وصفة شرودينغرالكترون الكترون الكترون الكترون : : : : نظام ذو تماثل كروي مكون من جسيمين نظام ذو تماثل كروي مكون من جسيمين نظام ذو تماثل كروي مكون من جسيمين نظام ذو تماثل كروي مكون من جسيمين ::::ييييالنظام الكمالنظام الكمالنظام الكمالنظام الكم
كتلته كتلته كتلته كتلته
يتفاعل كهرومغناطيسي'ا مع بروتون كتلته يتفاعل كهرومغناطيسي'ا مع بروتون كتلته يتفاعل كهرومغناطيسي'ا مع بروتون كتلته يتفاعل كهرومغناطيسي'ا مع بروتون كتلته ) ) ) ) شحنته شحنته شحنته شحنته ( ( ( (
....، والمسافة بينهما ، والمسافة بينهما ، والمسافة بينهما ، والمسافة بينهما ))))شحنته شحنته شحنته شحنته ((((
حيثحيثحيثحيث
افة افة افة افة القوة المتبادلة بين الجسيمين مركزية، أي تعتمد على مربع المس القوة المتبادلة بين الجسيمين مركزية، أي تعتمد على مربع المس القوة المتبادلة بين الجسيمين مركزية، أي تعتمد على مربع المس القوة المتبادلة بين الجسيمين مركزية، أي تعتمد على مربع المسألنألنألنألناإللكترون سوف يدور في مدار حول البروتون نصف قطره اإللكترون سوف يدور في مدار حول البروتون نصف قطره اإللكترون سوف يدور في مدار حول البروتون نصف قطره اإللكترون سوف يدور في مدار حول البروتون نصف قطره
تكتب طاقة وضع االلكترون الكهربائي'ة تكتب طاقة وضع االلكترون الكهربائي'ة تكتب طاقة وضع االلكترون الكهربائي'ة تكتب طاقة وضع االلكترون الكهربائي'ة :::: على الصورة التالية على الصورة التالية على الصورة التالية على الصورة التالية
الكتلة المصغرةرأينا عند دراستنا لنموذج بور أن دوران االلكترون والبروتون حول رأينا عند دراستنا لنموذج بور أن دوران االلكترون والبروتون حول رأينا عند دراستنا لنموذج بور أن دوران االلكترون والبروتون حول رأينا عند دراستنا لنموذج بور أن دوران االلكترون والبروتون حول
والتي تسمى والتي تسمى والتي تسمى والتي تسمى (((( µµµµمركز الكتلة يكافئ تماما دوران جسيم كتلته تساويمركز الكتلة يكافئ تماما دوران جسيم كتلته تساويمركز الكتلة يكافئ تماما دوران جسيم كتلته تساويمركز الكتلة يكافئ تماما دوران جسيم كتلته تساوية ة ة ة الكتلة المصغرة للنظام المكون من االلكترون والبروتون أي ذرالكتلة المصغرة للنظام المكون من االلكترون والبروتون أي ذرالكتلة المصغرة للنظام المكون من االلكترون والبروتون أي ذرالكتلة المصغرة للنظام المكون من االلكترون والبروتون أي ذر
.... عنه عنه عنه عنهحول محور يبعد المسافة حول محور يبعد المسافة حول محور يبعد المسافة حول محور يبعد المسافة ) ) ) ) الهيدروجينالهيدروجينالهيدروجينالهيدروجين
ورأينا أيضا أن استبدال كتلة االلكترون في حسابات نموذج بور ورأينا أيضا أن استبدال كتلة االلكترون في حسابات نموذج بور ورأينا أيضا أن استبدال كتلة االلكترون في حسابات نموذج بور ورأينا أيضا أن استبدال كتلة االلكترون في حسابات نموذج بور بعين بعين بعين بعين ) ) ) ) البروتونالبروتونالبروتونالبروتون((((يكافئ أخذ حركة النواة يكافئ أخذ حركة النواة يكافئ أخذ حركة النواة يكافئ أخذ حركة النواة ) ) ) ) µµµµ((((بالكتلة المصغرة بالكتلة المصغرة بالكتلة المصغرة بالكتلة المصغرة
تعني العبارة السابقة أن دوران االلكترون والبروتون حول مركز تعني العبارة السابقة أن دوران االلكترون والبروتون حول مركز تعني العبارة السابقة أن دوران االلكترون والبروتون حول مركز تعني العبارة السابقة أن دوران االلكترون والبروتون حول مركز والتي تسمى والتي تسمى والتي تسمى والتي تسمى (((( µµµµالكتلة يكافئ تماما دوران جسيم كتلته تساويالكتلة يكافئ تماما دوران جسيم كتلته تساويالكتلة يكافئ تماما دوران جسيم كتلته تساويالكتلة يكافئ تماما دوران جسيم كتلته تساوي
ة ة ة ة الكتلة المصغرة للنظام المكون من االلكترون والبروتون أي ذرالكتلة المصغرة للنظام المكون من االلكترون والبروتون أي ذرالكتلة المصغرة للنظام المكون من االلكترون والبروتون أي ذرالكتلة المصغرة للنظام المكون من االلكترون والبروتون أي ذر.... عنه عنه عنه عنهحول محور يبعد المسافة حول محور يبعد المسافة حول محور يبعد المسافة حول محور يبعد المسافة ) ) ) ) الهيدروجينالهيدروجينالهيدروجينالهيدروجين
++++====µµµµ ::::الكتلة المصغرة هيالكتلة المصغرة هيالكتلة المصغرة هيالكتلة المصغرة هي
5
9
معادلة شرودينغر –الهاميلتوني ): ): ): ): مؤثBر الطاقة الكليBةمؤثBر الطاقة الكليBةمؤثBر الطاقة الكليBةمؤثBر الطاقة الكليBة((((المؤثBر الهاميلتوني المؤثBر الهاميلتوني المؤثBر الهاميلتوني المؤثBر الهاميلتوني
(((( ))))rV2
2
++++∆∆∆∆µµµµ
−−−−====h
H
(((( )))) (((( )))) (((( ))))rErr
r2
22 rrrh ψψψψ====ψψψψχχχχ−−−−ψψψψµµµµ
−−−− ∇∇∇∇
ال يعتمد على الزمن فإنه يكفي حل معادلة ال يعتمد على الزمن فإنه يكفي حل معادلة ال يعتمد على الزمن فإنه يكفي حل معادلة ال يعتمد على الزمن فإنه يكفي حل معادلة بما أن بما أن بما أن بما أن . . . . شرودينغر الموجيBة المستقلة عن الزمنشرودينغر الموجيBة المستقلة عن الزمنشرودينغر الموجيBة المستقلة عن الزمنشرودينغر الموجيBة المستقلة عن الزمن
: : : : وتكون دالة الموجة الممثBلة للنظام هيوتكون دالة الموجة الممثBلة للنظام هيوتكون دالة الموجة الممثBلة للنظام هيوتكون دالة الموجة الممثBلة للنظام هي. . . . هي الطاقة الكليBةهي الطاقة الكليBةهي الطاقة الكليBةهي الطاقة الكليBةحيث حيث حيث حيث
سوف نستخدم الالبالسي في نظام اإلحداثيBات الكروية والذي يكتب سوف نستخدم الالبالسي في نظام اإلحداثيBات الكروية والذي يكتب سوف نستخدم الالبالسي في نظام اإلحداثيBات الكروية والذي يكتب سوف نستخدم الالبالسي في نظام اإلحداثيBات الكروية والذي يكتب ::::على الصيغةعلى الصيغةعلى الصيغةعلى الصيغة
حل معادلة شرودينغر –حل المعادلة المميزة للطاقة
::::أو على الصيغةأو على الصيغةأو على الصيغةأو على الصيغة2
ويشكل ويشكل ويشكل ويشكل ويشكل ويشكل ويشكل ويشكل أي أن الالبالسي عبارة عن حاصل جمع مؤثرين، األول أي أن الالبالسي عبارة عن حاصل جمع مؤثرين، األول أي أن الالبالسي عبارة عن حاصل جمع مؤثرين، األول أي أن الالبالسي عبارة عن حاصل جمع مؤثرين، األول
ويشكل الجزء الزاوي ويشكل الجزء الزاوي ويشكل الجزء الزاوي ويشكل الجزء الزاوي ويشكل الجزء الزاوي ويشكل الجزء الزاوي ويشكل الجزء الزاوي ويشكل الجزء الزاوي ، والثاني ، والثاني ، والثاني ، والثاني الجزء الشعاعي من الالبالسيالجزء الشعاعي من الالبالسيالجزء الشعاعي من الالبالسيالجزء الشعاعي من الالبالسيالجزء الشعاعي من الالبالسيالجزء الشعاعي من الالبالسيالجزء الشعاعي من الالبالسيالجزء الشعاعي من الالبالسي
. . . . مضروبا في مضروبا في مضروبا في مضروبا في من الالبالسيمن الالبالسيمن الالبالسيمن الالبالسيمن الالبالسيمن الالبالسيمن الالبالسيمن الالبالسي2r1
معادلة شرودينغر في نظام احداثيات كرويمعادلة شرودينغر في نظام احداثيات كرويمعادلة شرودينغر في نظام احداثيات كرويمعادلة شرودينغر في نظام احداثيات كروي! على المتغير ! على المتغير وألن! جهد التفاعل ال يعتمد إال ! على المتغير وألن! جهد التفاعل ال يعتمد إال ! على المتغير وألن! جهد التفاعل ال يعتمد إال المسافة بين االلكترون المسافة بين االلكترون المسافة بين االلكترون المسافة بين االلكترون ( ( ( (وألن! جهد التفاعل ال يعتمد إال
عن مركز عن مركز عن مركز عن مركز µµµµوالبروتون أو طول المتجه الذي يمثل موقع الجسيم والبروتون أو طول المتجه الذي يمثل موقع الجسيم والبروتون أو طول المتجه الذي يمثل موقع الجسيم والبروتون أو طول المتجه الذي يمثل موقع الجسيم وبمنطق مشابه لذلك الذي استخدمناه في فصل دالة الموجة وبمنطق مشابه لذلك الذي استخدمناه في فصل دالة الموجة وبمنطق مشابه لذلك الذي استخدمناه في فصل دالة الموجة وبمنطق مشابه لذلك الذي استخدمناه في فصل دالة الموجة ) ) ) ) اإلحداثياتاإلحداثياتاإلحداثياتاإلحداثيات
