POLITECNICODIMILANOFacolt`adi Ingegneriadei SistemiCorsodi Studi inINGEGNERIAMATEMATICATesi di LaureaSpecialisticaOTTIMIZZAZIONEDIFORMAPERPROBLEMIDIFLUIDODINAMICA:ANALISITEORICAEMETODINUMERICIRelatore: Prof. SandroSalsaCorrelatore: Dott. NicolaParoliniCandidato: AndreaManzoni,matr. 705403AnnoAccademico2007-2008Whenever you can, count.FrancisGaltonKnowing what is big and what is smallis more important than being able tosolve partial dierential equations.StanislawMarcinUlamTe la senti di lasciar germogliare i numeri chehai nel cuore e di lasciarli orire in modo chela gente ritrovi la bellezza per la matematica e nonla veda come uninutile torre volta a sdare il cielo?FaustoSaleri1RingraziamentiQuesto spazio non riesce di certo a contenere traccia di tutte le persone che mi hanno accompagnatonellameravigliosaesperienzavissutanelcorsodiquesticinqueanni: ci`onontoglielamiagrandericonoscenza nei confronti di tutti quelli che ci sono stati e di chi sta leggendo in questo momento,se non dovesse essere ringraziato...Grazie a Sandro, perche con il suo carattere e la sua immensa ironia ha trasformato unesperienzadi grande insegnamento in una profonda amicizia. Per tutte le volte che si `e seduto dalla mia partea discutere di ci`o che stavo facendo e perche ognuno di questi momenti `e diventato una lezione, madi vita. Insomma, perche `e un maestro unico, ma nel senso buono del termine: in fondo, come luinon ho mai trovato nessuno.Grazie a Nicola, perche trovando ogni volta tempo e spazio sul suo tavolo sempre pieno ha saputoguidarmi n dallinizio di questo lavoro, con la sua passione e la sua esperienza, dalla scelta di unpasso di griglia al beccheggio di una barca a vela. Grazie ad Alo Quarteroni,per avermi dato lapossibilit`a di approfondire le tematiche contenute in questo lavoro di Tesi e per la sua grandissimadisponibilit`a, oltre che per il suo inestimabile valore.GrazieadAnna,perlasuaincredibileumanit`aelesuesplendideopportunit`adicrescita: perchein questi cinque anni ha saputo guidarmi nelle scelte importanti e mi ha fatto capire che niente `esemplice, ma proprio per questo tutto `e incredibilmente appassionante.Grazie anche a Marco Verani per i preziosissimi spunti che mi ha fornito durante la stesura di questolavoro, aMonicaContiperletanterisposteaimieialtrettantidubbi, aPiercesareSecchi, chehacontribuito in modo speciale a riempire la nostra cassetta degli attrezzi e a tutti coloro che credonoin questo splendido gioco che si chiama Ingegneria Matematica.GrazieaLorenzo, coscienzacollettivadel gruppoprimacherappresentante, perlamicizianataecresciuta in questi anni e per tutte le schegge di vissuto e di futuro che abbiamo condiviso. Grazie aMichele, perche in molti di questi casi era presente anche lui. Grazie a Gabriele per tutte le Amachedeclamateinsiemeepercheesseredi SanDoeleggereRepupu`ofareladierenza, aVale(aliasDottoressa Vitelli) perche con un sorriso riesce a cancellare qualsiasi preoccupazione e non so comeci riesca, a Fabio perche anche senza Nietzsche avrebbe concluso che bisogna avere il caos dentrodi se per generare una stella danzante, insegnandomi (lui non lo sa) quanto conta la forma, ma chepi` u importante `e la sostanza. Grazie anche a chi suona tutte le volte per entrare, a tutti quelli a cuinon gira il codice, a quelli che i progetti come gli esami non niscono mai, a chi ha trasformato inquesti anni ogni pranzo e parecchie cene in una festa. Siamo cresciuti insieme.Grazie ancora alla mitica suora dal bicipite etrusco, ai corpi rigidi, ai grandi esperti, agli equilibri diNash e a tutti coloro che li hanno fatti vivere sulla scena di questi anni. Perche questo `e un fatto(vero Luca?)ma attenzione, non vuol dire. . . `e un indizio!Grazie a Luciano, per avermi fatto capire che il mondo `e una foresta di segni, per avermi abituato aleggerli e per avermi insegnato, tra le innite cose, che la vita pu`o farsi poesia. Grazie a Fausto, peravermimostrato,treannipi` utardi,comelapoesiapossafarsimatematicaecomeunveromate-matico sia necessariamente anche un po poeta. Grazie a tutti gli altri che hanno avuto qualcosa dainsegnarmi, e hanno continuato a farlo una volta appoggiato il gesso sotto la lavagna e usciti dallaula.Grazie a Francesca, semplicemente per essere la splendida ragazza che `e. Perche abbiamo condivisotutto e per esserci stata, anche lei, n dal primo momento di questi cinque anni.Grazieai miei genitori, perchedesideranolamiafelicit`aprimadi tutto. Eperchesenzadi loroniente di tutto ci`o sarebbe stato possibile.2IndiceAbstract 5Introduzione 61 Motivazioni 91.1 Shape Optimization e Fluidodinamica Computazionale. . . . . . . . . . . . 91.2 Yacht design per lAmericas Cup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Forze presenti e decomposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Minimizzazione del drag attorno alle appendici . . . . . . . . . . . . . . . . 152 FormulazionediunproblemadiOptimalShapeDesign 172.1 Un richiamo ai problemi di controllo ottimale . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Problemi di Shape Optimization: formulazione astratta . . . . . . . . . . . . 222.3.1 Topologia su Oad e successioni di domini uniformemente regolari . . 232.3.2 Continuit`a della soluzione rispetto al dominio. . . . . . . . . . . . . 252.4 Condizioni e risultati per lesistenza di forme ottimali . . . . . . . . . . . . 263 StrumentiteoriciperlaShapeOptimization 303.1 Domini: descrizione e defomazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Derivata di forma di un funzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Derivazione di integrali deniti su domini variabili . . . . . . . . . . . . . . 333.3.1 Integrali di volume deniti su un dominio variabile . . . . . . . . . . 333.3.2 Integrali deniti sul contorno di un dominio variabile . . . . . . . . . 333.4 Material e Shape Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.1 Estensione delle formule per le derivate degli integrali . . . . . . . . 353.4.2 Shape derivativesper problemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Lapproccio basato sul problema aggiunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Shape Gradientvincolato da unequazione di stato . . . . . . . . . . . . . . 393.6.1 Formulazione punto-sella e Function Space Parametrization . . . . . 403.6.2 Moltiplicatori di Lagrange e Space Embedding . . . . . . . . . . . . 434 Ottimizzazionedellaformadicorpiimmersiinuidiincomprimibili 464.1 Modellazione matematica del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2 Formulazione del problema di stato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.1 Formulazione debole del problema di Navier-Stokes . . . . . . . . . . 494.2.2 Continuit`a rispetto alla forma del sistema di Navier-Stokes . . . . . 514.3 Minimizzazione dellenergia dissipata (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523Indice 44.3.1 Buona posizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.2 Determinazione delle condizioni di ottimalit`a . . . . . . . . . . . . . 544.4 Minimizzazione dellenergia dissipata (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Minimizzazione della resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5.1 Formulazione debole ed espressione alternativa della resistenza . . . 604.5.2 Buona posizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5.3 Determinazione delle condizioni di ottimalit`a . . . . . . . . . . . . . 635 TecnichediapprossimazionenumericainShapeOptimization 675.1 Ottimizzazione numerica per problemi di controllo . . . . . . . . . . . . . . 675.1.1 Metodi di tipo Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.1.2 Lo schema iterativo per il calcolo della soluzione ottima . . . . . . . 685.2 Soluzione numerica delle equazioni di stato e aggiunta . . . . . . . . . . . . 695.2.1 Approssimazione di Galerkin-elementi niti . . . . . . . . . . . . . . 705.2.2 Metodi iterativi per la soluzione del sistema di Navier-Stokes . . . . 715.2.3 Tecniche di stabilizzazione per ussi ad alto numero di Reynolds . . 725.3 Algoritmi di massima discesa per la Shape optimization . . . . . . . . . . . 735.3.1 Ottimizzazione di forma mediante boundary variation . . . . . . . . 745.3.2 Ottimizzazione di forma mediante parametrizzazione di Bezier . . . 765.4 Dettagli implementativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.5 Strutture e algoritmi nei codici FreeFem++. . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.5.1 Soluzione dei problemi a derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . 815.5.2 Metodi per il trattamento delle griglie di calcolo . . . . . . . . . . . 826 Risultatinumerici 836.1 Flussi a bassi numeri di Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.1.1 Minimizzazione dellenergia dissipata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.1.2 Minimizzazione della resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.1.3 Confronto delle procedure per il trattamento della forma . . . . . . . 1086.2 Analisi dei metodi per la Shape optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.3 Ottimizzazione in ussi ad alto numero di Reynolds . . . . . . . . . . . . . 111Conclusioni 115AbstractOptimal Control ofsystemsgovernedbyPartial Dierential Equations(PDE)isoneofthemostadvanced elds of the whole Mathematical Modeling and allows us to face the study of many engi-neering problems. This is done by mixing theoretical methods of Analysis and Calculus of Variationswith numerical tools for solving PDEs and optimization problems.Optimal control problemscanbedividedintwogroups, dependingonthenatureof theobjectunder control: variables (such as data, coecients or boundary values) or shape of the domain itself.ShapeoptimizationandOptimal designbelongtothesecondgroup; theyarisefromproblemsofstructural mechanicsanduiddynamics, wheretheyhaveassumedanincreasingroleinthelastdecades, thanks to the better performances of computing and numerical techniques.Oneof themostappealingapplicationsdealswiththeshapeoptimizationof abodyinrelativemotion in a uid for example, wing proles in aerospace engineering or boats or optimal designof biomedical devices such as aorto-coronaric by-passes. In this Master Thesis we consider the prob-lemofdragminimizationforabodyembeddedinaviscousincompressibleuid, discussingboththeoretical aspects and numerical tools for the calculus of solutions. At a deeper level, this problemcan be inserted in a larger research eld, aiming at the performances improvement of racing boats,by shape optimization of the appendages of the hull.With this aim, we consider optimal control approach applied to the steady Navier-Stokes equations,using an adjoint-based method for the formulation of the optimality conditions system. We illustratesomeusefultechniquesfromShapeanalysisforcomputingtheshapegradientofacostfunctionaland a formulation of Lagrange multipliers method for Shape optimization problems.Moreover, we develop some numerical optimization procedures based on Computational Fluid Dy-namicsmethodssuchasFiniteElementapproximationforsolvingPDEs, usingsteepestdescentmethods and two dierent approaches for shape deformation and mesh treatment.Inparticular, wefocusontheproblemofdragreductionforthebulbofaClassAmericaboatintheChapter1, discussingsomeimportantfeaturesofShapeOptimizationinFluidDynamics. InChapter2weconsideranabstractformulationofOptimal designproblemsandwepresentsomegeneral resultsaboutadmissibleshapes. Weintroducealotof theoretical toolsforthestudyofOptimal designproblemsinChapter3, dealingwithdomaindeformations, functional shapegra-dientsandshape/materialderivativesoflinearellipticPDEssolutions. Moreover,FunctionshapeparametrizationandSpaceembeddingtechniquesareintroduced,aimingtodevelopaLagrangianapproach for the analysis of optimality conditions. In the Chapter 4 we discuss the formulation ofdissipated energy and drag minimization problems, we explore their well posedness and we obtainthe related systems of optimality conditions. In Chapter 5 we introduce some techniques for solvingnumericallyoptimizationproblemsandwebrieyrecall FiniteElementmethodsandsomestabi-lizationtechniquesforHighReynoldsnumbersows; wealsopresenttwodierentstrategiesfordomain description and transformation in Optimal design problems. Moreover, some features aboutthe structure of theFreeFem++ library used for code implementation are summarized. Finally, wepresent in Chapter 6 some results for the dissipated energy and drag reduction problems obtainedby the numerical simulations both at low and high Reynolds numbers underlining positive andcritical aspects of various approaches.5IntroduzioneIl ControlloOttimaledei sistemi governati daEquazioni aDerivateParziali rappresentauno dei campi pi` u avanzati e ricchi di applicazioni della Modellistica Matematica: numerosiproblemidigrandeinteresseingegneristicosonostatiarontaticonglistrumentimessiadisposizionedaquestateoria, ancheinambiti moltodiversicati traloro. Coinvolgendoallo stesso tempo metodi teorici dellAnalisi delle Equazioni a Derivate Parziali (EDP) e delCalcolo delle Variazioni da un lato e tecniche numeriche avanzate per la discretizzazione deiproblemi dierenziali e limplementazione di procedure di ottimizzazione dallaltro, il Con-trollo Ottimale rappresenta uno strumento tanto potente quanto versatile nella soluzione diproblemi provenienti da realt`a molto complesse.Loscopodei problemi di ControlloOttimaleconsistenellaminimizzazioneomassimiz-zazione, sotto ben determinati vincoli di varia natura (algebrica, topologica, dierenziale),di un funzionale costo dipendente dalle variabili di stato del sistema, attraverso il control-lodi unaopi` uvariabili cheinuenzanolasoluzionedel problemadi stato.