®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2007/08 mez, 2007/08 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn

Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional

I. Fundamentos I. Fundamentos matemmatemááticosticos

2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos

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8Divergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de Gauss

r(q1,q2,q3)

X

Z

YO

P

=Σi Ai (q1,q2,q3) uiDivergencia de campo vectorialDivergencia de campo vectorial

A=A(r) continuo y derivable (en general)

definición intrínseca: “divA(P)” es flujo de A por unidad de volumen en torno a P

expresión en coordenadas ortogonales:

Teorema de GaussTeorema de Gauss“el flujo de A(r) a través de ∂τ es igual a la integral de div A(r) en el volumen τ”

0( )

1div ( )= limP

dP ddτ

ττ τΔ →∂ ΔΔ

Φ= ∈⋅∫A A S

31 2 3

11 2 3

1 div ( ) ii i i

h h h Ah h h q h=

⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

∑A r = A∇ ⋅

( )( ) d dτ τ

τ∂

⋅ =∫ ∫A r S A∇ ⋅

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Ejemplo de flujo: Un fluido incompresible (densidad ρm constante), se muevesegún una distribución de velocidades v=v(r) (campo vectorial). Determínese la masa de fluido que atraviesa la superficie Σ por unidad de tiempo.

InterpretaciInterpretacióón fn fíísica de flujo: caso particularsica de flujo: caso particular

( )dm ddt ΣΣ

Σ

= ⋅ = Φ∫ rA S

Solución:es igual al flujo del campo vec-torial A(r)=ρ mv(r) a través de la superficie Σ.

flujo neto en el sentido de dS:(dm/dt)Σ > 0

flujo neto contrario a dS:(dm/dt)Σ < 0

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8Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)

Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial“perturbaciones escalares” que actúan como

causas del campo vectorial• las líneas de campo divergen o convergen en los

puntos donde existen fuentes escalaresdiv A(r)=∇·A(r) proporciona la distribución

de las fuentes escalares de A(r)Caso a) ausencia de fuentes escalares

agua fluyendo en torno a un punto P• densidad de masa constante: ρm=1 gr/cm3

en Δτ entra y sale la misma cantidad de agua

(( )( )

)dmddt ττ

τ∂ Δ∂ Δ∂ Δ

ΔΦ = ⋅ =∫ A S 0= div ( )= 0P

dPdτΦ

=A

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8Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)

Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial

Caso b) presencia de fuentes escalaresagua fluyendo en torno a un punto F donde hay un reactor que actúa como “manantial”

• H2+O2 → H2O (líquida)

las líneas de A(r) divergen desde F

en Δτ sale más agua que entra (ρm cte.):

“div A(F) > 0” indica presencia de manantia-les de campo en F: fuentes escalares positivas

0> div ( )= 0F

dFdτΦ

>A(

( )( ))

dmddt ττ

τ∂ Δ∂ Δ∂ Δ

ΔΦ = ⋅ =∫ A S

HH22 OO22

ddSS

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8Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)

Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial

Caso c) presencia de fuentes “negativas”agua fluyendo en torno a un punto S donde hay un “sumidero”:

• H2O (líquida) → H2+O2

las líneas de A(r) convergen en S

en Δτ entra más agua que sale (ρm cte.) :

“div A(F) < 0” indica presencia de sumideros de campo en S: fuentes escalares negativas

0< div ( )= 0S

dSdτΦ

<A(

( )( ))

dmddt ττ

τ∂ Δ∂ Δ∂ Δ

ΔΦ = ⋅ =∫ A S

HH22 OO22

ddSS

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Rotacional de campo vectorialRotacional de campo vectorial

A=A(r) continuo y derivable en P

definición intrínseca de rotacional:

“rot A(r)” mide la variación de las componentes de A(r) tangenciales al entorno ∂(Δτ)

… en coordenadas ortogonales:dS=dSnθ ∂(Δτ)

Rotacional. Teorema de Rotacional. Teorema de StokesStokes (I)(I)

( )P =rot A

1 2 3

1

1 2 3

1 2 2 3 3

1 2 31 2 3

1 ( )h h h

q q q

h h hA A Ah h h

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=u u u

rotA r = × A∇

An

At

A

dS×A

|dS×A|=dS|At|dS×A=dS×At ;