إلى حاصل ضرب دالتين األولى تعتمد على اإلحداثيات فقط والثانية إلى حاصل ضرب دالتين األولى تعتمد على اإلحداثيات فقط والثانية إلى حاصل ضرب دالتين األولى تعتمد على اإلحداثيات فقط والثانية إلى حاصل ضرب دالتين األولى تعتمد على اإلحداثيات فقط والثانية ف ف ف ف تعتمد على الزمن عندما ال يعتمد جهد التفاعل على الزمن، فإن!نا سوتعتمد على الزمن عندما ال يعتمد جهد التفاعل على الزمن، فإن!نا سوتعتمد على الزمن عندما ال يعتمد جهد التفاعل على الزمن، فإن!نا سوتعتمد على الزمن عندما ال يعتمد جهد التفاعل على الزمن، فإن!نا سو
....ϕϕϕϕ و و و و θθθθ عن اإلحداثيتين الزاويتين عن اإلحداثيتين الزاويتين عن اإلحداثيتين الزاويتين عن اإلحداثيتين الزاويتين نفصل اإلحداثية نفصل اإلحداثية نفصل اإلحداثية نفصل اإلحداثية
فصل المتغيراتفصل المتغيراتفصل المتغيراتفصل المتغيرات
مكونة من جزئين، األول يؤثر مكونة من جزئين، األول يؤثر مكونة من جزئين، األول يؤثر مكونة من جزئين، األول يؤثر من الواضح أن المعادلة من الواضح أن المعادلة من الواضح أن المعادلة من الواضح أن المعادلة ϕϕϕϕ و و و و θθθθ فقط واآلخر على اإلحداثيتين فقط واآلخر على اإلحداثيتين فقط واآلخر على اإلحداثيتين فقط واآلخر على اإلحداثيتين المؤثر فيها على اإلحداثية المؤثر فيها على اإلحداثية المؤثر فيها على اإلحداثية المؤثر فيها على اإلحداثية
يمكن أن تكتب على شكل يمكن أن تكتب على شكل يمكن أن تكتب على شكل يمكن أن تكتب على شكل ولفصلهما سوف نفرض أن دالة الموجة ولفصلهما سوف نفرض أن دالة الموجة ولفصلهما سوف نفرض أن دالة الموجة ولفصلهما سوف نفرض أن دالة الموجة ، ، ، ، وتعتمد فقط على المتغير وتعتمد فقط على المتغير وتعتمد فقط على المتغير وتعتمد فقط على المتغير حاصل ضرب ثالث دوال، األولى حاصل ضرب ثالث دوال، األولى حاصل ضرب ثالث دوال، األولى حاصل ضرب ثالث دوال، األولى
وتعتمد وتعتمد وتعتمد وتعتمد ΦΦΦΦϕϕϕϕ والثالثة والثالثة والثالثة والثالثة θθθθ وتعتمد فقط على المتغير وتعتمد فقط على المتغير وتعتمد فقط على المتغير وتعتمد فقط على المتغير ΘΘΘΘθθθθوالثانية والثانية والثانية والثانية ::::تعطى بالعالقة التاليةتعطى بالعالقة التاليةتعطى بالعالقة التاليةتعطى بالعالقة التالية، أي أن ، أي أن ، أي أن ، أي أن ϕϕϕϕفقط على المتغير فقط على المتغير فقط على المتغير فقط على المتغير
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))ϕϕϕϕφφφφθθθθΘΘΘΘ====ψψψψ r
فصل المتغيراتفصل المتغيراتفصل المتغيراتفصل المتغيرات
:::: نجد أن نجد أن نجد أن نجد أنR(r) ΘΘΘΘ(θθθθ) ΦΦΦΦ(φφφφ)بقسمة المعادلة السابقة على حاصل الضرب بقسمة المعادلة السابقة على حاصل الضرب بقسمة المعادلة السابقة على حاصل الضرب بقسمة المعادلة السابقة على حاصل الضرب
::::على الشكل التاليعلى الشكل التاليعلى الشكل التاليعلى الشكل التاليوفي هذه الحالة تكتب المعادلة وفي هذه الحالة تكتب المعادلة وفي هذه الحالة تكتب المعادلة وفي هذه الحالة تكتب المعادلة
الجزء الشعاعي والجزء الزاوي من معادلة شرودينغر الجزء الشعاعي والجزء الزاوي من معادلة شرودينغر الجزء الشعاعي والجزء الزاوي من معادلة شرودينغر الجزء الشعاعي والجزء الزاوي من معادلة شرودينغر
((((يسمى الحد األيسر من المعادلة السابقة الجزء الشعاعي يسمى الحد األيسر من المعادلة السابقة الجزء الشعاعي يسمى الحد األيسر من المعادلة السابقة الجزء الشعاعي يسمى الحد األيسر من المعادلة السابقة الجزء الشعاعي
الذي ال يعتمد إال على الذي ال يعتمد إال على الذي ال يعتمد إال على الذي ال يعتمد إال على ) ) ) ) والحد والحد والحد والحد ) ) ) ) البعد عن مركز اإلحداثي&اتالبعد عن مركز اإلحداثي&اتالبعد عن مركز اإلحداثي&اتالبعد عن مركز اإلحداثي&ات ( ( ( ( ((((األيمن منها الجزء الزاوي األيمن منها الجزء الزاوي األيمن منها الجزء الزاوي األيمن منها الجزء الزاويالذي ال يعتمد إال على الذي ال يعتمد إال على الذي ال يعتمد إال على الذي ال يعتمد إال على ) ) ) )
....ϕϕϕϕ و و و و θθθθالزاويتين الزاويتين الزاويتين الزاويتين
(Separation constant) ثابت الفصلثابت الفصلثابت الفصلثابت الفصل حتى تتحقق المعادلة التفاضلية حتى تتحقق المعادلة التفاضلية حتى تتحقق المعادلة التفاضلية حتى تتحقق المعادلة التفاضلية يجب أن يكون كل8 من طرفيها يجب أن يكون كل8 من طرفيها يجب أن يكون كل8 من طرفيها يجب أن يكون كل8 من طرفيها
". ". ". ". ثابت الفصلثابت الفصلثابت الفصلثابت الفصل""""األيمن واأليسر مساويا لنفس الثابت والذي يسمى األيمن واأليسر مساويا لنفس الثابت والذي يسمى األيمن واأليسر مساويا لنفس الثابت والذي يسمى األيمن واأليسر مساويا لنفس الثابت والذي يسمى وعندها تجزا المعادلة وعندها تجزا المعادلة وعندها تجزا المعادلة وعندها تجزا المعادلة . . . . لهذا الثابت لهذا الثابت لهذا الثابت لهذا الثابتΛΛΛΛجرت العادة على اختيار الرمز جرت العادة على اختيار الرمز جرت العادة على اختيار الرمز جرت العادة على اختيار الرمز
::::السابقة إلى المعادلتين التفاضلي&تين التاليتينالسابقة إلى المعادلتين التفاضلي&تين التاليتينالسابقة إلى المعادلتين التفاضلي&تين التاليتينالسابقة إلى المعادلتين التفاضلي&تين التاليتين
شرودينغر شرودينغر شرودينغر شرودينغر حل الجزء الشعاعي من معادلةحل الجزء الشعاعي من معادلةحل الجزء الشعاعي من معادلةحل الجزء الشعاعي من معادلة على على على على 6-16تحل المعادلتان السابقتان بسهولة نسبيا ويكون حل المعادلة تحل المعادلتان السابقتان بسهولة نسبيا ويكون حل المعادلة تحل المعادلتان السابقتان بسهولة نسبيا ويكون حل المعادلة تحل المعادلتان السابقتان بسهولة نسبيا ويكون حل المعادلة
هي متعددات حدود الغير هي متعددات حدود الغير هي متعددات حدود الغير هي متعددات حدود الغير وووو ذات ذات ذات ذات ....الترتيب المرادف لهذين العددينالترتيب المرادف لهذين العددينالترتيب المرادف لهذين العددينالترتيب المرادف لهذين العددين
ويرادف ويرادف ويرادف ويرادف ) ) ) ) طاقةطاقةطاقةطاقة(((( عدد يد3ل على مستوى عدد يد3ل على مستوى عدد يد3ل على مستوى عدد يد3ل على مستوى العدد الكمي الرئيسالعدد الكمي الرئيسالعدد الكمي الرئيسالعدد الكمي الرئيسالعدد الكمي الرئيسالعدد الكمي الرئيسالعدد الكمي الرئيسالعدد الكمي الرئيس ".".".".المدار البوري رقم المدار البوري رقم المدار البوري رقم المدار البوري رقم """"
يعطي حل3 المعادلة التفاضلية يعطي حل3 المعادلة التفاضلية يعطي حل3 المعادلة التفاضلية يعطي حل3 المعادلة التفاضلية ΛΛΛΛ القيمة القيمة القيمة القيمة llll llll hhhhhhhh
عادلة شرودينغرعادلة شرودينغرعادلة شرودينغرعادلة شرودينغرحل الجزء الزاوي من محل الجزء الزاوي من محل الجزء الزاوي من محل الجزء الزاوي من م
(((( )))) ϕϕϕϕθθθθ
i
llY
حيثحيثحيثحيث العدد الكمي# المغناطيسي#العدد الكمي# المغناطيسي#العدد الكمي# المغناطيسي#العدد الكمي# المغناطيسي#العدد الكمي# المغناطيسي#العدد الكمي# المغناطيسي#العدد الكمي# المغناطيسي#العدد الكمي# المغناطيسي#عدد كمي% ثالث ويسم#ى عدد كمي% ثالث ويسم#ى عدد كمي% ثالث ويسم#ى عدد كمي% ثالث ويسم#ى ....llll±±±± ............ ، ، ، ، ±±±± ، ، ، ، ±±±± ، ، ، ، ويأخذ القيم ويأخذ القيم ويأخذ القيم ويأخذ القيم
. . . . وسنعود إليه بتفصيل أكثر الحقاوسنعود إليه بتفصيل أكثر الحقاوسنعود إليه بتفصيل أكثر الحقاوسنعود إليه بتفصيل أكثر الحقا
و و و و lتسم#ى الدالة التوافقي الكروي ذي الترتيب تسم#ى الدالة التوافقي الكروي ذي الترتيب تسم#ى الدالة التوافقي الكروي ذي الترتيب تسم#ى الدالة التوافقي الكروي ذي الترتيب . . . .