`Epossibileindividuare due classi di problemi a seconda della natura della variabile che si intende con-trollare: tipicamente, sipu`osceglieredioperareuncontrollosuidati osuldominio. Nelprimo gruppo rientrano tutti i casi in cui si esercita un controllo sulle variabili che guranonel problema, quali condizioni al contorno e/o iniziali, termini forzanti o coecienti; il con-trollo pu`o essere distribuito sullintero dominio di calcolo (o su una parte di esso) oppureesercitato sul suo contorno;nel secondo sono invece compresi i problemi in cui si operanovariazioni di forma del contorno del dominio stesso: rientrano in questambito i problemi diottimizzazione di forma (Shape optimizatione Optimal shape design).Una notevole quantit`a di problemi di ottimizzazione in campo sico e ingegneristico coin-volge la forma come variabile di controllo: la questione della ricerca di una forma ottimaleoccupa un posto di primissimo piano, oltre che nella Meccanica delle Strutture, anche nelleapplicazioni dellaFluidodinamicaincui si studianoeprogettanostruttureingradodiridurre le forze di attrito e le dissipazioni.Il notevolesviluppochehainteressatoletecnichedi Optimal shapedesignnegli anni re-centiharesolaShapeoptimization,natanelcampoastrattodelCalcolodelleVariazioni,un validissimo strumento per la progettazione di dispositivi che spaziano oggi dallambitoaerospaziale e navale a quello biomedico, rivolgendosi allo studio di ussi sia esterni (pro-getto di proli e in particolare di ali) che interni (condotti, ugelli, convergenti).I primi studi in questo settore risalgono a J. Hadamard, che enunci`o alcuni risultati riguardoalla variazione della soluzione di unequazione a derivate parziali in funzione di variazionidel contornodel dominio; successivamente, grazieal fondamentalecontributodi J.L. Li-ons alla formalizzazione della teoria del Controllo Ottimale [35], le condizioni di ottimalit`aper problemi di ottimizzazione di forma sono state ampiamente studiate negli anni 70 daF.MurateJ.Simon[51], J.Cea[13]eO.Pironneau[43,44]esuccessivamentedaM.C.6Introduzione 7Delfour, J.P. Zolesio[20, 54] eJ. Sokolowski [52]. Numeroseapplicazioni aproblemi diuidodinamica sono state sviluppate negli ultimi due decenni da O. Pironneau [34, 37, 38],A. Jameson [31, 32, 33] e M. Gunzburger [24, 25], oltre che da numerosi altri.In questo lavoro di Tesi vengono discussi alcuni problemi di Shape optimizationin ambitouidodinamico, considerando allo stesso tempo lanalisi degli aspetti teorici e lo sviluppo dialgoritmi di approssimazione numerica, con lo scopo di determinare proli ottimali di corpiimmersi in uidi viscosi e incomprimibili. A un livello pi` u alto, questo problema pu`o essereinserito in un pi` u ampio contesto di ricerca, volto a migliorare le prestazioni di imbarcazionida competizione mediante lottimizzazione di forma delle appendici connesse allo scafo e inparticolare del bulbo.Dopo aver formalizzato il problema di minimizzazione del dragper un corpo immerso in unusso di Navier-Stokes stazionario e averne studiato la buona posizione, vengono determi-nate le condizioni di ottimalit`a sfruttando le metodologie tipiche dei problemi di controlloottimale basate sullintroduzione del problema aggiunto e sui moltiplicatori di Lagrange.Vengonoinoltre implementate alcune procedure di ottimizzazione numerica, basate suimetodi tipicidellaFluidodinamicaComputazionale; inparticolare,vengonosfruttate tec-niche a elementi niti per la risoluzione dei problemi dierenziali e due dierenti approcciper il trattamento della deformazione dei domini. Grazie alla versatilit`a di queste tecniche,sia i metodi teorici che gli algoritmi numerici utilizzati in questa Tesi ad un particolare casopossono essere applicati a classi di problemi molto pi` u ampie.Occorre tuttavia sottolineare come i problemi di ottimizzazione di forma presentino gene-ralmente notevoli complessit`a, sia sul piano teorico che dal punto di vista computazionale.Nel casodelleapplicazioni allaFluidodinamicai problemi di Optimal shapedesignsonosolitamentebenposti, dal momentochesi riesceagarantirelesistenzadi unasoluzione;ledicolt`a, inquesticasi, sonoperlopi` udicaratterenumerico: spessosihaachefareconequazionididicilerisoluzione(`eilcasodeiussiadaltonumerodiReynoldsedeifenomeni di turbolenza)perlequali sononecessariegrigliedi calcolomoltoranatepergarantire suciente precisione a fronte di forme spesso piuttosto complesse. Tutte questecriticit`a sono state riscontrate nei casi considerati e vengono ampiamente discusse nellela-borato la cui struttura `e sinteticamente presentata di seguito.NelCapitolo1 viene presentata unapplicazione della Shape optimizationa un problemadi ingegnerianavaledi notevoleimportanza: si trattadellottimizzazionedellaformadelbulbo di una barca a vela di classe America, inserita in un pi` u ampio progetto di simulazionenumericaperlosviluppodiimbarcazionidacompetizione. Questocasodiinteresserealecostituisceunospuntoperlanalisi di tutti gli aspetti modellistici teorici enumerici relativi ai problemi di Optimal shape design.NelCapitolo2 viene descritta la formulazione astratta di un problema di Optimal shapedesign, inseritanellambitopi` ugeneraledellostudiodei problemi di controlloottimalegovernati daequazioni allederivateparziali (EDP), peri quali si richiamail metododeimoltiplicatori di Lagrange. Vengono discussi alcuni concetti chiave per la buona posizionedei problemi di ottimizzazione di forma, come la compattezza della topologia introdotta sul-linsieme delle forme ammissibili, la continuit`a della soluzione del problema di stato rispettoIntroduzione 8avariazionideldominioelepropriet`achedevonoesseresoddisfattedalfunzionalecosto;vengono riportati inoltre alcuni risultati generali per garantire lesistenza di forme ottimali.NelCapitolo3 vengono introdotti gli strumenti teorici necessari alla soluzione di un pro-blema di Shape optimization: si denisce il concetto di derivata di forma di un funzionale esi introducono alcune regole per il calcolo di derivate di integrali deniti su domini variabili.Vengono inoltre presentati i concetti di Shape derivative e di Material derivative e si mostracomericavarnelespressioneperunsempliceproblemalineare; si caratterizzanoinneimetodibasatisulproblemaaggiuntoesuimoltiplicatoridiLagrangealcasodiproblemidi ottimizzazione di forma, presentando alcune tecniche utili per determinare il sistema diottimalit`a come la Function space parametrizatione lo Space embedding.Vengono discussi nel Capitolo4 i risultati teorici relativi ai problemi di minimizzazionedellenergiadissipataedellaresistenza(odrag)totalepercorpi immersi inuidi viscosiincomprimibili: dopo aver ricavato la formulazione debole del problema di stato e un risul-tato di continuit`a rispetto al dominio, per entrambi i casi si analizza la buona posizione esi ricava il sistema di ottimalit`a, introducendo un opportuno problema aggiunto.I metodi per la risoluzione numerica dei problemi di Optimal shape designvengono espostinel Capitolo5: dopo un breve cenno ai metodi di ottimizzazione di tipo steepest descent ealle tecniche per la soluzione numerica dei problemi di stato e aggiunto, si introducono duedierenti approcci per trattare la deformazione dei domini e formulare un metodo di tipogradiente per problemi di ottimizzazione di forma. Vengono elencati inoltre alcuni dettagliimplementativi relativi ai casi considerati, presentando sinteticamente alcune caratteristichedella libreriaFreeFem++.Inne, nel Capitolo6, vengonopresentati i risultati ottenuti attraversolesimulazioninumeriche eettuate. Mediante lo studio di numerosi casi test si traggono alcune conclusionirelative alle procedure di ottimizzazione e ai dierenti approcci implementati, evidenziandobuone qualit`a e aspetti critici nel confronto dei metodi usati per lapprossimazione numericadelle soluzioni.Capitolo1MotivazioniIntroduciamoinquestoprimocapitoloalcuni elementi utili acomprenderelimportanzadellottimizzazionedi formainunambitodi grandeinteressecomelIngegneriaNavale;descriviamolastrutturaeleprincipalicaratteristichediunimbarcazioneAmericasCup,soermandocisullasuadinamicainnavigazione. Dopounanalisisommariadellecompo-nenti di resistenzaagenti duranteil moto, formuliamoil problemadi minimizzazionedeldragacui `esoggettoil bulbo, inserendolonel contestodei problemi di ottimizzazionediforma.1.1 ShapeOptimizationeFluidodinamicaComputazionaleNon `e sicuramente un problema recente quello dellottimizzazione della forma di un oggettoalloscopodi renderlo, adesempio, il pi` upossibileresistenteoaerodinamico; tuttavialarecentecrescitadellaModellisticaMatematicaedelCalcoloScienticohannocontribuitoin modo signicativo a sviluppare e ampliare questa materia, che va oggi sotto il nome diShape optimization(o Optimal shape design) ed `e in grado di fornire metodi tanto accuratiquanto potenti per il trattamento di situazioni e problemi molto complessi.Ricerchenel campodellottimizzazionedi formaapplicateaproblemi di Fluidodinami-cabidimensionali sonostatesviluppatedaO. Pironneau[37, 43, 44], daM. Gunzburger[24, 25, 26] epi` urecentementedaZ. GaoeY. Ma[21, 22], oltrechedanumerosi altri,prevalentemente in presenza di ussi a basso numero di Reynolds. Metodi per il trattamen-tonumericoeladescrizionedellaformadaottimizzaresonostatesviluppateindierentidirezioni ad esempio da G. Allaire e O. Pantz [4] e da J.A. Desideri [6, 7].Le tecniche di Optimal shape designoccupano uno spazio considerevole in numerosi ambitiingegneristici, come la progettazione di mezzi di trasporto (aeroplani, imbarcazioni, veicoli),lingegneriastrutturale(inproblemidielasticit`aorigidit`a, adesempiopertravi omem-brane)olacostruzionedidispositivibiomedici(adesempioby-pass[2,48,49]ograftinmateriale articiale) e in numerosi altri ambiti. Storicamente, laeronautica `e senza dubbioil settore industriale che `e stato pi` u interessato dallottimizzazione di forma: tra i numerosiproblemichesono statiarontati,il casopi` ustudiato eormaiassuntoa prototipoin nu-merose circostanze `e lottimizzazione della forma di proli alari allo scopo di minimizzarelaresistenza(odrag)agentesudiessi; importanticontributiinquestoambitosonostatiforniti dalle ricerche di A. Jameson [31, 32, 33].91. Motivazioni 10Un contesto in cui recentemente le tecniche dellottimizzazione di forma si stanno aerman-doinmodorilevante,contribuendoinsiemeaimetodidiFluidodinamicaComputazionaleallo studio di problemi sempre pi` u complessi, `e quello dellingegneria navale [12, 37]. Lobiet-tivo che si pone in questambito la Fluidodinamica Computazionale (CFD, o ComputationalFluid Dynamics) `e quello di simulare in modo accurato il comportamento di imbarcazionisugrandescalaincondizioni di funzionamentoreali: negli ultimi decenni losviluppodimetodinumericiperlasimulazionediussiattornoaimbarcazioniinmovimento `estatooggettodi numerosericerche-siainambitoaccademicocheindustriale-ehaportatoasensibili miglioramenti, sia dal punto di vista computazionale che in termini di prestazionitecniche.In generale,il ruolo giocato dalla Fluidodinamica Computazionale acquista rilevanza par-ticolare in tutte le applicazioni in cui la progettazione ottimale (o Optimaldesign) risultadi fondamentaleimportanza; `equestoil caso, adesempio, delleimbarcazioni dacompe-tizioneimpiegateinAmericasCup, perlequali larichiestadi miglioramento`ecostantee decisamente sostenuta. A partire dai primi anni 90, inoltre, parallelamente allaumentosempre pi` u marcato della potenza di calcolo disponibile sono stati applicati a problemi diingegneria navale tecniche numeriche basate sulla soluzione delle equazioni di Navier-Stokese di Eulero; la soluzione numerica delle equazioni di Navier-Stokes ha permesso di ampliarela classe di problemi che possono essere arontati, includendo ad esempio la possibilit`a ditrattare ussi viscosi e turbolenti in maniera sempre pi` u accurata.1.2 YachtdesignperlAmericasCupLa Americas Cup `e la pi` u prestigiosa competizione nello sport della vela e grazie alla suastoria e alle tradizioni, che risalgono a pi` u di 150 anni fa, `e considerata il pi` u antico trofeosportivo del mondo per cui si compete tuttora. Le sue origini risalgono al 1851, quando unabarcachiamataAmericavinselaCoppadelle100Ghinee, unaregatacheprevedevailperiplo dellIsola di Wight (UK); i vincitori, membri del New York Yacht Club, donarono iltrofeo al circolo con limpegno che diventasse una Coppa perpetua:lodierna Americas Cup.Unimbarcazione per lAmericas Cup `e un sistema molto sosticato che deve operare in mo-do ottimale in un vasto numero di condizioni di navigazione; i dierenti componenti (soprae sotto la supercie dellacqua) che la compongono interagiscono tra loro mediante relazionimolto complesse. La progettazione di unimbarcazione di questo tipo deve tenere in contonotevoli fattori di complessit`aerichiedeperquestounadescrizioneaccurataeavanzatistrumenti(sperimentalienumerici), inmododaottenereunaconguazioneottimale. InFigura 1.1 sono rappresentate le varie componenti della parte immersa e di quella emersadi una tipica imbarcazione di Americas Cup.Accanto allo scafo, alla struttura dellalbero e alla velatura, rivestono un ruolo importantenellarchitettura di unimbarcazione da competizione le appendici dello scafo: oltre al timo-ne, vi sono il bulbo, la deriva che lo connette allo scafo e le alette. Queste tre parti risultanodeterminanti per la dinamica dellimbarcazione; in particolare:la deriva viene usata per contrastare la componente laterale della spinta generata dalvento sulle vele, al ne di sfruttarne solo la componente propulsiva atta a produrre ilmovimento in avanti della barca;1. Motivazioni 11Figura 1.1: Componenti della parte emersa (a sinistra) e della parte immersa (a destra) diunimbarcazione Americas Cup. Immagine tratta da [40].la presenza delle alette allestremit`a della deriva riduce il cosiddetto lift-induced drag,conseguenteallagenerazionedellaforzadi lift dapartedelladeriva, questultimacausata dalla dierenza di pressione che si trova tra le facce sottovento e sopravento.oltre a bilanciare lo sbandamento dato dalla spinta del vento sulle vele, con il suo pesoil bulbo serve a stabilizzare la barca.Il punto essenziale nella progettazione di unimbarcazione di questo tipo `e il trade-otrapeso e forze: una barca sfrutta in maniera tanto pi` u eciente lazione del vento quanto pi` uriesce a procedere diritta, in modo da esporre al massimo la supercie delle vele al vento.Per mantenere la barca verticale, si cerca di collocare la maggior parte del peso nel bulbo:ogni chilogrammo che riesce a essere risparmiato sullo scafo viene collocato quattro metrisottacqua nel bulbo, per accrescere la velocit`a e la stabilit`a. Dietro a unidea tanto semplicesi nasconde in realt`a una grandissima complessit`a, tanto che la modica di un singolo fattorepotrebbecomportarediversi eetti supi` uparti dellimbarcazione. Per dareunideadiquesto fatto, basti pensare a un semplice caso: un modo per diminuire la resistenza viscosasulloscafo `equellodiridurrelasuasuperciebagnata,adesempiolasciandoinvariatalalunghezzadellabarcaediminuendolalarghezzamassima; tuttavia, unariduzionedellalarghezzacomportaunadiminuzionedellastabilit`arispettoallinclinazionedellabarcaeconseguentemente delle forze sulle vele.LaprogettazionediunimbarcazioneperlAmericasCupdevesottostarealleregoledellaIACC(International AmericasCupClass): vengonoinparticolareimpostedrastichere-strizioni su alcuni fattori di progettazione, non solo sulle dimensioni geometriche (altezza,dislocamento, superciedellevele), maancheriguardoai dispositivi peril controllodelusso (come il numero di superci mobili sottacqua) e ai materiali. la regola principale chegioca un ruolo cruciale nella congurazione di unimbarcazione IACC `e una diseguaglianzache mette in relazione la lunghezza della barcaLb, la supercie velicaAse il dislocamentoD (peso dellimbarcazione):Lb + 1.25As9.83D0.686 24m.1. Motivazioni 12In particolare, la lunghezza dellimbarcazione `e compresa tra i 23 e i 25 metri, il suo pesoin regata si aggira attorno alle 25 tonnellate (20 delle quali sono date dal bulbo, realizzatocon leghe di piombo) e la supercie delle vele raddoppia dallandatura di bolina a quella dipoppa, passando da circa 340 metri quadrati a quasi 680 metri quadrati.W LUpwind legsDownwind legs WindStart/Finish lineDistanceMarkOuterCommitteeRaceBoatFigura 1.2: Schema di una regata di Americas Cup. Immagine tratta da [42].Unaregatadi AmericasCupconsistenel completamentodi tregiri attornoadueboeposte nella direzione del vento e distanti tra loro 3.1 miglia nautiche (si veda la Figura 1.2);si hannodunquetrefrazioni indirezioneupwind(obolina)etreindirezionedownwind(opoppa), cherichiedonodierenti tecnichedi navigazione: laprogettazionedellimbar-cazione deve ovviamente tenere in conto le necessit`a - spesso contrapposte - richieste dalleduedierenticondizioni. Seperquantoconcernelattrezzaturavelicaquestoproblema `erisoltoconlimpiegodidiversiinsiemidivele(mainegenoaindirezioneupwind, mainespinnaker/gennakerindirezionedownwind), nellaparteimmersai possibili cambiamentidurantelaregatasonoristretti allaregolazionedellassettodel timoneeallazionesulladeriva. Le appendici dello scafo devono quindi essere