo.

1.8 Tensión de vapor de un ĺıquido - CavitaciónLa temperatura a la cual un ĺıquido entra en ebullición depende de la presión a la cual está expuesto.Por ejemplo el agua a presión atmosférica hierve a 100 ◦C pero si la presión absoluta disminuye a0,02383atm la ebullición se producirá a 20 ◦C. Por ejemplo a 5000m de altura donde la presión es de53 991 N/m2 (ver ejemplo 2.1 del caṕıtulo 2) el agua hierve a 83 ◦C aproximadamente.Cabe acotar que en numerosos lugares de la Cordillera de los Andes se alcanza esta altura.Cuando un lı́quido pasa a vapor (como el agua) lo hace con un brusco aumento de su volumen, entanto que cuando pasa de vapor a l ı́quido ocurre lo contrario.Cuando estos fenómenos ocurren en el seno de un lı́quido se produce un efecto llamado cavitación, elcual es t́ıpico de las hélices de barco, de las bombas y de las válvulas.El agua al aumentar su velocidad disminuye su presión, si dicha disminución de presión es tal que la

presión absoluta se ubica por debajo de la presión de ebullición a la temperatura del agua (llamadatensión de vapor), se producen burbujas de vapor. Luego dichas burbujas viajan a zonas de mayorpresión que la tensión de vapor del fluido haciendo que dichas burbujas pasen a estado l ı́quido. Labrusca disminución de volumen hace que las part́ıculas de ĺıquido imploten lanzándolas violentamente.Cuando dichas partı́culas de lı́quido golpean con superficies sólidas producen una fuerte erosión que seconoce como cavitación.La tensión de vapor por ser una presión tiene las mismas unidades que éste.

Referencias

“Propiedades Fı́sicas de los Fluidos” - Fernando C. Silva - P3DT1 - CEIT F.R.B.A.

“Guı́a de Trabajos Prácticos de Fluidodinámica” - Ricardo A. Bastianón - CEI

“Elementos de Mecánica de los Fluidos” - Vennard y Street

“Mecánica de Fluidos” - Irving H. Shames

“Mecánica de los Fluidos” - Victor L. Streeter

“Principles of Fluid Dynamics” - W. H. Li and S. H. Lam

“Engineering Data Book” - Gas Processors Suppliers Association

“Flujo de Fluidos en Válvulas, Accesorios y Tuberı́as” - Crane


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1.9. EJERCICIOS 25

Referencias audiovisuales

“Introduction to the Study of Fluid Motion” - Hunter Rose - Iowa Institute of Hydraulic Research.

“Characteristics of Laminar and Turbulent Flow” - Hunter Rose - Iowa Institute of HydaulicsResearch.

1.9 Ejercicios

Ejercicio 1.1:

¿Cuál será el peso, expresado en N y en k g de un cuerpo de masa 10kg en un planeta donde laaceleración de la gravedad es de 4,9m/s2?. ¿Cuál será el peso de dicho cuerpo en la Tierra?.

Respuesta: peso = 49 N; 5 k g/98N; 10 k g

Ejercicio 1.2:

¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad en m/s2 en un planeta donde un cuerpo de 10kg de masapesa 147 N?. ¿Cuál será la masa en kg de dicho planeta respecto a la masa terrestre?.

Ejercicio 1.3:

Un lı́quido tiene una densidad relativa de 1,3 y una viscosidad cinemática de 2cSt. Determinar su pesoespecı́fico relativo, su densidad (expresada en kg/m3), su peso especı́fico (expresado en N/m3) y suviscosidad dinámica (expresada en cP).

Respuesta: γ r = 1, 3; ρ = 1300 kg/m3; γ = 12753N/m3; µ = 2,6 cP

Ejercicio 1.4:

Un l ı́quido tiene peso espećıfico relativo de 1,2. Encontrar cuanto vale la densidad relativa, el pesoespecı́fico (expresado en N/m3) y su densidad (expresada en kg/m3).

Ejercicio 1.5:

Si un barril de petróleo tiene un volumen de 159l y pesado en báscula con su contenedor pesó 1500 Nen tanto que el peso del contenedor es de 100N determinar cuanto vale la densidad de dicho petróleoexpresada en kg/m3 y cuanto vale su densidad relativa.