3

( )( )d

τ∂ Δ× ∈∫ S A r1

τΔ0limτΔ →

r(q1,q2,q3)

X

Z

YO

P

rot A(P)A(r)|∂(Δτ)

dS×A|∂(Δτ)

8Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos

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8Rotacional. Teorema de Rotacional. Teorema de StokesStokes (II)(II)

Significado del rotacional: circulaciSignificado del rotacional: circulacióónn

la circulación por unidad de superficie de A(r) alrededor de ΔS ⊥ n, es la proyección de rot A(P) sobre la dirección n

0 ( S)

1Z lim ( )S

P Sd ddS Δ → ∂ ΔΔ

= ⋅∫ A r r ( )P= ⋅ ∈n rot A

Teorema de Teorema de StokesStokes::“el flujo del rot A(r) a través de una superfi-cie Σ es igual a la circulación de A(r) a lo largo de su perímetro ∂Σ”

( ) ( )d d∂ΣΣ

× ⋅ ⋅∫ ∫A S = A r r∇

dr

n·rotA(P)

P A(P)

rot A(P)

9Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos MatemFundamentos Matemááticosticos

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8Significado fSignificado fíísico del rotacional: fuentes vectoriales (I)sico del rotacional: fuentes vectoriales (I)

Fuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorial“perturbaciones vectoriales” que actúan como

causas del campo vectorial•las líneas de campo “giran” en torno a los puntos donde existen fuentes vectoriales

rot A(r)=∇×A(r) proporciona la distribución de las fuentes vectoriales de A(r)

Ejemplo 1: un hilo de corriente elun hilo de corriente elééctrica es ctrica es fuente vectorial de un campo magnfuente vectorial de un campo magnéético tico BB((rr))

• las líneas del campo son circunferencias concén-tricas alrededor del hilo de corriente

en un punto donde hay corriente (P)

en un punto donde no hay corriente (Q)

Pn

B(r) I

Q

( )Q =rot B 0

0( )P

IPS

μ Δ⎛ ⎞= ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠rot B n

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0( )O

dZdS

O =⋅n = rot A

n

Significado fSignificado fíísico del rotacional: fuentes vectoriales (II)sico del rotacional: fuentes vectoriales (II)

eje de simetría

Fuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorialEjemplo 2: fluido de densidad constante y

moviento rectilíneo a la largo de una tuberíadistribución de velocidades:• no uniforme ⇒ A(r)=ρmv(r)• simétrica respecto del eje longitudinal

ausencia de fuentes vectorialesdistribución simétrica de A(r) en torno a O:•el “molinillo” en O no es movido por el fluido

las líneas de A(r) no giran en torno a Ocirculación nula de A(r) en torno a O:•(proyección del) rotacional nulo

( S )OO

dZ∂ Δ

⋅Δ = ∫ A r 0=

ΔSO

OO

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0( )P

dZdS

P >⋅n = rot A

n

Significado fSignificado fíísico del rotacional: fuentes vectoriales (III)sico del rotacional: fuentes vectoriales (III)

eje de simetríaFuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorial

Ejemplo 2: fluido de densidad constante y moviento rectilíneo a la largo de una tubería

fuentes vectoriales positivasA(r) no es simétrico respecto de P:• el “molinillo” en P gira en sentido antihorario

las líneas del campo A(r) “giran” en torno a P en sentido positivo (respecto de n)circulación de A(r) en torno a P:

“n·rot A(P) > 0” indica presencia de fuente vectorial positiva (con el sentido de n)

( S )PP

Z d∂ Δ

Δ = ⋅∫ A r 0>

ΔSP

PP

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Significado fSignificado fíísico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)sico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)eje de simetría

ΔSQ

Fuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorialEjemplo 2: fluido de densidad constante y

moviento rectilíneo a la largo de una tuberíafuentes vectoriales negativas

A(r) no es simétrico respecto de Q:• el “molinillo” en Q gira en sentido horario

las líneas del campo A(r) “giran” en torno a Q en sentido negativo (respecto de n)circulación de A(r) en torno a Q:

“n·rot A(Q) < 0” indica presencia de fuente vectorial negativa (con sentido opuesto a n)

( S )QQ

Z d∂ Δ

Δ = ⋅∫ A r 0<

QQ

0( )Q

dZdS

Q <⋅n = rot A