lY
فهي المعروفة فهي المعروفة فهي المعروفة فهي المعروفة ) ) ) ) المعادلة المعادلة المعادلة المعادلة (((( الجزء الزاوي الجزء الزاوي الجزء الزاوي الجزء الزاوي أم#ا الدوال التي تمث@ل حلأم#ا الدوال التي تمث@ل حلأم#ا الدوال التي تمث@ل حلأم#ا الدوال التي تمث@ل حل
التوافقي@ات الكرويHةالتوافقي@ات الكرويHةالتوافقي@ات الكرويHةالتوافقي@ات الكرويHةباسم باسم باسم باسم ::::وتعطى بشكل عام كما يليوتعطى بشكل عام كما يليوتعطى بشكل عام كما يليوتعطى بشكل عام كما يلي ****
و و و و l هي دوال لوجندر المرادفة للعددين هي دوال لوجندر المرادفة للعددين هي دوال لوجندر المرادفة للعددين هي دوال لوجندر المرادفة للعددين وووو
عادلة شرودينغر لـذرة الهيدروجينعادلة شرودينغر لـذرة الهيدروجينعادلة شرودينغر لـذرة الهيدروجينعادلة شرودينغر لـذرة الهيدروجينالحل العام لمالحل العام لمالحل العام لمالحل العام لم::::وهكذا فإن الحل العام لذرة الهيدروجين هووهكذا فإن الحل العام لذرة الهيدروجين هووهكذا فإن الحل العام لذرة الهيدروجين هووهكذا فإن الحل العام لذرة الهيدروجين هو
≤≤≤≤ llll
llll ≤≤≤≤ ≤≤≤≤ llll
(((( )))) ϕϕϕϕ++++++++
−−−−θθθθ
ψψψψ
i
llll
::::حيث تظهر األعداد الكمية الثالثةحيث تظهر األعداد الكمية الثالثةحيث تظهر األعداد الكمية الثالثةحيث تظهر األعداد الكمية الثالثة
بالنسبة للثابت بالنسبة للثابت بالنسبة للثابت بالنسبة للثابت
:::: فإنه يساوي نصف قطر بور، ويعطى بالعالقة فإنه يساوي نصف قطر بور، ويعطى بالعالقة فإنه يساوي نصف قطر بور، ويعطى بالعالقة فإنه يساوي نصف قطر بور، ويعطى بالعالقة
ذرة الهيدروجينذرة الهيدروجينذرة الهيدروجينذرة الهيدروجينلـلـلـلـحاالت الطاقة الطاقة المرادفة الطاقة المرادفة الطاقة المرادفة الطاقة المرادفة عادلة شرودينغر عادلة شرودينغر عادلة شرودينغر عادلة شرودينغر يعطي حل الجزء الشعاعي من ميعطي حل الجزء الشعاعي من ميعطي حل الجزء الشعاعي من ميعطي حل الجزء الشعاعي من م
:::: بالعالقة البسيطة التالية بالعالقة البسيطة التالية بالعالقة البسيطة التالية بالعالقة البسيطة التاليةللعدد الكمي للعدد الكمي للعدد الكمي للعدد الكمي
مقيدمقيدمقيدمقيد) ) ) ) ذرة الهيدروجينذرة الهيدروجينذرة الهيدروجينذرة الهيدروجين((((النظام الكمي النظام الكمي النظام الكمي النظام الكمي السابقة هي نفس العالقة التي حصلنا عليها السابقة هي نفس العالقة التي حصلنا عليها السابقة هي نفس العالقة التي حصلنا عليها السابقة هي نفس العالقة التي حصلنا عليها المعادلة المعادلة المعادلة المعادلة
باستخدام نموذج بور والذي يرتكز أساسا على تكميم الطاقة باستخدام نموذج بور والذي يرتكز أساسا على تكميم الطاقة باستخدام نموذج بور والذي يرتكز أساسا على تكميم الطاقة باستخدام نموذج بور والذي يرتكز أساسا على تكميم الطاقة ))))hhhhفرضي6ة بور تتعلق بالزخم الزاوي في الواقع فرضي6ة بور تتعلق بالزخم الزاوي في الواقع فرضي6ة بور تتعلق بالزخم الزاوي في الواقع فرضي6ة بور تتعلق بالزخم الزاوي في الواقع ((((
هذا النظام الكمي مقي6د وطاقته الكلي=ة مكم6اة كما يظهر في هذا النظام الكمي مقي6د وطاقته الكلي=ة مكم6اة كما يظهر في هذا النظام الكمي مقي6د وطاقته الكلي=ة مكم6اة كما يظهر في هذا النظام الكمي مقي6د وطاقته الكلي=ة مكم6اة كما يظهر في وتسم6ى وتسم6ى وتسم6ى وتسم6ى المعادلة المعادلة المعادلة المعادلة
طاقة الحالة األرضي=ة لذر6ة الهيدروجين،طاقة الحالة األرضي=ة لذر6ة الهيدروجين،طاقة الحالة األرضي=ة لذر6ة الهيدروجين،طاقة الحالة األرضي=ة لذر6ة الهيدروجين،
، ، ، ،
و و و و ... ... ... ... ، ، ، ،
طاقة الحالة المتهي=جة طاقة الحالة المتهي=جة طاقة الحالة المتهي=جة طاقة الحالة المتهي=جة على التواليعلى التواليعلى التواليعلى التواليورقمورقمورقمورقم... ... ... ... األولى والثانية،األولى والثانية،األولى والثانية،األولى والثانية،
التالي حاالت الطاقة لذرة الهيدروجين، وفي الجدول التالي حاالت الطاقة لذرة الهيدروجين، وفي الجدول التالي حاالت الطاقة لذرة الهيدروجين، وفي الجدول التالي حاالت الطاقة لذرة الهيدروجين، وفي الجدول يلخص الجدول يلخص الجدول يلخص الجدول يلخص الجدول ....الذي يليه دوال الموجة المرادفةالذي يليه دوال الموجة المرادفةالذي يليه دوال الموجة المرادفةالذي يليه دوال الموجة المرادفة
المتهيجة الثالثةالمتهيجة الثالثةالمتهيجة الثالثةالمتهيجة الثالثة 85016E
E 14 .−−−−====−−−−====
الحالةالحالةالحالةالحالة العدد الكميالعدد الكميالعدد الكميالعدد الكمي
أو المستوى األرضي أو المستوى األرضي أو المستوى األرضي أو المستوى األرضي ((((الحالة األرضية الحالة األرضية الحالة األرضية الحالة األرضية ))))Energy Ground Level((((للطاقة للطاقة للطاقة للطاقة
األقل طاقة األقل طاقة األقل طاقة األقل طاقة ) ) ) ) أو المستوىأو المستوىأو المستوىأو المستوى((((هي الحالة هي الحالة هي الحالة هي الحالة للنظامللنظامللنظامللنظام
دالة الموجة للحالة األرضية والتي دالة الموجة للحالة األرضية والتي دالة الموجة للحالة األرضية والتي دالة الموجة للحالة األرضية والتي )))) أنظر الدالةأنظر الدالةأنظر الدالةأنظر الدالة((((تمثل الدالة التالية تمثل الدالة التالية تمثل الدالة التالية تمثل الدالة التالية l ، ، ، ، ترادف األعداد الكمية ترادف األعداد الكمية ترادف األعداد الكمية ترادف األعداد الكمية و و و و
فإننا نقول أن ذرة الهيدروجين موجودة في فإننا نقول أن ذرة الهيدروجين موجودة في فإننا نقول أن ذرة الهيدروجين موجودة في فإننا نقول أن ذرة الهيدروجين موجودة في عندما تكون قيمةعندما تكون قيمةعندما تكون قيمةعندما تكون قيمةإن هذا يعني أن النظام إن هذا يعني أن النظام إن هذا يعني أن النظام إن هذا يعني أن النظام . . . . الحالة األرضية أو في المستوى األرضي للطاقةالحالة األرضية أو في المستوى األرضي للطاقةالحالة األرضية أو في المستوى األرضي للطاقةالحالة األرضية أو في المستوى األرضي للطاقة
. . . . الكمي يملك أقل طاقة ممكنة لهالكمي يملك أقل طاقة ممكنة لهالكمي يملك أقل طاقة ممكنة لهالكمي يملك أقل طاقة ممكنة له
(((( )))) hr
i−−−−−−−−−−−−
ππππ====ΨΨΨΨ
حيث حيث حيث حيث ).).).).أو طاقة المستوى األرضيأو طاقة المستوى األرضيأو طاقة المستوى األرضيأو طاقة المستوى األرضي(((( هي طاقة الحالة األرضية هي طاقة الحالة األرضية هي طاقة الحالة األرضية هي طاقة الحالة األرضية
ΨΨΨΨالحظ أن الحظ أن الحظ أن الحظ أن ....φφφφ و و و و θθθθ ال تعتمد على ال تعتمد على ال تعتمد على ال تعتمد على
، ، ، ، بدورها حاصل ضرب دالتين األولىبدورها حاصل ضرب دالتين األولىبدورها حاصل ضرب دالتين األولىبدورها حاصل ضرب دالتين األولى وووو تعتمد على تعتمد على تعتمد على تعتمد على ، ، ، ،
والثانية والثانية والثانية والثانية ) ) ) ) الشعاعيةالشعاعيةالشعاعيةالشعاعية اإلحداثيةاإلحداثيةاإلحداثيةاإلحداثية((((θθθθϕϕϕϕ تعتمد على الزاويتين تعتمد على الزاويتين تعتمد على الزاويتين تعتمد على الزاويتين θθθθو و و و ϕϕϕϕ
(((( ))))r100
rψψψψ
(((( )))) (((( )))) (((( ))))ϕϕϕϕθθθθ====ψψψψ Y
r
هي حاصل ضرب دالتين األولى تعتمد على احداثيات هي حاصل ضرب دالتين األولى تعتمد على احداثيات هي حاصل ضرب دالتين األولى تعتمد على احداثيات هي حاصل ضرب دالتين األولى تعتمد على احداثياتتعتمد فقط على الزمنتعتمد فقط على الزمنتعتمد فقط على الزمنتعتمد فقط على الزمنالمكان والثانية المكان والثانية المكان والثانية المكان والثانية