Respuesta: ρpetróleo = 898 kg/m3 y ρr = 0, 898

Ejercicio 1.6:

El gas licuado contenido en una garrafa de 10 k g de peso neto tiene una densidad relativa de 0,8;encontrar que volumen ocupa el lı́quido (expresado en l) que contiene la garrafa. Despreciar el espaciode vapor.

Ejercicio 1.7:

Una fuerza expresada en N vale F = 4 ĭ + 3˘ j + 9k̆ y actúa sobre un área cuadrada de lado 5 cm en elplano X, Y . ¿Qué presión y esfuerzo de corte producirá?. Repetir los cálculos para F = −4̆i + 3˘ j − 9k̆.Expresar los resultados en N/cm2.


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Respuesta: σ = 0,36 N/cm2 y τ = 0,2N/cm2; σ = 0,36 N/cm2 y τ = 0,2N/cm2

Ejercicio 1.8:

La cabeza de un pistón (parte circular) está sometida a una presión de 40 atm. Si el pistón tiene undiámetro de 100 mm, encontrar la fuerza transferida a un vástago que lo mueve (expresarla en N).

Ejercicio 1.9:

Un cañón neumático dispara un proyectil de masa 0,2 kg; si se supone que no hay efecto de rozamiento,y se sabe que la presión en el momento de ponerse en movimiento el proyectil es de 9,8 N/cm2 y quela misma es aplicada durante una décima de segundo en forma constante y el diámetro del cañónes de 10cm. Determinar cuál es la velocidad en m/s a la que saldrá la bala si el cañón se disponehorizontalmente.

Respuesta: V = 385m/s

Ejercicio 1.10:Encontrar la densidad relativa y la densidad absoluta (expresada en kg/m3) del dióxido de carbono(CO2) a presión atmosférica y 15

◦C.

Ejercicio 1.11:

Un dirigible se va a llenar con helio, He, que tiene una masa molecular M He = 4 g/mol. Encontrarcuál es la densidad relativa del helio y cuál será la presión en N/cm2 a la que estará sometido dentrodel dirigible si su temperatura será de −20 ◦C, y la densidad que llega a tener es del 20 % de lacorrespondiente al aire a presión atmosférica normal y temperatura normal.

Respuesta: ρrHe = 0, 14; p = 12,88 N/cm2

Ejercicio 1.12:

Un veh́ıculo va a ser convertido a gas natural. Para ello se le instalarán dos cilindros con un volumende 75 l cada uno. Sabiendo que el gas natural será inyectado a 200 atm absolutas a una temperaturade 15 ◦C y la masa molecular del gas es de 18 g/mol, encontrar en cuanto se incrementa el peso delveh́ıculo cuando los tanques de gas están llenos. Expresar el valor en N.

Ejercicio 1.13:

Se transporta gas natural a una presión absoluta de 588 N/cm2 y a una temperatura de 15 ◦C. Calcularla densidad del fluido en kg/m3 si la masa molecular de dicho gas es de 19 g/mol.

Respuesta: ρgas = 46,675 kg/m3

Ejercicio 1.14:

Siendo la masa molecular del aire 29 g/mol, calcular la densidad relativa y absoluta del mismo (enkg/m3) cuando se lo somete a una presión absoluta de 19,6 N/cm2 y una temperatura de 215 ◦C.

Ejercicio 1.15:

Sabiendo que la viscosidad del gas natural es 0,013cP a 70 k g/cm2 absolutos y 15 ◦C, y de 0,011cP a1,033k g/cm2 y 15 ◦C y siendo la masa molecular de dicho gas de 17,777g/mol, encontrar cuanto vale


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1.9. EJERCICIOS 27

la viscosidad cinemática de dicho gas a las presiones y temperaturas indicadas. Expresar el resultadoen cSt.

Respuesta: ν = 0,254 cSt/14,61cSt

Ejercicio 1.16:

Sabiendo que el ox́ıgeno es un gas diatómico (O2), que la masa atómica del oxı́geno es 16 y que laviscosidad dinámica del mismo a presión de 98 N/cm2 y 50 ◦C es de 0,022cP encontrar el valor de laviscosidad cinemática expresada en cSt.

