®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2007/08 mez, 2007/08 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn

V. Corrientes V. Corrientes elelééctricasctricas

Conductores lineales: Conductores lineales: medios medios óóhmicoshmicos

2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) n) V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas

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el C

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Góó m

ez,

07/0

8m

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Comportamiento lineal de conductorComportamiento lineal de conductorrégimen estacionario en medio conductor:•equilibrio dinámico

modelo lineal de fuerza “disipativa”•efecto del medio sobre la corriente

Ley de OhmLey de Ohmrelación constitutiva del medio óhmico•campo eléctrico y corriente, proporcionales

Conductividad eléctrica “σ”•en medios óhmicos es siempre positiva: σ ≥0•medio óhmico inhomogéneo: σ=σ(r) variable

( )dis( )q d dt± ± ±= ⇒ =E r + F 0 v 0

Ley de Ohm: conductividad (medio Ley de Ohm: conductividad (medio óóhmico)hmico)

E(r)J(r)

ΔτΔτ ∼∼PPt t ≥≥ tt00

dis ( )γ± ±= −F v r

ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.

q_

v_(r)

Fe_

Fdis_

q+

v+(r)

Fe+

Fdis+

( )( ) ( )q γ±± =v r E r ( ) ( )⇒ = σJ r E r

Ω; σ → velocidad arrastre

conductor perfectodieléctrico ideal

0 ⎧⎨⎩

σ → ∞ :σ = :

→

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Tubo de corriente (estacionaria)Tubo de corriente (estacionaria)conjunto de líneas de corriente entre dos

superficies equipotenciales…

•en medio óhmico, J es normal a S1 y S2

ley de conservación de la carga:•en el tubo entra y sale la misma intensidad

Resistencia elResistencia elééctricactricarelación dif. de potencial−intensidad en τ:•sólo depende de su geometría y de σ

•unidades (SI):

Resistencia elResistencia elééctricactrica

1 1 2 2) ): ; :S SV V( (φ = φ =r r

0d∂τ

⋅⋅ =∫ J S2 1

2 1S SI dS dS⇒ = ⋅⋅ = − ⋅⋅∫ ∫J n J n

(ohmio)A V = = Ω[ ] [ ] [ ]R V Iτ =

ley de Ohmley de Ohm(integral)(integral)

1 2V VRIτ−

=( )2

1

P

P

S

σ=

⋅

⋅∫

∫J dr

J dS

J(r)= σE(r)

nL ⊥ J

Ω; σ

n1

S1|| J

|| J

S

dSn|| Jτ

S2

SL

P1

P2

dr

n2

P1

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Ejercicio 5.4: resistencia elEjercicio 5.4: resistencia elééctrica de corona cilctrica de corona cilííndricandrica

a)a) en la direccien la direccióón longitudinaln longitudinal

Ω; σ

z=0

z=L

Jext=0

nlat=uρ

n=uz

S

V =V1−V2

S2:φΩ(z=L)=V2

S1:φΩ(z=0)=V1

I

long VRIΩ = ( )2 2

Lb aπ

=−σ

JΩ(r)

EΩ(r)

Eext≠0;

ε0; σ=0

JΩ(r)

Ω; σ Ω; σ

EΩ(r)

JΩ ⊥

Z

ba∂τ

K

n2

Jext=0

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Ω; σ Ω; σ

Ejercicio 5.4: resistencia elEjercicio 5.4: resistencia elééctrica de corona cilctrica de corona cilííndricandrica

b)b) en la direccien la direccióón transversaln transversal

Ω; σ

z=0

z=L

Jext=0S

V =V1−V2

S2:φΩ(ρ=b)=V2

Itran VR

IΩ = ( )ln2

b aLπ

=σ

JΩ(r)

EΩ(r)

Eext≠0;

ε0; σ=0

JΩ(r)

EΩ(r)

⊥ JΩ

ba

S1:φΩ(ρ=a)=V1

n=uρ

nlat=uz Z

Jext=0

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J(r)

DescripciDescripcióónn“hilo” de material óhmico Ωfil: •se identifica con curva C: r=r(l)•T(r) vector tangente unitario

Densidad de corrienteDensidad de corrientelíneas de J confinadas en Ωfil ≈ C:

• verifica condiciones de contorno• ∇·J=0 sólo si T cte. (Ωfil rectilíneo)

en general: J(r)=J(r)T(r)

Resistencia del hiloResistencia del hiloel hilo constituye un tubo de corriente

Conductores filiformesConductores filiformes

dS=dS T

nL

Ωfil; σ

L δδ→0

T(r)

SL

S≈cte

Jext=0

nL·[J]SL=0

Ωfil ≈ C

S1φ( )=V1 φ( )=V2S2

II

1 2fil

V VRI−

=0

L dlS

≈σ∫ ( , ctes.) S

LS

σ=σ

( ) ( )I S≈ rT

( )( ) ( )I S⇒ =J r T r0S

I→

= ⋅∫ J dS S≈ J

[ ] [ ][ ][ ]

1 S(siemens)m m

LR S

= = =Ω

σ

7Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) n) V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas

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Potencia disipada en medio Potencia disipada en medio óóhmicohmicotrabajo “disipativo” en Δτ~P:

•en régimen estacionario: potencia “disipativa” (por unidad de volumen):

potencia disipada (perdida) en región Ω:

Ley de JouleLey de Joulecalor por unidad de tiempo cedido por Ω:•la energía se pierde en forma de calor: efectoJoule

DisipaciDisipacióón de energn de energíía. Ley de Joulea. Ley de Joule

dis ( )q± ±= −F E r

( )dis disdis n nW dtτ

+ + − − −

Δ+δ ≈ ⋅ ⋅ Δτ+F Fv v

E(r)

J(r)

ΔτΔτ ∼∼ PP ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.

q_

v_(r)

Fe_

Fdis_

q+

v+(r)Fe

+

Fdis+

Ω; σ

δQ

Ω

φ( )=V2S2φ( )=V1S1

IJ(r)=σ E(r)

=|δWdis|

dis dPΩ Ω

= − ⋅ τ∫J E 2 dσΩ

= − τ∫ E 0<

( )disdis

0lim

P

W dtdPd τ τΔ →

δ

Δ=

τ

Qdt

δ

Ω

= 2I RΩ disd PΩ

= ⋅ =τ∫J E

( ) ( )= − ⋅J r E r