progettate in modo da garantire ot-time prestazioni sia con landatura di poppa, quando deve essere minimizzato il drag, checon quella di bolina, quando devono resistere alle forze e ai momenti generati dalle vele.Per capire inne quanto la ricerca delottimalit`a sia importante nella progettazione e nel-la tecnologia che ruotano attorno a unimbarcazione per la Americas Cup occorre inoltretenerpresentelascarsissimavariabilit`acheormaicaratterizzalebarcheincompetizione:se no a quindici anni fa le scelte dei vari team conducevano a una certa variet`a nelle con-gurazioni (ad esempio nella forma dello scafo), nelle ultime edizioni della competizione legeometrie hanno nito per convergere verso forme standardizzate, a tal punto che `e il pi` upiccolodettaglioasegnareladierenza. JeromeMilgram, docentediOceanEngineeringal Massachussets Institute of Technology con una dozzina di edizioni di Americas Cup al-lattivo, ha presentato in [36] una analisi molto ecace dellimpatto di piccoli dettagli sulleperformance globali: racing yachts require very high precision in all aspects of the designoftheboatandsails. Justa1%dierenceinhullresistanceleadstoagainorlossatthenish line of more than 30 seconds. Nella gura 1.3 viene riportato un graco estratto da[36] in cui si mostra leetto sul tempo di regata dato da un cambiamento dell1% del dragtotale. Gli scarti in tempo, in funzione della velocit`a del vento, variano da 18 a 64 secondie possono determinare la dierenza tra una vittoria e una scontta.1. Motivazioni 13102030405060706 8 10 12 14 16 18DT [s]WS [kts]Upwind + Downwind legsDownwind legsFigura 1.3: Dierenze di tempo (DT) sullintera regata e sui tratti di poppa corrispondenti a unavariazione della resistenza pari all1%, in funzione di dierenti velocit`a del vento (WS).Sebbene un tal livello di precisione sulle stime delle forze in gioco sia piuttosto complicatoda raggiungere, il ruolo rivestito dai metodi avanzati della Fluidodinamica Computazionalein ambiti come la progettazione di imbarcazioni a vela da competizione permette di fornirestimeaccuratedelleforzeagenti sullimbarcazioneindierenti condizioni di navigazione,inmododaaccrescere,parallelamenteallevariefasidiprogettazione,lattendibilit`adelleprevisioni del comportamento globale associato a una ben determinata congurazione.1.3 ForzepresentiedecomposizioneLapproccio usuale adottato nella progettazione di unimbarcazione IACC per valutare lin-uenza globale di singoli cambiamenti progettuali `e basato sullimpiego di un Velocity Pre-dictionProgram(VPP), che permette di stimare la velocit`a dellimbarcazione Vbper unagenerica condizione di vento, in funzione dellangolo di navigazione o true wind angleTW(compreso tra lasse longitudinale della barca e la direzione del vento) e dellangolo di scar-roccio o yawangley(compreso tra lasse longitudinale della barca e la rotta),scrivendole equazioni di bilancio delle forze di natura aerodinamica e idrodinamica agenti sullimbar-cazione; dallanalisidiquesteequazioni `epossibileevidenziareivariterminidiresistenza(o drag), alcuni dei quali saranno oggetto delle procedure di ottimizzazione implementate.Come ben noto, la propulsione nelle barche a vela `e prodotta dalla dierenza di pressionegeneratadalventosulleduefaccedellavela; laforzaaerodinamicachenerisulta(varia-bileasecondadellangolodi incidenzaedellavelocit`adel vento)pu`oesseredecompostain una componente di drag Dae in una componente di lift Laortogonale alla precedente.Inmodoalternativo, laforzaaerodinamicacomplessivapu`oesserevistacomesommadiuna spinta Tadiretta come la rotta e di una forza laterale Sadi sbandamento; la primasar`a equilibrata dalla resistenza totale allavanzamento (o dragidrodinamico) Dhoppostadallo scafo e dalle appendici, mentre la seconda verr`a equilibrata da una forza laterale Shdiretta perpendicolarmente alla rotta generata dalle appendici in virt` u del fatto che lo scafoprocedeconuncertoangolodiincidenzayrispettoalladirezionedirotta. Unoschemadelle forze in gioco viene riportato nella Figura 1.4, tratta da [42].1. Motivazioni 14AerodynamicLiftAerodynamicDrag DAAerodynamicSide Force SASide ForceHydrodynamicSHAerodynamicThrust TAHydrodynamicDH DragHydromechanicRighting MomentRMHHeeling MomentAerodynamicHMAAngleBoatVelocityLAVbBYYawWindApparentApparentWindAngleWindTrueAngle TWAAWAWind True Courseof the boatCenterlineBoatFigura1.4: Levelesviluppanounaspintaeunaforzalateralerispettivamenteuguali al dragidrodinamicoeal liftgenerati dalloscafo, dalladeriva, dal bulboedal timone; inoltre, laforzalateraleeilliftidrodinamicoinduconounmomentosbandantechedeveesserecompensatoconilmomento raddrizzante generato dalle forze agenti sullo scafo. Le caratteristiche del vento che colpiscela vela non sono le stesse del vento atmosferico,essendo presente anche la velocit`a della barca: lavelocit`a apparente del vento che investe la barca `e data dalla somma della sua velocit`a reale e dellavelocit`a della barca cambiata di segno.Sul pianoorizzontale, unacondizionestazionariadi navigazione`eottenutaquindi impo-nendoduebilanci di forzeindirezionex(parallelamenteallavelocit`aVb)eindirezioney, perpendicolare alla precedente, e un bilancio dei momenti di rollio (dati rispettivamentedal momento sbandante aerodinamico Mae dal momento raddrizzante idrodinamico Mh)rispetto allasse longitudinale della barca:Dh +Ta= 0Sh +Sa= 0Mh +Ma= 0.Consideriamo in particolare il termine di drag idrodinamico Dh: un approccio molto utileperlamodellizzazionedei termini di resistenzaidrodinamicaconsistenellimpiegodi unmodello additivo che permetta di scomporre Dh nella somma delle componenti di resistenzaprovocate dalle varie parti dellimbarcazione:Dh = Dh,h +Dh,a +Dh,l +Dw +Dr TddoveDh,h`eil draggeneratodalloscafo, Dh,a`eil draggeneratodalleappendici, Dh,l`elacomponentegeneratadalleforzedovuteallosbandamentoealloscarroccio, Dw`elaresistenza provocata dal moto ondoso del mare, Td `e un termine di spinta causato dallin-terazionedelleappendiciconilussocheliinvesteedamotisecondari, mentreDr`euntermine residuo dovuto allintera imbarcazione (upright residuary resistance). I coecientiadimensionali di dragCsono ottenuti dividendo le rispettive componenti di resistenza per12V2bSh dove `e la densit`a dellacqua,Vb `e il modulo della velocit`a dellimbarcazione,Sh `ela supercie bagnata.1. Motivazioni 15Tutte le componenti di resistenza sono in ogni caso funzione del regime di navigazione e deltipo di imbarcazione; ad esempio, la componente dovuta allo scafo `e in ogni caso maggioredi tutte le altre nellandatura di bolina, mentre risulta signicativa nellandatura di poppasolo con basse velocit`a del vento [36]. Per velocit`a del vento pi` u alte, `e il termine di resisten-zaresiduaDradavereunpesomaggiore,acausadellemaggiorivelocit`araggiuntedallabarca in questa condizione. Se da un lato, inoltre, i contributo dovuti allo sbandamento ealmotoondosorisultinotrascurabiliinregimedownwind, inregimeupwind, pervelocit`adel vento elevate, tutte le componenti di resistenza (a eccezione di quella dovuta allo scafo)tendono ad assumere la stessa importanza.1.4 MinimizzazionedeldragattornoalleappendiciUnodei fattori pi` uimportanti peril successodi unimbarcazionedi AmericasCup`elaprogettazione dellinsieme delle appendici: la forma e le dimensioni del bulbo, della derivaedellealettedevonogarantireelevateprestazioniinogniregimedinavigazioneeinpre-senza di condizioni di vento e quindi di velocit`a della barca che possono dierire di molto.Figura1.5: Appendici delloscafo: congurazionedownwind (asinistra) eupwind (adestra).Limmagine `e tratta da [40].Lottimizzazione della forma e delle dimensioni delle appendici `e uno dei problemi arontatiin [16, 40, 41, 42], allinterno di un vasto ambito di ricerca che comprende la costruzione dimodelli matematici e limplementazione di opportune tecniche numeriche per la simulazionecompleta del usso attorno a unimbarcazione IACC e il miglioramento delle sue prestazioni,nel contesto di un progetto di collaborazione scientica tra lEcole Polytechnique Federale(EPFL)di Losannaeil TeamAlinghi di Ginevra, vincitoredelleultimedueedizioni diAmericas Cup (Auckland, New Zealand 2003 e Valencia, Spagna 2007).Nellambito delle simulazioni svolte in questo progetto, (si rimanda a [40, 41] per qualsiasidettaglioeperi risultati numerici; unesempiovieneriportatoinFigura1.6)sonostatieettuati vari studi sulla forma del bulbo, della deriva e delle alette e sulla posizione di questeultime, analizzandocomplessivamentecirca60dierenti congurazioni, nei duedierentiregimi di navigazione.Vantaggiesvantaggidiformepi` uallungatestretterispettoaprolipi` ucortieallargati,aparit`adi pesoedi volume, sonostati valutati testandodierenti congurazioni; bulbipi` u lunghi in generale hanno un comportamento migliore rispetto al drag di pressione, maorendo al usso una maggiore supercie bagnata danno luogo a una componente viscosadidragmaggiorechenelprimocaso. Sonostateinoltrepreseinconsiderazionedierenti1. Motivazioni 16sezioni trasversali, per analizzare linuenza di un abbassamento del baricentro del bulbo:un baricentro pi` u basso permetterebbe infatti di avere un maggiore momento raddrizzante.Anche in questo caso, la simulazione numerica di bulbi con dierenti sezioni ha fornito utiliinformazioni riguardo al tradeo tra vantaggi e svantaggi di ogni congurazione.Figura1.6: Pressionesulleappendici delloscafo(superci di livello)estreamlinesattornoalladeriva. Limmagine `e tratta da [41].Assumendo un modello reologico newtoniano per il uido (si veda la Sezione 4.1), le compo-nenti del drag idrodinamico dovute alla pressione e alla viscosit`a sono espresse dallintegraledella rispettiva componente del tensore degli sforzi sulla supercie del corpo in esame; in-dicando con u la velocit`a del uido, conp la sua pressione, con la sua densit`a, con lasua viscosit`a, il dragdi pressione Dp e il dragviscoso Dvagenti su un corpo immerso in unuido sono deniti rispettivamente daDp=_BwpnidA,Dv=_Bw((u +Tu)n)idA,doveBw `e la supercie bagnata del corpo immerso, i `e il versore diretto secondox, n `e ilversore normale alla supercie del corpo e diretto entrante nel dominio uido. Il problemadi ottimizzazionedellaformadel bulbosi pu`oquindi tradurrenellaricercadellaformaottimale allinterno di una famiglia Oad di domini ammissibili, tale che(, u(), p()) = infOad(, u(), p()),dove il funzionale `e dato da := Dp +Dv.Questolavorodi Tesi vuolerappresentareunprimopassoversolamodellizzazioneelarisoluzionedel problemadi minimizzazionedel dragagentesul bulbocomecasoparti-colare di corpo immerso in un uido viscoso incomprimibile mediante tecniche di Shapeoptimization. Dopoaverinquadratolottimizzazionediformanelcontestopi` uampiodelcontrollo ottimo e aver introdotto una serie di strumenti analitici necessari alla sua formu-lazione teorica, lottimizzazione della forma di un corpo immerso in un uido verr`a tradottain un opportuno problema di Optimal shape design.Capitolo2FormulazionediunproblemadiOptimalShapeDesignViene richiamato in questo capitolo un framework astratto per lanalisi teorica e la risolu-zione numerica dei problemi di controllo ottimale governati da equazioni a derivate parziali,basato sulla formulazione di J.L Lions [35]; vengono inoltre introdotti il metodo dei molti-plicatori di Lagrangeelatecnicabasatasul problemaaggiunto, seguendolatrattazionediM.Gunzburger[26]. Inne, vienediscussalaformulazionediungenericoproblemadiottimizzazione di forma, nel contesto pi` u generale dei problemi di controllo ottimale: dopoaver presentato le principali caratteristiche e alcuni risultati di buona posizione, ne vengonoevidenziate le pi` u importanti dicolt`a.2.1 UnrichiamoaiproblemidicontrolloottimaleUn problema di ottimizzazione o controllo `e costituito da tre ingredienti fondamentali: unobiettivo (espresso da un opportuno funzionale, detto funzionale costo), uno o pi` u parametridi controllo o di progetto (design parameters) e un insieme di vincoli che esprimono il com-portamento del sistema in esame e devono essere soddisfatti dalle variabili di stato: lo scopodelproblema `edunquequellodideterminarelevariabilidistatoedicontrollochemini-mizzino il funzionale costo e contemporaneamente soddisno le equazioni di stato, espresseintutteleapplicazioni di carattereuidodinamicodaunsistemadi equazioni aderivateparziali. Gli aspetti teorici di maggior importanza per i problemi di controllo si concentra-no sullanalisi delle condizioni che garantiscono la buona posizione e sulla costruzione di unopportuno sistema di ottimalit`a spesso basata sullintroduzione di un opportuno problemaaggiunto che pu`o essere condotta sfruttando la tecnica dei moltiplicatori di Lagrange.Un problema di controllo ottimale si pu`o formulare in maniera astratta come segue: deter-minare un controllou |ad tale cheJ(u) = infvUadJ(v) (2.1)dove u`elafunzionedi controllo, appartenenteallinsiemedei controlli ammissibili |ad(tipicamente si tratta di un sottoinsieme convesso e chiuso di un opportuno spazio funzionale|); y = y(u) 1`e la funzione di stato, che descrive il sistema sico soggetto al controllo,172. Formulazione di un problema di Optimal Shape Design 18governato dalla seguente equazione di stato:Ay(u) = f +Bu (2.2)in cuiA : 1 1 `e un operatore dierenziale accompagnato dalle condizioni al contorno,1`eunopportunospaziofunzionaleeB L(|, 1)`eunoperatore(dettofunzionedelcontrollo)cheassociaauunelementodi 1, spaziodualedi 1. Il funzionalecosto, cherappresenta lobiettivo da ottimizzare, `e dato daJ(u) = F(z(u), u), u |ad(2.3)doveF: Z| Rez(u)=Cy(u) `edettafunzionediosservazione; C: 1 Z`eunopportuno operatore (spesso si tratta di un operatore di restrizione) e Z`e lo spazio dellefunzioni osservate.Nelle ipotesi in cuiJ(u) sia un funzionale inferiormente semicontinuo rispetto alla conver-genzadeboleelimitatodalbasso(talecio`echeinf J(u)=> ), |adsiauninsiemechiusoeconvessoelesuccessioni minimizzanti sianodebolmentecompatte(adesempio,bastachesianolimitatein |), il metododirettodel calcolodellevariazioni permettedidimostrarelesistenzadi uncontrolloottimosoluzionedi (2.1); sepoi J`estrettamenteconvesso su |ad, il punto di minimo `e anche unico.Unproblemadi Optimal shapedesignpu`odunqueesserevistocomeuncasospecialediproblemadicontrolloincuiilcontrollo `eilcontornodeldominioincuisonodenitiiproblemidierenziali: lobiettivo `eminimizzareunfunzionaleJ(, y())chedipendedaldominio in modo diretto e attraverso lo statoy() del sistema in esame.Lapproccio di Lions al problema di controllo permette di caratterizzare la soluzione median-teunsistemadi ottimalit`a, costituitodal problemadi stato, daunopportunoproblemaaggiuntoedaunacondizionedi ottimalit`a[35]; essopermetteinoltredi ricavarealcunirisultati notevoli di buonaposizionechetuttaviavalgonosottoparticolari ipotesi sullaforma del funzionale costo e una caratterizzazione del principio di minimo (o condizione diottimalit`a) in termini di opportune disequazioni variazionali. Ad esempio, se il funzionalecosto `e dato daJ(v) =12(v, v) Lv, v |addove | `e un opportuno spazio di Hilbert, `e una forma bilineare continua su |, simmetricaecoerciva,eL `eunfunzionalelineareecontinuosu |,esisteununicocontrollou |adsoluzione di (2.1), tale da soddisfare la seguente equazione di Eulero:(u, v) = Lv v |adnel caso in cui |ad |, oppure la seguente disequazione variazionale nel caso pi` u generalein cui |ad |:(u, v u) L(v u) v |ad.Pi` u in generale, il problema (2.1) si traduce nella seguente disequazione variazionale:J