Ejercicio 1.17:

Tres fluidos tienen las siguientes velocidades de deformación y tensiones de corte. Determinar a qué tipode fluido corresponden.

dV / dn[1/s] 0 2 4 6τ [N/m2] 10 20 30 40dV / dn[1/s] 0 0,3 0,9 2,1τ [N/m2] 0 10 20 30dV / dn[1/s] 0 0,3 0,6 0,9τ [N/m2] 0 10 20 30

Respuesta: Plástico ideal; no newtoniano; newtoniano.

Ejercicio 1.18:

Para el fluido plástico ideal del problema 17, calcular cuanto vale la tensión de corte en N/m2 cuandosu gradiente de velocidad en la dirección normal es de 3,2/s.

Ejercicio 1.19:

Un bloque cuadrado, figura 1.20, que pesa 25 k g y tiene 20cm de arista se deja deslizar por un planoinclinado en el que existe una peĺıcula de aceite, cuya viscosidad es igual a 2,2 × 10−4 k g s/m2. ¿Cuál esla velocidad ĺımite a que descenderá si se supone que el espesor de la peĺıcula de aceite es de 0,025 mm?La distribución de velocidades se postula lineal. Expresar el resultado en m/s.

Figura 1.20

Respuesta: V = 24,29 m/s

Ejercicio 1.20:

Un cilindro de acero de 7800 kg/m3 de densidad cae verticalmente por un tubo. El diámetro del cilindroes de 10mm y su longitud 10mm, en tanto el diámetro interno del tubo es de 10,1 mm y existe entreambos una peĺıcula de lubricante. Si se alcanzó una velocidad ĺımite de 15m/s encontrar cuanto valela viscosidad dinámica del lubricante. Expresar el resultado en cP.

Ejercicio 1.21:

Un cuerpo cónico, figura 1.21, gira a una velocidad constante igual a 10 rad/s. Una pelı́cula de aceite de


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viscosidad 2,2 × 10−4 k g/(sm2) separa al cono del recipiente que lo contiene. El espesor de la peĺıculaes de 0,25 mm. ¿Qué par se necesitará para mantener el movimiento? El cono tiene una base de 5 cmde radio y una altura de 10cm. Utilice la distribución de velocidades lineal y la viscosidad newtoniana.Expresar el resultado en N m.

Figura 1.21

Respuesta: M = 0,002737Nm

Ejercicio 1.22:

La distribución de velocidades en régimen laminar en un conducto de sección circular viene dada por:

V z = ∆ p

4µ · L · R2 ·

1 − r

R

2

Donde ∆ p es la cáıda de presión a lo largo del conducto; r es un radio genérico, L es la longitud en lacual se produce la cáıda de presión; R es el radio del conducto y µ es la viscosidad del fluido. Sabiendoque la caı́da de presión en 100m es de 9800 N/m2, y el radio del ducto es de 5 cm encontrar cuantovale la tensión de corte sobre la pared. Expresar el resultado en N/m2.

Ejercicio 1.23:

El espacio entre dos placas planas paralelas separadas por una distancia h, figura 1.22, está ocupadopor un fluido de viscosidad constante µ. La placa superior se desplaza a una velocidad constante V 0 conrespecto a la inferior. Encontrar los perfiles de velocidad y tensión de corte en el fluido, considerandoque la presión es constante en todo el campo fluido.

Figura 1.22

Respuesta: τ = −µ · V 0/h

Ejercicio 1.24:

Encontrar cuanto valdŕıa la tensión de corte del ejercicio 1.23 śı la distribución de presiones fueseparabólica.

Ejercicio 1.25:

Un vástago hidráulico de 200 mm de diámetro y de 1 m de longitud se mueve dentro de un cilindro


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1.9. EJERCICIOS 29

concéntrico de 200,2 mm de diámetro; el claro anular está lleno de aceite de densidad relativa 0,85 ysu viscosidad cinemática es de 400 mm2/s. Calcular la fuerza viscosa que resiste el movimiento delvástago cuando éste se desplaza a 120 mm/s. Expresar el resultado en N.