ψψψψ للتأكد من أن دالة الحالة األرضية تحقق معادلة شرودينغر، نضعللتأكد من أن دالة الحالة األرضية تحقق معادلة شرودينغر، نضعللتأكد من أن دالة الحالة األرضية تحقق معادلة شرودينغر، نضعللتأكد من أن دالة الحالة األرضية تحقق معادلة شرودينغر، نضع
، كما يلي، كما يلي، كما يلي، كما يليالمستقلة عن الزمن في الطرف األيسر من المعادلة المستقلة عن الزمن في الطرف األيسر من المعادلة المستقلة عن الزمن في الطرف األيسر من المعادلة المستقلة عن الزمن في الطرف األيسر من المعادلة
(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]rreK
rr1
2 100
2
1002
2
ψψψψ−−−−ψψψψ
++++
µµµµ−−−− 2LRh
ψψψψ على على على على L2 و و و و R المؤثرين المؤثرين المؤثرين المؤثرين تأثيرتأثيرتأثيرتأثيرسوف نحسب سوف نحسب سوف نحسب سوف نحسب
(((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]hr
i−−−−ϕϕϕϕθθθθ
∂∂∂∂∂∂∂∂++++
∂∂∂∂∂∂∂∂====ΨΨΨΨ YR
أوال أوال أوال ΨΨΨΨ100100100100 على على على على R المؤثر المؤثر المؤثر المؤثر تأثيرتأثيرتأثيرتأثير: : : : أوال
::::ولذا نستطيع أن نكتبولذا نستطيع أن نكتبولذا نستطيع أن نكتبولذا نستطيع أن نكتب على على على على Rال يؤثر المؤثر ال يؤثر المؤثر ال يؤثر المؤثر ال يؤثر المؤثر htE1e i−−−−
:::: على الصيغة التالية أيضا على الصيغة التالية أيضا على الصيغة التالية أيضا على الصيغة التالية أيضاRيمكن كتابة المؤثر يمكن كتابة المؤثر يمكن كتابة المؤثر يمكن كتابة المؤثر
aµµµµ====χχχχ h ::::وباستخدام العالقة التي تربط بين الثوابتوباستخدام العالقة التي تربط بين الثوابتوباستخدام العالقة التي تربط بين الثوابتوباستخدام العالقة التي تربط بين الثوابت
من أن دالة الموجة للحالة المتهي جة األولى من أن دالة الموجة للحالة المتهي جة األولى من أن دالة الموجة للحالة المتهي جة األولى من أن دالة الموجة للحالة المتهي جة األولى من أن دالة الموجة للحالة المتهي جة األولى من أن دالة الموجة للحالة المتهي جة األولى من أن دالة الموجة للحالة المتهي جة األولى من أن دالة الموجة للحالة المتهي جة األولى تحققتحققتحققتحققتحققتحققتحققتحققΨΨΨΨΨΨΨΨ
....متحققمتحققمتحققمتحققنجد أن( الشرط نجد أن( الشرط نجد أن( الشرط نجد أن( الشرط وبضرب التكامل في وبضرب التكامل في وبضرب التكامل في وبضرب التكامل في 30a4 −−−−
(((( )))) 1n
0
arnn andrera ++++
∞∞∞∞−−−− ======== ∫∫∫∫ !I
): ): ): ): ): ): ): ): الملحق الملحق الملحق الملحق الملحق الملحق الملحق الملحق أنظر أنظر أنظر أنظر أنظر أنظر أنظر أنظر ((((((((حيث استخدمنا العالقة حيث استخدمنا العالقة حيث استخدمنا العالقة حيث استخدمنا العالقة حيث استخدمنا العالقة حيث استخدمنا العالقة حيث استخدمنا العالقة حيث استخدمنا العالقة
52
ΨΨΨΨتطبيع تطبيع تطبيع تطبيع
ΨΨΨΨالخيار اآلخر طبعا هو أخذ الخيار اآلخر طبعا هو أخذ الخيار اآلخر طبعا هو أخذ الخيار اآلخر طبعا هو أخذ :::: من الجداول وكتابة شرط التطبيع من الجداول وكتابة شرط التطبيع من الجداول وكتابة شرط التطبيع من الجداول وكتابة شرط التطبيع
1drreeeea1
dd0
2tEiartEiar300
2
0
1010 ====ππππ
θθθθθθθθϕϕϕϕ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∞∞∞∞
−−−−−−−−++++−−−−ππππππππ
hhsin
أوأوأوأو
Nوباستخدام قيمة التكامل وباستخدام قيمة التكامل وباستخدام قيمة التكامل وباستخدام قيمة التكامل
وبضرب التكامل في وبضرب التكامل في وبضرب التكامل في وبضرب التكامل في : : : : في الصفحة السابقةفي الصفحة السابقةفي الصفحة السابقةفي الصفحة السابقة ....متحققمتحققمتحققمتحققنجد أن= الشرط نجد أن= الشرط نجد أن= الشرط نجد أن= الشرط 3
ضيةضيةضيةضيةللحالة األرللحالة األرللحالة األرللحالة األر r/1حساب القيمة المتوقعة حساب القيمة المتوقعة حساب القيمة المتوقعة حساب القيمة المتوقعة عندما يكون النظام في الحالة عندما يكون النظام في الحالة عندما يكون النظام في الحالة عندما يكون النظام في الحالة تعطى القيمة المتوقعة للمؤثر تعطى القيمة المتوقعة للمؤثر تعطى القيمة المتوقعة للمؤثر تعطى القيمة المتوقعة للمؤثر
::::األرضي=ة بالعالقة التاليةاألرضي=ة بالعالقة التاليةاألرضي=ة بالعالقة التاليةاألرضي=ة بالعالقة التالية
Vحساب القيمة المتوقعة حساب القيمة المتوقعة حساب القيمة المتوقعة حساب القيمة المتوقعة
و و و و
إذ أنإذ أنإذ أنإذ أن. . . . وهي نتيجة متوقعة وهي نتيجة متوقعة وهي نتيجة متوقعة وهي نتيجة متوقعة الطاقة الكلية مكماة والقيمة المتوقعة لقياس الطاقة في الحالة الطاقة الكلية مكماة والقيمة المتوقعة لقياس الطاقة في الحالة الطاقة الكلية مكماة والقيمة المتوقعة لقياس الطاقة في الحالة الطاقة الكلية مكماة والقيمة المتوقعة لقياس الطاقة في الحالة
يجب أن تكون تساوي يجب أن تكون تساوي يجب أن تكون تساوي يجب أن تكون تساوي
وفي هذه الحالة تكون وفي هذه الحالة تكون وفي هذه الحالة تكون وفي هذه الحالة تكون
و و و و
.... مساوية للقيم التي وجدناها مساوية للقيم التي وجدناها مساوية للقيم التي وجدناها مساوية للقيم التي وجدناها
−−−−====χχχχ−−−−====χχχχ−−−−====−−−−====
لقد سبق ورأينا نتيجة مماثلة عند دراستنا لجسيم محصور في لقد سبق ورأينا نتيجة مماثلة عند دراستنا لجسيم محصور في لقد سبق ورأينا نتيجة مماثلة عند دراستنا لجسيم محصور في لقد سبق ورأينا نتيجة مماثلة عند دراستنا لجسيم محصور في ).).).).أو بئر جهد المنتهأو بئر جهد المنتهأو بئر جهد المنتهأو بئر جهد المنته((((صندوق صندوق صندوق صندوق
Eحساب القيمة المتوقعة حساب القيمة المتوقعة حساب القيمة المتوقعة حساب القيمة المتوقعة
(((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))[[[[ ]]]]hrh
rh tE
1001001er
ttr
tiii −−−−ψψψψ
∂∂∂∂∂∂∂∂====ΨΨΨΨ
∂∂∂∂∂∂∂∂
,
(((( )))) (((( ))))(((( ))))trE
erE
1001
tE1001
1
,r
rhh h
ΨΨΨΨ====
ψψψψ××××==== −−−− ii-i
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]∫∫∫∫∞∞∞∞++++
∞∞∞∞−−−−
ΨΨΨΨ
∂∂∂∂∂∂∂∂ΨΨΨΨ==== dVtrt
tr 100100100,,* r
hr
iE
أي أنأي أنأي أنأي أنعندما يكون النظام في الحالة عندما يكون النظام في الحالة عندما يكون النظام في الحالة عندما يكون النظام في الحالة قيمة مميزة للمؤثر قيمة مميزة للمؤثر قيمة مميزة للمؤثر قيمة مميزة للمؤثر
المعرفة بالدالةالمعرفة بالدالةالمعرفة بالدالةالمعرفة بالدالة
من أين تأتي األعداد الكمية؟من أين تأتي األعداد الكمية؟من أين تأتي األعداد الكمية؟من أين تأتي األعداد الكمية؟....))))المعادلة المعادلة المعادلة المعادلة ((((لنعد قليال إلى معادلة شرودينغر الموجية لنعد قليال إلى معادلة شرودينغر الموجية لنعد قليال إلى معادلة شرودينغر الموجية لنعد قليال إلى معادلة شرودينغر الموجية
ϕϕϕϕفصل المتغير فصل المتغير فصل المتغير فصل المتغير حاصل الضرب حاصل الضرب حاصل الضرب حاصل الضرب وبالقسمة على وبالقسمة على وبالقسمة على وبالقسمة على ΘΘΘΘθθθθΦΦΦΦϕϕϕϕ وإعادة ترتيب ، وإعادة ترتيب ، وإعادة ترتيب ، وإعادة ترتيب ،
:::: نجد أن نجد أن نجد أن نجد أنالمعادلةالمعادلةالمعادلةالمعادلة
ثلها ثلها ثلها ثلها وهي معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الثانية، سبق أن رأينا موهي معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الثانية، سبق أن رأينا موهي معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الثانية، سبق أن رأينا موهي معادلة تفاضلية متجانسة من الدرجة الثانية، سبق أن رأينا م::::وحل(ها العام هووحل(ها العام هووحل(ها العام هووحل(ها العام هو