(u)(v u) 0 v |ad, (2.4)nellipotesi in cui la funzionev J(v) sia strettamente convessa, dierenziabile e tale cheJ(v) + quando [[v[[ + (questultima condizione pu`o essere omessa nel caso in cui|ad sia limitato). Assumendo ad esempio che il funzionale costo sia dato daJ(v) =12[[Cy(v) zd[[2Z + 12(Nv, v)U2. Formulazione di un problema di Optimal Shape Design 19dovezd Z`eunacondizioneottimaledaraggiungereeN: | |`eunaformasimme-tricaedenitapositivatalecio`eche(Nu, u) [[u[[2Uchecostituisceunterminedipenalizzazione, esso pu`o essere scritto comeJ(v) =12(v, v) Lv + 12[[Cy(0) zd[[2Zdove(v, w) = (C[y(v) y(0)], C[y(w) y(0)])Z + (Nv, w)ULv = (zdCy(0), C[Y (v) y(0)])Z;la condizione di ottimalit`a (2.4) diviene in questo caso:(Cy(u) zd, C[y(v) y(u)])Z + (Nu, v u)U 0.Introducendo loperatore aggiunto diC,C : Z 1, tale cheV C, v)V=Z , Cv)Ze lisomorsmo canonico Z: Z Z, la precedente condizione pu`o essere scritta in modoequivalente come:V Cz(Cy(u) zd), y(v) y(u))V + (Nu, v u)U 0;introducendo inoltre, per ogni controllo v |ad, lo stato aggiunto p = p(v) come la soluzionedel seguente problema aggiunto:Ap(v) = CZ(Cy(v) zd) (2.5)doveA: 1 1`eloperatoreaggiuntodi A, `epossibilemostrare(si veda[35] peridettagli) che la condizione di ottimalit`a espressa dalla disequazione variazionale assume laforma seguente:12J