Respuesta: F = 256 N

Ejercicio 1.26:

Para el vástago del ejercicio 1.25. ¿Cuál será la potencia en W generada por la fricción?.

Ejercicio 1.27:

Una pelı́cula uniforme de aceite de 0,1 mm de espesor separa dos discos ambos de 200 mm de diámetro,montados coaxialmente. Despreciando los efectos de borde calcular el par torsor necesario para hacergirar a uno de los discos en relación al otro a una velocidad de 7/s, si el aceite tiene una viscosidad de0,14Ns/m2. Expresar el resultado en N m.

Respuesta: M = 9,6 7 N m

Ejercicio 1.28:

Para el ejercicio 1.27 graficar como vaŕıa el par torsor con respecto al resbalamiento entre discos(diferencia de velocidad angular entre ellos).

Ejercicio 1.29:

El espacio entre dos paredes grandes, planas y paralelas, separadas entre śı por 25 mm está lleno conĺıquido de viscosidad absoluta de 0,7Ns/m2. Dentro de este espacio se tira de una placa delgada planade 250mm por 250mm con una velocidad de 150 mm/s y a una distancia de 6 mm desde una pared,

manteniéndose la placa y el movimiento paralelos a las paredes. Sup oniendo una variación lineal de lavelocidad entre la placa y las paredes determinar la fuerza en N ejercida por el ĺıquido sobre la placa.

Respuesta: F = 1,43 N

Ejercicio 1.30:

Calcular la potencia teórica en watt que se pierde por fricción en un cojinete de 100 mm de diámetro y200mm de longitud que gira a 1500RPM dentro de un alojamiento de 100,1 mm si el lubricante esaceite con viscosidad de 100 cP. Despreciar los efectos sobre las tapas.

Ejercicio 1.31:

Calcular el coeficiente de elasticidad de un lı́quido que tiene un volumen de 1,232l cuando es sometidoa una presión de 10atm y un volumen de 1,231l cuando se lo somete a una presión de 25 atm. Expresarel resultado en N/m2.

Respuesta: K = 1,87 × 109 N/m2

Ejercicio 1.32:

Una cañeŕıa se va a probar hidráulicamente a 120 atm. Se la llena con 5000 m3 de agua hasta presiónambiente. Despreciando la dilatación de la cañeŕıa y considerando un módulo de elasticidad de21000k g/cm2 determinar el volumen de agua en m3 a agregar para alcanzar la presión de prueba.


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Ejercicio 1.33:

El módulo de elasticidad del agua a una determinada presión y temperatura es de 21000k g/cm2.¿Cuánta presión será necesario aplicar al agua para reducir su volumen en 1 %?. Expresar el resultadoen N/cm2.

Respuesta: p = 2058 N/cm2

Ejercicio 1.34:

Calcular como vaŕıa la densidad del agua y la del aire cuando se comprimen desde presión atmosféricaa 100 atm a temperatura constante de 15 ◦C.

Ejercicio 1.35:

Determinar cuanto ascenderá el agua en mm con respecto a la superficie libre entre dos placas paralelasseparadas 5 mm.

Respuesta: ascenso capilar = 3 mm

Ejercicio 1.36:

Determinar cuanto descenderá el mercurio en mm si se encuentra 15 ◦C encerrado entre dos placasseparadas 1 mm.

Ejercicio 1.37:

¿Qué diferencia de presión en N/m2 habrá entre el interior y el exterior de un chorro de agua cilı́ndricode 0,1mm de diámetro?.

Respuesta: ∆ p = 1460 N/m2

Ejercicio 1.38:

¿Qué trabajo teórico en J deberá realizarse para dividir un litro de agua en gotas de 0,5 mm dediámetro?.

Ejercicio 1.39:

Calcular la diferencia de presión en N/m2 entre el interior y el exterior de una pompa de jabón si eldiámetro de la misma es de 2 mm suponiendo que el fluido es agua (tensión superficial 0,073 N/m).Tener en cuenta que la solución jabonosa forma una peĺıcula en cuyo interior hay aire.