ثابت الفصل ثابت الفصل ثابت الفصل ثابت الفصل
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]
l====ϕϕϕϕΦΦΦΦ
ϕϕϕϕϕϕϕϕΦΦΦΦ−−−−
يجب أن يكون كل3 من طرفيها يجب أن يكون كل3 من طرفيها يجب أن يكون كل3 من طرفيها يجب أن يكون كل3 من طرفيها حتى تتحقق المعادلة التفاضلية حتى تتحقق المعادلة التفاضلية حتى تتحقق المعادلة التفاضلية حتى تتحقق المعادلة التفاضلية ". ". ". ". ثابت الفصلثابت الفصلثابت الفصلثابت الفصل""""األيمن واأليسر مساويا لنفس الثابت والذي يسمى األيمن واأليسر مساويا لنفس الثابت والذي يسمى األيمن واأليسر مساويا لنفس الثابت والذي يسمى األيمن واأليسر مساويا لنفس الثابت والذي يسمى
====ΦΦΦΦ++++ϕϕϕϕΦΦΦΦ
⇒⇒⇒⇒ l
(((( )))) ϕϕϕϕ−−−−====ϕϕϕϕΦΦΦΦ lmeA i
وتصبح المعادلة التفاضلية في الطرف وتصبح المعادلة التفاضلية في الطرف وتصبح المعادلة التفاضلية في الطرف وتصبح المعادلة التفاضلية في الطرف هذا الثابتهذا الثابتهذا الثابتهذا الثابتنسمBي نسمBي نسمBي نسمBي سوف سوف سوف سوف ::::األيمن األيمن األيمن األيمن
2ml
. . . . تحقق المعادلة التفاضلية أعاله تحقق المعادلة التفاضلية أعاله تحقق المعادلة التفاضلية أعاله تحقق المعادلة التفاضلية أعالهΦΦΦΦϕϕϕϕمن السهل التأكد من أن الدالة من السهل التأكد من أن الدالة من السهل التأكد من أن الدالة من السهل التأكد من أن الدالة
ولكي ولكي ولكي ولكي ππππلىلىلىلىإإإإ من من من من ϕϕϕϕتتغير الزاوية تتغير الزاوية تتغير الزاوية تتغير الزاوية . . . . متصلة ومنتهية متصلة ومنتهية متصلة ومنتهية متصلة ومنتهيةΦΦΦΦφφφφالدالة الدالة الدالة الدالة :::: يتحقق الشرط التالي يتحقق الشرط التالي يتحقق الشرط التالي يتحقق الشرط التاليتكون الدالة حسنة التصرف يجب أنتكون الدالة حسنة التصرف يجب أنتكون الدالة حسنة التصرف يجب أنتكون الدالة حسنة التصرف يجب أن
llll عدد كميعدد كميعدد كميعدد كمي((((عدد صحيح عدد صحيح عدد صحيح عدد صحيح((((
llllأي أن أي أن أي أن أي أن
يجب أن يكون عددا صحيحايجب أن يكون عددا صحيحايجب أن يكون عددا صحيحايجب أن يكون عددا صحيحا
التكامل التكامل التكامل التكامل أي أن ثابتأي أن ثابتأي أن ثابتأي أن ثابت llll عدد حقيقي ال يعتمد على قيمة عدد حقيقي ال يعتمد على قيمة عدد حقيقي ال يعتمد على قيمة عدد حقيقي ال يعتمد على قيمة
ويساوي ويساوي ويساوي ويساوي
R∈∈∈∈ππππ
====21
A
(((( )))) Z∈∈∈∈ππππ
====ϕϕϕϕΦΦΦΦ ϕϕϕϕ−−−−l
l
i
:::: هي هي هي هيΦΦΦΦϕϕϕϕوهكذا تكون الدالة وهكذا تكون الدالة وهكذا تكون الدالة وهكذا تكون الدالة
قسمنا المعادلة قسمنا المعادلة قسمنا المعادلة قسمنا المعادلة ((((نستطيع أن نكتب نستطيع أن نكتب نستطيع أن نكتب نستطيع أن نكتب وبالعودة إلى المعادلة وبالعودة إلى المعادلة وبالعودة إلى المعادلة وبالعودة إلى المعادلة ))))θθθθعلى على على على
θθθθ عن عن عن عن فصل فصل فصل فصل
(((( ))))[[[[ ]]]]
(((( ))))
(((( ))))[[[[ ]]]]
(((( )))) θθθθ++++
θθθθΘΘΘΘ
θθθθΘΘΘΘ
θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂θθθθ
θθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂
θθθθ−−−−
====
χχχχ++++
µµµµ++++
sin
sin
sin
2
22
m1
rR
rRr
E2
r
l
hR
72
llllllllثابت الفصل ثابت الفصل ثابت الفصل ثابت الفصل llllllll يجب أن يكون كل7 من طرفيها يجب أن يكون كل7 من طرفيها يجب أن يكون كل7 من طرفيها يجب أن يكون كل7 من طرفيها حتى تتحقق المعادلة التفاضلية حتى تتحقق المعادلة التفاضلية حتى تتحقق المعادلة التفاضلية حتى تتحقق المعادلة التفاضلية
سوف سوف سوف سوف ". ". ". ". ثابت الفصلثابت الفصلثابت الفصلثابت الفصل""""األيمن واأليسر مساويا لنفس الثابت والذي يسمى األيمن واأليسر مساويا لنفس الثابت والذي يسمى األيمن واأليسر مساويا لنفس الثابت والذي يسمى األيمن واأليسر مساويا لنفس الثابت والذي يسمى llllllllنسمي هذا الثابتنسمي هذا الثابتنسمي هذا الثابتنسمي هذا الثابت llllllll ويكتب طرفا ويكتب طرفا ويكتب طرفا ويكتب طرفا ، وسنبرر هذا الخيار الحقا، ، وسنبرر هذا الخيار الحقا، ، وسنبرر هذا الخيار الحقا، ، وسنبرر هذا الخيار الحقا،
::::المعادلة على الصيغةالمعادلة على الصيغةالمعادلة على الصيغةالمعادلة على الصيغة
llllllllثابت الفصل ثابت الفصل ثابت الفصل ثابت الفصل llllllll ::::وباستخدام العالقة التاليةوباستخدام العالقة التاليةوباستخدام العالقة التاليةوباستخدام العالقة التالية
(((( ))))1d
dd1m
2
2
++++====
θθθθ∂∂∂∂ΘΘΘΘ
θθθθθθθθθθθθΘΘΘΘ
−−−−θθθθ
lll sinsinsin
(((( ))))1Er
r2
rddR
rrd
dR1
2
22 ++++====
++++χχχχ
µµµµ++++
ll
h
::::على الشكل التاليعلى الشكل التاليعلى الشكل التاليعلى الشكل التاليالمعادلتين السابقتين المعادلتين السابقتين المعادلتين السابقتين المعادلتين السابقتين نعيد كتابة نعيد كتابة نعيد كتابة نعيد كتابة
llll llllllll بحيث أن بحيث أن بحيث أن بحيث أن llll يفرض أن تكون قيمة يفرض أن تكون قيمة يفرض أن تكون قيمة يفرض أن تكون قيمة حل المعادلة حل المعادلة حل المعادلة حل المعادلة ≥≥≥≥ llll
(((( )))) (((( )))) llll ≤≤≤≤θθθθθθθθΘΘΘΘ mPmm ,cos~....وحل المعادلة هو متعدد حدود الغير الذي رأيناه سابقاوحل المعادلة هو متعدد حدود الغير الذي رأيناه سابقاوحل المعادلة هو متعدد حدود الغير الذي رأيناه سابقاوحل المعادلة هو متعدد حدود الغير الذي رأيناه سابقا
، ، ، ، ))))ومعامل التناسب هو ثابت تطبيع للدالةومعامل التناسب هو ثابت تطبيع للدالةومعامل التناسب هو ثابت تطبيع للدالةومعامل التناسب هو ثابت تطبيع للدالة((((واإلشارة تعني تناسبا طرديا واإلشارة تعني تناسبا طرديا واإلشارة تعني تناسبا طرديا واإلشارة تعني تناسبا طرديا :::: على الشكل على الشكل على الشكل على الشكلΘΘΘΘθθθθويكتب شرط تطبيع الدالة ويكتب شرط تطبيع الدالة ويكتب شرط تطبيع الدالة ويكتب شرط تطبيع الدالة
(((( )))) 1d0
2 ====θθθθθθθθθθθθΘΘΘΘ∫∫∫∫ππππ
sin
سوف نستخدم التوافقيات الكروية والتي هي حاصل ضرب دالة تعتمد سوف نستخدم التوافقيات الكروية والتي هي حاصل ضرب دالة تعتمد سوف نستخدم التوافقيات الكروية والتي هي حاصل ضرب دالة تعتمد سوف نستخدم التوافقيات الكروية والتي هي حاصل ضرب دالة تعتمد وفي كل ما سيأتي سوف نسقط الرمز وفي كل ما سيأتي سوف نسقط الرمز وفي كل ما سيأتي سوف نسقط الرمز وفي كل ما سيأتي سوف نسقط الرمز . . . . φφφφ ودالة تعتمد على ودالة تعتمد على ودالة تعتمد على ودالة تعتمد على θθθθعلى على على على
ومعامل التناسب هو ثابت تطبيع ومعامل التناسب هو ثابت تطبيع ومعامل التناسب هو ثابت تطبيع ومعامل التناسب هو ثابت تطبيع ((((واإلشارة تعني تناسبا طرديا واإلشارة تعني تناسبا طرديا واإلشارة تعني تناسبا طرديا واإلشارة تعني تناسبا طرديا :::: على الشكل على الشكل على الشكل على الشكلYllll، ويكتب شرط تطبيع التوافقي الكروي ، ويكتب شرط تطبيع التوافقي الكروي ، ويكتب شرط تطبيع التوافقي الكروي ، ويكتب شرط تطبيع التوافقي الكروي ))))للدالةللدالةللدالةللدالة
1ddd2
0 0
mm
2
0 0
2
m ====ϕϕϕϕθθθθθθθθ====ΩΩΩΩ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ππππ ππππππππ ππππ
sin*,,, lll YYY
)))) و و و و llllالتوافقي الكروي ذا الترتيب التوافقي الكروي ذا الترتيب التوافقي الكروي ذا الترتيب التوافقي الكروي ذا الترتيب يسمى حاصل الضرب يسمى حاصل الضرب يسمى حاصل الضرب يسمى حاصل الضرب )))) (((( ))))ϕϕϕϕΦΦΦΦθθθθΘΘΘΘl
والعدد الكمي الرئيس والعدد الكمي الرئيس والعدد الكمي الرئيس والعدد الكمي الرئيس الدالة الدالة الدالة الدالة