(u)(v u) = (1uBp(u) +Nu, v u)U 0 v |ad,doveB: 1 |`eloperatoreaggiuntodi BeUindicalisomorsmocanonicotra |e |. Inparticolare, lacondizionedi ottimalit`aforniscelespressionedel gradientedi J,denito come lelemento di Riesz che rappresentaJ

:J(u) = UBp(u) +Nu;lavalutazione del gradiente del funzionale costo, necessariaper la costruzione di unoschema numerico per lapprossimazione della soluzione ottima, pu`o dunque essere eettuatarisolvendo un ulteriore problema a derivate parziali.2. Formulazione di un problema di Optimal Shape Design 202.2 IlmetododeimoltiplicatoridiLagrangeA dierenza del metodo di Lions, lapproccio basato sui moltiplicatori di Lagrange permettedi giungere a un risultato di buona posizione e a una caratterizzazione della soluzione ottimain modo pi` u generale, interpretando il problema di controllo come un opportuno problemadi minimo vincolato, della formaminF(x, u) tale che G(x, u) = 0 (2.6)dove x e u sono rispettivamente lo stato del sistema e la variabile di controllo, F: X|ad R, G : X|ad Ye X, Y , | sono generici spazi di Banach riessivi, con |ad | convessoechiuso.`Epossibileprovarelesistenzadi unasoluzione( x, u)del precedenteproblema,per funzionali della formaF(x, u) = P(x) +N(u),conP: X R eN: |ad R, sotto le ipotesi seguenti:1. infxX P(x) = p0> ed esiste una coppia (x, u) tale cheG(x, u) = 0;2. per ogniu |ad,N(u) [[u[[Ucon, > 0;3. seuk u in |adexk x inX, con (xk, uk) X |ad, alloraG(xk, uk)G(x, u)inY ;4. Frisulta debolmente semicontinuo inferiormente inX |ad;5. se (xk, uk) X |ad `e tale che [P(xk)[ MeG(xk, uk) = 0 allora [[xk[[X M0.Le condizioni precedenti, che permettono di stabilire un risultato di compattezza, non sonosucienti agarantirelunicit`adellasoluzioneottima; daltrocanto, innumeroseappli-cazioni a problemi non lineari (tra cui alcuni problemi di controllo ottimale per il sistemadi Navier-Stokes), la soluzione ottima non `e in generale unica. Il sistema di ottimalit`a chepermette di determinare la soluzione del problema pu`o essere ricavato sfruttando il metododei moltiplicatori di Lagrange applicato al seguente funzionale Lagrangiano:L(x, u; p, 0) = 0F(x, u) +p, G(x, u))(2.7)dove , )indicaladualit`atraY eY, p Y`eilmoltiplicatorediLagrangee0=0oppure 0 = 1. Sotto opportune ipotesi di convessit`a e dierenziabilit`a nel senso di FrechetdiFeG (si rimanda per qualsiasi dettaglio a [26], Sezione 6.1) `e possibile dimostrare cheesiste p Y tale che ( x, u) e p costituiscono la soluzione del seguente sistema:___Lx( x, u; p, 1)x = Fx( x, u)x + p, Gx( x, u)x) = 0 x XLp( x, u; p, 1)p = p, G( x, u)) = 0 p YminuUadL( x, u; p, 1) = L( x, u; p, 1)(2.8)IntroducendoinoltreloperatoreaggiuntoGx( x, u) : Y Xedevidenziandoladualit`atraXeX, `e possibile esprimere la prima equazione nella formaFx( x, u)x +X Gx( x, u) p, x)X= 0 x X2. Formulazione di un problema di Optimal Shape Design 21da cui si ricava la seguente equazione aggiunta:Fx( x, u) +Gx( x, u) p = 0. (2.9)La terza e ultima equazione del sistema (2.8) esprime il principio di minimo: nel caso in cuiil funzionale u L(, u) sia dierenziabile secondo Frechet, convesso e debolmente semicon-tinuo inferiormente in |, questo pu`o essere scritto sotto forma di disequazione variazionaleper u:Fu( x, u)(v u) + p, Gu( x, u)(v u)) 0 v |ad;essendo inoltre p, Gu( x, u)(v u)) =U Gu( x, u) p, (v u))U, la precedente relazione equi-vale aU Fu( x, u) +Gu( x, u) p, (v u))U 0 v |ad(2.10)esi riduceaunequazionenel casoincui |ad |. Introducendoinnelisomorsmocanonico U: | |si deduce limportante formulauF( x, u) = UGu( x, u) p (2.11)dallaquale`epossibileestrarreleinformazioni necessarieperlapprossimazionenumericadella soluzione con una procedura iterativa di ottimizzazione.Ilsistema(2.8)ottenutoinprecedenzaaltronon `echeilsistemadiEulero-LagrangeperilfunzionaleLagrangiano L,chepu`oesseredenitoinmodoanalogosfruttandolaforma(2.2) del problema di stato comeL(y, u, p) := J(y, u) +p, f +Bu Ay(u)) ; (2.12)lasoluzioneottimadel problemadi controllo(2.8), seesiste, `eunpuntostazionariodelfunzionale L(y, u, p), ossia risultaL( y, u, p)[x] = 0 x 1 |ad1. (2.13)La soluzione del problema di controllo ottimo pu`o quindi essere caratterizzata dal seguentesistema di equazioni, in cui x = (, , ):___Ly( y, u, p)[] = 0 equazione aggiunta,Lp( y, u, p)[] = 0 equazione di stato,Lu( y, u, p)[] = 0 equazione di sensitivit`a.(2.14)In modo analogo, se si considerano le forme semilinearia()() eb()() associate rispettiva-mente agli operatoriA() eB() e il funzionale (2.12) nella formaL(y, u, p) := J(y, u) + (f, p) +b(u)(p) a(y)(p), (2.15)il sistema (2.14) si pu`o inne scrivere come segue:L,p = 0 trovarey 1 : a(y)() = (f, ) +b(u)(), 1L,y = 0 trovarep 1 : a,y(y)(p, ) = J,y(y, u)(), 1L,u = 0 trovareu |ad : J,u(y, u)() +b,u(u)(p, ) = 0, |ad.(2.16)2. Formulazione di un problema di Optimal Shape Design 22Comevedremonel seguito, ancheperunproblemadi shapeoptimizationsar`apossibileesprimere la soluzione sfruttando lapproccio basato sul problema aggiunto o sulla tecnicadei moltiplicatori di Lagrange; introduciamo nelle prossime sezioni gli elementi necessari alladescrizionediunproblemadiOptimal shapedesignealcunirisultatidibuonaposizione,rimandandoaicapitolisuccessivilaformalizzazionematematicadeiproblemidiinteresseuidodinamico e la determinazione dei corrispondenti sistemi di ottimalit`a.2.3 ProblemidiShapeOptimization: formulazioneastrattaRispetto ai problemi in cui loggetto del controllo `e lo stato del sistema o una grandezza lega-ta a esso, la situazione che si presenta nei problemi di Optimal shape design`e decisamentepi` u complicata; in questo caso `e il dominio stesso in cui viene denito e risolto il problema distato a essere oggetto dellottimizzazione: si cerca dunque di risolvere e analizzare problemiin cui occorra trovare Oad : () =minOad()dove Oad O`eunafamigliadi domini ammissibili, incui si cercalaformaottimale ,mentre `eunfunzionaledenitosu Oadavalori inR, dettofunzionaledi forma. Lequestioni associate a questo tipo di problemi sono numerose oltre che piuttosto complesseeriguardanolabuonaposizionedel problema(esistenzadi unasoluzioneestudiodelladipendenzadi ()daldominio),ladeduzionedellecondizioninecessariediottimalit`aeil calcoloeettivodellaformaottimale. Inparticolare, seguendounapproccioanalogoaquantogi`avistonelleprecedentisezioniesfruttandoilformalismointrodottoin[27],pervericare la buona posizione del problema occorre considerare le seguenti tre propriet`a:1. compattezza della topologia introdotta sullinsieme delle forme ammissibili Oad;2. continuit`a della soluzione del problema di stato rispetto a variazioni del dominio ;3. semi-continuit`a inferiore del funzionale costo.Sianodunque nunasuccessionedi domini tali chen Oe O; perdenirelapropriet`a di convergenza della famiglia di domini n a un generico elemento (che in unproblema di Shape optimization rivestir`a il ruolo di forma ottimale ) `e necessario disporredi una topologia sullinsieme dei domini ammissibili, in modo che lesistenza di tale limitediscendadaunapropriet`adi compattezzadellasuccessioneninbaseaquestanozioneditopologia. Laquestioneverr`aarontatasommariamentenellaprossimasezione: perilmomento, supponiamo di disporre di una famiglia di domini e di una topologia in modo dapoter denire la convergenzanO , n egarantireunapropriet`adi compattezza. Perogni Oconsideriamounopportunospaziofunzionale 1()eunanozionediconvergenzaperlefunzioniappartenentia 1()per dierenti Oad; ; in particolare, se yn `e una successione di funzioni con yn 1(n),doven Oad, ey 1()con Oad, occorrespecicarelaconvergenzadi ynay,indicata conynyperdistinguerladallaconvergenzanellospazio 1(), con Ossato, erichiederecheanche in questo caso valga unopportuna propriet`a di compattezza.2. Formulazione di un problema di Optimal Shape Design 23Conlarisoluzionedel problemadi statoinogni dominio O, si denisceunamappau che associa a ogni Oun elementou() 1(), corrispondente alla soluzione di unproblema a derivate parziali (T()) che descrive lo stato del sistema in esame:(T()) u : u() 1(), Oaddove 1() `e un opportuno spazio funzionale. Indicando dunque con ( il graco della mappa(u()) ristretta a Oad, cio`e( = (, u()) : Oad,e con : (, y) (, y) R il funzionale costo,dovey 1(),un problema di shapeoptimizationin forma astratta pu`o essere espresso come segue:trovare Oadtale che (, u()) (, u()) Oad(2.17)doveu() 1() `e soluzione del problema di stato (T()). Lesistenza di soluzioni per ilproblema (2.17) `e garantita sotto adeguate ipotesi di compattezzadi ( e di semi-continuit`ainferioredi , che possono essere formulate come segue:(1) (compattezza di ()per ogni successione (n, u(n)), con (n, u(n)) (, esiste una sottosuccessione(nk, u(nk)) convergente a (, u()) (:nkO , u(nk) u() quando k ;(2) (semi-continuit`a inferioredi )perogni successionedi domini nedi funzioni yn 1(n), perogni Oey 1(), vale la seguente implicazione:nO , yny liminfn(n, yn) (, y).Assumendoinfattilasemi-continuit`ainferioredelfunzionale valutatosullasuccessionen, lesistenzadiunasoluzionediscendedirettamentedallacompattezzadi Oad, dalmo-mento che un funzionale semi-continuo inferiormente su un compatto ammette minimo. Nelcaso in cui il funzionale () sia della forma (, u), doveu `e la soluzione del proble-ma di stato, la semicontinuit`a inferiore del funzionale necessita di una buona dipendenzacontinua della soluzione del problemau rispetto a .2.3.1 Topologiasu OadesuccessionididominiuniformementeregolariTra le nozioni di convergenza pi` u utilizzate per famiglie di domini che non debbano necessa-riamente presentare troppa regolarit`a vi sono quella nel senso delle funzioni caratteristiche(che pu`o essere applicata alle famiglie di insiemi misurabili di RN), la convergenza nel sensodi Hausdor e quella nel senso dei compatti (valide entrambe per le famiglie di aperti di RN);la descrizione delle propriet`a di queste tre nozioni di topologia e dei legami che intercorronotra loro esula da questa trattazione e si rimanda a [30] per qualsiasi approfondimento. Dalmomento che `e importante poter riuscire a estrarre da una successione n di aperti unasotto-successione convergente, ossia poter lavorare con una topologia che abbia delle buonepropriet`adi compattezza, risultafavorevolelasceltadellatopologiadi Hausdor, comeprecisato dal seguente risultato:2. Formulazione di un problema di Optimal Shape Design 24Teorema 1.Sia n una successione di aperti inclusi in un compatto ssato B; allora esisteun insieme aperto incluso inB e una sotto-successione nkconvergente a nel senso diHausdor quandok .Nel caso della convergenza nel senso delle funzioni caratteristiche, invece, si ha compattezzaa patto di considerare la convergenza debole e con un aspetto meno favorevole, visto chein generale la funzione limite a cui tende la successione non `e una funzione caratteristica.Soprattuttonel casodi domini bidimensionali, spessosi consideranoformedescrittedafunzioni reali opi` uingeneraledacurveinformaparametrica, per lequali si possonosfruttarelenozioni di convergenzadellesuccessioni di funzioni erisultati comequellodiAscoli-Arzel`a. Inoltre, se da un lato risulta piuttosto restrittivo imporre a priori dei vincolidi regolarit`a sugli insiemi ammissibili, ipotesi di regolarit`a uniforme assicurano in generaleuna buona compattezza e una buona convergenza delle successioni di tali insiemi. Un casoparticolarmente interessante e piuttosto sfruttato nelle applicazioni di interesse uidodina-mico come quelle che verranno prese in considerazione nel seguito `e quello degli apertiuniformemente lipschitziani, o equivalentemente degli aperti che vericano la condizione delcono uniforme; valgono in particolare le seguenti denizioni:Denizione 1. Datiy RN, un versoree un numero reale > 0, si dice cono di verticey, direzionee dimensione linsiemeC(y, , ) denito daC(y, , ) = z RN: (z y, ) cos()[z y[, 0 < [z y[ < ;si dice che un aperto ha la propriet`a dell-cono se per ognix esiste un versorextale cheC(y, x, ) y B(x, ).Denizione2. Uninsiemeaperto RN`eabordolipschitzianose,perogni x0 ,esisteinunriferimentoortonormalelocale, conoriginenel puntox0=0, uncilindroK=K