Respuesta: p = 292 N/m2

Ejercicio 1.40:

Se desea generar pompas de jabón como las del ejercicio 1.39 con un caudal de 1l/s. ¿Cuál será lapotencia teórica necesaria expresada en W?.

Ejercicio 1.41:

Una pared plana, figura 1.23, está sumergida en una gran masa de agua. Tomando en cuenta la tensiónsuperficial del agua, determinar la forma de la superficie del lı́quido. Haciendo la hipótesis de que las


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1.9. EJERCICIOS 31

irregularidades de la superficie son suficientemente pequeñas, se puede postular que la curvatura de lamisma es aproximadamente: 1/r = d2y/ dx2. El ángulo de contacto θ es dato. Determinar la altura h.

Figura 1.23

Respuesta: h = cot θ ·

σ/γ

Ejercicio 1.42:

Cuál será el ascenso capilar aproximado del agua en contacto con el aire, (tensión superficial 0,073 N/m)en un tubo limpio de vidrio de 1 mm de diámetro.

Ejercicio 1.43:

Sobre una hélice de barco se tiene una presión absoluta mı́nima en un punto de 0,03atm. Si latemperatura del agua es de 15 ◦C. ¿Se producirá cavitación?.

Respuesta: No


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Caṕıtulo 2

Estática de los Fluidos

Contenidos

2.1. Caracteŕıstica de la presión en un fluido en reposo relativo . . . . . . . 34

2.2. Ecuacíon fundamental de la hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3. Manómetros. Presión absoluta y presión relativa o manométrica . . . . 36

2.4. Fuerzas sobre superficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.1. Fuerzas sobre superficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.2. Fuerzas sobre superficies curvas sumergidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5. Flotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5.1. Empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5.2. Estabilidad de los cuerpos sumergidos y flotantes . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.6. Masas fluidas sometidas a aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Introducción

En este capı́tulo se desarrolla la teorı́a de los lı́quidos en rep oso. Se deducen las ecuaciones fundamentalesque los gobiernan, la medición de presiones, el concepto de presión absoluta y manométrica, las presionessobre cuerpos sumergidos (básica para el cálculo de esfuerzos sobre compuertas), el concepto de empujey los fluidos en reposo relativo (sin movimiento entre sus capas a pesar de estar acelerados los recipientesque los contienen).

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34 CAP ́ITULO 2. EST ́ATICA DE LOS FLUIDOS

2.1 Caracteŕıstica de la presión en un fluido en reposorelativo

La estática de los fluidos es un caso particular de la Fluidodinámica en el cual no hay movimientorelativo de las diversas capas de fluido. Por lo tanto no existen tensiones de corte puesto que en todopunto dV / dn = 0. Esto implica una gran simplificación de las ecuaciones matemáticas y permite laresolución anaĺıtica exacta de la mayor parte de los problemas.Consideremos el equilibrio de fuerzas sobre un elemento fluido en reposo mostrado en la figura 2.1 enel cual, para simplificar, hemos tomado el caso bidimensional.

Figura 2.1

Dado que no hay tensiones de corte ni fuerzas de inercia las únicas fuerzas actuantes serán la presión ylas fuerzas de gravedad, siendo las fuerzas de presi ón sobre las paredes:

F 3 = p3 · dz · dsF 2 = p2 · dy · dz

F 1 = p1 · dx · dzŚı ahora planteamos las ecuaciones de equilibrio sobre los ejes.

Sobre el eje X : p2 · dy · dz − p3 · dz · ds · sen α = 0

Y como:ds · sen α = dy ⇒ p2 = p3

Sobre el eje Y :

p1 · dx · dz − p3 · dz · ds · cos α − 12

ρ · g · dx · dy · dz = 0

p3−

p1 + 1

2ρ

·g

·dy = 0

⇒ p3 = p1 y p1 = p2 = p3

Puesto que el elemento puede elegirse en cualquier orientación y es arbitrario, concluimos que la presiónen un fluido en reposo es la misma en todas las direcciones es decir es is ótropa.Si bien para simplificar hemos considerado el caso bidimensional (el tridimensional seŕıa un prisma debase triangular en lugar de rectangular), la demostración es válida para cualquier caso.