والذي يفرض وجود عدد كمي والذي يفرض وجود عدد كمي والذي يفرض وجود عدد كمي والذي يفرض وجود عدد كمي سبق وأن رأينا حل المعادلة سبق وأن رأينا حل المعادلة سبق وأن رأينا حل المعادلة سبق وأن رأينا حل المعادلة ، ، ، ، llllوأكبر من وأكبر من وأكبر من وأكبر من ) ) ) ) غير مسموحغير مسموحغير مسموحغير مسموح (((( يكون موجبا يكون موجبا يكون موجبا يكون موجبا يجب أن يجب أن يجب أن يجب أنجديد هو جديد هو جديد هو جديد هو ::::والحل هووالحل هووالحل هووالحل هو
ويعطينا الحل أيضا قيمة الطاقة المرادفة والتي يظهر فيها العدد ويعطينا الحل أيضا قيمة الطاقة المرادفة والتي يظهر فيها العدد ويعطينا الحل أيضا قيمة الطاقة المرادفة والتي يظهر فيها العدد ويعطينا الحل أيضا قيمة الطاقة المرادفة والتي يظهر فيها العدد ....الكمي الكمي الكمي الكمي
ΨΨΨΨ وتطبيع وتطبيع وتطبيع وتطبيع تطبيع الدالة تطبيع الدالة تطبيع الدالة تطبيع الدالة ::::على الشكل التاليعلى الشكل التاليعلى الشكل التاليعلى الشكل التالي) ) ) ) وهي دوما حقيقيةوهي دوما حقيقيةوهي دوما حقيقيةوهي دوما حقيقية ( ( ( (يكتب شرط التطبيع للدالة يكتب شرط التطبيع للدالة يكتب شرط التطبيع للدالة يكتب شرط التطبيع للدالة
1drrR0
22
n ====∫∫∫∫∞∞∞∞
l,
1dddrr0 0
2
0
22mn ====ϕϕϕϕθθθθθθθθΨΨΨΨ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫
∞∞∞∞ ππππ ππππ
sin,,l
::::على الشكل التاليعلى الشكل التاليعلى الشكل التاليعلى الشكل التالي ويكتب شرط التطبيع للدالة ويكتب شرط التطبيع للدالة ويكتب شرط التطبيع للدالة ويكتب شرط التطبيع للدالة mn ,,lΨΨΨΨ
ماذا تعني األعداد الكمية؟ماذا تعني األعداد الكمية؟ماذا تعني األعداد الكمية؟ماذا تعني األعداد الكمية؟
40
79
العدد الكمي الرئيس العدد الكمي الرئيس العدد الكمي الرئيس العدد الكمي الرئيس
، ويسم%ى العدد الكمي الرئيس كما ذكرنا في بداية ، ويسم%ى العدد الكمي الرئيس كما ذكرنا في بداية ، ويسم%ى العدد الكمي الرئيس كما ذكرنا في بداية ، ويسم%ى العدد الكمي الرئيس كما ذكرنا في بداية العدد الكمي العدد الكمي العدد الكمي العدد الكمي يرادف رقم المدار في نموذج بور ولكن%ه ليس كذلك في يرادف رقم المدار في نموذج بور ولكن%ه ليس كذلك في يرادف رقم المدار في نموذج بور ولكن%ه ليس كذلك في يرادف رقم المدار في نموذج بور ولكن%ه ليس كذلك في هذا الفصل، هذا الفصل، هذا الفصل، هذا الفصل،
ميكانيكا شرودينغرميكانيكا شرودينغرميكانيكا شرودينغرميكانيكا شرودينغريعبر هذا العدد هنا عن تكميم الطاقة يعبر هذا العدد هنا عن تكميم الطاقة يعبر هذا العدد هنا عن تكميم الطاقة يعبر هذا العدد هنا عن تكميم الطاقة
يعطينا نموذج بور المستمد من النموذج المداري لحركة األرض حول يعطينا نموذج بور المستمد من النموذج المداري لحركة األرض حول يعطينا نموذج بور المستمد من النموذج المداري لحركة األرض حول يعطينا نموذج بور المستمد من النموذج المداري لحركة األرض حول ....الشمس باستخدام قوة كولوم كقوة مركزي%ة نفس النتيجةالشمس باستخدام قوة كولوم كقوة مركزي%ة نفس النتيجةالشمس باستخدام قوة كولوم كقوة مركزي%ة نفس النتيجةالشمس باستخدام قوة كولوم كقوة مركزي%ة نفس النتيجة
ميكانيكا شرودينغر الحركة المداري%ة وتؤدي إلى نفس ميكانيكا شرودينغر الحركة المداري%ة وتؤدي إلى نفس ميكانيكا شرودينغر الحركة المداري%ة وتؤدي إلى نفس ميكانيكا شرودينغر الحركة المداري%ة وتؤدي إلى نفس تفسGرتفسGرتفسGرتفسGرالتحديدات على طاقة النظام، ولكن% الفرق األساسي هو في أن% التحديدات على طاقة النظام، ولكن% الفرق األساسي هو في أن% التحديدات على طاقة النظام، ولكن% الفرق األساسي هو في أن% التحديدات على طاقة النظام، ولكن% الفرق األساسي هو في أن% األعداد الكمي%ة التي تظهر في هذه الحالة تكون كبيرة جد%ا وتؤدياألعداد الكمي%ة التي تظهر في هذه الحالة تكون كبيرة جد%ا وتؤدياألعداد الكمي%ة التي تظهر في هذه الحالة تكون كبيرة جد%ا وتؤدياألعداد الكمي%ة التي تظهر في هذه الحالة تكون كبيرة جد%ا وتؤدي
إلى الطاقات الكالسيكي%ة كما ينص على ذلك مبدأ الترادفإلى الطاقات الكالسيكي%ة كما ينص على ذلك مبدأ الترادفإلى الطاقات الكالسيكي%ة كما ينص على ذلك مبدأ الترادفإلى الطاقات الكالسيكي%ة كما ينص على ذلك مبدأ الترادف
العدد الكمي المداري العدد الكمي المداري العدد الكمي المداري العدد الكمي المداري
))))المعادلة المعادلة المعادلة المعادلة ((((لننظر إلى الجزء الشعاعي من معادلة شرودينغر لننظر إلى الجزء الشعاعي من معادلة شرودينغر لننظر إلى الجزء الشعاعي من معادلة شرودينغر لننظر إلى الجزء الشعاعي من معادلة شرودينغر
(((( ))))1Er
r2
rddR
rrd
dR1
2
22 ++++====
++++χχχχ
µµµµ++++
ll
h
::::والذي سنكتبه كما يليوالذي سنكتبه كما يليوالذي سنكتبه كما يليوالذي سنكتبه كما يلي
في مدار ولذا نسميها مدارية والطاقة الحركية في مدار ولذا نسميها مدارية والطاقة الحركية في مدار ولذا نسميها مدارية والطاقة الحركية في مدار ولذا نسميها مدارية والطاقة الحركية ((((يتحرك اإللكترون حركة دورانية يتحرك اإللكترون حركة دورانية يتحرك اإللكترون حركة دورانية يتحرك اإللكترون حركة دورانية وهنالك حركة أخرى يتحرك فيها باتجاه وهنالك حركة أخرى يتحرك فيها باتجاه وهنالك حركة أخرى يتحرك فيها باتجاه وهنالك حركة أخرى يتحرك فيها باتجاه ) ) ) ) المرادفة هي الطاقة الحركية المداريةالمرادفة هي الطاقة الحركية المداريةالمرادفة هي الطاقة الحركية المداريةالمرادفة هي الطاقة الحركية المدارية
النواة، مركز اإلحداثيات، ويبتعد عنها وهي الحركة الشعاعيةالنواة، مركز اإلحداثيات، ويبتعد عنها وهي الحركة الشعاعيةالنواة، مركز اإلحداثيات، ويبتعد عنها وهي الحركة الشعاعيةالنواة، مركز اإلحداثيات، ويبتعد عنها وهي الحركة الشعاعية
::::تعطى الطاقة الكلية للنظام في هذه الحالة بالعالقةتعطى الطاقة الكلية للنظام في هذه الحالة بالعالقةتعطى الطاقة الكلية للنظام في هذه الحالة بالعالقةتعطى الطاقة الكلية للنظام في هذه الحالة بالعالقة
السابقة السابقة السابقة السابقة عادلة عادلة عادلة عادلة وهو الحد الذي يظهر في الجزء الشعاعي من الموهو الحد الذي يظهر في الجزء الشعاعي من الموهو الحد الذي يظهر في الجزء الشعاعي من الموهو الحد الذي يظهر في الجزء الشعاعي من الم
rKKUKKE OrbitalradialOrbitalradial
χχχχ−−−−++++====++++++++====
ومنهاومنهاومنهاومنهاOrbitalradial KK
rE ++++====χχχχ++++
82
الطاقة الشعاعية والطاقة المدارية في الميكانيكا الطاقة الشعاعية والطاقة المدارية في الميكانيكا الطاقة الشعاعية والطاقة المدارية في الميكانيكا الطاقة الشعاعية والطاقة المدارية في الميكانيكا ::::تعطى الطاقة الحركي%ة الشعاعي%ة بالعالقةتعطى الطاقة الحركي%ة الشعاعي%ة بالعالقةتعطى الطاقة الحركي%ة الشعاعي%ة بالعالقةتعطى الطاقة الحركي%ة الشعاعي%ة بالعالقةالكالسيكيةالكالسيكيةالكالسيكيةالكالسيكية
::::وتعطى الطاقة الحركي%ة المداري%ة بالعالقةوتعطى الطاقة الحركي%ة المداري%ة بالعالقةوتعطى الطاقة الحركي%ة المداري%ة بالعالقةوتعطى الطاقة الحركي%ة المداري%ة بالعالقة
2radialradial v
21
K µµµµ====
2orbitalorbital v
21
K µµµµ====
rvL orbitalµµµµ====
:::: بالعالقة بالعالقة بالعالقة بالعالقة))))و عمودي%انو عمودي%انو عمودي%انو عمودي%ان ( ( ( ( ****كما ويعطى الزخم الزاوي كما ويعطى الزخم الزاوي كما ويعطى الزخم الزاوي كما ويعطى الزخم الزاوي rr
pr
::::أي أن%أي أن%أي أن%أي أن%2