(a, a), centratonellorigine, (conK

indiciamolapallaapertadi RN1diraggior) e una funzione : K

(a, a) lipschitziana, di rapportoL, tale che(0) = 0 e K = (x

, (x

)) : x

K

e K = (x

, xn) K, xn> (x

).Questultima denizione esprime il fatto che `e, nellintorno di ogni suo punto, il gracodi una applicazione lipschitziana e giace interamente da un lato della sua frontiera. Ledue denizioni precedenti equivalenti: si dimostra infatti [30] che un insieme aperto confrontiera limitata ha la propriet`a dell-cono se e solo se `e a bordo lipschitziano. Il risultatopi` u importante, che si basa su tutte le considerazioni fatte nora, `e racchiuso nel seguenteteorema, che esprime la compattezza della classe O

, denita daO = aperto : D, ha la propiet`a dell conorispetto ai tre tipi di convergenza richiamati in precedenza:Teorema2. Sia(n)unasuccessionediapertiappartenentiallaclasse O;esisteallorauninsiemeaperto O

eunasotto-successione(nk) convergenteanel sensodiHausdor,nelsensodellefunzionicaratteristicheenelsensodeicompatti. Inoltre,nkenkconvergono nel senso di Hausdor rispettivamente a e.2. Formulazione di un problema di Optimal Shape Design 252.3.2 Continuit`adellasoluzionerispettoaldominioLesistenza di forme ottimali richiede la continuit`a o per lo meno la semi-continuit`a inferio-re del funzionale costo associato al problema: per ottenere questa condizione, `e necessariochelasoluzionedellequazionedi statoassociataal problemadi ottimizzazionedipendacon continuit`a da variazioni del dominio ; numerosi risultati riguardanti la continuit`a del-lapplicazione u() H10(D), doveu() `e la soluzione del problema di Dirichlet perloperatore di Laplace su un dominio variabile incluso in un apertoD ssato, si possonoad esempio trovare in [30]. Vengono citati di seguito alcuni di questi risultati, allo scopo dicomprendere come inuiscano sulla continuit`a le propriet`a delle famiglie di domini impie-gate e la topologia introdotta su di esse; si rimanda ai capitoli successivi per lanalisi dellacontinuit`a rispetto al dominio della soluzione del problema di ottimizzazione della forma dicorpi immersi.Si considerinoquindi unapertolimitatoD RNchecontengatutti gli insiemi apertivariabili considerati efH1(D); perogni aperto D, siauf()lasoluzionedelseguente problema di Dirichlet:_ u = f in u = 0 su.Ilproblemadellacontinuit`aconsistenellacaratterizzazionedellecondizionipercui, datauna successione di aperti ninclusi inD e convergente (in un senso che verr`a precisato) aun aperto , si possa aermare che uf(n) converge a uf(); dal momento che la maggiorpartedelletopologieclassichesugli aperti, comequelleconsiderateinprecedenza, nonassicurano in generale la validit`a di questa convergenza, occorre assumere ulteriori condizionisulla successione (n) o sul limite per avere continuit`a. In particolare, vale la seguenteProposizione 3.Sia (n) una successione di aperti contenuti in D; esiste allora una sotto-successione uf(nk)convergentedebolmenteinH10(D)a u H10(D)quandok ;inoltre, se esiste un aperto Dtale che u = uf(), la convergenza `e forte inH10(D).Il limite ucoincideconuf(), dove`eil limitedellasuccessione n, sesi assumelaconvergenzanelsensodiHausdoronelsensodeicompatti. Perpoterinneconcluderesullaconvergenzadi uf(n)auf(), occorreche uappartengaallospazioH10(): inquesto caso, u = uf(), tutta la successioneufnconverge aufe la convergenza `e forte inH10(D); ci`o si verica in particolare se n `e una successione crescente di aperti e = nn,oppure n`e una successione di aperti inclusi nellinsieme aperto e convergente a nelsenso di Hausdor [30].Lasolaconvergenzanel sensodi Hausdordi napermettedi concluderelasemi-continuit`a inferiore (puntuale) dellapplicazione uf(), conf 0: in questo caso, perquasi ognix D si ha cheuf(x) liminf ufn(x);tuttavia in generale non si ha continuit`a della soluzione del problema di Dirichlet rispettoal dominio, se la successione di domini n converge a nel senso di Hausdor, ma nonvalgono ulteriori condizioni su di essa. Una classica condizione suciente per la continuit`a,espressainterminidiregolarit`auniformedegliinsiemin,richiedecheglielementidellasuccessionesoddisnolapropriet`adell-conoerisultinoquindi uniformementeregolari,come espresso dalla seguente2. Formulazione di un problema di Optimal Shape Design 26Proposizione4. Sia nunasuccessionedi aperti appartenenti allaclasse O, con-vergentenel sensodi Hausdorallaperto. Alloralasuccessione uf(n)convergeau = u.Quanto appena discusso permette di introdurre una nuova topologia sugli aperti di RN, cheprende il nome di -convergenza ed esprime la continuit`a rispetto al dominio della soluzionedel problema di Dirichlet: con la notazione usata in precedenza, una successione di apertincontenutiinD-convergeallaperto D(n)seperogni f H1(D)siha cheuf(n) uf() inH10(D) (in questo senso, ad esempio, lultimo teorema stabiliscedunque che se n `e una successione di aperti uniformemente lipschitziani convergente nelsensodiHausdora, alloran). Conquestoulterioreconcettodiconvergenza `epossibile formulare un risultato di continuit`a rispetto al dominio per un operatore ellitticopi` u generale del laplaciano; vale infatti (si veda [30]) la seguenteProposizione5. SianoDun aperto limitato eAu := n

i,j=1xi_aij(x) uxj_unoperatoreellitticoacoecienti inL(D). Segli aperti n D-convergonoaunaperto , allora per ognif H1(D) la soluzioneundel problemaAun = f in n, un H10(n)converge in senso forte inH10(D) alla soluzioneu del medesimo problema denito in .Risultati analoghi valgono nel caso di un problema di Neumann o di problemi misti e ulterioriindicazioni in tal senso si possono trovare sempre in [30], oppure in [44]; alcuni risultati dicontinuit`arispettoaldominioperlasoluzionedelproblemadiNavier-Stokesstazionario,dovuti a S. Boisgerault, J.P. Zolesio [9] e a J. Simon [8] verranno discussi nel capitolo 4.2.4 CondizionierisultatiperlesistenzadiformeottimaliConcludiamo questo capitolo esaminando alcuni risultati di esistenza di forme ottimali per ilproblema di Laplace con condizioni di Dirichlet o di Neumann, tratti da [3, 27, 30]; ulterioricasi di Shapeoptimizationper problemi ellittici vengono dettagliatamente discussi in [44].Loscopodiquestasinteticarassegna `echiarirecomesfruttarelevarieipotesisudomini,funzionaliesoluzionideiproblemidistatoperdedurrelesistenzadiunaformaottimale;questioni di varia natura legate allesistenza di una forma ottimale per corpi immersi in ui-di viscosi e incomprimibili, governati dalle equazioni di Navier-Stokes stazionarie, verrannoarontate nel seguito.Comesi `egi`anotato, unadelleprincipali dicolt`adaarontarenei problemi di Shapeoptimizationriguarda il fatto che le funzioni sono denite in domini variabili, la cui forma`eloggettodelllottimizzazione; unodeimodipossibilidirisolverelaquestioneprevedediestendere le funzioni dal proprio dominio di denizione a una regione ssata, che contengatutti i domini ammissibili. Inparticolare, lestensionesi pu`ofacilmenteoperarenei casiin cui il problema di stato abbia condizioni al bordo di Dirichlet omogenee,dal momentocheogni funzionedi H10()pu`oessereestesaazeroal di fuori di senzavariazioni di2. Formulazione di un problema di Optimal Shape Design 27norma. Consideriamoinoltre, persemplicit`a, il casoincui si possanoparametrizzareidomini ammissibili conunafunzionerealedi unasolavariabilereale: siadunque Oad=() : |ad una famiglia di domini ammissibili, dove|ad =_ (0,1([0, 1]) : min max in [0, 1], [