2.2 Ecuación fundamental de la hidrostática

Supongamos un elemento de fluido en reposo tal como se muestra en la figura 2.2, y de dimensionesdx, dy, dz. Si la presión en el centro del cubo es p, la presión en cada cara será la mostrada en lafigura 2.2, de acuerdo a la hipótesis del continum establecida en el punto 1.2.


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2.2. ECUACI ́ON FUNDAMENTAL DE LA HIDROST ÁTICA 35

Figura 2.2

El equilibrio de fuerzas nos permite escribir:

Sobre el eje X : p − ∂p

∂x· dx

2

· dy · dz −

p +

∂p

∂x· dx

2

· dy · dz = 0 ⇒ ∂p

∂x = 0 (2.1)

O sea que p es constante para Z , Y constantes. Sobre el eje Z :

p − ∂p

∂z· dz

2

· dx · dy −

p +

∂p∂z

· dz2

· dx · dy = 0 ⇒ ∂p

∂z = 0 (2.2)

O sea que p es constante para X , Y constantes. Sobre el eje Y : p − ∂p

∂y· dy

2

· dz · dx−

p +

∂p

∂y· dy

2

· dz · dx − ρ · g · dx · dy · dz = 0

d p

dy = −ρ · g (2.3)

Que es la ecuación fundamental de la hidrostática. Integrando:

p2ˆ p1

d p = −y2ˆ y1

ρ · g · dy

Para fluidos incomprensibles ρ = cte y entonces:

p2 − p1 = −ρ · g · (y2 − y1) (2.4)Las ecuaciones (2.1) y (2.2) implican que para y = cte (cuando la aceleración de la gravedad actúasegún este eje) se obtiene planos isobaricos (la presi ón es constante).

Para un gas ideal (ecuación (1.2)):

p = ρ · R · T ⇒ ρ = pR

·T


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Reemplazando en la ecuación (2.3):

d p

dy = − p

R · T · g y p2ˆ

p1

d p

p =

T 2ˆ

T 1

1

T · dy (2.5)

Si encontramos una relación entre la temperatura absoluta y la altura podremos integrar la ecuaci ónanterior para obtener la variación de presión con la altura.Un caso clásico de estática de fluidos compresibles lo constituye la atmósfera terrestre. La presiónatmosférica se debe a la columna de aire que existe sobre la corteza terrestre.Se encontró que desde el nivel del mar hasta los 11000 m de altura, la temperatura del aire vaŕıa enforma aproximadamente lineal. Esta relación viene dada por:

T = (288K − 0,006 507 Km

· y)

Donde para y = 0 (nivel del mar) se admite que la temperatura es de 15 ◦C (288K) en tanto quedisminuye a medida que subimos.

Ejemplo 2.1Admitiendo que la presión (absoluta) al nivel del mar es de 101300 N/m2 encontrar cuanto vale lapresión atmosférica a 5000 m de altura.La temperatura a 5000 m será 255,5K y dT = −0,006507K/m · dy.Reemplazando en la ecuación (2.5):

P 5000absˆ

P N. Marabs

d p

p = − g

R ·

255,5ˆ

288

1

T · dT −0, 006507

ln p|P 5000101300 = g

R · 153, 68 · ln T |255,5288

ln

p5000abs101300N/m2 = 153, 68 ·

g

R · ln 255, 5

288

P 5000abs = 101 300 N

m2 · e153,68· gR ·ln 255,5288

Donde g es la aceleración de la gravedad: 9,8m/s2 y R es la constante del aire.

R = RmolM aire

= 8,311 N m/(mol K)

0,029 kg/mol

R = 286,58 N m

kg K

P 5000abs = 101 300 N

m2 · e153,68m/K·9,8 m/s2· kg K285,5 8 N m ·ln 255,5288

P 5000abs = 53 991 N

m2

Que es la presión absoluta a 5000 m y resulta poco mayor a la mitad de la presíon a nivel del mar.

2.3 Manómetros. Presión absoluta y presión relativa omanométrica

El manómetro es un instrumento que sirve para medir presiones. En la práctica ingenieril el manómetromás utilizado es el denominado manómetro de Bourdon.