2
orbital r2L
Kµµµµ
====
طول متجه الزخم الزاوي طول متجه الزخم الزاوي طول متجه الزخم الزاوي طول متجه الزخم الزاوي****
llll وووو:::: السابقة على الصيغة السابقة على الصيغة السابقة على الصيغة السابقة على الصيغةيمكن أن نكتب المعادلة يمكن أن نكتب المعادلة يمكن أن نكتب المعادلة يمكن أن نكتب المعادلة
) ) ) ) اإلحداثي%اتاإلحداثي%اتاإلحداثي%اتاإلحداثي%ات((((لقد حصلنا على هذه المعادلة عندما فصلنا المتغيرات لقد حصلنا على هذه المعادلة عندما فصلنا المتغيرات لقد حصلنا على هذه المعادلة عندما فصلنا المتغيرات لقد حصلنا على هذه المعادلة عندما فصلنا المتغيرات وكان هدفنا الحصول على معادلة تفاضلي%ة يظهر فيها كل من وكان هدفنا الحصول على معادلة تفاضلي%ة يظهر فيها كل من وكان هدفنا الحصول على معادلة تفاضلي%ة يظهر فيها كل من وكان هدفنا الحصول على معادلة تفاضلي%ة يظهر فيها كل من
.... لوحده لوحده لوحده لوحدهθθθθϕϕϕϕالمتغيرات الثالثة المتغيرات الثالثة المتغيرات الثالثة المتغيرات الثالثة
(((( )))) [[[[ ]]]] 0Rr2
1KK
2rd
dRr
rdd
r1
2
2
orbitalradial22
2 ====
µµµµ++++
−−−−++++µµµµ
++++
llh
h
أعاله معادلة تفاضلية أعاله معادلة تفاضلية أعاله معادلة تفاضلية أعاله معادلة تفاضلية الحل المنطقي الوحيد لكي تبقى المعادلة الحل المنطقي الوحيد لكي تبقى المعادلة الحل المنطقي الوحيد لكي تبقى المعادلة الحل المنطقي الوحيد لكي تبقى المعادلة بالمتغير بالمتغير بالمتغير بالمتغير !!!! مساويا للصفر مساويا للصفر مساويا للصفر مساويا للصفر فقط هو أن يكون الحد بين القوسين فقط هو أن يكون الحد بين القوسين فقط هو أن يكون الحد بين القوسين فقط هو أن يكون الحد بين القوسين
84
llll وووو
::::ه يجب أن يكونه يجب أن يكونه يجب أن يكونه يجب أن يكونأي أنأي أنأي أنأي أن
و و و و بمقارنة المعادلتين بمقارنة المعادلتين بمقارنة المعادلتين بمقارنة المعادلتين :::: نجد أن نجد أن نجد أن نجد أن
(((( ))))
µµµµ++++====llh
(((( ))))
µµµµ++++====
µµµµllh
(((( )))) ++++====⇒⇒⇒⇒ llh
يعتمد على يعتمد على يعتمد على يعتمد على ) ) ) ) طول متجه الزخم الزاوي بالضبططول متجه الزخم الزاوي بالضبططول متجه الزخم الزاوي بالضبططول متجه الزخم الزاوي بالضبط(((( مقدار الزخم الزاوي مقدار الزخم الزاوي مقدار الزخم الزاوي مقدار الزخم الزاوي أي أنأي أنأي أنأي أن:::: ، ويساوي، ويساوي، ويساوي، ويساويعادلة شرودينغرعادلة شرودينغرعادلة شرودينغرعادلة شرودينغر الذي ظهر معنا عند حل*نا لـم الذي ظهر معنا عند حل*نا لـم الذي ظهر معنا عند حل*نا لـم الذي ظهر معنا عند حل*نا لـمllllالعدد الكمي العدد الكمي العدد الكمي العدد الكمي
(((( )))) hll ++++====
كوحدة طبيعية للزخم الزاوي في ميكانيكا الكم كوحدة طبيعية للزخم الزاوي في ميكانيكا الكم كوحدة طبيعية للزخم الزاوي في ميكانيكا الكم كوحدة طبيعية للزخم الزاوي في ميكانيكا الكمhhhhالثابت الثابت الثابت الثابت ويظهرويظهرويظهرويظهر
43
85
الزخم الزاوي مكم ى، كما الطاقةالزخم الزاوي مكم ى، كما الطاقةالزخم الزاوي مكم ى، كما الطاقةالزخم الزاوي مكم ى، كما الطاقة ال يأخذ إال قيما محددة فإن ال يأخذ إال قيما محددة فإن ال يأخذ إال قيما محددة فإن ال يأخذ إال قيما محددة فإنllll) ) ) ) الكميالكميالكميالكمي(((( العدد العدد العدد العدد ألنألنألنألن متجه متجه متجه متجه ) ) ) ) طولطولطولطول(((( قيمة قيمة قيمة قيمة
يأخذ إال قيما محددة بالعالقة السابقة يأخذ إال قيما محددة بالعالقة السابقة يأخذ إال قيما محددة بالعالقة السابقة يأخذ إال قيما محددة بالعالقة السابقةالزخم الزاوي ال يستطيع أنالزخم الزاوي ال يستطيع أنالزخم الزاوي ال يستطيع أنالزخم الزاوي ال يستطيع أن . . . . الزخم الزاوي مكمى تماما الزخم الزاوي مكمى تماما الزخم الزاوي مكمى تماما الزخم الزاوي مكمى تماما وبالتالي فباإلضافة لكونه محفوظا فإنوبالتالي فباإلضافة لكونه محفوظا فإنوبالتالي فباإلضافة لكونه محفوظا فإنوبالتالي فباإلضافة لكونه محفوظا فإن
كما الطاقةكما الطاقةكما الطاقةكما الطاقة
التالي التالي التالي التالي نبين في الجدول نبين في الجدول نبين في الجدول نبين في الجدول متجه متجه متجه متجه ) ) ) ) طولطولطولطول((((بعض قيم بعض قيم بعض قيم بعض قيم
الزخم الزاوي الممكنة لقيم الزخم الزاوي الممكنة لقيم الزخم الزاوي الممكنة لقيم الزخم الزاوي الممكنة لقيم llllمختلفة للعدد الكمي مختلفة للعدد الكمي مختلفة للعدد الكمي مختلفة للعدد الكمي
نقطة اختالف جوهري ة بين نموذج بور وميكانيكا الكمنقطة اختالف جوهري ة بين نموذج بور وميكانيكا الكمنقطة اختالف جوهري ة بين نموذج بور وميكانيكا الكمنقطة اختالف جوهري ة بين نموذج بور وميكانيكا الكموهنا يظهر اختالف أساسي بين ميكانيكا الكم ونموذج بور وهنا يظهر اختالف أساسي بين ميكانيكا الكم ونموذج بور وهنا يظهر اختالف أساسي بين ميكانيكا الكم ونموذج بور وهنا يظهر اختالف أساسي بين ميكانيكا الكم ونموذج بور
تكميم الزخم الزاوي في نموذج تكميم الزخم الزاوي في نموذج تكميم الزخم الزاوي في نموذج تكميم الزخم الزاوي في نموذج الكالسيكي لـذرة الهيدروجين، إذ أنالكالسيكي لـذرة الهيدروجين، إذ أنالكالسيكي لـذرة الهيدروجين، إذ أنالكالسيكي لـذرة الهيدروجين، إذ أن
في في في في llllه يعتمد على العدد الكمي ه يعتمد على العدد الكمي ه يعتمد على العدد الكمي ه يعتمد على العدد الكمي ، في حين أن، في حين أن، في حين أن، في حين أنبور يعتمد على العدد بور يعتمد على العدد بور يعتمد على العدد بور يعتمد على العدد
االت االت االت االت ألسباب تاريخية يستخدم نظام ترميز أساسه األحرف عند الحديث عن حألسباب تاريخية يستخدم نظام ترميز أساسه األحرف عند الحديث عن حألسباب تاريخية يستخدم نظام ترميز أساسه األحرف عند الحديث عن حألسباب تاريخية يستخدم نظام ترميز أساسه األحرف عند الحديث عن ح....الزخم الزاويالزخم الزاويالزخم الزاويالزخم الزاوي
رونات رونات رونات رونات فمنذ أن فهم سبب وجود الخطوط الطيفية الناتجة عن انتقاالت إلكتفمنذ أن فهم سبب وجود الخطوط الطيفية الناتجة عن انتقاالت إلكتفمنذ أن فهم سبب وجود الخطوط الطيفية الناتجة عن انتقاالت إلكتفمنذ أن فهم سبب وجود الخطوط الطيفية الناتجة عن انتقاالت إلكتوهو مختصر لكلمة وهو مختصر لكلمة وهو مختصر لكلمة وهو مختصر لكلمة ( ( ( (، ربط الحرف ، ربط الحرف ، ربط الحرف ، ربط الحرف مدار إلى آخرمدار إلى آخرمدار إلى آخرمدار إلى آخرة من ة من ة من ة من الذرالذرالذرالذر) ) ) ) أي حاد أي حاد أي حاد أي حاد
llllبالحاالت التي يكون فيها بالحاالت التي يكون فيها بالحاالت التي يكون فيها بالحاالت التي يكون فيها وهو مختصر لكلمة وهو مختصر لكلمة وهو مختصر لكلمة وهو مختصر لكلمة (((( ، والحرف ، والحرف ، والحرف ، والحرف أي أي أي أي llllبالحاالت التي يكون فيها بالحاالت التي يكون فيها بالحاالت التي يكون فيها بالحاالت التي يكون فيها ) ) ) ) رئيسيرئيسيرئيسيرئيسي ، والحرف ، والحرف ، والحرف ، والحرف وهو مختصر لكلمة وهو مختصر لكلمة وهو مختصر لكلمة وهو مختصر لكلمة (((( llllبالحاالت التي يكون فيها بالحاالت التي يكون فيها بالحاالت التي يكون فيها بالحاالت التي يكون فيها ) ) ) ) مغبشمغبشمغبشمغبش أي أي أي أي وهو وهو وهو وهو (((( وأخيرا الحرف وأخيرا الحرف وأخيرا الحرف وأخيرا الحرف
llllبالحاالت التي يكون فيها بالحاالت التي يكون فيها بالحاالت التي يكون فيها بالحاالت التي يكون فيها ) ) ) ) مختصر لكلمة مختصر لكلمة مختصر لكلمة مختصر لكلمة . . . .