[ L0 q.o. in (0, 1),_10(x)dx = _e() = (x, y) R2: 0 < y< (x), x (0, 1), |ad,avendo indicato con (0,1([0, 1]) linsieme delle funzioni Lipschitz-continue in [0, 1] e assumen-do che i parametrimin> 0,max,L0 esiano dei numeri reali tali che |ad ,= .La famiglia Oad consiste di tutti i rettangoli curvilinei compresi tra lasse x e la curva (),associatabiunivocamenteallafunzione |ad, cheassumeil ruolodi designvariable.Dalla denizione di |ad segue inoltre che i domini () hanno bordo lipschitziano e dunquerisultano uniformemente regolari nel senso denito nella sezione precedente; in particolare,valgonodunquesialaconvergenzanel sensodi Hausdorchelepropriet`adi continuit`arispettoal dominioperlasoluzionedei problemi dierenziali. Perogni dominio()siconsideri dunque il seguente problema di stato, conf L2loc(R2):_ u() = f in ()u = 0 su()e il funzionale dato da(y) =12_T[y zd[2ddovey, zd L2(D)eT`euninsiemessato(targetset)contenutoinogni(), datoadesempio daT= (0, 1) (0, min/2). Si supponga quindi di voler trovare |ad tale che(u( )) (u()) |ad,ossia di voler identicare la forma ottimale ( ) tale che la soluzione del rispettivo problemadi stato sia pi` u vicina possibile a una funzione datazd sullinsiemeT.Assumendocometopologiasullafamiglia Oadquellaindottadallaconvergenzauniformedellefunzioni cheparametrizzanoil contorno(valeadire, (n) () seesolosen uniformementein[0, 1])si hache Oadrisultacompattoinvirt` udel TeoremadiAscoli-Arzel`a. Perquantoriguardalaconvergenzadi funzioni appartenenti aH10(()),per dierenti |ad, si pu`o considerare un dominio ssato tale che () |ade lestensione v H10() data da v =_v in ()0 in ();in questo modo la convergenza di una successione di funzioni vn H10((n)) a un elementov H10(()) si traduce nella convergenza vn v in H10(). Inoltre, `e possibile dimostrare[27] un risultato di dipendenza continua, in base al quale la soluzione del problema di statou(n) un u in H10() se (n) (), dove u() =u[() `e la soluzione del problemadi stato denito in (); in modo equivalente, si pu`o scrivere che un u() inH10(). Daquesto fatto segue immediatamente lesistenza di una soluzione del problema di minimo dalmomento che il funzionale `e continuo eq := infUad(u()) =limn(u(n)) = ( u( )) = (u( )).2. Formulazione di un problema di Optimal Shape Design 28Come gi`a osservato in precedenza, anche esista una soluzione `e suciente che il funzionalesiasemi-continuo, ossiasen uniformementein[0, 1]eyn yinH10(), allorarisultiliminfn(n, yn[(n)) (, y[()).Il seguente risultato, valido per il problema di Dirichlet omogeneo per lequazione di Laplacee tratto da [30], permette di estendere quanto appena visto al caso in cui sia le famiglie didominicheifunzionalicostorisultinopi` ugenerali; analogamenteaprima, siconsiderinola soluzioneu() del problema di Dirichlet (2.18) denito su un dominio appartenente allafamigliadegli aperti uniformementelipschitziani (otali davericarelapropriet`adell-cono), unapertolimitatoD RNef L2(D). Siainoltrej: DRRN Runafunzionemisurabile,continuain(r, p) (RRN)perquasiogni x,etalecheesistaunacostanteCper cuix D, r R, p RN[j(x, r, p)[ C(1 +r2+[p[2);funzioni quadratiche come j(x, r, p) = (r g(x))2o j(x, r, p) = [p p0(x)[2, dove rispettiva-mente g L2(D) o p0 (L2(D))Nsono funzioni assegnate, soddisfano alle ipotesi precedentie vengono spesso impiegate nella denizione dei funzionali costo. Per ogni aperto D,il funzionale dato da() =_j(x, u(x), u(x))dx.risultaquindi bendenitodal momentochelefunzioni sottoil segnodi integralesonointegrabili e si ha[()[ C_1 +[u(x)[2+[u(x)[2dx = C(|u(x)|H1 +[[) < +.Inoltre, nei problemi di Optimal shapedesignsi hannospessodei vincoli supplementarisui domini ammissibili, percui il problemadi minimononvienenecessariamentepostosullintera famiglia O ma assumendo come Oad linsieme dato da_ Oad O

e Oad `e chiuso per uno dei tre tipi di convergenza visti:nel senso di Hausdor, delle funzioni caratteristiche o dei compatti;questa propriet`a `e vericata, ad esempio, nel caso in cui si scelgaOad = O

, [[ = m, Oad = O

, [[ m.Se valgono queste assunzioni, `e possibile enunciare il seguente risultato di esistenza (per lacui dimostrazione si rimanda a [30]):Teorema 6.Siano Oad un insieme non vuoto di aperti che verica la propriet`a precedente,j unafunzionetaleche [j(x, r, p)[ C(1 + r2+ [p[2) x D, r R, p RNe ilfunzionale denito come() =_j(x, u(x), u(x))dx;allora esiste Oadche minimizza il funzionale .2. Formulazione di un problema di Optimal Shape Design 29Per quanto riguarda inne lesistenza di una soluzione per i problemi di ottimizzazione diforma con condizioni al contorno di Neumann o miste, valgono essezialmente le ipotesi di-scusse no a questo punto; ci limitiamo in questi casi a fornire alcuni indicazioni riguardo alleprincipali dierenze rispetto al caso di Dirichlet, rimandando a [27] per qualsiasi dettaglio:- anchenel casodi unproblemadi Neumannomogeneolaconvergenzadi unasuc-cessione yn, conyn 1((n)) H1((n))vienedenitacomelaconvergenzain 1() H1() di appropriateestensioni delle ynda(n) a. Tuttavia, inquesto caso lestensione non si pu`o introdurre cos` facilmente come per un problemadi Dirichlet, ma bisogna ricorrere a un operatorep() : 1(()) 1()che abbia norma limitata, indipendentemente da |ad. Una tale estensione esistead esempio nel caso in cui Oad O;- considerandounacondizionediNeumannnonomogenea, nellaformulazionedeboledel problema di stato compare un termine di bordo, che complica ulteriormente lana-lisi della buona posizione del rispettivo problema di Shape optimization. Dal momentoche la convergenza uniforme sullinsieme dei (n) non `e suciente a garantire lacompattezza della mappa (, occorre assumere una maggior regolarit`a su o riformu-lare il problema senza introdurre il termine di bordo, ricorrendo alla formula di Green:nel caso in cui il dato di Neumanngsia della formag =G/s, doveG H2() e/s indica la derivata lungo(), si pu`o scrivere il termine di bordo come_()gvds =_()Gs vds =_()curlG vd v H1(());- nel caso pi` u generale in cui si abbia un problema misto, la limitatezza uniforme dellesoluzioni rispetto a variazioni del dominio, espressa dal fatto che esiste una costantec > 0 tale che[[u()[[H1(()) c |ad,nonsi dimostrainmodocos` immediatocomenel casoincui sul contornovieneassegnataunacondizionedi unsolotipo. Tuttavia, adeccezionedi questofatto,lanalisidellabuonaposizionepu`oessereeettuatainmodoanalogoaquantosifanel caso di una condizione di Neumann.Accanto alla buona posizione, nellanalisi di un problema di Optimal shape designla scrit-tura delle condizioni di ottimalit`a rappresenta sicuramente la fase pi` u rilevante e allo stessotempopi` udelicata; rivestonounruolocentraleil calcolodelladerivatadi unfunzionaledi formae lascrittura diun opportuno problemaaggiunto,chepu`o esserericavato diret-tamentedurantetalecalcolooppureseguendolapprocciodei moltiplicatori di Lagrange.Nel capitolo che segue vengono illustrati tutti gli strumenti necessari per la scrittura dellecondizioni di ottimalit`adi unproblemadi Shapeoptimizationmessi adisposizionedalloShape Calculus.Capitolo3StrumentiteoriciperlaShapeOptimizationVengono presentati in questo capitolo alcuni metodi teorici per il trattamento dei problemidi ottimizzazione di forma; si denisce in particolare il concetto di derivata di un funzionalerispettoallaformaesenerichiamanoalcuneimportanti propriet`a. Vengonointrodotteinoltreleformulediderivazionediintegralidenitisuundominiovariabile, iconcettidishapederivative ematerial derivative, il metodobasatosul problemaaggiuntoealcunetecniche per la scrittura delle condizioni di ottimalit`a.3.1 Domini: descrizioneedefomazionePersvilupparelanalisidisensitivit`adiungenericofunzionalediforma ()occorrein-trodurreunafamigliadi perturbazioni tdi undatodominio RN, cont [0, ]; siassumer`adorainpoi chei domini 0 etpossiedanolastessaregolarit`aeugualipropriet`atopologiche, cio`erisultinodomini semplicementeconnessi di classe (k, k 1.Sotto queste ipotesi, `e possibile costruire una famiglia di trasformazioni Tt: RN R chepermettano di mappare in t.Dora in avanti, sia un reale positivo e V : [0, ] RN RNuna generica mappa che pu`oessere vista come una famiglia V(t) : 0 [0, ] di campi di velocit`a in RNdenita dax V(t)(x) := V(t, x) : RN RNe tale da soddisfare le propriet`a seguenti:x RN, V(, x) (([0, ]; RN) (3.1)c > 0 : [[V(, y) V(, x)[[C([0,];RN) c[[y x[[ x, y RN, (3.2)doveV(, x)`elafunzionet V(t, x). AllamappaV`epossibileassociarelasoluzionex(t; V) della seguente equazione dierenziale ordinaria:dxdt(t) = V(t, x(t)), t [0, ]; x(0) = X RN, (3.3)introdurre lisomorsmoX Tt(V)(X) := xV(t; X) : RN RN(3.4)303. Strumenti teorici per la Shape Optimization 31e le seguenti mappe:(t, X) TV(t, X) := Tt(V)(X) : [0, ] RN RN, (3.5)(t, x) T1V(t, x) := T1t(V)(x) : [0, ] RN RN, (3.6)cheper semplicit`averrannoindicatesottointendendolavelocit`aV; inquestomodo, sistabilisce di fatto unequivalenza tra campi di velocit`a e trasformazioni di domini. In par-ticolare, `epossibilemostrare(si vedanoadesempio[52] ei riferimenti contenuti in[19])che se valgono le condizioni (3.1)-(3.2) la mappa T(, X) e la sua inversa T1(, x) risultanocontinue e lipschitziane, e per ognit [0, ] la mappaX Tt(X) = T(t, X) : RN RN`ebiiettiva.Il cosiddettospeedmethod, denitodal problema(3.3), risultaunatecnicageneraleperlatrasformazionedei domini: sottolazionedi uncampodi velocit`aVchesoddisfalecondizioni (3.1)-(3.2), un dominio RNviene trasformato in un nuovo dominiot(V) = Tt(V)() = Tt(V)(X), X ; (3.7)in particolare, il metodo di perturbazione dellidentit`a, descritto dalla mappaT(t, X) = X +t(X), X RN, t 0dove: RNRN`eunagenericafamigliadi campi vettoriali, rientranel casopi` uge-nerale dello speedmethodscegliendo V(t, x) =(T1t(x)) x RN, t 0. Sebbene unatrasformazione basata su una perturbazione delloperatore identit`a sia piuttosto semplice, lascelta delle perturbazioni comprese tra Ie I + risulta piuttosto limitante e pu`o dar luogoa trasformazioni non locali. Come risulter`a chiaro nella prossima sezione, la trasformazionedei domini gioca un ruolo cruciale nella denizione della derivata di forma di un funzionale;salvo avviso contrario, nelle applicazioni che verranno discusse si considerer`a lo speed methodcome tecnica teorica per trasformare i domini, rimandando in ogni caso a [52], [19, 20] permaggiori dettagli.3.2 DerivatadiformadiunfunzionaleIn vista delle applicazioni dello Shapecalculusai problemi di ottimizzazione di forma, oc-corre precisare cosa si intenda per derivazione rispetto alla forma di un generico funzionale,denire il concetto di shape gradiented enunciare un importante risultato, noto come Teo-rema di struttura.Inbasealladenizionegeneraledi shapefunction, unfunzionale () denitosuunafamiglia di sottoinsiemi di RNrisulta un funzionale di forma se per ogni trasformazioneTdi RNsi ha cheT() = (T()) = ();indichiamoinoltreconVungenericocampodi velocit`achesoddisfalecondizioni (3.1)-(3.2), e con lo spazio T(RN; RN) delle trasformazioni di RNin se stesso innitamentedierenziabili e a supporto compatto (tali da soddisfare automaticamente (3.1) e (3.2)). Sidenisce allora semi-derivata Eulerianadi in , nella direzione V il seguente limite (seesiste nito):limt0f(Tt()) = (t(V)) ()t; (3.8)3. Strumenti teorici per la Shape Optimization 32datoinveceunelemento eil campodi velocit`a(t)(x):=(x), si diceche `esemi-derivabile nel senso di Hadamardin , nella direzione se per ogni V (con V(t) e V(0) = ),d(; V) esiste e dipende solo da V(0) = . In questo caso la semi-derivataviene indicata condH(; ) e necessariamente si ha chedH(; V(0)) = d(; V(0)).Si dice inne che `e dierenziabile in se esso ammette semi-derivata Euleriana in pertutte le direzioni e la mappa d(; ) : R`elineareecontinua. Intal caso, lamappa d(; )`edenotatacon (()evienedettagradientedi (oshapegradient). Il concettodi semi-derivataEulerianaappenaintrodotto `e piuttosto generale e include il caso in cuid(; V) non dipende solo da V(0),ma anche da V(t) in un intorno di t = 0: tuttavia, ci`o non capita se si assume che la mappaV d(; V) risulti continua; nel caso particolare in cui d(; V) dipenda solo da V(0),la semi-derivata pu`o essere messa in relazione con il gradiente di . Inoltre, se possiedela semi-derivata nel senso di Hadamard in , nella direzione , esso possiede anche la semi-derivata Euleriana in , nella direzione , e le due coincidono, ossia dH(; ) = d(; );per garantirelimplicazioneinversaoccorreunulterioreipotesi di continuit`a(si vedailTeorema 3.1, Cap. 8, in [20]).Concludiamo questa sezione enunciando una versione del Teorema di Strutturautile per leapplicazioni che verranno considerate in seguito:Teorema 7. (diStruttura) Siano un generico sottoinsieme di RN, la sua frontiera eunfunzionalediformashape-dierenziabile;sia (()in T(RN; RN)