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2.3. MAN ́OMETROS. PRESI ÓN ABSOLUTA Y PRESI ÓN RELATIVA O MANOM ́ETRICA 37

Consta básicamente de un tubo circular con sección eĺıptica al cual se le inyecta la presión a medir.Cuando actúa la presión interior el tubo tiende a enderezarse por la diferencia de presiones en el interiory el exterior (la presión exterior es directamente la presión atmosférica del lugar). En la figura 2.3 seesquematiza un manómetro de Bourdon.

Figura 2.3

Es decir que la presión medida por este tipo de aparato es la presión relativa a la atmósfera, la cualrecibe también el nombre de presión manométrica.

Es decir que cuando la presión a medir sea mayor que la atmosférica la aguja del manómetro girará enel sentido de las agujas del reloj y si la presión a medir fuese menor que la atmosférica la aguja girará ensentido contrario.Los manómetros que también pueden medir presiones mayores o menores que la atmosférica se llamanmanovacuómetros.En el gráfico de la figura 2.4 se puede visualizar con claridad cuales son las presiones absoluta,manométrica y el vacı́o.

Figura 2.4

Recuérdese que la presión atmosférica se debe a la columna de aire sobre la superficie de la Tierra yque por lo tanto vaŕıa del Ecuador (máximo) hacia los polos (mı́nimo). También vaŕıa con la altituddel lugar.La presión atmosf́erica se puede medir mediante la experiencia de Torricelli (1643) la cual consiste en

tomar un tubo de vidrio de largo apropiado lleno de mercurio con un extremo abierto y el otro cerradoy sumergirlo en un recipiente con mercurio (figura 2.5) con el extremo abierto sumergido en el ĺıquido.Se observa que el mercurio en el tubo conserva una altura h, es decir no toma el nivel del recipiente.Si se desprecia la presión de vapor del mercurio y aplicando la ecuación (2.4).

pabs = ρHg · g · hSiendo h al nivel del mar 760 mm.

patm = 13 600 kg

m3 · 0,76 m · 9,8 m

s2 = 101 300 Pa = 1013 hPa = 1,033

k g

cm2 = 10 330

k g

m2

Que son los valores que usualmente usaremos en los cálculos. En la práctica ingenieril es común referirsea la “presión” a secas con lo cual se interpreta que se est á refiriendo a la presión relativa o manométrica.En cambio cuando se refiere a presiones absolutas se lo debe enunciar taxativamente.


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Figura 2.5

Hay que tener en cuenta que presiones absolutas negativas no tienen sentido fı́sico. Esto devieneinmediatamente si se recuerda que la presión es originada por el choque intermolecular. En el vaćıoabsoluto no hay choques y por lo tanto pabs = 0.En cambio sı́ es posible tener presiones relativas negativas a las cuales genéricamente se las conocecomo vacı́o.

Podemos escribir entonces: pmanométrica/vaćıo = pabs − pabs

Nótese que la presión en la ecuación de estado de los gases es la presi ón absoluta.

Otro manómetro que se usa comúnmente para presiones pequeñas es el tubo en “U” (figura 2.6).

Figura 2.6

Si queremos hallar la presión en A podemos poner:

p2 = p1

Donde hemos echado mano a de la propiedad que dedujimos que en planos normales a la gravedad lapresión (dentro del mismo fluido) es constante. Obsérvese que si hubiese otro fluido en el medio estaigualdad seŕıa falsa.Aplicando ahora la ecuación fundamental de la hidrostática para fluidos incompresibles (ecuación (2.4)).

p2abs = pabs + γ 1 · h1 p1abs = pAabs + γ 2 · h2 ⇒ pAabs + γ 2 · h2 = patm + γ 1 · h1

pAabs = pabs + γ 1 · h1 − γ 2 · h2


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2.3. MAN ́OMETROS. PRESI ÓN ABSOLUTA Y PRESI ÓN RELATIVA O MANOM ́ETRICA 39

La pAabs hallada es la presión absoluta en el punto A la presión manométrica en A serı́a directamente.

pA = γ 1 · h1 − γ 2 · h2

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HIDRAULICA UTN - Capítulo 01 a 09 - Version 2015

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