llllللحاالت للحاالت للحاالت للحاالت … … … … ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ، ثم نستخدم التسلسل األبجدي ثم نستخدم التسلسل األبجدي ثم نستخدم التسلسل األبجدي ثم نستخدم التسلسل األبجدي ≥≥≥≥
llllترميز الحاالت ترميز الحاالت ترميز الحاالت ترميز الحاالت ة نظام ترميز لحاالت اإللكترون الذرية يكتب فيه العدد ة نظام ترميز لحاالت اإللكترون الذرية يكتب فيه العدد ة نظام ترميز لحاالت اإللكترون الذرية يكتب فيه العدد ة نظام ترميز لحاالت اإللكترون الذرية يكتب فيه العدد يستخدم فيزيائيو الذريستخدم فيزيائيو الذريستخدم فيزيائيو الذريستخدم فيزيائيو الذر
((((الكمي الرئيس والحرف الذي يمث*ل العدد الكمي المداري معا الكمي الرئيس والحرف الذي يمث*ل العدد الكمي المداري معا الكمي الرئيس والحرف الذي يمث*ل العدد الكمي المداري معا الكمي الرئيس والحرف الذي يمث*ل العدد الكمي المداري معا llll .(.(.(.(
الجدول الجدول الجدول الجدول
llll llll
llll
llll
llll
llll
45
تكميم الفراغتكميم الفراغتكميم الفراغتكميم الفراغ
90
العدد الكمي المغناطيسيالعدد الكمي المغناطيسيالعدد الكمي المغناطيسيالعدد الكمي المغناطيسي
ه لكي يعرف تماما يجب أن ه لكي يعرف تماما يجب أن ه لكي يعرف تماما يجب أن ه لكي يعرف تماما يجب أن الزخم الزاوي متجه وهذا يعني أنالزخم الزاوي متجه وهذا يعني أنالزخم الزاوي متجه وهذا يعني أنالزخم الزاوي متجه وهذا يعني أن....تحدد قيمته وأن يحدد اتجاههتحدد قيمته وأن يحدد اتجاههتحدد قيمته وأن يحدد اتجاههتحدد قيمته وأن يحدد اتجاهه
prLrrr
××××====
وهو ما رأيناه وهو ما رأيناه وهو ما رأيناه وهو ما رأيناه (((( تكميم الزخم الزاوي يعني تكميم مقداره تكميم الزخم الزاوي يعني تكميم مقداره تكميم الزخم الزاوي يعني تكميم مقداره تكميم الزخم الزاوي يعني تكميم مقداره مبدئيا فإنمبدئيا فإنمبدئيا فإنمبدئيا فإن القيم المعرفة بالعالقة فقيمةفقيمةفقيمةفقيمة القيم المعرفة بالعالقة المتجه ال تأخذ إال القيم المعرفة بالعالقة المتجه ال تأخذ إال القيم المعرفة بالعالقة المتجه ال تأخذ إال ) ) ) ) السابقة السابقة السابقة السابقة المتجه ال تأخذ إال
....ويعني كذلك تكميم اتجاههويعني كذلك تكميم اتجاههويعني كذلك تكميم اتجاههويعني كذلك تكميم اتجاههLr
نستطيع تقبل فكرة تكميم الطاقة والزخم الزاوي ولكن كيف يمكن نستطيع تقبل فكرة تكميم الطاقة والزخم الزاوي ولكن كيف يمكن نستطيع تقبل فكرة تكميم الطاقة والزخم الزاوي ولكن كيف يمكن نستطيع تقبل فكرة تكميم الطاقة والزخم الزاوي ولكن كيف يمكن تكميم االتجاه؟ وبعبارة مكافئة هل هناك اتجاه مميز في الفراغ؟تكميم االتجاه؟ وبعبارة مكافئة هل هناك اتجاه مميز في الفراغ؟تكميم االتجاه؟ وبعبارة مكافئة هل هناك اتجاه مميز في الفراغ؟تكميم االتجاه؟ وبعبارة مكافئة هل هناك اتجاه مميز في الفراغ؟
اتجاه أو محور اتجاه أو محور اتجاه أو محور اتجاه أو محور اتجاه أو محور اتجاه أو محور اتجاه أو محور اتجاه أو محور ، ، ، ، الجواب هو نعم، ويسمى االتجاه، ونختار عادة المحور الجواب هو نعم، ويسمى االتجاه، ونختار عادة المحور الجواب هو نعم، ويسمى االتجاه، ونختار عادة المحور الجواب هو نعم، ويسمى االتجاه، ونختار عادة المحور التكميمالتكميمالتكميمالتكميمالتكميمالتكميمالتكميمالتكميم تكميم الفراغتكميم الفراغتكميم الفراغتكميم الفراغتكميم الفراغتكميم الفراغتكميم الفراغتكميم الفراغ وتسمى هذه العملية وتسمى هذه العملية وتسمى هذه العملية وتسمى هذه العملية
.... واتجاهه عمودي على سطح العروة واتجاهه عمودي على سطح العروة واتجاهه عمودي على سطح العروة واتجاهه عمودي على سطح العروةقيمته قيمته قيمته قيمته متجه المساحة ومتجه المساحة ومتجه المساحة ومتجه المساحة وحيث حيث حيث حيث Ar
، وتخبرنا ، وتخبرنا ، وتخبرنا ، وتخبرنا عروة تيارعروة تيارعروة تيارعروة تيارحول النواة حول النواة حول النواة حول النواة يدور يدور يدور يدور يشكل اإللكترون الذي يشكل اإللكترون الذي يشكل اإللكترون الذي يشكل اإللكترون الذي عروة تيار هي ثناقطبي مغناطيسي يعرف عروة تيار هي ثناقطبي مغناطيسي يعرف عروة تيار هي ثناقطبي مغناطيسي يعرف عروة تيار هي ثناقطبي مغناطيسي يعرف الكهرمغناطيسية أنالكهرمغناطيسية أنالكهرمغناطيسية أنالكهرمغناطيسية أن
).).).).يسمى بعزم الثناقطبي المغناطيسييسمى بعزم الثناقطبي المغناطيسييسمى بعزم الثناقطبي المغناطيسييسمى بعزم الثناقطبي المغناطيسي((((بعزم بعزم بعزم بعزم ،،،،I وشدة التيار المار في العروة وشدة التيار المار في العروة وشدة التيار المار في العروة وشدة التيار المار في العروة إذا كانت مساحة العروة هي إذا كانت مساحة العروة هي إذا كانت مساحة العروة هي إذا كانت مساحة العروة هي
الثناقطبي المغناطيسي هو المتجه الثناقطبي المغناطيسي هو المتجه الثناقطبي المغناطيسي هو المتجه الثناقطبي المغناطيسي هو المتجه عزم عزم عزم عزم فإنفإنفإنفإنA
rrI====µµµµ
Brvr ××××µµµµ====ττττ
العروة في مجال مغناطيسي فإنها تدور بتأثير عزم العروة في مجال مغناطيسي فإنها تدور بتأثير عزم العروة في مجال مغناطيسي فإنها تدور بتأثير عزم العروة في مجال مغناطيسي فإنها تدور بتأثير عزم وعند وضع هذه وعند وضع هذه وعند وضع هذه وعند وضع هذه ::::يعطى بالعالقةيعطى بالعالقةيعطى بالعالقةيعطى بالعالقة) ) ) ) عمودي على المستوى الذي يحوي و عمودي على المستوى الذي يحوي و عمودي على المستوى الذي يحوي و عمودي على المستوى الذي يحوي و ((((دوراني دوراني دوراني دوراني
:::: فإن فإن فإن فإنكالسيكيا، إذا كان نصف قطر دوران اإللكترون هو كالسيكيا، إذا كان نصف قطر دوران اإللكترون هو كالسيكيا، إذا كان نصف قطر دوران اإللكترون هو كالسيكيا، إذا كان نصف قطر دوران اإللكترون هو
vR2e
tq
ππππ====
∆∆∆∆∆∆∆∆====I
LLme
21
Rve21
RvR2
eA B
e
2 µµµµ====××××====××××====ππππ××××ππππ
========µµµµ I
ثابت يسمى ماغنتون بور ثابت يسمى ماغنتون بور ثابت يسمى ماغنتون بور ثابت يسمى ماغنتون بور µµµµحيث حيث حيث حيث
تكميم الفراغ و العدد الكمي المغناطيسي تكميم الفراغ و العدد الكمي المغناطيسي تكميم الفراغ و العدد الكمي المغناطيسي تكميم الفراغ و العدد الكمي المغناطيسي
هنا مركبة الزخم الزاوي في االتجاه المميز والذي يحدده مجال هنا مركبة الزخم الزاوي في االتجاه المميز والذي يحدده مجال هنا مركبة الزخم الزاوي في االتجاه المميز والذي يحدده مجال هنا مركبة الزخم الزاوي في االتجاه المميز والذي يحدده مجالllllتمثل تمثل تمثل تمثل ) ) ) ) تكميم اتجاه الزخم الزاويتكميم اتجاه الزخم الزاويتكميم اتجاه الزخم الزاويتكميم اتجاه الزخم الزاوي(((( تكميم الفراغ تكميم الفراغ تكميم الفراغ تكميم الفراغ أي أنأي أنأي أنأي أن. . . . مغناطيسي خارجيمغناطيسي خارجيمغناطيسي خارجيمغناطيسي خارجي
::::أنأنأنأن) ) ) ) يفرضيفرضيفرضيفرض((((يعني يعني يعني يعني
:::: وبغياب قوى مبددة للطاقة وبغياب قوى مبددة للطاقة وبغياب قوى مبددة للطاقة وبغياب قوى مبددة للطاقةههههحسب قوانين ديناميكا الدوران، فإنحسب قوانين ديناميكا الدوران، فإنحسب قوانين ديناميكا الدوران، فإنحسب قوانين ديناميكا الدوران، فإن
BdtLd rrr
r ××××µµµµ========ττττ
....ظامظامظامظام عمودي على المتجه و المجال المغناطيسي المطبق على الن عمودي على المتجه و المجال المغناطيسي المطبق على الن عمودي على المتجه و المجال المغناطيسي المطبق على الن عمودي على المتجه و المجال المغناطيسي المطبق على الن Lr
llll ، ولهذا السبب يدعى ، ولهذا السبب يدعى ، ولهذا السبب يدعى ، ولهذا السبب يدعى llllوبالتالي ارتباط هذا التكميم بالعدد الكمي وبالتالي ارتباط هذا التكميم بالعدد الكمي وبالتالي ارتباط هذا التكميم بالعدد الكمي وبالتالي ارتباط هذا التكميم بالعدد الكمي ....العدد الكمي المغناطيسيالعدد الكمي المغناطيسيالعدد الكمي المغناطيسيالعدد الكمي المغناطيسيالعدد الكمي المغناطيسيالعدد الكمي المغناطيسيالعدد الكمي المغناطيسيالعدد الكمي المغناطيسي
في الجدول في الجدول في الجدول في الجدول للمركبة للمركبة للمركبة للمركبة التالي القيم الممكنة التالي القيم الممكنة التالي القيم الممكنة التالي القيم الممكنة
llllللمركبة للمركبة للمركبة للمركبة لعدة قيم لعدة قيم لعدة قيم لعدة قيم
االتجاهات الممكنة للمركبة االتجاهات الممكنة للمركبة االتجاهات الممكنة للمركبة االتجاهات الممكنة للمركبة أن أن أن أن))))((((تعني العالقة تعني العالقة تعني العالقة تعني العالقة
هي تلك التي يحددها هي تلك التي يحددها هي تلك التي يحددها هي تلك التي يحددها llll ، ، ، ،