loshapegradientdi in , individuato dalla mappa d(; ). Valgono allora i seguenti fatti:(i) il supporto dello shape gradient (() `e contenuto in ;(ii) sottolulterioreipotesichesiaunapertoconfrontieradiclasseCk+1e (() `ediordine1k, esisteunadistribuzionescalareg()inRNconsupportocontenutointale che per ogni V Tk(RN; RN) risultad(; V) = g(), (V)n)Ck()dove: Tk(RN; RN) Ck(, RN)`eloperatoredi tracciasuen`eil versorenormale a ;(iii) nel caso in cuig() L1(), si ha ched(, V) =_g(V n)d e ( = (gn).Questultimarelazioneprendeilnomediformuladi Hadamarderivesteunruolofonda-mentalenellaformulazionedei problemi di ottimizzazionedi forma: invistadellalororisoluzioneconmetodidiapprossimazione, lespressionedelloshapegradient `enecessariaper la costruzione di uno schema di discesa di tipo gradiente.1Quando per un certo k 0 G() `e continuo per la topologia di Dk(RN; RN), si dice che G() `e di ordinek. Dk(RN; RN)indicalospaziodellefunzionida RNa RNdierenziabiliconcontinuit` akvolte,asupportocompatto.3. Strumenti teorici per la Shape Optimization 333.3 DerivazionediintegralidenitisudominivariabiliRichiamiamo ora alcune formule basilari per il calcolo delle derivate di integrali deniti suundominiovariabileosulsuocontorno, indicandocont(V)=Tt(V)()limmaginedi RNtramite la famiglia di trasformazioni Tt : t [0, ] denite dallo speed method; siassume inoltre che V (0([0, ]; C1loc(RN, RN)) e che> 0 sia scelto in modo tale che lojacobianoJt sia strettamente positivo:Jt(X) := det DTt(X) > 0 t [0, ],doveDTt(X) `elamatricejacobianadellatrasformazioneTt=Tt(V)associataaV(cio`e(DTt)ij=jTi). Perledimostrazionideirisultaticheseguonosifariferimentoaquantoesposto in [20] o in [52].3.3.1 IntegralidivolumedenitisuundominiovariabilePresa W1,1loc (RN) e considerato lintegrale (t [0, ])(t(V)) :=_t(V)d =_ TtJtd,si ha ched(; V) =ddt (t(V))[t=0 =_div( V(0))d =_ V(0)nddovelultimauguaglianzaseguedal teoremadi Stokesapattochelafrontieradi sialipschitziana. Nel casopi` ugeneraleincui ((0, ; W1,1loc (RN)) (1(0, ; L1loc(RN)), lasemi-derivata della funzioneV (t) =_t(V)(t)dint = 0 `e data dadV (0) =_

(0) + div((0)V(0))d, (3.9)dove(0)(x) = (0, x) e

(0)(x) = /t(0, x); nel caso in cui `e un aperto con frontieralipschitziana, la precedente derivata divienedV (0) =_

(0)d +_(0) V(0)nd. (3.10)3.3.2 Integralidenitisulcontornodiundominiovariabile`E possibile ricavare delle formule analoghe per la derivata di integrali deniti sul contornodi un dominio lipschitziano RN: presa una funzione H2loc(RN), la derivata di(t(V)) :=_t(V)d`e data dad(; V) =_V(0) +(divV(0) DV(0)nn)d;3. Strumenti teorici per la Shape Optimization 34tuttavia, in virt` u del Teorema di Struttura,d(; V) dipende solo dalla componente nor-male vn di V(0) su , dove v = V(0)[. Indicando conH= (N 1)Hla quantit`a datadaN 1 volte la curvatura mediaH, `e possibile mostrare ched(; V) =__t+H_vnd.In generale, presa una funzione (1([0, ]; H2loc(RN)), V come in precedenza e assumendoche sia di classe (2, la derivata del funzionaleV (t) =_t(V)(t)drispetto at, int = 0, `e data dallespressione seguente:dV (0) =_

(0) +_t+H_V(0)nd=_

(0) +V(0) +(divV(0) DV(0)nn)d, (3.11)dove

(0)(x) = /t(0, x). Come nel caso degli integrali di volume, anche per gli integralideniti sul contorno di un dominio variabile si dispone di due formule equivalenti, che dannoluogo alla seguente identit`a:__t+H_V(0)nd =_V(0) +(divV(0) DV(0)nn)d.3.4 MaterialeShapeDerivativesSeguendolapprocciodi J. Sokolowski eJ.P. Zolesio, introduciamoi concetti di materialderivative edi shapederivative inmododadenirecosasi intendaperderivatadi unafunzionerispettoal dominiooallaforma; inparticolare, laderivatarispettoallaformadella soluzione di un problema dierenziale soddisfa a sua volta un problema dierenziale,lacui costruzioneverr`adiscussanel seguito. Pernonappesantireeccessivamentequestabreve trattazione, si rimanda a [52] o a [30] per una formulazione rigorosa dei concetti cheverranno esposti.Indicandoconundominiodi classe (k, conVuncampodi velocit`asucientementeregolaresceltocomeinprecedenzaecony()unafunzionedi Ws,p()(doves [0, k],p [1, +)): dallepropriet`adellamappaTt(V), sihachey(t) Tt(V) Ws,p()pert [0, ]; si ha che y(; V) Ws,p() `e la material derivative diy() nella direzione V seesiste il limite y(; V) := limt01t (y(t) Tt(V) y()) ;inmodoanalogo, lelemento y(; V) Wr,p()`elamaterial derivative di unelementoy() Wr,p() nella direzione V se esiste il limite y(; V) := limt01t (y(t) Tt(V) y()) .3. Strumenti teorici per la Shape Optimization 35Inparticolare,se y(; V) `elamaterialderivativedi y()in,eindirezioneVesistela(s 1p)-material derivative (cons >1p) y(; V) diy() = y()[, risulta che y(; V) = y(; V)[ Ws1p,p().Pi` u importante per lanalisi dei problemi di ottimizzazione di forma `e il concetto di shapederivative, legato alla material derivative dalla stessa relazione che si stabilisce tra la deriva-talocale(Euleriana)eladerivatatotale(Lagrangiana)diungenericocampo. IndicandoconW() un generico spazio di Sobolev,la shape derivative di y() nella direzione diVrisulta data dallelementoy

(; V) W() denito day

(; V) = y(; V) y()V(0);nelcasoincuilamappaV y(; V)siacontinuasihachey

(; V)=y

(; V(0)). Inmodo analogo al caso precedente, la shape derivative diz() W() nella direzione di V`e lelementoz

(; V) W() denito daz

(; V) = z(; V) z()V(0);se la mappa V y(; V) `e continua, alloraz

(; V) = z

(; V(0)).3.4.1 EstensionedelleformuleperlederivatedegliintegraliI concetti appena introdotti permettono di estendere le relazioni esposte nella sezione (3.3)al casoincui lintegranday()oz()possiedaunamaterial elashapederivativeinte-grabile: purnonintervenendoalcuncambiamentorispettoallerelazioniprecedentidaunpuntodi vistaformale,`etuttaviapossibileinterpretarelederivaterispettoallaformadiintegrande dipendenti direttamente dal dominio.Data y() L1(), nellipotesi in cui y(; V) e y

(; V) appartengano a L1(), la derivataEuleriana del funzionale() =_y()d`e data dad(; V) =_ y(; V)d +_y()divV(0)do equivalentemente dad(; V) =_y

(; V)d +_div(y()V(0))d, (3.12)dove, nel caso in cui `e un dominio di classe Ckcon k 1, sfruttando il teorema di Gauss,si pu`o scrivere anche:d(; V) =_y

(; V)d +_y() V(0)nd. (3.13)Per quanto riguarda invece un funzionale di forma denito su , sez = z() L1() `e taleche z(; V) ez

(; V) appartengano anchesse aL1(), la derivata euleriana di() =_z()d3. Strumenti teorici per la Shape Optimization 36`e data dad(; V) =_ z(; V)d +_z()div(V(0))d.Dal momento chez

(; V) = z(; V) z()V(0), si ha analogamente:d(; V) =_z

(; V)d +_[z()V(0) +z()div(V(0))]d, (3.14)vale a dired(; V) =_z

(; V)d +_div(z()V(0))d =_z

(; V) +Hz()(V(0)n)d.Inne, nel caso particolare in cuiz() = y()[, si ricava ched(; V) =_y

(; V)[d +__ny() +Hy()_(V(0)n)d. (3.15)3.4.2 ShapederivativesperproblemilineariRicaviamooralashapederivative dellasoluzionedi unsempliceproblemalineare, con-siderandoil casodelloperatoredi Laplaceconcondizioni di Dirichletnonomogenee; ilmeccanismo che verr`a illustrato si pu`o di fatto applicare a numerosi problemi - lineari e nonlineari -einparticolarealleequazioni di Navier-Stokes, cheverr`aarontatonel capitolosuccessivo.Assumiamo che per ogni dominio RNdi classe Cksiano dati tre elementi h() L2(),z() H1/2() ey() H1(), tali chey() sia soluzione del problema_ y() = h() in ,y() = z() su .(3.16)Assumiamo inoltre che per esistano le shape derivativesh

() L2(), z

() H1/2() ey

() H1(); se si considera una generica funzione test T(RN) e si integra sul bordo,si ha:_ty(t)dt =_tz(t)dtda cui, derivando (e valutando pert = 0):_y

(; V)[d +__n(y()) +Hy()_(V(0)n)d ==_(z())

(; V)d +_Hz()(V(0)n)d.Per un dato elemento T(RN), si ha che

(; V) =/n (V(0)n) e se assumiamoche/n = 0 su si ha che/n(y()) = /ny(), da cui:_y

(; V)[d +__ny() +Hy()_(V(0)n)d ==_(z

(; V)d +_Hz()(V(0)n)d.3. Strumenti teorici per la Shape Optimization 37Dal momento chez() = y()[, si ottiene chey

(; V)[ = ny()(V(0)n) +z

(; V) su .Dallaltra parte, essendo T(), per t > 0 sucientemente piccolo risulta che T(t),da cui_ty(t)d =_th(t)d.Derivando (pert = 0) entrambi i membri si ha:_y

(; V)d =_h

(; V)d.da cui inney

(; V) = h

(; V) in .In conclusione, la soluzioney() del problema (3.16) ammette shapederivativeinH1(),data dallunica soluzione del seguente problema di Dirichlet:_ y

(; V) = h

(; V) in y

(; V)[= ny()(V(0)n) +z

(; V) su .In modo analogo si pu`o procedere nel caso di un problema ellittico del secondo ordine concondizioni di Neumann o miste; per maggiori dettagli si vedano ad esempio [52], [30], [53].3.5 LapprocciobasatosulproblemaaggiuntoMediantelapplicazioneaunesempiocompleto, vienemostratoinquestasezionecomeimpiegaregli strumenti teorici presentati inprecedenzanellarisoluzionedi unproblemadi Shapeoptimizationed esprimere la derivata di forma del funzionale costo sfruttando lasoluzione del problema aggiunto; viene inoltre schematizzata una procedura generale per lascrittura delle condizioni di ottimalit`a, basata su quanto esposto in [52] e [30].Sia dunque() =12_[y() vg[2d + 12_(y() zg)2d,dove vgH2(), zgH1(); siainoltre y() lasoluzionedel seguenteproblemadiDirichlet:_ y() +y() = f() in ,y() = 0 su.Supponiamodipoterprocedereinipotesidisucienteregolarit`adeldominioinmodotaledagarantire, perlabuonaposizionedelproblema, chelasoluzioney()appartengaalmeno aH10() H2(), e che la shape derivativey

(; V) sia un elemento diH1(RN).`E possibile mostrare,in base alle regole di derivazione introdotte nelle sezioni precedenti,chey

(; V) `e la soluzione del seguente problema di Dirichlet non om